1 bölüm - yÜkseklİk sİstemlerİ

Yükseklik Sistemleri

1

1. BÖLÜM

YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ

1.1. Yükseklik Kavramı Yeryüzünün şekli denilince, katı ve sıvı dünya kitlesinin atmosfer ile olan sınırı anlaşılır. Katı kısımlar girinti ve çıkıntılar nedeniyle düzgün bir yüzey değildir. Genel olarak yüzeyler, normalleri yardımıyla incelenebilir. Yeryüzü normalleri, ağırlık kuvveti doğrultusundadır. Ağırlık kuvvetinin doğrultusu uygulamada çekül doğrultusuyla gösterilir. Çekül doğrultusunun ölçmelerdeki rolü çok önemlidir. Ölçme aletlerinin düşey eksenleri çekül doğrultusuna göre düzenlenir (Ulsoy, 1977).

Yeryüzündeki noktaların yüksekliklerini tanımlayabilmek için, bir başlangıç yüzeyi ve bu yüzeye dik doğrultuların saptanması gerekir. Yeryüzünde en kolay belirlenebilen doğrultular, çekül doğrultularıdır. Bilindiği gibi durgun bir sıvı yüzeyi çekül doğrultusuna diktir. Çekül doğrultuları da her noktada denge halindeki deniz yüzeyine diktir. Karaların altında da devam ettiği düşünülen denge halindeki deniz yüzeyi, başlangıç yüzeyi yani sıfır yükseltili yüzey olarak alınabilir ve bu yüzey Geoit olarak adlandırılmıştır. Buna göre yükseklik, yeryüzü noktalarının çekül doğrultusunda başlangıç yüzeyine yani geoide olan uzaklığıdır. Başlangıç yüzeyinin altında bulunan noktaların çekül doğrultusunda geoide olan uzaklıkları da derinlik olarak adlandırılır.

Noktalar arasındaki yükseklik farklarının ölçülmesi işine nivelman denilmektedir. Uygulamada kullanılan nivelman yöntemleri şunlardır:

1. Geometrik Nivelman: Geometrik nivelmanda, noktaların düşey doğrultuda yatay bir düzleme olan uzaklıkları ölçülmekte ve bu uzaklık farklarından iki nokta arasındaki yükseklik farkları elde edilmektedir. Nivelmanda incelik (doğruluk) genel olarak 1 km’lik nivelman yolunda gidiş-dönüş ölçü farklarından bulunan standart sapma değeri ile ifade edilmektedir. Geometrik nivelmanda incelik 1 km’de ±1mm ile ±20 mm arasındadır. Hassas nivelmanda ise incelik, 1 km’de ±0.2 mm ile ±0.5 mm arasındadır.


2

Geometrik nivelman, her türlü mühendislik uygulamalarında ve teknik hizmetlerde kullanılır. Yüksek incelik istenen köprü, baraj vb. mühendislik yapılarında düşey yöndeki deformasyonların belirlenmesinde ve ülke birinci ve ikinci derece nivelman ağlarının ölçümünde hassas nivelman yöntemi kullanılır.

2. Trigonometrik Nivelman: Trigonometrik nivelmanda yükseklik farkları basit olarak, iki nokta arasındaki uzunluk ile düşey açıdan yararlanılarak elde edilmektedir. Bu yöntemde incelik 1 km’de ±1cm ile ±10 cm arasındadır. Trigonometrik nivelman, daha çok konum koordinatlarının elde edilmesi için oluşturulan jeodezik ağlarda nokta yüksekliklerinin belirlenmesinde, sağladığı incelik yeterli olduğu sürece mühendislik hizmetlerinde ve geometrik nivelmanın uygulanamadığı dağlık arazideki her türlü yükseklik ölçmesinde uygulanır.

Şekil 1.2 Trigonometrik nivelman

3. Barometrik Nivelman: Hava basıncı, deniz seviyesinden yukarılara doğru çıktıkça düşmektedir. Hava basıncı ölçülerek barometrik yükseklik elde edilmektedir. Barometrik nivelmanda iki nokta arasındaki yükseklik farkı ± 1-2 m incelikle bulunur. Barometrik nivelman yalnızca keşif işlerinde kullanılır.

4. Hidrostatik Nivelman: Fizikteki birleşik kaplar ilkesinden yararlanılarak geliştirilen hortumlu su düzeci denilen aletlerle, noktalar arasındaki yükseklik farkları ± 0.01 mm incelikle ölçülebilmektedir. Genel olarak hidrostatik nivelman, hortumlu su düzeçleri ile basit şantiye ölçmelerinde; hassas hortumlu su düzeçleri ile çok yüksek incelik gerektiren makine aplikasyonlarında ve kapalı yerlerde düşey yöndeki deformasyonların ölçülmesi işlerinde başarıyla kullanılmaktadır.

Mira Mira

g i

∆h

A

B

Nivelman düzlemi

∆h= g - i ∆h= HB - HA= geri-ileri= g-i

Şekil 1.1 Geometrik nivelman

∆H

HB = HA + i + h – t h = S*cotZ HB = HA + i +S*cotZ – t

Z h

A

B i

t

s


3

1.2. Yükseklik Sistemleri Ülke nivelman ağlarının hesabında, önceleri durgun deniz yüzeyinin başlangıç olarak alınabileceği düşünülür; fakat bir çok ülkenin nivelman ağlarının birleştirilmesi ile elde edilen sonuçlar, bu kanının sarsılmasına neden olur. Örneğin, 1862’deki ölçümlere göre Atlantik seviyesi, Akdeniz seviyesinden 64 cm daha yüksek bulunur. Nivelman sonuçlarına normal ağırlık ivmesi ile ortometrik düzeltmeler getirilince iki seviye arasındaki farkın çok daha az olduğu görülür. Yapılan hesaplamalardan çeşitli deniz seviyeleri arasındaki farkın ölçü hataları içinde kaldığı kanaatine varılır. Böylece her ülkenin kendi nivelman ağının en yakın deniz seviyesine bağlanması gereği ortaya çıkar (Ulsoy, 1976). Geoit başlangıç olmak üzere, farklı yollardan gidilerek bir noktanın yüksekliği nivelmanla belirlense, sonuçların eşit olmadığı görülür. Nivo yüzeyleri birbirlerine paralel olmadıkları için nivelman sonuçları yola bağımlıdır. Yüksekliklerin açık ve kesin biçimde tanımlanması için yalnızca yükseklik farklarının ölçülmesi yeterli olmaz; nivelman yolları boyunca ağırlık (yerçekimi ivmesi) değerlerinin de ölçülmesi gerekir. Problemin çözümü için yükseklikler, ya potansiyel değerlerden dönüştürülür ya da ölçülen yükseklik farklarına bir düzeltme getirilerek elde edilir (Demirel, 1983). Geoidin denklemi, ağırlık kuvveti ve onun potansiyeli ile açıklanabilir. Kitle yoğunluğu sürekli olduğu sürece geoidin eğriliği de süreklidir. Yoğunluğun ani değişikliğe uğradığı yerlerde geoidin eğriliği de değişir. Geoidin yeryüzü noktalarına göre konumu kesin olarak bilinmediğinden yüksekliklerin belirlenmesi için çeşitli hipotezler ortaya atılmıştır. Yükseklikler, bilimsel yükseklikler ve pratik yükseklikler olarak sınıflandırılır.

