1

CSPfea CSPfea

ELEMENTI DI MECCANICA DELLE MURATUREMODELLI DI COMPORTAMENTO

INDAGINI DI CARATTERIZZAZIONE

11 giugno 2008

Comune di Ravenna

prof. ing. Andrea BenedettiDip. DISTART, Univ. di Bologna

Viale Risorgimento 2, 40136 BOLOGNA

E-mail: andrea.benedetti@mail.ing.unibo.it

2

Criteri di Valutazione

• Requisiti di sicurezza e verifiche:– Si applica quanto detto per gli edifici di

nuova costruzione• Dati necessari e livello di conoscenza:

– Geometria dell’organismo murario– Dettagli costruttivi– Proprietà dei materiali

3

Rilievo della geometria

• Rilievo sommario: comprende il rilievo dei principali elementi strutturali resistenti a taglio, piano per piano, delle volte in muratura ed una stima a campione dell’andamento e della rigidezza dei solai.

• Rilievo completo: comprende il rilievo completo, piano per piano, di tutti gli elementi in muratura, il rilievo delle volte e della loro tipologia, il rilievo dell’andamento di tutti i solai, una valutazione accurata della loro rigidezza ed una valutazione dei carichi di gravità gravanti su ogni elemento di parete.

4

Dettagli Costruttivi

a) qualità del collegamento tra pareti ortogonali;

b) qualità del collegamento tra solai e pareti ed eventuale presenza di cordoli di piano;

c) esistenza di architravi dotate di resistenza flessionale al di sopra delle aperture;

d) presenza di elementi strutturali spingenti e di eventuali elementi atti ad eliminare la spinta;

e) presenza di elementi, anche non strutturali, ad elevata vulnerabilità;

f) tipologia e qualità della muratura (a un paramento, a due o più paramenti, con o senza collegamenti trasversali), eseguita in mattoni o in pietra (regolare, irregolare);

g) presenza e rappresentazione dell’eventuale quadro fessurativo.

5

Fattori di Criticità

1) presenza di canne fumarie,2) tracce che contengono tubazioni e impianti,3) aperture tamponate senza eseguire

dentellature di continuità delle murature,4) architravi di lunghezza insufficiente,5) mancanza di continuità negli spigoli di muri

ortogonali,6) erroneo collegamento di volte e solai alle

sottostanti pareti,7) mancanza di catene negli elementi

spingenti della costruzione.

a) geometria dell’organismo strutturaleb) proprietà meccaniche dei materialic) rappresentatività del modello di calcolo e delle verifiche

6

Descrizione del materiale

7

Schematizzazione meccanica base

• Diagramma di comportamento monoassiale

8

Schema analogico di comportamento

9

Fessurazione delle Murature

10

Fasi di Collasso di colonne di mattoni• La colonna si fessura in asse nei mattoni che legano i piani di simmetria• Le fessure si propagano nella malta e si estendono a tutta altezza, dividendo la

colonna in quattro parti• La pila di mezzi mattoni sull’angolo più caricato si fessura di nuovo in mezzeria, e

dopo poco si instabilizza collassando• La colonna, ormai di sezione asimmetrica, entra nel ramo discendente e collassa

repentinamente

11

Comportamento sperimentale delle colonne

• percorsi carico spostamento delle colonne di tipo lineare a tratti

• Rigidezza che si riduce fortemente dopo la fessurazione

0,0

1,5

3,0

4,5

6,0

0 2 4 6 8 10Mean Strain [mm/m]

Me

an

Str

es

s [

MP

a]

DC1 DC2 DC3

DC4 DC5 DC6

0,0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

0,0 1,5 3,0 4,5 6,0

Mean Stress [MPa]

No

rma

lis

ed

Sti

ffn

es

s

DC1 DC2 DC3

DC4 DC5 DC6

12

Estrazione di campioni• Il campione più semplice da estrarre è la carota

cilindrica:– La carota di mattone pieno,– La carota con il giunto di malta trasversale

all’asse,– La carota con il giunto di malta sul piano

diametrale

N D

T

T E

S T

I N

G

13

Prove NDT per muratureN

D T

T

E S

T I

N G

a) Prove correlate con la dissipazione di energia di uno strumento che penetra nel materiale

b) Prove correlate con la propagazione di un urto o di un onda

c) Prove correlate con la vibrazione stazionaria o transiente

d) Prove correlate con parametri non meccanici quali la temperatura, la permeabilità elettrica o magnetica, etc.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Core Extraction Position

Mo

rta

r C

om

pre

ssiv

e S

tre

ng

th

14

Effetto dello spessore della malta

6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

hm [mm]

fmc [MPa]

M A

S O

N R

Y

M E

C H

A N

I C

S

Prove di campioni irregolari

Irregular specimens (Drdácký, 2011)

dependency on thickness: role of confinement

Test con doppio punzoneThe loading plates and the material outside the punch area provide an horizontal confinement

effect.

