1 dinamika materijalne tacke

Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 1

DINAMIKA TAKE

ZADATAK I ISTORIJSKI RAZVOJ MEHANIKE

OSNOVNI ZAKONI DINAMIKE

DIFERENCIJALNE JEDNAINE KRETANJA MATERIJALNE TAKE

Dekartov koordinatni sistem

Polarno cilindrini koordinatni sistem

Prirodni koordinatni sistem

PRAVOLINIJSKO KRETANJE TAKE

Sila je konstantna. Vertikalni hitac i slobodni pad

Sila zavisi samo od vremena

Sila zavisi od rastojanja

Sila zavisi samo od brzine


Dinamika je deo teorijske mehanike u kome se izuavaju zakoni kretanja materijalnih tela pod dejstvom sila.

ZADATAK I ISTORIJSKI RAZVOJ DINAMIKE

Dinamika:

a) dinamika take,b) dinamika sistema materijalnih taaka,c) dinamika krutog tela


Osnovne zakone dinamike postavili su:

Sir Isaac Newton (1643-1727) potpuno formulisao osnovne zakone

dinamike klasina mehanika naziva se i

Njutnovom mehanikom

Galileo Galilei (1564-1642) uveo pojam brzine i ubrzanja prvi formulisao zakon inercije zakon slobodnog pada tela


Nicolaus Copernicus(1473-1543)Daniel Bernoulli

(1700-1782)

Jonhannes Kepler(1571-1630)


Karl Friedrich Gauss(1777-1855)

Leonhard Euler(1707-1783)

Joseph Louis Lagrange(1736-1813)


Prvi zakon - zakon inercijeTelo ostaje u stanju mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja sve dok pod dejstvom sila ne promeni to stanje.

Trei zakon zakon o jednakosti akcije i reakcijeDejstvo akcije jednako je protivdejstvu (reakciji) ili dva tela deluju jedno na drugo silama koje su istog intenziteta, istih pravaca a suprotnih smerova.


Drugi zakon osnovna jednaina dinamikePromena kretanja proporcionalna je sili koja dejstvuje i vri se u pravcu dejstva sile.

amttvvmF

vrrr ==

0

0lim

amFvr =

2112 FFrr =


Prvi zakon - zakon inercije

Telo ostaje u stanju mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja sve dok pod dejstvom sila ne promeni to stanje.



Drugi zakon osnovna jednaina dinamike

Promena kretanja proporcionalna je sili koja dejstvuje i vri se u pravcu dejstva sile.

amttvvmF

vrrr ==

0

0lim

amFvr =


Veliina koja zavisi od koliine materije jednog tela i koja odreuje njegovu inertnost zove se masa tela.

Inertnost je svojstvo materijalnih tela da bre ili sporije menjaju brzinu svog kretanja pod dejstvom datih sila.

Materijalnom takom naziva se materijalno telo kod koga se pri prouavanju posmatranog kretanja njegove dimenzije mogu zanemariti.


spoljna sila


Masa je pozitivna skalarna veliina koja je karakteristika tela

Masa i teina su dva razliita pojma. Teina je sila kojom Zemlja privlai telo, a masa je konstanta, karakteristika tela, koja postoji i u besteinskom stanju (kada je teina jednaka nuli).


281.9 smg =

gGm =

gmGvv =


Masa i teina su dva razliita pojma. Teina je sila kojom Zemlja privlai telo, a masa je konstanta, karakteristika tela, koja postoji i u besteinskom stanju (kada je teina jednaka nuli).


a=0, v=const slobodan pad


Ubrzanje estice je:

a) direktno proporcionalno rezultanti sila koja deluju na esticu,b) istog smera kao rezultanta sila koja deluju na esticu,c) obrnuto proporcionalno masi estice.

FR

m

a

m

estica ima svojstva:- geometrijska svojstva take- masu m.



