1 analisis de estructuras isostaticas planas

Enrique Ramírez Valverde

ANÁLISIS DE ESTRUCTURASISOSTÁTICAS PLANAS

i. V.

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Cien tíficosj

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD ALIONÓME DE Pi E B L A

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS

Enrique Ramírez Valverde

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLADirección General de Fomento Editorial

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLAEnrique Dóger GuerreroRectorGuillermo Nares RodríguezSecretario GeneralRigoberto Bcnítez TrujilloVicerrector de Extensión y Difusión de ¡a CulturaVíctor Espíndola CabreraDirector Editorial

Primera edición, 2000ISBN: 968 863 426 3

©Benemérita Universidad Autónoma de PueblaDirección General de Fomento EditorialAv. Juan de Palafox y Mendoza 406Teléfono y fax 2 29 55 00 ext. 5768Puebla, Pue.

Impreso y hecho en MéxicoPrinted and made in México

índice

Capítulo I. Introducción. Análisis Cinemático de los Sistemas.Grado de Hiperestaticidad de una Estructura 9

1.1 Objeto y alcance del libro 9

1.2 Distintos tipos de sistemas

1.3 Análisis cinemático de los sistemas 13

1.4 Grado de hiperestaticidad de una estructura 20

Capítulo II. Análisis de armaduras 27

2.1 Definición

2.2 Análisis cinemático 27

2.3 Métodos de análisis estático de armaduras 29

2.4 Armaduras de configuración racional 42

Capítulo I I I . Líneas de influencia 47

3.1 Definición 47

3.2 Líneas de influencia en vigas 48

3.3 Líneas de influencia en armaduras 60

3.4 Utilización de las líneas de influencia 67

Capítulo IV. Arcos y pórticos isostáticos 81

4.1 Introducción 81

4.2 Análisis de arcos Inarticulados sometidos a cargas estáticas

4.3 Análisis de arcos inarticulados, con cargas móviles 92

4.4 Análisis de pórticos isostáticos 103

Capítulo V. Teoría de los desplazamientos 115

5.1 Introducción 115

5.2 Teoremas energéticos basados en el principio de trabajo virtual 126

5.3 Teoremas energéticos basados en el principio del trabajo virtualcomplementario 132

5.4 Teoremas de Reciprocidad 135

5.5 Cálculo de desplazamientos 137

Bibliografía 157

Capítulo I

Introducción.Análisis cinemático de los sistemas.Grado de hiperestaticidad de unaestructura

1.1 Objeto y alcance del libro

1.1.1 Ubicación del análisis en el proceso de construcción de unaestructura

Antes de llegar a la construcción de una estructura, construcción que surgea partir de una necesidad, ya sea ésta social o particular, hay que dar unaserie de pasos. Los más importantes son los siguientes:

En primer lugar está el proyecto, en el que se trata de dar respuesta a lasnecesidades planteadas.

A continuación hay que proceder al análisis de dicho proyecto. En estaetapa se calculan las acciones interiores, momentos Héctores, fuerzas cor-tantes, fuerzas axiales y otras que las solicitaciones (cargas, asentamientosde apoyos, efectos de temperatura, viento, sismo, etc.) originarán en laestructura.

[9]

lü INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO

Pero entre el proyecto y el análisis hay otro paso de suma importancia:en él se establece el esquema de análisis. Aquí se definen los elementosestructurales constituyentes, las cargas y otras solicitaciones que deba so-portar la estructura, las características de los materiales con que se va aconstruir, las condiciones de apoyos y unión entre los elementos, etc.

Una vez que se ha definido el esquema de análisis, se procede al análisispropiamente dicho de la estructura y posteriormente al diseño, etapa en laque se calculan las dimensiones que deben tener los elementos que formanla estructura, tomando en cuenta las propiedades de los materiales, necesi-dades arquitectónicas, etc.

Finalmente se pasa a la construcción de la estructura.

1.1.2 Alcance del libro

Atendiendo a la geometría de los elementos que forman una estructura, sedice que ésta está compuesta de elementos lineales, de superficie o de vo-lumen. Son elementos lineales aquellos en los que una de las dimensiones(la longitud) es mucho mayor que las otras dos. Estos elementos tienen laventaja de que para su análisis pueden representarse por su eje (caso de lasvigas y columnas).

Son elementos de superficie aquellos en los que dos de las dimensionesson mucho mayores que la tercera, como es e! caso de las placas y cascarasdelgadas. En ellos el análisis puede realizarse representando al elementopor su plano medio, lo cual facilita el trabajo.

Finalmente, en los elementos de volumen, las tres dimensiones son com-parables y no puede hacerse ninguna simplificación, como es el caso de laslosas de gran espesor.

Atendiendo a las conexiones entre los elementos y a la unión del conjun-to con la tierra, se puede hablar de estructuras isostáticas y de estructurashiperestáticas. Una estructura es isostática cuando su análisis puede com-pletarse con las ecuaciones de equilibrio de la estática y es hiperestáticacuando para su análisis se requiere además de las ecuaciones de equilibrio,otro grupo de ecuaciones de deformación.

En cuanto a los materiales que las constituyen, éstos pueden seguir la leyde Hooke, si la relación fuerza-desplazamiento es lineal (P = K - A ) o noseguir dicha ley. Afortunadamente la mayoría de los materiales que se util i-zan en la construcción siguen, al menos dentro de ciertos límites, la men-cionada ley.

El tipo de análisis puede ser de primer o segundo orden. En el análisis deprimer orden se supone que las deformaciones son lo suficientemente pe-

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 11

quenas como para que las ecuaciones de equilibrio puedan plantearse comosi el cuerpo no se hubiera deformado, en tanto que en el análisis de segundoorden esas ecuaciones hay que plantearlas tomando en cuenta la deforma-ción de la estructura.

Las fuerzas que actúan sobre las estructuras pueden ser concentradas (sisu zona de actuación es pequeña en comparación de las dimensiones delelemento en que están aplicadas) o distribuidas en caso contrario. Ambaspueden ser fijas en el espacio o móviles (caso de los trenes, grúas viajeras,y otros). También pueden ser estáticas (que varían lentamente en el tiempo)o dinámicas, como es el caso de los sismos.

Además, las estructuras pueden estar sometidas a otras solicitacionescomo son los efectos de temperatura, asentamientos de apoyo, fenómenosde retracción, desajuste de elementos y otras.

En lo que sigue nos ocuparemos del análisis de primer orden de estructu-ras isostáticas , compuestas de elementos lineales, fabricadas con materialesque siguen la ley de Hooke y sometidas a fuerzas concentradas o distribui-das, fijas o móviles, estáticas, así como a otras solicitaciones, como losefectos de variaciones de temperatura.

1.1 .3 Hipótesis

Las hipótesis que se introducen son:• El sólido es homogéneo, continuo e isótropo.• Es aplicable el principio de superposición, lo que implica que los tres

grupos de ecuaciones deben ser lineales.>• La linealidad de las ecuaciones de equilibrio o linealidad estática exi-

gen que las ecuaciones se planteen como si no hubiera deformaciones.> La linealidad de las ecuaciones de compatibilidad o linealidad cinemá-

tica exige que las relaciones entre deformaciones y movimientos seande primer grado. lo que implica despreciar términos cuadráticos.

^ La linealidad del material implica que éste siga la ley de Hooke. esdecir, que las relaciones tensiones-deformacioncs sean lineales. Ade-más, si se descargan las acciones, no quedan deformaciones residuales.

• Se considera válido el principio de Saint-Venant:En los puntos de un cuerpo sólido, suficientemente alejados de los si t io-

de aplicación de las cargas exteriores, las tensiones dependen muy poco dela forma precisa en que se materializan estas cargas.

12 INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO

1.2 Distintos tipos de sistemas

Sistema: conjunto organizado de elementos lineales, de superficie o de vo-lumen, o de ambos, que se suponen infinitamente rígidos.

1.2.1 Sistema cinemáticamente variable

O---Q Características cinemáticas: Haydesplazamientos relativos sin de-formaciones (Fig. 1 .1) .Características estáticas: Accio-nes interiores indeterminadas sise aplican las ecuaciones de laestática.

Figura 1.1

1.2.2 Sistema crítico

Características cinemáticas: Haydesplazamientos relativos peque-ños, con deformaciones despre-ciables en la cinemática del pri-

Figura2.1 , /tr -. . .mer orden (Hg. 2.1).Características estáticas: surgen tensiones infinitas si se aplica la estáticadel cuerpo indeformable.Conclusión: ni la cinemática del primer orden ni la estática del cuerpo inde-

formable pueden aplicarse en el análisis de estos sistemas.

1.2.3 Sistema cinemáticamente invariable o estructura

Características cinemáticas: hay desplazamientos pequeños y deformacio-nes pequeñas no despreciables.Características estáticas: Se originan acciones interiores definidas y fini-tas. Usualmente el equil ibrio puede plantearse, y se plantea, sin desplaza-mientos en el sistema.


1.3 Análisis cinemático de los sistemas

1.3.1 Concepto de disco

Se entiende por disco todo elemento ( l ineal , de superficie o de volumen), oconjunto de elementos, deí que se puede garantizar que es cinemáticamenteinvariable. (Véanse ejemplos en IsPfigura 3.1).

Figura 3.1

1.3.2 Tipos de unión o ligadura

1 . Barras con articulación en ambos extremos. Evita un mo\o de uncuerpo respecto a otro y. por tanto, origina una reacción (Fig. 4.1. a y b).

/TTTft

=ü ; Ry*0

Figura 4.


2. Articulación cilindrica. Evita dos movimientos relativos \a dosreacciones (Fig. 5 .1 ) .

//////

Ax=0 ;

Ay=0 ; Ry*0

[-"¡cura 5.1

3. Unión rígida. Hv ita tres movimientos relativos, y origina tres reaccione^( F i ü . 6.1).

Ax=Ay=Az=0Rx*0 ; Ry*0 ;

f-igura 6.1

1.3.3 Imariabi l idad cinemática de dos discos

arados de libertad o movimientos posibles de un disco respecto a otroson tres. SfrtQdfe^pdura elimina un movimiento relativo, se necesitarán

:5 para inmovilizar entre si los dos discos (F ig . 7.1).

Articulación ficticia o centroinstantáneo de rotación

Figura 7.1

ESTRUCTURAS Isos'i ÁTICAS PLANAS 15

Las tres ligaduras pueden proporcionarse mediante:Una barra más una articulación (real o ficticia) (Fig. 8.1. a).Tres barras (Fig. 7.1).Una unión rígida o empotramiento (Fig. 8.1. b).

/777T7

a) b)

Finura 8,1

Notas:

t ) Las tres barras no deben ser paralelas ni concurrentes (Fig. 9.1, a).

2) La barra no debe pasar por la articulación (Fig. 9.1, b).

a) b)

Figura 9.1

Ejemplo.

Demostrar la invariabi l idad cinemática del triángulo. (Véase Fig. 1 0 . 1 ) .

Solución:

articulaciónN

ligadura

El triangulo es cinemáticamenteinvariable

Fieura 10.1


1.3.4 Invariabilidad de tres discos

A partir de la invariabil idad cinemática del triángulo se concluye que serequieren tres articulaciones o seis ligaduras, para asegurar la invariabi l idadcinemática de tres discos (Fig. 11 .1 ) .

•vU

Figura 1 1 . 1

Nota: Las tres articulaciones no deben estar en línea recta, para no originarun sistema crítico (Fig. 12.1).

-O

Figura 12.

1.3.5 Ejemplos

Demostrar la invariabilidad cinemática del sistema de la Fig. 13.

Fisura 13.1

K \ ISUSTATICAS PLANAS 17

Solución:El disco I, el disco II y el disco Tierra están unidos entre sí mediante

articulaciones no situadas en línea recta, y constituyen un aran disco A(Fig . 1 4 . 1 ) .

f 1,2

Figura 1 4 . 1

El disco I I I se une al disco A mediante una articulación y una barra. Porlo tanto, el sistema es cinemáticamente invariable (Fig. 15.1).

barra

Figura 15.1

2. Hacer el análisis cinemático del sistema de la Fig. 16.1.

'T.

16.1


Solución:Los discos U 2 y Tierra están unidos entre sí por tres articulaciones: una

real y dos ficticias, pero situadas en línea recta: el sistema es crítico (Fig.17.1). Puede conseguirse la invariabil idad cinemática cambiando de posi-ción el apoyo simple inferior y situándolo en la articulación derecha.

Figura 17.1

3. Hacer el análisis cinemático del sistema de la Fie. 18.

Figura 18.1Solución:

El disco 1. el 2 \a Tierra están unidos por tres articulaciones ficticias:2. T; 1, 2 y 1. T. Las tres quedan en línea recta y. por lo tanto, el sistema escritico (Fi<¿. 19.1).

1,2

Figura 19.1

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS 19

1.3.6 Ejercicios

Hacer el análisis cinemático de los sistemas que se indican en la Fig. 20.1.

1/77ff7

S7/W7 r

t Hrt

_£—^^^~&.Finura 2Ü. I


Figura 20.1

1.4 Grado de hipcrcstaticidad de una estructura

1.4.1 Definición

Cuando un sistema tiene el número de ligaduras estrictamente necesariopara asegurar su invariabilidad cinemática, el sistema es. por definición,una estructura isostática. Es decir, las ecuaciones de la estática son suficien-tes para determinar las reacciones y acciones interiores en todas y cada unade las secciones de la estructura.

Si el sistema tiene más ligaduras que las estrictamente necesarias paraasegurar su invariabil idad cinemática, las ecuaciones de la estática no sonsuficientes para determinar las reacciones o las acciones, o ambas, en todas\a una de las secciones de la estructura. Se dice, en este caso, que laestructura es hiperestática o estáticamente indeterminada. Para poder anal i -zar estas estructuras es necesario plantear, además de las ecuaciones de laestática, otro grupo de ecuaciones llamadas ecuaciones de deformación.

Aunque ei análisis de las hiperestáticas es más compiejo que el de lasisostáticas. el empleo de las estructuras hiperestáticas ofrece algunas venta-jas que hacen que se ut i l icen con frecuencia.

ESTRUCTURAS ISOSTA TICAS PLANAS 21

1.4.2 Determinación del grado de hiperestatieidad de una estruc-tura

Se define el grado de hiperestaticidad de una estructura como la diferenciaentre el número de incógnitas (reacciones y acciones interiores) y el núme-ro de ecuaciones de la estática.A. Grado de una art iculación.

Se dice que una articulación es s imple cuando une dos elementos (Fig .

a)

Si los elementos unidos son tres, la articulación es doble, y, desde elpunto de vista de la estática, equivale a dos simples (Fig. 22.1).

a)

Figura 22 .1

De modo similar se define la articulación triple, equivalente a tres sim-ples (Fig. 23.1) .

Figura 23.1

En general, si llamamos L al grado de una articulación, se t iene:

siendo n el numero de barras unidas por la articulación.

INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO

B. Grado de hiperestaticidad de un marco cerrado.Veamos cuál es el grado de hiperestaticidad de un marco cerrado (Fig.

sTsúy

Figura 24.1

Dando una sección en la parte superior, y haciendo el cuerpo libre co-rrespondiente, se t iene (Fig. 25.1):

'Número de incógnitas - 6

licuaciones de la estática 3Grado de hiperestaticidad = 3

,1X1 IX2

Figura 25.1

El mismo resultado se obtiene seccionando como se indica en la Fig.26.1.

Número de incógnitas = 9Ecuaciones de la estática = 6

(dos cuerpos libres).

X4¿-

X74-

í"— 1*^ ,̂ **— frX4

X5"

-I" m^Grado de hiperestaticidad = 3

I,__!,} X3

1» IxFigura 26.1

Podemos concluir que todo marco cerrado (independientemente de quesea un rectángulo, triángulo, ani l lo u otra figura geométrica cualquiera)tiene un grado de hiperestaticidad igual aires.

Veamos cuál es el efecto de introducir una articulación simple en elmarco anterior (Fig. 27.1).

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

S777>7

Figura 27.1

Seccionando por la articulación, se tiene (Fig. 28.1):

Número de incógnitas = 5Ecuaciones de la estática = 3

Grado de hiperestaticidad = 2

T T1X1 1X2Figura 28.1

O sea. cada articulación simple reduce en uno el grado de hiperestatici-dad.

Podemos, pues, decir que:En una estructura reticular plana, el grado de hiperestaticidad es igual a tresveces el número de marcos cerrados existentes menos el número de articu-laciones simples: g.h. = 3m - a .

Ejemplos:

Marcos cerrados : 3

3m = 9a-6

g.h. ^T

Figura 29.1

INTRODUCCIÓN. ANÁLISIS CINEMÁTICO

2 ) < F i g . 3 0 . 1 )

a =3g.h. = 3

Figura 30.1

En ocasiones, como se ilustra en el ejemplo 3) (Fig. 3 1 . 1 ) . no es fácil verel número m de marcos cerrados. En general, se demuestra que para losivt iculados se cumple que:

m = h - n .donde:

m es el número de marcos cerradosb es el número de barras realesn es el número de uniones, excepto los apoyos.

3 ) (Fig. 3 1 . 1 )O

Figura 3 1 . 1

(Nótese que no es una armadura, pues el vértice superior izquierdo escontinuo).

b-15n= 6m= 9

En las armaduras planas se demuestra que:g.h. = b-2n ,

donde:g.h. es el grado de hiperestaticidad

b es el número de barras realesn es el número de uniones, excepto los apoyos.

a =22_g.h.= 5

1-S [ Rl iCTURAS ISOSTATICAS PLANAS

1.4.3 Ejercicios

25

Determinar el grado de hiperestaticidad de las siguientes estructuras (Fig.32.1).

^

o o-

/W7X

Fiíiuru 32.1

Capítulo II

Análisis de armaduras

2.1 Definición

Las armaduras pueden definirse como un caso particular de reticuladosplanos o espaciales, formadosgeneralmente por elementos deeje recto que se unen por sus ex-tremos en puntos llamados nudos.Se considera que en tales nudosestán aplicadas las cargas que ac-túan sobre la armadura y que losmismos funcionan como articula-ciones en el esquema de análisis.

Finura 1.2 (Fig. 1.2).

2.2 Análisis cinemático

Sea una armadura cualquiera (Fig. 2.2).

[27]

28 ANÁLISIS DI- A K \ I A ¡ > ! i< \

(3 .2 .1 )

Figura 2.2

Si n es el número de nudos, los grados de libertad serán 2- n.Si b es el número de barras, y las ligaduras a tierra son tres, se cumplirá

que los grados de libertad, g. I., serán:

gl = 2-n-b-3, ( 1 .2 .1 )pues cada barra y cada ligadura a tierra eliminan un grado de libertad.

