1- a) ()4.7-puisque y 1 est solution de cette équation, alors y pxy qxy 1 11¢¢¢+ +=() 0. on pose...

Chantal Trottier août 2016 79

Section 4.4 : solution homogène

Section 4.5.1 : Coefficients indéterminés

Section 4.5.2 : Variation des paramètres

Exercices d’enrichissement

Section 4.4 : solution homogène

1- a) ( )2 24 5 0 4 5D y Dy y D D Dj+ - = Þ = + -

Les zéros de ( )Dj sont 5- et 1, Î¡ . Donc 5

1 2x xy c e c e-= +

b) ( )2 24 25 0 4 25D x x D Dj- = Þ = -

Les zéros de ( )Dj sont 5

2- et 5

2, tous les deuxÎ¡ . Donc

5 52 2

1 2t t

x c e c e-

= +

c) ( )2 24 12 9 0 4 12 9D i Di i D D Dj- + = Þ = - +

Les zéros de ( )Dj sont 3 3 et 2 2 ; un zéro réel double. Donc

3 32 2

1 2t t

hi c e c t e= +

d) ( ) ( )4 3 2 4 3 22 0 2D D D y d D D Dj- + = Þ = - +

Les zéros de ( )Dj sont 0, 0, 1 et 1; deux paires de zéros doubles. Donc la

solution générale est ( )1 2 3 4xy c c x c c x e= + + + ×

e) ( )2 20 1D y Dy y D D Dj+ + = Þ = + +

Les zéros de ( )Dj sont des nombres complexes : 1 32 2

i-+ et 1 3

2 2i-

- .


On a 12

a -= et 3

2b = .

21 2

3 3cos sin2 2

xy e c x c x

- æ öæ ö æ ö= +ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

f) ( ) ( )3 2 3 24 4 0 4 4D D D y D D D Dj- + = Þ = - +

Les zéros de ( )Dj sont 0, 2 et 2; donc un zéro simple et un zéro double, tous les

trois réels.

( ) 21 2 3

xy c c c x e= + +

g) ( )2 24 0 4D y y D Dj- = Þ = -

Les zéros de ( )Dj sont 2 et 2- , deux zéros réels distincts.

2 21 2

x xy c e c e-= +

h) ( )2 216 8 0 16 8 1D x Dx x D D Dj- + = Þ = - +

Les deux zéros de ( )Dj sont 1 1 et

4 4, c’est-à-dire que le zéro est double.

Donc ( ) 41 2

tx c c t e= +

i) ( ) ( )3 2 3 22 0 2D D y D D Dj+ - = Þ = + -

Les zéros de ( )Dj sont 1, 1 i- + et 1 i- - : un zéro réel et deux zéros complexes,

avec 1a = - et 1b = . ( ) ( )( )1 2 3cos sinx xy c e e c x c x-= + +

j) ( ) ( )4 2 4 24 4 0 4 4D D y D D Dj+ + = Þ = + +


Les zéros de ( )Dj sont 2 i- deux fois, et 2 i deux fois aussi; des zéros

complexes doubles, avec 0a = et 2b = .

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4cos 2 sin 2y c c x x c c x x= + + +

k) ( ) ( )4 3 2 4 3 23 7 30 0 3 7 30D D D D y D D D D Dj+ + - - = Þ = + + - -

Les zéros de ( )Dj sont 3- , 2 , 1 2i- - et 1 2i- + ; deux zéros réels distincts et

deux complexes, avec 1a = - et 2b = .

( ) ( )( )3 21 2 3 4cos 2 sin 2x x xy c e c e e c x c x- -= + + +

l) ( ) ( )3 2 3 219 5 0 19 5D D D y D D D Dj- - + = Þ = - - +

Les zéros de ( )Dj sont 4,0268- 0, 2605 et 4,7663; 3 zéros réels distincts.

4,0268 0,2605 4,76631 2 3

x x xy c e c e c e-= + +

4.2- a) ( ) ( )2 22 1 0 2 1D D y D D Dj- + = Þ = - +

Les zéros de ( )Dj sont 1 et 1 : un zéro réel double. ( )1 2x

hy c c x e= +

( )1 2 2x

hy c c c x e¢ = + +

( ) 10 1y c= = ( ) 1 20 2y c c¢ = - = + 1 21, c 3cÞ = = -

3x xy e x e= -

b) ( ) ( )2 23 2 0 3 2D D y D D Dj- + = Þ = - +


Les zéros de ( )Dj sont 1 et 2 : deux zéros simples, réels et distincts. 2

1 2x x

hy c e c e= + ; 21 22x x

hy c e c e¢ = + ( ) 1 20 1y c c= - = + ; ; ( ) 1 20 0 2y c c¢ = = + 1 22, 1c cÞ = - =

2 2x xy e e= -

c) ( )2 216 64 0 16 64D s Ds s D D Dj+ + = Þ = + +

Les zéros de ( )Dj sont 8 et 8- - : un zéro réel double. Donc ( ) 81 2

ths c c t e-= +

( ) 82 1 28 8 t

hs c c c t e-¢ = - -

( ) 10 0s c= = ( ) 2 10 4 8s c c¢ = - = - 1 20, 4c cÞ = = -

84 ts t e-= -

d) ( )2 22 5 0 2 5D i Di i D D Dj+ + = Þ = + +

Les zéros de ( )Dj sont 1 2i- + et 1 2i- - , deux zéros complexes, avec 1 et 2a b= - = .

( ) ( )( )1 2cos 2 sin 2thi e c t c t-= + ; ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 22 cos 2 2 sin 2t

hi e c c t c c t-¢ = - - + +

( ) 10 2i c= = ( ) 1 20 0 2i c c¢ = = - + 1 22, 1c cÞ = =

( ) ( )( )2cos 2 sin 2ti e t t-= +


4.3- Remplaçons m xy e= dans l’É. D. 0y x y y¢¢ ¢- + = pour voir si c’est consistant.

On calcule les dérivées : m xy me¢ = et 2 m xy m e¢¢ = .

Dans L’É. D. : ( )2 20 1 0mx mx mx mxm e x me e e m m x- + = Þ - + =

Donc il faudrait 2

2 41 0

2x x

m m x m± -

- + = Þ = ; c’est-à-dire que m devrait

dépendre de x, ce qui entre en contradiction avec l’hypothèse que m est une constante.

Donc non m xy e= ne peut pas être utilisé pour résoudre 0y x y y¢¢ ¢- + = puisque ça nous amène à une contradiction. Ça arrive parce que l’É. D. n’est pas à coefficients constants.

4.4- ( ) ( )4 2 4 220 4 0 20 4D D y D D Dj- + = Þ = - +

Les zéros de ( )Dj sont » ±0,45 et ±4,45; quatre zéros réels distincts.

0,45 0,45 4,45 4,451 2 3 4

x x x xcy c e c e c e c e- -= + + +

4.5- ( ) ( )3 2 3 25 2 12 0 5 2 12D D D y D D D Dj+ + - = Þ = + + -


Les zéros de ( )Dj sont 3- , 1 5- - et 1 5- + ; trois zéros réels distincts.

( ) ( )1 5 1 531 2 3

x xxhy c e c e c e

- - - +-= + + ( ) 1 2 30 2 2y c c c= - Þ + + = -

( ) ( ) ( )1 2 30 0 3 1 5 5 1 0y c c c¢ = Þ - + - - + - =

( ) ( ) ( )1 2 30 3 9 2 5 6 6 2 5 3y c c c¢¢ = Þ + + + - =

1 11c = - , ( )

2

3 8 5 15 9 12 510 2 5

c+

= = + , 39 12 52 5

c = -

( ) ( )1 5 1 5 39 12 5 9 12 5 112 5 2 5

x x xy e e e- + - - -æ ö æ ö= - × + + × -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø

4.6- Pour que l’É. D. ( )3 2 0D a D b D c y+ + + = ait comme solution

( ) ( )2 21 2 3sin 4 cos 4x x xy C e C e x C e x- - -= + + , il faut que les zéros de ( )Dj soient

1- et 2 4i- ± . Chaque zéro donne un facteur ( )ce zéroD - , et ( )Dj est le produit de ces

facteurs : ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 4 2 4i iD D D Dj - - + - -= - × - × -

On fait effectuer ce produit par la calculatrice, et on obtient ( ) 3 25 24 20D D D Dj = + + + Donc 5, 24, 20a b c= = =

4.7- Puisque 1y est solution de cette équation, alors ( ) ( )1 1 1 0y P x y Q x y¢¢ ¢+ + = .

