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Concetti di economia

Concetti di economia e concetto di costo

[Thuesen, Economia per ingegneri, capitolo 2]

I concetti economici possono essere utili nel suggerire approcci ad alcuni problemi di economia negli ambiti di

intervento dell’ingegneria.

Analizzeremo i concetti fondamentali utili negli studi tecnico-economici.

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Concetti di valore e utilità

Utilità di un bene o servizio capacità di soddisfare bisogni dell’uomo

Valore di un bene o servizio valutazione della sua utilità in termini di mezzo di scambio, indica l’importanza che un individuo attribuisce a un bene o a un servizio

Attività dell’ingegnere cercare, attraverso l’applicazione delle scienze matematiche e naturali, il modo di creare beni e servizi per soddisfare bisogni con il minimo costo

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Beni di consumo e beni strumentali

Beni di consumo prodotti e servizi che soddisfano direttamente le necessità umane

Beni strumentali soddisfano le necessità umane ma indirettamente, come parte dei processi di produzione o di costruzione

Una volta determinati il tipo e la quantità di beni di consumo da produrre, i generi e le quantità dei beni strumentali e delle attrezzature necessarie alla loro produzione possono essere determinati su basi oggettive (calcolati)

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Beni di consumo e beni strumentali

Utilità dei beni di consumo due specie di utilità: vi è l’utilità di beni e servizi che si intende consumare personalmente per la soddisfazione che se ne può ricavare; vi è l’utilità legata alla mera esistenza fisica la cui domanda è molto più prevedibile (cibo, vestiario, alloggio)

Utilità dei beni strumentali si tratta della loro funzionalità come mezzi per un dato fine; è considerata oggettivamenteLa determinazione di generi e quantità di beni di consumo può dipendere da un giudizio soggettivo.I problemi legati alla produzione dipendono da fattori oggettivi.

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Aspetti economicidello scambio

L’economia di scambio si verifica quando beni o servizi vengono scambiati tra due o più personeLa motivazione di un acquisto è determinata dalla maggiore o uguale utilità che l’acquirente attribuisce al bene/servizio nei confronti dell’utilità relativa della somma di denaro necessaria all’acquisto – e viceversa.

Le parti effettuano uno scambio quando sono certe che tale scambio si trasformerà in una utilità reciproca (l’oggetto di scambio non è valutato allo stesso modo dalle parti).

Se la valutazione del bene oggetto di scambio da parte delle parti è equa, come è possibile che ciascuna realizzi un guadagno?

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Aspetti economicidello scambio

Le parti si trovano in situazioni economiche diverse e traggono vantaggio dallo scambio (es. produttore di macchine ed impresa commerciale)Anche nello scambio l’utilità viene creata trasformando l’ambiente fisico.La differenza tra l’utilità di un bene/servizio per l’acquirente e per il venditore è definita sfera del vantaggio reciproco nello scambio.

La persuasione nello scambio: tentativo di mostrare ciò che accadrà se si agisce secondo una certa proposta. Ha una importanza economica per l’industria.

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Deve valere la relazione: B > P > C

Il valore creato sarà così diviso tra l’impresa ed il consumatore.

Il consumatore paga un prezzo P per un bene o servizio il cui valore è B, traendone un beneficio pari a B-P = consumer surplus.

L’impresa vende al prezzo P un bene o servizio il cui costo è C, traendone un profitto pari a P-C.

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Classificazioni di costo

Le applicazioni di ingegneria non possono essere realizzate senza sostenere costi.

Costo = flusso economico uscente associato ad un evento commerciale o ad una transazione economica. Per un bene indica in particolare quanto denaro è servito per produrre tale bene.

Il costo di un bene, inteso come costo di produzione del bene, è quindi distinto dal prezzo che rappresenta invece il valore di mercato del bene.

Il progetto tecnico che risulta caratterizzato dal minor costo sarà considerato preferibile se il suo risultato finale è identico a quello di altri progetti.