Una condición necesaria, pero no suficiente, para lograr la invanabilidadcinemática es que g.l. - O; es decir,

2 - n = b + 3. (2 .2 .1 )En los demás casos se tendrá:Un mecanismo si 2 • n > b + 3Un sistema hiperestático si 2 • n < b + 3 (4,2.1)La ecuación ( 2 . 2 . 1 ) da la condición necesaria pero no suficiente, pues no

tiene en cuenta la disposición de las barras.Ejemplo (Fig. 3.2).

n = 6 , b = 9

2 - 6 = 9 + 3Sin embargo, la armadura escinemáticamente variable./̂ >*7

Figura 3.2

Por lo anterior, es más seguro proceder al análisis cinemático por discos.como se indicó en la sección 12.

Por ejemplo, el disco I y el disco II de la figura 4.2 están unidos por unaarticulación (1,2) y una barra: en consecuencia, forman un conjunto cine-máticamente invariable. El análisis se prosigue en la forma acostumbrada.

Figura 4.2

ESTRU T I R A S ISOSTÁTICAS PLANAS 29

2.3 Métodos de análisis estático de armaduras

2.3.1 Tipos de armaduras

Atendiendo a su análisis, las armaduras pueden clasificarse en:

Cinemáticamente: Analizables por las reglasde unión de 2 y 3 discos.

Simples ^Estáticamente: Analizables por los métodos

conocidos de la estática.

Compuestas: Las constituidas por dos o más simples.

Complejas: Todas las demás.

2.3.2 Armaduras simples

2.3.2.1 Análisis cuantitativo

Existen varios métodos para determinar las fuerzas axiales en las barras deuna armadura isostática. Los más importantes son los siguientes:

Analíticos: método de los nudos y método de las secciones.Gráficos: método de Maxwell-Cremona. y método de Culmann.Analítico-gráfico: método de los trabajos virtuales.Todos estos métodos son estudiados en los cursos de estática y los alum-

nos deben recordarlos. En especial se recomienda repasar el método de losnudos y el de las secciones, pues se emplearán más adelante.

2.3.2.2 Análisis cualitativo

En el análisis cualitativo se trata de determinar el modo de trabajo (a trac-ción o a compresión) de una barra, sin necesidad de realizar el análisiscuantitativo de toda la armadura.

Conviene recordar que el punto de Ritter, de una barra de una armadura,se define como el punto de confluencia de las otras dos barras mtersectadaspor un corte dado (Fig. 5.2).

30 ANÁLISIS DI; A R M A D U R A S

En la figura 6.2 se representanuna armadura, una viga equiva-lente (con la misma luz y las mis-mas cargas que la armadura

f ilustrada), y el diagrama de mo-mentos Héctores producidos porel sistema de cargas P.

h25

R:5"

"ÍÍ7-R

e/

M&}

Wv

R'T P, ,ft\Ri

'"T°X1 i

(+)M5? Ri + Pr

* R^Y^R'+P!Í^Figura 6. 2

V'7/777

fe¿

/$fr'P2+P3, ^

/1 RD

Para calcular la fuerza axial en la barra 3-5 se puede dar una sección a-ay tomar momentos, respecto al punto R3 5 . de todas las fuerzas a la iz-

quierda de a-a.

M l z q - F R = O1VI35 V15 R3S v

R35 =h , 5 -cosa

Hn forma similar, para F25,

eos O

F35 • eos a ='35

F25 -eos6

t 'STRUTURAS ISOSTÁTICAS Pl.ANAS 31

Nótese que el signo de una F¡j cualquiera, depende del signo del M|^ y

déla h ( ] correspondientes.

Para h se adopta la convención de considerarla positiva si el punto deRitter se ubica arriba de la barra analizada, y negativa si el punto de Ritterse localiza abajo de ella. Por ejemplo, en la figura 6.2, h l s es positiva.

mientras que h2 5 es negativa.

El signo de los M1/q se toma en el diagrama de momentos de la vigaequivalente midiéndolo debajo del punto de Ritter correspondiente. En el

ejemplo analizado, tanto M"qs como M'-TJ son positivos.

Por lo tanto, F3, = = + : trabaja a tracción.+

F,< = =- : trabaja a compresión.

Ejemplo:En la armadura de la figura 7.2, indicar cómo trabajan los elementos D\,

D2 , V4 e 15. Considérense P\ ?2 = ?3 = ?4 •Solución:

R¿Kjy

MDZ.Í-) iPii ~ - - -/^77A P .

A\A r» i

iRa

ÍP2 ÍP3 1

-^B MtL

Figura 7.2

32 ANÁLISIS ni-. ARMADURAS

(Hn la figura 7.2 se indican, además de la armadura, la viga equivalentey el diagrama de momentos Héctores correspondientes).

De acuerdo con la figura y lo expuesto anteriormente:O

la diagonal D, no trabaja.'DI

M*5 <Q- = — = + : la diagonal D, trabaja a tracción.

hD1 <0

= — = - : el elemento vertical V4 trabaja ah V 4 < 0 -

compresión.

MB±°h,< >0

= — = + : el elemento horizontal I < trabaja a

tracción.Caso particular: Armaduras de cordones paralelos.

En el caso en que los cordones superior e inferior de la armadura seanparalelos, es más fácil determinar el modo de trabajo de las diagonales pormedio del diagrama de fuerza cortante de la viga equivalente, que por elmétodo general.Ejemplo:

Determinar, en la armadura de la figura 8.2, el modo de trabajo de lasdiagonales DJ . IQ, D3_ j0 y Dó-5 (Abajo de la armadura se ilustran la vigaequivalente y el diagrama de fuerzas cortantes correspondientes al sistemade fuerzas dado).

2P


Solución:Cálculo de

R A - P, - D,0 cosa = D, eos a = R A - P, = VComo D ] _ I Q trabaja en el sentido supuesto, se deduce que trabaja a trac-

c n .Cálculo de 03.10

R \pi ~p: +D3-io -cosa = D3.I -cosa = - = -VEn virtud de que 03. \Q trabaja en sentido contrario al supuesto, se sigue

que trabaja a compresión.Por lo tanto, se puede concluir que, en la zona de fuerza cortante positi-

va, las diagonales de la armadura trabajan a tracción si están colocadas delextremo izquierdo superior al extremo derecho inferior, y que trabajan acompresión en el caso contrario.

Ahora, ya en la zona de fuerza cortante negativa, se hace el cálculo de

D8-5.R x - P, - P, - P3 - P4 + D..5 • cosa = O ;

D8_5 • cosa - -RA + P, + P2 + P3 + P4 = -V > O

Como D£_5 trabaja en el sentido supuesto, se deduce que trabaja a trac-ción.

En conclusión, de un modo convencional se establece que, en la zona defuerza cortante negativa, las diagonales de la armadura trabajan a tracciónsi están colocadas del extremo izquierdo inferior al extremo derecho supe-rior, y que trabajan a compresión en el caso contrario.

Como recurso mnemotécnico puede emplearse el que se indica ensegui-da:

V>0c

V<0c

2.3.3 Armaduras compuestas

Son armaduras en las que alguno oalgunos de sus elementos estánconstituidos a su vez. por armadu-ras independientes. (Véase la figu-ra 9.2). En general, su análisis porel método de los nudos o el de las

Figura 9.

34 ANÁLISIS DE ARMADURAS

secciones, o ambos, es complicado, por lo cual puede ser más conve-niente utilizar el método que considera que las armaduras simples quecomponen el sistema cumplen las dos funciones siguientes:

a) Actúan como barras sencillas en la armadura total.b) Como armaduras secundarias, transfieren sus propias cargas a sus

nudos extremos.El método posibilita, separando estas dos funciones, la conclusión sin

dificultad del análisis del sistema.Supongamos, por ejemplo, como se indica en la figura 10.2, a), que

ADE es parte de una armadura que contiene una armadura secundariaCEFGH.

Ri1 F *

figura 10.2

Figura 10.2.b.

Para realizar el análisis, primeramente sustituimos la armadura secunda-ria por una barra ficticia CE. y el sistema de cargas P j . ?2- P}. que actúasobre ella, por un sistema estáticamente equivalente compuesto por dosfuerzas paralelas. R] y R2, paralelas a su vez a la resultante de P j , P^ y ?3-actuando en C y E. (Véase la figura 10.2, b).


Estas sustituciones no afectan ninguna barra de la armadura principal,sino únicamente a las barras de la armadura secundaria, de modo que puedeprecederse al análisis de la armadura principal, y obtenerse, incluso, lafuerza axial S en la barra ficticia. Las fuerzas indicadas en C y E represen-tan la acción de la armadura secundaria sobre la armadura principal. Invir-tiendo el sentido de dichas fuerzas, como indica la figura 10.2.c). se tendrála acción de la armadura principal sobre la armadura secundaria, siendo yaposible completar el análisis.Ejemplo:

Determinar las fuerzas N2-g, N3_g y N3_4, en la armadura de la fiuura11.2. P P

Ir- 1.5 m

'*r

Figura

' ^

112Fiaura 1 1.2

Solución:En primer lugar, separamos el elemento secundario y lo sustituimos por

una barra ficticia 2-5, más las cargas estáticamente equivalentes a las queactúan sobre él, pero aplicadas ahora en 2 y en 5, como se indica en la figu-ra 12.2.

Figura 12.2

36 ANÁLISIS DI; ARMADURAS

Después, analizamos esta última armadura mediante la sección 1-1. Con-siderando el cuerpo libre de la izquierda.

SM, =0 : P'-8-P 4 + N 2 _ 5 - 3 = 0

4N - P3PEs decir, en la armadura principal, la fuerza N2 _ 5 es de compresión.

SM, =0 : P - 4 - N , _ 7 -3-0 .'. N ,_ 7 = ^ P (T)

Del equilibrio del nudol:

Nl-7

sena =

. 3

3cosa =

LFy =0 ; -N,_ 2 -sena + P-0

. N ._L_= P = 5 P ( C )sen a 3/5 3

que comprueba el valor obtenido anteriormente para NDel equilibrio del nudo 2:

P 5 4= 0 : P -cosa - P + N-,-, -cosa = 0

3 34 5 4

N17 -cosa = P - P =03 3 5

Por simetría de las cargas y de la armadura, puede establecerse:

N 5 _ 7 = N 2 7 = 0 , N5() = N ] : = ^ P (C), N6, = N r -P(C).

Analizamos, acto seguido, la armadura secundaria (Fig. 13.2).

IP ' i

*2 5 N2-3 = -P

Figura 13.2


Dando una sección como la indicada, y analizando el equilibrio delcuerpo libre de la izquierda:

S M , = 0 : 2 - P - 4 P x -1 .5 -N; 8 - 1 . 5 = 0J 1 ¿~o

.-. N2.8 =N 8 _ 5 =0

IM =0 : 4 - P - 2 - P + 1 .5-

-O : P - P - N 3 _ 8 - s e n a =

2.3.4 Armaduras complejas

Hay armaduras cuyo análisis cinemático no es fácil de realizar por el méto-do de los discos. Estas armaduras se caracterizan, además, porque su análi-sis estático se dificulta mediante la aplicación directa del método de losnudos o del método de las secciones. Tales armaduras se llaman complejas,y sus análisis cinemático y estático pueden efectuarse por el llamado méto-do de sustitución o de Henneberg.

Sea, por ejemplo, la armadura de la figura 14.2

p—t»

Figura 14.2

Como es fácil comprobar, la armadura ilustrada se caracteriza porque:a) Su análisis cinemático sí puede completarse por el método de los dis-

cos.b) Su análisis estático no puede realizarse fácilmente por la aplicación

directa del método de los nudos (en ella no hay ningún nudo con sólo

38 ANÁLISIS DH ARMADURAS

dos incógnitas) ni del método de las secciones (cualquier sección quese dé, corta más de tres elementos).

El método de análisis propuesto consiste en lo siguiente:a) Se elimina cualquiera de las barras y se sustituye por una barra ficti-

cia, de modo que se garantice que la nueva armadura sea:1) Invariable cinemáticamente.2) Analizable por la aplicación directa de alguno de los métodos clá-

sicos.Estas dos condiciones se representan en la figura 15.2. donde además

puede verse que la fuerza axial en la barra eliminada se mantiene en lanueva armadura como incógnita X.

Figura 15.2

b) Se analiza la nueva armadura para las cargas externas (en este caso lafuerza P), determinando las acciones N, p en cada barra (Fig. 16.2).

3 4 3.

•Na

Figura 16.2

c) Se repite el análisis, pero suponiendo ahora la intervención de lascargas X=l (Fig. 17.2), para obtener las acciones n ¡x, en cada barra.


Figura 17.2

La magnitud de las acciones inducidas por las verdaderas X puede cal-cularse por el principio de superposición:

N l v = n l x - Xd) Para que la superposición de los estados b) y c) equivalga a la solu-

ción de la armadura original, se necesita que la tuerza axial final en labarra ficticia (barra inexistente en la armadura dada) valga cero:

N, •X = 0

N,

e) Una vez determinado el valor de X, la fuerza axial en cada barra secalcula mediante el principio de superposición:

N , = N , p + n , v . XCasos particulares:

Si n l x = O y N ip * O x = oo ; el sistema es crítico.

Si n i x = O y N)P * O x = valor indeterminado; el sistema es variable.Debe señalarse, por otro lado, que la sustitución de la barra puede hacer-

se interior o extenormente, siempre que se cumpla lo especificado en elinciso a). (Véase la figura 18.2).

Figura 18.2

4U ANÁLISIS ot ARMADURAS

Obsérvese también, para concluir, que la sustitución puede hacersedos o más barras (Fig. 19.2).

en

/7&7 TÍW

Figura 19.2

En este caso habrá que plantear dos ecuaciones para determinar X \ X 2'

*-. V i v-i Vnn ' Ai + n i : ' A:

,n-, . -X, + n-,-, -X- ,

=01

donde n,¡ es la fuerza axial en la barra ficticia i, producida por la fuerza

x =1, y N j p es la fuerza axial en la barra ficticia i, producida por el siste-

ma de cargas dado.Ejemplo:

Analizar la armadura compleja de la figura 20.2.

10

Figura 20.2Solución:

Para llevar a cabo el análisis, se puedeeliminar el apoyo 2-7 e introducir el apoyoficticio 5-0 (Fig. 21.2),


Figura 21.2

En la segunda columna de la tabla siguiente, están anotados los valoresde las fuerzas axiales originadas en cada barra de la armadura de la figura17.22 por el sistema real de cargas (en este caso la fuerza P); y. en la terce-ra columna, las acciones originadas por el valor supuesto de las X. Unos yotros valores se obtienen fácilmente por la aplicación directa del método delos nudos.

BARRA

1 -2

2 - 33 - 44 - 53 - 5

5 - 65- 1

I -66 - 84 - 94- 103 - 75 - 0

N ¡ p0

0

0p0

0

V2P-P-p0p

p

N ¡ XV2/2

V2/210

-V2/20

-\2 211101

-1

N j p + n , x X

V2-P/2

V2'P/2PP

-V2-P/20

V2-P/200ppp0

Por la condición de equivalencia debe cumplirse:

Sustituyendo:P - I - X = 0 /. X = P

Una vez calculada X, se obtienen los valores N i definitivos por super-posición (véase la cuarta columna de la tabla anterior).

Debe notarse que N50 y n50 * O , por lo que el sistema original es cine-máticamente invariable.

42 ANÁLISIS Dt ARMADURAS

Ejercicios:Analizar, por el método de Henneberg, las armaduras que se indican en

la figura 22.2.P

Figura 22.2

2.4 Armaduras de configuración racional

2.4.1 Definición

Las armaduras de configuración racional son armaduras en que las diago-nales no trabajan bajo ciertas condiciones de carga vertical.

Como su definición implica, éstas tienen, por lo general, la ventaja deuna construcción más económica que la de otro tipo de armaduras.


La configuración racional de la armadura se logra si ésta se construye deforma tal que la proporción entre las longitudes de sus montantes sea lamisma que entre las ordenadas de los momentos flectores correspondientesen la viga equivalente.

2.4.2 Armadura de configuración racional sometida a cargasconcentradas

Supongamos que se trata de salvar un claro L (Fig. 23.2). con una armadu-ra que sea de configuración racional para las cargas concentradas indica-das. (En la propia figura 1.23 se indican la carga equivalente y el diagramade momentos flectores debido a las cargas que actúan, suponiendo P j = ?~>

Se puede demostrar que, si la armadura se construye de forma tal que:

M. M, Mn

<Ailos puntos de Ritter de las diagonales corresponden a ordenadas de momen-tos flectores nulos.

Por tanto,D, -cosa = 0

D. -O

Figura 23.2

44 ANÁLISIS DF ARMADURAS

Luego se localiza el punto C (y sus similares, puntos en que los momen-tos Héctores son nulos), y sobre él el punto R DI ° punto de Ritter para ladiagonal D\ La unión R pl con un punto cualquiera de la vertical h2.define el elemento S] e inmediatamente el SQ. La construcción de la arma-dura se prosigue en forma semejante.

Se demuestra fácilmente que la construcción anterior equivale a lo ex-presado por la ecuación (A):

h, h, 0 M , M,• = , tan 6

b a btan a

tanptan a

M, M.

h, h, h n

El análisis se completa en forma por demás sencilla. Si el cordón inferiorde la armadura es recto, se tiene:a) Montantes:

Si la carga está en el cordón inferior: Vn = P n.Si la carga está en el cordón superior: Vn = 0.

b) Cordón inferior:,Vn

O

In-.

c) Cordón superior, =Sn -cos<t> n

Por tanto, las proyecciones hori-zontales de las fuerzas axiales, en loselementos del cordón superior, soniguales.

2.4.3 Armadura de configuración racional sometida a carga uni-formemente distribuida

En este caso, el diagrama de momento Héctores en la viga equivalente esparabólico y, por lo tanto, el cordón superior de la armadura deberá aproxi-marse a dicha configuración (véase la figura 24.2).


Figura 24.2

Veamos cómo trabajan los elementos:a) Montantes:

b) Cordón inferior:

I? - C O S < p ¡ =

\1VIRI

Ordenada de la parábola: y =az- * bz - c.Si,

z = 0 y = 0 /.

/. a =L

z=a - L - b - L -bL- b - L b - L

; H = - + = +4 2 L 4 4

4 - H - 4 - H/. b = - ; a = -

L L-4 - H

y- — z(L-z)

46 ANÁLISIS DE ARMADURAS

LSi z = , sustituyendo, se obtiene:

8 - Hvalor idéntico para todos los elementos del cordón inferior.c) Cordón superior: (igual que en la sección 231):

Sn_| -cosíj),,^, =Sn - cos< t> n

Capítulo III

Líneas de influencia

3.1 Definición

Una línea de influencia es un gráfico que da la variación de una reacción,acción interior (M. V. N), desplazamiento (lineal o angular), en una seccióndeterminada de una estructura, cuando sobre ésta actúa una tuerza, en ge-nera) vertical, unitaria y móvil (Fig. 1.3).

7 P=l

TTTfr RMV

Figura 1.3

[47]

48 LÍNEAS DF INFLUENCIA

3.2 Líneas de influencia en vigas

3.2.1 Líneas de influencia de las reacciones de apoyo

Sea la viga AB sobre la que se mueve la carga vertical P =1, cuya posiciónen un momento determinado está dada por la abscisa "z" a partir de A (Fig.2.3, a).