1.2.1. Bilimsel Yükseklikler Yeryüzündeki herhangi bir noktanın geoide olan uzaklığı, noktadan geoide indirilen normal eğrisinin uzunluğu ile veya geoidden noktaya erişmek için kullanılacak iş veya potansiyel yöntemleri ile tanımlanabilir. Sıfır yükseltili yüzey olarak geoidin alındığı daha önceden belirtilmişti. Nokta yüksekliklerini çekül doğrultusunda ölçmek üzere sıfır yükseltili bir yüzey şöyle de tanımlanabilir: Bir m kütlesi yerçekimi kuvveti doğrultusunun ters yönünde, yeryüzünde bir A noktasından dh yüksekliğine çıkarılırsa dA işi yapılır.

dA=m·g·dh [gr·cm2·saniye-2] (1.1)


4

Burada g, A noktasındaki yerçekimi ivmesi (ağırlık) ve dh, geometrik nivelmanla bulunan yükseklik farkıdır. m kütlesi yerçekimi kuvveti doğrultusuna dik yönde hareket ettirilirse hiçbir iş yapılmış olmaz. Çünkü dh=0 dır. O halde bir m kütlesinin üzerinde taşınmasıyla hiçbir iş yapılmayan yüzey sıfır yükseltili bir yüzeydir. Bu şekilde sonsuz sayıda yüzey bulunabilir ve bunlara nivo yüzeyi de denir. Geoit de bu nivo yüzeylerinden biridir.

m kütlesi, bir nivo yüzeyinden başka bir nivo yüzeyine taşınırsa, hangi yoldan gidilirse gidilsin aynı iş yapılır. Örneğin, aşağıdaki şekilde D noktası, A noktasından geçen nivo yüzeyinde, C noktası da B noktasından geçen nivo yüzeyi üzerinde alınmıştır ve noktalar, BA, CD çekül doğrultuları üzerindedir. Bir m kütlesi önce ABC yoluyla A noktasından C noktasına, sonra da ADC yoluyla A noktasından C noktasına taşınsın.

Yeryüzünde yerçekimi ivmesi sabit olmayıp, coğrafi enlem ve yüksekliğe bağlıdır. Bir nivo yüzeyinin değişik noktalarında yerçekimi ivmeleri farklı yani g1≠g2 olduğundan dh1≠dh2 olur. Bu da bize, iki nivo yüzeyinin birbirine paralel olmadıklarını gösterir. Bu nedenle yüksekliklerin bulunmasında g nin göz önünde bulundurulması gerekir. Buna karşın sarkıtılan çekülün ipi, nivo yüzeylerine diktir ve bu ip bir doğru olmayıp uzay eğrisi olacaktır. Bu eğriye çekül eğrisi denir (Aydın, 1997).

Yeryüzünün herhangi bir noktasındaki yerçekimi ivmesine bağlı olarak o noktanın potansiyeli W olan skaler bir büyüklük tanımlanmıştır. Nokta çekül doğrultusunun tersine yani yüksekliği artarak hareket ettirilirse potansiyeli azalır. Bu durumda iş ve potansiyel ters orantılı kavramlardır. İş ve potansiyel arasındaki ilişki

-m·dW= dA (1.2)

bağıntısıyla verilmektedir. Buna göre;

[ ]2−⋅⋅−=⋅⋅

−=−= sancm dhgm

dhgmmdAdW 2 (1.3)

olur. Bu durumda bir birim kütlenin kaldırılması ile yapılan iş, sayısal değer olarak kaybedilen potansiyele eşittir. İki nivo yüzeyi arasındaki potansiyel farkı sabit olduğundan,

SabitCdhgdhgdhgdW ii ==⋅=⋅=⋅=− 2211 (1.4)

ABC yolundan geçerken yapılan iş dA1=m·g1·dh1 ADC yolundan geçerken yapılan iş dA2=m·g2·dh2

dA1=dA2 olmalıdır. Bu durumda, m·g1·dh1= m·g2·dh2 g1·dh1= g2·dh2

olur. Şekil 1.3 Nivo yüzeyleri

dh1 dh2 g1 g2

A

B C

D


5

yazılır. Burada, dhi=0 olursa C=0 olur. Halbuki C≠0 olduğundan dhi≠0 olur. Bu da bize, iki nivo yüzeyi arasındaki yükseklik farkının sıfır olmadığını, yani nivo yüzeylerinin kesişmediğini gösterir. Bir nivo yüzeyinde birim kütlenin taşınması ile hiçbir iş yapılmadığına göre hiçbir potansiyel kaybı da olmaz. Yani bir nivo yüzeyinin her noktasında potansiyel değeri sabittir. Bu nedenle nivo yüzeylerine eş potansiyelli yüzeyler de denir.

Sonsuz uzaklıkta bulunan bir noktanın potansiyeli sıfırdır. Bir birim kütlenin sonsuz uzaklıktan bir nivo yüzeyine taşınması ile açığa çıkarılan iş, sayısal değer olarak o nivo yüzeyindeki bir noktanın potansiyeline eşittir∗.

