1 beschreibung der energetischen zustände der elektronen wellengleichung ableitung der...

1

Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen

Wellengleichung Ableitung der Schrödinger-Gleichung Lösungsansätze für Schrödinger-Gleichung Formale Analogie zwischen der klassischen und

Quantenmechanik Lösung der Schrödinger-Gleichung für

Freies Elektron Elektron im Potentialtopf Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Potentialbarriere Doppelte Potentialbarriere Wasserstoffatom

2

Die Wellengleichung

txptxx

i

txp

itxikx

tx

x

x

,,

,,,

pkk

hkp

kh

p

2

2

tkxiAetx ,

txEtxt

i

txEitxi

t

tx

,,

,,,

Mathematische Beschreibung einer harmonischen Welle:

Ableitung nach x: De Broglie-Gleichung:

Ableitung nach Zeit:

fhE

Plancksche Gleichung:

3

Die Schrödinger-Gleichung in einer Dimension

txxm

txx

ix

im

txt

i

txm

ptxE

m

pTE

V

x

,2

,2

1,

,2

,

2

0

2

22

2

2

… Potentialenergie = 0 freies Teilchen

… Gesamtenergie / kinetische Energie

HxVxm

VTE

V

2

22

2

0

txHtxE

txxVxm

txt

i

,ˆ,ˆ

,2

,2

22

H … Hamilton-Operator

4

Dreidimensionale Schrödinger-Gleichung

2222

2

2

2

2

222

2222

xxx

p

pppp zyx

Impuls und der entsprechende Operator

trHtrrVm

trt

i ,ˆ,2

,2

3D-Schrödinger-Gleichung

trrrHtrrrrrrVm

trrrt

i NNN

N

n n

nN ,,,,ˆ,,,,,,,

2,,,, 212121

1

2

21

3D-Schrödinger-Gleichung für N Teilchen

5

Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung

xxVxmxt

t

t

i

HtxxVxm

txt

i

txtx

txHtxxVxm

txt

i

2

22

2

22

2

22

2

1

:2

,

,,2

,

Linke Seite t-abhängig Rechte Seite x-abhängig

Mathematischer Ansatz: Separation der Variablen

6

Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung

xxVxmxt

t

t

i

2

22

2

1

Linke Seite: Rechte Seite:

EC

CAeAet

Cti

Cdtd

i

Ct

t

t

i

tii

Ct

,

constln

02

02

2

1

2

1

2

2

2

2

22

xxVEm

x

xxVCm

x

CxVxmx

CxxVxmx

C … Separations-

konstante

7

Die Schrödinger-Gleichung

Zeitunabhängige (stationäre) Form harmonische SchwingungenSie wird verwendet, wenn das Potential von der Zeit nicht abhängt

02

02

2

2

2

2

2

2

22

22

rrVEm

r

zyx

VEm

E … Gesamtenergie des Systems

8

Die Schrödinger-GleichungZeitabhängige Form Wellengleichung

02

02

2

2

Vm

VEm

t

iE

t

i

tzyxieit

ezyxtzyx

ti

ti

,,,

,,,,,

0,2,2

,2

tr

rmV

t

trmitr

trrVtrmt

tri ,,

2

, 2

9

Formale Analogie zwischen der KM und QM

EH

trrVtrmt

tri

Vm

pEEE

ipt

iH

potkin

ˆˆ

,,2

,

ˆ2

ˆˆ

ˆˆˆˆ

2

2

trrVtrmt

tri ,,

2

, 2

10

Lösung der Schrödinger-Gleichung

Falls V von der Zeit nicht abhängt, wird die zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung gelöst.

Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung Lösung erfolgt für bestimmte (Anfangs-) und Randbedingungen

Die Wellenfunktion hat keine physikalische Bedeutung, * entspricht der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons

1;2

VV

dxdydzdxdydzdVdxdydzdW

Energiebereiche, für die eine Lösung der Schrödinger-Gleichung gefunden werden kann, definieren das Energie-Spektrum (Frequenzspektrum) des Systems.

11

Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion

Die Schrödinger-Gleichung ist konsistent mit

p = ħk und E = ħ

Die Schrödinger-Gleichung ist linear Wenn 1 und 2 zwei Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind, ist auch eine lineare Kombination von 1 und 2 eine Lösung der Schrödinger-Gleichung

trctrctr ,,, 2211

Ein Wellenpaket stellt ebenfalls eine Lösung der Schrödinger-Gleichung dar

dkektx tkxi 21

,

12

Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion

1

1

2

VVV

rdrrdrPdxrr

xxxx

dxxdxxPdxxx

Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens, Elektronendichte

Erwartungswert (Mittelwert über viele Beobachtungen)

dxxxfxxf

dxxxxx

… in 3D

13

Hermitesche OperatorenAnalogie zwischen KM und QM

Messgröße KM-Beschreibung QM-Operator

Ort

Impuls

KinetischeEnergie

Drehimpuls

x x

p

i

m

pT

2

2

m2

2

pr

ri

14

Übung

22222

2

22

baba

ee

babiabiaii

Analogie:2

EEEI

15

Harmonischer Oszillator

m

Aeu

udt

udm

ti

0

02

2

16

Harmonischer Oszillator mit Dämpfung

22

2

2

2

2

4

2

0

0

0

mmm

m

iim

eAeu

udt

du

dt

udm

tit

17

Harmonische Schwingungen

xa

b

a

bA

dx

ud

xa

b

a

bA

dx

du

xa

bAu

a

b

BeAeu

budx

uda

xixi

cos2

sin

cos2

0

2

2

2

2

A = B :