Mm

1F F2

F3

1F

F2

F3

FR

FR

m

a

m

RFamrv =

321 FFFFRrrrr ++=

=

= ni

iR FF1

rr

= iFam rv RFmarv 1=

Aksioma o slaganju sila (zakon o nezavisnosti dejstva sila):Ako na telo (taku) dejstvuje sistem sila, onda se primenom aksiome o paralelogramu dolazi do rezultante sistema, koja je predstavljena zavrnom stranom poligona sila.



Trei zakon zakon o jednakosti akcije i reakcije

Dejstvo akcije jednako je protivdejstvu (reakciji) ili dva tela deluju jedno na drugo silama koje su istog intenziteta, istih pravaca a suprotnih smerova.

2112 FFrr =


SI Meunarodni sistem jedinica (Systeme Internationale d'Unites)masa m (kg) kilogram,duina L (m) metar,vreme t (s) sekund,brzina v (m/s) metar u sekundi,Ubrzanje a (m/s2) metar u sekundi na kvadrat,sila F (N) Njutn / Newton 2s

mkgN =

11 Poznat je zakon kretanja materijalne take, a treba odrediti silu koja deluje na materijalnu taku (prvi zadatak dinamike).

22 Poznate su sile koje deluju na materijalnu taku, a treba odrediti zakon kretanja materijalne take (drugi ili osnovni zadatak dinamike).

Osnovni zadaci dinamike take


Diferencijalne jednaine kretanja materijalne take

Dekartov koordinatni sistem

ktzjtyitxtrrvrr

)()()()( ++=kZjYiXFrvrr ++=

ktzjtyitxtvr&v&r&r )()()()( ++=

ktzjtyitxtvtar&&v&&r&&&r )()()()()( ++==

ZzmYymXxm

===

&&&&&&

Diferencijalne jednaine kretanja materijalne take u odnosu na Dekartov koordinatni sistem:

),,,,,,(),,,,,,(),,,,,,(

tzyxzyxZZtzyxzyxYYtzyxzyxXX

&&&&&&&&&

===

O

r(t)

x

y

z

ji

k

y(t)x(t)

z(t)

Z

X

YM

F

m

Frmr&&r =

Poto je:

= iFrm r&&r

===

i

i

i

ZzmYymXxm

&&&&&&


Diferencijalne jednaine kretanja materijalne take u odnosu napolarno cilindrini koordinatni sistem

Komponente ubrzanja:

radijalno

cirkularno

.)(,)(,)(

tzztt

===

2 &&& =a

( ) &&&&&&&&& +=+== 21211 22dtdaczaz &&=

kFcFFF zcrrrrr ++= 00

z

c

r

FzmFm

Fm

==+

=

&&&&&&

&&&)2(

)( 2

( )

( )( )

==+

=

zi

ci

ri

FzmFm

Fm

&&&&&&

&&&)2(

)( 2

aksijalno

Or

x

z

z

Mm

c0

r0

c0

r0

k

k

FC

Fr

FZ


Diferencijalne jednaine kretanja materijalne take u odnosuna prirodni koordinatni sistem

U zavisnosti od lune koordinate s:

s

Mm

T

FT

MO

0

N

FN

FB

aT

v

aN

B

a =0N

Famrr =

)(tss =sv &=

0

22

===

==

B

kkN

T

aRs

Rva

sdtdva

&

&&

0

2

==

=

B

Nk

T

F

FRsm

Fsm&&& ( )

( )0

2

==

=

B

Nik

Ti

F

FRsm

Fsm&&&

Frmr&&r =

BB

NN

TT

FamFamFam

==={


Pravolinijsko kretanje take

Dovoljni uslovi:

Neka se taka kree pravolinijski, du ose x.

Potreban uslov:Rezultanta sila mora imati konstantan pravac koji se poklapa sa linijom putanje take.

Pretpostavimo da su jednaine zadovoljene tokom perioda kretanja take od intervala t0 do vremena t1.

Tada sledi da su:

Xxm =&&0,0 == ZY

0,0 == zy &&&&00, zconstzyconsty &&&& ====

Da bi kretanje bilo du ose x, mora biti ispunjeno:0,0 == zy &&

Uslovi u konanom obliku: iFF RRrr = ivv rr 00 =


Putanja take moe biti pravolinijska ili krivolinijska

Integracija diferencijalnih jednaina kretanja, u optem sluaju kada sila zavisi od poloaja take, njene brzine i vremena je matematiki sloen zadatak.