Nivo yüzeyinin genel denklemi, W=C=Sabit biçiminde yazılabilir ve ancak seriye açılımla çözülür. Bu serinin küçük terimleri toplamı T ile gösterilirse W=U+T olur. W yerine potansiyeli U=C=sabit olan bir yüzey düşünülürse bu yüzeye nivo sferoidi denir. Nivo sferoidi üzerindeki bir noktanın yerçekimi ivmesi γ ile gösterilir ve buna normal ağırlık adı verilir. Nivo yüzeyi üzerindeki bir noktanın yerçekimi ivmesi olan g hesap yoluyla bulunamadığı halde nivo sferoidi üzerindeki bir noktanın yerçekimi ivmesi olan γ, yani normal ağırlık hesap yoluyla bulunabilir. Yerçekimi ivmesi, coğrafi enleme ve yüksekliğe bağlıdır.

Pi ve P noktaları arasındaki potansiyel farkı, dW=-gi·dhi idi. Bu eşitliğin her iki tarafının Pi noktasından P noktasına kadar integrali alınırsa,

PiP

P

Pi

P

Pi

WWdhgdW −=⋅−= ∫∫

Pratikte integral hesabı yerine bir toplam ile yetinilmesinden dolayı,

∑∫ ⋅−=⋅−=−P

Piii

P

PiPiP dhgdhgWW (1.5)

∗ Potansiyel enerji, bir sistemi oluşturan bölümlerin birbirlerine göre konumlarına bağlı olan, depolanmış durumdaki enerji. Potansiyel enerji tek bir cisme ya da parçacığa değil, bir sisteme özgü bir niteliktir. Örneğin, top ile Yer’den oluşan bir sistemin potansiyel enerjisi bu iki cisim birbirlerinden uzaklaştırıldıkça artar. Topu yeryüzünden yukarı yükseltmek için yapılan iş, sistemin enerjisine eklenir ve kütle çekimser potansiyel enerji olarak depolanır.

Yer’in yüzeyine yakın bölgelerde kütle çekimsel potansiyel enerji, cismin ağırlığı ile referans noktasına göre yüksekliği çarpılarak hesaplanır. Bağlı sistemlerde, örneğin elektronların çekirdeğin elektriksel çekim kuvvetiyle bağlı tutulmakta olduğu atomlarda, potansiyel enerji için sıfır referans noktası, çekirdeğin elektriksel çekim kuvvetinin algılanamayacak kadar küçüldüğü, çok uzaktaki bir noktadır. Bu durumda, bağlı elektronların potansiyel enerjisi negatiftir; çekirdeğin etkisinden tam kurtulmakta olan hareketsiz bir elektronun potansiyel enerjisi ise sıfırdır (AnaBritannica, cilt:18, s:139, 2000 Ana Yayıncılık A.Ş. İstanbul).


6

yazılır. γ0 herhangi bir enlemdeki normal ağırlık ivmesi olmak üzere yukarıdaki eşitliğin sağına (-γ0+γ0) eklenir ve eşitliğin her iki tarafı da γ0 ile bölünürse eşitlik bozulmaz. Böylece,

∫+−

−=− P

Pi

PiP dhgWW

0

00

0 γγγ

γ

eşitliği elde edilir. Başlangıç noktasından kalkarak yine başlangıç noktasına dönüldüğünde yukarıdaki eşitlik,

000

0 =−

=+−

∫ ∫ γγγ AA WWdhdh

g

olur. Buradan da ∫ ≠ 0dh olduğu görülür.

∫ ∫−=−

dhdhγγg

0

0 (1.6)

değerine nivelman halkasının (ilmiğinin) kapanması denir (Erbudak ve Tuğluoğlu, 1976). 1.2.1.1. Geopotansiyel Yükseklik (C)

[ ]∫

∫ ∫

⋅=−=⋅−

⋅−=

⋅−=

P

PP

P P

CWWdhg

dhgdW

dhgdW

00

0 0

mkgal

Şekil 1.4 Geopotansiyel yükseklik

eşitliği ile tanımlanan CP sayısına P noktasının geopotansiyel yüksekliği (geopotansiyel sayısı) denilir. Burada, W0 geoidin, WP de yeryüzündeki bir P noktasının potansiyelini ifade etmektedir. Geopotansiyel yükseklik birimi kilogalmetre∗ olup aynı zamanda geopotansiyel birim (g.p.u) de kullanılmaktadır. C geopotansiyel sayı ve G ortalama gravite (ağırlık) yardımıyla yükseklik sistemleri,

GCH = (1.7)

genel formülü ile ifade edilmektedir. G yerine , , γγ0,g … gibi değerler verilerek

değişik yükseklik sistemleri tanımlanır. Noktaların ya da noktalardan geçen nivo

∗ Gal: özellikle kütle çekimi ölçümlerinde kullanılan ivme birimidir. 1 gal, hareket hızında saniye karede 1 cm değişikliğe eşittir (1 gal =1 cm·san-2). 1 kilogalmetre, 450 enlemindeki deniz seviyesinde 1 kg lık bir kütleyi 1 metre yüksekliğe kaldırmak için gerekli işdir.


7

yüzeylerinin geoide göre durumlarını gösteren, geoit ile bu yüzeyler arasında kilogal·metre biriminde ifade edilen geopotansiyel yükseklikler, geometrik ya da pratik anlamda bir yükseklik olmayıp fiziksel anlamda büyüklüklerdir.

P noktasının geopotansiyel yüksekliği; P0 dan P ‘ye olan geçki üzerinde belirli aralıklı noktalar arasındaki geopotansiyel yükseklik farkları (∆Ci) nın toplamıyla elde edilir.

ii

K

iiP dhg∆C∆C ⋅== ∑

=iC ,

1 (1.8)

dhi, iki nokta arasındaki geometrik nivelman ile bulunan yükseklik farkı, ig söz

konusu iki yeryüzü noktası arasındaki ortalama gerçek gravitedir. Noktaların geopotansiyel yükseklikleri belirlendikten sonra istenen yükseklik sisteminde nokta yükseklikleri belirlenebilir. Ayrıca geometrik nivelman ölçülerine uygun düzeltmeler (ortometrik düzeltme, normal düzeltme, dinamik düzeltme) getirilerek; düzeltmeye karşılık gelen yükseklik sisteminde noktalar arasındaki yükseklik farkları doğrudan da elde edilebilir.