18

Gedämpfte Schwingungen

4

2

02

02

0

2

22

22

2

2

DC

D

CiDi

CiDi

BeAeeu

Cudx

duD

dx

ud

xixix

19

Freies Elektron (V=0)

2

22

22

2

002

2

22

2

2

22

2

k

pE

mk

m

pk

mE

Em

k

Aex

VEm

dx

d

ikx

E

-1 -0.5 0 0.5 1

x 108

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

k [cm-1]

E [

eV

]

Keine Randbedingung alle Energien sind möglich

Energiespektrum ist kontinuierlich

20

Elektron im Potentialtopf (1D)V

x

a0

01

22

0sin

0sin2:0

:00

2

002

222

222

2

2

22

2

ndV

Cnnam

km

E

anknkaka

kaAiax

BAx

Em

k

BeAex

VEm

dx

d

ikxikx

E

Energie-Spektrum

n

12

3

4

5

1C4C

9C

16C

25C

Randbedingung Energiespektrum ist diskret

∞ ∞

V = 0freies Elektron

21

Elektron im Potentialtopf (1D)

xa

n

a

xa

n

a

aA

kxdxAdx

kxA

kxAi

aa

sin2

sin2

2

1

1sin4

sin4

sin2

22

0

22

0

22

Lösung für die Wellenfunktion

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x/a

ank

22

Elektron im Potentialtopf (3D)Orthogonale Lösung

c

zn

b

yn

a

xn

abc

mEcakncz

mEbbknby

mEaaknax

zZyYxXzyx

Em

zyx

Em

zyx

zzz

yyy

xxx

sinsinsin8

2

2

2

,,

02

02

22

2

2

2

2

2

2

23

Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators

Harmonische Schwingung

tAx

mDxx

DxxmF

cos

,02

221

22

21

2

DxDxdxFdxxV

m

pxmxT

Potentielle und kinetische Energie

2

21

2221

22212

222

cos

sinsin22

DATV

tDAV

tDAtmAxm

T

Gesamtenergie

Pot

entia

lAbstand

24


,2,1,0,

0

und2

mit

02

21

13

22

10

2222

2

22

221

22

2

221

221

nnE

xaxaxaxaAex

Aex

xkdx

d

mDE

mk

DxEm

dx

d

n

nn

x

x

E

Energie-Spektrum

n

1

2

3

4

½ ħ 0

3/2 ħ

5/2 ħ

7/2 ħ

9/2 ħ

Energieniveaus sind voneinander equidistant entfernt, E = ħ

25


2

2

2

2

2

13

4

13

3

2

12

4

1

2

2

14

13

1

2

14

1

0

3

29

214

4

x

x

x

x

exxxu

exxu

xexu

exu

2

72

52

32

1

3

2

1

0

E

E

E

E

26


27

Potentialbarriere (Tunnel-Effekt)

-1 -0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

2

22

2

2

02

mEk

BeAe

Em

dx

d

I

xikxikI

II

I II

I II

0:

~:

2

02

0

20

022

2

Dx

ikkVE

VEmk

DeCe

VEm

dx

d

IIII

II

xikxikII

IIII

CkBikAikdxddxdx

CBACeBeAe

x

IIIIIII

xkxikxik

III

IIII

~:0

:0~

0;;~

12

;~

12

DC

k

ki

CB

k

ki

CA

I

II

I

II

Keine Randbedingung

28

Doppelte Potentialbarriere

I IIII

V(x) = V0 V(x) = V0V(x) = 0

freies Elektron

2CnE

Energiespektrum

aufgrund der Randbedingung, ähnlich wie bei der Potentialbarriere

29

Tunnel-Effekt

Quanten-mechanischer EffektKlassisch: nur I (einfache Welle und ihre

Reflexion)Anwendung

Tunnel-DiodeSTM (Rastertunnelmikroskopie)QW („quantum wall“)