- Ií

c)

Figura 2.3

Inmediatamente se establece que

P-'-Z

t.i. RB

l.i. R,

Les la ecuación de la variación de la reacción en B; esta ecuación es la deuna línea recta, y bastará definir dos puntos de la misma para trazarla (Fig.2.3, b).

Si z = O, RB = 0;si z = i, RB = i.

En forma similar, para la reacción en el apoyo A,

R =líki?)1

también es la ecuación de una línea recta, para cuyo trazo basta conocerdos de sus puntos (Fig. 2.3. c):

para z = O, RA = 1 •para z = 1. RA = 0.

Puede señalarse desde ahora como una característica de las líneas deinfluencia (no importa de qué reacción o acción interior), de estructurasisostáticas. el estar compuestas de tramos rectos exclusivamente.


3.2.2 Línea de influencia del momento flector para una secciónentre apoyos

Sea la viga AB, y sobre ella una sección C situada a las distancias "a" y "b"de los apoyos (Fig. 3.3). Para obtener la variación del momento flector enC, para distintas posiciones de la carga, es necesario definir dos posiciones:

1 °) P a la izquierda de C : O < z < a.

Mc = R R - b = -b { z = a : M c .—L i

.'. I.i.Mc = ( l . i . R B ) b

l\izq

a)

b)Figura 3.3

Mientras la carga está a la izquierda de C, son válidas las ordenadas dela línea de influencia de RB multiplicadas por b.

2°) P a la derecha de C : a < z < 1.L-z

M = R v - a = • - - aL

.-. l . i .M c = ( l . i . R A ) a

a - bsi z = a M. =

En tanto la carga está a la derecha de C, son válidas las ordenadas de lalínea de influencia de RB. multiplicadas por b.

Lógicamente, las dos rectas anteriores tienen la misma ordenada bajólasección C.

50 LÍNEAS DE INFLUENCIA

3.2.3 Línea de influencia de la fuerza cortante para una secciónentre apoyos

De nuevo habrá que distinguir dos posiciones de la carga P=l.1°) P a la izquierda de

zC

C: 0 < z < a .

Figura 4.3

R--T.•.U.VC=(LLRBX-1)si z - O , Vc = O

si z = a. V, = - -L

2°) P a la derecha deC : a < z < l .

Vc = R , X /. U. Vt = l.i. R x

L-a bsi z = a , V, =

L Lsi z = L . Vc = O

Debe notarse de nuevo la existencia de dos rectas: "izquierda", válidapara las secciones a la izquierda de C, y "derecha", válida para las seccio-nes a la derecha de C.

3.2.4 Línea de influencia del momento flector y de la fuerza cor-tante para una sección C en un voladizo

Se trata de definir las líneas de influencia de M y V cuando la sección Cpertenece a un voladizo (Fig. 5.3).| C C C

Figura 5.3

a) Momento Héctor:1") P a la izquierda de C (figura 6.3):

Mc -Ola recta izquierda tiene ordenadas nulas.

CS I R! ( T U R A S ISÜS TÁ 11CAS Pl.ANAS 51

_Z_JP=1 Z

2°) P a l a derecha de C:

*i

B

Figura 6. 3

n C

'1, >cFigura 7.3

b) Fuerza cortante: (Fig. 8.3):

ip=i

Fjgura s ,

P=l

= 0. M c = 0 :

= a, Mt. =-P -a.

la línea de influencia está repre-sentada en la misma figura.

Si el empotramiento está en B.la línea de influencia se obtieneen forma semejante a ia anterior(véase la figura 7.3).

1°) P a la izquierda de C:

v . = o

2°) P a la derecha de C:

V. = P = 1 = const.

i rFigura 9.3

Si el empotramiento está en B, seobtiene sin dificultad la l.i. de la fi-gura 9.3.

52 LÍNEAS D t - I N F L U E N C I A

3.2.5 Transmisión indirecta de la carga

En ocasiones ocurre que la carga no actúa directamente sobre el elementoque se está analizando, sino que se transmite a éste por medio de elementossecundarios (Fig. 10.3).

secundarios i P ^secundarios

r

Entendemos, en este caso, por elemento principal, el que se sustente porsí mismo, y por elementos secundarios, los que requieren del principal,como apoyo, para garantizar su mvanabilidad cinemática.

En la figura 10.3 son elementos principales la viga AB y el arco inarti-culado ABC. siendo secundarios todos los demás elementos.

Veamos cómo se construye la línea de influencia en estos casos:Sea la viga principal AB, y sobre ella una elemento secundario DE (Fig.

11.3). Supongamos que interesa la l.i. del momento en C. cuando la cargase mueve según la línea de puntos.

PD P=l PE

/TTTft

'Lf

Figura 11.3


VD

Figura 11.3

Se construye la línea de influencia del momento en C como si no existie-ra el elemento secundario. En tanto la carga se mueve sobre la viga princi-pal, será válida la línea de influencia que acabamos de trazar; es decir, larecta izquierda es válida desde el extremo del voladizo hasta el punto D. yla recta derecha desde E hasta el extremo del voladizo.

Cuando la carga P=l pasa al elemento secundario DE, aquélla se puededescomponer en dos cargas estáticamente equivalentes que actúan en D yE.

L. -zP =—' v

L,Por definición de l.i. debe cumplirse:

p _ ArE ~

• y E

La ecuación anterior corresponde a una línea recta, la cual puede sertrazada conociendo dos de sus puntos.

Siz = O.M c = y D ;

La siguiente puede ser una regla práctica para trazar la línea de influen-cia en estos casos;

1 . Se construye la linea de influencia deseada como si no existieran ele-mentos secundarios.

2. Se definen las zonas válidas de dicha línea de influencia.3. Se definen dos punto de "la recta de transmisión" o tramo de la línea

de influencia que corresponde a la carga sobre el elemento secunda-rio. En general, los dos puntos más convenientes corresponden a po-siciones de la carga unitaria sobre los apoyos.

4. Se traza la recta de transmisión.

54 LÍNEAS DF. INFLUENCIA

3.2.6 Ejemplos

Ejemplo 1.Construir las líneas de influencia del momento flector y la fuerza cortan-

te en las secciones C\ C2; C2 está justo bajo el apoyo del elemento se-cundario. La carga se mueve según indica la linea de trazos (Fig. 12.3).

%7ffJ

•=

"^^^jjjIJJiJ^bj/L

/7/&7

D, l.

D, l.i. Vr.

> l.i . Mr-

I>> l.i. Vr? fiza)

l.i. VC2

Figura 12.3

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS.

Solución:

a) l . i . del MCI, (Fig- 12-3):

Se construye la l.i. como si no existiera el elemento secundario. De estalínea de influencia, sólo es válida la parte de la recta izquierda marcada contrazo continuo, pues la carga sólo se mueve en el tramo de la viga principalque corresponde a la parte mencionada.

Cuando la carga pasa al elemento secundario, es necesario definir dospuntos para poder trazar la recta de transmisión correspondiente. En gene-ral, estos dos puntos se obtienen para posiciones de la carga sobre los apo-yos del elemento secundario.

Así, si P=l está sobre el apoyo E, toda la carga se transmite por dichoapoyo a la viga principal, a la izquierda de C. y el valor de M^] estarádado por la ordenada medida bajo E. en la recta izquierda; es decir, es váli-do el punto E] sobre la recta izquierda. Si P=l está sobre el apoyo D. todala carga se transmite a tierra y el momento en C\á nulo; o sea. la orde-nada de la línea de influencia debe ser cero. Por tanto, es válido el puntoD]. Uniendo D\ E\e obtiene la recta de transmisión, que se prolonga ala izquierda de E] hasta donde termina el voladizo.

La zona rayada es la que indica la línea de influencia definitiva.En forma similar se obtienen las demás líneas de influencia. Sólo hay

que hacer una salvedad con ía J. j . de la fuerza cortante en C?-La sección C? coincide con el apoyo E. en el que lógicamente debe apa-

recer una reacción cuando la carga está sobre el elemento secundario,transmitiéndose parte de la carga a la viga principal por ese punto. Por otrolado, como se sabe, el diagrama de la fuerza cortante sufre una discontinui-dad donde actúa una carga concentrada, quedando la fuerza cortante defi-nida sólo para una sección infinitamente próxima por la derecha y para unasección infinitamente próxima por la izquierda, ambas respecto al punto deaplicación de la carga.

Por lo anterior, será necesario construir dos líneas de influencia de lafuerza cortante en C2: una para la sección infinitamente próxima por laderecha y otra para la infinitamente próxima por la izquierda. Cuando C>está infinitamente próxima por la izquierda, la carga que se transmite por Ipasa a la derecha y el punto £2 pertenece a la recta derecha. Cuando C 2está infinitamente próxima por la derecha, el punto H2 pertenece a la rectaizquierda.

56 LÍNKAS oh: INFLUENCIA

Ejemplo 2.Construir las líneas de influencia deindicado en la figura 13.3.

M(^2- MD y Vrj para el sistema

/WíV

2'Sec.

I

l'Sec

HiU MCI

'ízq

l .ÍMc2

l.iMD

dci

h,

ESTRUCTURAS Isosi ÁTICAS PLANAS 57

Solución:La diferencia respecto al ejemplo anterior, estriba en que ahora tenemos

dos elementos secundarios, EF y GH; uno de ellos, el EF, es principal res-pecto al otro, pues no requiere de él para sustentarse.

El procedimiento que hay que seguir, será en todo similar al indicadoanteriormente: primero, se construye la linea de influencia como si noexis-tiera ningún elemento secundario; a continuación se consideran las modifi-caciones introducidas por el primer elemento secundario, el EF; y, por úl-timo, se analizan los cambios que produce el elemento GH.

De nuevo conviene destacar el hecho de que para la fuerza cortante en Dserá necesario construir dos líneas de influencia, por la discontinuidad queintroduce la carga concentrada del apoyo.

Ejemplo 3.Construir las lineas de influencia de M\ Mg para el sistema de la

figura 14."1C D

. . . - \ !

G

. .//fw' S7&7

bf

Di. ff».

l.iM*

Figura 14.3

58 LÍNI.AS DI INFLUENCIA

.i. Mí

El Sec.

Figura 14.3

Solución:En este caso, la viga principal está constituida por el elemento CDEF. y

el resto del sistema, en su totalidad, por elementos secundarios.Al construir la línea de influencia de Mg debe observarse que. cuando la

carga se mueve de C a D, se transmite al elemento interior, a través delelemento rígido, como una carga más un momento. Este momento introdu-ce una discontinuidad similar a la que introduce la carga concentrada en eldiagrama de tuerza cortante, y será necesario analizar, respecto de B. unasección infinitamente próxima por la derecha y otra infinitamente próximapor la izquierda.

3.2.7 Aplicación a vigas continuas isostáticas

El sistema adopta, en ocasiones, la forma indicada en la figura 15.3. Laslíneas de influencia en estos casos se obtienen en modo semejante al vistoanteriormente, si primero se sustituye el sistema dado por otro compuestode elementos principales y secundarios, de acuerdo con la definición dadaen la sección 315.

B D

-

H

S??ff7

•

a)

D

b)

G

/7&77

H

SJ7W

Figura 15.3


Así. en la viga continua de la figura 15.3. a), son principales los tramosBCDE y FGH, y son secundarios (se apoyan en los principales) los tramos ABy EF. de acuerdo con esto, el sistema dado puede representarse por el es-quema de la figura 15.3, b), y en éste se pueden construir las líneas de in-fluencia, tal como se indicó en la sección 315.Ejemplo:

Construir las líneas de influencia de M j . M2 y M3. en la viea de la figu-ra 16.3..A B C D E F

A-

X^7

/7fy7

X^

/7fy7?

D

E'

/Tfy?

/7¿fr>

C' GU.MI

i.M2

E'

D'

Figura 16.3

60 LÍNP.AS DF INFLUENCIA

3.3 Líneas de influencia en armaduras

3.3.1 Líneas de influencia de las reacciones de los apoyos.

Las reacciones de apoyo son independientes de que el sistema apoyado seauna viga o una armadura, por consiguiente, las líneas de influencia de lasreacciones serán idénticas en ambos casos (Fig. 17.3).

U.

l.i. RB

Figura 17.3

3.3.2 Líneas de influencia de las acciones de las barras

Son dos los métodos que generalmente se utilizan para construir las líneasde influencia de las acciones en las barras: el método de las secciones y elmétodo de los nudos, cada uno derivado del correspondiente método de laestática para el análisis de armaduras bajo cargas estáticas.

ESTRU TURAS ISÜSTATICAS PLANAS 61

l.i. 03 (carga porabajo)

I.i. V3 (carga porabajo)

Telar

l.i. V3 (carga porarriba)

3d/rl.i. 05 (carga por

abajoí

l.i. [5 (carga porabajo)

I

02 LÍNEAS DI-: INFLUENCIA

A) Método de las secciones. La base del método es dar una sección quecorte el elemento cuya línea de influencia se quiere calcular; como vere-mos, ésta se construye a partir del equilibrio de cada una de las partes de laarmadura seccionada.

Sea por ejemplo la armadura de la Fig. 18.3 para la que se van a cons-truir las líneas de influencia indicadas:a) Línea de influencia de la fuerza axial en 03 (suponiendo que la carga se

mueve por abajo).Damos la sección 1.1 y analizamos los dos casos:1°) P a la izquierda de C: Conviene examinar el equilibrio de la parte de-

recha:

D- -sena +R B =0;.*.D3 =- - • R B (r.izquierda)sena

2°) P a la derecha de C: Hacemos el cuerpo libre de la parte izquierda:

1aDi R A - D, • sena = O

1sena

R . (r.derecha)

RA

Cuando la carga se mueve entre C y D la transmisión es un línea recta.Obsérvese que las rectas izquierda y derecha son paralelas y por lo tanto

se cortan en el infinito, bajo el punto de Ritter del elemento 03. Puede de-mostrarse que siempre, ambas rectas se cortan bajo el punto de Ritter co-rrespondiente al elemento analizado,b) Linea de influencia de V3 (si la carga se mueve por abajo):

Se da la sección 2.2 y se plantea el equilibrio de los cuerpos libres.lü) P a la izquierda de C: Se analiza el cuerpo libre de la derecha.

R B = Vj (r. izquierda)

RB

1-S I RUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 63

2°) P a la derecha de D: Analizamos el cuerpo libre de la izquierda.

V- = -R A (r. derecha)

Como siempre, ambas rectas se cortan bajo el punto de Ritter (en estecaso en el infinito) y la transmisión es una línea recta.c) Línea de influencia de V3 (si la carga se mueve por arriba):

Sirve la misma sección 2.2, pero la recta de transmisión será EF.1°) P a la izquierda de E: Analizamos el cuerpo libre de la derecha, que

es el mismo que se utilizó para P a la izquierda de C:.-. V 3 = R B

2") P a la derecha de F: Analizamos el cuerpo libre de la izquierda (ver Pa la derecha de D):

V, = -RB

Como se ve, la línea de influencia de es muy parecida en ambos casos(carga por abajo o carga por arriba) variando la transmisión.d) Linea de influencia de 05 (carga por abajo):

La sección 3.3. que es la conveniente, cae en la zona del voladizo y con-viene analizar en ambos casos, (carga a la izquierda de B y carga a la dere-cha de G) el cuerpo libre a la derecha de la sección, pues en el cuerpo librea la izquierda intervienen R.\ Rg. además de 05. quedando por lo tanto,expresada la línea de influencia de ésta en función de las dos reacciones.

Conviene, así, proceder como se indica:D P a la izquierda de B: Analizamos la parte derecha:

Rü5

, 90°

MR I ) 5 -0.

Ds -O(r.-izquierda).

2°) P a la derecha de G: analizamos también la parte derecha:Rl5

'r

~

(r. derecha)

64 LÍNHAS DE INFLUENCIA

e) Línea de influencia de ¡5 (carga por abajo).Sirve la misma sección 3.3 y el razonamiento es en todo análogo al caso

anterior, variando sólo el punto de Ritter:1°) P a la izquierda de B:

IMR I 5 =0

I5 - d = 0

I. =0 (rect.izq.)2 t l) P a l a derecha de G:

ZMR I 5 =0

_z fz = 0. I 5 = 0

- ' s =-¿ jz = d, I 5 = .

(rect. der.)Nótese cómo ambas rectas (izquierda y derecha) se cortan bajo el punto

de Ritter del elemento 15.B) Método de los nudos. La construcción de las líneas de influencia por elmétodo de los nudos, se basa en el estudio del equilibrio de un nudo al queesté conectado el elemento analizado.

Sea por ejemplo, construir las líneas de influencia indicadas para la ar-madura de la figura 19.3.

.i.V3

U. V5

Figura 19.3

ESTRI v i i :RAS Isos TATICAS PLANAS (ó

Solución:1°) Línea de influencia de V3 (la carga se mueve por abajo).

Se da una sección, como la 1-1 que aisle al nudo A, cuyo equilibrio seanaliza para tres distintas posiciones de la carga unitaria P=l.

a) P a la izquierda de F:

l

RA

b) P a la derecha de ( :

(recta derecha»

c) Pen A:RA

V3

P=l

l -I: v3=o

En este caso habrá dos rectas de transmisión, que corresponden al des-plazamiento de F hacia A y de A hacia C, respectivamente.2") Línea de influencia de V5 (la carga se mueve por abajo).

Mediante la sección 2-2 se aisla al nudo D. y luego se procede al análisisde su equilibrio para tres posiciones de P.

a) P a la izquierda de C:

V5

V"5=0 (recta izquierda).

bí P a la derecha de E:D

V5

5=0 (recta derecha).

D

66 LÍNEAS on INFLUENCIA

c) P en el nudo D:V5

|p=lh. V5=l.

La línea de influencia se completa trazando las dos rectas de trasmisiónCD y DE.

En general, este método es menos útil que el método de las secciones, yaque, casi siempre, las líneas de influencia quedan expresadas en función delas correspondientes a otros elementos de la armadura.

En ocasiones conviene aplicar los dos métodos en la solución de un pro-blema, sobre todo cuando una línea de influencia queda expresada en fun-ción de otras.Ejemplo.Construir la línea de influencia de V3, para la armadura de la figura 20.3.

l . i . V¿ (Carga porabajo).

i.i. V2 (Carga porarriba).

\.(Carga por

abajo).

Figura 20.3

.i . V3 (Carga porarriba).


Solución:Haciendo el análisis, bien por el método de los nudos, bien por el de las

secciones, de cualquier modo ía fuerza axial en V3 queda expresada enfunción de la tuerza axial en algún otro elemento de la armadura.

Dando, por ejemplo, la sección 1-1, y si la carga va por abajo, considera-remos las posiciones siguientes:

1°) P a la izquierda de M. Analizando el equilibrio de la parte de la ar-madura situada a la derecha de la sección indicada:

V 3 = R B - V :

2°) P a la derecha de N. Analizando el equilibrio de la parte a la izquier-da de la misma sección 1-1:

V3 = -RA-V2 = -RA

(Pero V?=0, cuando P está a la derecha de N).En el primer caso, o sea, cuando P se encuentra a la derecha de M, V3 es

función de la correspondiente reacción de apoyo y de V2- por lo que seránecesario disponer de las líneas de influencia de Rg y \2- La de ésta últi-ma se obtiene fácilmente por el método de los nudos, y luego se procede ala superposición indicada por la ecuación deducida para dicho primer caso.

