Solución:

0.3 = 0.333... = 0.3 + 0.03 + 0.003+

3 3 3 _ y j _ " 10 + 102 + 103 + " " t?10n

1 _ C o - ! i , „ 1 30 1 = 3 lim . - 3 = j r~ -3 = — - 3 = -

_ 2 _ 1 9 3

10 10

73

EJERCICIOS

I). Demostrar que las siguientes series son todas divergentes.

a ) I ( k - l ) b) ¿ ( k 2 - k) c) t { ¡ tTi k-l

3Ï"

c Y l n ^ tí U +

II). Demostrar que las siguientes series son todas convergentes y hallar el valor de convergencia si es posible.

v- l 4 2n + l a ) f t ( n + lXn + 2) n 2 (n + l)2

^ y* « ^ f í » n V ^ Ê H z V n d ) 5 ( n + lXn + 2Xn + 3) € ) { ¿ V X

j) I - ^ r r í

III). Escribir la fracción decimal periódica siguiente, como una serie y halle el valor de convergencia de ésta.

a) 0.222... b) 0.6161616... c) 0.832832...

d) 0.111... e) 3.2323...

74

V). Verifique:

oc ac

a) £ x n * Z x " s i W<1

X = s i w < 1

De los ejemplos anteriores se puede argumentar que para decidir si una serie dada es convergente o divergente, primero se tiene que determinar una fórmula sencilla para su n-ésima suma parcial, pero no existe un método general para lograrlo y es por ello que en las próximas secciones nos •limitaremos a analizar si una serie dada converge o no, utilizando procedimientos indirectos, esto es, sin el conocimiento explícito de una fórmula concreta para la n-ésima suma parcial de Sn.

VI). Cuáles de los siguientes enunciados son falsos (justificándolo).

1. La serie Y —¡= •==— es divergente

í ( ( C n

+ (n + 5Xn + 6)J

es convergente.

75

VII). Hallar el valor de A tal que:

n = 1 0 v ' y V r i J

- ! J f i Ì + A 2. £ ( n + lXn + 2) V£í(n+lXn + 2) )

.1=4

3 - 1 t i - I ' i +A n - l ) ItíW J

2.6. PROPIEDADES

2.6.1. Si la serie ^ a n converge y an> 0 para todo n € N, entonces ]Ta0 > 0. ti* I n*l

Demostración (ejercicio).

X |

Ejemplo 1. La serie Y > 0 t í ( n + l)(n + 2)

Solución:

1 x 1 a. = — — > 0 para todo n e N y Y converge, pues

(n + lXn + 2) F t í ( n + lXn + 2) 5 ' F

s = f 1 _ y f 1 L _ l = _ y í _ L _ _ 1 n ¿ f í k + IY k + 2ï é í U + 1 V + ¿i I v j . 7 £ í ( k + lXk + 2) t íVk + 1 k + 2/ £fVk + 2 k + 1

1 H 1 1 ^ = =— v por ende, n + 2 2 J 2 n + 2 ' F

f 1 1 ^ 1 00 1 1 limS„ = lim = - entonces Y = - > 0. IHaov2 n + 2/ 2 t í ( n + lXn + 2) 2 X J

luego Y > 0. t í ( n + lXn + 2)

2.6.2. Si las seríes £ a n y £ b0 son convergentes y 0 < an < bn para todo n s N n=l ti=l

50 3C

entonces ^T an < bn n=l n=l

Demostración (ejercicio). Obsérvese que se trata de series de términos positivos, sin este requisito la conclusión es falsa.¿ puede el lector construir un ejemplo ?.

77

co oo Ejemplo 1. Verificar que la — — < T ] —3

n ^ n +5n + 6 j ^ n +3n + 2

Solución:

b ° = ^ b i y a ° = ; - b ° ( e j e r c i c l o X e n t o n c e s

y 1 y 1 1 < y 1 v^ 1 1

^ . . A ~ ¡n -L. OVn -i- _ T, ~ •/-J n2 +5n + 6 £í (n + 2Xn + 3) 3 £ í n 2 + 3 n + 6 t í ( n + 2)(n + 3) 2

y L _ f ( 1 _ 1 1 - l ú . / y 1 - 1

¿?(n + 2Xn + 3) ¿?Vn + 2 (n + 3)j ™l¿ í (k + 2) k + 3

, 1 1 1 f 1 O 1 = -lim ——— - T — - =hm r y n->A(k + 3) k + 2; n-*«v3 n + 3J 3 "

2.6.3. La multiplicación de cada término por una constante diferente de cero, no afecta el carácter de la convergencia o divergencia de la serie ( solo afecta el valor de la serie si ésta converge), es decir;

Jí »

i). Si X a » converge y c es una constante entonces X c ' a n converge

y Z C an

= C X a n n= l n= l

ii). Si £ an diverge y c * O entonces ]T c • a„ diverge. n=i n - l

Demostración:

n * i) Sea S„ = y \ a t y como la serie Y a n converge, entonces limSn existe

n n—>ao

30

y por tanto limc-Sn = c- limS„ existe; y asi esto es, la serie Xc"a>> e s n - * « n — n _ j

convergente..

78

ii). Como la serie Y an diverge entonces limtn = linaza,, no existe t-i

JO

entonces limc-tn no existe y la serie X c ' a n diverge.