Numerical simulation of the test to understand the amount of confinement h/v

Confinamento

Linear FE analysis with 20-node solid elements

Es=0.2 GPa, vs=0.25; Em=2000 MPa, vm=0.25

Confinement ratio h/v as function of the mortar specimen thickness (t) and the ratio between

specimen and punch radii (R2/R1)

a) t=15 mm b) R2/R1=2 (R1=10 mm)

R2/R1 t (mm)

Analisi di sensibilità

considering different specimen thickness (t) and

different ratios between specimen and punch radii (R2/R1)

R2/R1t (mm)

h/v

Splitting tests on cores with inclined mortar joint

Extraction of masonry cores including a mortar joint

Test setups: 30º - 45º - 60º

20

Prova Brasiliana di carote con malta

• Nello strato di malta:– Ci sono compressione e taglio combinate– La risposta dipende dallo spessore

sin 45 0,707p p

cos 45 0,707p p

22 5 5

2 4 8R p

S P

L I

T T

I N

G

T E

S T

21

Interpretazione secondo Mohr - Coulomb

2

,

0,

c fvk0

fmc

R

arcsin c t

c t

f f

f f

max

max

1arcsin

1

S P

L I

T T

I N

G

T E

S T

Splitting tests on cores with inclined mortar joint

The test induces a shear-compression state to the mortar.

Representation of the stress state in the inclined joint in the Mohr plane:

30º 45º60º

Angle 30° 45° 60° Compression

Shear Circle Radius

This 2D analytical interpretation do not account for confinement

Splitting tests on cores with inclined mortar joint

FE analysis to investigate the role of confinement

Eb=13640 MPa, vb=0.10; Em=1280 MPa, vm=0.10÷0.45

The confinement increases with the Poisson’s ratio

h/v

v

Comparison between numerical trends and analytical predictions from Hilsdorf’s theory

Mohr circles for points

along a 45º joint

Splitting tests on cores with inclined mortar joint

Plane Stress Plane Strain

Setup x Setup

30º 22. 8% 30º

45º 20.7% 45º

60º 33.4% 60º

Plane Stress Plane Strain

x Setup x z

22. 8% 30º 39.1% 48.7%

20.7% 45º 27.4% 31.9%

33.4% 60º 35.1% 20.3%

Confinement leads to the reduction of the dimensions of Mohr circles and to their shifting in the direction of the maximum compression stress

30º setup: vm=0.3545º setup: vm=0.2560º setup: vm=0.15

Splitting tests on cores with inclined mortar joint

Nonlinear FE simulation of the tests

M-C Criterionm=35º , cm=0.6 MPa b=52.7º ,cb=3.7 MPa

Comparison between plane strain and plain stress conditions:the gap between is more marked in 30º setup

Experimental results:30º setup: Fu=28812 N 45º setup: Fu=18380 N 60º setup: Fu=9139 N

An automatic software has been developed.

Obtained M-C parameters : =36º , c=0.6 Mpa

Obtained M-L parameters: 0 =0.32 MPa, 0=0.6 MPa

Compression parameters: fc=2.81 MPa, fcb=5.62 MPa

Determination of the mortar failure envelope

Effetto del Confinamento della malta

27

Criterio triassiale di Bresler - Pister

Curve biassiali di Etse - Willam

28

Comportamento elastico di un materiale composito

• Il modulo elastico di un materiale stratificato può essere ottenuto mediante la composizione in serie della rigidezza

b mk

b m

b m

h hE

h h

E E

29

Distribuzione delle tensioni

trasversali nella

muratura

• Equilibrio

• Congruenza

• tensioni

A

A

B

B

hb

hb

hm

hm

Section A-A Section B-B

1 11 1m hm m v b hb b v

m bE E

hm m hb bkh h

mhb hm

b

hk

h

1 1

bm

hm vm

m bb

hkh

30

Calcolo della resistenza a compressione

• Normativa Italiana: tabella

• Eurocodice 6: formula di regressione

• Teoria della rottura fragile

• Teoria della rottura totalmente plastica

0,75 0,250,6u bc mcf f

(1) bc btwc

bt bc

f ff

f f

(3) bt mt bt mtwc

bt mt b m

bc mc

f f f ff

f ff f

m

b

h

h

31

Murature eterogenee• Tutte le

murature reali presentano misture di mattoni, inclusioni, lesene, listature, ecc.