Si la carga va por arriba, el análisis se simplifica, pues no hay posibili-dad de situar la carga a la izquierda de S, y bastará considerar P a la dere-cha de T. Analizando, pues, el equilibrio de la parte izquierda:

v. =-R ,que puede construirse de inmediato.

3.4 Utilización de las líneas de influencia

3.4.1 Caso de cargas concentradas fijas

Pl, ?2, P,, Pn,

A 1 . r " i " " i Sean una viga ABC (Fig. 21.3)y la línea de influencia de lafuerza cortante en C. Si sobre laviga actúa un sistema de cargasPl, P2, .... P¡, .... Pn fijas, lafuerza cortante en C valdrá, deacuerdo con la propia defini-ción de línea de influencia.

Figura 21.3

68 LÍNEAS DH INFLUENCIA

V3 = -P, - Y, + P: - Y, + ...P, - Y, + ...P,, - Yn = SP, - Y,

3.4.2 Caso de cargas distribuidas fijas

q d/

/'

13

-4/-a

/=b

Y m -

Figura 22.3

3.4.3 Caso de momento puro fijo

A

-fB

M

Figura 23.3

sobre la vigaactúa una carga distribuida en eltramo ab (Fig. 22.3). se obtiene:

iV = (q(z)dz-Y

b

Siq(z) = const.

Si sobre la viga actúa un mo-mento fijo (Fig. 23,3), el mismopuede sustituirse por dos fuer-zas iguales y de sentido contra-rio, de modo que se cumpla.

P =MAz

Según la sección 330:

= M

Azf z + — - f z ----

Az


Es decir, la acción considerada se calcula como el producto del momen-to por la pendiente de la línea de influencia en el punto de aplicación delmomento.

3.4.4 Caso de cargas móviles. Determinación de la posición máspeligrosa

Se entiende por posición más peligrosa de la carga, aquélla en que se pro-duce el máximo valor de la acción que se está analizando.l ) S i se trata de una carga única concentrada, la posición más peligrosa

será la que coincida con la ordenada máxima de la línea de influencia.2) Si se trata de un tren de cargas, es decir, de un sistema, tal que las dis-

tancias entre las mismas permanecen fijas, para determinar la posiciónmás peligrosa conviene establecer previamente los siguientes teoremas.

a) Teorema sobre los tramos rectos de la línea de influenciaSea un tren de cargas P j , ?2 Pj Pp X 'a Mnea de influencia S de

una acción cualquiera (Fig. 24.3).

"i I "Id -

. 1

l.i.S.

O ~ —• ~~ " "

Figura 24.3

S = Z P , -Y,

70 LÍNEAS DE INFLUENCIA

Pero Y, = Z j - t ga/. S = SP¡ - Z , - tgc t - tga-SP, - Z ,

Por otro lado. IP, - Z , = R - Z R

.-.S-R-Y,Cuando la linea de influencia es una recta, puede sustituirse el sistema

de cargas dado, por su resultante y efectuarse los cálculos que se deseenmultiplicando dicha resultante por la ordenada correspondiente en la líneade influencia.b) Teorema sobre la línea de influencia quebrada

Cuando la línea de influencia es quebrada, para que la posición sea peli-grosa debe cumplirse primero que al menos una de las cargas esté situadasobre alguno de sus vértices.

Sea una línea de influencia quebrada, correspondiente a una acción cual-quiera S (Fig. 25.3). Supongamos que en la posición I. al menos una de lascargas, la P,, por ejemplo, está sobre un vértice y que. además, esta posi-ción corresponde a lo que hemos definido como posición peligrosa.

Pl, . P2, - Pj, . P4, , Pn -

_ii f_t f-i i_y ti

Pn

Ax

l^xT

Figura 25.3

Si. como decimos, la posición es crítica o peligrosa, debe cumplirse:

Dando al tren de cargas un desplazamiento Ax hacia la derecha, la va-riación de S valdrá:

i j iAy, = Ax • tga

.'. AS = Ax • SP, • tg aPero AS < O , pues la posición es peligrosa, y:


Ax > O , pues es el desplazamiento es en sentido positivo..'. SPj - t g c t < 0 (1)

Si se da ahora un desplazamiento Ax hacia la izquierda, a partir de laposición I. se tiene:

AS = SP, - Ay,

Ay¡ = A x - t g a ,

Pero AS < O y Ax < O

:. SP, - t g a > 0 (2)Para que se cumplan í 1 ) y (2) se necesita que al menos una P esté sobre

un vértice de la linea de influencia.La posición peligrosa ocurre cuando una de las cargas está sobre un

vértice y se cumplen las condiciones ( 1 ) y (2).En general, habrá varias posiciones peligrosas y será necesario comparar

los valores de S para cada una de ellas.Ejemplo.

Calcular la posición más peligrosa del tren de cargas de la Fig. 26.3.para la línea de influencia que se indica.

r~\

1 13.5 tn. c/u

3 tn c/u

3 - 4 5 6

I i 1 í \ tn. c/u

8 9

) I. _J _ _ i^ _1 L* . ^«J

4.5

8.(xr

Figura 26.3

-0.25

72 LÍNFAS DF INFLUENCIA

Solución:Supongamos que el tren entra por la derecha.

Mientras las cargas estén a la derecha de b, todas las tgc t i <0 .h

y SR - t g a , < 0 .1=1Analicemos la posición correspondiente a la carga & sobre el vértice b,

(Fig.27.3).h

a6

4.8 3.2 2.20.8

Figura 27.3

Desplazando 3) a un Ax hacia la derecha de b:

I R • tga , = 2 - 3 . 5 - - - 3 - 3 . 5 - 1-2-3-- = ~ - <0.8 16 8 32

Desplazando 3> a un Ax hacia la izquierda de b:

IP, - t g a , -3 -3.5-- -2 - 3.5-- - 2 - 3 - - = ->0 .8 1 6 8 8

Por tanto, la posición analizada es una posición peligrosa.Analicemos a continuación ® sobre b (Fig. 28.3).

h

1 2S ,-) 0

- — 3.2 ~ 1.6*t~U

3r.

)H*-

4 6 . 8c> n o n --v H o

1 J^JUffT* l.d*T 24 3.8^

9o

7

Figura 28.3

Dando un Ax hacia la derecha de b:


SP - t g a , =3-3 .5- - - 2 - 3 . 5 - -1 - 2 - 3 - - = ->0.¡-i ' 8 16 8 8

(D sobre b no es una posición crítica o peligrosa.

De modo similar se procede con <§) y ©.Supongamos que seguimos moviendo el tren hacia la izquierda hasta que

•J) quede bajo b. (Fig. 29.3).

h

- 4 - —1 -2.4-1.1 1.6 I 6

Figura 29.3

Desplazando (D a un Ax a la derecha de b:1 1 12 30 18

IP • tg a, = 3 2 - 15 • — • 2 = - - < 0.2 16 16 16 16

Desplazando 1 a un Ax a la izquierda de b:

IP, - t g a , = 2 - 3 - ]- -15- --15-—=-->0.16 16

(D sobre b es otra posición peligrosa.El análisis se completa examinando posiciones de las cargas bajo el otro

vértice, c. de la línea de influencia y siguiendo después el mismo proceso,pero con el tren entrando por la izquierda.

Para diseñar, hay que calcular los valores de S para todas las posicionespeligrosas y tomar el mayor de dichos valores.

3.4.5 Caso particular de línea de influencia triangular

Los cálculos anteriores se simplifican mucho cuando la línea de influenciaconsiderada es triangular (Fig. 30.3).

Para averiguar si la situación de una carga cualquiera P sobre el vérticeconstituye una posición peligrosa:

1) Demos a PC un Ax hacia la derecha:

74 LINEAS DE INFLUENCIA

R, - t g a , + P, - tga , + R 0 - t g a : < 0

h htga, - , tga, =-

a L-a

Pc - h R D - h<0

T

Ri

a L - a L - a

R , ( L - a ) - ( P c + R ( ) ) a < 0

R , - L - { R , + Pc + R D ) a < 0

R s- Di < K T • —

u_L_Ui_LIf

RD

i

Figura 30.3

2) Demos a continuación a PC un Ax hacia la izquierda:

- - R , - -a L - a

>0

R , ( L - a ) + P c ( L - a ) - R D - a > 0

R , - L + Pt L - ( R , + Pc + R n ) a > O

aR , + P, > R (2)

De acuerdo con lo anterior, para que una posición dada sea peligrosa, enel caso particular de línea de influencia triangular, se necesita que una delas cargas esté sobre el vértice y que se cumplan las condiciones ( 1 ) y (2).

Ejemplo.Calcular el momento flector máximo en C, producido por el tren de car-

gas indicado (Fig. 31.3).


21 tn. c/u18tn. c/u 18 tn. o/u

1 2 3 4 5 6 7 8 9

L1_1_LJ LJ U_t- 1.6—' i.6~r i.ó*1* 1.6-r—3.a ~*~ 1.6^ 4.r -r i.6~í

18.00—

Figura 31.3

3 1tgct, =-, tga : =

4 4RT =177 tn.

Solución:1) El tren entra por la derecha.

a) J sobre el vértice quedan fuera de la viga.

R ' , = 1 4 1 t n . . R' . -=141 4-- =35.25 tn.L 18

R , = 0 < 3 5 . 2 5 . R , ^Pc =21<35 .25

.'. (D sobre el vértice no corresponde a una posición peligrosa.b) (3) sobre el vértice; © queda fuera de la viga.

R'T=159tn., RV- =\59-4-- =39.75 tn.L 18

R,-42>39.75. R , + Pc =63 >39.75

/. (D sobre el vértice tampoco corresponde a una posición peligrosa.En las dos últimas igualdades puede observarse que los miembros de la

i/quierda resultaron, ambos, mayores que los de la derecha. Cuando seavanza de derecha a izquierda, esto quiere decir que fue pasada una posi-ción peligrosa y que es necesario retroceder.

c) ® sobre el vértice; (D y © fuera de la viga.

70 LÍNl :AS 1)1 l\ I I'HNCIA

R 1 , = 141tiu - R ' , . =35.25 tn.

R ,=25<35 .25 , R, + Pc =42 <35.25

.'. (D sobre el vértice es una posición peligrosa (Fig. 32.3).

1 2 3 4 5 6i ^ ( ... |

¡_

1 oFigura 32.3

0

M c ~ (2 .9-4 .5)21+ [(5.7+ 4.1)18+ (11.9+ 10.3 + 8.7)21]= 322.8m-t4 4

Se prosigue el análisis en forma similar hasta completar el tren de car-gas.

2) El tren entra por la izquierda.a) (D sobre el vértice; (D, (D y ® dentro de la viga.

R ' T =63tn . , R ' T - a =15.75tn.L

R, = 42>15.75, R , + Pc = 63>15.75

.'. (D en C no es posición peligrosa.b) ® sobre el vértice; @ fuera de la viga.

R ' r =159tn.. RV:a = 39.75 tn.

R t = 1 8 < 3 9 . 7 5 . R, + P C - 3 6 < 39.75Como el tren viene de izquierda a derecha y los dos miembros de la

izquierda resultaron menores que los de la derecha, se concluye que sepasó por una posición peligrosa y que hay que retroceder,

c i •' sobre el vértice; ® y ® fuera de la viga.

R ' , =141tn. . a - R 1 , - 35.25 tn.L

R,=18<35 .25 . R¡ +PC =36>35.25

.'. (&) sobre C es una posición peligrosa (Fig. 33.3).

M ( = (2.9 + 4.5)18-4 4

LSIRUCTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS

En este ejemplo no se presentan otras posiciones peligrosas y el diseñose haría tomando como base el mayor Mc encontrado, es decir:

Mc =322.8 m-t

2.9 " • 1.6"- .VO — 1.6~~ 1.6~* 1.6"* 1.6

3.4.6 Determinación de la sección de momento flector máximoabsoluto. Teorema de Barré

En muchas ocasiones interesa calcular, para una viga simplemente apoyadasometida a la acción de un tren de cargas, en qué sección de la viga ocurreel momento flector máximo y cuánto vale éste (Fig. 34.3).

R

RR

Figura 34.3

Como se sabe, cualquier acción máxima ocurre cuando una de las cargascoincide con la sección. Supongamos que Pj es la carga bajo la cual está lasección en que el momento flector es máximo y sea R la resultante de todaslas cargas que actúan sobre la viga.

M = R - + S-a|-ZM i - P

78 LÍNIiAS !)!•• INFLUFNCIA

R A -

R| L -62

J2 L

6 _ a _ 8 _ 5 : 5_^1,4 2 2 2 L L

dM, 2-8 aJ- = O = - - - + -do L L

d:5 L/. se trata de un máximo.

Por lo tanto, la sección de momento flector máximo absoluto coincidirácon una de las cargas cuando ésta y la resultante de las cargas que actúansobre la viga estén simétricamente situadas respecto al centro del claro dela viga.

Debe notarse que cuando el sistema de cargas se desplaza sobre la vigapuede haber más máximos absolutos. Esto hace el cálculo algo latoso, peroen la práctica se simplifica considerando lo siguiente:

1) En general, el momento flector máximo absoluto ocurre bajo una delas cargas mayores más próximas a la R.

2) La sección de momento flector máximo absoluto queda muy próximaal centro del claro de la viga y, por lo tanto, se analizan sólo las sec-ciones próximas a dicho centro.

Ejemplo.Determinar el momento flector máximo absoluto producido por el tren

de cargas que se indica, sobre la viga simplemente apoyada de la Fig. 35.3.

Figura 35.3


Solución.Determinamos primero la posición de la resultante R:

IK'CL i •\ " s.u'-2.5

Lv LJ 1 J ^ í

7.0 *r~ <».;> '

Figura 35. 3

v 5 - 5 + 5 - 8 + l O - l l + S-O-lO^^

551) Situamos ® y R simétricas con respecto al CL, y trazamos la línea de

influencia para la sección bajo ®. Véase Fig. 35.3.

1 0 - 1 1 5

22tgot , =10

11.5 10-5; tga : =

22 22

M 4 = l- -(2,5-5+ 4/5-10 +7.5-5+ 10.5-5)+ l- -(10-4.5 + 20-6.5)- 133.5 tm22 22

2) P y R simétricas con respecto al CL.

R

5 6

' 1

- — 3.0

r i

- - 3.a ~

L___ i1CL

T- — --5.0— — •

t ,• ^̂7.0 -

Figura 36.3

Trazamos la línea de influencia de la sección bajo I. Véase Fig. 36.3.

LÍNIíAS DI: INR IJKNflA

tgcc, -13

22

M5 = — (2 -10 + 5 -5 + 8-5 + 13- 20)+— (7-10) = 182.5 tm22 22

3) ÍJBJ y R simétricas con respecto al centro del claro.Al situar (ej y R simétricas con respecto al centro del claro, la ÍP queda

fuera de la viga y la posición calculada de R no sirve, siendo necesariovolver a calcularla sin tener en cuenta la i :

50= 3.10m

Trazamos la línea de influencia para la sección (Fig. 37.3).

845

R\

c3 -

:

r-1*

í_ 1

1

r... i

*Y

j3 \ar /

^

0.55

Figura 37.3

8.45M = - • 50 • 8.45 = 162.1 tm < 182.5 tm

22Finalmente, el diseño de la viga debe hacerse para:

M4 = 182.5 tm

Capítulo IV

Arcos y pórticos ¡sostáticos

4.1 Introducción

En este capítulo se analizarán los arcos y pórticos isostáticos sometidos acargas fijas y cargas móviles. El análisis para cargas fijas, especialmente enlos pórticos, no requiere de ninguna teoría especial: es sólo la aplicación aestructuras más complejas, de los conceptos aprendidos en Resistencia deMateriales. Basta, pues, recordar las tres definiciones siguientes:

El momento flector en una sección dada de un elemento, es la suma delos momentos, respecto al centroide de esa sección, de todas las fuerzassituadas a un lado u otro de la misma.

La fuerza cortante en una sección dada de un elemento, es la suma, endirección perpendicular al eje del elemento, de todas las fuerzas situadas aun lado u otro de esa sección.

La fuerza axial en una sección dada de un elemento es la suma, en direc-ción del eje del elemento, de todas las fuerzas situadas a un lado u otro dedicha sección.

[81]

ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTICOS

4.2 Análisis de arcos inarticulados sometidos a cargas estáticas

4.2.1 Definición de arco

Desde el punto de vista mecánico, el arco puede definirse como un elemen-to constructivo en el que incluso para cargas verticales, surgen componen-tes horizontales de las reacciones. Estas componentes se llaman empujes yson las que diferencian los arcos de las vigas curvas.

En general, los arcos son de directriz curva (Fig. 1.4).

Figura 1.4

Si se desea, eliminar los empujes en la dirección de la recta que une losapoyos del arco, se puede sustituir una articulación extrema por un apoyomóvil, e introducir un tensor (Fig. 2.4).

Figura 2.4

ES I-RUCTURAS ISOSTÁTK'AS PLANAS

4.2.2 Cálculo analítico de las reacciones de apoyo

83

Sea el arco de la figura 3.4, solicitado por un sistema de cargas cualquiera:

Figura 3.4

Por comodidad, tomamos como componentes iniciales de las reaccionesen A y B, 7,^. Zg, VA y Vg, respectivamente.

Del equilibrio del conjunto:

-0; V B - L - I M A ( P , ) - 01=1

-0: \B(P,) = 0

n

SFX =0: Z ^ eos a - ZB • eos a + £ Pn = O

( 1 )

(2)

(3)

(4)Del cuerpo libre AC:

!MC=0; V A - L , -Z , -h-IM c (P 1 / q ) = 0

De las 4 ecuaciones anteriores se obtienen V^, Z^\ Vg, Zg y. a conti-nuación:

H v = Z A -cosa, HB = ZR -cosa,

V ' A = H , . t g a , V'B = H B . t g a .

V ; = V A + H A - t g a , V'B = V B - H B - t g o .En el caso particular en que todas las P¡ sean verticales (Fig. 4.4. a):

84

X7////

1


a)

b)

c)

SV&7

d)

Figura 4.4

.

I M B ( P , )De (2) V A = i = --A,,

siendo AQ y BQ las reacciones en A y B de una viga equivalente al arco(esto es, una viga de eje recto con la misma luz y las mismas cargas que elarco).

De (3)

De (4)S P = 0 : Z = Z ; . . H A = H B = HA B . . A B

V A - L -Hh

cosa


Siendo MU el momento Héctor en el punto C de la viga equivalente.

