1

Ecoulements Turbulents et Applications

I. Introduction

II. Qu'est ce que la turbulence ?

Manifestation de la turbulence - Aspects phénoménologiques.

Origine de la turbulence - Instabilités hydrodynamiques - Transition à la turbulence

III. Modélisation de la turbulence

Les différentes approches de calcul de la turbulence

L'approche statistique et les RANS

Le problème de la fermeture des équations

Le modèle de longueur de mélange – Le modèle k-IV. Exemples & Applications

Ecoulement turbulent développé en conduite

Couche limite turbulente incompressible (TD)

Ecoulements en auto-similitude: Sillages & Jets (TD)

Fluent et les écoulements turbulents

V. Conclusion

1

• Notre expérience personnelle: torrents, fumée, nuages, etc: qque chose d’irrégulier?• Dans le dictionnaire: agitation, perturbation, ….• 1895: Osborne Reynolds : « sinuous motion »• 1937: Taylor and Von Karman: « Turbulence is an irregular motion which in general

makes its appearance in fluids, gaseous or liquid, when they flow past solid surfaces or even when neighboring streams of the same fluid flow past or over one another. »

I. 1 Definition

Protubérances solairesNuages Ecoulement autour d’une soupape

I. Introduction - Généralités

1

I.2 Régime laminaire - Régime turbulent (i)

Transition mise en évidence par O. REYNOLDS en 1883 par l’expérience suivante dite expérience de Reynolds.

Lorsque l ’on augmente progressivement la charge du réservoir le filet coloré se met d’abord à osciller: l ’écoulement est devenu instationnaire mais reste parfaitement organisé. Pour une charge plus importante

Tube rond Eau

KOH} plaminaire

Eau

{pturbulent

l ’écoulement présente un mouvement irrégulier: l ’écoulement est devenu turbulent

O.Reynolds défini un nombre adimensionnel, Re, qui lorsqu’il atteint une valeur critique ReC traduit le passage de l ’écoulement laminaire à un écoulement turbulent.

D: diamètre du tube (m)U: vitesse du fluide (m.s-1): viscosité cinématique (m2.s-1)

Si la charge dans le réservoir est peu importante le filet coloré présente un aspect continu, régulier, sur une très longue distance. L’écoulement est dit laminaire. La diffusion moléculaire est le seul mécanisme qui a tendance à élargir l ’extension radiale du filet.

Pour un tube rond ReC2000. ReC dépend de nombreux paramètres (nature des parois, etc)

1

I.2 Caractéristiques du régime turbulent (i)

• La turbulence n ’est pas une propriété du fluide mais bien de l ’écoulement.

• Il n ’existe pas de définition de la turbulence - Il n ’existe pas de grandeur physique capable de la décrire.

• Le nombre de Reynolds de l ’écoulement est toujours grand.

• La turbulence est un phénomène dissipatif: le travail de déformation des tensions visqueuses entraîne une dissipation d ’énergie cinétique en chaleur et les vitesses de déformation, liées au rotationnel, sont considérablement augmentées en écoulement turbulent.

• Le champ de vitesse u(x,t) est tridimensionnel, rotationnel et instationnaire.

• L’écoulement est plus diffusif: la turbulence intensifie les transferts d ’énergie, de chaleur, de masse.

1

• Les écoulements turbulents ne sont pas prédictibles en raison de la sensibilité aux conditions initiales (S.C.I.) des équations de Navier-Stokes. Il est impossible de connaître l’évolution exacte de la vitesse en fonction du temps quel que soit le soin apporté à la définition des conditions initiales du calcul.

• Les variations spatiales et temporelles des vitesses sont telles que l’on peut chercher à les représenter par des variables aléatoires.

• La turbulence est un phénomène continu gouverné par les équations de la mécanique des fluides. Les plus petites échelles de la turbulence sont beaucoup plus importantes que le libre parcours moyen des molécules.

I.2 Caractéristiques du régime turbulent (ii)

1

II. Origine de la turbulence - Stabilité hydrodynamique

II.1 Origine de la turbulence

L’origine de la turbulence réside dans le manque de stabilité de l’écoulement laminaire vis à vis de petites perturbations. Tant que les paramètres caractéristiques de l ’écoulement (tels que le nombre de Reynolds ou le nombre de Froude par exemple) sont petits le système:

Equation de continuité

+ Equations de Navier-Stokes

+ Conditions aux limites

admet une solution régulière (exemple: écoulement de Poiseuille ou de Couette) stable aux perturbations. Lorsque la valeur de ces paramètres dépasse une valeur critique ces perturbations sont amplifiées et l ’on observe des changements dans la configuration de l ’écoulement: c’est la bifurcation.

