1 algebra de boole
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Algebra de BooleTeoría matemática desarrollada por el filósofo y matemático
Británico, George Boole en el año 1854. 0 y 1
Todos los elementos que contempla el álgebra de Boole, constantes y variables sólo admiten dos estados.
Así, un interruptor puede estar "abierto" o "cerrado", un relé eléctrico admite estar "activado" o "desactivado", un diodo semiconductor, "conduciendo" o "bloqueado”.
Debe notarse que los elementos 0 y 1 no representan números enteros, sino más bien alguna condición física del sistema. La posibilidad de que todos los elementos sólo admitan dos estados ha llevado a llamarla "álgebra binaria“.
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Algebra de BooleEn 1938, Claude Shannon, sugirió que el A.B. podría usarse para resolver problemas de diseño de circuitos de conmutación.
Las variables y constantes binarias de entrada y salida se suelen expresar con las letras del alfabeto.
Sus operaciones se expresan con signos muy similares a los empleados en las operaciones matemáticas clásicas, como la suma y la multiplicación.
Diferencia.El álgebra clásica establece relaciones cuantitativas.El álgebra de Boole establece relaciones de tipo lógico.
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Algebra de Boole
En el álgebra de Boole se pretende conocer en cuál de los dos estados posibles se halla uno de los términos de una ecuación lógica.
Operaciones básicas en AB:
▪ OR -- O SUMA ▪ NOR -- NO OR
▪ AND -- Y PRODUCTO ▪ NAND -- NO AND
▪ NOT -- NEGACIÓN ▪ XOR –- OR Exclusiva
▪ XNOR -- NOR Exclusiva
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puerta lógicaUna puerta lógica es un elemento eléctrico simple, quetoma una o más entradas y genera una salida cuyo valordepende de los valores de entradas.
Una tabla de verdad de la puerta define cuál será elresultado de la salida para cada combinación de entradas.Los valores de entrada y salida son representadosmediante voltajes.
Típicamente, 5 volts representa un 1y 0 volts representa un 0.
B A S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
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puerta OR
Cuando distintas variables lógicas se combinan mediante la
función OR, el resultado toma el estado ALTO (1) si alguna de
ellas tiene dicho estado. S = A + BB A A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1implementación eléctrica de la función OR
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puerta OR
+Vcc
-Vcc
TTL
CMOS
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puerta AND
Cuando varias variables lógicas, de tipo binario, se combinan
mediante la operación lógica AND, producen una variable de
salida, que sólo toma el nivel lógico 1, si todas ellas tienen dicho
nivel. S = A ·B
Implementación eléctrica de la función AND
B A A*B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
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CMOS
TTL
puerta AND
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puerta NOT
En la operación NOT, la salida «niega» la entrada, es decir la
salida será lo contrario que la entrada.
X = A
Entrada Salida
A X
A = 0 X = 1 A =1 X= 0
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• El orden de las variables en la operación OR es indiferente:Ley conmutativa de la suma para dos variables A+B = B+A
A + (B + C) = (A + B) + C
• El orden de las variables en la operación AND es indiferente:Ley conmutativa de la multiplicación para dos variables AB = BA
A(BC) = (AB)C
• Ley distributiva para tres variablesA(B + C) = AB + AC
Factor común
Leyes ConmutativasLeyes Conmutativas
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Leyes Conmutativas
• Ley distributiva para tres variables
(A B) + C = (A+C) ( B+C)
Sumando común
• • • •
• •
• • • •
• • • •
BA
C
A B
CC
Hacer la comprobación
mediante la tabla de verdad
A B C A.B (A.B)+C A+C B+C (A+C)(B+C)
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
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A + 0 = A A + A = A
A + 1 = 1 A + A = 1
A · 0 = 0 A · A = A
A · 1 = A A · A = 0
A = A
Reglas básicas
Hacer la comprobaciónmediante interruptores
Simplificar las siguientes expresiones aplicando la propiedad distributiva.
1.- A + AB = ?
2.- A · (A+B) = ?
3.- A + A ·B = ?
4.- (A+B) · B = ?
5.- (A+B) ·(A+B) = ?
6.- (A·B)+(A·B) = ?
7.- (A+B) ·(A+C) = ?
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Ejercicios:
1º Construir mediante interruptores, el cto. correspondiente a las siguientes funciones
F1 = a · b + a · b
F2 = (a · b · c + a · c) ·d
F3= llaves combinadas
F4= Dar la función y el esquema de interruptores para la selección automática
de ingenieros técnicos en una empresa, debiendo cumplir los siguientes requisitos:
1º poseer el titulo académico con al menos 2 años de antigüedad
2º ó no titulados, pero con 5 años de experiencia en la industria
3º recomendados.
2º Representar la tabla de verdad de cada una de las funciones anteriores.
3º Dibujar el esquema lógico de las funciones.
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Teorema de Morgan
La inversa de una suma lógica es = al producto lógico de las inversas de las variables
A+B = A · B A+B+C = A · B · C
La inversa de un producto lógico es = a la suma lógica de las inversas de las variables
A · B = A + B A · B · C = A + B + C
Se demuestran con la tabla de verdad
Ejercicios:
M = [(a+b+c) ·d]+e M = ?
X = [(a+b)+ c + a] · (b + d) X = ?
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Formas canónicas de las expresiones algebraicas
Una función está en forma CANÓNICA cuando cada sumando o cada producto secompone de todas las variables.
1ª FC: Suma de Productos (1)
2ª FC: Producto de Sumas (0)
Ejercicio:
Expresar la siguiente función en sus formas canónicas:
F =(a · b ·c) + (a · c) + (a · b) + c
C B A F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
F1 = ?
F2 = ?
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puerta NOR (NO-OR)
F= A+BA B F
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
7402
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puerta NAND (NO-AND)
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
F=A·B
7400
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puerta XOR (OR-EXCLUSIVA)
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
F= A + B
7486
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puerta XNOR (COINCIDENCIA)
A B F
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
F= A + B
747266
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Ejercicios:
Resolver los ejercicios 1, 2, 3 aplicando en todos ellos el siguiente procedimiento:
1º.- Obtener la tabla de la verdad
2º.- Obtener las ecuaciones lógicas
3º.- Simplificar las ecuaciones
4º.- Dibujar el esquema lógico con un solo tipo de puerta.
1- Coincidencia de 3 variables
2- Diseñar el cto. Lógico para la activación de una lámpara empleando 3 interruptores,
de forma que se active solamente cuando este accionado un solo interruptor ó los 3
simultáneamente.
3- Para trasladarse desde un punto hasta otro de una gran ciudad existen varias
combinaciones:
- Enlazar las líneas 1 y 2 del metro
- Elegir la línea A de autobuses y a continuación la B de autobuses
- Coger 1º la línea A de autobuses y luego la 2 del metro
En todo caso será necesario disponer del bono de transportes
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Ejercicios:
4- Implementar con puertas NAND de 2 entradas las siguientes funciones
F1 = a · b · c + a · b · c
F2 =( a + b) · (a + b + c)
5- Implementar con puertas NOR de 2 entradas las siguientes funciones
F1 = a · b · c · a · c
F2 =( a + b) · (a + b + c)