On pose ( )2 1y v x y= × . Dans le but de remplacer 2y dans l’équation différentielle, on calcule ses dérivées :


2 1 1y v y v y¢ ¢¢= × + ×

( ) ( )2 1 1 1 1 11 1 2y v y v y v y v y v y v y v y¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢= × + × + × + × = × + × + ×

Remplaçons :

( ) ( ) ( )1 1 1 1 11 2 0doit

v y v y v y P x v y v y Q x v y¢ ¢¢ ¢¢¢ ¢ ¢× + × + × + × × + × + × × =

Regroupons les termes qui contiennent v (pas dérivée) :

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1

0

2 0v y v y P x v y v y P x y Q x y=

æ öç ÷¢ ¢¢ ¢¢¢ ¢ ¢+ + + × + + =ç ÷ç ÷è ø14444244443

Note : la parenthèse qui est égale à 0 correspond à ce qu’on avait noté au début. Donc ( )1 1 12 0v y v y P x v y¢¢¢ ¢ ¢+ + = . Remarquons qu’il n’y a plus de v dans cette équation, ce qui nous permet de poser

z v¢= , ce qui donne z v¢ ¢¢= :

( )( )1 1 12 0y z y P x y z¢¢ + + = : É.D. linéaire d’ordre 1

( )1

12 0yz P x z

y

æ ö¢¢ + + =ç ÷

ç ÷è ø

: elle est sous forme standard.

Calculons le facteur intégrant :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

1 1 12 2 2

21

y y yP x dx dx P x dx dxP x dx P x dxy y yu x e e e e y e

¢ ¢ ¢æ ö æ ö æ ö+ +ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷

è ø è ø è øò ò ò ò ò ò= = = =

( ) ( )

( )

( )2211

1 P x dx

P x dx

ezyy e

-ò= =

ò

Ça donne donc bien le résultat attendu : ( )

( )21

P x dxevy

-ò¢ =

4.8-a) Vérification : ( ) ( )1 1cos cosy x y x¢¢= Þ = - . Donc ( ) ( )1 1 cos cos 0y y x x¢¢ + = - + = . O.K.

( )2 cosy v x=

Ici ( ) 0P x = , donc ( )( )

( ) ( ) ( )0

2 22 sec sec tan

cos

ev x v x dx xx

¢ = = Þ = =ò

Alors ( ) ( ) ( )2 tan cos siny x x x= =

La solution est ( ) ( )1 2cos siny C x C x= +

b) Vérification : 2 2

1 1 4x xy e y e¢¢= Þ = . Donc 2 21 14 4 4 0x xy y e e¢¢ - = - = . O.K.


22

xy ve=

Ici aussi ( ) 0P x = , donc ( )

4 4 422

1 14

x x x

xv e v e dx e

e- - --¢ = = Þ = =ò

On enlève la constante 14- puisqu’on va ajouter une constante arbitraire de toute

façon : 4 4 2 22

x x x xv e y e e e- - -= Þ = =

2 21 2

x xy C e C e-= +

c) Vérification : 1 1 11 et 0y x y y¢ ¢¢= Þ = =

Donc 1 1 11 10 0

1 1 1 1x xy y y x

x x x x¢¢ ¢- + = - + =

- - - -. O.K.

2y v x=

( ) ( )1

2 21

1

x dx xx x ex eP x vx x x

-ò -- ¢= Þ = =-

Comme on peut le voir sur l’écran suivant, on ne peut pas se fier à la calculatrice pour effectuer l’intégrale.

Cependant, si on pose le changement de variable xeux

= , on voit facilement (après

un peu de gymnastique : dénominateur commun, factorisation,...) que ( )

21 x xx e ev dx du u

xx-

= = = =ò ò . Donc 2xy e= .

1 2xy C x C e= +

d) Vérification : 1 1 11 et 0y x y y¢ ¢¢= Þ = =


21 1 12 2 0 2 2 0x y x y y x x¢¢ ¢+ - = + - = . O.K.

2y v x=

Il faut diviser l’équation par 2x : 22 2 0y y yx x

¢¢ ¢+ - = .

( ) 2P xx

= , donc

22

4 32 2 4

1 13

dxxe xv v x dx x

x x x

- -- -

ò -¢ = = = Þ = =ò

On enlève la constante et on garde seulement 23 21 1v yx x

= Þ = .

21 2

Cy C xx

= +

e) Vérification : 1 1 11 et 0y x y y¢ ¢¢= Þ = =

1 1 1 0 0y x y y x x¢¢ ¢- + = - + = . O.K. 2y v x=

( )2

2

2 2

xx dxe eP x x vx x

- -ò¢= - Þ = =

Ici, la calculatrice ne se trompe pas : l’intégrale est impossible à effectuer.

2

2

2

xev dxx

= ò . Donc

2

2

2 2

xey x dxx

= ò

2

2

1 2 2

xey C x C x dxx

= + ò

f) Vérification :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 13 5 3

2 2 2

sin cos sin cos3 1 et sin2 4

x x x xy y y x

x x xx x x

æ ö¢ ¢¢= Þ = - = - -ç ÷ç ÷

è ø

2 21 1 1

14

x y x y x yæ ö¢¢ ¢+ + - =ç ÷è ø

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 25 3 3

2 2 2

cos cos sin sin3 1 1sin44 2

x x x xx x x x

x x xx x x

æ öæ ö æ ö æ öç ÷- - + - + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø è øè ø

0= . O.K.


( )

2sin x

y vx

=

Il faut diviser l’équation par 2x pour avoir la forme voulue et obtenir que

( ) 1P xx

= .

Donc ( ) ( )

( )1

22 2

1

cscsinsin

dxxe xv xxx

xx

-ò¢ = = =

æ öç ÷è ø

( ) ( )2csc cotv x dx x= = -ò . Ici encore, on enlève le signe « ‒ » parce qu’on va

introduire une constante arbitraire; donc ( )cotv x= et ( )

2cos x

yx

= .

( ) ( )

1 2sin cosx x

y C Cx x

= +

4.9- On voit, à l’écran suivant, que seuls a), b) et f) peuvent être résolus par Nspire.


Voici, ci-dessous, les écrans de Wolfram Alpha obtenus pour les solutions de c), d)

et e)

C’est petit mais je vous encourage à aller sur le site de Wolfram Alpha.

4.10- Si ( ) ( ) ( )w x u x i v x= + est solution de ( ) ( ) 0y P x y Q x y¢¢ ¢+ + = , alors on peut

remplacer ( )y x par ( ) ( )u x i v x+ dans l’équation différentielle :


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0u x i v x P x u x i v x Q x u x i v x¢¢ ¢+ + × + + × + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u x i v x P x u x P x i v x Q x u x Q x i v x¢¢ ¢¢ ¢ ¢+ × + × + × × + × + × × =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0u x P x u x Q x u x i v x P x v x Q x v x¢¢ ¢ ¢¢ ¢+ × + × + × + × + × = Rappelons qu’un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle est

nulle ET sa partie imaginaire est nulle aussi. Donc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u x P x u x Q x u x¢¢ ¢+ × + × = : ( )u x est solution de l’É.D.,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0v x P x v x Q x v x¢¢ ¢+ × + × = : ( )v x est solution de l’É.D. Si ces deux solutions sont indépendantes, alors la solution de l’É.D. d’ordre 2 sera

( ) ( ) ( )1 2y x C u x C v x= + .