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Rispetto alla loro ricorrenza nel tempo

- Costi iniziali: costi necessari per l’avvio dell’attività (start-up: acquisto o realizzazione impianti; installazione; addestramento del personale)

- Costi di funzionamento e di manutenzione: costi che ricorrono con continuità nel corso dell’intera durata di una attività (costo del lavoro, materiali, servizi vari, assicurazioni, manutenzioni, imposte e tasse)

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Classificazioni di costoRispetto alla loro variabilità al variare della produzione

- Costi fissi: costi che rimangono relativamente costanti al variare della produzione (spese per dipendenti, ammortamenti, manutenzioni, assicurazioni, locazioni, spese per la struttura commerciale e per quella amministrativa); il comportamento di tali costi è quindi indipendente dai livelli di produzione; variano in maniera non continua (andamento “a scalini”)

- Costi variabili: costi che variano, secondo una certa funzione, al variare della produzione (materie prime, forza motrice per gli impianti, lavoro diretto), sono direttamente influenzati dai livelli della produzione

- Costi semivariabili: costi il cui comportamento è in parte influenzato dai livelli della produzione, una quota del costo si presenta comunque anche in assenza di produzione mentre l'altra quota ha ragione d'essere e varia solo in funzione dei livelli di output (energia elettrica, costi di logistica)

Utente Windows

L'ammortamento è un procedimento economico-contabile avente per oggetto i beni a fecondità ripetuta, ossia quei beni strumentali che cedono la loro utilità economica in più esercizi. Attraverso l'ammortamento, quindi, il costo pluriennale di tali beni viene ripartito in più esercizi in funzione della loro durata economica. Infatti, quando un'azienda acquista un bene destinato a essere utilizzato per più anni, ad esempio un macchinario, il relativo costo sostenuto viene ripartito in funzione del numero di anni per l'acquisto in tante quote quanti sono gli esercizi nei quali il macchinario sarà presumibilmente impiegato. Se così non fosse il costo verrebbe imputato interamente nell'esercizio in cui viene acquistato disattendendo il principio della competenza economica dei componenti reddituali. La procedura dell'ammortamento è prescritta dal Codice Civile (art. 2426 c.c.) ai fini della redazione del bilancio d'esercizio.

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Costi fissie costi variabili

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- Costi irreversibili (sunk cost): costi determinati da scelte passate che non possono essere modificati da un’azione futura (non ha quindi importanza per la valutazione di un progetto)

- Costi incrementali o marginali: costi addizionali da sostenere per aumentare la produzione di una unità (costo incrementale per tonn, litro, unità di produzione)

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Costo incrementale

Costo incrementale medio = 8$/10 uni = 0,8 $/uni

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Costi fissie costi variabiliunitari in funzione della produzione

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Q

CTCma

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L’area del rettangolo giallo rappresenta il profitto, cioè il prodotto della quantità prodotta Qe per il profitto unitario (P - Cme)Il tratto crescente di cma rappresenta la curva di offerta dell’impresa

Q

p, c Cma

P

0

cv

Qe

Cme

Q1

A

Q

CTCma

Cma = Costo marginale costo dell’ultima unità (unità marginale) del bene prodotta dall’impresa

Cme = costi medi unitari

cv = costi variabili

P = prezzo

SCELTA DELL’IMPRESA E PROFITTI NEL BREVE PERIODO

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L’impresa sceglie la quantità che massimizza il profitto

Finché Cma < p conviene produrre un’unità in più

Finché Cma > p conviene produrre un’unità in meno

Il profitto è massimizzato quando Cma = p

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Costo riferito al ciclo di vitaDalla progettazione alla eliminazione (Life cycle)

Acquisizione: costi non ricorrenti Utilizzazione: costi ricorrenti

Costo riferito al ciclo di vita = insieme di tutti i costi ricorrenti e non ricorrenti nel corso del ciclo di vita del beneObiettivo = minimizzare la somma dei costi che si verificano nel corso del ciclo di vita

LCC Life Cycle Cost Analysis

Il 75% dei costi legati al LC può essere considerato durante la fase progettuale (approccio crandle to crandle)

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Interesse e tassodi interesse

-Interesse: compenso richiesto per l’uso del denaro (di solito viene misurato come tasso percentuale annuo: percentuale della somma che deve essere pagata per il suo uso per il periodo di un anno)-Il guadagno economico che si ottiene dall’uso del denaro è ciò che da alla moneta il suo valore nel tempo. Poiché i progetti di ingegneria richiedono l’uso del denaro nella loro valutazione tecnico-economica il valore nel tempo della moneta deve essere adeguatamente considerato.