Ejemplo 1. =« | 00 f ] 1 ^ 1

La serie Y =Y = - (verej2.6.2.), es (n + 3Vn + 2) t fVn + 2 n + 3^ 3 J

convergente , entonces las serie Y —————— converge v ademas (n + 3)(n + 2) 5 '

5 ' ( 5 5 1 A f 1 O 5 — z — , tT(n + 3)(n + 2) £íVn + 2 n + 37 £?Vn + 2 n + 3̂ 3

oo oo

Ejemplo 2. La sene 1 diverge entonces la serie 5 diverge . n=l n=l

30 ac JC

2.6.4. Si las series X an y X bn convergen entonces la serie X ( a

oo oo oo

también convergen y además ( a n ± b n ) = ^ a n ± ^¡T b n . n=l n=l n=l

Demostración: 30 X

Como las series X an y X^n convergen entonces

n « l i» « i

ii ii

limSn = lim Y a k y limTn = lim Y b k existen, por consiguiente, n—kan ' 1 n—k n—k-n • • • •

\

Za„ ±Xbo = l™sn ±ümT = lim(Sn ±T„) = lim Xa, ± Xbk " * mmmm »—*cn n—kar. n—fcOT A fl—»30 \ — / x k = l leal '

= l m i X ( a k ± b k ) = X ( a D ± b n ) . n-*® 7~T v ,

79

» 1 » 1 Ejemplo 1. Como las series Y ,Y convergen,

„IT n(n +1) 0=1(n + 3Xn + 2)

entonces > ± converge y t íVn(n + l) (n + 3Xn + 2)J

¿ í — î — ± 1 -1 = ¿ — ! — ± ¿ 1 t í V n ( n + l ) (n + 3Xn + 2>; £ ? n ( n + l ) t í ( n + 3Xn + 2)

2.6.5. Si las series Z an y Z ^ « s o n convergentes y si a yP son números

n « l n=l

reales, entonces por la propiedad 2.6.3, » ao

X a an >' X P ' b» s o n convergentes y por la propiedad 2.6.4,

I ( a a B ± p b n ) = a - 2 a B ± P l b n ,

que constituye la linealidad de las series infinitas.

Ejemplo 1.

• x - 1 1 > La sene ]T — 7T = X 7] = 1 y 77 = 3 s o n convergentes, t í n ( n + l) t í v n n + lv £?n(n + l)

luego la serie Y | — - — ± — — — ! es convergente y oTÍvn(n + 1) n(n + \)J

l i ^ ^ r H ^ i - 30 ^?Vn(n+l) n(n+ l)J £ í n ( n + l) „., n (n+ l )

= 4 ¿ ] ±30 Y - = 4 + 30 t í n ( n + l ) £ í n ( n + l)

SO

" f l V °° 4 Ejemplo 2. Las series Y — y X 7 r r son convergentes,

t í V2J " (n + 3Xn + 2)

" ( l V 00 4 luego las series Y 3 — y Y son convergentes. Por eso t í \2J t í ( n + 3Xn + 2)

Y <{ 3| — | ± es convergente y asi t í V2) (n + 3Xn + 2) 5 J

1 j \ 3 Í i y ± 4 l - 3 - Z Í l T ± 4 - ¿ -t í [ V2J (n + 3Xn + 2)J t í U J t í ( n + 3Xn + 2)

X 30

2.6.2. Si la serie £ a n converge y la serie £ b 0 diverge entonces n - l n - 1

x

la serie X ( a n - ^n) diverge. n - l

Demostración: Argumentamos por contradicción. Suponga que QO

^ j a ) converge, y sea b n - (an + b n ) - a n entonces la serie n=l x co oo

^ b n converge, puesto que las series ^ a n y ^ ( a n + b n ) convergen y n=l n=l n=l

00

esto es una contradicción. Ya que por hipótesis ^ b n e s divergente. En n=l

oo

consecuencia ^¡T (an + b n ) diverge. n = l

Ejemplo 1. La serie ¿ f — j diverge y la serie ¿ f - j converge, entonces

81

- f i m Y la serie ]>] —± - diverge. a=l Vn V3V

1 r i i ^ " i Ejemplo 2. La serie — + diverge, ya que la serie ]T— diverge n=iVn n(n + l)y n=i n

" 1 y la serie Y" converge. f \ n(n + l)

Notas: 00

i) Si la serie ^ ( a n ± b n ) es convergente, no se puede concluir que las series n=l

oo oo

^ a n y ^ sean convergentes. n=l n=l

Ejemplo 1. La serie ¿ [ ( -1 )" - ( - l ) " ] es convergente, sin embargo la n - l ••

X

serie ]T(- l ) n es divergente. n-l

oo oo

îi). Si la series ^Ta n y ^T bn son divergentes entonces. n=l n=l

oo

las series ± b n ) puede ser convergente o divergente. n=l

Ejemplo 1. x

Las series X1 -v X1 son divergentes, y la serie + l) = es JO 00

l w=l JU

divergente y la serie (l -1) es convergente. n= 1

82

2.7. CRITERIOS DE CONVERGENCIA

Antes de emplear una serie infinita en posteriores situaciones u otros fines, se debe analizar si es convergente o divergente. En teoría, la convergencia de una sene se decide estudiando la convergencia de la sucesión de sumas parciales (S„).

En pocos casos, como en las series geométricas y telescópicas, es fácil obtener una expresión para Sn que nos sirva de apoyo para poder determinar la convergencia de la sucesión (Sn), es decir, es factible evaluar el límite:

n limSn = lim y ^

c n—»oc

Sin embargo, en la práctica obtener una fórmula concreta para Sn deviene la mayoría de las veces en un trabajo difícil o dispendioso. Por lo tanto se hace necesario desarrollar reglas indirectas denominadas criterios de convergencia o divergencia a luz del término general (an).

Los criterios con que se pretende analizar una sene de aquí en adelante se referirán a una serie de términos positivos, salvo mención explícita de lo contrario.

2.7.1. Criterio del término n-ésimo.

Este criterio resulta particularmente útil, para mostrar que una serie dada es divergente, simplemente teniendo pleno conocimiento del limite del término n-ésimo, veamos.

x

Si Y a . converge, entonces lim an = O ' n - » x

n» í

o en forma equivalente:

Si liman * O jo liman no existe) entonces la serie Y a , , es divergente.

