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Atelier de formation : MAT - 5104
optimisation II (les graphes).
MARTIN FRANCOEUR
conseiller en évaluation
( La société GRICS )
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Présentation du programme
• Au secteur des jeunes, le programme de mat 068-514 est divisé en trois parties :– Favoriser chez l ’élève l’utilisation d ’outils
d ’optimisation 50 %– Accroître chez l’élève l’habileté à analyser des
données statistiques ou probabilistes 30 %– Amener l ’élève à analyser des situations
géométriques 20 %
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suite
• Au secteur des adultes, le programme de 514 est divisé en 4 cours :
– Mat 5101 : optimisation I (Mat 5083)– Mat 5102 : statistique III (nouveau cours)– Mat 5103 : probabilités II (Mat 5084 +)– Mat 5104 : optimisation II (les graphes)
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Définitions
Graphe
Un graphe est une structure comportant un ensemble de points appelés sommets et un ensemble de lignes appelées arêtes reliant certains ou tous ces sommets deux à deux.
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Exercice 1
Exercices complémentaires
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Boucle
• Pour indiquer qu’une arête part d’un sommet et revient à ce même sommet sans relier ce sommet à un autre, nous utilisons une boucle.
• Dans un graphe, il peut y avoir plus d’une boucle par sommet.
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Degré
• Dans un graphe (avec ou sans boucle), le degré d’un sommet c’est le nombre de fois qu’une arête touche à ce sommet. On note le degré d’un sommet s par d(s).
• Une boucle sur un sommet augmente de deux le degré du sommet, car les deux extrémités de la boucle touchent au même sommet.
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Graphe orienté
• Un graphe orienté est un ensemble de sommets avec des arcs (prenant la forme de flèches) reliant certains ou tous ces sommets entre eux.
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Exercice 2
• Exercices complémentaires
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Chaîne et cycle
• Une chaîne dans un graphe est une suite de sommets qui comporte toujours une arête entre deux sommets consécutifs. La suite est alors décrite de la manière suivante :
(a, b, c, e, …).
• où chaque lettre est un sommet de la chaîne et le fait que deux lettres se suivent indique qu’il y a une arête reliant ces deux sommets.
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Chaîne et cycle (suite)
• Un graphe est connexe si pour toute paire de sommets distincts a et b dans ce graphe, il existe une chaîne qui va de a à b.
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Chaîne et cycle (suite)
• Un cycle est une chaîne qui revient à son point de départ.
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Chaîne et cycle (suite)
• Un cycle simple est un cycle dont toutes les arêtes sont différentes les unes des autres.
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Exercice 4
• Voir document : exercices complémentaires.
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Graphe eulérien
• Dans un graphe eulérien, il existe un cycle qui passe par chacune des arêtes du graphe une et une seule fois seulement.
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Exercices 7 et 8
• Voir document : exercices complémentaires.
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Théorème 1
• Si un graphe connexe est eulérien, alors tous les sommets de ce graphe sont de degré pair. Réciproquement, si tous les sommets d ’un graphe connexe sont de degré pair, alors ce graphe est eulérien.
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Graphe hamiltonien
• Un graphe hamiltonien est un graphe pour lequel il existe un cycle qui passe par chacun des sommets du graphe une et une seule fois.
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Exercice 9
• Voir document : exercices complémentaires.
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Graphe valué
• Un graphe valué est un graphe pour lequel on associe un nombre plus grand que zéro à chaque arête.
• Quand cela a du sens, la valeur d’une chaîne dans un graphe valué est la somme des valeurs de chacune des arêtes constituant cette chaîne.
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Exercice 10
• Voir document : exercices complémentaires.
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Graphe orienté valué et réseau
• Lorsqu’on assigne un nombre plus grand que 0 à chaque arc d’un graphe orienté donné, on dit alors que ce graphe orienté est valué. Ce type de graphe orienté porte un nom spécial.
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Graphe orienté valué et réseau (suite)
• La méthode pour trouver le chemin le plus court pour exécuter un projet s’appelle la recherche du chemin critique.
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Graphe orienté valué et réseau (suite)
• Un chemin dans un graphe orienté est une suite de sommets du graphe composée uniquement d’arcs se suivant dans ce graphe. La suite est alors décrite de la manière suivante :
[a, b, c, d, …]
• où a, b, c, d, … sont des sommets du chemin et (a, d), (b, c), (c, d),… sont toujours des arcs du graphe.
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Graphe orienté valué et réseau (suite)
• La valeur d’un chemin est la somme des valeurs attribuées à chaque arc du chemin.
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Graphe orienté valué et réseau (suite)
• La démarche suivante permet de trouver le chemin critique dans un réseau.
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Graphe orienté valué et réseau (suite)
• faire une liste de tous les chemins qui vont du début D à la fin F;
• calculer la valeur de tous ces chemins;
• prendre le chemin (ou un chemin s’il y en a plusieurs) de longueur optimale.
Le chemin trouvé est le (ou un) chemin critique.
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Un peu d’exercices
• Voici quelques exemples d’optimisation
• Exercice 18
• Exercice 19
• Exercice 23
• Exercice 26