- Tasso interesse = è il rapporto tra la redditività di un investimento e l’entità dell’investimento (costituito da: fattore rischio perdite + fattore spese amministrative + fattore inflazione + guadagno del finanziatore)L’inflazione è la perdita del potere di acquisto del denaro.

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Interesse e tassodi interesse

-Punto di vista del creditore: l’interesse è una somma di denaro ricevuta per fondi investiti (interesse percepito = guadagno/profitto)-Punto di vista del debitore: l’interesse è una somma di denaro pagata per avere fondi in disponibilità (interesse pagato = costo)

Fattori per stabilire il tasso di interesse:fattore rischio perdite (3%)fattore spese amministrative (2%)guadagno del finanziatore (6%)fattore inflazione (…)Tasso di interesse = 11%

Se i fondi vengono presi a prestito per finanziare attività per le quali si prevede un guadagno, l’interesse da pagare deve essere inferiore al profitto stesso.

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Valore del denaro nel tempo

Il valore del denaro è legato al tempo.

Uguali quantità di denaro in momenti diversi nel tempo non hanno valori uguali se il tasso di interesse ed il tasso di inflazione sono maggiori di zero.

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Valore del denaro nel tempo1000 € posseduti adesso valgono più di 1000 € che si riceveranno tra n anni.Infatti:Possedere 1000 € in questo momento permette di investirli per un periodo di tempo di n anni rispetto agli stessi 1000 € che si avranno tra n anni. Poiché il denaro può generare reddito il valore attuale di 1000 € investiti per n anni sarà pari ai 1000 € originari più gli interessi.

Inoltre:Il potere di acquisto di 1000 € varia nel tempo. Se c’è inflazione l’insieme di beni che possono essere acquistati con 1000 € diminuisce quanto più il momento dell’acquisto viene posticipato nel tempo.

Quando si considera il valore nel tempo del denaro è importante considerare sia la sua capacità reddituale sia il suo potere d’acquisto.

Esempio pg. 52 Thuesen, Economia per ingegneri

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Tipologie di interessi

L’interesse e le formule relative

[Thuesen, Economia per ingegneri, capitolo 3]

L’analisi tecnico-economica si occupa della valutazione di alternative, espresse indicando la quantità e i periodi di

tempo delle entrate attese e delle spese.

Grande attenzione al concetto di interesse.

Saranno presentate le basi matematiche per considerare il valore del denaro nel tempo mettendo a confronto l’interesse semplice e quello composto,

descrivendo i flussi di cassa e derivando una serie di formule di interesse.

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Tipologie di interessi

- Interesse semplice: l’interesse da pagare su un debito è proporzionale alla lunghezza del periodo di tempo per cui si prende a prestito la somma

- Interesse composto: l’interesse da pagare è proporzionale al tempo ed è dovuto alla fine del periodo di maturazione che è inferiore al periodo di tempo per cui si prende a prestito la somma. Se non corrisposto alla fine di ciascun periodo di maturazione maturerà anch’esso interessi.

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Formule degli interessi

Calcolo dell’interesse I che si guadagnerà

- Interesse semplice:

I = C i t l’interesse è proporzionale al capitale e al tempo; il capitale e gli interessi devono essere rimborsati solo alla fine del periodo stabilito. Calcolo interesse per frazione di anno.

I = interesse che si guadagneràC = somma presa a prestito (capitale)i = tasso di interesse del periodo (rapporto tra la redditività e l’entità di un investimento)t = tempo espresso in periodi di durata del prestito (periodo di interesse)

M = montante (valore monetario comprensivo del capitale iniziale e degli interessi maturati nell’intervallo di tempo di riferimento)

M = C + I = C + Cit = C (1 + it)

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Formule degli interessi

Calcolo dell’interesse I che si guadagneràQuando si concede un prestito per un tempo T pari a parecchi periodi di interesse t si considera che l’interesse guadagnato sia dovuto alla fine di ogni periodo di interesse.Si può:-Pagare l’interesse quando matura (alla fine di ogni t)-Capitalizzare l’interesse fino al termine della durata T del prestitoSe il debitore trattiene gli interessi fino alla scadenza del prestito il debito aumenterà di una somma uguale agli interessi dovuti alla fine di ogni anno, capitalizzandosi a loro volta.