83

Demostración: n

Sea S n = 2_. ak ' a n-ésima suma parcial de la sene y sea S = lim S n . t\

Dado que a ^ Sn - SnA = (arH2+...+a,,) - (a1+a2+...+an-i)

entonces lim a n = lim ( S n - S n _ ] ) = lim S n - lim S n _ i = S - S = 0. n—>00 n—>oc n—>00 n—>00

Nota: observe que el recíproco de este criterio no es cierto considérese el 1 * 1

contra-ejemplo clásico: lim — = 0 y la serie Y — diverge. Dicho de otro modo, la n t í n

oc

proposición: si lima0 = O entonces Y a „ converge es FALSA!. En otras n « l

x

palabras: Si lim a n = O e n t o n c e s Y a n puede ser convergente o n = l

divergente!

Ejemplos.

1. La serie Y diverge, pues lim = 1 * 0 t í n + 1 n +1

x

2. La serie Y n diverge, ya que lim n = +00

Véase este mismo ejemplo en página anterior en donde empleamos únicamente hechos relativos a la serie geométrica.

3. La serie diverge, pues l im^l -—j = e~3

n=o

f 5 y ( 4. La serie ^ j^-J diverge, pues lim^-J = +00 *

n=o 3

0

84

oo • V 1 1 5. La sene > — converse (por qué?), entonces lim — = O

oo Z 1 1 converge, entonces lim = O

(n+lXn + 2) 6 n->oo(n+lXn + 2) n=l

2.7.2. Criterio de acotación. Este criterio demanda un conocimiento pormenorizado de las propiedades de las desigualdades de los números reales, pues la acotación como se verá, involucra símbolos "<" (menor o igual que) o ">" (mayor o igual que), y dice lo siguiente:

00 Una sene ^ a n , con a n >O, para n e N, converge si y solo si su sucesión de

n=l sumas parciales es acotada.

Demostración: Sn = ai+a2+...+an puesto que an > O se tiene

Sn+i>Sn, ya que Sn+i = a1+a2+...+an+an+i>ai+a2+...+an = Sn

es decir, (Sn) es una sucesión creciente y como es acotada entonces,

lim S n existe y la serie dada es convergente. Recíprocamente si, la serie n—>oo oo

^ a n converge, entonces para Sn = Y a t , se tiene que limSn existe y por t í n->°c

n=l consiguiente la sucesión (Sn) es acotada.

oo

Ejemplo 1. Demuestre que ^ — es convergente. n=l 0

e . c , 1 1 1 1 1 1 1 v- 1 Solucion: S„ = 1 + — + —+ — +...+—< 1 + —+ —+...+ — - = > ——-2! 3! 4! n! 2 2 2 HÍ2

85

1 -0 + 1

1 -•2 = 21 2 - ^ | - 2 < 2

luego O < S„ < 2, es decir, {Sn} es acotada y como {Sn} es creciente (ejercicio) oo

entonces {S„} converge y así la serie es convergente. n=l

oo

Ejemplo 2. Mostrar que la serie ^ - es convergente. t i ^ 2 "

Solucióo: S „ = ¿ — J — r S ¿ - V = l - - V < 1,luego 0 S S . S 1 , por lo tanto k=I (K + 1)1 ¿ ¿

(Sn) es acotada y como (S„) es creciente (ejercicio), entonces (S„) converge y la 1 serie dada X 777 converge.

oTi (n + l)2 00

Ejemplo 3. La sene n es divergente. n=l

Solución: Sn = ¿ k = es una sucesión no acotada y creciente, por k«l

y.

ende la serie X n diverge. n=l

00

Ejemplo 4. La serie Z Í - 1 ) " diverge, a P e s a r d e <lue l a n-ésima suma parcial n = l

Sn es acotada, (pero no es creciente, ni decreciente). En este ejemplo el criterio no es aplicable, pues an =(-1 )n , es positivo para n par y negativo para n impar.

2.7.3. Criterio del resto. Una serie X a „ converge si y solo si cualquiera de n=l

x n oo

sus restos converge y s i S = X an ; S n = X a k y R o = X X e n t o n c e s

0=1 k=l k - o + í

86

ce oo

S = Sn + Rn y además £ a k = 2> n + k = S - ( a , + a2+...+an) k=n+I k=l

D 00

Demostración: Sea Sn = Z a k>' a n-ésima suma parcial de £ a n y s e a ^k la k-1 n=l

suma de los k términos suprimidos y L„_k la suma de los términos de la serie que participan en la suma S„ pero no en la Ck, entonces, S„ = Ck+L„-k, donde Ck es una constante que no depende de n, entonces lim S n existe, si y

n-*°o solo si lim L . existe, n—>co n - k

Nota: De esta propiedad se puede concluir que la supresión o adición de un número finito de términos no afecta el carácter de la convergencia o divergencia de una serie (solo afecta el valor de convergencia, en caso de ser convergente la serie).

x 1 1 Ejemplo 1. La sene ^ ( n + SXn + 2) = 3" Y P ° r C n d e '

^ 1 i es convergente, pues es un resto de la serie n tTo(n + 2 X n + 3 )

« i z— -— t ? ( n + 2Xn + 3) que es convergente.

Ejemplo 2.La serie Z í ~ j ^ convergente, ya que es un resto de la serie o=IO

1 " Z ( ~ I que es convergente.