4.11-a) Calculons le wronskien ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2,m x m x m x m x m x m xW e e e e e e¢ ¢é ù = × - ×ë û

( )1 2 1 2 1 2 1 22 1 2 1,m x m x m x m x m x m x m x m xW e e m e e m e e m m e eé ù = - = -ë û

Pour que cette expression soit nulle, il faudrait que 2 1 0m m- = , ce qui n’est pas le cas puisque 1m et 2m sont distinctes par hypothèse.

La solution est donc 1 21 2

m x m xy C e C e= + .

b) 21

b xay e

-= est solution.

On pose 22

b xay v e

-= .

Ici, ( ) bP xa

= , donc 22

1b xb dxa a

b xb x aa

e evee

--

--

ò¢ = = =

æ öç ÷è ø

.

Ceci nous donne que v x= , et donc 22

b xay x e

-= .

Vérifions que 1y et 2y sont indépendantes en calculant leurs wronskien :

Une exponentielle n’est jamais nulle, donc les deux fonctions sont bel et bien

indépendantes, et la solution est donnée par ( )1 2m xy e C C x= × + .


c) Calculons [ ]1 2,W y y avec 2

21

4cos

2

b xa a c b

y e xa

- æ ö-ç ÷=ç ÷è ø

et

22

24

sin2

b xa a c b

y e xa

- æ ö-ç ÷=ç ÷è ø

.

On obtient [ ]2

1 24

, 02

b xaa c b

W y y ea

--= × ¹ . Donc les deux fonctions sont

indépendantes, et la solution est

2 2

21 2

4 4cos sin

2 2

b xa a c b a c b

y e C x C xa a

- æ öæ ö æ ö- -ç ÷ç ÷ ç ÷= +ç ÷ç ÷ ç ÷

è ø è øè ø.

RETOUR AU DÉBUT DU CHAPITRE 4


Section 4.5.1 : Coefficients indéterminés

4.12-a) 2 32 xD y y e+ = i- solution homogène ( ) 2 1D Dj = + ; Les zéros de ( )Dj sont ±i; ( ) ( )1 2cos sinhy c x c x= + ii- solution particulière ( ) 32 xF x e=

On pose 3xpy Ae=

On substitue dans l’É. D. : ( )3 3 32x x xAe Ae e¢¢ + =

3 3 39 2x x xAe Ae eÞ + =

on obtient donc que 10 2A = , c’est-à-dire 15

A =

315

xpy e=

( ) ( )31 2

1 cos sin5

xgy e c x c x= + +

b) ( )3 22 4sin 2D y D y Dy x+ + = i- solution homogène ( ) 3 22D D D Dj = + +

Les zéros de ( )Dj sont 0, 1- et 1- . ( )1 2 3x

hy c c c x e-= + + ii- solution particulière ( ) ( )4sin 2F x x= . On pose ( ) ( )sin 2 cos 2py A x B x= + On substitue dans l’É. D. et on obtient ( ) ( ) ( )6 8 cos 2 0cos 2A B x x- - = et ( ) ( ) ( )6 8 sin 2 4sin 2B A x x- =

8 6 et 25 25

A B-= =


( ) ( )6 8cos 2 sin 225 25py x x= -

( ) ( ) ( )1 2 38 6sin 2 cos 225 25

xgy c c c x e x x-= + + - +

c) 2 24 8D y y x- = i- solution homogène ( ) 2 4D Dj = -

Les zéros de ( )Dj sont 2 et 2- . 2 21 2

x xhy c e c e-= +

ii- solution particulière ( ) 28F x x= . On pose 2

py A x B x C= + + On substitue dans l’É. D. et on obtient 2 24 8A x x- = , 4 0B x x- = , 2 4 0A C- = Alors 2, 0, 1A B C= - = = -

22 1py x= - -

2 2 21 2 2 1x x

gy c e c e x-= + - -

d) 2 4 5 15xD y D y y e x-+ + = + i- solution homogène


( ) 2 4 5D D Dj = + +

Les zéros de ( )Dj sont 2 i- ± . ( ) ( )( )21 2cos sinx

hy e c x c x-= + ii- solution particulière ( ) 15xF x e x-= + . On pose x

py Ae B x C-= + + On substitue dans l’É. D. et on obtient 2 x xAe e- -= , 5 15B x x= , 4 5 0B C+ =

Alors 1 12, 3, 2 5

A B C -= = =

1 1232 5

xpy e x-= + -

( ) ( )2 21 2

1 123 cos sin2 5

x x xgy e x c e x c e x- - -= + - + +

e) ( )2 24 2cos 3D i i t t+ = + i- solution homogène ( ) 24 1D Dj = +

Les zéros de ( )Dj sont 12

i± . 1 2cos sin2 2ht ti c cæ ö æ ö= +ç ÷ ç ÷

è ø è ø

ii- solution particulière ( ) ( )2 2cos 3F t t t= + . On pose ( ) ( )2 cos 3 sin 3pi At B t C D t E t= + + + + On substitue dans l’É. D. et on obtient 2 2 , 0 , 8 0,At t B t t A C= × = + = ( ) ( )35 cos 3 2cos 3 ,D t t- = ( ) ( )35 sin 3 0sin 3E t t- =

Alors 1, 0, 8A B C= = = - , 2 , 035

D E-= =


( )2 28 cos 335pi t t= - -

( ) ( ) ( )21 2

28 cos 3 cos sin2 235gt ti t t c c= - - + +

4.13-a) 4 2 23 4 xD y D y x e+ = - i- solution homogène ( ) 2 16D Dj = +

Les zéros de ( )Dj sont 0, 0, et ±i : une racine réelle double et 2 racines

complexes. ( ) ( )1 2 3 4cos sinhy c c x c x c xÞ = + + + ii- solution particulière ( ) 23 4 xF x x e= - .

On pose 2 xpy A x B x C D e= + + +

Il y a un conflit : Bx et C avec 2c x et 1c ; il faut donc multiplier les 3 premiers

termes par 2x . Le bon candidat est 4 3 2 x

py A x B x C x De= + + +

b) ( ) ( )2 1 cos 2xD y e x x-+ = +

i- solution homogène ( ) 2 1D Dj = +

Les zéros de ( )Dj sont ±i. ( ) ( )1 2cos sinhy c x c x= + ii- solution particulière ( ) ( )cos 2xF x e x x-= + .

On pose ( ) ( )cos sinx xpy Ae x B e x C x D- -= + + +


Il n’y a pas de conflit avec la solution homogène, donc c’est le bon candidat.

c) ( )2 3 32 3 5 sin 2 2 xD y D y y x x x e- - = + i- solution homogène ( ) 2 2 3D D Dj = - -

Les zéros de ( )Dj sont 1 et 3- . 31 2

x xhy c e c e-= +

ii- solution particulière ( ) ( ) 3 35 sin 2 2 xF x x x x e= +

On pose ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 3 3 3

sin 2 cos 2 sin 2 cos 2p

x x x x

y Ax x Bx x C x D x

Ex e Fx e Gxe He

= + + + +

+ + +

Il y a un conflit avec la solution homogène : 3xe apparaît dans les deux solutions; il faut donc multiplier tout ce qui contient du 3xe par x :

( ) ( ) ( ) ( )

4 3 3 3 2 3 3

sin 2 cos 2 sin 2 cos 2p

x x x x

y Ax x Bx x C x D x

Ex e Fx e Gx e Hxe

= + + + +

+ + +

d) ( )2 2 48 16 3 5xD D y x e-+ + = +

i- solution homogène ( ) 2 8 16D D Dj = + +

Les zéros de ( )Dj sont 4 et 4- - . 4 41 2

x xhy c e c xe- -= +

ii- solution particulière ( ) 2 43 5xF x x e-= +

On pose 2 4 4 4x x xpy A x e B x e C e D- - -= + + +

Il y a un conflit pour les termes contenant du 4xe- . La racine 4- étant une racine double, il faut multiplier les termes en conflit par 2x :

4 4 3 4 2 4x x xpy A x e B x e C x e D- - -= + + +

e) ( )2 36 12 4 2cos 3tD x D x x t e t-+ + = + i- solution homogène ( ) 2 6 12D D Dj = + +

Les zéros de ( )Dj sont 3 3 i- ± . ( ) ( )( )31 2cos 3 sin 3t

hx e c t c t-= +

ii- solution particulière ( )34 2cos 3tFt t e t-= +

On pose ( ) ( )3 3 cos 3 sin 3t tpx At e Be C t D t- -= + + +

Il n’y a pas de conflit, donc c’est le bon candidat.


f) ( )2 3 34 3 2 3 5 7x x x xD D y e e x e x e- -- + = + + -

i- solution homogène ( ) 2 4 3D D Dj = - +

Les zéros de ( )Dj sont 1 et 3; 31 2

x xhy c e c e= +

ii- solution particulière ( ) 3 32 3 5 7x x x xF x e e x e x e- -= + + - .