Nivo yüzeylerinden her biri, geopotansiyel yüksekliklerin bir tek sayısal değeriyle bellidir. Geoidin potansiyel yüksekliği sıfıra eşittir. C geopotansiyel kotların hesaplanması için dağlık yörelerde her 0,5-1 km de, engebeli yerlerde 1-2 km de ve düz yerlerde de her 3-5 km de bir g ağırlık ivmesi ölçülür (Erbudak ve Tuğluoğlu, 1976). Geopotansiyel yükseklikler, 1 kgal’e bölünürse metre biriminde sayısal değeri değişmeyen bir büyüklük elde edilir. Geopotansiyel yükseklikleri metre biriminde düşünmek onların fiziksel niteliğini değiştirmez. 1.2.1.2. Dinamik Yükseklik (HD)

Dinamik yükseklik, 0γ

CH = eşitliği ile tanımlanır. γ0, herhangi bir enlemdeki normal

ağırlık ivmesidir. Pratikte 45° enleminde deniz seviyesindeki ivme değeri olan

gal 6294980450 .=γ değeri kullanılır (Aydın, 1997).

0γCH = eşitliği yardımıyla A ve B

noktaları arasındaki H∆ yükseklik farkı,

dhgdhdhgdhgCCHB

A

B

A

B

A

B

AAB ∫ ∫∫ ∫

−+=+−=⋅=−=∆

0

000

000

)(11)(1γγ

γγγγγ

yazılır. Eşitliğin sağındaki ilk terim geometrik nivelmanla elde edilen yükseklik farkını, ikinci terim ise,

dhg

dhg

vB

A

B

AD ∫ ∑ −

≈−

=0

0

0

0

γγ

γγ (1.9)


8

dinamik yükseklik düzeltmesini ifade eder. Aynı nivo yüzeyi üzerindeki noktaların dinamik yükseklikleri eşittir. Fiziksel boyutu olan geopotansiyel yükseklikler sabit bir sayı 45γ ile bölünerek metrik boyutu olan dinamik yükseklikler elde edilir. Dinamik

yüksekliklerin herhangi bir geometrik anlamı yoktur. Geometrik nivelman ölçülerine dinamik düzeltme getirilerek dinamik yükseklik farkları elde edilebilir. Ağırlık ivmesi*, ekvatordan kutuplara doğru 5 gal büyüklüğünde bir değişmeye uğradığından, yükseklik düzeltmeleri de büyük olabilir. Örneğin, ekvatorda 2000 metrelik yükseklik için,

m...

...E m m m 2652000

6294980580422000

62949806294980049978200045

0

450 −=⋅

−=⋅

−=⋅

−

γγγ

olur. Dinamik yükseklik düzeltmesi özellikle dağlık bölgelerde büyük değerlere ulaştığından, bu yükseklik sistemi uygulama açısından uygun değildir. 1.2.1.3. Ortometrik Yükseklik (H)

Şekil 1.5 Ortometrik yükseklik

Ortometrik yükseklik, Yeryüzündeki bir noktanın çekül eğrisi boyunca geoide olan

uzaklığıdır ve g ortalama ağırlık ivmesi olmak üzere, gCH = eşitliği ile ifade edilir.

Yeryüzündeki bir noktanın ortometrik yüksekliği doğrudan doğruya ölçülemez. Geoit üzerindeki bir A noktasından C noktasına yapılan nivelman sonunda elde edilen yükseklik farkı [∆h], nivelman yoluna ve dolayısıyla g yer çekimi ivmesine bağlıdır. Yine geoit üzerindeki diğer bir B noktasından C noktasına yapılan nivelman sonunda bulunan yükseklik farkı [∆h’] dır. Böylece C noktası için A dan ve B den farklı nivelman yükseklikleri bulunmuş olur. Nivo yüzeyleri birbirlerine paralel olmadıkları için C noktasının nivelmanla bulunan yükseklikleri [∆h] ve [∆h’], bu noktanın ortometrik yüksekliği olan H ‘ya eşit değildir.

* Normal ağırlık ivmesi, ekvatorda gal.γ 0499780

0 = ve kutupta gal 2213983900 .γ = dır.


9

Yükselti (nivo) yüzeyleri paralel olmadıklarından aynı yükselti yüzeyi üzerindeki noktaların ortometrik yükseklikleri eşit değildir. Çekül eğrilerinin yeryüzü ile geoit arasında kalan noktalarında ağırlıkları ölçmek ya da g ortalama değerini ölçümle

belirlemek olanaksız olduğundan ortalama ağırlık ivmesi, çeşitli yollardan hesaplanabilir. Örneğin, Helmert’e göre;

[ ]km H.gg PP ⋅+= 04240 (1.10)

formülü ile hesaplanır (şekil 1.6). Burada gP, P yeryüzü noktasında ölçülen gravitedir.

Ortometrik Düzeltme (vo) : Ortometrik yükseklikler, geometrik nivelmanla bulunan yükseklik farklarına, bir düzeltme getirilerek bulunur. Deniz seviyesinden oldukça yüksek olan bölgelerde, kuzey-güney doğrultusunda bu düzeltmeler hissedilir derecede büyük değerlere ulaşabilir. Uygulamada ortometrik düzeltmelerin toplam nivelman boyu yerine, iki röper noktası arasındaki her parça için uygulanması uygundur. (Özgen, 1984).

Şekildeki A ve B noktaları arasında yapılan geometrik nivelman sonucunda elde

edilen ∑∆h toplamına getirilecek düzeltmeyi hesaplamak için ∫ = 0dh eşitliğinden

yararlanılır. Böylece,

∫∫∫∫ =⋅+⋅+⋅+⋅′

′

′

′ A

B

B

B

B

A

A

A

dhgdhgdhgdhg 0 (1.11)

denklemi elde edilir. Aynı yükselti yüzeyi üzerinde, ∫′

′

=⋅B

A

dhg 0 olduğundan,

00

00

0

00

0

00 =+−

−+−

++−

− ∫∫∫′′

dhgdhgdhg B

A

B

B

A

A γγγ

γγγ

γγγ

ya da

∫ ∑∫∫ =∆−−

−+−

+−−

−′′

B

A

B

AB

B

BA

A

A

hdhgHdhgHdhg0

0

0

0

0

0

0

γγ

γγ

γγ

elde edilir. Buradan,

Pg

P w=wP B

A

w=w0

h

2h A’ B’

w=w0

w=wP

AA gh , BB gh ,

Şekil 1.6 Ortometrik düzeltme


10

BB

AA

B

A

B

AAB HgHgdhghHH

0

0

0

0

0

0

γγ

γγ

γγ −

−−

+−

+∆+= ∑∑

yazılarak,

BB

AA

B

AD H

γγg

Hγγg

dhγγg

v0

0

0

0

0

0 −−

−+

−= ∑ (1.12)

düzeltmesi elde edilir. (Erbudak ve Tuğluoğlu, 1976). Düzeltme miktarını hesaplayabilmek için önce, çekül eğrisi boyunca A noktasındaki Ag ve B

noktasındaki Bg ortalama ağırlık ivmesi, örneğin (1.10) ‘a göre hesaplanır.