M l Ejemplo 3. La serie es divergente, ya que es un resto de la serie

n=ion x 1

Z - Que es divergente, n - l n

87

" r £?( n + 2Xn + 3) £ ( n + 2Xn + 3)

i _ f _ L JL _ L ) = i 3 l l 2 + 20 + 30y 6

Ejemplo 5. Las siguientes series tienen el mismo valor de convergencia, (porqué)

30 1 < J O t 30 1 JO 1

„TÍ (n + lXn + 2) nif,(n + 3Xn + 4) S ( n + 2Xn + 3) n t f 0 ( n - 8 X n - 7 )

l ^ l V - l 1 b ) Y — = y — = y — = y

/ j / j -»n-2 / i -̂ n+1 / J -y n=0 L n=2 Z n=—1 L n=10 Z

n - 1 0

2.7.4. Criterio de comparación directa. Para tener éxito en la aplicación de esta criterio se requiere de cierta habilidad y experiencia en el manejo de desigualdades (ver apéndice), y de ciertos mecanismos que de una u otra forma bien aplicados sirven para decidir si el criterio se puede aplicar o no; y este criterio dice lo siguiente:

Suponga que las series ][]an y £ b n son series de términos positivos entonces: n = l n = l

i) Si ]!T converge y an < bn para todo n e N entonces la serie n=l

X

converge. n=l

ac

ii) Si la serie ]Tbn diverge y bn < an para todo n e N entonces la serie

serie ]Tan diverge.

Demostración: Sea Sn = a1+a2+...+an y Tn = bi+b2+...+bn, las sumas parciales n-ésimas de las senes

88

ao ao

S aa y Z ^ a respectivamente:

n = l n = I

i) Como a„< bn para todo n e N entonces, Sn = ai+a2+...+an < b1+b2+...+bn= T„; 00

es decir, Sn < T n y como £ b n converge, entonces limTn existe, es decir,(Tn) n=l °->00

es acotada y además creciente, de aquí se concluye que (Sn) también es ao

acotada, y creciente, luego lim Sn existe y la serie Yúrn converge. n*= 1

ii) Como b„< a„ para todo neN entonces Tn < s„ y

ac

limTn = +oo (ya que ]T bn diverge), se concluye que n=I

oc

lim S n = +oo y la serie £ a n es divergente. I1-+00 n=i

Nota: Hemos agregado una demostración para la proposición ii) en aras de la claridad, pero es innecesaria, toda vez que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes.

Ejemplo 1. 2 1 n +5n + 8 > n + 5n + 6, para todo n eN , entonces:—; — <

n ' + S n + S n~+5n + 6

l x 1 1 = — Y como la serie Y = - (converge) se inf iere que

(n + 2Xn + 3) t ? ( n + 2Xn + 3) 3

la otra serie converge y además 00 1 00 1 00 £ i < £ = ¿ n=m2 +5n + 8 n=in2+5n + 6 n=i(n + 2Xn + 3)

X ]

Ejemplo 2. Mostrar que la serie £ — es convergente. n=i(n" +5n + 5)en

50 l 1 1 1 ® 1 Solución: Y — 5 - ; —;— < — - como - Y — es t — i . 2 - n ' 2 n _ n - o n - a

0=i(n +5n + 5)e n -e +5n-e +5-e 5-e ->n=oe

89

convergente (ejercicio), se concluye q u e £ 4

n=o (n* +5n + 5)e - es convergente

. \ p l n ( n + 2) Ejemplo 3. mostrar que la sene es divergente.

n = 2 ^

Solución: ln(n + 2) 1 , ,

ln(n + 2) > 1 si n e N , n > 1, entonces — > — y dado que la sene n n

1 . . ^ ln(n + 2) diverge, entonces la sene ¿^ diverge.

n n 1

Ejemplo 4. Mostrar que la serie £ es divergente. n=3lnn

Solución:

1 1 " 1 ln n < n, n e N, entonces ; — > — y como la serie Y — diverge, se establece

lnn n n=3 n

® 1 que la serie Y - — diverge.

tí lnn

Ejemplo 5. Mostrar que la sene £ In

1

l + i 1 A

Solución: sen nj < 1 ó

n=2 v ¡sen n\J

1

diverge.

> 1, luego 1 +-—'—> 2, yin sen nj ¡sen n

y como la sene de ]>]ln2 diverge, entonces ^ l n n*2 n=2

1 1 + V ¡sen riu

' i 1 Ì 1 + T 7 V |sen n \J \

diverge.

> ln2

x f n + 2 Y 1 Ejemplo 6. Mostrar que la serie £ ) • —- es convergente.

n=2^ n + 3/ 3 n + 2 , . ( n + 2̂ i 1 ^ 1 Solución: < 1, para todo n e N , luego i •— < — y como n + 3 Vn + 3 ^ 3 3

^ 1 • • x . n + 2̂ 1 1 la s e r i e ? — converge (ejercicio), entonces la sene >} converge. t í 3 t t t ^ n + 3/ 3

90

2.7.5. Criterio de la integral. Este criterio es de máxima importancia, pues de un lado nos proporciona numerosos ejemplos de series convergentes y divergentes y de otro lado puede ser efectivo para analizar la divergencia o convergencia de una serie siempre y cuando se satisfagan las hipótesis respectivas y la integral impropia que resulte sea fácil de realizar.

