1. Resuelve las siguientes proporciones:

a) L - 1212 -4 b) 100 = lx 5 ) 5 -~

c 10- x

) 7 -Ld5 - 12

53 f) L= 916 x

11. Traza en tu cuaderno los siguientes ángulos utilizando un transportador:

a) 20°

d) 345°

b) 1500

e) 15°

256°

f) 76°

111.Enuncia las características de un:

Triángulo isósceles:

c) Triángulo rectángulo:

IV. Consideraun.triángulo en el que dos de sus lados miden 4 y 12 cm, además el ángulo que se formaentre ellos es de 120io.

Trázalo en tu cuaderno y anota sus características. Asi mismo,.explica por qué razón son iguales.Comenta tus observaciones con tus compañeros.

!!' yy! ..'., . ~~!'Yi¡t,

m.R.!.,.,e

.acJI

.....

V..,., <1

.C... .,..

1°.,....

"...

,'jj~Y"¡;"j";f%!,"!"j, .,.

Criteriosde congruenciaen triángulos

Vas a necesitar hojas de papel bond de color azul, naranja y amarillo, tijeras, regla y transportador.

Traza un triángulo en la hoja de cualquier color, el lado medirá 10 cm y los dos ángulos adyacentestendrán un valorde 40° y30° cada uno.

Ahora traza en la hoja amarilla un triángulo cuyos leídosmidan 10, 5.2 Y6.9 cm.

Recorta los dos triángulos y empálmalos.

¿Qué ocurrió cuando los empalmaste?

@ ¿Qué coincidencias hubo entre ambos?

j

Definición de congruencia

Comopodrás observar en el ejercIcIo anterior, dos figuras son congruen-tescuando son exactamente iguales en forma y tamaño. Podemos decir quelacongruenciase manifiesta en diferentes situaciones de la vida cotidiana, porejemplo,cuando un arquitecto desarrolla la maqueta de una vivienda o con-juntohabitacionaltiene que tomar en cuenta el concepto de congruencia paraquetodaslas cosas se vean iguales.

Enla geometría se dice que dos segmentos son congruentes si tienen la misma

longitud.Asimismo, dos ángulos son congr.uentes si tienen la misma medida.

Lacongruencia de los triángulos se utiliza para diseñar ejercicios de compara-ciónen juegos de salón, en el trazo de señales y gráficos de localización para eltránsito vehicular, en el diseño de mecanismos que permiten la operación delasfotocopiadoras o en un pantógrafo, entre muchas otras cosas.

Congruenciade triángulos

Olivianecesita dividir una pizza en ocho partes iguales para repartirla entre susinvitados.¿Qué sugieres que haga para cortar ocho pedazos congruentes y quecada invitado reciba el mismo tamaño?

Anotala respuesta en tu cuaderno.

B,Ae

~DAB~ CD

Tienen la misma longitud

~-9::A ~ -9::B

Tienen la misma medida

Elsímbolo que representa la congruencia es =.

Llamaremostriángulos congruentes a aquéllos que coinciden en sus lados yángulos,es decir que son exactamente iguales.

l'B'B

LDQ)safío

Investiga qué es un pantógrafo

y para qué sirve.

Para.saber

,¡II

En geometría, algunos teore-mas y postulados se demues-tran utilizando la superposi-ción de figuras con base en elsiguiente principio:"toda figurapuede cambiar de posición sinalterar su forma ni sus dimen-siones" Mediante este razona-miento se llega también a laconclusión de que dos figurasson congruentes cuando pue-den hacerse coincidir en todassus partes.

I!Ie

.I!If=e

'~!@

A b e A' b' e

palabras en el

tiempQCongruencia proviene del latín

congruentia, significa en el con-

texto de la geometría igualdad de

figuras, lados. Esta palabra se usa

en diferentes contextos y discipli-

nas como: álgebra, lógica, geo-

metría e incluso en el derecho.

o

Actividad

Para realizar esta actividad es necesario que trabajen en binas. Tracen en

hojas cuadriculadas los triángulos que se presentan reducidos en la siguientefigura, con las medidas que se indican en centímetros.Cal€ulen los valoresde los ángulos.

~5

~7

Respondan las siguientes preguntas:

6

8

Si comparan los triángulos de la figura con los que trazaron en las hojas cua-driculadas, ¿cuánto miden los ángulos?, ¿son iguales?

¿Por qué ocurrió lo anterior?