MaterialElastic

ModulusTension Strength

Compression Strength

Adobe bricks 100 0.3 1.5

Baked bricks 2100 0.6 16.0

Silty mortar 100 0.3 1.5

MPa MPa MPa

32

Programma sperimentale - tessiture casuali

• Sono stati testati 13 pannelli con misture casuali di mattoni e proporzioni variabili tra 0% e 100%

33

Resistenza di misture di mattoni

Le misture di mattoni presentano resistenze assai simili a quella del mattone peggiore

, , ,

1k

i m i

i ibc i b i bt i

fh

f h f

1 1

m

m b

b

m m

m b

b b

EE

E hE h

1

,

i

b i

b i

EE

34

Comportamento a taglio - compressione

• Il taglio che la muratura può sopportare dipende dalla compressione presente

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

kf

kf

Formula (14)

Formula (15)

AnalisiLimite

0 0

0

1 1

1 1k mt

k mt

f f

f f

1vkok

ff

35

Degrado dovuto a Sali

– Localmente, ove le condizioni sono favorevoli, i Sali possono distruggere massa nella muratura

36

Verifiche di Sicurezza (SLU)• PRESSOFLESSIONE

• momento ultimo resistente calcolato assumendo la muratura non reagente a trazione ed una opportuna distribuzione non lineare delle compressioni

20 01

2ud

L tM

k f

Mu momento corrispondente al collasso per pressoflessione,L larghezza complessiva della parete (inclusiva della zona tesa),t spessore della zona compressa della parete,0 tensione normale media, riferita all’area totale della sezione

(=P / Lt)Se P è di trazione, Mu=0,

fd = fk/m resistenza a compressione di calcolo della muratura.

In caso di analisi statica non lineare lo spostamento ultimo potrà essere assunto pari allo 0.8% dell’altezza del pannello.

37

Resistenza flessionale di setti murari

Il calcolo del momento flettente resistente può essere condotto considerando una distribuzione eccentrica di sforzi normali plastici

38

Verifiche di Sicurezza (SLU)• TAGLIO

• La verifica a taglio di ciascun elemento strutturale si effettuerà considerando la parte di sezione compressa

L’ larghezza della parte compressa della paretet spessore della paretefvk definito al punto 2.3.2.1 del D.M. 20.11.87, calcolando la

tensione normale media sulla parte compressa della sezione (n = P/l’t).

In caso di analisi statica non lineare lo spostamento ultimo potrà essere assunto pari allo 0.4% dell’altezza del pannello

' vkt

M

L t fV

0 00.4 min 1.4 ;1.5 MPavk vk bkf f f

39

Maschi murari pressoinflessi

40

Comportamento in fase elastica

6e

LM N

ee

MV

H

IE

Me

e

2 2

2

4 6

3 1.2 5e e

e e

V H MH H

G A t L E L G

2

1

4 56

t LK

H HE L G

41

Comportamento in fase fessurata

• Lo spostamento in fase fessurata è ottenuto integrando la curvatura sull’altezza del pannello

2 3y

y

LM N

2y

mk

N

t f

yy

MV

H

( ) 32

L V zz

N

2

2( )

( )m

Nz

E t z

2

L N

L N H V

2

H V

L N H V

22

( ) 2 129 m

NV

E tLV

3

2

2( ) 6 2 ln

9 3m

NV

E tV

( ) ( ) ( )e e

e

V MV V V

V V

( ) 1 ecr

Vh V H

V

42

Comportamento in fase plastica• Il comportamento in fase plastica è caratterizzato

da un impulso di curvatura plastica alla base

1

1

1 0.5umk mk

uN N

t f D t f

2

2

3 3 1

6 3

D Dj

D D

2u u

LM N j

( ) 1 y

plu

Vh V H

V

1

2u u y pl plh H h

( )( ) ( ) ( )

( )ye e

e uu y

V VV MV V V

V V V V

43

Confronto con gli esperimenti

Ref. Wall Restraint N B H T Em fk

Fantoni 1A-08 C – C 358 1.25 1.85 0.50 1290 3.69 Fantoni 1B-10 C – C 360 1.25 1.84 0.50 785 5.50 Fantoni 2C-03 C – C 343 1.25 1.82 0-50 1118 6.00 Fantoni 2D-07 C – C 355 1.25 1.83 0.50 1125 6.00 Callerio Short C – C 150 1.00 1.35 0.25 1910 6.20 Callerio Tall C – C 150 1.00 2.00 0.25 1910 6.20