El criterio afirma lo siguiente:

Teorema

Sea f(x) una función definida en el intervalo [l,+co) que satisface a la condición:

i)í(x)>0 para todo xe[l,+<x); (positividad).

ii) limf(x) = f (a) para todo ae[ l ,+ <x); (continuidad). n-»«

iii) Si a<b entonces f(a)>f(b); (decrecimiento).

ac oe

Entonces, la serie £ f ( n ) = £ a n converge si y solo si la integral impropia n=l n=l

j^ f íx^ ix converge. Es claro que todo depende de la dificultad del análisis de

la integral impropia

Demostración:

Sea a n= f(n); para n= 1,2,3,... si n < x < n+1 se tiene que f(n) > i{x) > f (n+l) , ( fes decreciente), luego:

91

f(n) = J7(n)dx > £f(x)dx > Jf(n+ l)dx = f(n+1) o sea que

4-1 OC 00 /Q-¥ 1 in > Jf(x)dx > an+1 y de esta suerte, /̂ an > ^ jf(x)dx

n = l n = l

= Jf(x)dx> ̂ an+I; luego si ^ an converge, entonces jff(x)dx n = l n = l n=I

= Jf(x)dx converge y si diverge, entonces ^ jjf(x)dx n = l n = l

= Jf(x)dx diverge. M 1

Ejemplo 1. ( Básico ). La serie-p, <xmveTBe si p > 1 y diverge si p < 1. n=l n

Solución :

i) Si p > l , f(x)=—r es continua, positiva y decreciente en x i r En efecto, f'(x) = -px ^ = -—177- < 0. Ahora, la integral

í — = limí x pdx = lim> Jl o-moJi b-»°e X

p+1

l - p

1 - p = lim b—>qo v

b;-p

i - p ) i

i - P

rdx . • v- 1 esto es I — converge, y la sene 2 _ , ~ c o n v e r S e

xP n=i nP

1 1 ii) Si p< 1; entonces np < n, lo que implica que — > — y como la serie n n

1 ^ 1 / — diverge, entonces la serie /diverge para p < 1

(criterio de comparación).

92

Ejemplo 2.

Las series / — ; / j — . Son convergentes y las senes —¡— n = l 1 1 n = l n 2 n = l 1 1 n = l n 3

00 00

/ —¡=; 2 , s o n divergentes. t f V n t f n / ?

30 ^ Ejemplo 3. La serie ne"B es convergente.

n« i Solución :

Seaf (x) = xe~v , se tiene que f ' (x) = e'K • l - 2 x 2 - e ~ x = e ^ ( l - 2 x 2 ) < 0 si x > 1, entonces f es decreciente. Además f es positiva y continua en [l,+°o) y

f x : f b •> 1 21 b 1 como la integral xe~x dx = lim xe_x~ dx = lim- —e = —,converge Ji b-»ooJi b-» 2 1 1 2e ® 2

se concluye que la serie ]Tne es convergente. ii=2

30

Ejemplo 4. La serie * e s convergente. n=2

Solución 1: Seaf(x) = e f(x) es continua, positiva y decreciente en [1,+QC)

(ejercicio) y como la integral Pe~*dx = limfbe~xdx = lim-e~* l ! = e " , "2 b—*oo J2 b-+3o '2 00

converge entonces la serie ^ e * converge. n=2

Solución 2 : Tenemos una serie geométrica de razón r = - < l e

- n2

Ejemplo 5. La serie e s convergente. a=l e

Solución:

93

Sea f(x) = f es continua, positiva y decreciente en [2,+co) (ejercicio), ex

entonces el criterio de la integral se aplica al resto n=2 e

®x2 00 n2

Como la integral f ° — d x converge (ejercicio),la serie converge y la 2 e n=2 e x n

2

serie converge ( criterio del resto). e

2.7.6. Criterio asintotico. Sean (an), (b„) dos sucesiones de términos positivos tales que a„ « bn, es decir:

l im— = 1 í a ] » ®

o mas generalmente l i m — = A entonces las series Y a B, Y b B, V — b„ ) „=, „=.. n x a

o ambas convergen o ambas divergen.

Demostración : a

lim—= 1 significa que para todo £>0 existe N > 0 N - N(e) (N depende

I \an de e), tal que si n > M, entonces ¡— - 1 a

< £ O -£<—-[<£, o' K

a. . 1 . 1 an 1 . . . 1 _a„ 3 —< 1 + e. si s — —, entonces 1 - - < -f-<- + 1; es decir — < t2- <-, luego bn 2 2 bn 2 2 bn 2

1 am a 3 r r y r 2

l a b De — < se inf iere que ~ < an y por el criterio de la comparación

=0 * (j directa ; si X a „ converge, e n t o n c e s c o n v e r g e y de aquí

»

bn converge n=í

94

30 30 s i £ b n diverge, entonces ^ an diverge.

n=l n=l

a 3 3 De — < —, se tiene, an < — bB, y si bn converge, de nuevo, por el criterio

bn 2 2 D=i

x x 00 3 de comparación ]Tan converge y si ]Tan diverge, entonces^]—bn diverge

D— L n=l N=l

30

y diverge. n=l

Para facilitar la aplicación del criterio asintótico, se usan algunos principios informales, tales como el despreciar constantes sumadas o restadas en la fórmula del término n-ésimo an. Y si aparecen polinomios en n como factores en ocasiones suprimir todas las potencias de n-exeptuando la mayor en cada factor- favorece simplificar el análisis sin afectar el carácter de la convergencia o divergencia de la serie ;obviamente cada paso exigen su propia verificación;

» Uln + 2 + n + 2jln4 + n2) La serie ]Ta„ = —j—a ^ — ^ — j r — - se comporta como la serie

n=l a= l ( 2 ° + 5 ) ( 3 n 7+ n 2 )

® ® (n)ín ) °° 1 2 > » = Z 7 7 ¡ w r 7 Y = E ^ - r Se puede probar n=i n=i |2 II 3n I n=i 2 3n

a que a a « b a , es decir, lim — = 1.

n-̂ -x V) n

Ejemplo 1. Mostrar que la serie ¿ — 7 — y — es convergente. „.i n + n +1

Solución:

95

n + 2 n 1 .. an n 4 + 2 n 3 an = — r ~ : % - T = - T = b n ' y a lun — = hm — — — n + n +1 n n bn « ^ n +n +1

y como la serie ^ b n = converge, entonces la serie n = l n = l 1 1

x

Zn + 2 — converge.

n=i n + n +1

Ejemplo 2.