Gerek geopotansiyel yükseklikler gerekse dinamik yükseklikler, hem düzeltmelerinin büyük olması hem de gerçek anlamda yükseklik ifade etmedikleri için teknik yükseklikler olarak kullanılmaya elverişli değillerdir. Ortometrik yüksekliklere getirilecek düzeltmeler de teknik nivelman sonuçlarının düzeltilmesini zorunlu kılacak kadar büyüktür. 1.2.2. Pratik Yükseklikler Teknik nivelman sonuçlarına düzeltme getirme zorunluluğunu ortadan kaldırmak amacıyla küçük düzeltmeli yükseklik sistemleri araştırılmış ve sonuçta pratik yüksekliklerin bir dizisi geliştirilmiştir. Araştırmalar, bu sistemlerin küçük ya da belli bir topografik yapıya uyan bölgelerde iyi sonuçlar verdiklerini, ama büyük ve dağlık ülkeler için uygun düşmediklerini göstermektedir.

Molodenski tarafından 1945 de tanımlanan normal yükseklikler, teori ve uygulamanın gereksinimlerini karşılayacak niteliktedir. Değişik yükseklik sistemlerini karşılaştırmak amacıyla bazı nivelman poligonlarında yapılan incelemelerde normal yüksekliklere ilişkin düzeltmeler, ötekilere oranla küçük çıkmaktadır. Şekil 1.7 de, çeşitli yükseklik sistemlerinin başlangıç yüzeyleri ve bu yüzeylere göre tanımlanan yükseklikler görülmektedir.

C : Geopotansiyel yükseklik H : Ortometrik yükseklik HN : Normal yükseklik HNO : Normal ortometrik yükseklik h : Elipsoidal yükseklik N : Geoit yüksekliği (N=h-H) ζ : Kuazigeoit yüksekliği (ζ=h-HN)

Şekil 1.7 Yükseklik sistemlerinin başlangıç yüzeyleri ve çeşitli yükseklikler


11

1.2.2.1. Normal yükseklik (HN)

Yeryüzünün gerçek gravite alanının normal gravite alanı olduğu, yani W=U, g=γ, T=0 olduğu kabul edilsin. İşte bu varsayıma karşılık gelen ortometrik yüksekliklere normal

yükseklik adı verilir ve γCH N = eşitliği ile ifade edilir. γ , çekül eğrisi boyunca olan

ortalama gravitedir ve iteratif olarak aşağıdaki eşitlikten çözülür.

kMbam

])a

H(a

H)sinfmf([NN

⋅⋅=

+⋅⋅⋅−++−⋅=

2

22211

ω

φγγ (1.13)

Burada γ, aynı ϕ enleminde elipsoit üzerindeki normal gravite, ϕ jeodezik enlem, f basıklık, ω Yerin açısal dönme hızı, a ve b elipsoidin büyük ve küçük yarı eksenleri, kM Newton çekim sabiti ile yerin kitlesinin çarpımıdır (Demir ve Cingöz).

Elipsoit üzerinde ζ yükseklik anomalileri de çizilebilir. Bu yolla okyanuslar üzerinde geoitle özdeş olan bir yüzey elde edilir. Çünkü orada Nζ = olup diğer taraflarda da geoide çok yakındır. Bu yüzeye Molodenski tarafından kuazigeoit denmiştir. Normal yüksekliklerin başlangıç yüzeyi, okyanuslarda geoit ile çakışan, karalarda farklılık gösteren kuazigeoit (kogeoit) dir. Kuazigeoitte geoidin dış yüzeyindeki kütle ve bunun yerçekimi ivmesi üzerindeki etkisi dikkate alınmaz. Bununla beraber kuazigeoit bir nivo yüzeyi değildir ve hiçbir fiziksel anlamı da yoktur. Bu, geoide benzer bir yüzeye çağrışım yaptırır (Gürkan, 1984).

Normal potansiyel U basit bir analitik fonksiyon olduğundan bu formüller kolaylıkla değerlendirilebilir. Fiziksel yeryüzündeki bir P noktasının belirli bir WP gerçek potansiyeli ve belirli bir UP normal potansiyeli vardır. Genel anlamda WP ≠ UP dir; fakat P den geçen çekül eğrisi üzerinde UQ=WP olan belirli bir Q noktası vardır. Bir başka deyişle, Q daki U normal potansiyeli P deki W gerçek potansiyele eşittir. P nin HN normal yüksekliği, aynen P nin geoit yüzünden olan ortometrik yüksekliği gibi, Q nun elipsoit yüzünden olan geometrik yüksekliğinden başka bir şey değildir (Gürkan, 1984). Başlangıç elipsoidi ile kuazigeoit arasındaki uzaklık, yükseklik anomalisi (kuazigeoit yüksekliği) ζ=h-HN olarak tanımlanır. Yüksek dağlık yerlerde kuazigeoit ile geoit arasındaki fark (uzaklık) yaklaşık 2 m yi bulur (Möser u.a. 2000).

Elipsoitten HN yüksekliğinde olan noktalar, tellüroit adı verilen Yeryüzünün bir modelini oluştururlar. Şekil 1.8 den görüldüğü gibi P noktasının gerçek çekül eğrisi boyunca geoide olan uzaklığı ortometrik yükseklik, normal çekül eğrisi boyunca


12

kuazigeoide olan uzaklığı ise normal yüksekliktir. Ortometrik yükseklikler yer yoğunluğu ile ilgili bazı varsayımlara dayanmasına karşın, normal yükseklikler için herhangi bir varsayım söz konusu olmayıp her iki yükseklik sistemi tam diferansiyel ve tek anlamlıdır.