30

WasserstoffatomSphärisch-symmetrisches Problem im Coulomb-Potential

r

ZeFdrV

2

2

2

r

ZeF

Coulomb-Kraft

Coulomb-Potential

02 2

2

r

ZeE

m

Stationäre Schrödinger-Gleichung

31

Wasserstoffatom

2

2

2

2

2

22

2

2

222

2

22

2

2

22

2

2222

2

2

2

sin

1sin

sin

1121

sin

1sin

sin

121

,,,

02

sin

1sin

sin

11

02

:1

YY

Yr

eE

mr

dr

dRr

dr

d

R

RY

rR

Y

rRY

r

eE

mY

r

Rr

rr

YrRr

r

eE

m

rrrr

rr

r

eE

mZ

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

Radiusabhängig Winkelabhängig

Sphärische Koordinaten

32

Wasserstoffatom

1sin

1sin

sin

12

2

2

YYY

Winkelabhängiger Teil

2

222 1

1sinsin

1sin

,

d

dm

d

d

d

d

Y

Separation der Variablen; Separationskonstante m²

Azimutalgleichung, () Polargleichung, ()

022

2

md

d

0

sin1sin

sin

12

2

m

d

d

d

d

Beide Gleichungen sind im Zentralfeld vom Potential V(r) unabhängig

… Separationskonstante ℓ(ℓ+1)

33

WasserstoffatomAzimutalgleichung, ()

022

2

md

d

,2,1,02 mAe mim

m

Spezielle Lösung für () – 2-periodisch

(m … ganze Zahlen)

22

0

22

0

21 AdAdm

Normierung

,2,1,0,2

1 meimm

Ergebnis

m … magnetische Quantenzahl

34

Wasserstoffatom

Polargleichung, ()

0sin

1sinsin

12

2

m

d

d

d

d

Verknüpft die Separationskonstanten ℓ(ℓ+1) und m²

Lösung existiert nur für ℓ(ℓ+1) = 0, 2, 6, 12, 20, … (d.h. für ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, …)

ℓ … ganze Zahlen (Nebenquantenzahl, Bahndrehimpuls-Quantenzahl)

Bedingung für m:

… Legendresche Differentialgleichung

,1,,2,1,

m

m

… insgesamt (2ℓ+1) Werte

35

Wasserstoffatom

Lösung der Polargleichung, ()

0sin

1sinsin

12

2

m

d

d

d

d

für m = 0 Legendre-Polynome:

cos3cos5cos

1cos3cos

coscos

1cos

321

3

221

2

1

0

P

P

P

P

für m 0 zugeordnete Legendre-Polynome:

m

mmmm

d

dP

cos

1coscos1

!2

1cos

2

22

36

Wasserstoffatom

Lösung der Polargleichung, (), normiert

cos

!

!

2

12 mm Pm

m

Winkelabhängiger Teil, Yℓm(, )

immm

m ePm

mY

cos!

!

2

12

2

1,

37

Wasserstoffatom

0

2

2

12

121

22

2

2

2

22

2

2

2

22

ruVrVEm

dr

rudru

rmrVE

m

dr

rud

rrRru

r

eE

mr

dr

dRr

dr

d

R

r

r

r

… Separationskonstante ℓ(ℓ+1)

Radialgleichung

Effektives Potential

VrVVeff

38

Analogie mit klassischer MechanikRotationsenergie eines Teilchens

2

22

222

21

22

2

mrE

mrE

rot

rot

22

1

mrErot

KMQM

11 22

ℓ … Bahndrehimpuls-Quantenzahl

39

Wasserstoffatom

22

4 1

2 n

meE

Lösung gibt es nur für:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

E [

eV]

n=1

n=2

n=3

E1=-13.6 eV

,1,,1,

1,,2,1,0

,3,2,1

m

n

n

mit

n … Hauptquantenzahl

ℓ … Bahndrehimpuls-Quantenzahl

m … magnetische Quantenzahl

40

Termschema des Wasserstoffs

Fig. 28, Seite 69

42

Wasserstoffähnliche AtomeH, He+, Li++ (1 Elektron)

22

42 1

2 n

emZE

223

42 11

4

1

1

if nnc

emZ

hc

E

c

hE

Spektralserien des Wasserstoffs

17

22

22

22

22

22

m10097.1

4;1

5

11

5;1

4

11

4;1

3

11

3;1

2

11

2;1

1

11

R

nn

R

nn

R

nn

R

nn

R

nn

R

… Lyman

… Balmer

… Paschen

… Brackett

… Pfund

43

Spektralserien des Wasserstoffs

Lyman (UV):

n (nm)2 121,53 102,54 97,2 91,2

2;1

1

1122

n

nR

Balmer:

n (nm)3 656,34 486,25 434,1 364,6

3;1

2

1122

n

nR

Paschen (IR):

n (m)4 1,8755 1,2826 1,094 0,820

4;1

3

1122

n

nR

44

Vergleich der Energieniveausin verschiedenen Potentialen

Fig. 29, Seite 70

Quantum walls Gitterschwingungen(thermische

Eigenschaften)

Wasserstoffatom

1 beschreibung der energetischen zustände der elektronen wellengleichung ableitung der...

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