- Interesse composto l’interesse, invece di essere riscosso o pagato, è aggiunto al capitale iniziale che lo ha prodotto facendo maturare anch’esso interessi per il periodo successivo (opzione di capitalizzazione dell’interesse fino al termine della durata del prestito)

M = C (1 + i)t

I = C [(1 + i)t – 1]

C = somma presa a prestito; i = tasso di interesse annualet = numero dei periodi di durata del prestito misurato in anni

RISULTATI DIVERSI A SECONDA DEL MODO IN CUI VENGONO FATTI I PAGAMENTI (Es. pg 62)

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Diagramma del flusso di cassaDescrizione grafica delle transazioni di cassa di ciascuna alternativa

Rappresenta le entrate relative ad un certo periodo di tempo con una freccia rivolta verso l’alto (aumento di cassa) collocata alla fine del periodo, con altezza proporzionale all’entità delle entrate.Le uscite sono rappresentate da frecce verso il basso (diminuzione di cassa).Le frecce sono collocate su una scala temporale che abbraccia la durata del progettoSi ipotizza che entrate ed uscite che si verificano durante la vita dell’alternativa abbiano luogo alla fine dell’anno o del periodo di interesse in cui si verificano.

50.000 51.250

1.250

1 2 3 4 5

1.250

debitore 50.000 creditore

51.250

Formule dell’interesse

Convenzioni:1)La fine di un anno è l’inizio del successivo2)C è all’inizio di un anno in un momento considerato come presente3)M è al termine del t-esimo anno calcolato da un momento che si suppone presente4)Un pagamento singolo R si verifica alla fine di ciascun anno del periodo considerato

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Somma singola attuale e futura

M

0 1 2 … n-1 n

C30

Se una somma C è investita adesso, e frutta al tasso annuale i, quale è il capitale e quali gli interessi accumulati dopo n anni?

Diagramma di flusso di cassa

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Fattore di capitalizzazione composta per un singolo pagamento

Se la transazione non da luogo a pagamenti fino al termine dell’investimento, l’interesse viene composto. L’interesse guadagnato viene aggiunto al capitale alla fine di ogni periodo annuale di interessi. Il fattore risultante (1 + i)t può essere impiegato per calcolare il montante M secondo la relazione:

M = C (1 + i)t

Dove:M = montanteC = somma presa a prestitoi = tasso di interesse annualet = numero dei periodi di durata del prestito misurato in anni

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Fattore di attualizzazioneper un singolo pagamento

Dalla relazione della capitalizzazione composta per un singolo pagamento si può ricavare C come:

C = M / (1 + i)t

M = montanteC = somma presa a prestitoi = tasso di interesse annualet = numero dei periodi di durata del prestito misurato in anni

Il fattore risultante 1 / (1 + i)t può essere utilizzato per trovare il valore attuale C di un montante M.

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Confronto tra capitalizzazione composta e semplice

Il grafico del montante nel regime dell’interesse semplice è rappresentato da una retta di pendenza Ci e intercetta C: M = Cit + C. Quello del regime dell’interesse composto M = C(1+i)t è rappresentato da una funzione esponenziale crescente in quanto la base 1+i > 1.

C = somma presa a prestito (capitale)i = tasso di interesse del periodot = tempo espresso in periodi (periodi di interesse) di durata del prestitoM = montante

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Quindi:

1) per tempi inferiori al periodo di capitalizzazione, t < 1, al creditore conviene il regime della capitalizzazione semplice (il grafico della retta sta sopra a quello della funzione esponenziale);

2) per t=1 un regime vale l’altro;

3) per tempi superiori al periodo di capitalizzazione, t > 1, al creditore conviene il regime della capitalizzazione composta (il grafico della funzione esponenziale sta sopra a quello della retta).