Un écoulement instable n ’est pas forcément turbulent. Les bifurcations peuvent générer des écoulements instationnaires périodiques avec une ou plusieurs périodes (exemple écoulement entre 2 cylindres coaxiaux).

Si u(x,t) est la solution régulière d ’un écoulement, il existe toujours des petites perturbations u ’(x,t).

Une des méthodes d’étude de stabilité hydrodynamique consiste à étudier l’évolution de ces perturbations au cours du temps et de l’espace: c’est la méthode des perturbations.

1

Kelvin-Helmotz (i)II. 2 Quelques instabilités temporelles ou absolues

Kelvin-Helmotz à Denver (ii)

Taylor-Couette

1

Rayleigh-Taylor:

Fragmentation d’une colonne liquide

(a) (b)

(c)

Jet d’eau

1

II.3 Stabilité d ’un écoulement parallèle - Equation d’Orr-Sommerfeld

Un exemple de stabilité linéaire d’un écoulement laminaire sur une plaque plane

Les phénomènes de transition dans les couches limites sont parmis les plus étudiés (importance en aérodynamique). Voir notamment Schlichting 1968, Hinze 1975 & Arnal 1984. Le mieux connu est celui de la transition dans une couche limite laminaire de plaque plane.

1

II.3 Stabilité d ’un écoulement parallèle - Equation d’Orr-Sommerfeld

Un exemple de stabilité linéaire d’un écoulement laminaire

Hypothèses: écoulement 2D sur une plaque plane, quasi-parallèle, fluide newtonien, incompressible,

( )

0

0

u y

v

w

u

On superpose à l ’écoulement une petite perturbation 2D, infiniment petite du 1er ordre) telle que:

• avec u ’,v ’ <<u

•

y

x

uu'

v'

Pour le champ non perturbé:

0 0

10 (1)

10

pu

x

py

Pour le champ perturbé:

' '0

'

' '( ') 1 ( ')' ' ( ') (2)

' ' ' 1 ( ')' ' '

u vx y

u u u uu u p pu u v u u

t x y x

v v v p pu u v v

t x y y

1

En soustrayant (1) et (2):

On linéarise les équations en négligeant tous les termes au second ordre:' '

0 (4a)'

' ' 1 '' ' (4b)

' ' 1 '' (4c)

u v

x y

u u u pu v u

t x y x

v v pu v

t x y

On élimine la pression: (4 ) (4 ) b cy x

Soit la fonction courant du champ perturbé. On suppose que la perturbation représentée par est de la forme:

Où: est l’amplitude complexe, = 2/T la pulsation de la perturbation, k son nombre d’onde (k complexe) et =2/k la longueur d’onde de la perturbation.

II.3 Stabilité d ’un écoulement parallèle - Equation d’Orr-Sommerfeld (ii)

1

Les perturbations de vitesse sont alors données par la partie réelle de:

En remplaçant dans (5) u ’ et v ’ par leur expression en fonction de on obtient l ’équation de stabilité linéaire (aux petites perturbations) des écoulements quasi-parallèles ou « équation d ’Orr-Sommerfeld »:

Avec pour conditions aux limites: u’, v’ = 0 en y = 0 et u’ 0 et v’ 0 quand y 0 c ’est à dire:

Dans l ’équation (8a) u est connu et l’on recherche la solution (y). Une solution triviale est =0, sauf pour des combinaisons particulières de , et k. C’est un problème aux valeurs propres résolu par un grand nombre d ’auteurs pour différentes formes de profils u(y) (Blasius, Falkner-Skan, etc).

Résultat essentiel de cette théorie : existence d’un Reynolds critique, Rec , en dessous duquel toute perturbation est amortie, d’où l ’on déduit que pour des perturbations infinitésimales la transition ne peut se produire que pour des nombres de Reynolds importants.

Plaque plane: transition à la turbulence pour: xc compté à partir du bord d ’attaque

II.3 Stabilité d ’un écoulement parallèle - Equation d’Orr-Sommerfeld (iii)

1

On peut décomposer le nombre d ’onde k en une partie réelle kr qui représente le nombre d ’onde de la perturbation (kr =2/) et une partie imaginaire ki qui est un facteur d ’amplification ou d ’amortissement:

Pour une fréquence de perturbation donnée, kr, il correspond une valeur du facteur d ’amplification ki

suivant la valeur du nombre de Reynolds, Re.