Şekil 1.8 Ortometrik ve normal yükseklik

Dinamik ve ortometrik düzeltmeler gibi, ölçülen yükseklik farkları için de bir normal düzeltme vN vardır. g yerine γ ve H yerine HN konarak,

NB

BNA

AB

AN H

γγγ

Hγγγ

γγg

v ⋅−

−⋅−

+−

= ∑0

0

0

0

0

0 (1.14)

yazılabilir. Böylece,

NABNA

NB

NAB vh∆HHH∆ +=−= (1.15)

olur.

1.2.2.2. Normal Ortometrik Yükseklik (Sferoidik Ortometrik Yükseklik) (HNO)

Gerçek gravite değerinin bilinmediği durumlarda ig yerine ortalama normal gravite iγ

alınarak ∆Ci’ normal geopotansiyel yükseklik farkı elde edilmekte ve böylece normal geopotansiyel yükseklik (CP’) hesaplanmaktadır.

ii

K

i

ıi

ıP dhγ∆C∆C ⋅== ∑

=

ıiC ,

1 (1.16)


13

Normal geopotansiyel yükseklikten normal ortometrik yükseklikler,

)γG

CHıPNO

2H(0.3086-G ,

NO⋅== (1.17)

eşitlikleriyle elde edilmektedir. Normal geopotansiyel yükseklikler, gerçek gravite alanına dayanmadığı için tam diferansiyel ve tek anlamlı değildir. Bunun anlamı, bir halkayı (lupu) oluşturan normal geopotansiyel yükseklik farklarının toplamı teorik olarak sıfır olmaz. Bu da bir yükseklik sisteminden beklenen temel özellikleri yansıtmamaktadır. Ölçülen geometrik yükseklik farklarına normal graviteden yararla normal ortometrik düzeltme getirilerek normal ortometrik yükseklik farkları elde edilebilmektedir. Normal ortometrik düzeltme (vNO);

φ∆]φcos)αβα([φsinαHv NO

NO 22122 ⋅⋅+⋅⋅= (1.18)

eşitliği ile hesaplanır. Burada NOH ortalama yükseklik α ve β bilinen katsayılar, φ iki

düşey kontrol noktasının ortalama enlemi, φ∆ ise aralarındaki enlem farkıdır.

Türkiye'de mevcut yükseklikler Normal Ortometrik Yükseklik Sistemi’nde olup ölçülen yükseklik farkları; yukarıdaki eşitlikte α=0.002644 ve β=0.000007 (Hayford Elipsoidi) alınarak hesaplanan normal ortometrik düzeltme ile normal ortometrik yükseklik farklarına dönüştürülmüştür (Demir ve Cingöz).

Normal ortometrik yükseklik, NN (“normal sıfır”) yüksekliği olarak da ifade edilir. Sıfır noktası olarak Ülkemizde Antalya Mareograf İstasyonundaki röper noktası alınmıştır. NN-başlangıç yüzeyi, bir elipsoit yüzeyidir. NN-yüzeyi, normal ağırlık ivmesinin etkisinin dikkate alındığı bir vNO normal ortometrik indirgemesiyle NN-yüksekliği belirlenerek elde edilir.

1.2.3. Elipsoidal Yükseklik (h)

Uygulamada, geometrik nivelman ve gravite ölçülerine dayalı olarak hesaplanan ortometrik yükseklikler kullanılır. GPS ölçüleri ile üç boyutlu geosentrik bir koordinat sisteminde seçilen başlangıç elipsoidine göre elipsoidal yükseklik h, belirlenmekte olup elipsoidal yükseklik ile ortometrik yükseklik arasında,

h = H + N (1.19)

ilişkisi bulunur. Burada, H ortometrik yükseklik, h elipsoidal yükseklik ve N geoit yüksekliği (geoit ondülasyonunu) olup geoit ile elipsoit arasındaki uzaklıktır. Ortometrik yükseklik ve elipsoidal yükseklik arasındaki ilişkiler Şekil 1.9’da görülmektedir.


14

Şekil 1.9 Elipsoidal yükseklik ve ortometrik yükseklik

Elipsoidal yükseklikler, yerin çekim alanından tamamen bağımsızdır. Hâlihazırda komşu GPS noktaları arasındaki 4 ile 10 mm lik yükseklik inceliği, hassas nivelman noktalarının inceliğine yetişemez. Verilen elipsoide ilişkin GPS yükseklikleri ile ağırlık alanında nivelmanla belirlenmiş yüksekliklerin birlikte değerlendirilmesi için geoidin hassas bilgileri gereklidir. GPS gözlemlerinden türetilen ortometrik yükseklikler, elipsoidal ve geoit yükseklikleri arasındaki ilişkilerin hassasiyetine bağlıdır. Yükseklik belirlemesinin doğruluk istemlerine uygun yerel bir geoit kullanılırsa, mühendislik ölçmeleri için GPS yükseklikleri kullanılabilir. 1.3. Nivelman Ağları

Yükseklikleri nivelman yoluyla belirlenmiş noktaların oluşturduğu ağlara nivelman ağları denir. Nivelman ağları değişik incelikle belirlenmiş nivelman geçkilerinden meydana gelir. Nivelman geçkileri, inceliklerine göre çeşitli derecelere ayrılır. I. ve II. derece nivelman ölçmeleri, genellikle ülke nivelman ağlarında ve deformasyon ölçmeleri gibi araştırma işlerinde uygulanır. Diğer derecelerdeki nivelman ölçmeleri, yol inşaatı, su işleri, şehir haritalarının yapımı, yüzey nivelmanı gibi bütün teknik işlerde uygulanır. 1.3.1. Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı (TUDKA)

Türkiye’de Düşey Kontrol (Nivelman) Ağı ile ilgili çalışmalar 1935 yılında Antalya mareograf (deniz seviyesi ölçer) istasyonunun kurulması ile başlamıştır. Ana karayolları ve demiryolları boyunca 2.5–3 km de bir oluşturulan I. ve II. derece