4.2.3 Cálculo de las acciones interiores (M, V y N)

De la figura 5.4:

<P

Figura 5.4

M = V - x -7 - h = EP i z q ív -v ^ - ^ * P i z q f x -x \k V A A K *-A M K **ri\K J,' -ri> * A K *i.t

Vk =ZF^zq =V A -cos(p-IP^q • sen cp - IP,;¿q - c o s o - H A -senp + HA - t g a - c o s < p

NK = ^ • tea -coso - IP;̂ • eos q> - EP,'%7<1 -sentp^- H x -cosíp

Si todas las cargas son verticales (véanse las figuras 4.4 y 5.4):

M k -Ao"*t -ZA - h K -IP,^(xK -x,)«M{ -ZA - h K

siendo MJ el momento flector en el punto k de la viga equivalente.

Para un claro y un sistema de cargas dados M£ es conocido, al igualque Z¿\ el Mn puede anularse si se varía convenientemente h^. es decir, sise elige convenientemente la directriz,

VK = (AO - Z,P¡2<] )cos o - H • sen q> + H • tg <x • eos q>

VK = V0K • eos (p - H - sen (p + H • tg a • eos (py. en forma similar.

N K = V^ • sen (p + H • eos cp + H • tg a • eos (p

siendo V(^ la fuerza cortante en el apoyo k de la viga equivalente.

86 ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTICOS

4.2.4 Cálculo gráfico de las reacciones de apoyo y de las accionesM, V y N

1") Reacciones de apoyo (Fig. 6.4):a) Se obtienen las resultantes Rj y R¿, de las fuerzas que actúan en el

semiarco izquierdo y de las que actúan en el semiarco derecho.b) Se calculan las reacciones en A y B como si sólo existiera Rj para ob-

tener Aj y Bj.c) Se calculan A¿ y B^ como si sólo existiera Rj.d) Mediante un polígono de fuerzas, se componen las reacciones anterio-

res para obtener R^\ Rp.

R,

Aft/X, \'

Bd

A,

2°) Acciones interiores (M. V y N) (Fig. 7.4):a) Se obtienen las reacciones en A y B, como se indicó en el punto ante-

riorb) Se construye el polígono de fuerza P j , ?2, Pjy RA V R-B-c) Se construye el polígono funicular correspondiente.

Ps

I - . S I K I •( u RASISOSTÁTICASPLANAS 87

d) Se aisla un tramo del arco que contenga a la sección k. donde se quie-re calcular las acciones M, V y N (Fig. 8,4):

M K ( A ) - M K ( P , ) = M K ( R , ) =

R , . r = R ] X . y = N - e

V K = ( R , ) vN K = ( R >

Figura 8.4

Si todas las fuerzas son verticales (Fig. 9.4):

M K ~ R I X ' y = H • y = Gráfico rayado x H.De otra parte, si la directriz del arco sigue la línea de presiones i l i ivu

RA- R]. R2 y RB del funicular), las ordenadas valen cero. Por lo lanío,M K = 0 ,

y se tiene entonces el llamado arco de configuración racional, o arco an t i -funicular de las cargas.

4.2.5 Arco de configuración racional

a) Con carga vertical cuya intensidad no dependa de la configuración delarco (Fig. 10.4):

ARCOS Y PÓRTICOS Isos i ÁTICOS

i r

Figura 10.4

De la sección 412:

M K = M 0 K - Z A . h K = M * - H . y K .Pero, como el arco es de configuración racional,

HO sea. el eje del arco tiene la misma forma que el diagrama de momen-

tos flectores en la viga equivalente.W. por ejemplo, cuando la carga es uniforme, el diagrama de momen-

tos flectores en la viga equivalente se representa con una parábola cuadra-da: en consecuencia, también el eje del arco es una parábola cuadrada (Fig.11.4). Si la carga varia linealmente (Fig. 12.4), entonces el diagrama de losmomentos flectores en una viga simplemente apoyada y el eje racional delarco serán parábolas cúbicas.

3b/m

Figura 11.4

/4.12'

6.0 m

5 m 4.875 m

! 2 m

Figura 12.4


b) Con carga vertical cuya intensidad depende de la configuración del arco(Fig. 13.4):

dZ

n7>7-T^

q(Z)

Figura 13.4

IFZ =0; N • eos a - (N + dN)cos (a + da) = O

ó N • eos a - [N • eos a + d(N • eos a)] = O.*. d (N-cosa ) = 0

.'. N • eos a = H = const.IF =

N • sen a + q(z)dz - [N • sen a + d(N • sen a)] - O

ddz

d

(N-sena)=q(Z)

t. dy '(H • t s a ) = : idz dz d?

d ~ y q(Z) /= ^ecuación del eje).

Sea, por ejemplo, un arco simétrico (véase la figura 14.4) sometido a la

carga expresada por q(Z) = q0 + y • h .

i4o

ry

Figura 14.4

La ecuación diferencial del eje es:

90 ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTATICOS

dz2 H

ó ^-K'.y = 52K2dz2 y

-, ydonde K ~ = — y :

H "H = presión horizontal del arco.La solución de la ecuación diferencial tiene la forma:

v - Aserti\(K • Z) + £cosh(K • Z) - .̂;r

dy= K • Acosh(K • Z) + K • B senh(A'Z).

diLas constantes de integración se determinan por las condiciones en el

origen de coordenadas para el arco simétrico:

Z = 0: d>-=0 .'. A -Odz

Z = 0; Y = 0 /. B = ̂ ;Y

y la ecuación del eje racional es

°-(cosh(K-Z)-l).y

La ecuación anterior también puede escribirse como sigue:

q arranque = C lo + Y '

q,,

= (cosh(KZ)-l).m- 1

El parámetro de la curva. K 2 = -- , se determina por la condición que el

eje del arco pase por el apoyo: esto es:

,

coshÍK-|-lm-l 2

ESTRl C' I 1 IRAS ISOSTÁTICAS Pt.ANAS 91

.'. m = cosh K - K = -acosh(m).I 1) H L

Una vez calculado m. se obtiene fácilmente la expresión para el empujeH debido a la carga:

K : f - K 2

La fuerza axial en cualquier sección del arco es:

N = -H /l + tg 2 c t ; tg a = dy = - - K s e n h ( K - Z )eos a dz m - 1

-/. N = H 1- - - s e n h : ( K - Z ) ;

(m-1)-

" "K " - f " i _ 2 Í K * L ] ., •> r - m + l= H 1 - - senh - ; = H 1 + K • f

í 1V *) m — 1

La componente vertical de la reacción de apoyo se determina por la pro-yección de la fuerza Nm¿x sobre el eje vertical.

V = NnúxSena;,rr = ̂ ' tg Ctarr

f ( LV = H- -Ksenh! K-

m-1 V 2c) Con carga radial (Fig. 15.4):

•-

•• • .

d<p/2 xdtp/2 N+d-

Figura 15.4

:. dN-0

.'. N = const.En el caso de carga radial, la fuerza axial en el arco, trazada por la curva

funicular es constante a lo largo de toda su longitud.


sen

vr dcc vi dctLíy = N • sen + N • sen - q • ds = 0;2 2

da _ da2 2N - const.

/. p =q

que es la ecuación diferencial del eje racional del arco que coincide con lacurva funicular en el caso de una carga radial. Para el caso en que q seaconstante, la curva es un arco de circunferencia.

4.3 Análisis de arcos inarticulados, con cargas móviles

4.3.1 Líneas de influencia de las reacciones de apoyo

Las líneas de influencia de VA y Vg son idénticas a las de las reaccionesen A y B de la viga equivalente, como se ve en a) y b) de la figura 16.4.

Para obtener la l.i. de H. se parte de la expresión:

M?,

y de forma similar, para la l . i . de Z, de:

Z =H M

cosa

Las correspondientes líneas de influencia se indican en c) y d) de la figu-ra 16.4.

Finalmente, para obtener las l.i. de las reacciones verticales totales en Ay B. VAT, y Vgy, partimos de:

VAT =V A + H - t g a y

VB T=VB -H-tga

Obteniéndose los gráficos de las figuras 16.4 e y f.


L-X

H

V

1

i i VA-

LÍ. VB

l.i. H

*

a)VA=Ao

U

fb)

tih

( -

O

l.i. / L • - •.

"(LrL2V(h-L)

H =I<eos a h

l.i. V*

l.i. VBT

VAT-VA+Htan a

VB-r--VB-Htan a

O

Figura 16.4

4.3.2 Línea de influencia del momento Héctor

a) Analíticamente (Fig. 17.4):Se parte de:

94 ARCOS Y PÓRTICOS IsosiÁTicos

Se construye primero la l.i. de M£ , después la de H-IK (Fig. 17.4. a y b)y se superponen (Fig. 17.4, c); a continuación, para mayor claridad, se lle-van las ordenadas de la l.i. resultante a partir de una línea base horizontal(Fig. 17.4, d).

LI

XK

• I K1

, ^k

i(->r~

*

...

! '

a)

' ,<*) n

l.i.Mf

\-v.I j . H - f , -

(+)"

b)

(-) IK

C)

xn d)Figura 17.4

La abscisa del punto de ordenada nula Xm, se obtiene fácilmente deuna relación de triángulos semejantes:

L-Xv

b) Gráficamente (Fig. 18.4):

ESTRIV I I RAS ISOSTATICAS PLANAS

La posición del punto Xm puede obtenerse gráficamente si se parte de ladefinición de línea de influencia. En efecto, de acuerdo con la figura ante-rior, hay una posición de la carga sobre la recta intermedia, tal que el mo-mento ílector en k es nulo: además, para que MK=O, se necesita que lareacción en A pase por k precisamente. Por otra parte, la reacción en Bdebe pasar por B y C (la única carga actuante. P=l, está entre k y c). Por lotanto, la posición de P que hace Mj^=0, está dada por la concurrencia deRA y RB (Fíg- is.4).

Una vez calculado Xm. se levanta, sobre el apoyo donde esté la secciónk, una ordenada igual a X^: la unión de Xm y X^ define la recta interme-dia, válida de k a c. Las rectas izquierda y derecha quedan definidas inme-diatamente.

K

P=l

X,

, '

i

I

B

'

Figura 18.4

4.3.3 Línea de influencia de la fuerza cortante

a) Analíticamente (Fig. 19.4):Se parte de la expresión:

VK = VQ • eos cp - H(sen o - tg a • eos (p)Superponiendo las líneas de influencia y dibujando después el diagrama

resultante sobre una línea base horizontal, se obtiene la figura 19.4, d).El punto para el que la ordenada de la línea de influencia es nula (punto

de abscisa Xy). se encuentra por relación de triángulos semejantes:1

X, =i; ( t g q > - t g a ) + L

b) Gráficamente (Fig. 20.4):

96 ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTÁTK OS

Existe una posición de la carga sobre la recta intermedia, tal que Vk=0.para lo cual la reacción en A debe ser paralela a la tangente en k y la reac-ción en B debe pasar por C. El punto de concun-encia de RA y Rp define laposición de la tercera fuerza del sistema. P. Una vez obtenido Xy. se le-vanta sobre A una ordenada igual a coscp y se define la recta intermedia,válida de k a c. La recta izquierda es paralela a la intermedia, y la derechase define de inmediato (Fig. 20.4),

C

coscp

LI / \-.- (sen cp - lau óteos cp J

coscp

coscp

a)cosíp

h)

I

"^ (sen cp - tan a • eos i

-2 (sen (p - tan a eos (p)

coscp

Si el punto k está situado en el semiarco derecho, se procede midiendocoscp en B y hacia abajo.


Figura 20.4

4.3.4 Línea de influencia de la fuerza axial

a) Analíticamente (Fig. 21.4):

Se parte de: NK = v£ • sen (p + H(COS cp + tg a • eos o)La abscisa Xn se obtiene de la relación de triángulos:

1 • sen o 1X

^ tga -sen o)-sencp ^ (ctgcp + tga)-L

b) Gráficamente:Para que la fuerza axial en k sea nula, estando P=l entre k y C. se nece-

sita que RA sea paralela al eje \". en estas condiciones Rg pasa por C, y laposición geométrica de P está dada por la intersección de RA y RB- Para

que P actúe entre k y C es necesario imaginar que está aplicada por mediode un brazo rígido que efectúe la transmisión. Una vez definido Xn. laconstrucción es similar al caso de la fuerza cortante, recordando que lasrectas izquierda e intermedia son paralelas (Fig. 22.4).


sen

-1- (eos q> + tan a • sen tp)

seníp

seníp

Xn

—- (cos<p + tan asen <p)

;2- (coscp + tanasentp)

Figura 21.4

Figura 22.4


4.3.5 Transmisión indirecta de la carga

Cuando las cargas no actúan directamente sobre el arco, sino que lo hacena través de elementos secundarios, se procede como en el caso similar delas vigas: primero, se obtiene la línea de influencia deseada, como si sóloexistiera el elemento principal, y después se va modificando aquélla te-niendo en cuenta los elementos secundarios. En relación con estos últimos,basta con definir dos puntos de la recta de transmisión: en general, los apo-yos.

Así se construye, por ejemplo, la l.i. del M^ (Fig. 23.4).

Fi_ . -

En trazo discontinuo se ha dibujado la l.i. del M^, como si no existieranlos elementos secundarios. Después, cuando la carga P=l está sobre D.Mk=0 y se obtiene el punto **d": cuando P está en E, se transmite íntegrapor el apoyo a la recta izquierda, y se tiene el punto "e", e inmediatamentela recta de transmisión "d-e". Cuando la carga P está en F, se transmiteíntegra por el apoyo a la recta derecha, y se tiene el punto 'T': y así. suce-sivamente, hasta "h".

En forma similar se obtiene la línea de influencia de V^. en la figura24.4.

El único detalle que hay que destacar aquí es el siguiente: en tanto lacarga se mueva de E a F. se transmite por H al semiarco AC, y por lo tantoes válida la recta izquierda que llegará de "e" a "f'. El resto de la construc-ción no ofrece particularidades.


Figura 24.4

4.3.6 Línea de influencia de los momentos nucleares

( 1Los arcos son. comúnmente, de reducida curvatura > 10

lhtensiones normales se pueden determinar por:

N M

, y en ellos las

N Mo = — + -

A W. A WK

siendo.a, b. las caras externa e interna del arco (Fig. 25.4).

c1

^

1c

J1

_... k. i *S

¿tí"T

b

1ha

hb1

Figura 25.4

Las tensiones máximas en a y b, cuando la solicitación sea un tren decargas móvil, no serán fácilmente calculables, pues las posiciones que


hacen máxima la fuerza axial y el momento flector no coinciden, lo queobliga a proceder por tanteos.

En vez de trabajar con el momento flector, respecto al centroide de lasección, conviene trabajar con el momento nuclear.

El momento nuclear se define como el momento de las tuerzas que estána la izquierda (a la derecha) de una sección, respecto al extremo superior einferior del núcleo central de dicha sección.

Sea R la resultante de las fuerzas que están a la izquierda de una sección.y N y V sus componentes según los ejes normal y tangencial,respectivamente.

OM

La componente N puede trasladarse al punto "i" (extremo inferior delnúcleo central de la sección transversal del arco), (Fig. 26.4). siendo:

M, =N(e + K)La componente N aplicada en "i" origina un diagrama de tensiones

triangular, con valor máximo en la cara "b", en tanto que M, da lugar atracciones en la cara "b" y compresiones en "a".

MDe acuerdo con la figura 26.4: o.¿ = O + -

En forma similar puede obtenerse, crb aplicando N en "s":oh =


De este modo se logra, expresar las tensiones en el trasdós y en el intra-dós del arco en función de una sola variable: MÍ y Ms, respectivamente^Laposición de las cargas que haga máxima o mínimas estas tensiones, será lamisma que haga máximos (o mínimos) MÍ y Ms, por lo que será necesarioconstruir las líneas de influencia de estos momentos. Las líneas de influenciade los momentos nucleares se construyen por las mismas reglas que las líneasde influencia del momento central, con la sola diferencia de que las rectasizquierda y media se cortarán por debajo del correspondiente punto nu-clear, extendiéndose sus partes útiles hasta la vertical que pasa por el puntocentral de la sección (Fig. 27.4).

Para ver dónde colocar las cargas para obtener los valores máximos (omínimos) deseados, basta recordar que:

oa está relacionado con Mt ya^ está relacionado con Ms

y, además, la convención de signos de resistencia de materiales para elmomento flector:

D DM > 0

Así. en la misma figura 27.4, para obtener:Tracción máxima en "b", habrá que cargar 1-2Compresión máxima en "b". habrá que cargar 2-3

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS

Tracción máxima en "a", habrá que cargar 2'-3'Compresión máxima en "a", habrá que cargar 1 '-2'

103

4.4 Análisis de pórticos isostáticos

4.4.1 Gráficos de M, V y N, para cargas fijas

Estudiaremos este párrafo mediante la solución de algunos ejemplos.Ejemplo 1.Construir los gráficos de M, V y N del pórtico de la figura 28.4.

q=3t/m

El i l i

í.

A

¡ I I ! aG D

F

^* '-2.0 T -4

12 tn.

>7 J

4.0

4.0

4.0 Bv

Figura > -

1°) A partir del cuerpo libre del sistema completo, se calculan las reaccio-nes de apoyo que sean fácilmente calculables:

En este caso:SMA -0; 3 - 6 - l - 1 2 - 4 + 8 - B v -O

48-18 15.. Bv = - - = — tn.

8 487

E F = 0 : A - 3 - 6 - — -O .-. A = tn.4 4

Las reacciones Ax y Bx no pueden calcularse a partir del cuerpo libregeneral.2°) Se pasa al análisis de cada una de las partes constitutivas del pórtico.Aquí vale aclarar que conviene separar el pórtico por sus articulaciones yanalizar el equilibrio, primeramente, de aquellas partes donde aparezcanmenos incógnitas.


8.0

Una vez resuelto el equilibrio de cada pane, la construcción de los gráfi-cos es inmediata.

a) Cuerpo libre ACG (Figura 29.4). En él aparecen sólo tres incógnitas ypor lo tanto puede resolverse completamente:

3t/m87

=0; 8 A + 3 - 6 - 3 -

_ 8 7 - 5 4 _ 3 3A „ — — tn.

8 8

IF =0; /. G = —tn.8

¡_ 2.0 I 4.Q |

Figura 29.433

SMA =0; - 8 - 3 - 6 - l + 4Gy =0;8

-33^18 -15.. uv =— - = - -tu.

4 4El signo menos indica, como siempre en estos problemas, que el sentidosupuesto para Gy es incorrecto y debe ser hacia abajo.Queda todavía una ecuación. IF, =0 . que es conveniente utilizar con

fines de comprobación:87 15

SF =0; - 6 - 3 = 04 4

A continuación puede precederse a la construcción de los gráficos paraesta parte del pórtico, figura 30.4.

33 39

l!li!|iiríTÍTT":l !. -.c, ficr

V ' I 5f* A— t— -J '

X 4

33

8

15

4

, A [JV

33

ÍC

NFigura 30.4


Tramo AC:El momento flector varía linealmente de O en A, a un máximo en C:

Mr = —8 = 3 3 t - m8

fraccionando las fibras de la izquierda, y en esa parte dibujamos el diagrama.33

La fuerza cortante, vale -- t y se mantiene constante en toda la longi-o

tud. El signo de esta fuerza cortante es negativo, pues gira en sentido con-trario al reloj respecto a cualquier sección de AC.