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C = 100i = 10%

t M = C (1 + i t) M = C (1 + i)t 0,2 102,00 101,92 (0,08)0,4 104,00 103,89 (0,11)0,6 106,00 105,89 (0,11)0,8 108,00 107,92 (0,08)

1 110,00 110,00 0,00 1,2 112,00 112,12 0,12 1,4 114,00 114,27 0,27 1,6 116,00 116,47 0,47 1,8 118,00 118,72 0,72

2 120,00 121,00 1,00 2,2 122,00 123,33 1,33 2,4 124,00 125,70 1,70

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Fattore di capitalizzazione composta per una serie di pagamenti uguali

M

0 1 2 t-1 t

R R R R R

La somma dei montanti dei vari pagamenti può essere calcolata usando il fattore di capitalizzazione dei pagamenti singoli:

M = R(1) + R(1+i) + ……… + R(1+i)t-2 + R(1+i)t-1 = montante totale futuro

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Fattore di capitalizzazione composta per una serie di pagamenti uguali

M = R(1) + R(1+i) + ……… + R(1+i)t-2 + R(1+i)t-1

Moltiplicando l’equazione del montante totale futuro per (1+i),

M(1+i) = R(1+i) + ……… + R(1+i)t-2 + R(1+i)t-1 + R(1+i)t

sottraendo l’equazione originaria alla seconda e risolvendo rispetto a M si ha:

M = R [(1 + i)t - 1] montante di una serie di pagamenti i uguali ossia montante di una rendita

posticipata

M = montanteR = pagamento singolo in una serie di n pagamenti uguali (rata costante) effettuato alla fine di ogni periodo di interesse; i = tasso di interesse annualet = numero dei periodi di durata del prestito misurato in anni[(1 + i)t - 1]/i = fattore di capitalizzazione composta per una serie di pagamenti uguali

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Fattore delle rate di ammortamentoper una serie di pagamenti uguali

Dalla relazione del montante di una serie di pagamenti uguali si può ricavare la rata R

R = M { i / [(1 + i)t - 1]} Rate annuali necessarie per formare una somma futura pari a M; pagamenti di fine anno R necessari a formare una somma futura M

M = montanteR = serie di t pagamenti uguali (rata costante)i = tasso di interesse annualet = numero dei periodi di durata del prestito misurato in annii / [(1 + i)t - 1] = Fattore delle rate di ammortamento per una serie di pagamenti uguali

Può essere utilizzato per trovare i pagamenti di fine anno R necessari per formare la somma futura M

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Dalla relazione del montante di una serie di pagamenti uguali si può ricavare la rata R

R = M { i / [(1 + i)t - 1]} Rate annuali necessarie per formare una somma futura pari a M

Dove:M = montanteR = serie di t pagamenti uguali (rata costante)i = tasso di interesse annualet = numero dei periodi di durata del prestito misurato in annii / [(1 + i)t - 1] = Fattore delle rate di ammortamento per una serie di pagamenti uguali

Può essere utilizzato per trovare i pagamenti di fine anno R necessari per formare la somma futura M

L'ammortamento è un procedimento con il quale un costo pluriennale viene ripartito tra gli esercizi di vita utile del bene, facendolo partecipare per quote alla determinazione del reddito dei singoli esercizi. Infatti, quando un'azienda acquista un bene destinato a essere utilizzato per più anni, ad esempio un macchinario, il

relativo costo sostenuto viene ripartito in funzione del numero di anni per l'acquisto in tante quote quanti sono gli esercizi nei quali il macchinario sarà

presumibilmente impiegato. Se così non fosse il costo verrebbe imputato interamente nell‘esercizio in cui viene acquistato disattendendo il principio della

competenza economica dei componenti reddituali.La procedura dell'ammortamento è prescritta dal Codice Civile (art. 2426 c.c.) ai

fini della redazione del bilancio d‘esercizio.

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Fattore di recupero del capitale per una serie di pagamenti uguali

Al tempo 0 viene fatto un deposito pari a C a un tasso di interesse annuale i.

Il depositante desidera ritirare il capitale C più l’interesse guadagnato in una serie di somme annuali R uguali per t anni.

Quando viene fatto l’ultimo prelievo non dovrebbero restare fondi nel deposito.

Quando viene fatto ciascun prelievo annuale, la somma che rimane nel deposito è più piccola della somma che era rimasta dopo il ritiro precedente.