Giambanco - C – F 311 1.20 2.40 0.50 726 4.50 Motta - C – F 242 0.98 0.98 0.29 4880 3.40

[kN] [m] [m] [m] [MPa] [MPa]

Experimental Error Bilinear Model Error Present Model

Ref. Wall Vu V d V dFantoni 1A-08 190.90 6.00 22.92 20.11 6.78 21.94 Fantoni 1B-10 219.20 5.20 6.07 61.20 20.47 27.87 Fantoni 2C-03 202.00 6.00 6.40 1.71 15.47 13.94 Fantoni 2D-07 240.00 9.38 16.09 37.99 5.19 15.96 Callerio Short 76.10 12.46 25.41 47.95 11.41 35.51 Callerio Tall 100.00 5.33 10.99 71.53 13.38 47.40

Giambanco - 65.56 21.6 9.56 56.18 7.09 17.73 Motta - 84.44 1.31 14.39 22.51 5.95 35.15

average 13.97 39.89 10.71 26.94

[kN] [mm] [%] [%] [%] [%]

44

Curve sperimentali e teoriche - 1

45

Curve sperimentali e teoriche - 2

46

Discontinuità Murarie– Presenza di canne

fumarie che interrompono la tessitura muraria

– La resistenza a flessione e taglio dipende dalla lunghezza dei pezzi separati dalla discontinuità

23

2 2c

N L TH

t f N

41

3 p

NL NT

H N

47

Discontinuità di Tessitura– Parete sdoppiata per effetto di una linea di sutura

N

T

fc

L H

N

T

L/n

fc

1

41

3

n

n ip

NL NT T

nH N

2 2

12

5 1

61

2

n

n i

GLtU U

n HHL

48

Prove di piattabande

49

Relazioni di Mohr Coulomb

• Si possono calcolare i parametri della relazione costitutiva a partire dalla resistenza a trazione e compressione del materiale

2

tan2

c t

c t

c t

f fc

f f

f f

cos2

1 sin

cos2

1 sin

c

t

f c

f c

0,75 0,250,6

t c

c bk mk

f f

f f f

11k

m m

bc bt b b

fh E

f f h E

50

Calcolo dei parametri della muratura

2P

D

22 5 5

2 4 8R p

1arcsin arcsin

1c t

c t

f f

f f

5 sintan

cos 2 2cos

Rc

2

,

0,

c

maxfbc

R

2 cos

1 sinmc

cf

2 cos

1 sinmt

cf

51

Analisi numerica delle carote

52

Dati ricavati dalle prove dirette

• Mattone (carota da 70 mm)• - parametri di resistenza:

– fbc = 12 MPa, Eb = 7000 MPa, b = 0,125• - mod. Mohr – Coulomb:

– c = 2,30 MPa, = 55°

• Malta (carota da 70 mm con giunto di 10 mm)• - parametri di resistenza:

• fmc = 3,2 MPa, Em = 1000 MPa, m = 0,375

• - mod. Mohr – Coulomb:• c = 1,00 MPa , = 27°

53

Dati ricavati dalle prove numeriche

0

50

100

150

200

250

300

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00

Accorciamento totale [mm]

Car

ico

Ap

plic

ato

[N

/mm

]

Carota con malta

Carota di mattone

5 1 5 1u mcP Df

54

Modelli non lineari di muratura

• Il pannello può essere modellato usando malta e mattoni e adottando relazioni costitutive di Mohr - Coulomb

55

Modelli Semplificativi• A) modelli omogeneizzati (mattoni + malta) bidimensionali

• B) modelli equivalenti discretizzati di elementi uniassiali

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0

spostamento [mm]

mo

ltip

lica

tore

del

car

ico

Mattoni e Malta

Muratura

Letto di Molle

-16,0

-14,0

-12,0

-10,0

-8,0

-6,0

-4,0

-2,0

0,0

2,0

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

spostamento [mm]

Te

nsi

on

e N

orm

ale

[M

Pa

]

Mattoni e Malta

Muratura

Letto di Molle

56

Analisi con metodi non lineari finalizzati all’analisi push – over

• Metodi numerici ed analisi sperimentali di edifici prototipo portati a rottura

MAGENES, G., KINGSLEY, G., CALVI, G.M. “Static testing of a full-scale, two storey masonry building: test procedure and measured experimental response”. In “Experimental and numerical investigation on a brick masonry building prototype –Numerical prediction of the experiment”. CNR-GNDT, Report 3.0, 1995.