La forme du profil de vitesse influe grandement sur la courbe de stabilité de l ’écoulement. Un profil avec un point d ’inflexion (couche limite avec gradient de pression positif) est instable pour une gamme de Reynolds beaucoup plus importante que dans le cas où le profil est sans point d’inflexion (voir TD 1).

II.3 Stabilité d ’un écoulement parallèle - Equation d’Orr-Sommerfeld (iv)

1

III. Description statistique de la turbulence

III.0 Pourquoi une description statistique de la turbulence

Exemple de signaux fil chaud recueillis à deux instants différents dans un même écoulement turbulent:

32.768

0

113.6502

32.768U u t dt

32.768

0

113.6507

32.768U u t dt

232.768

'2

0

10.705

32.768u u t U dt

232.768

'2

0

10.702

32.768u u t U dt

1

La turbulence a pour principal effet de rendre l ’évolution des grandeurs permettant de décrire un écoulement aléatoires. La statistique apparaît donc comme un outil majeur pour étudier ces grandeurs.

Si l ’on considère une quantité turbulente scalaire ou vectorielle u (x,t) on peut définir trois types différents de moyenne de cette quantité.

III. Description statistique de la turbulence

III.1 Grandeurs moyennes et fluctuations turbulentes (i)

La moyenne d ’ensemble ou moyenne stochastique sur N réalisations

(mesures) de la quantité turbulente u(x,t):

Cette moyenne est utile lorsque, par exemple, l’on cherche à définir la moyenne d ’un écoulement instationnaire (démarrage de la soufflerie).

On définit également:pour une v.a. continue:

• Fonction de répartition de la v.a. u:

• Densité de probabilité de la v.a. u:

Moyenne statistique

La moyenne d ’ensemble ou moyenne stochastique pour une v.a. continue est est définie par:

1

Lorsque l ’écoulement est homogène (densité de probabilité

indépendante de la position) on définit une moyenne spatiale

par:

Lorsque la v.a. est stationnaire (densité de probabilité indépendante du temps) on définit une moyenne temporelle par:

Hypothèse d ’ergodicité valable pour les écoulements stationnaires et homogènes:

Moyenne temporelle

Moyenne spatiale

En général la turbulence n’est pas homogène mais on la considère statistiquement stationnaire,

on utilisera donc la moyenne temporelle que l ’on notera:

III.1 Grandeurs moyennes et fluctuations turbulentes (ii)

1

Le moment centré d ’ordre 2, , est la variance de la v.a. u: u2. L ’écart type de u est u

.

Grandeur fluctuante ou fluctuation

On définit la fluctuation comme l ’écart de la valeur instantanée à la valeur moyenne:

Par définition de la moyenne temporelle: u ’ est une v.a. centrée.

Moment statistique d’ordre n

Le moment centré d ’ordre n d ’une v.a. est par définition:

Propriétés de l ’opérateur moyenne

III.2 Coefficients de corrélation (i)

Soient u et v deux variables aléatoires. On définit:

la moyenne stochastique du produit u.v: Les v.a. u et v ne sont pas forcément prises

au même point ni au même instant. Il s ’agit d ’une corrélation spatio-temporelle.

Si elles sont prises au même point, elle est temporelle et si, de plus, u=v, on parle d ’autocorrélation.

(si n ’est pas une v.a.)

III.1 Grandeurs moyennes et fluctuations turbulentes (iii)

1

Pour deux v.a. continues: p(u,v) est la densité de probabilité du

couple de v.a. (u,v). Si u et v sont deux v.a. indépendantes on a:

Le coefficient de corrélation de deux variables u et v s ’écrit:

Si u et v sont indépendantes uv=0

Pour que |uv|=1 il faut et il suffit qu ’il existe entre les deux variables une liaison fonctionnelle linéaire.

En turbulence stationnaire on définit: c’est le tenseur des corrélations

également appelé tenseur de Reynolds.

III.3 Echelle intégrale de la turbulence (i)

Autocorrélation informations sur les échelles de temps

Fonction d ’autocorrélation (autocorrélation normée)

(théorème de Schwartz: ()1)

III.2 Coefficients de corrélation (ii)

1

• échelle intégrale de la turbulence: (temps de mémoire du signal)

• micro-échelle de la turbulence t : intersection de la parabole osculatrice à () avec l ’axe (O )0

( ) (20)d

III.3 Echelle intégrale de la turbulence (ii)