Poiché l’interesse corrisposto è calcolato in base alla somma in deposito, l’interesse che si percepisce ogni anno diminuisce.

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R R R R

0 1 2 3 … t

C

Serie uguale annuale e somma singola presente

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Dato che R è legato ad M dal fattore delle rate di ammortamento di una serie di pagamenti ugualiR = M { i / [(1 + i)t - 1]}e che M è legato a C dal fattore di capitalizzazione composta per un singolo pagamentoM = C (1 + i)t

sostituendoR = C (1 + i)t { i / [(1 + i)t - 1]}

e risolvendo rispetto a R:

R = C { i (1 + i)t / [(1 + i)t - 1]} Rate annuali necessarie per rimborsare il capitale C

M = montanteC = capitale o valore attuale di una serie di pagamenti ugualiR = serie di t pagamenti uguali (rata costante)i = tasso di interesse annualet = numero dei periodi di durata del prestito misurato in anni

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Fattore di attualizzazione del capitale per una serie di pagamenti uguali

Dal fattore di recupero del capitale di una serie di pagamenti ugualiR = C { i (1 + i)t / [(1 + i)t - 1]}risolvendo rispetto a C si ottiene

C = R {[(1 + i)t - 1] / i (1 + i)t} valore attuale C di una serie di pagamenti annuali uguali futuri R

C = capitale o valore attuale di una serie di pagamenti ugualiR = serie di n pagamenti uguali (rata costante)i = tasso di interesse annualet = numero dei periodi di durata del prestito misurato in anni

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Fattore della serie di gradienteuniforme

In molti casi i pagamenti annuali non vengono fatti in serie di pagamenti uguali.Essi possono crescere o decrescere di una somma costante.

Gradiente: serie di pagamenti uniformemente crescente (o decrescente) per t periodi di interessiEs. 100, 125, 150, 175….Es. 100,90,80,70…..Può essere espresso come G, 2G, ….. (t-1)G dove G = variazione annuale (o gradiente) nella quantità dei pagamentit = numero degli anni

Uno dei modi per la valutazione di una serie di questo tipo è quello di applicare le formule degli interessi per ogni pagamento della serie.

Un altro modo è quello di ridurre la serie di pagamenti uniformemente crescenti a una serie equivalente di pagamenti uguali, in modo da poter usare un fattore della serie dei pagamenti uguali.

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Fattore della serie di gradienteuniforme

Gradiente: serie di pagamenti uniformemente crescente (o decrescente) per t periodi di interessiPuò essere espresso come G, 2G, ….. (n-1)G dove G = variazione annuale o gradientet = numero degli anni

Dato che R è legato ad M dal fattore delle rate di ammortamento di una serie di pagamenti ugualiR = M { i / [(1 + i)t - 1]}Da cuiM = R [(1 + i)t - 1]/i (*)

Per ogni singolo pagamento della serie di gradienti vale la seguente relazione:M = G[(1+i)t-1-1]/i + G[(1+i)t-2-1]/i + ….. + G[(1+i) 2-1]/i + G[(1+i) -1]/i RisolvendoM = G/i [(1+i)t-1 + (1+i)t-2 + ….. + (1+i) 2 + (1+i) –(t – 1)]M = G/i [(1+i)t-1 + (1+i)t-2 + ….. + (1+i) 2 + (1+i) + 1)] – tG/i

è riconoscibile il fattore di capitalizzazione composta [(1 + i)t - 1]/i

M = G/i [(1+i)t-1]/i – tG/iSostituendo la (*) ad M si ha:R = {G/i [(1+i)t-1]/i – tG/i} { i / [(1 + i)t - 1]}R = G/i – tG/[(1 + i)t - 1]

R = G {1/i – t/[(1 + i)t - 1]} Prima Rata R annuale di una serie uniformemente crescente (o decrescente) necessaria per rimborsare il capitale C

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Tassi di interesse nominali ed effettivi

Il periodo di capitalizzazione può essere diverso dall’anno.Il tasso di interesse nominale è espresso su base annuale e viene determinato moltiplicando il tasso di interesse reale o effettivo tante volte quanti sono i periodi di interesse di un anno (tie=3% semestralmente; tin=6% all’anno composto semestr.)