On pose 3 2 3 3x x x x x x xpy Ae B x e C x e D xe E e F x e Ge- - - -= + + + + + +

Il y a deux conflits : A avec 1c et G avec 2c donc on multiplie le premier terme et les 2 derniers termes par x :

3 2 2 3 3x x x x x x xpy A x e B x e C x e D x e E e F x e G x e- - - -= + + + + + +

4.14-a) ( )2 16 5sin 2D y y x+ = , avec ( ) ( )0 2 et 0 1y y¢= = i- solution homogène ( ) 2 16D Dj = +

Les zéros de ( )Dj sont ±4i. ( ) ( )1 2cos 4 sin 4hy c x c x= + ii- solution particulière ( ) ( )5sin 2F x x= .

On pose ( ) ( )sin 2 cos 2py A x B x= + Il n’y a pas de conflit; on substitue dans l’É. D. et on obtient ( ) ( ) ( )12 sin 2 12 cos 2 5sin 2A x B x x+ =

donc 512

A = et 0B = , c’est-à-dire ( )5 sin 212py x=

( ) ( ) ( )1 25 sin 2 cos 4 sin 4

12gy x c x c x= + +

( ) 10 2y c= = , ( ) 2 25 10 4 16 24

y c c¢ = + = Þ =

( ) ( ) ( )5 1sin 2 2cos 4 sin 412 24

y x x x= + +


b) 2 36 9 5 xD y Dy y e- + = - i- solution homogène ( ) 2 6 9D D Dj = - +

Les zéros de ( )Dj sont 3 et 3. 3 31 2

x xhy c e c x e= +

ii- solution particulière ( ) 35 xF x e= - ; on pose 3x

py Ae=

Il y a un conflit : 1 avec x xAe c e Le zéro de ( )Dj impliqué dans ce conflit est un zéro double, donc il faut

multiplier par 2x : 2 3xpy A x e=

On substitue dans l’É. D. et on obtient

3 3 52 52

x xAe e A -= - Þ =

2 352

xpy x e-=

21 2

52

xgy c c x x eæ ö= + -ç ÷

è ø


c) ( ) ( ) ( )2 4 13 2sin 3 3cosD D y x x+ + = +

i- solution homogène ( ) 2 4 13D D Dj = + +

Les zéros de ( )Dj sont 2 3i- ± . ( ) ( )( )21 2cos 3 sin 3x

hy e c x c x-= + ii- solution particulière ( ) ( ) ( )2sin 3 3cosF x x x= + .

On pose ( ) ( ) ( ) ( )sin 3 cos 3 cos sinpy A x B x C x D x= + + + Il n’y a pas de conflit; on substitue dans l’É. D. et on obtient

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

12 4 cos 3 4 12 sin 3

12 4 cos 12 4 sin

2sin 3 3cos

A B x A B x

C D x D C x

x x

+ + - +

+ + -

= +

12 4 0, 4 12 2, 12 4 3, 12 4 0A B A B C D D C+ = - = + = - =

1 3 9 3, , ,20 20 40 40

A B C D-= = = =

( ) ( ) ( ) ( )1 3 9 3sin 3 cos 3 cos sin20 20 40 40py x x x x= - + +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )21 2

1 3 9 3sin 3 cos 3 cos sin20 20 40 40

cos 3 sin 3x

y x x x x

e c x c x-

= - + + +

+ +

d) 2 35 4 2 4 tD s D s s t e-+ + = - , avec ( ) ( )0 1 et 0 4s s¢= = - i- solution homogène ( ) 2 5 4D D Dj = + +

Les zéros de ( )Dj sont 4 et 1- - . 41 2

t ths c e c e- -= +

ii- solution particulière ( ) 32 4 tF t t e-= - .


On pose 3tps At B C e-= + +

Il n’y a pas de conflit; on substitue dans l’É. D. et on obtient ( ) 3 34 5 4 2 2 4t tAt A B C e t e- -+ + - = - 4 2A = , 5 4 0A B+ = , 2 4C- = -

1 5, , 22 8

A B C-= = =

31 5 22 8

tps t e-= - +

3 41 2

1 5 22 8

t t tgs t e c e c e- - -= - + + +

( ) 1 2110 18

s c c= + + = , ( ) 1 2110 4 42

s c c¢ = - - - = - 1 23 et 0

8c c-

Þ = =

( ) 3 41 5 322 8 8

t ts t t e e- -= - + -

e) ( )2 4 3cos 2D i i t+ = , avec ( ) ( )0 2 et 0 0i i¢= = i- solution homogène ( ) 2 4D Dj = + ; les zéros de ( )Dj sont ±2i. ( ) ( )1 2cos 2 sin 2hi c t c t= + ii- solution particulière ( ) ( )3cos 2F t t= .

On pose ( ) ( )cos 2 sin 2pi A t B t= +


Il y a un conflit à cause des fonctions trigonométriques; il faut multiplier par t. ( ) ( )cos 2 sin 2pi At t B t t= + On substitue dans l’É. D. et on obtient ( ) ( ) ( )4 cos 2 4 sin 2 3cos 2B t A t t- =

30 et 4

A B= =

( )3 cos 24pi t t=

( ) ( ) ( )1 23cos 2 sin 2 sin 24gi c t c t t t= + +

( ) 10 2i c= = , ( ) 2 20 2 0 0i c c¢ = = Þ =

( ) ( )32cos 2 sin 24

i t t t= +

f) ( )3 3 413 12 2 5x xD D y e e- -- - = -

i- solution homogène ( ) 3 13 12D D Dj = - - ;

les zéros de ( )Dj sont 3- , 1- et 4. 3 41 2 3

x x xhy c e c e c e- -= + +

ii- solution particulière ( ) 3 42 5x xF x e e- -= - .

On pose 3 4x xpy Ae Be- -= +

Le terme en 3xe- est en conflit; il faut le multiplier par x : 3 4x x

py A x e B e- -= + On substitue dans l’É. D. et on obtient 3 4 3 414 24 2 5x x x xAe B e e e- - - -- = -

114 27

A A= Þ = , 524 524

B B- = - Þ =


3 41 57 24

x xpy x e e- -= +

3 4 3 41 2 3

1 57 24

x x x x xy c e c e c e x e e- - - -= + + + +

g) 22 4 3 4 tD x Dx t e-+ = + , avec ( ) ( ) 10 0 et 04

x x -¢= =

i- solution homogène ( ) 22 4D D Dj = + ;

les zéros de ( )Dj sont 0 et 2- . 21 2

thx c e c-= +

ii- solution particulière ( ) 3 4 tF t t e-= + .

On pose tpx At B C e-= + +

B est en conflit avec 2c ; il faut multiplier At B+ par t :

2 tpx At B t C e-= + +

On substitue dans l’É. D. et on obtient ( )8 4 4 2 tAt A B C e-+ + - .