• v^V n(n + l) Mostrar que la sene ¿^ ; — - converge. n=i 2"

Solución:

V n ( n + 1 ) V ñ 7 n a n . . . aQ = « = — = b n , ya que Iim — = 1 (ejercicio) y como la 2a 2a 2a n-»«bn

x serie converge (criterio de la integral), entonces la serie

n=i ^

'JÜ Z o=l

Vn(n+1)

r converge.

Nota: No siempre la convergencia o divergencia de una serie dada se puede analizar por cualquier criterio, en algunas oportunidades los criterios fallan en el sentido de que las hipótesis correspondientes no se satisfacen, en otras son muy difíciles de aplicar, y hay que saber muy bien el criterio a utilizar, como se puede observar con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3. Mostrar que la serie ¿ — diverge n=i 3n +5n + 2

Solución : a) El criterio de término n-ésimo no es susceptible de aplicar o mejor no conduce a mayor información, ya que :

iim n + 1 _ o , y la serie en cuestión puede ser convergente o divergente.

3n: + 5n + 2

b) Con el criterio de la comparación directa, hay que buscar una serie menor que sea divergente, y ello es un poco difícil aquí.

96

c) Para este ejemplo es fácil aplicar el criterio asintotico.

n+1 n i , . an . = b n , ya que lim — = 1, y como la sene 3n2 + 5n + 2 3n2 3n b

X 3 0 X ^ ^

/ — diverge, se tiene que la serie ) a = / — diverge. , 3n f - f 3n" + 5n + 2

11= 1 n = 1 n= 1 M 1

Sin embargo este criterio sugiere la comparación con la serie X — que es n=i 3n

divergente.

La desigualdad 2n + * > — , no es correcta (¿por que'?), pero

3n + 5n + 2 3n

n + 1 1 „ A 1 .. , . —2 > — si es correcta para n > 2, y como ¿ j — diverge, la sene 3n ¿+5n + 2 4n * n=2 n

a> J ® 1

Y — diverge y asi Y — diverge, lo que implica que la serie t í 4n n=i 4n

—T—— diverge por el criterio de comparado' n o=i 3n" +5n + 2

2.7.7. Criterio de paso al límite (generalización del criterio asintotico)

Este cnterio es uno de los mas recurrentes en la aplicación, y dice :

30 JO

Sean X a n ' X dos series de términos positivos, de las cuales se sabe que n=i o=l

a„ Y bn converge o diverge y sea lim — = L entonces : 0 = 1

i) Si L*0 ; ambas series convergen o ambas series divergen.

x x

ii) SiL=Oy converge entonces X an converge.

n=l o=l

97

iii) Si L=+<x y ^ b t diverge entonces diverge. a=i n=l

Demostración : q

i) Sea L>0, como lim— = L, entonces para todo e > 0 existe N > 0 ¡1—»ce ^

I tal que si n > N entonces a — - L

b n

< 8, es decir, L - £ < — < L + e. b n

L L a L L a 3 Si 8 = —, entonces L < — < L + —, vde aqui — < — < —L.lueso

2 2 b. 2 2 b 2

3 1 para n > N , a n < - L b n y - L b „ < a t

n ao 3

Si ]Tbn converge entonces ]Tbn converge y asi ]T —bn converge, a=l n=N n=N 2

00

Luego por el criterio de comparación directa ^ a n converge y por el n=N

00

criterio del resto converge. n=l

L " Además como —bn < a„, la divergencia de bn diverge, implica la

2 n _ N

00

divergencia de £ a n , y asi / a n diverge. n=l

Como ejercicio demostrar los demás casos. GO

• lnn Ejemplo 1. Analizar la convergencia o divergencia de la serie ^jT

T n n=2

98

00 Inn lnn Solución: Sea la serie Y con a n = —y Para aplicar el criterio 2.7.6. se

n=2 n n

oo escoge una serie ^ b n , de la cual se conoce de antemano que es convergente

n=2

o divergente; seguidamente se calcula el lim — y se observa si algunos de n-»oo b n

los tres enunciados dados en el criterio se cumple.

En caso de que ninguno de los enunciados se cumplan se procura escoger adecuadamente una nueva serie y se repite el proceso.

Para este caso escojamos una serie convergente cuyo término n-ésimono difiera sustancialmente de a„. Por ejemplo:

lnn

¿ ~ T = ¿ b n calculemos: lim— = lim-^— = Iimlnn = +oo. n=2 n b„ 1 —

n

n-*oc

2

De los tres enunciados del criterio, cuando lim— = +<x¡, observemos que

CP

solo se puede aplicar cuando]Tbn es divergente y aquí fallamos ya que la serie n«2

00

^ b n es convergente. Continuemos. Escojamos otra serie por ejemplo n=2

oo ^

Z- q u e es divergente y lim— = lim-^—= l im-^ - = o.(L'Hopital); |"J n-»«e K n-+a¡ 1 a-*cc r\ _ o *

00

nuevamente el criterio falla ya que se requiere que b n sea convergente y en n=2

este caso, la serie escogida es divergente..

99

Insistamos una vez mas.