Quando gli interessi maturano p volte nel corso dell’anno si ha:M = C (1 + ip)pt (*)

p = periodo o frazione dell’annoip = tasso d’interesse effettivo relativo al periodo p di capitalizzazione

Da tale relazione è possibile individuare il corrispondente tasso d’interesse equivalente o effettivo annuale (tasso di interesse nominale i espresso su base annuale).Infatti assunta la relazione: M = C (1 + i)t (**)Uguagliando i secondi membri della (*) e della (**) si ha

C(1 + i)t = C(1 + ip)pt

Risolvendo e ponendo tutto sotto radice t-esima

i = (1 + ip)p - 1 conversione del tasso frazionato ip al tasso annuale i

ip = (1 + i)1/p - 1

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Assumendo poi che in o tasso d’interesse nominale convertibile annuo (ottenuto dalla moltiplicazione del tasso effettivo di periodo per il numero dei periodi d’interesse di un anno) sia dato dalla seguente relazione:

in = p ip ip = in/p e dalla i = (1 + ip)p - 1

Si ottiene:

i = (1 + in/p)p – 1 conversione del tasso nominale annuo in al tasso annuale i

e

in = [(1 + i)1/p – 1]p

Se p =1 in = ip = i

conversione del tasso frazionato ip al tasso annuale i

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Date le seguenti relazioniM = C (1 + ip)pt

M = C (1 + if)ft

Dove:p = periodo o frazione dell’annof = periodo o frazione dell’anno diverso da pip = tasso d’interesse effettivo relativo al periodo p di capitalizzazioneif = tasso d’interesse effettivo relativo al periodo f di capitalizzazione

si ha (1 + if)ft = (1 + ip)pt

Ponendo tutto sotto radice t-esima e risolvendo

ip = (1 + if)f/p - 1 conversione del tasso frazionato if al tasso frazionato ip

da cui

ip = (1 + in/f)f/p – 1 conversione del tasso nominale convertibile in composto con il fattore f al tasso frazionato ip

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Tasso di interesse effettivo annuale

9,7000%

9,8000%

9,9000%

10,0000%

10,1000%

10,2000%

10,3000%

10,4000%

10,5000%

10,6000%

1 2 3 4 6 12 52 365

50


p in/p i = (1 + in/p)p - 1

n° periodi in un anno

Tasso di interesse effetivo per periodo

Tasso di interesse effettivo annuale

annuale 1 10,0000% 10,0000%

semestrale 2 5,0000% 10,2500%

quadrimestrale 3 3,3333% 10,3370%

trimestrale 4 2,5000% 10,3813%

bimestrale 6 1,6667% 10,4260%

mensile 12 0,8333% 10,4713%

settimanale 52 0,1923% 10,5065%

quotidiana 365 0,0274% 10,5156%

continua 0,0000% 10,5171%

Frequenza della composizione

1 niei

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Capitalizzazione continua

Si consideri un tasso nominale annuale r, e si supponga di suddividere l'anno in n periodi, al termine di ciascuno dei quali viene corrisposta una frazione dell'interesse relativo all'intero anno pari a che viene immediatamente reinvestita.

A partire da un capitale iniziale C il montante al termine di t anni sarà allora:

Passando al limite per n che tende a infinito, si ha il caso in cui un flusso continuo di pagamenti viene reinvestito in maniera continua; è il caso in cui gli interessi vengono capitalizzati un numero infinito di volte in un anno cioè continuamente; il montante sarà dato da:

Essendo

Dove:e = numero di Nepero (2,71828182845904523536……..)Sostituendo si ha:

e

n

r

nt

n

rCM

1

en

rrn

n

1lim

trCeM

trrn

n

nt

n n

rC

n

rCM

1lim1lim

trMeC

52


Per il calcolo del tasso di interesse i nel caso di capitalizzazione continua, partendo dalla relazione (vd slide 47 con r tasso nominale annuale)

Passando al limite per n che tende a infinito, il tasso di interesse sarà dato da:

E quindi:

r = tasso nominale annuale

11

n

n

ri

11lim11lim

rrn

n

n

n n

r

n

ri

1 rei

53


C = 100i = 10%

t M = C (1 + i t) M = C (1 + i)t composta su semplice M = C etr continua su composta