38 38

A A= Þ = , 34 4 08

A B B A B -+ = Þ = - Þ = , 2 4 2C C- = Þ = -

23 3 28 8

tpx t t e-= - -

2 21 2

3 3 28 8

t tgx c e c t t e- -= + + - -

( ) 1 20 2 0x c c= + - = , ( ) 113 10 28 4

x c -¢ = - = 1 215 17 et 16 16

c cÞ = =

2 215 17 3 3 216 16 8 8

t tx e t t e- -= + + - -


h) ( )3 2 44 8cos 2 4 xD y D y x e-+ = - i- solution homogène ( ) 3 24D D Dj = + ;

les zéros de ( )Dj sont 0, 0 et 4- . 41 2 3

xhy c c x c e-= + +

ii- solution particulière ( ) ( ) 48cos 2 4 xF x x e-= - .

On pose ( ) ( ) 4cos 2 sin 2 xpy A x B x C e-= + +

Le terme 4xC e- est en conflit avec 43

xc e- ; il faut donc multiplier ce terme par x :

( ) ( ) 4cos 2 sin 2 xpy A x B x C x e-= + +

On substitue dans l’É. D. et on obtient ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 416 8 cos 2 8 16 sin 2 16 8cos 2 4x xA B x A B x C e x e- -- - + - + = - . 16 8 8, 8 16 0, 16 4A B A B C- - = - = = -

2 1 1, ,5 5 4

A B C- - -Þ = = =

( ) ( ) 42 1 1cos 2 sin 25 5 4

xpy x x x e--= - -

( ) ( )4 41 2 3

2 1 1cos 2 sin 25 5 4

x xy c c x c e x x xe- -= + + - - -


i) ( ) ( )2 25 2 3sin 5D y x x+ = -

i- solution homogène ( ) 2 25D Dj = +

les zéros de ( )Dj sont ±5i. ( ) ( )1 2cos 5 sin 5hy c x c x= + ii- solution particulière ( ) ( )2 3sin 5F x x x= - .

On pose ( ) ( )sin 5 cos 5py A x B C x D x= + + + Les fonctions trigo sont en conflit; il faut les multiplier par x : ( ) ( )sin 5 cos 5py A x B C x x D x x= + + + On substitue dans l’É. D. et on obtient ( ) ( ) ( )25 25 10 cos 5 10 sin 5 2 3sin 5A x B C x D x x x+ + - = - .

225 225

A A= Þ = , 25 0 0B B= Þ = , 10 0 0C C= Þ = ,

310 310

D D- = - Þ =

( )2 3 cos 525 10py x x x= +

( ) ( ) ( )1 22 3cos 5 sin 5 cos 525 10

y c x c x x x x= + + +

j) ( )2 3 3 4 sin 2D y Dy y x+ + = - i- solution homogène

( ) 2 3 3D D Dj = + + ; les zéros de ( )Dj sont 3 32 2

i-± .


3

21 2

3 3cos sin2 2

xhy e c x c x


ii- solution particulière ( ) ( )4 sin 2F x x= - .

On pose ( ) ( )sin 2 cos 2py A B x C x= + + Il n’y a pas de conflit. On substitue dans l’É.D. et on obtient ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 6 sin 2 6 cos 2 4 sin 2A B C x B C x x+ - - + - = -

43 43

A A= Þ = , 1 66 1 et 6 0 et 37 37

B C B C B C- - = - - = Þ = =

( ) ( )4 1 6sin 2 cos 23 37 37py x x= + +

( ) ( )3

21 2

3 3 4 1 6cos sin sin 2 cos 22 2 3 37 37

xy e c x c x x x

- æ öæ ö æ ö= + + + +ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

k) ( ) ( ) ( )3 2sin 8cos 3D D y x x+ = - -

i- solution homogène ( ) 3D D Dj = +

Les zéros de ( )Dj sont 0 et ±i. ( ) ( )1 2 3cos sinhy c c x c x= + + ii- solution particulière ( ) ( ) ( )2sin 8cos 3F x x x= - - .

On pose ( ) ( )sin cospy A x B x C= + + Il y a un conflit avec les fonctions trigonométriques, et un conflit avec la

constante. Alors finalement on multiplie tout par x. ( ) ( )sin cospy A x x B x x C x= + + . On substitue dans l’É. D. et on obtient ( ) ( ) ( ) ( )2 sin 2 cos 2sin 8cos 3A x B x C x x- - + = - - 2 2 1, 2 8 4, 3A A B B C- = Þ = - - = - Þ = = - ( ) ( )4 cos sin 3py x x x x x= - -


( ) ( ) ( ) ( )sin cos 4 cos sin 3y A x B x C x x x x x= + + + - -

l) 2 26 5 2x

D y Dy y xe-

+ + = i- solution homogène

( ) 26 5 1D D Dj = + + ; les zéros de ( )Dj sont 12- et 1

3- .

321 2

xxhy c e c e

--= +

ii- solution particulière

( ) 22x

F x x e-

= .

On pose 2 2x x

py A x e B e- -

= +

Il y a un conflit : 2x

B e-

avec 21

xc e

-; il faut multiplier ce terme par x :

2 2 2x x

py A x e B x e- -

= + On substitue dans l’É. D. et on obtient

( )2 2 22 12 2x x x

A x e A B e x e- - -

- + - = 2 2 1A A- = Þ = - , 12 0 12A B B- = Þ = -

2 2 212x x

py x e x e- -

= - -

( )2 23 32 2 2 21 2 1 212 12

x xx x x xy x e x e c e c e c x x e c e

- -- - - -= - - + + = - - +

m) ( ) ( )2 36 7 3 sin 5xD D y e x-+ + =

i- solution homogène ( ) 2 6 7D D Dj = + + ;

les zéros de ( )Dj sont 3 2 et 3 2- + - - , deux racines réelles.


( ) ( )3 2 3 21 2

x xhy c e c e- + - -= +

ii- solution particulière ( ) ( )33 sin 5xF x e x-= .

On pose ( ) ( )3 3sin 5 cos 5x xpy Ae x B e x- -= +

Il n’y a aucun conflit. On substitue dans l’É. D. et on obtient ( ) ( ) ( )3 3 327 sin 5 27 cos 5 3 sin 5x x xAe x Be x e x- - -- - =

127 39

A A -- = Þ = , 27 0 0B B- = Þ =

( )31 sin 59

xpy e x--=

( ) ( ) ( )3 2 3 2 31 2

1 sin 59

x x xy c e c e e x- + - - -= + -

n) ( ) ( )2 26 7 3 sin 5xD D y e x-+ + =

i- solution homogène ( ) 2 6 7D D Dj = + + ; c’est le même polynôme que m).

les zéros de ( )Dj sont 3 2 1,586 et 3 2 4,414- + = - - - = -

( ) ( )3 2 3 2 1,586 4,4141 2 1 2

x x x xhy c e c e c e c e- + - - - -= + = +

ii- solution particulière ( ) ( )23 sin 5xF x e x-= .

On pose ( ) ( )2 2sin 5 cos 5x xpy Ae x B e x- -= +

Il n’y a aucun conflit. On substitue dans l’É. D. et on obtient ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 226 10 sin 5 10 26 cos 5 3 sin 5x x xA B e x A B e x e x- - -- - + - = . 26 10 3, 10 26 0A B A B- - = - =

39 150,1005, 0,0387388 388

A B- -= = - = = -

( ) ( )2 20,1005 sin 5 0,0387 cos 5x xpy e x e x- -= - -

( ) ( )1,586 4,414 2 21 2 0,1005 sin 5 0,0387 cos 5x x x xy c e c e e x e x- - - -= + - -


( ) 1 20 2 0x c c= + - = , ( ) 113 10 28 4

x c -¢ = - = 1 215 17 et 16 16

c cÞ = =

2 215 17 3 3 216 16 8 8

t tx e t t e- -= + + - -

o) 23 2 2sin6

D y Dy y x pæ ö+ + = -ç ÷è ø

i- solution homogène ( ) 2 23 2 1D D Dj = + + ;

les zéros de ( )Dj sont 1 23 3

i-± .