Construyan otro triángulo de diferentes dimensiones que tenga los ángulosagudos iguales a los anteriores.

Cuando encuentres un par de triángulos congruentes y quieras identificar loslados que coinciden, es más fácil hacerla si colocas una, dos y tres líneas en cadauno de los lados para identificarlos.

A

B'

e C' A'

Observa la figura anterior. El lado ABcoincide con el lado A'B',así como el lado Becoincide con los lados B'C'y ACcon A'C',por eso, en cada uno coinciden las marcasy los colores.

Actividad

Ahoravasa necesitar hojas cuadriculadas tamaño carta, transportador, regla,escuadrasy un lápiz.

Construyedos triángulos con los segmentos y los ángulos que se indican enlafigura.

~4cm /~&

5cm

~5cm

¿Cuáles la medida de los tres ángulos de los dos triángulos?

¿Cuáles la longitud de los lados de cada uno de los triángulos?

¿Qué relación existe entre los dos triángulos? justifi.ca tu respuesta.

Comentacon el grupo tus afirmaciones y lleguen a una conclusión. Entretodos elaboren un collage que ilustre gráficamente el procedimiento o

algoritmo que siguieron para obtener sus conclusiones. Revisa en tu librode Informática como elaborar un algoritmo.

Criteriosde congruencia en los triángulos

Paradeterminar la congruencia entre dos triángulos cualquiera sólo se necesitantreselementos determinados de cada uno de ellos. A partir de estos elementosdefinimoslos siguientes criterios de congruencia:

a) LADO, ÁNGULO, LADO (L AL)

Sidoslados de un triángulo y el ángulo formado por ellos son congruentes con losquecorresponden a otro, se dice que los dos triángulos son congruentes.

~~A b e e b'

Si o==:a' 1::e ==:1::C'

L:, ASC ==: L:, A's'e

b==:b'

Entonces:

a la manoEn geometría el símbolo 1 re-presenta perpendicularidady elsímbolo 11 significa paralelismo.

Algoritmo. Esun conjunto depasos o instruccionesque defi-nen un procedimiento.

A' L

portafolioI..,..E ,E,,',V ID ..,..N.. ..1, '

1---"~

lGuardep el rompecapezas.

lISe

.!!!

~~@

~."'.

1, '. J'" .d.r

b) ÁNGULO, LADO, ÁNGULO (A LA)

Cuando en dos triángulos se tienen dos ángulos y un lado congruentes, esto\

triángulos son congruentes.

A

Entonces: L.ABC== L. A'B'('

c) LADO, LADO, LADO (L L L)

Cuando se tienen dos triángulos y sus tres lados correspondientes son congruen.

tes, entonces los triángulos son congruentes.

~c a ~C's'A c'c s A'

Si 0==0' c==c'b==b'

Entonces: L. ABC == L.A'B'C

JReúnanse en equipos de cinco integrantes, cada equipo debe seleccionar una

de las siguientes figuras geométricas: triángulo escaleno, triángulo isósceles,

triángulo recto, cuadrado, rectángulo, trapecio o rombo.

Paso 1

Tracenla figura seleccionadaen una hoja de papel bond tamaño carta.

Paso2

Dividan la figura sucesivamente hasta indicar cuántos triángulos congruentes se

pueden formar. No hay límite para la cantidad de cortes o divisiones que pueden

hacer. Se debe obtener la cantidad máxima de triángulos congruentes.

Paso3

Unavezque realizaronla figura, la dividieron y definieron lostriánguloscon-

gruentes que se forman, tracen la misma figura y sus cortes en una hoja de

papel tipo foamy a fin de obtener un rompecabezas. Se elaborará uno dife-

rente por cada equipo.

b (\ /\ b'

e A" e

Si -1:A== -1:A' -1:C==-1:(' b==b'

-.------

2. Analiza si los triángulos siguientes son congruentes. En caso que la respues-

ta sea afirmativa, indica qué criterio usaste para definir la congruencia.

a) e

~A 4 B

b) c)Q 7 R

Vo?;///7P p

e

~A' 4 B' ¡;:

'S R'

Q'

4 7

p' p'

R' 7 Q'

~d) 11&J34

e)

~3

80°50°

f)

67"22's

\l ~13

4~ ~ 67°22's

- -------

conexionesObserva si las casas de la calle

en donde vives son iguales yexplica cuáles son las carac-terísticas que las distinguende las de algunas coloniasvecinas.

L~~....

I.

\...

¡

.

.