15

nivelman noktaları arasındaki ölçmeler, Akdeniz, Karadeniz ve Eğe Denizindeki mareograf istasyonlarına bağlı olarak gidiş-dönüş yapılmıştır. I. derece nivelman halkasının çevresi 650–1400 km ve bunların kapanma hataları 10–15 cm’dir. II. derece nivelman noktaları, I. derece geçkilerin aralarını doldurmak ve bunları birbirine bağlamak amacı ile yapılmıştır. III. Derece nivelman noktaları sıklaştırma amacı ile yapılmışlardır. Ölçmeler Wild N3 ve 1988 ‘den itibaren Zeiss Ni 002 nivoları ile invar miralar kullanılarak yapılmıştır. 1955 yılında İstanbul Boğazı’ndan (860 m) ve Çanakkale Boğazı’ndan (1450 m) vadi geçiş nivelmanı ile karşı tarafa geçilmiştir (Şerbetçi, 1995). 1965 yılında ülke nivelman ağı için dengeleme çalışmalarında, mareograf istasyonları arasında çıkan bazı farklılıklar nedeniyle, Ülkenin ortasındaki bir noktaya mareograf istasyonlarından yükseklik taşınarak bunların ortalaması, ülke nivelman ağının başlangıç kotu olarak seçilmiştir (Şerbetçi 1992). Ancak ayrı bölgelerden yükseklik verilen ortak noktalarda önemli farklar olduğu görülerek bu uygulamadan vazgeçilmiştir. Mareograf istasyonları arasındaki yükseklik farklarından dolayı ülke nivelman ağına, Doğu Akdeniz Bölgesi hariç, Antalya Mareograf İstasyonunun 1936–1958 yılları arasındaki 22 yıllık gözlemlerinin aritmetik ortalaması alınarak ortalama deniz seviyesine göre yükseklik değeri verilmiştir.

Dengeleme etütlerinde yerçekimi ölçülerinin önemi anlaşıldığından; I. ve II. derece noktalardan oluşan ülke temel nivelman ağının iyileştirilmesi ve uluslararası standartlara uygun duruma getirilmesi çalışmalarına hız verilmiş ve bu amaçla 1983 yılında eski mareograf istasyonları iptal edilerek bunların yerine başta Antalya, İzmir/Menteş, Bodrum ve Erdek’te olmak üzere yeni istasyonlar kurulmuştur. 158 tane I. derece ve 87 tane II. derece geometrik nivelman geçkisinin ilk faz ölçümleri 1970 yılına kadar yapılarak Düşey Kontrol Ağı tesis edilmiştir. Gravite ağı ile ilgili çalışmalar 1956 yılında başladığından 1970 yılına kadar düşey kontrol noktalarında gravite ölçülmemiştir. 1973 yılından itibaren ikinci faz geometrik nivelman ölçmeleri başlatılmıştır. Bu kapsamda günümüze kadar sürdürülen çalışmalarda daha önce tesis edilen geçki ölçümleri yenilenmiş, alt yapı nedeniyle tahrip olan geçkiler yerine yenileri, gerek duyulan yerlerde ise yeni geçkiler tesis edilmiş ve düşey kontrol noktalarında gravite ölçülmüştür. 1993 yılına kadar gerçekleştirilen ölçme çalışmaları ile 151 adet I. derece ve 39 adet II. derece geçki ölçümü yenilenmiş, 2 yeni II. derece geçki tesis edilerek ölçülmüştür. 1985–1992 yıllarında yapılan çalışmalarla, 1973–1991 yıllarında ölçümü yenilenen 151 adet I. derece ve 35 adet II. derece geçki ile 1970 yılından önce ölçülen 5 adet I. derece geçkinin, gravite değerleri ile birlikte ilk değerlendirmesi yapılarak Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı–1992 (TUDKA92) oluşturulmuştur. Ölçümü yenilenmemiş 52 II. derece geçki bu değerlendirmeye alınmamıştır (Demir ve Cingöz).


16

TUDKA92 oluşturulurken dengeleme sonrası yapılan istatistik analizde, uyuşumsuz olduğu saptanan üç adet geçki değerlendirme dışı bırakılmıştır. Sonraki yıllarda, uyuşumsuz bulunan üç geçkiden iki tanesi (biri tamamen, diğerinin bir bölümü) ölçülmüştür. Ayrıca 1993 yılında dört eski ve iki yeni olmak üzere altı adet II. derece geçki ölçümü yapılmıştır. Diğer taraftan daha önce değerlendirme dışı bırakılan 52 adet II. derece geçkiden 44 ‘ünün ağa bağlantısı gerçekleştirilmiş ve bu geçkilerdeki noktaların tamamında gravite değerleri prediksiyonla kestirilmiştir. Ağa bağlantısı sağlanamayan diğer 8 adet eski II. derece geçki değerlendirme dışı tutulmuştur. Daha sonra tüm geçkilerdeki noktaların koordinatları (enlem ve boylam) 1/25000 ölçekli haritalardan sayısallaştırılarak elde edilmiş ve mevcut tüm veriler (gravite, enlem, boylam, geometrik yükseklik farkı, uzaklık) kontrol edilmiştir. Yukarıda sözü edilen kontrol işlemleri tamamlandıktan sonra, yapılan ek ölçülerin de katılımı ile TUDKA dengelemesi yeniden yapılarak, TUDKA99 oluşturulmuştur. Bu değerlendirmeye 1970 yılından sonra ölçülen 151 adet I. derece ve 41 adet II. derece ile 1970 yılından önce ölçülen 7 adet I. derece ve 44 adet II. derece geçki olmak üzere toplam 243 adet I. ve II. derece geçki dahil edilmiştir. TUDKA99 toplam 29316 km uzunluğunda, 243 geçki ve 25680 noktadan oluşan ağın dengelenmesiyle oluşturulmuştur.

Şekil 1.10 Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı-1999 (TUDKA-99)

TUDKA99 için düşey datum Antalya mareograf istasyonunda 1936–1971 yıllarında elde edilen anlık deniz seviyesi ölçülerinin ortalamasıyla belirlenmiştir. Dengelemede ölçü olarak geopotansiyel yükseklikler alınmış ve tüm noktalarda geopotansiyel yükseklik, Helmert ortometrik yüksekliği ve