31 2

2 2cos sin3 3

xhy e c x c x



( ) ( ) ( )2sin 3 sin cos6

F x x x xpæ ö= - = -ç ÷è ø

.

On pose ( ) ( )sin cospy A x B x= + Il n’y a aucun conflit. On substitue dans l’É. D. et on obtient ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 sin 2 2 cos 3 sin cosA B x A B x x x- - + - = - .

2 2 3, 2 2 1A B A B- - = - = -

1 3 1 3,4 4

A B- - -Þ = =

( ) ( )1 3 1 3sin cos4 4py x x- - -

= +

( ) ( )31 2

2 2 1 3 1 3cos sin sin cos3 3 4 4

xy e c x c x x x

- æ öæ ö æ ö + -= + - +ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø


p) 3 2 23

3 15 2 32

xxD y D y Dy y e

e-

-+ - + = -

i- solution homogène ( ) 3 25 2 3D D D Dj = + - +

les zéros de ( )Dj sont 5, 4663- et 0, 2331 0,7032i± , une racine réelle et deux complexes. On peut le dire, juste des beaux chiffres...

( ) ( )( )5,4663 0,23311 2 3cos 0,7032 sin 0,7032x x

hy c e e c x c x-= + + ii- solution particulière

( ) 2 3 23

3 1 132 2

x x xxF x e e e

e- -

-= - = - .

On pose 3 2x xpy Ae B e-= +

Sans surprise, il n’y a pas de conflit. On substitue dans l’É. D. et on obtient

3 2 3 2169 19 32

x x x xAe B e e e- -+ = - .

169 323

A A= Þ = , 1 1192 38

B B- -= Þ =

3 21 123 38

x xpy e e-= -

( ) ( )( )5,4663 0,2331 3 21 2 3

1 1cos 0,7032 sin 0,703223 38

x x x xy c e e c x c x e e- -= + + + -



Section 4.5.2 : variation des paramètres

4.15-a) ( )( )

2 cossin

xD y y

x+ =

i- solution homogène ( ) 2 1D Dj = + .

les zéros de ( )Dj sont ±i.

( ) ( )1 2cos sinhy c x c x= + ii- solution particulière

( ) ( )( )

cossin

xF x

x= .

On pose ( ) ( )1 2cos sinpy L x L x= +

On résout le système ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1 2

1 2

cos sin 0cos

sin cossin

L x L xx

L x L xx

ì ¢ ¢+ =ïí ¢ ¢- + =ïî

( )1 cosL x¢ = - et ( )( )

2

2cossin

xL

x¢ =

On intègre pour avoir ( )1 sinL x= - et ( ) ( )( )2

sincos ln

cos 1x

L xx

æ ö= + ç ÷ç ÷+è ø

( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

sin ln cos 1 ln sin

sinsin ln

cos 1

py x x x

xx

x

= - + -

æ ö= ç ÷ç ÷+è ø


( ) ( ) ( ) ( )( )1 2

sincos sin sin ln

cos 1x

y c x c x xx

æ ö= + + ç ÷ç ÷+è ø

b) ( )2 24 3 xD y x e-- =

i- solution homogène ( ) 2 4D Dj = - .

les zéros de ( )Dj sont ±2.

2 21 2

x xhy c e c e-= +

ii- solution particulière ( ) 23 xF x x e-= .

On pose 2 21 2

x xpy L e L e-= +

On résout le système 2 2

1 2

2 2 21 2

0

2 2 3

x x

x x x

L e L e

L e L e x e

-

- -

ì ¢ ¢+ =ïí

¢ ¢- =ïî

41

34

xL x e-¢ = et 23

4L x-¢ =

On intègre pour avoir 41

3 316 64

xL x e--æ ö= -ç ÷è ø

et 22

38

L x-=

2 2 23 3 316 64 8

x xpy x e x e- --æ ö= - -ç ÷

è ø

Notez que le terme 2364

xe-- n’est pas nécessaire dans py puisqu’il sera

« avalé » par 22

xc e- de cy .


2 2 2 2 21 2

3 316 8

x x x xy c e c e x e x e- - -= + - -

c) ( )2 36 9 4 lnxD y D y y e x-+ + =

Notez que l’indication 0x > est là seulement pour nous dire que ( )ln x existe. i- solution homogène ( ) 2 6 9D D Dj = + + .

les zéros de ( )Dj sont 3- , 2 fois.

3 31 2

x xhy c e c xe- -= +

ii- solution particulière ( ) ( )34 lnxF x e x-= .

On pose 3 31 2

x xpy L e L x e- -= +


3 31 2

3 3 31 2

0

3 3 1 4 ln

x x

x x x

L e L x e

L e x L x e e x

- -

- - -

ì ¢ ¢+ =ïí

¢ ¢- + - =ïî

( )1 4 lnL x x¢ = et ( )2 4lnL x¢ =

On intègre pour avoir ( )( )21 1 2lnL x x= - et ( )( )2 4 ln 1L x x= -

( )( )2 3 2ln 3xpy x e x-= -

( )( )3 3 2 31 2 2ln 3x x xy c e c x e x e x- - -= + + -

d) 2 23 21 tD x x x

e+ + =

+

i- solution homogène ( ) 2 3 2D D Dj = + + .

les zéros de ( )Dj sont 2 et 1- - .

21 2

t thx c e c e- -= +



( ) 21 tF t

e=

+.

On pose 21 2

t tpx L e L e- -= +

On résout le système 2

1 2

21 2

022

1

t t

t tt

L e L e

L e L ee

- -

- -

ì ¢ ¢+ =ïí ¢ ¢- - =ï

+î

2

12

1

t

teLe

-¢ =+

et 22

1

t

teL

e¢ =

+

On intègre pour avoir ( )( )1 2 ln 1t tL e e= + - et ( )2 2ln 1tL e= +

( ) ( )22 ln 1 2t t t tpx e e e e- - -= + + -

Notez que le terme 2 te-- n’est pas nécessaire dans px puisqu’il sera

« avalé » par 2tc e- de cx .

( ) ( )2 21 2 2 ln 1t t t t tx c e c e e e e- - - -= + + + +

e) 2 42 8 3 2xD y Dy y e-+ - = + i- solution homogène ( ) 2 2 8D D Dj = + - .

les zéros de ( )Dj sont 4- et 2.

4 21 2

x xhy c e c e-= +

ii- solution particulière ( ) 43 2xF x e-= + .


On pose 4 21 2

x xpy L e L e-= +


1 2

4 2 41 2

0

4 2 3 2

x x

x x x

L e L e

L e L e e

-

- -

ì ¢ ¢+ =ïí

¢ ¢- + = +ïî

( )4

1

2 3

6

xeL

- +¢ = et

( )6 4 2 6

2

2 3 2 36 6

x x x xe e e eL- - -+ +¢ = =


1 112 2

xL e x-= - et 2 6

21 1

6 12x xL e e- --

= -

41 1 12 12 4

xpy x e--æ ö= - -ç ÷

è ø


xe-- n’est pas nécessaire dans py puisqu’il sera

« avalé » par 41

xc e- de cy .

4 2 41 2

1 12 4

x x xy c e c e x e- -= + - -

f) ( ) ( )2 24 sinD y x+ =

i- solution homogène ( ) 2 4D Dj = + .

les zéros de ( )Dj sont ±2i.

( ) ( )1 2cos 2 sin 2hy c x c x= + ii- solution particulière


( ) ( ) ( )2 1 1sin cos 22 2

F x x x= = - .

On pose ( ) ( )1 2cos 2 sin 2py L x L x= +


( ) ( ) ( )1 2

1 2

cos 2 sin 2 01 12 sin 2 2 cos 2 cos 22 2

L x L x

L x L x x

ì ¢ ¢+ =ïí ¢ ¢- + = -ïî

( ) ( )( )

1sin 2 cos 2 1

4x x

L× -¢ = et

( ) ( )( )2

cos 2 cos 2 14

x xL

- × -¢ =

On intègre pour avoir ( )( )2

1cos 2 1

16x

L- -

= et

( ) ( ) ( )( )( )2

sin 2 cos 2 2 sin 2

16

x x x xL

- - -=

( ) ( ) ( )21 1sin sin cos4 4py x x x x= -

Sur la calculatrice, on a demandé tExpand pour raccourcir la réponse, parce que sinon c’est un peu épeurant...