Xxm =&&

Slede primeri karakteristinih sluajeva pravolinijskog kretanja take.


Pravolinijsko kretanje take pod dejstvom konstantne sile

constFFxm == ,&&

mFx =&&

dtmFdtxxd

dtxdx === &&&&&&

1CdtmFxd += &

1CtmFx +=&

0,0 vxt == &0110 ,0 vCCm

Fv =+= 0vtmFx +=&

M Fv00M

x

xx0

O

Zakon promene brzine take:Poetni uslov za brzinu:


Odreivanje zakona kretanja materijalne take:

Pravolinijsko kretanje take pod dejstvom konstantne sile

M Fv00M

x

xx0

O

dtvdttmFdx 0+=

20 cdtvdttmFdx ++=

20

2

2Ctvt

mFx ++=

0,0 xxt ==02200 ,00 xCCvm

Fx =++= 002

2xtvt

mFx ++=

0vtmFx +=&

Poto je:

dtdxx =&

Poetni uslov: Zakon kretanja:


Slobodni pad u bezvazdunom prostoru

Poetni uslovi su:

M

G

0M

m

y

h

====

00

00vy

yt &

gygmym

==

&&&&

Zakon promene brzine:

1Cgty +=&0,0,0 10 ==== Cvyt &

gty =&

Zakon kretanja:

22

21 Cgty +=

0,0,0 2 === Cyt2

21 gty =

Smatra se da je polje Zemljine tee homogeno, tj. sila tee je konstantna ne menja se sa vremenom.

Otpor vazduha se zanemaruje.

Diferencijalna jednaina kretanja:


Vreme padanja (T) take sa visine (h):

Neka je: t=T, y=h, tada je:

Brzina kojom taka pada vez poetne brzine na Zemlju:

ghghggTyTt Tt 2

2 ==== =&ghy 2=&

ghTgTh 2

21 2 ==

Ako bi taka u poloaju M0 imala poetnu brzinu v0 vertikalno nadole, tada je:

0vgty +=&tvgty 0

2

21 +=

Slobodni pad u bezvazdunom prostoru

M

G

0M

m

y

h


Vertikalan hitac u bezvazdunom prostoru

Poetni uslovi su:

Projektovanjem na osu y:

====

00

00vy

yt &

gmamrr =

M

0M

m

y

hG

v0

1M

gy =&&1Cgty +=&

1010 0 CvCgv =+=gtvvgty +=+= 00&

212

21 CtCgty ++=

0000 221 =++= CCCg

221 2

002 gttvtvgty =+=

Ako je taki u poetnom poloaju saoptena poetna brzina vertikalno navie, tada je takvo kretanje vertikalni hitac.



Najvea visina (h) do koje taka dolazi:

Vreme (t1) za koje se postie najvea visina

M

0M

m

y

hG

v0

1M

Poetna brzina take da bi dostigla visinu h:

10 tty ==&

gvtgtv 0110 0 ==

2

21

101gttvhy tt ===

2

200

0 2 gvg

gvvh =

gvh

20

21=

ghv 20 =


Pravolinijsko kretanje take pod dejstvom sile koja zavisi samo od vremena

)(tFF =)(tFxm =&&

dtxdx&&& =

+= 1)(1 CdttFmx&

11 )(1 Ctm

x +=&= dttFt )()(1

211 )(1 CtCdttm

x ++= = dttt )()( 12212 )(

1 CtCtm

x ++=

M F0M

x

xm


Zakon kretanja:


Pravolinijsko kretanje take pod dejstvom sile koja zavisi samo od rastojanja

)(xFF =)(xFxm =&&

1)(1 CdxxFm

xdx += &&11

2 )(121 Cxf

mx +=&

= )()( 1 xfdxxF

'11 )(

2 Cxfm

x +=&

'11 )(

2 Cxfmdt

dx +=

2'11 )(

2Cdt

Cxfm

dx +=+

2

'11 )(

2Ct

Cxfm

dx +=+

M F0M

x

xm

Ako se uvede transformacija:


Zakon kretanja:

dxxdx

dtdx

dxxd

dtxdx

&&&&&& ===


Padanje tela sa velike visine u bezvazdunom prostoru

2rmMfF =

m masa tela,M masa Zemlje,f univerzalna gravitaciona

konstanta.6.67 1011 m3 / s2 kg

Privlana sila F (Njutnov zakon opte gravitacije):

Sva tela privlae jedna druga silom koja je upravno proporcionalna proizvodu mase tih tela a obrnuto proporcionalna kvadratu rastojanja meu njima.

m M


Padanje tela sa velike visine u bezvazdunom prostoru

2rmMfF =

mgF =

2

2

rmgRF =

2

2

)( yhRmgRF +=

2

2

)( yhRmgRym +=&&

M

0M

m

y

h

Fr

R

Zemlja

m masa tela,M masa Zemlje,f univerzalna gravitaciona

konstanta.

Privlana sila F (Njutnov zakon opte gravitacije):

Na povrini Zemlje, tj. za r = R:

Ako eliminiemo veliine f i M, sila F je:

2RmMfmg = 2gRfM =


a slike je: yhRr +=


122

)(C

yhRdygRydy ++= && ydy

ydy &&&& =

1222

21 C

udugRy += &

122 1

21 C

yhRgRy ++=&

===

00

0yy

t & hRgRC +=

2

1

hRgR

yhRgRy ++=

222 1

21 &

++= hRyhRgRy112 2&

))(()(2 2

hRyhRyhRhRgRy ++

++=&

yhRy

hRgRy ++=

22&

yhRy

hRgRy ++=

2&

2

2

)( yhRmgRym +=&&

Integracijom se dobija:

Smena:dydy

yhRu=

+={


Brzina kojom taka padne na zemlju (v1):

hy =

hhRh

hRgRyv hy ++== =

21 &

Rh

hRgRv +=

21

Rh

hRgRv +=

2

12

hRRghv += 21

ghv 21 =Rh


Zakon kretanja

Smena:

yhRy

hRgRy ++=

2&

dydyy =&22 CdthR

gRy

yhRy

dy ++=+

22 Ct

hRgRy

yhRy

dy ++=+

dhRdyhRy

cossin)(2cos)( 2

+=+=

Integracijom jednaine dobija se:


2

2

2

2arccos)()(arccos)()(

2sin)(21)(cossin)(2

cos)()cos1)((

CthR

gRhR

yhRyhRyhR

yhRyhRy

hRhRdhRhR

hR

++=++++++=

+++=+++

2)(0,0 2hRCyt +===

+++++=

hRyhRyhRy

gRhRt arccos

2)()(

2 2

hRy

hRy

+=+ arcsinarccos2

++++

+=hR

yhRyhRygR

hRt arcsin)()(2 2

Zakon kretanja u implicitnom obliku:

Poetni uslovi:


Pravolinijsko kretanje take pod dejstvom sile koja zavisi samo od brzine

)(vFF =)(xFxm &&& =

dtxdx&&& =

)(xFdtxdm && =

+= 1)( CdtxFxdm &&

11 )( Ctxfm +=& = )()(1 xFxdxf &&&

)( 12 Ctfx +=&

212 )( CdtCtfdx ++= 213 )( CCtfx ++=

Integracijom prethodne jednaine:

gde je:

Reavanjem po brzini dobija se zakon promene brzine :x&

Ponovnom integracijom dobija se zakon kretanja


Slobodni pad tela u vazduhu

G

0M

m

yFw

wFGamrrr +=

wFGym =&&2yAcmgym &&& =

2ym

Acgy &&& =

= 21 ymg

Acgy &&&

=

2

1kygy&&&

Acmgk =

2

+=

12

1Cdtg

kyyd&&



k konstanta koja ima dimenziju brzine

Integracijom

Fw sila otpora,c konstanta zavisna od

oblika tela gustina vazduha,A povrina poprenog

preseka tela normalnog na pravac kretanja.