La fuerza axial vale — t , es de compresión y se mantiene constante.

Tramo EC:La ecuación del momento flector para cualquier sección es:

M = 3— , variando de cero a un máximo para x=2:2

M r = - - = 61 - m2

este momento tracciona las fibras superiores.La fuerza cortante vale:

V = q • x y varía de cero a un máximo para x=2:V =6tn.

Esta fuerza cortante es negativa, pues también gira en sentido contrarioal reloj respecto a cualquier sección del tramo EC.

La fuerza axial es nula en todo el tramo.Tramo CG:

En este tramo, el análisis es más fácil con las fuerzas a la derecha de unasección genérica 1-1:

La ecuación del momento flector es:

15 3x2M = — x + - . variando de cero a un máximo para x=4

4 2

M r = — 4 + 3 - = 3 9 t - m4 2

este momento tracciona las fibras superiores. ^Debe comprobarse el equilibrio del nudo C:

39-33-6 = 0La fuerza cortante vale:


V = - + 3x , y varia de cero a un máximo para x=4:

15 63Vr = - + 3 • 4 = — t - m

4 4Esta fuerza cortante es positiva pues gira en sentido del reloj respecto a

una sección genérica 1-1.La fuerza axial vale:

Nc : - tn . . es de compresión y se mantiene constante en toda la longitudo

CE.Debe comprobarse también el equilibrio del nudo C para las fuerzas

actuantes en él: 6

33 d- 63 8

4 T~a) Cuerpo libre GDB (Fig . 31.4):

•i^ —»T yL. _v^ ND

8 15_ L .y

F[2 En él sólo aparece una incógnita Bx y

puede calcularse inmediatamente:

VT~ n 33 63 ^IF -0: Bx =12- = tn.y»

154

Figura 3 1.4

A continuación se construyen los gráficos para esta parte del pórtico.figura 32.4.Tramo BF:

El momento flector vale, para cualquier sección:

M = — y . variando de cero a un máximo para: y=4:

M , = — t - m traccionando las fibras interiores.2

La fuerza cortante vale:

V = - tn.. se mantiene constante hasta F y es negativa.

ES TRUC r iJRAS ISOSl ÁTICAS PLANAS 107

0 0

154 G D

338

338

BV N

Figura 32.4

La fuerza axial es de tracción y vale:

N = — tn., manteniéndose constante hasta F.4

Tramo FD:El momento flector en una sección genérica del tramo vale:

M = - (4+y) -12y , variando de:o

63y = 0: M f = — t - m a

2

y = 4; Mn = — (4 -4 ) -4S = 15m.J U o *

O

La fuerza cenante vale:

V - — + 12 = -" tn.. manteniéndose constante de F a D.8 8

Debe observarse que ocurre un "salto" en el diagrama de fuerza cortan-te, en el punto de aplicación de la carga concentrada; la magnitud de este"salto" es justamente el valor de la carga.

La fuerza axial vale:15

Nr = — tn.. se mantiene constante y es de tracción.4

Tramo GD:El análisis de este tramo conviene hacerlo con las tuerzas situadas a la

izquierda de la sección genérica.La ecuación del momento flector es:


M = — x , variando de cero a un máximo para:4

x=4; M D = —4 = 15 t - m , traccionando las fibras inferiores.

Nuevamente conviene comprobar el equilibrio del nudo D:*

15 D15-15 =

15La fuerza cortante vale:

V = — tn., se mantiene constante hasta D, y es positiva.4

La fuerza axial es de compresión y vale:

N = — tn.. manteniéndose constante hasta D.4

Debe comprobarse también el equilibrio del nudo D para las fuerzasactuantes en él:

338

154

I F = 0 ;'15

4El problema se finaliza construyendo los diagramas definitivos sobre el

esquema del pórtico (Fig. 33.4).33815 ^niEMOpiniME

cI 87

1

NV

Figura 33.4

Ejemplo 2.Construir los gráficos de M, V y N para el pórtico de la figura 34.4

•áF


1°) Reacciones de apoyo:Del cuerpo libre del sistema completo, la única reacción fácilmente

calculable es

Ax=2-4s8tn.Las demás reacciones se calcularán posteriormente, al analizar las partes

componentes de la estructura.

10 tn.

4.0

E

4.0

A

iS

t

B

D

2t/m

tí &&?

Figura 34.4

2°) Cuerpos libres y análisis de los componentes: conviene empezar por loscuerpos libres donde aparezcan menos incógnitas,a) Cuerpo libre CS:

La carga de 10 tn. puede considerarse en este cuerpo libre o en el SFD(pero sólo una vez). La consideraremos en el SFD.

c ,

v i i Sy= 0: Cv =0 /. S> =0

M=V=0

N

Figura 35.4

IFX =0; Cx =

/.El diagrama de M y el de V son nu-los.

El de N lo construimos cuando calcu-lemos Cx (Fig. 35*4).

b) Cuerpo libre SFD:

110

5=SX ¿ F

IIX=

ARCOS Y PÓRTICOS ISOSTATICOS

ZFy=0; .'. D, =10tn. t

IM D =0; Sx = - -=5tn.4

IFX =0; D, = 5tn.<-

Dy=\0

Con los valores anteriores, podemos construir los diagramas de M, V yN (Fig. 36.4) del tramo SFD y el N de CS.

, -i1" 5RCT•̂

s

M

¿V

JUS

HV N

(C)

10

tuerzas:

l i oFigura 36.4

Es fácil comprobar que el nudo F está en equilibrio de momentos y de

JOF L_

:

10c) Cuerpo libre CEDB (Fig. 37.4). Aparecen tres incógnitas y por lo tanto

pueden calcularse:SFX =0: Ex+5-5-2-4 = O

/. Ex =8tn.->

IME -O

5 - 4 + 4B, - 8 - 2 - 1 0 - 4 = 0

B>=-


8-Ex

Cx=5

Dy=10

Dx=5

2l /m

Figura 5" -

El sentido supuesto para Bv es el real:2F V =0: Ey+9-10*0 .'. E v = l t n . t

Una vez calculadas las reacciones se construyen los gráficos de M, V yN(Fig. 38.4).

c c c

20

D20

16 I)1

M H

t

11Figura 38.4

O

9(C)

N

Tramo CE:El momento tlector vale M = 5x . variando de O a un máximo para

x = 4.M = 5 • 4 = 20 tn., fraccionando las fibras de la derecha.

La fuerza cortante vale V = 5 tn.. es negativa y se mantiene constante entodo el tramo.

La fuerza axial es nula. N = O.Tramo DE:

El momento flector tiene por ecuación: M = 5 • 4 - 1 • x . variando de:x = 0 M = 20tn. en E,a

x=4 M = 20-4 = 16tn. en D


La fuerza cortante V = 1, es positiva y se mantiene constante.La fuerza axial N = 8-5-3tn., es de compresión y se mantieneconstante en el tramo.

Tramo DB:Aquí conviene plantear las ecuaciones con las fuerzas que están debajo

de una sección genérica 1-1:i

x"El momento Héctor vale: M = 2 variando de:

2

x = 4 VD=2.4=8ta.siendo positiva en todo el tramo.

La fuerza axial N = 9 tn., es de compresión y se mantiene constante.Como siempre, debe comprobarse el equilibrio del nudo D para momen-

tos y fuerzas:

_ D L_}; -VD.6 ~

^

V

16

IMD =0: 16-16-0

IFX =0: 3 + 5-8 = 0

SF =0; 10-9-1-0

d) Cuerpo libre AE (Fig. 37,4): del equilibrio se obtiene inmediatamente:

1

B

t-m

A, = l tn .

Az = -32 t - m y el signo menos indica queel sentido correcto del momento de empotra-miento en A, es contrario al supuesto.

A partir del equilibrio, los gráficos M, V yN se obtienen como de costumbre (Fig. 40.4):

Ay=l

Figura 39.4

A

Ei

=E3 32 8M

Figí

i

í<-)=

V

jra4C

E

A 1

.4

1

(c;

N


El momento flector vale M = 8x. variando de O a un máximo parax = 4 , M = 8 • 4 = 32 . traccionando las fibras derechas.

La fuerza cortante V - 8 tn.. es negativa y se mantiene constante.La fuerza axial N = 1 tn., es de compresión y constante.Una vez completado el análisis de cada una de las partes, se construyen

los diagramas definitivos (Fig. 41.4):

stnicüirmín'_!

M

> "l

|j I [ M 1

.

J ! i I i f+)l 1 5 i8 j-.i_

\V

Figura 41.4

1

-

i

,¿>zb?l

N

4.4.2 Líneas de influencia en pórticos isostáticos

Las líneas de influencia del momento flector. la fuerza cortante y la fuerzaaxial en pórticos isostáticos sencillos (una luz y un nivel), se construyen enbase a los mismos principios que las correspondientes lineas de influenciaen los arcos inarticulados. Puede emplearse, por lo tanto, el método analíti-co o mejor aún el método gráfico visto en 42.

En la figura 42.4 se han construido algunas de estas líneas a título deejemplo.


t i

l.i. VK

Figura 42-4

Capítulo V

Teoría de los desplazamientos

5.1 Introducción

5.1.1 Generalidades

El estudio de los desplazamientos de las estructuras es indispensable para:a) Cuantifícar la rigidez de la estructura y poder diseñar ésta por el segundo

estado límite (limitación de las deformaciones).b) Confrontar los desplazamientos teóricos y experimentales.c) Calcular los sistemas hiperestáticos, puesto que las ecuaciones necesa-

rias para el análisis de estos sistemas, además de las proporcionadas porla Estática, se establecen a partir de condiciones impuestas a los despla-zamientos.

5.1.2 Diferencia entre desplazamiento y deformación

Un desplazamiento se define como un cambio de posición en tanto que unadeformación además del cambio de posición, implica un cambio de formadel eje del elemento tal como se indica en la figura 1.5.

[115]

116

Desplazamiento

TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS

Desplazamiento

Deformación

Figura 1.5

5.1.3 Notación

Tanto los desplazamientos lineales como los angulares se designarán con Ay un doble índice: el primero indica el punto y dirección del desplazamien-to y el segundo, la causa (una fuerza, un gradiente de temperatura, etc.) quelo origina (Fig. 2.5;

m

Figura 2.5

Si la causa que origina el desplazamiento es una fuerza unitaria (Pm=l),el desplazamiento se indicará con "5" y los dos subíndices indicados ante-riormente.

Así, si Pm-l

5.1.4 Hipótesis

Las únicas hipótesis de que se parte son:1) Los materiales que constituyen la estructura siguen la ley de Hooke (Fig.

3.5).

P i

P=K-A

Figura 3.5


2) Los sistemas son tales que se deforman linealmente, es decir, se les pue-de aplicar el principio de independencia de acción de las fuerzas. En es-tos sistemas, cualquier desplazamiento A¿, debido a vanas fuerzas Pj, ...Pn, en una dirección dada, es función lineal de estas fuerzas:

A,=5,, . p ] + 5 j 2 . p 2 + . . . + 8 i n . p n

*

donde 5]K = —— es el desplazamiento unitario debido a la fuerza PK*\) Las cargas se aplican lentamente, es decir, no hay problemas de impacto.

5.1.5 Trabajo real de las fuerzas externas

El trabajo real de las fuerzas externas se define como el que éstas realizanen los desplazamientos producidos por ellas mismas. Las fuerzas externasdeformando la estructura (Fig. 4.5) realizan un trabajo positivo. Este traba-jo se transforma totalmente en energía potencial de deformación, acumula-da por la estructura durante su deformación. Las acciones interiores, duran-te la carga de la estructura, se oponen a la deformación del cuerpo y reali-zan un trabajo negativo. Durante la descarga, las fuerzas externas realizanun trabajo negativo, y las acciones interiores, haciendo volver la estructuraal estado inicial indeformado, realizan un trabajo positivo, con lo que seconsume la energía potencial de deformación. Por lo tanto, el trabajo de lasfuerzas internas es igual, pero de signo contrario, al trabajo de las externasy a la energía potencial de deformación, contada desde el estado inicial.

T = - V = USiendo:

T = trabajo de las fuerzas externas.V = trabajo de las acciones interiores.U = energía potencial de deformación.Veamos cuánto vale el trabajo real de una fuerza externa P:

I dP

Figura 4.5

118 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOS

Aplicamos primero P que, al deformar la estructura, origina un despla-zamiento A del punto de aplicación "m". Al incrementar P en un diferencialdP el desplazamiento A se incrementa en un dA, teniendo lugar un trabajoelemental dT que vale:

dT = (P + dP)dA - P • dAsi se desprecian los diferenciales de orden superior.

El trabajo total, cuando el desplazamiento final sea Amm, se calculacomo la suma de los trabajos elementales:

/Amm /Amm /\

La presencia del 1/2 se justifica por la aplicación lenta de las cargas.Si el material es elástico, el trabajo es igual al área bajo la recta en el

gráfico P-A (Fig. 5.5).

P

Figura 5.5

Si el material no sigue la ley de Hooke (Fig. 6.5), puede definirse untrabajo complementario T*, que no tiene significado físico, tal que:

airan- P - d A = f A - d PT* = Pra At

Este trabajo complementario es, lógicamente, distinto del trabajo real T:(Amm

T= P - d A


5.1.6 Energía de deformación y energía complementaria de de-formación

Supóngase una relación tensión-deformación no lineal como la dela figura 7.5. La integral bajo lacurva OA representa la densidadde energía de deformación:u

U0

•

ecFigura 7.5

U0 =

La energía total de deformaciónalmacenada en el elemento se obtieneintegrando la densidad de energía dedeformación en todo el volumen del

U0 =

mismo:\)

El área comprendida dentro de la curva OA y el eje c representa la den-

sidad de la energía complementaria de deformación U0 y se calcula:

(3.5)

A partir de esta ecuación puede calcularse la energía complementaria dedeformación U :

U• • í: ísdo dV (4.5)

Para los reticulados y en general para las estructuras lineales, convieneexpresar la energía de deformación en función de las acciones interiores.Como se sabe, esta energía para el caso en que el material siga la ley deHooke, los elementos sean de poca curvatura y la estructura sea espacial,está dada por:

v? . , _v[_d s_'l^y 2GA

(5.5)M:

—2EA 2GAds

2EL 2EL 2GJds


siendo:N, la fuerza axial en la sección.Vx, Vy, las fuerzas cortantes según los ejes x, y, respectivamente.u,x, jj.y, coeficientes de distribución de las tensiones tangenciales.Mx, My, momentos flectores, según los ejes x, y, respectivamente.Mz, momento torsor.A. área de la sección transversal.Ix, Iy, momentos principales de segundo orden, de la sección transversal.J, momento polar de inercia.E, G, módulos de elasticidad y de Young, respectivamente.Como ejemplo de la forma en que se obtiene la expresión anterior, se

calculará la energía de deformación debida a la fuerza cortante Vy.Considérese un elemento de longitud ds (Figura 8.5).

i

h t

Vy

* ~-

Tfxy

Sá• "r i -

Figura 8.5

La energía de deformación elemental debida a la fuerza cortante puedeexpresarse en función de las tensiones tangenciales:

I r 1 r T=- f T x xy x vdA=- Í T X V

2 JA x> xy 2 JA sy G-dA (6.5)

pues.

í XV

"xy

xy

las tensiones tangenciales cuando no hay carga sobre la superficie de labarra valen:

I.b (7.5)


siendo:Vy, la fuerza cortante en la sección.S, el momento de primer orden, respecto al eje x centroidal, de la parte

de la sección transversal que queda por arriba o por debajo de la fibra don-de se calcula la tensión i.

b, el ancho de la sección transversal donde se calcula t.Ix, el momento de segundo orden, respecto al eje x, de la sección

transversal.Sustituyendo en (6.5):

1 r V;-S : V2

2 K f~- T 2 i_ 2 "1 i/"1 A* GI • b 2GAxsiendo:

un factor que toma en cuenta la distribución no uniforme de la tensión tan-gencial en la sección transversal.

La energía de deformación en todo el elemento de longitud L valdrá:

U = -vy 2GA

Si la estructura es plana la ecuación (5.5) se reduce a tres términos:

U = SÍ í'lds+lf — ds + z f u . y ^ds (10.5)¿2EA J 2EI 1 y 2GA

Como se sabe la importancia de estos (términos, d^ el cálculo de la ener-gía potencial de deformación, varía con el tipo de estructura:

En pórticos sin tensores y en arcos en los que la relación de la luz a laflecha sea menor o igual a cinco, domina el efecto del momento flector.

En armaduras, el único efecto a considerar es el de la fuerza axial.En pórticos con tensores, en problemas de temperatura y en arcos con

relación de luz a flecha mayor que cinco, son dominantes los efectos delmomento flector y de la fuerza axial.

Por último, en algunos arcos y vigas en las que la altura es comparable ala longitud, (viga pared o muro de cortante), hay que considerar los tresefectos.


5.1.7 Trabajo real de las fuerzas externas en función de las ac-ciones interiores M, V y N

Sea la viga de la figura 9.5, de la que extraemos un elemento de longitud"ds" y calculemos el trabajo dado por el momento flector M, la fuerza cor-tante V y la fuerza axial N, al pasar la carga de un valor P a otro P+dP.

PjhiP

Figura 9.51) Trabajo dado por M (Fig. 10.5):

Figura 10.5

2) Trabajo dado por N (Fig. 11.5):

Ads ^T ' \ Ads

d T M = Í M - d < j > M

_ d s j _ _ M

p ' p El

M "2" El

dTN = - N - A d s2

N - d s

/ T ~

EA

"2ÍFigura 11.5

EA


3) Trabajo dado por V (Fig. 12.5):

123

fjds

|vlidA

-<fc- r_ y Sección Transversal

Figura 12-5

Las tensiones tangenciales se calculan por:V - S

Distribución delas tensionestangenciales

T =I b

(Fórmula de Zhuravsky)

siendo:T = tensión tangencial en una fibra situada a una altura "y" del eje.V = fuerza cortante en la sección analizada.I = momento de inercia respecto al eje "x" centroidal principal, de la

sección transversal.b = ancho de la sección transversal a la altura en que se calcula "t".S = momento estático respecto al eje "x" de la parte de la sección trans-

versal que queda por arriba (o por abajo) de la fibra en la que se calcula t.La distorsión angular y vale:

ds =

siendo LL

1TX

2

S2

T

G

v2 iA - G •!

-A .

y -ds =

i • dA • y •

S = d \^ b " I

IdsG

ds = l"2 _

'd-1^ 2

1

^

V

I -

A

• S V - Sb I - b - G

dsG

r •= - -

•M2 - b 2

Tv =- ds

El coeficiente u, tiene distintos valores según la sección transversal delelemento:

u = 1.2 para una sección rectangular


32u - - - para una sección circular

27 í

A^ - TOTAL para una sección "I"

-"•ALMA

El trabajo total será igual a la suma de los trabajos calculados anterior-mente. Además, si en lugar de un solo elemento se trata de una estructuracompuesta por L1n" elementos. Podemos escribir:

2 » 1 rN2 Mr V2r rP-ds + S- [ii— dsJ i Ji 2 EI i 2 EA i 2 GA

El peso relativo de cada uno de los términos de la expresión anteriordepende del tipo de estructura.