]~

1. Acontinuaciónse presentan pares de figuras,determina cuálesson con-gruentes y justifica tus respuestas.

CLJ [?[l

6 6p Q R S

O O

--- - - - . - . o .

IVe~~~@

-----Guarden Sus conclusiones.

- --- ~~-

~ .,,~,

- - 0°,

Para practicar (continuación)

3. De nuevovamosa trabajar en binas. Necesitamos hojas cuadriculadas ta-

maño carta, tijeras,regla, escuadras, transportador y lápices de colores.

En una hoja dibujen un rectángulo cuya base sea de 12 cm y su altura

sea 5 cm. Tracen una de sus diagonales y recorten el rectángulo para

obtener un par de triángulos. Marquen los lados correspondientes en

cada triángulocon líneasdel mismo color.

Contesten lassiguientespreguntas:

¿Lostriángulosobtenidos son congruentes?

Indiquen por qué.

4. Ahora, en otra hoja construyan un triánguloisóscelescuya base tenga

una longitudde 6 cm y una alturade 4 cm.

Tracen laalturay observen losdos triángulosque se forman.

Contesten lassiguientespreguntas:

¿Los triángulosobtenidos son congruentes? Indiquen por qué.

Comenten con el grupo sus observaciones y obtengan una conclusión.

Ejemplo:

6+ 2y

y 12x-4

Siconsideramos que se tratade un triánguloisósceles,¿cuáles son loselvalores

de x y de y?

Loslados correspondientes son:

y

Portanto,podemos plantear lo siguiente:

12x-4

6 + 2y = 6x + 10 Ecuación1

y = 12x - 4 Ecuación2

Paraidentificar los valores de cada lado, si se sustituye el valor de y de la ecuación 2en laprimera ecuación para resolver el sistema:

6 + 2(12x - 4) = 6x + 10

6 + 24x - 8 = 6x + 1O

Despejando:24x - 6x = +10 - 6 + 8

18x = 12

12x= 18

2x=""3

Para encontrar el valor de y = 12 (~ )- 4

y=8-4

y=4

1. Encuentra los valores de x y y en las siguientes figuras. Considera que lostriángulos A y B son congruentes:

a) ~ 3D. 8

b)

A

4x+2

8

6y

¿pabíasEratóstenes logró que?calcular el diá-metro de la Tierraaplicando susconocimientos de geometría.Para determinar las distancias,este científico se valía de algu-nos objetos como varas, cuer-das, además de soldados queal caminar contaban sus pasos.Cabe indicar que todos los cál-culos que realizó, tomando encuenta sus limitaciones, tienenun error más que aceptable.

L

¿Quiénfue?

Investiga quién fue Euclidesycuáles fueron sus contribuciones

a la geometría.

111

e

..:!

~8S@

Para

e)

d)

~I4x+ By 10.

e)

f) 120

1-6x' A

g)~

16~ 14y+1015x + 1O

h)

2. Marea cinco pares de triángulos congruentes en la siguiente figura.

A . 8 e

o E

F H

3. Contu juego de geometría construye un triángulo para cada inciso conloselementos y valores que se muestran. con la condición de que lostriángulos deben tener su triángulo congruente. Una vez terminadoslos trazos indica si los triángulos tienen algún tipo de congruencia ymuestra tu trabajo al grupo. Lleguen a una conclusión general.

a) "*

Especificaciones

4cm

3cm

2cm

b) ... 3.5 cm

< 40°

'" l.7cm

e)

<.<...

L

50°

30°

100° L

!~~~@

4. Traza un par de triángulos rectángulos cuyos lados midan tres, cuatroy cinco centímetros respectivamente. Indica cuáles serían los tres casosde congruencia que se pueden presentar y anótalos abajo. Realiza unarepresentación gráfica de los mismos.

2!

i@

........

r.~g~o~

Evaluación sumativa

1. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son congruentes?

a)

~b)

c) d)

~y ~2. En las siguientes figuras indica por qué los triángulos son congruentes y justifica tu respuesta.

Puedes utilizar papel lustre como apoyo.

a) B e DA

b)

x

c)

p Q R s s u

las igualdades en los siguientes pares de triángulos para que se cumpla la congruencíaellos.

a) B o

A e16cm 16cm

b) Ju

L w

c)

Q F

d)R

G

R E

e) N y

J~yH

de secuencia

una presentacíón en Power point donde muestren las diferentes figuras geométricas y susgenerar la mayor cantidad de triángulos congruentes en cada caso.