1

IV. Equations générales de la turbulence en fluides incompressibles

IV.1 Rappels

Description Lagrangienne du mouvement:soit Mo(xo,yo,zo) la position d ’une particule à l ’instant to et soit M(x,y,z) sa position à l ’instant t. Le mouvement de la particule est défini par trois fonctions f, g et h telles que:

xo,yo et zo sont appelées coordonnées de Lagrange

Représentation Eulérienne: on ne suit plus la particule au cours de son mouvement

mais on cherche à suivre l ’évolution au cours du temps d ’une quantité donnée

(scalaire ou vectorielle) en un point de l ’écoulement. La connaissance de la variable sur le domaine entier est le champ de la variable :

Trajectoires: courbes suivies par les particules au cours du temps:

Lagrange: équations des trajectoires données directement par f, g et h

Euler: on écrit que: si l ’on connaît les conditions initiales càd la position de la particule à l ’instant to ce système différentiel permet de retrouver f,g et h

1

Lignes de courant: courbe admettant pour tangente en chacun de ces points le vecteur vitesse de l ’écoulement.

Si s est l ’abscisse curviligne d ’une ligne de courant on doit avoir:

Dérivée particulaire d ’une quantité scalaire: Soit (x,y,z,t) une quantité scalaire transportée par l ’écoulement. Or si est une quantité attachée à la particule x, y, z et t ne sont

pas des variables indépendantes car elles sont reliées par (4)

d ’où: Ou encore:

Dérivée particulaire d ’une quantité vectorielle: (8)d

divdt t

u uu v

Equation de conservation d ’une quantité scalaire massique: Soit (x,y,z,t) une quantité scalaire par unité de masse transportée par l ’écoulement. Soit un domaine fluide de volume V entourée de la surface S. La variation de dans au cours du temps est donnée par:

Soit:

Application: équation de conservation de la masse:

(x,y,z,t)=1 Principe de Lavoisier :

IV.1 Rappels (ii)

1

est le tenseur des contraintes extérieures défini par:

où et sont respectivement les 1er et 2ième coefficients de Lamé et le tenseur des taux de déformation.

Dans le cas d ’un fluide incompressible on obtient:

Ceci étant vérifié qque soit V on peut écrire: ou encore:

Equation de conservation d ’une quantité vectorielle massique: Soit u(x,y,z,t) une quantité vectorielle par unité de masse transportée par l ’écoulement. Soit un domaine fluide de volume V entourée de la surface S. La variation de u dans au cours du temps est donnée par:

Par un raisonnement identique à celui établi pour une quantité scalaire on montre que:

En vertu du principe fondamental de la dynamique on peut écrire:

Où f et sont les actions extérieures s ’exerçant sur avec:

Equation de conservation de la quantité de mouvement

IV.1 Rappels (iii)

1

IV.2 Equations moyennes (i)

On considère une turbulence stationnaire et un fluide incompressible. Dans ces conditions on peut envisager de décomposer la vitesse instantanée u en une partie moyenne et une partie fluctuante u ’. Le principe d ’obtention des équations du mouvement moyen est de prendre la moyenne des équations instantanées après avoir décomposé cette même vitesse instantanée en partie moyenne et partie fluctuante.

Equation de conservation de la masse

Equation de conservation de la quantité de mouvement

Les champs moyen et fluctuant restent à divergence nulle.

1 ji i ij i

j i j j i

uu u upu f

t x x x x x

Pour le terme convectif: ( ' ) ( ' )( ' )

' ' '' '

' '

i i i i i ij j j

j j

i i i i i ij j j j

j j j j

i jij

j j

u u u u u uu u u

t x t x

u u u u u uu u u u

t t x x x x

u uuu

x x

Pour le terme diffusif:

1

Soit:

D ’où l ’équation de conservation de quantité de mouvement du mouvement moyen:

1' ' (17)ji i

j i j i

j i j j i

uu upu u u f

x x x x x

Equation de conservation de l ’énergie cinétique du mouvement moyen:

Elle s ’obtient en multipliant l ’équation (17) par

1' 'ji i

i j i i i j i i

j i j j i

uu upu u u u u u u f

x x x x x

2

2 2 1' ' ' '

2j ji i i i

j i ij i i j i i i jj j j i j i j

u uu u u uu u p u u u u u f u u

x x x x x x x

2

1' ' ' ' (18)

2j ji i i

j i ij i i j i i i jj j j i j i j

u uu u uKu u p u u u u u f u u

x x x x x x x

Variation

de K

P des forces extérieures sur la

surface du domaine

P des efforts intérieurs

associés à la turbulence

Dissipation visqueuse:

P des forces intérieures de viscosité

IV.2 Equations moyennes (ii)

2i iu u

K

1

Equation de conservation du mouvement fluctuant:

IV.3 Equations du mouvement fluctuant (i)

S ’obtient par:

Equation de conservation de l ’Energie cinétique du mouvement fluctuant:

(19) ' :iu2

' ' ' ' '' '1' ' ' ' ' ' ' (20)

2 2j i j i ji i i

j j ij i i i i jj j j i j i j

u u u u uu u uku p u u u f u u

x x x x x x x

Variation de kPuissance des efforts extérieurs

Dissipation visqueuse

par le mvt. turbulent

Production de k par K

On appelle P le taux de production d ’énergie cinétique turbulente par le mouvement moyen. Généralement P >0.