Escojamos la serie ]JTbn -5-que es convergente,. Ahora veamos: n-2 n*2 fl 2

lnn

lim ~ J L = lim — = lim —r~ = 0 (ejercicio), n - > o o b n n—>ec 1 n - > o o lÁ

3 / n

n 2

y en esta oportunidad observamos que el criterio si se puede aplicar, pues la serie

OC oc | g Y b = y —— es convergente y lim — = 0, implica que la serie

" % n-tl h n=2 n=2 n 2 n

Zv ^ In n a „ = 2l» —~ es conver8ente n=2 n = 2 11

Ejemplo 2. 00 7,

—2 es divergente. n = l n + l

Solución:

Sea ^ — = X a n Observemos que la serie en eosideración se comporta n*l n + 1 n . l

100

2n 00

como ^ ~ T ~ ^ — = ^ bn que diverge y Iim — = lim n + 1

n=t n n= 1 0 n = l n—» qo h n-»oo 2 o n

2n 2

= lim = 1 * 0 , entonces de ta divergenci a de la serie Y b — 2(n 2 + l) 6 *

se deduce la divergencia de la serie X a «

00

Ejemplo 3. Demostrar que la serie ^ — es convergente. n= l 3

Solución: 00 ^ 00

La comparamos con la serie — = ^ bn que es convergente y n=l 3 n=l

n a •J"

calculemos, lim — = lim = lim n = +oo b n-+=o 1 n-+oo tl-»ao

3° entonces el criterio no se puede aplicar y la serie dada puede ser convergente o divergente. Se necesita escoger adecuadamente otra serie o aplicar otro criterio.

00 ^

Tomemos la serie / — que es convergente y calculemos, n^l

n a i» n i ^ ^

lim— = l im— = lim- = lim = 0,y en consecueciala serieY— n—o b 1 » - " / 3 Y »-M0/3V /^N j t í 3o

V v¿J v.2y converge

00 n3

Ejemplo 4. Analizar la convergencia o divergencia de la serie Y — t í n!

Solución:

101

Tomemos Y— = Y V y sea Ybn = Y— que es convergente 0 = 5 n! O = I n +4)! Q = 5 n = 5 n!

y calculemos,

(n + 4) ]

a (ri + 4)! (n + 4)3 ^ JS, n3

lim — = lim-——— = hm7 , , . , —r-, r = 0 por lotanto > — n-=°ba J_ n-*co(n+l)(n + 2)(n +3}(n + 4) n=5 n!

n! converge, y la sene dada converge.

co 2.7.8. Criterio de Pringstheim. Sea a n , una sene de términos positivos,

n=l

tal que lim n p a n = A entonces:

00

i) S i p > l y A e s finito, entonces la serie ^ a n converge. n=l

oo

ii) Si p<l y A * O (A puede ser infinito) entonces la serie diverge. n=l

Demostración. Ejercicio

En esencia, se toma como sene de comparación la p-serie ^ np . n=l

oo

Ejemplo 1. La serie ^ — e s divergente.

Solución: Jim n p x — — = 1*0, s i p = l. n^oo n +1

oo

Ejemplo 2. La serie / - 7 = es divergente. ' Vn +1

n=l

^ . n p l n n 1 Solucion: hm - ,—:— = +00, si p = —. n—><xi Vn + 1 2

102

°° lnn Ejemplo 3. La serie ^ " " converge.

n=¿

Solución: lim = 0, si p = —. n->oo n + 3 ¿

.3 Ejemplo 4. La serie ^ T e n converge.

n=l 3

Solución: lim np • e = 0, si p = 3.

n=l 3

n—>30 00

2.7.9. Criterio de la razón. Sea una serie de términos positivos y sea n=l

lim—1— = L n-íoo a

n

oo

i) SiL<l entonces la serie ^ a n converge. n=l

oo

ii) Si L>1, entonces la serie ^ a n diverge. n=l

oo

iii) Si L=l. El cnterio no decide, luego la serie puede ser convergente n=l

o divergente.

Demostración:

*i) Si L<1, sea R un número real tal que L < R < l y s = R - L > 0 ,

a Como lim—1— = L, para todo e > O existe N > O tal que

n—»oo ^

¡ ^ L - L i a .

a < s, n > N; por tanto < L + s, si n > N.

103

Si n toma sucesivamente los valores N, N+l,N+2,... de a n+l < R se tiene:

a n

a < R a N + l N

2 a < R a <R~*a

N + 2 N + l N

a < R a < R J a N+3 N+2 N

M a <...<R a , para todo M e Z , luego

N + M N

9 M a + a +...+a < R a + R a +...+R -a +...

N + l N+2 N + M N N N

y asi la sene a ; + a N , +... converge (criterio de comparación), ya que la

serie R-av+R~ • a +... converge; pues es una serie geométrica con 0 < R < 1 y aN es un número fijo y positivo.

cc oo

La serie ^ T a ^ M difiere de la serie ^ a n . solamente en los N primeros M=1 n=l

oo

términos,luego la serie ^ a n converge. n=l

ii) (ejercicio).

iii) Las series

104

X J X | ' muestran que cuando L = 1 debe aplicarse otro criterio, ya que: n=i n n=i rT

1

(i) para ¿ I ; ^ = ü f i = y l i m ^ - = I i m - ^ n=i n an i n + 1 a„ *-*aon + l

n 1

¿ i ^ , 1 ^ 0 1 = y „ l i m n _ - m an _1_ (n+1) an «— (n +-1)"

2 n

00 | X 1

En ambos ejemplos L = 1, pero — diverge y ]>]— converge. n=i n n=1

El criterio de la razón es a menudo efectivo cuando los términos de las series contienen factoriales, o expresiones con potencias n-ésimas o combinaciones de estas, como se mostrará en los ejemplos siguientes.

00

Ejemplo 1. La serie —J converge. n=l

-j-^n+1 f2\n o

c i i a n+t v3/ 3 2 a n , i 2 , Solution 1. -üx¿- = = = — ; como hm n + l = —<1, a n f 2 ^ n 3 n->oo a n 3

oo

el criterio de la razón prueba que la sene ] converge. n=l ^

Solución 2. Se trata de una serie geométrica.

00 j

Ejemplo 2. La serie — converge. n=0n '

105

Solución: 4

h± = = = = _ L y l i m

an J_ (n+l ) ! n!(n+l) n+1 « « a, n!

1 £ 1 = lim = 0 < l,y asi la serie Y — converge.