2

1

1

11

=

++

ky

ky

B

ky

A&&& 2

1== BA

1112

1 Cgt

ky

yd

ky

yd +=

++

&&

&&

1ln2Cgt

ykykk +=

+&&

0,0 == yt &

1000ln

2Cg

kkk +=+ 01 =C

gtykykk =

+&&

ln2

kgt

ykyk 2ln =

+&&

+=

12

1Cdtg

kyyd&&

Poetni uslovi:

kgt

eykyk 2=

+&&

kgt

eykyk2

)( && =+

=

+ 11

22kgt

kgt

ekeyy &&

1

12

2

+=

kgt

kgt

e

eky&

=+=

kgtThk

ee

eekykgt

kgt

kgt

kgt

&


2Cee

eekdykgt

kgt

kgt

kgt

++=

zee kgt

kgt

=+

dzgkdtee k

gtkgt

=

+

+= 22

Cz

dzgky

2

2

ln Ceegky k

gtkgt

+

+=

2ln0,02

2 gkCyt ===

=kgtCh

gky ln

2

=+=

kgtkTh

ee

eekykgt

kgt

kgt

kgt

&Zakon kretanja:Integraljenjem jednaine sledi:

Smena:

Poetni uslovi:

+=

2ln

2 kgt

kgt

eegky


Vertikalni hitac u vazduhu

0M

m

y

h G

v0

1M

Fw

wFGamrrr +=

wFmgym =&&2yAcmgym &&& =

2ym

Acgy &&& =

+= 21 ymg

Acgy &&&

+=

2

1kygy&&&

Acmgk =

2

+=

+12

1Cdtg

kyyd&&



k konstanta koja ima dimenziju brzine

Integracijom


===kvarctgkCyt 010,0 &

gtkvarctg

kyarctgk =

0&

=kyarctg

kvarctg

gkt

&0

===kvarctg

gktytt 011 0, &

Nastaviti integraciju, tada poto je

+

=1

arctgarctgarctg

tada:

20

0

1k

yvky

kv

artgkgt

&

&

+

=

yvkyvk

kgttg &

&0

20

+=

1Cgtkyarctgk +=

&

+=

+12

1Cdtg

kyyd&&

Poetni uslovi:

Vreme penjanja tela t1:

Da bi se dobio zakon kretanja, iz prethodnog izraza treba izrazitiu funkciji vremena.

y&


+

=

+

=

kgt

kgt

kv

kgtk

kgtv

kgttg

kv

kgttgkv

ycossin

sincos

1 0

0

0

0&

dt

kgt

kgt

kv

kgt

kg

kgt

kvg

gkdy

+

=

cossin

sincos

0

20

2

20

2cossinln C

kgt

kgt

kv

gky +

+

=

+

=kgt

kgt

kv

gky cossinln 0

2

00,0 2 === CytPoetni uslovi:

Visina penjanja:

hytt

tyy

tt ===

= 1

1

)(

+= 2

20

21ln

2 kv

gkh


Ukupno vreme kretanja

Nakon dostizanja najvieg poloaja M1, taka se kree nanie

Kretanja navie i nanie se moraju prouiti posebno, tako da je ukupno vreme kretanja:

21 ttt += 1t2t

- vertikalni hitac- slobodan pad

=kgtCh

gky ln

2

+=

2ln

2 kgt

kgt

eegky

Vreme padanja t2 se dobija ako se umesto y u jednaini

zameni h iz jednaine

+= 2

20

21ln

2 kv

gkh

++= 2

200

2 1ln kv

kv

gkt


Brzina v2 kojom taka padne u poetni poloaj

Vreme t2 iz jednaine

zameniti u jednainu

++= 2

200

2 1ln kv

kv

gkt

=+=

kgtThk

ee

eekykgt

kgt

kgt

kgt

&

2

20

02

1kv

vv+

=

Usled dejstva sile otpora brzina take pri padu na Zemlju je manja od poetne brzine take.

02 vv

1 dinamika materijalne tacke

Documents