57

Metodo SAM – Magenes & Calvi

• La parete viene suddivisa in elementi deformabili e offset rigidi

58

Calcolo della parete D• Il confronto della parete D

calcolata con il metodo SAM e con gli elementi elasto – fragili Gambarotta - Lagomarsino mostra un buon accordo

59

Parete D - modalità di collasso• La parete con

porte (D) presenta un collasso al piano terra di tipo flessionale mentre in quella con finestre (B) si attiva un meccanismo per taglio

60

Confronto dei risultati in

termini di spostamento

e taglio

• Il rapporto tra sforzo assiale e taglio nei setti è circa costante

61

Parete B – rottura da taglio

• Il punto angoloso nella deformata mostra che il piano basso ha raggiunto il collasso per taglio

62

Calcolo della parete agli E. F.• La parete è calcolata con 1430 E.F. tipo plane stress in

12 incrementi di carico, materiale di tipo elasto plastico con superficie limite di Mohr Coulomb e non linearità geometrica

Parete D

0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

100.0

120.0

140.0

160.0

0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025

Parete D

F (kN)

(m)

63

Calcolo elasto plastico E.F.

-3000.0

-2500.0

-2000.0

-1500.0

-1000.0

-500.0

0.0

500.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Colonna 1

Colonna 2

Colonna 3

(kPa)

x (m)

-100.0

0.0

100.0

200.0

300.0

400.0

500.0

600.0

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

Colonna 1

Colonna 2

Colonna 3

(kPa)

x (m)

64

Verifica semplificata - parete D

7900 kPa, 200 kPak tf f

2,2 u i i i tot i

ui

M N D N DV

H H H D

01 186 kN1.5

tTK

t

fV Dt

f

0 01 1

193 kN1 1

c tMC

c t

f fV Dt

f f

0

173=168 kPa

4.12 0.25

2 2173 2 1.15 1.82

117 kN2.14 (2 1.15 1.82)MV

4.12 miD D

65

Verifica semplificata - parete B

7900 kPa, 200 kPak tf f

2,2 u i i i tot i

ui

M N D N DV

H H H D

01 146 kN1.5

tTK

t

fV Dt

f

0 01 1

211 kN1 1

c tMC

c t

f fV Dt

f f

0

173=230 kPa

3.0 0.25

2 2173 2 0.6 0.9

108 kN1.25 2 (0.6 0.9)MV

3.0 miD D

66

Analisi parametrica piana

B

H

t

L

L

pe

k k b

BG Q t

i

( ) 2.5 gd

a SS T

q

( ) ( )SN x L H x

2

( ) 12

dS

S H xV x

g H

2( ) 2

6d

S

S xM x H x

g H

67

Formule di calcolo• Si esamina una parete singola per evidenziare le

prerogative della resistenza sismica della muratura

0 0.4 ( )( ) vk S

RM

tLf N xV x

( )( ) ( ) 1

2S

R Sd

L N xM x N x

kf Lt

Si possono ricavare i valori dei parametri che consentono di ugluagliare le azioni alle resistenze

68

Lunghezza minima delle pareti

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

2

4

6

8

10

12

14L (m)

t (m)

H=9.0 m

H=6.0 m

H=3.0 m

B = 5.0 m, II cat.0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

2

4

6

8

10

12

14

L (m)

t (m)

H=9.0 m

H=6.0 m

H=3.0 m

H=12.0 m

B = 5.0 m, III cat.

B = 5.0 m, H = 6.0 m H = 6.0 m, II cat.

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

2

4

6

8

10

L (m)

t (m)

II cat.

I cat.

III cat.

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1

2

3

4

5

6L (m)

t (m)

B=5.0 m

B=7.5 m

B=10.0 m

B=2.5 m

69

Variazione del taglio con l’altezza

• Il taglio si mantiene circa costante nella parte bassa della parete e quindi la sezione critica a taglio è sempre spostata verso l’alto rispetto alla fondazione

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1V/Vmax

x / H

70

Riduzioni a taglio

t = 0.75 m, B = 5 m, L = 9.0 m, II cat.t = 0.375 m, B = 5 m, L = 9.0 m, II cat.

0 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H=3.0 m

H=6.0 m

H=9.0 m

x (m)

0 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x (m)

H=3.0 m

H=6.0 m

H=9.0 m

0 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H=3.0 m

H=6.0 m

H=9.0 m

x (m)

t = 0.75 m, B = 10 m, L = 9.0 m, II cat.

0 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H=3.0 m

H=6.0 m

H=9.0 m

x (m)

t = 0.75 m, B = 5 m, L = 9.0 m, I cat.