— n + l ¿ n ! 5

00

Ejemplo 3. La serie > ——converse

Solución: 2 < _ J L . < JL y aplicando el criterio de la razón a la 4 - 2 + 3 4-2 2

00

— , obtenemos:

n + l a„+1 2n+1 2" (n+l ) n + l a ( n + l 1 , = _ - y [,m _JL_L = | l m = - < 1.

an J L 2 (n) 2n a^ 2n 2 2"

30

entonces la serie converge y por el criterio de comparación la n=i 2

serie ^ ——"—- converge igualmente.

00

2.7.10. Criterio de la raíz (Cauchy). Sea a n una serie de términos n=l

. . i/ positivos, y limn"=L

/I—»00 "

00

i) S iL<l , entonces la serie ^ a n converge. n=l

106

00

ii) Si L>1, entonces la serie ^ a n diverge. n=l

00

iii) Si L=1 la serie ^ a n puede converger o diverge. n=l

Demostración: i) Sea L<1, como lima'" = L, para todo e > 0 existe N > 0

11—* oo

tal que si n> N entonces \Qn" - L < s, es decir, q " < L + e. y

Qn < (L + e)n. Como e>0,se escoge e tal que L + e < \, luego 00 00

a n < £ ( L + £)n , que es convergente, ya que L + e < 1 y por n=N n=N

00

el criterio de comparación la serie converge, de modo que la serie n=N

00

y ' a n converge. n=l

ii) (ejercicio).

00 1 °° 1 iii) Las series / —, V - T , muestran que el criterio no decide, cuando L = 1 n=l n=ln

V , . . i (\y» ( 1 ^ n " J pues lim — = 1 y lim — =1 (ejercicio) y > — diverge,

«^ 1 / — converge.

00 1 Ejemplo 1. La serie ^jT— converge.

T n=l

107

1/ Solución: lim £ n

n = lim r V

n->oo n->ooV2n^

n 1 oo

1 = j- < 1, luego la serie V — converge. 2 ' ' -) n

n=l

Ejemplo 2. La serie y diverge. ~ i n n=i

Solución:

n

lim o n = lim n—»oc n—»ce

f ry n

lim 2 ^ 2n

—— = 2 > 1, entonces la serie > —diverge. n"n r r n"

Ejemplo 3. La serie / J 1 + —j diverge

Solución: lim n = lim an n n->oo 1 +

n.

n 1/" / n

lim 1 + — ] = 1 y el criterio no n — n ^

decide, luego hay que aplicar otro criterio. Observe

lim a n = lim í l +

que

n—>cc n—»ccr 1 + — = e * 0, luego por el criterio del término n-ésimo

A n / oo

la serie ^ n=l

( n 1 + — diverge,

n̂

30 2 n + 3 n Ejemplo 4. La serie ^ ~ J converge.

n=l 5

Solución 1. ]T

lim

sene

n=l

(DI 1/ n _ 2

5

00 y2 n + 3n

n=l 5 n

2" 4-3"

5"

< 1 y lim

ShJ +£UJy c o m o

" 3 V l " 3 - J = - < 1, ambas senes convergen y así la

converge.

108

Solución 2. Estamos en presencia de dos series geométricas. En caso en que el criterio de la razón o raíz no deciden, se puede intentar con el criterio de Raabe, a saber:

oo 2.7.11. Criterio de Raabe. Sea ^ a n una serie de términos positivos y

n=l

calculemos, lim n r \

l - £ s ± l = R entonces: n - » o o v a n J

oo i) Si R > 1, la serie ^ a n converge.

n=l oo

ii) Si R < 1, la serie ^ a n diverge. n=l

Demostración:

i) Si n r \

| a n + l

V a n J

f > a > 1, entonces 1 - n+1 a . a - a n + i

v a n y > —, es decir, 1 — >

n n a

luego ^ S ± L < 1 - - ó n-an+1 < ( n - l ) a n - ß • a n ; ß = (a - 1 ) > 0; y así n

( n - l ) a n - n - a n + I > ß - a a >0. oo oo

una serie La serie telescópica ^ c n = ^T ((n - 1 )a n - n• a n + j ) es n=l n=l

convergente si (an) converge, luego por el criterio de comparación la serie co 00

ß • a n converge y de esta suerte la serie ^ a n es convergente.

n=l n=l

ii) Se demuestra en forma similar.

109

Ejemplo 1. La sene > 1

^ 2.4.6..,(2n)

00

= diverge. n=l n=l

Solución: i) 'n+I 1.3.5...(2n-l).(2n + l) 2.4.6..,2n 2n + l 2.4.6...2n.(2n + 2) 1.3.5...(2n-1) 2n +

- J u e g o

n—»» q ti—« "'n + 2 "nn "

1 y el criterio del cociente no decide.

ii) lim n IH-i 1-V ann )

lim n| 1 - 2 n + 1 l = lim —-— = — < 1, n-»® V 2n + 2/ n-̂ ® 2n + 2 2

JU

entonces la serie ^ an diverge.

CO

Ejemplo 2. La serie ^ n=l

1.3.5...2n - 1 2.4.6...2n

converge.

Solución: i) ^iL = [ + ) , v lim — ^ = 1 (falla criterio cociente) 2n + 2/ a„

ii) lim n-| 1 " „ • i ÜZLL an

lim n-n—»oo

, ( 2 n + 1 ) 3 i . (2n + 2 y j

lim n-II-»«)

f 8n3 +12n2 +6n + P v 8n3 +24n2 +24n + 8y

= lim n-n—*oo

' 12n2 + 18n+ 7 ^ ^8n3 +24n2 +24n + 8y

12 -v H = — > 1, luego la serie ^ n=l

1 .35 .2n -1 2.4.6.. 2 n

converge.

110