En el caso de armaduras sólo interviene la fuerza axial y puede escribir-se:

T = U = -V = I¿^2 . EjA,

En el caso del pórtico, es predominante el efecto del momento Héctor ypueden despreciarse los términos segundo y tercero.

En arcos y pórticos con tensores deben tomarse en cuenta los dos prime-ros términos y por último en algunas estructuras especiales, como las vigaspared y algunos arcos, se necesita tomar en cuenta también el efecto de lafuerza cortante.

Para elementos de poca curvatura pertenecientes a una estructura tridi-mensional, se tiene:

íj

uv-

— - v —-J2EA J 2GA j - 2GA

rM 2 r M v 2 rM 2+ Z f-^ds + + Z i -^-ds+S i— ̂ ds m MJ 2EI X J 2EI V J2GJ

siendo:N. la fuerza axial en la sección.Vx, Vy, las fuerzas cortantes según los ejes x, y, respectivamente.ux, Uy, coeficientes de distribución de las tensiones tangenciales.Mx, My, momentos flectores, según los ejes x, y, respectivamente.Mz, momento torsor.A, área de la sección transversal.Ix, Iy, momentos principales de segundo orden, de la sección transversal.J, momento polar de inercia.


E. G, módulos de elasticidad y de Young, respectivamente.Ejemplo:

Obtener la energía potencial de deformación para el caso de la viga de lafigura 13.5. ,

_| P v - 0.25 (Módulo de Poisson)

L E

Figura 13.5

Para la barra 1:

Para la barra 2:= -P Z;

1 f P 2 - z -

i Eldz + í Él

" 2(1• v)1 3

~12= b-h

= 0; Y = -P

= -P; V = O

'} fL P2— dz + fj. I - dz +

= 0.4E

.* GA

±1EA

dz

Integrando y sustituyendo:

~12P2 -L3 12P2 -L3U =

2E 3 b - h J

, , P2 - L P2 -L+ 1.2 +

0.4b-h b - h

si L = 1 0 :h

P 2 - L

2E b - h

3 1400 + 200+i+ l

IM

V N

Los dos primeros valores, encerrados en el paréntesis, corresponden a lainfluencia del momento flector. el tercero a la de la fuerza cortante, y elúltimo a la de la fuerza axial. Puede verse fácilmente el peso relativo de lastres acciones en el valor de la energía potencial de deformación, para estecaso.


5.2 Teoremas energéticos basados en el principio de trabajo vir-tual

5.2.1 Trabajo virtual o posible

Se define como el trabajo que da un sistema de fuerzas en equilibrio, en unsistema de desplazamientos compatibles, impuestos al cuerpo sobre el queactúan las fuerzas.

A, ^ + t , k

Pk!::'^F7Wn tt ' f. Atan

Ay ""̂

Figura 14.5

Sea Pm. Ax. Ay y Az (Fig. 14.5) un sistema de fuerzas en equilibrio, queorigina los desplazamientos Amrn y A^. Se aplica la fuerza P^ y se origi-narán nuevos desplazamientos Af^ y A^.

Por definición, el trabajo virtual o posible es el que realizará el sistemaen equilibrio, Pm, Ax, Ay y Az en los desplazamientos originados por P^.

- ' • T' = -Pm - A m k + A X - O - A , - O - A z - O

Nótese que en este caso no aparece el factor !/2.

5.2.2 Principio del trabajo virtual o principio de los desplaza-mientos virtuales

El principio de los desplazamientos virtuales relaciona un sistema de fuer-zas en equilibrio con un sistema de desplazamientos compatibles; en él seaplica, a un sistema real de fuerzas en equilibrio, un sistema de posiblesdesplazamientos infinitesimales que deben ser continuos dentro de los lími-tes de la estructura y deben cumplir con las condiciones de borde.

El principio establece que el trabajo desarrollado por el sistema de fuer-zas en equilibrio, sobre los desplazamientos virtuales o posibles, debe serigual a la energía potencial de deformación:

T = Usiendo:

T, el trabajo de las fuerzas exteriores en los desplazamientos virtuales.U, la energía potencial de deformación, acumulada en el sistema.

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS PLANAS

El trabajo de las fuerzas exteriores puede expresarse como:T = TC+TE (12.5)

donde:TQ es el trabajo dado por las fuerzas de contorno.TE, es el trabajo dado por otras fuerzas extemas.Por lo tanto:

TC+TE = U (13.5)Sea por ejemplo la viga de la figura 15.5, sobre la que actúa el sistema

Pm que origina las acciones interiores Mm,Vm y Nm. Después se aplican,a la misma viga, los desplazamientos originados por el sistema PK. Lasacciones Mm,Vm y Nm darán origen a tensiones am. y los desplazamien-tos debidos a PK, originarán deformaciones sj^.

Prr

Pk.1Figura 15.5

La energía potencial de deformación para barras planas de poca curvatu-ra se puede calcular como la suma de la debida a la fuerza axial, más la delmomento flector. más la de la fuerza cortante:a) Fuerza axial (Fig. 16.2):

dU = o •£„ -dV

Figura 16.5

pero

AdV - ds • dA

EA-

Integrando sobre la sección trans-versal del elemento ds:

y para toda barra:

•N K ds

EA' JA EA

•NKds

EA


b) Momento flector (Fig. 17.2):

dsFigura 17.5

I ElIntegrando sobre la sección transversal:

= ds -dA

El2

y para todo elemento:

I FT

El

c) Fuerza cortante. Procediendo en forma similar a como se procedió en elepígrafe 505, se obtiene:

V . v

ly ~GA~En definitiva, se obtiene:

U . f ^ ^ K d S + f

¿ EA *y teniendo en cuenta (13.5):

M n . M K d sY^

GA(14.5)

E A A El -t GAEl trabajo de las fuerzas de contomo y externas se puede calcular como

ZPni -Am K , y si la estructura consta de vanas barras, se puede escribir:

— — ds+£ — — ds+2 uv —-—— d^!6.5)EA •*- El *• GA

En el caso de tratarse de estructuras espaciales con elementos de pocacurvatura, habrá que añadir los términos correspondientes: un momento


flector, una fuerza cortante y un momento torsor en forma similar a la de laecuación (11.5).

El principio de los desplazamientos virtuales puede usarse en el caso degrandes deformaciones, siempre que, cuando se calcule la energía de de-formación, se utilicen relaciones tensión-deformación no lineales y que lasecuaciones de equilibrio se planteen sobre la estructura deformada.

5.2.3 Teorema de Castigliano (Parte I)

Supóngase una estructura sometida a un sistema de fuerzas externas P j ,...Pn(Fig. 18.5).

Si se aplica un desplazamiento virtual único 5AK , en dirección de la

fuerza PK- se realizará un trabajo virtual:5T = PK -8AK (17.5)

y por el principio de desplazamientos virtuales:P K -5A K =5U

y en el límite:5U M O C\s decir, que la derivada parcial de la energía de deformación (expresa-

da como una función de los desplazamientos A), A2, .--An) de un cuerpoelástico deformado, respecto a un desplazamiento dado, es igual a la fuerzacorrespondiente.

Este teorema puede utilizarse en el caso de grandes deformaciones siem-pre que la energía de deformación se calcule tomando en cuenta los despla-zamientos grandes.


Como se sabe, si en lugar de un desplazamiento virtual lineal se introdu-ce un desplazamiento virtual angular, se obtiene el momento puro corres-pondiente.

Ejemplo.Calcular el desplazamiento vertical del punto "k" del semipórtico de la

figura 19.5:

¡P( t

L

k

EI=cte.

L

Figura 19.5

En el elemento 1:

En el elemento 2:

El

• ásf cU

apM • ds cM~ E I d ?

ds

5P

= -P-Lq - z "

2

P•(z)dzEl El

dP ~

-dz = I

Lo dicho anteriormente para un desplazamiento lineal es aplicable alcálculo de los desplazamientos angulares, cambiando donde dice fuerzaconcentrada, por momento.

Cuando no exista carga concentrada o momento aplicado en el punto ydirección en que se quiere calcular el desplazamiento, se introduce unafuerza o momento ficticio, se hacen los cálculos correspondientes, y en laexpresión final se hace la consideración de que la fuerza o el momentoficticio son nulos.


Ejemplo.Calcular el giro del punto "k" del semipórtico indicado en la figura 20.5.

T

:|¡r^ EI=ctc.

Figura 20.5

Se introduce el momento ficticio m en "k". (Eig. 21.5):

T

L

Figura 21.5

Elemento 1:

Elemento 2:

= -P.z:cm

El El

q - z

El

pero m = O (pues no existe en la estructura real):

-— P-L 2El


5.2.4 Teorema del desplazamiento unitario

Este teorema puede utilizarse para obtener la fuerza necesaria para mante-ner un sistema en equilibrio si se conoce la distribución real de las tensio-nes o los valores de las acciones interiores.

Si a un sistema de fuerzas en equilibrio se aplica un desplazamientovirtual, tal que los puntos de aplicación de todas las fuerzas no se muevanexcepto el de la fuerza PK, se tendrá:

T-Usiendo:

P K -5A K - [a-'5e-dV (19.5)/ /« *

c, el vector de las tensiones reales debidas al sistema real de fuerzas

actuando.E . las deformaciones virtuales compatibles con los desplazamientos

virtuales.Si la estructura es linealmente elástica óe es proporcional a ó"AK :

siendo:ÓE , las deformaciones compatibles debidas a óA- = 1.

Si en (19.5) se hace 5AK = 1 queda:

PK = f a-'Ss-dV•V * =r

EL TEOREMA DEL DESPLAZAMIENTO UNITARIO ESTÁ LIMITADO EN SU APLICACIÓN A

ESTRUCTURAS LINEALMENTE ELÁSTICAS, DE ACUERDO CON LA ECUACIÓN (20.5).

5.3 Teoremas energéticos basados en el principio del trabajo vir-tual complementario

5.3.1 Principio de las fuerzas virtuales

En el principio de los Desplazamientos Virtuales se mantienen constanteslas fuerzas y las tensiones, y se varían los desplazamientos y las deforma-ciones.

EN EL PRINCIPIO DE LAS FUERZAS VIRTUALES SE MANTIENEN CONSTANTES LOS

DESPLAZAMIENTOS Y DEFORMACIONES, VARIANDO LAS FUERZAS Y TENSIONES.


El principio establece que si en una estructura elástica con un estadocompatible de deformación, se le aplica un estado virtual de tensiones 5ay de fuerzas 5P, debe cumplirse que el trabajo virtual complementario seaigual a la energía complementaria de deformación:

r = U* (21.5)Y al igual que en el principio de los desplazamientos virtuales, el trabajo

virtual complementario puede dividirse entre el que realizan las fuerzas decontorno y el que realizan las demás fuerzas exteriores, así como la energíacomplementaria de deformación puede expresarse en función de las tensio-nes y deformaciones:

(22.5)e + T¿ = Js • 5 • a- dv

5.3.2 Teorema de Castigliano (Parte II)

Supóngase una estructura sometida a un sistema de fuerzas P j , ?2, •••Pn Ylos correspondientes desplazamientos A j , A2- ...An (Figura 22.5).

Figura 22.5

Si se aplica una fuerza virtual 5PK se realizará un trabajo complementa-rio virtual:

ÍT^* A ir» /"71 'íAóT = AK -oPK (2J.DJ

pero,

5T* =5U* (24.5)por lo tanto:

A U * = A K - 8 P K (25.5)y en el límite:


A = (26.5)

Es decir que la derivada parcial de la energía complementaria de defor-mación (expresada como una función de las fuerzas Pj , ?2, ...Pn) de uncuerpo elástico deformado, respecto a una fuerza dada, es igual al despla-zamiento correspondiente.

Como se sabe, si en lugar de una fuerza virtual se introduce una momen-to virtual, se obtiene el giro correspondiente.

El teorema puede aplicarse a sistemas elásticos lineales o no lineales.

5.3.3 Teorema de la fuera unitaria. Fórmula de Mohr

Este teorema puede utilizarse para obtener el desplazamiento AK en unaestructura de la que se conozca la distribución real de las deformaciones olas acciones interiores.

Si en una estructura se aplica una fuerza virtual PK en dirección deldesplazamiento A^ de modo que se originen unas tensiones virtuales aK .debe cumplirse que:

T* - U"o,

F K -dv (27.5)

A K = e - Ü K - d v (28.5)

Si se hace Pk = 1

donde a es la distribución de tensiones debidas a Pk = 1.

Puede demostrarse que la fuerza Pk = 1 puede aplicarse en un sistemaisostático correspondiente ai sistema real, si éste es hiperestático.

En el caso particular de estructuras reticulares elásticamente lineales, laecuación (28.5) conviene expresarla en función de las acciones interiores.obteniéndose por un procedimiento similar al seguido en el epígrafe 511:

1 ̂ , V - V K y- ds + u ——— ds +(29.5)

ÍMmx • MKx , „ f ivimv ' ÍVIKV , r Mm_ • MKZ ,

- as +L\ ds +L —^^——- dsEIX J- EIy 4 GJ

ÁTÍCAS PLANAS Í35

siendo:Nni' Vmx, Vmy, Mmx, Mmy, Mmz, las acciones interiores producidas

por la carga real.N K , V K X , V K V , M K X , M K V , M K Z . las acciones interiores producidas por la

carga unitaria aplicada en el sistema real o en un sistema isostático corres-pondiente al sistema real.

En su formulación general, ecuación (28.5), el Teorema de la FuerzaUnitaria no está limitado por la linealidad elástica de la estructura.

La ecuación (29.5) es conocida como la fórmula de Mohr para el cálculode desplazamientos.

5.4 Teoremas de Reciprocidad

5.4.1 Teoremas de Betti y Maxwell

Supongamos una viga a la que se aplica primeramente un sistema de cargasPm y después que la viga se ha deformado se aplica el sistema (Fig. 23.5.a).

p P_, i m

^ ^ Anini f -~ * 1 f

-Pi » ¡Aba |Au

a) h)Figura 2.- .-

El trabajo total desan-ollado a lo largo de todo el proceso será:

T = 2 P m - A m ^ 2 P i ' A | 1 + P " ' ' A m l

Si ahora invertimos el orden y aplicamos primero P] y a continuaciónPm, el trabajo total desarrollado al final del proceso será el mismo que en elcaso anterior, pues dicho trabajo no puede depender del orden de aplica-ción de las cargas, obteniéndose (Fig. 23.5, b):

T=-P, •A l l+-Pm-á i n i n4.P1 .A t a

Igualando ambas expresiones y reduciendo términos semejantes, se ob-tiene:

P.-A^-PrAi.que es la expresión matemática del teorema de Betti, el cual puede enun-ciarse:


El trabajo dado por un sistema de fuerzas Pm en los desplazamientosproducidos por un sistema de fuerzas P\, es igual al trabajo dado por elsistema de fuerzas P] en los desplazamientos producidos por el sistema defuerzas Pm.

Si los sistemas Pm y P\n constituidos por una fuerza única y unita-ria, se tiene:

si P m = P , = l

8 mi = S1m

que es la expresión matemática del teorema de Maxwell que puedeenunciarse:

El desplazamiento producido por una fuerza -Pm = 1 en dirección de otra

fuerza P, =1, es igual al desplazamiento que la segunda produce en direc-ción de la primera.

5.4.2 Teorema de Rayleigh

Primer Teorema.Sea una viga sometida a dos estados deformacionales uno originado por

Am y otro por A^ (Fig. 24.5, a y b):A™ > otro por z^ (Mg. 24 >, a y b):

&t

á\ °y^

i, - - - - - ,

7 /77W7

*R

~~r^L]L

\At

'"^7 ^^

\:

Figura 24. 5

.TTfí"

*

/77>>>7

t

a)

b)

Figura 24.5

De acuerdo con el teorema de Betti:


siendo rkm la reacción producida por un desplazamiento A m = l y

Rmk = rmk ' A k siendo rmk la reacción producida por un desplazamientoA k = l :

• • rmk ~ rkm

.". La reacción producida por el desplazamiento Ak =1 en la ligadura

"m". es igual a la reacción producida por el desplazamiento Am =1 en laligadura "k".Segundo Teorema.

Sea la viga de la figura 25.5, a) y b) a la que le aplicamos dos estadosdeformacionales: el producido por el desplazamiento Ak y el producidopor la fuerza Pm.

'- k,77r77 77r

'

b)

Figura 25.5

Por el teorema de Betti:

kmrkque es el segundo Teorema de Rayleigh o Teorema de Gvosdev:

La reacción en la ligadura "k" producida por una fuerza Pm = 1 , es igualen valor absoluto y de signo contrario al desplazamiento del punto de

aplicación de la fuerza Pm producido por un desplazamiento A k = 1 .

5.5 Cálculo de desplazamientos

5.5.1 Fórmula de Mohr

Tomando en cuanta el Teorema de Betti, la ecuación del párrafo 530 pue-de escribirse:


11 f Mm -M, » r Nm - N k » r Vm -V,Pm -A m , = Pk - A , m = £ —2 *-ds + S I -^ds + Zr] - —- ds

m mk k km i ¿ El i -L EA i í GA

Si se hace Pk - 1:

11 pM • Mk " pV • Vk n pN • Nkv I m *• i v I m K J \-> m " K -A — > I _!1L H c 4- > -n I ri c -i~ > n I - n <;¿i i.„, — ¿j \b *r ¿j \& -i- L-. \ us1 J El i ' J GA i J EA

que es la fórmula de Mohr para calcular desplazamientos en estructurasplanas compuestas por elementos de poca curvatura.

En resumen, puede decirse que para obtener el desplazamiento produci-do por un sistema de cargas Pm, en un punto "k" y en una dirección dada,se procede como se indica:1°) Obtener Mm, Vm y Nm.2°) Eliminar las fuerzas externas e introducir en el punto y dirección que se

quiere el desplazamiento una fuerza Pk = 1 o un momento Mk = 1. .

3°) Calcular \ . V k y Nk .4°) Sustituir en la fórmula de Mohr.

Debe notarse que:a) La importancia relativa de cada sumando en la fórmula de Mohr es la

misma que se indicó al hablar de la energía de deformación.b) La fórmula de Mohr dada no toma en cuenta los efectos de temperatu-

ra, ni de otras solicitaciones: estos efectos se verán en su oportunidad.Ejemplo:

Calcular el desplazamiento vertical del punto k de la barra de la figura.Tomar en cuenta sólo los efectos de flexión (Fig. 26.5).