Maintenant on va utiliser des identités trigonométriques pour arriver à la première réponse qui est donnée dans le livre :

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1 1cos 2 sin 24 2 2 4 2

1 1 1cos 2 sin 28 8 8

py x x x

x x x

æ ö æ ö= - -ç ÷ ç ÷è ø è ø

= - -


Notez que le deuxième terme de cette dernière expression, ( )1cos 28

x- n’est

pas nécessaire dans py puisqu’il sera « avalé » par ( )1 cos 2c x de cy .

Donc ( )1 1 sin 28 8py x x= - , comme ce qui est donné à la première réponse des

notes de cours.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

21 2

1 2

1 1cos 2 sin 2 sin sin cos4 4

1 1cos 2 sin 2 sin 28 8

y c x c x x x x x

c x c x x x

= + + -

= + + -

g) ( )2 2 39 36 xD y x e-- =

i- solution homogène ( ) 2 9D Dj = - .

les zéros de ( )Dj sont ±3.

3 31 2

x xhy c e c e-= +

ii- solution particulière ( ) 2 336 xF x x e-= .

On pose 3 31 2

x xpy L e L e-= +


1 2

3 3 2 31 2

0

3 3 36

x x

x x x

L e L e

L e L e x e

-

- -

ì ¢ ¢+ =ïí

¢ ¢- =ïî

2 61 6 xL x e-¢ = et 2

2 6L x¢ = -

On intègre pour avoir ( )2 6

1

18 6 1

18

xx x eL

-- + += et 3

2 2L x= -


3 2 31 123 18

xpy x x x e-æ ö= - - - -ç ÷

è ø

C’est bien sûr que le terme 3118

xe-- n’est pas nécessaire dans py puisqu’il

sera « avalé » par 32

xc e- de cy .

3 3 3 2 31 2

123

x x xy c e c e x x x e- -æ ö= + - + +ç ÷è ø

h) 2 32 3 4 tD i Di i e-+ + = i- solution homogène ( ) 22 3 1D D Dj = + + .

les zéros de ( )Dj sont 1 et 12- - .

21 2

t thi c e c e

- -= + ii- solution particulière Pour trouver la solution particulière avec la méthode de variation des

paramètres, il faut que le coefficient dominant soit 1. Donc on divise l’équation par 2. Ça ne change pas la solution homogène du tout, et ça permet de suivre la méthode qu’on connaît.

2 33 1 22 2

tD i Di i e-+ + =

( ) 32 tF t e-= .

On pose 21 2

t tpi L e L e

- -= +

On résout le système 2

1 2

321 2

0

1 22

tt

tt t

L e L e

L e L e e

--

-- -

ì¢ ¢+ =ïï

íï ¢ ¢- - =ïî

52

1 4t

L e-

¢ = et 22 4 tL e-¢ = -


18

5

t

L e-

-= et 2

2 2 tL e-=

325

tpi e-=


32

1 225

t t ti c e c e e- - -= + +

i) ( )2 2 lnD y D y x+ - = i- solution homogène ( ) 2 2D D Dj = + - .

les zéros de ( )Dj sont 2- et 1.

21 2

x xhy c e c e-= +

ii- solution particulière ( ) ( )lnF x x= .

On pose 21 2

x xpy L e L e-= +

On résout le système ( )

21 2

21 2

0

2 ln

x x

x x

L e L e

L e L e x

-

-

ì ¢ ¢+ =ïí

¢ ¢- + =ïî

( )21

1 ln3

xL e x-¢ = et ( )21 ln3

xL e x-¢ =

On intègre : ( )21

1 ln3

xL e x dx-= ò (ça ne s’intègre pas...)

et ( )21 ln3

xL e x dx-= ò ne s’intègre pas non plus.


Donc ( ) ( )2 21 1ln ln

3 3x x x x

py e e x dx e e x dx- -= -ò ò

( ) ( )2 2 21 2

1 1ln ln3 3

x x x x x xy c e c e e e x dx e e x dx- - -= + + -ò ò

4.16 ( )2 216 12cosD x x t+ = , avec ( ) ( )0 1 et 0 4x x¢= = i- solution homogène ( ) 2 16D Dj = + .

les zéros de ( )Dj sont ±4i.

( ) ( )1 2cos 4 sin 4hx c t c t= + ii- solution particulière ( ) ( ) ( )212cos 6 6cos 2F t t t= = + .

On pose ( ) ( )1 2cos 4 sin 4px L t L t= +


( ) ( ) ( )1 2

1 2

cos 4 sin 4 0

4 sin 4 4 cos 4 6 6cos 4

L t L t

L t L t t

ì ¢ ¢+ =ïí

¢ ¢- + = +ïî

( ) ( )( )

13sin 4 cos 2 1

2t t

L- × +¢ = et

( ) ( )( )2

3cos 4 cos 2 12

t tL

× +¢ =

On intègre pour avoir ( ) ( ) ( )( )

1cos 6 3 cos 4 cos 2

8t t t

L+ +

= et

( ) ( ) ( )( )2

sin 6 3 sin 4 sin 28

t t tL

+ +=

( )2 1cos8px t= -


( ) ( ) ( )2

1 21cos 4 sin 4 cos8gx c t c t t= + + -

( ) 1 1

7 150 18 8

x c c -= + = - Þ =

( ) 2 20 4 4 1x c c¢ = = Þ =

( ) ( ) ( ) ( )215 1sin 4 cos 4 cos8 8

x t t t t= - + -

4.17 ( )22 2

2 2 1 lnD y D y y xx x x

- + =

i- solution homogène La solution homogène est donnée : 2

1 2hy c x c x= + ii- solution particulière


( ) ( )21 lnF x xx

= .

On pose 21 2py L x L x= +

On résout le système ( )

21 2

1 2 2

0ln

2

L x L xx

L x Lx

ì ¢ ¢+ =ïí

¢ ¢+ =ïî

( )1 3

ln xL

x¢ = et ( )

2 2ln x

Lx

-¢ =

On intègre pour avoir ( )1 2 2

ln 12 4

xL

x x-

= - et ( )2

ln 1xL

x+

=

( )ln 32 4px

y = +

( )21 2

1 3ln2 4

y c x c x x= + + +

4.18 y P y Q y R¢¢ ¢+ + = On sait que 1 2 et u u sont solutions de l’équation homogène, c’est-à-dire que

1 1 1 0u Pu Qu¢¢ ¢+ + = (remarque 1)

et 2 2 2 0u Pu Qu¢¢ ¢+ + = (remarque 2) On pose 1 1 2 2py L u L u= × + × . Et on calcule ses dérivées pour pouvoir remplacer dans l’équation différentielle : 1 1 1 1 2 2 2 2py L u L u L u L u¢ ¢ ¢ ¢ ¢= + + + C’est lourd; et ça ne se simplifiera pas avec la deuxième dérivée. Or, on sait qu’on

aura seulement une équation à satisfaire, quand on remplacera dans l’équation; et on


a 2 inconnues, 1 2 et L L . Donc on a le choix d’ajouter une condition, à notre choix. La bonne condition à ajouter servira à alléger les dérivées.

On impose 1 1 2 2 0L u L u¢ ¢+ = . Ce sera la première équation du système d’équations.

On a donc obtenu que 1 1 2 2py L u L u¢ ¢ ¢= + , et on peut maintenant calculer la dérivée

seconde : 1 1 1 1 2 2 2 2py L u L u L u L u¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢= + + + . Remplaçons dans l’équation différentielle :

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2

1 2

:

:

:

p

p

p

y L u L u L u L u

P y P L u P L u R

Q y Qu Qu

ü¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢+ + +ïï¢ ¢ ¢× + =ýï× + ïþ

Additionnons, en colonnes :

( ) ( )1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2L u L u P u Q u L u L u P u Q u R¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢+ × + + + + × + + =

On reconnaît, entre parenthèses sur cette dernière ligne, les remarques 1 et 2 que nous avions établies au tout début : ces expressions sont nulles!