17

Molodenski normal yüksekliği hesaplanmıştır. Geopotansiyel yükseklik hesabında, düzenlenmiş Potsdam datumundaki gravite değerleri kullanılmıştır. Dengeleme sonucunda datuma bağlı nokta yüksekliklerinin duyarlılıkları 0.3 cm ile 9 cm arasında bulunmuştur. TUDKA99’un sıklaştırılması amacıyla, TUDKA99'un I. ve II. derece noktalarına dayalı III. derece nivelman ağı (Ana Nivelman Ağı=ANA) oluşturulur. TUDKA99 noktaları geçki kontrolü yapılarak kullanılır. TUDKA99 noktalarına dayalı olarak daha önceden oluşturulan ağlardaki yüksek dereceli noktaları, dayanak noktası olarak almak için ilgili idarenin onayı alınır. Sıklaştırma alanında TUDKA99'un I. veya II. derece noktaları yoksa bu ağa bağlantıyı sağlayacak ‘bağlantı nivelmanı’ yapılır. Bağlantı nivelmanı, hassas geometrik nivelman veya GPS nivelmanı yöntemiyle yapılabilir. 1.3.2. Nivelman Ağlarının Derecelendirilmesi 15 Temmuz 2005’te Bakanlar Kurulu’nca onaylanarak yürürlüğe giren “Büyük Ölçekli Harita ve Harita Bilgileri Üretim Yönetmeliği”ne göre Türkiye Ulusal Düşey Kontrol (Nivelman) Ağı ve bu ağa dayalı olarak oluşturulan düşey kontrol ağlarının derecelendirilmesi aşağıdaki gibidir:

I. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: Ülke Nivelman Ağı ve Noktaları II. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: Ülke Nivelman Ağı ve Noktaları III. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: En çok 40 km uzunluğundaki luplarla üst dereceli ağlara dayalı sıklaştırma ağları ve noktaları. Ana Nivelman Ağı IV. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: I., II. ve III. Derece noktalara dayalı en çok 10 km uzunluğundaki luplarla (halkalarla) sıklaştırma ağı ve noktaları. Ara Nivelman Ağı V. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: Poligon ve tamamlayıcı nivelman ağı ve noktaları

Ana nivelman ağı, proje alanını kapsayacak şekilde, çevresi 40 km’yi aşmayan luplar biçiminde düzenlenir. Nivelman geçkileri hassas geometrik nivelman yapılabilecek yollar üzerindeki C3 ve daha yüksek dereceli noktalar ve poligon noktaları ile bölgede önceden tesis edilen nivelman ağlarının yüksek dereceli noktalarını içerecek şekilde seçilir. Geçki üzerindeki nokta sıklığı en çok 1.5 km olmalıdır. Seçimi yapılan noktalar için bir seçim kanavası düzenlenir. Seçim kanavası onaylandıktan sonra, yeni noktalar tesis edilir ve röperlenir. Ara nivelman ağı, başı ve sonu ana nivelman ağı noktalarına bağlı toplam uzunluğu 10 km'yi geçmeyen nivelman geçkileri veya en az iki ana nivelman noktasını içeren


18

ve toplam uzunluğu 10 km’yi geçmeyen luplar biçiminde plânlanır. Geçki üzerindeki nokta sıklığı 750 m -1000 m olmalıdır. Seçimi yapılan ana nivelman noktaları, seçim kanavasında gösterilir. Yardımcı nivelman noktaları, Proje alanı içinde, her dereceden nivelman noktalarının yoğunluğu yerleşim bölgelerinde ortalama 400–500 m aralıklarla ve diğer bölgelerde ortalama 700–800 m aralıklarla olmalıdır. Bu yoğunluğu yeterince sağlamak için yardımcı nivelman noktaları (RS) tesis edilir. Bu noktalar seçim kanavasında gösterilir. Proje alanındaki yatay koordinatları hassas olarak belirlenmemiş nivelman noktalarının koordinatları ± 15 cm doğrulukta belirlenir. 1.3.3. Nivelman Kapanma Hataları Nivelman kapanma hataları, bağlantı nivelmanı, ana ve ara nivelman ağındaki yükseklik farklarının belirlenmesinde, gidiş-dönüş nivelmanı yapılır ve gidiş-dönüş nivelmanıyla yükseklik farkının ± 1.5 mm/km veya daha iyi duyarlıkla belirleyebilen nivo ve miralar kullanılır. Yardımcı nivelman noktalarının yükseklikleri, ana ve ara nivelman noktalarına bağlı nivelman geçkilerinde gidiş-dönüş nivelmanı ile olabildiğince poligon noktalarından geçilerek belirlenir. Bu nivelmanda, gidiş-dönüş nivelmanıyla yükseklik farkını ± 2.5 mm/km veya daha iyi doğrulukla belirleyebilen nivo ve miralar kullanılır. Nivelman yolunun uzunluğu bağlantı noktaları arasındaki geometrik uzunluğun 2 katını geçemez.

Gidiş – dönüş nivelmanında bulunan kapanma değeri (w),

Ana ve bağlantı nivelmanında : w[ mm ] ≤ 12 S [km]

Ara nivelmanda : w[ mm ] ≤ 15 S [km]

Yardımcı nivelmanda : w [mm ] ≤ 20 S [km] + 0.0002 ∆H

olmalıdır. Burada S, km biriminde nivelman yolunun uzunluğu, ∆H iki nokta arasındaki yükseklik farkıdır. Nivelman yolu üzerindeki ardışık noktalar arasında bu kontrol yapılır. Gidiş–dönüş yükseklik farklarının ortalamalarından hesaplanan lup kapanmaları (wL),

Ana nivelmanda : [ ] [ ]kmL L15wmm

≤


19

Ara nivelmanda : [ ] [ ]kmL L18wmm

≤

olmalıdır. Burada L, km biriminde nivelman lup uzunluğudur.

1.3.4. Nivelman Ölçülerinin Değerlendirilmesi

Ana, ara ve yardımcı nivelman ağı, ayrı ayrı veya birlikte uygun ağırlıklandırma ile gidiş-dönüş yükseklik ortalamaları ölçü ve bir nokta değişmez alınarak, zorlamasız veya serbest dengelenir ve uygun testlerle uyuşumsuz ölçüler ayıklanır. İstatistik güven düzeyi 1-α=0.95 alınmalıdır. Ağda uyuşumsuz ölçü kalmayıncaya kadar dengeleme, uyuşumsuz ölçü testi ve ölçü tekrarına devam edilir. TUDKA99 noktalarının, oluşturulan nivelman ağı ile uyuşumlu olup olmadığı test edilir ve uyuşumlu TUDKA99 noktalarının yükseklikleri değişmez alınarak, topluca veya ana, ara ve yardımcı nivelman ağları ayrı ayrı dengeleme ile bu ağlardaki noktaların Helmert ortometrik yükseklikleri hesaplanır. İstatistik güven düzeyi 1-α=0.95 alınmalıdır.

1 bölüm - yÜkseklİk sİstemlerİ

Documents