T

Ll

r

Barra 1:

tr^-K*-

El=cte.

iFigura 26.5

Mm = --l-; Mk =-Z


Barra 2:

I V L = — ; M k = - l - L

f

El rT -q - L

(-L)d2

El

5q-L 4

8EI

139

5.5.2 Multiplicación Gráfica (Teorema de Vereshiaguin)

Cuando hay que efectuar la integral del producto de dos funciones y almenos una de ellas es lineal, se puede proceder como se indica a continua-ción:

Sea 1= fy,(x)-y2(x)dx•a

siendo y j una función lineal de x. es deciry , = K - x

XV)

dx

a b

Figura 27.5

De acuerdo con la figura 27.5:

,, (v Hv — T¿" Q — Tf O v — O \•y 2 ^xpx -K-& y - R -U a b - x c -¡Í2ab yc«tí

siendo:Sy, el momento estático, respecto al eje y, del área correspondiente a la

función no lineal.Qa b , el área bajo la función no lineal.


Puede concluirse que la integral es igual al producto de la ordenada deldiagrama lineal, tomada debajo del centro de gravedad del diagrama nolineal, por el área de este último.

El signo del producto será positivo cuando ambos diagramas estén situa-dos del mismo lado del eje y será negativo en caso contrario.

En el ejemplo anterior (Fig. 28.5):

q-L2

2 N-^-*- 1

4 Mm

Figura 28. 5

1

n El^ • L 2 L - L + l q - L 2

2_ 3 2

L

Mk

lA1-*-4 8E

uCasos más frecuentes:Los diagramas simples más frecuentes en la práctica, son los siguientes

(Fig.29.5):

A - b - h c =

|

--TA K i,A = b - h c =

2 3


\—

Voladizo

i _

h =

2

3q - b :

c =-

Voladizo

= -b-hb

c = -4

Figura 29.5

Si las figuras son compuestas, lo mejor es dividirlas en figuras simples(Fig.30.5):

hi li

- iu

Figura 31.5

Figura 30.5

En la figura 31.5 se comprueba que,, la superposición de los triángulos con

trazo discontinuo, equivale a los dos detrazo continuo:


1

= ----- perob

1 1,hl = ri2

í, " Uy

Cuando se trate de "multiplicar" figuras compuestas puede precedersecomo se indica a continuación (Fig. 32.5): se descompone cada figura com-puesta en figuras elementales y se efectúa la multiplicación en la formaindicada:

Ci Ai

>;.C2

AI (y, + y ' i ) -A 2 (y , + y ' 2 )

V, ya__í

Figura 32.5

Por último, como un caso que se presenta con cierta frecuencia, se indicael de la figura 33.5, el cual para efectos de la "multiplicación e integración"gráfica puede descomponerse en las tres áreas de trazo discontinuo que seindican: dos triángulos. AI y A3, y la parábola A2-

A2

Figura 33.5

Para la figura A3 (parábola inclinada) conviene recordar que se puedeconsiderar como una horizontal (Fig. 34.5):


^

a :-.. Li

Figura 34.5

A = * l3

- I 2

3

2 ] i, 2 i i—-^ h • cosa = 1-h3 cosa 3

5.5.3 Ejemplos

Ejemplo 1Calcular el desplazamiento horizontal del punto "k" en la estructura de

ía figura 35.5-24t-m

V--- -T

6t/m

fc=

_4 ,

Figura 35.5

Primero se construye el gráfico Mm originado por la carga extema, y elgráfico Míe originado por una carga unitaria actuando en el punto y direc-ción que se desea calcular el desplazamiento, (Fig. 36.5).

144 TEORÍA DE LOS DESPLAZAMIENTOSción que se desea calcular el desplazamiento, (Fig. 36.5).

4 H [Í24

\

Figura 36.5

A continuación se "multiplican" los gráficos Mm y Mk (Fig. 37.5).Barra 1:

24 v .

2

K

Í l 1 /2 72— 2 4 - 2 — 3 — 48-2 — 3 = —

J. 2 "3 El48 3

Barra 2:

30 I» 3/^3/2 A2 _ 1 [ ^n./3^3! i f i . i í 3 ^

,T í1 t-f — \1 \[ 2" 2 3 2) \2

'•/ / \/ 1 : " i 9 1 i 527"73/2 ' j g . j Z J _ 8/

2 l , 3 2 j El

^ f-.

I_3]2 2)

Barra 3:72

ü£.8 /^ = 27 h

8 \? \/ \ 1

k ~ÉI1 2 2 1 ]

- - Ó - 7 - 2 - - 3 + — 6-27— 32 3 3 2 .

270


Barra 4:

V 145

El144

--72-^-3)1 = - —2 3 El

72 3Figura 37.5

El desplazamiento total será:

A - — (- 72 - 87 - 270 -144)- -El El

Ejemplo 2.Calcular el desplazamiento horizontal del punto "k", en la viga de la

figura 38.5; considerar sólo el efecto de flexión.

573

p =

El = cte.

2L

Figura 38.5Primero se construyen los diagramas Mm y M k . (Fig. 39.5):

/TsW

Figura 39.5A continuación se "multiplican" los gráficos (Fig. 40.5):

Barra 1:

El 2 2 3 2 3 2 2 2

146

Barra 2:


1 (1 L L 5 qL" }= I 5qL4

El í 2 2 2 6 2 j ~ El 96

6

Figura 40.5

El desplazamiento final será:

En este caso, el diagrama de la izquierdano es lineal (tiene un tramo inclinado y otrorecto de ordenadas nulas) y en él hay quetomar el área.

5qL4

El 96Ejemplo 3.

Determinar la aproximación de los puntos a y b en el pórtico de la figura41.5.

41

|3 I!- ,

-áL- - 6.... J

Figura 41.5

En este caso hay que calcular el desplazamiento del punto a en la direc-ción a-b y el desplazamiento del punto b en esa misma dirección: por loanterior, habrá que introducir dos fuerzas unitarias en los puntos y direc-

ción deseados para construir el diagrama Mk ; el diagrama Mm no ofrecedificultad. (Fig. 42.5).

Pk=l

Mm t. Mk -J

Figura 42.5


"Multiplicando" los gráficos se obtiene:

A :I(16.18 -3 2l I l í3 2 ' 6

km El i 3 q 4 J + 4EI 294.5 2

6q q (metros)

5.5.4 Desplazamientos por temperatura

Los gradientes por temperatura en las estructuras isostáticas dan lugar úni-camente a deformaciones; los desplazamientos correspondientes puedencalcularse también por la fórmula de Mohr teniendo en cuenta que en estaocasión no existe expresión para Mrn pues los efectos de temperatura nodan lugar a momentos Héctores en las estructuras isostáticas.

Sea una viga isostática de altura "h". sometida a un gradiente de tempe-ratura, tal como se indica en la figura 43.5 y supongamos que t2>ti>0 yque la variación de temperatura entre ambas caras de la viga es lineal:

Figura 43.5

Si se quiere obtener el desplazamiento vertical del punto "k", se introdu-ce la fuerza unitaria en el punto y dirección deseados, tal como se indica enla figura 44.5. en la que con trazo continuo se ha indicado la deformadadebida al eradiente de temperatura y con discontinuo la debida a Pk - 1.

dsFigura 44.5

Calculemos el trabajo virtual o posible en función de M, V y N; paraello, aislemos un elemento "ds" cuya longitud cambiará, tal como se indica.por efectos de la temperatura, (Fig. 45.5).

a-trds

JL

dsj OS__

Figura 45.5


La sección transversal gira un ángulo dfa y sobre ese giro, el momentotlector M^, debido a Pk = 1 , realiza un trabajo elemental dT'M :

d T M = M k . d < | » t ,el trabajo total vale:

Si se hace At = , t - , -1,1 :

[ Ak

siendo A.^ , el área del gráfico del momento flector debido a:

La fuerza cortante V^ no realiza trabajo sobre la deformación indicada,(Fig. 46.5):

Vk

Figura 46.5

Por último, calculemos el trabajo realizado por la fuerza axial47.5):

crtrds

Nk

(Fig.

ds

A-dst

'a-t2'ds

Figura 47.5

r o^+t,N 1 ?

T =1 v —

siendo:Tm: la temperatura a la altura de la fibra que contiene al centroide de la

sección.


AMk el área del gráfico de la fuerza axial debida a Pk -1.

El desplazamiento total del punto "k" será:

A t A A

Si la estructura consta de varios elementos:

Ak,=í rr +

Mk

siendo:n, el número de elementos de la estructura.Como convenio de signos puede utilizarse el siguiente:El primer término, en el segundo miembro de la ecuación, será positivo

si la fibra traccionada por la temperatura y la fibra fraccionada por la fuerzaPk = 1, coinciden: en caso contrario, el término será negativo.

El segundo término, en el segundo miembro de la ecuación, será positivosi los efectos de la temperatura y de la fuerza Pk = 1 sobre la fibra mediade la viga coinciden, esto es. si ambos efectos son de tracción o de compre-sión; en caso de que los efectos sean de distinto signo, el término será ne-gativo.Ejemplo.

Calcular el desplazamiento vertical del punto "K" del pórtico de la figu-ra 48.5 sometido al gradiente de temperatura que se indica:

T-30-

-10° -20°

2L

+ 10°

/7&&

Figura 48.5

Los gráficos Mk y N k debidos a Pk =1, son los que se indican en lafigura 49.5.

L/2 L/2

•C ~

L/2

Figura 49.5


En la figura 48.5 se ha indicado con trazo discontinuo, la deformaciónproducida en cada elemento por el gradiente de temperatura, a fin de que secomprenda mejor el signo de cada término:

a -10 1 L2 a -50 1 T r a • 30 1 L2 1A =-—— -+- - L - 2 + +a-15L — a - 5 - 2 L -

h 2 2 h 2 2 h 2 2 2

5.5.5 Cálculo de desplazamientos en armaduras por el método delas cargas elásticas

Los desplazamientos en los nudos de las armaduras se pueden calcular porla fórmula de Mohr. Sin embargo, la práctica demuestra que para el cálculode estos desplazamientos es más cómodo otro método que se conoce comométodo de las cargas elásticas.

En la figura 50.5, a), está representada una armadura solicitada por va-rias fuerzas concentradas, P\, ... ?4? actuando en los nudos. Debido a laacción de estas fuerzas, los nudos de la armadura se desplazarán: el gráficode los desplazamientos verticales de los nudos del cordón inferior será unpolígono, tal como se indica en la figura 50.5. b).

diPi

d; d3P3

d4

/??•.

*Y: Y3 Y.

b)

Figura 50.5

El gráfico de los desplazamientos puede interpretarse como un gráficode momentos flectores en una viga de igual luz que la armadura considera-


da (Fig. 51.5), solicitada la primera por un sistema de fuerzas W. A éstaslas llamaremos cargas o pesos elásticos.

El problema reside, entonces, en disponer de un método que permitacalcular los valores de las cargas elásticas; una vez conocidas éstas, el cál-culo de los desplazamientos en la armadura se reduce al cálculo del dia-grama de los momentos flectores en una viga solicitada por un sistema defuerzas concentradas.

Calculemos la relación que existe entre los valores de los desplazamien-tos de los nudos y las cargas elásticas. Para ello construimos los gráficos demomento flector y fuerza cortante en la viga, (Fig. 51.5).

Wi I W?| U'J W,|

7X a)

V

H c)AV4=W4

Figura 51.5

Puede observarse que en el diagrama de V aparecen saltos debido alsistema de fuerzas concentradas. Los valores de estos saltos son iguales alos de las fuerzas concentradas:

AV, = W,

Por otra parte, la variación de la fuerza cortante AVj puede calcularsecomo la diferencia entre las pendientes, en el gráfico de los momentos, delas rectas que concurren en el punto de aplicación de la carga Wj. Porejemplo, el salto AV2 en el lugar de aplicación de la carga elástica W2 es,

^r ~dT

152

AV, =Y -


Y - Y12 i t

por lo tanto, el peso elástico correspondiente será:Y -Y Y -Y

w, =d2

El peso elástico correspondiente al nudo i se puede calcular por la fór-mula:

W; =Y., -Y Y -V

Ahora bien, el primer sumando de la fórmula anterior es el ángulo degiro del miembro que concurre por la derecha en el nudo i de la armadura.y el segundo, el ángulo de giro del elemento que concurre en el nudo por laizquierda. Puede decirse pues, que el peso elástico correspondiente al nudo/ es igual a la diferencia entre los ángulos de giro de las barras (derecha eizquierda) de la armadura, que concurren en este nudo.

Los ángulos de giro de las barras de la armadura- a su vez. pueden calcu-larse por la fórmula de Mohr. Por ejemplo, si se necesita calcular el ángulode giro del elemento 2-3 de la armadura, es necesario:

^ 79

Figura 52.5

Aplicar un par unitario Mk = 1 a este elemento (Fig. 52.5), en forma dedos fuerzas concentradas, aplicadas a los nudos 2 y 3, que forman un parunitario:

calcular las fuerzas axiales N k , en los elementos y hallar después el ángulode giro por la fórmula:

^ N m - Ñ k - L

kni EA


Pero en nuestro caso no se trata del ángulo de giro de un elemento aisla-do, sino de la diferencia entre los ángulos de giro de dos elementos concu-rrentes en el nudo, por lo que no se aplica a la armadura un solo par unita-rio, sino dos, uno a cada uno de los elementos del cordón que concurren enel nudo; lógicamente, estos pares deben aplicarse en direcciones opuestas,(Fig.53.5).

Una vez calculadas las fuerzas axiales Xt . originadas por este sistemade fuerzas, y conociendo las fuerzas axiales Nm originadas por la cargaexterior que actúa sobre las barras de la estructura, se calculan los valoresde las cargas elásticas por la fórmula:

w = £ N m . Ñ k . LEA

Si en lugar de los desplazamientos verticales de los nudos del cordón in-ferior, se desean calcular los del cordón superior habrá que aplicar los pa-res unitarios en los elementos de dicho cordón.

Ejemplo.Calcular los desplazamientos verticales de los nudos del cordón inferior

de la armadura de la figura 54.5. La carga extema actuando sobre la arma-dura es una fuerza concentrada P = 1 tn , aplicada en el nudo 3.

1 2 3' 4' 5'

Figura 54.5


En las columnas 2 y 3 de la tabla 1 se han anotado las característicasgeométricas de las barras de la armadura.

TABLA 1Barra

0-11-22-33-44-55-66-5'5'-4'4'-3'3 '-2'2'-ri - r2-2'3-3'4-4'5-5"l ' -22-3'y -44-5'o-ri

Lm33333353333444445

5555

Área

AAAAAAAAAAA

AAAAAAA

A

AA

Np

-3/8-3/8-4 S

-9 8-3/8-3/85/83/43/43/4

3/4000-100

-5-85 85/8-5 ^5 S

Ni

-1/4-1 4

---------

-2/3----

5/12---

5 12

N p - N i - L

9/329/32

---------

-8/3----

-125/46---

125/469. í 6

N2

---------

1/41/41/3-

1/3--

-5/12-5/12

---

N p - N 2 - L

---------

9/169/16

--

-4/3--

125/46-125/46

--- •

-5/24

N3

--

-1/4-1/4

---------

-2/3---

5/125/12

--

N p - N 3 - L

--

27/3227/32

---------

8/3---

125/96125/96

--

167/24

A continuación se procede como se indica:1°) Se resuelve la annadura para la carga externa, obteniéndose los valores

indicados en la 4a columna de la tabla 1.2°) Se calcula la carga elástica W[, aplicando los pares en las barras 0-1 y

1-2, figura 55.5 y resolviendo la estructura. En la columna 5 se indicanlos valores de las fuerzas axiales originadas en las distintas barras.

5"r

//

/

<\~ -\ 3*

~~>/

/

Á/

t^— — ̂\

L _

r

//

/4<

t t1/3 1/3 1/3

•M-7

Figura 55.5


E A I6EA3°) Se calcula la carga elástica W2, aplicando los pares en las barras 1-2 y

2-3, figura 56.5. Las fuerzas axiales en las barras y los productosNm • N 2 • L se indican en las columnas 7 y 8.

1' T/

/'

\

\J

' ,1.

./'/

/

\ '•,/

/'

A

1/3 1/3 1/3 1/3

Figura 56.5

W 2 =SN - N 2 - L

EA 24EA4°) La carga elástica W3 se calcula en forma similar. Los valores necesa-

rios están anotados en las columnas 9 y 10 de la tabla 1.

N p - N 3 - L 167

EA 24EAEn este caso particular, las cargas elásticas W4 y W5 son iguales a W2 y

Wj. respectivamente.5°) Se obtiene el diagrama de los momentos flectores producidos en la viga,

por las cargas elásticas (Fig. 57.5).Wi W: W3 W4 W5

L \L16AE

\3

2^

4AERÍ3

Mi NÍ2 Ms Mi

Figura 57.5


Las reacciones en los apoyos producidos por las cargas elásticas valen:

R -R - 1 1 í 9 5 i 1 6 7 5 i 9}= 232 A E U 6 24 24 24 16 J 6AE

Los desplazamientos verticales de los nudos del cordón inferior estándados por los valores de los momentos flectores en los puntos de aplicaciónde las cargas elásticas (Fig. 57.5)

_ _ _23_, 231 ~ ' 6AE 2AE

23 f 9 341• j — — -

6AE 16AE 16AE

9 •>6-

6AE 16AE 24 AE 4.\

BIBLIOGRAFÍA

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España. 1968.West. H. H.: Análisis de Estructuras. Editorial CECSA, México.Yuan-Yu Hsieh: Teoría Elemental de Estructuras. Editorial Prentice Hall.

El estudio de las estructuras isostáticas es fundamental, no sólo porquemuchas de las estructuras que se construyen son estáticamente determina-das, sino también porque el mismo es básico para el análisis de las estruc-turas hiperestáticas.

En el presente texto, además del estudio de ko temas clásicos del análisisde las estructuras isostáticas, como son la obtención de los diagramas demomentos flectores, fuerzas cortantes > axiales, se hace especial énfasis entópicos cuyo tratamiento no es fácil encontrar en la literatura correspon-diente como son el análisis cinemático de los sistemas, la obtención y utili-zación de las líneas de influencia en vigas continuas, en armaduras y arcosy la teoría de los desplazamientos, básica para el estudio de las estructurashiperestáticas.

Enrique Ramírez Valverde es ingeniero civil, con estudios de posgrado en elCentre de Hautes Etudes de la Construction ( C H E C ) de París y en el InstitutoSuperior Politécnico José Antonio Echevarría (ISPJAE) de La Habana.

Anteriormente fue profesor de la Universidad de La Habana y actualmentees profesor de tiempo completo, adscrito a la escuela de ingeniería civil de laFacultad de Ingeniería de la BI'AP, cuenta con una amplia experiencia en elcálculo de estructuras así como en la docencia de asignaturas relacionadascon el análisis de las mismas.

Es autor del libro Análisis de reticulados hiperestáticos: método de los despla-zamientos editado por el Instituto Cubano del Libro, así como de numerososartículos para revistas especializadas y congresos, nacionales e internacionales.También es coautor de un método para el análisis de vigas, pared y losas, pre-sentando en foros y publicado en libros especializados europeos.

1 analisis de estructuras isostaticas planas

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