0,2 102,00 101,92 (0,08) 102,02 0,10 0,4 104,00 103,89 (0,11) 104,08 0,20 0,6 106,00 105,89 (0,11) 106,18 0,30 0,8 108,00 107,92 (0,08) 108,33 0,41

1 110,00 110,00 0,00 110,52 0,52 1,2 112,00 112,12 0,12 112,75 0,63 1,4 114,00 114,27 0,27 115,03 0,75 1,6 116,00 116,47 0,47 117,35 0,88 1,8 118,00 118,72 0,72 119,72 1,01

2 120,00 121,00 1,00 122,14 1,14 2,2 122,00 123,33 1,33 124,61 1,28 2,4 124,00 125,70 1,70 127,12 1,42

54

Fattore di capitalizzazione continua di una serie di pagamenti uguali

M = R + Rer1 + ……… + Rer(t-2) + Rer(t-1)


Moltiplicando tutto per er, sottraendo l’equazione originaria alla seconda e risolvendo si ha:

M = R (etr – 1)/(er – 1) montante di una serie di pagamenti

uguali con capitalizzazione

continua

55


R = M (er – 1)/(etr – 1) Rate annuali necessarie per formare una somma futura con capitalizzazionecontinua degli interessi

56


Dato che R è legato ad M dal fattore delle rate di ammortamento di una serie di pagamenti ugualiR = M (er – 1)/(etr – 1)e che M è legato a C dal fattore di capitalizzazione continua per un singolo pagamentoM = C etr

sostituendoR = C etr (er – 1)/(etr – 1)e semplificando l’espressione si ottiene il valore delle:

R = C (er – 1)/(1 – e-tr) Rate annuali necessarie per rimborsare il capitale C con capitalizzazione continua degli interessi


57

Fattore di attualizzazione continua di una serie di pagamenti uguali

Dal fattore di recupero del capitale di una serie di pagamenti uguali, che fornisce il valore diR = C (er – 1)/(1 – e-tr)si ottiene il capitale C nel caso di capitalizzazione continua:

C = R (1 – e-tr)/(er – 1) valore attuale di una serie

di pagamenti uguali R futuri


58

Riepilogo formulenatura dei pagamenti, computazione interessi

Interesse semplice Interesse composto Interesse composto infrannuale Interesse continuo

Interesse I = C i t I = C[(1 + i) t - 1] I = C [(1 + i p ) pt -1] I = C (e tr - 1)

Montante M = C (1 + it) M = C (1 + i) t M = C (1 + i p ) pt M = Ce tr

Valore attuale C = M / (1 + it) C = M / (1 + i) t C = M / (1 + i p ) pt C = M / e tr

Tasso di interesse i = I/Ct

Tempo t = I/Ci

conversione del tasso frazionato i p al tasso annuale i i = (1 + i p ) p - 1

conversione del tasso annuale i la tasso frazionato i p i p = (1 + i) 1/p - 1

conversione del tasso nominale convertibile r o i n al tasso annuale i i = (1 + i n /p) p – 1 i = e r - 1

conversione del tasso annuale i al tasso nominale convertibile i n i n = [(1 + i) 1/p – 1]p

conversione del tasso frazionato i f al tasso frazionato ip i p = (1 + i f ) f/p - 1

conversione del tasso frazionato i p al tasso frazionato if i p = (1 + i n /f) f/p – 1

Interesse continuo di una serie di pagamenti uguali

Montante di una rendita posticipata M = R [(1 + i) t - 1]/i M = (e tr - 1)/(e r - 1)

Rate annuali necessarie per formare una somma futura R = M { i / [(1 + i) t - 1]} R = M (e r – 1)/(e tr – 1)

Rate annuali necessarie per rimborsare un capitale R = C { i (1 + i) t / [(1 + i) t - 1]} R = C (e r – 1)/(1 – e -tr )

Valore attuale di una rendita posticipata C = R {[(1 + i) t - 1] / i (1 + i) t } C = R (1 – e -tr )/ (e r – 1)

Interesse composto di una serie di pagamenti uguali

1/ t CMi

)/(log)1(

CMti

1/ pt CMi)/(log

)1(CMt

pi

tCMr /)/ln(

rCMt /)/ln(

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