Il reste donc 1 1 2 2L u L u R¢ ¢ ¢ ¢+ = ; c’est la deuxième équation de notre système. En définitive, on a montré qu’il faudra résoudre le système d’équations

1 1 2 2

1 1 2 2

0L u L u

L u L u R

ì ¢ ¢+ =ïí

¢ ¢ ¢ ¢+ =ïî à condition que le coefficient de y¢¢ soit 1.

4.19 3 22 2 xD y D y D y y e- - + = i- solution homogène ( ) 3 22 2D D D Dj = - - + .

les zéros de ( )Dj sont 2 et ±1.

21 2 3

x x xhy c e c e c e-= + +

ii- solution particulière ( ) xF x e= .

On pose 21 2 3

x x xpy L e L e L e-= + +

On résout le système

21 2 3

21 2 3

21 2 3

0

2 0

4

x x x

x x x

x x x x

L e L e L e

L e L e L e

L e L e L e e

-

-

-

ì ¢ ¢ ¢+ + =ïï ¢ ¢ ¢- + + =íï

¢ ¢ ¢+ + =ïî


2

116

xL e¢ = , 21

2L -¢ = et 3

13

xL e-¢ =


112

xL e= , 21

2L x-

= et 31

3xL e--¢ =

1 12 4

x xpy x e e-= -


xe- n’est pas nécessaire dans py puisqu’il sera

« avalé » par 2xc e de cy .

( ) ( )2 21 2 2 ln 1t t t t tx c e c e e e e- - - -= + + + +



Exercices d’enrichissement

Étant donné que ce sont des exercices d’enrichissement, je ne donne pas les solutions détaillées. Je donne la façon de débuter la résolution, la réponse; et c’est à peu près tout.

Bon travail!

4.20-a) y P y Q y R¢¢ ¢+ + = On sait que 1 1 2 2hy c u c u= × + × On pose donc 1 1 2 2py L u L u= × + ×

Il faut résoudre le système 1 1 2 2

1 1 2 2

0L u L u

L u L u R

ì ¢ ¢+ =ïí

¢ ¢ ¢ ¢+ =ïî avec Cramer.

On obtient 21

u RL dxW-

= ò et 12

u RL dxW

= ò

donc 2 11 2p

u R u Ry dx u dx uW W-æ ö æ ö= × + ×ç ÷ ç ÷

è ø è øò ò

b) C’est ce que nous enregistrons sur notre calculatrice :

c) Testons notre fonction solvar avec a), b), c) et d) de 4.15 :

Ce sont les mêmes réponses que nous avions obtenues en résolvant avec m1p et

m2p.

4.21- 2 0x y a x y b y¢¢ ¢+ + = Avec zx e= , il faut calculer les dérivées en termes de z.

On obtient zdy dyedx dz

-= et 2 2

22 2

zd y dy d yedzdx dz

- æ ö= - +ç ÷ç ÷

è ø.

On remet tout ça dans notre équation.


4.22-a) 2 4 6 0x y x y y¢¢ ¢- + =

On pose zx e= , ce qui transforme l’équation : 2

2 5 6 0d y dy ydzdz

- + =

2 31 2

z zy c e c e= +

Donc 2 31 2y c x c x= +

b) 2 9 0x y x y y¢¢ ¢+ + =


2 9 0d y ydz

+ =

( ) ( )1 2cos 3 sin 3y c z c z= +

Donc ( )( ) ( )( )1 2cos 3ln sin 3lny c x c x= +

c) 2 3 0x y x y y¢¢ ¢- - =


2 2 3 0d y dy ydzdz

- - =

31 2

z zy c e c e-= +

Donc 312

cy c xx

= +

d) 2 0x y y¢¢ + =


2 0d y dy ydzdz

- + =

21 2

3 3cos sin2 2

zy e c z c z

æ öæ ö æ ö= +ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

Donc ( ) ( )1 23 3cos ln sin ln

2 2y x c x c x

æ öæ ö æ ö= +ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

e) 1 12 2 29x y x y y x x

-¢¢ ¢+ - = +

i- solution homogène


2 9 0d y ydz

- =

3 31 2

z zhy c e c e-= +

3 21 3h

cy c xx

= +



( )1 1

2 2

2x xF x

x

-+

= puisqu’il faut que le coefficient dominant soit 1.

On pose 3 21 3p

Ly L xx

= +

On trouve ( )4 1

35px

yx

- +=

( )3 2

1 34 135

xcy c xx x

+= + -

4.23- 2 0x y a x y b y¢¢ ¢+ + = On substitue my x= dans l’équation; on ontient ( )1 0m m mm m x a m x b x× - × + × × + × =

Donc ( )2 20 1 0m m a m b m a m b- + + = Þ + - × + = . Il suffit donc de trouver les racines de ce dernier polynôme; appelons-les 1 2 et m m .

La solution sera 1 21 2

m my c x c x= + .

a) 2 4 6 0x y x y y¢¢ ¢- + = Ici on a 4 et 6a b= - = : il suffit de trouver les racines de 2 5 6m m- + , qui sont 2 et

3. La solution est donc bel et bien 2 31 2y c x c x= + .

b)i- Si 1 21

2am m -

= = , ça veut dire que le discriminant ( )21 4 0a b- - = , donc

( )214

ab

-= .

En posant zx e= , on finit par trouver qu’il faut multiplier le deuxième terme par ( )ln x si on a une racine double : ( )1 2 lnm my c x c x x= + × .

ii- Si les racines sont complexes, disons 1 2 et m r s i m r s i= + × = - × , alors on obtient

1 2r s i r s iy k x k x+ -= + .

Écrivez ( ) ( ) ( )( ) ( )( )ln ln cos ln sin lnix i xix e e x i x

qqq q q× = = = + ×

On arrive à ( )( ) ( )( )( )1 2cos ln sin lnry x c s x c s x= × × + × × .

4.24-a) 1y y¢¢ ¢× = . Il manque la variable y.

On pose y p¢ = , ce qui transforme l’équation : 1 ou 1dpp p pdx

¢ × = × =


La solution est ( )3

21 2

1 23

y x c c±= + +

b) ( )siny y¢¢ = , avec ( ) ( )0 et 0 02y yp ¢= = .

Ici il manque la variable x.

On pose y p¢ = , ce qui permet de transformer l’équation : ( )sindpp ydy

= .

La solution est ( )

2

2 12 cos

y

x dzzp

± = ×-ò .

D’où vient le ±?

Avec la dérivation implicite, on a vérifié que le « ± » est justifié:

c) 12 0x y yy

¢¢ ¢- + =¢

, avec ( ) ( )1 2 et 1 3y y¢= = .

Il manque la variable y. On pose y p¢ = , ce qui transforme l’équation :

12 0x p pp

¢ - + = .

( )3

21 11 812 4

y x= + -


Nspire se trompe : il n’y a qu’une seule solution qui satisfasse les conditions

initiales.

d) ( )21y y¢¢ ¢= + , avec ( ) ( )0 1 et 0 0y y¢= = . Il manque la variable y. On pose y p¢ = , ce qui transforme l’équation :

21p p¢ = + .

12

1

12 2

x xcy e e cc

-= + +

Évaluons 1c : 2

0 01 11

1

110 12 2 2c ce e c

c- -

= - = Þ = ± ...

Ensuite on trouve la valeur de 2c , puis on vérifie qu’on a trouvé une solution satisfaisant les conditions initiales.

Finalement, la solution est ( )coshy x=

Nspire a raison. RETOUR AU DÉBUT DU CHAPITRE 4

1- a) ()4.7-puisque y 1 est solution de cette équation, alors y pxy qxy 1 11¢¢¢+ +=() 0. on pose...

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