On appelle le taux de dissipation visqueuse du mouvement turbulent

K kP

Dissipation visqueuse

P des efforts extérieurs de pression de viscosité

' '

2i iu u

k

1

IV.4 Comparaison des taux de dissipation du mouvement moyen et du mouvement fluctuant - Echelles de la turbulence (i)

<<

En pratique on néglige très souvent la dissipation visqueuse du mouvement moyen car elle est très inférieure à celle du mouvement turbulent.

La dissipation visqueuse n ’est efficace qu’aux très petites échelles de la turbulence, là où les forces de

viscosité sont prépondérantes devant les forces d ’inertie il est naturel de penser que la taille de ces échelles ne dépend que de et .

Dimension de = Dimension de :

On forme 3 échelles appelées micro-échelles de Kolmogorov:

une échelle de longueur une échelle de temps une échelle de vitesse

Le nombre de Reynolds formé à l ’aide de ces échelles est bien tel que la viscosité puisse pleinement jouer son

rôle:

1

Petites échelles et grosses échelles ne sont pas indépendantes puisque l ’énergie transférée aux petites structures turbulentes provient des grosses structures turbulentes. On peut donc supposer que le taux de dissipation est sensiblement égal au flux d ’énergie transférée par les grosses structures. A l ’échelle de ces grandes structures Re est très grand ce qui montre que la viscosité n ’intervient pas dans ce transfert.

L ’analyse dimensionnelle donne alors: où u et l sont des échelles de vitesse et de longueur

caractéristiques des grosses structures turbulentes de l ’écoulement.

En remplaçant (24) dans (23) on obtient:

avec et =l/u une échelle de temps des grandes structures.

Plus le nombre de Reynolds de l ’écoulement est important plus les rapports d ’échelles sont grands.

)25(2

1

4

1

4

3 ReRe

uRe

IV.4 Comparaison des taux de dissipation du mouvement moyen et du mouvement fluctuant - Echelles de la turbulence (ii)

1

V. Fermeture - Modélisation des équations de Reynolds

V.1 Problème de la fermeture - But des modèles de turbulence

Problème moyenProblème instantané

et 4 inconnues u,v,w et p Et 10 inconnues:

Exemple: problème 3D incompressible

OK Problème de fermeture: Il manque 6 équations !!!

Le tenseur des contraintes turbulentes de Reynolds apparaît comme une inconnue supplémentaire qu’il faut modéliser pour essayer de résoudre le système (S t).

Le but des modèles de turbulence est pratique: prédire les caractéristiques des écoulements turbulents. Ces modèles ne sont donc pas à considérer comme une tentative d ’explication de la nature de la turbulence.

Les modèles ne donnent en général qu’une description approchée et ils ne sont applicables qu’à une certaine classe d ’écoulements. Les méthodes de fermeture présentées dans ce cours font partie des méthodes de fermeture dîtes en un point. Elles doivent leur appellation au fait qu’elles tentent de modéliser le tenseur des corrélations doubles en un point.

1

V.2 Modèles à viscosité tourbillonnaire - Hypothèse de Boussinesq (i)

Qu’est ce que la viscosité moléculaire et que représente-t-elle? Pour cela considérons un écoulement de fluide à la vitesse u=u(y).i.

x

y U(y)

i

Evaluons le débit de quantité de mouvement suivant i à travers le plan y=0.

Le mouvement d ’ensemble étant // à Ox seule l’agitation thermique est responsable du flux de masse à travers y=0. Soit vth la vitesse d ’agitation thermique des molécules. On montre que le nombre de molécules transportée du ½ plan (y<0) vers le ½ plan (y>0) est par unité de surface: (n: nombre de molécules/unité de volume)

Statistiquement le même nombre de molécules passe du ½ plan (y>0) vers le ½ plan (y<0) :

y<0

y>0

llpm

llpm

Quelle est la vitesse d’ensemble des molécules passant à travers y=0?

Pas u(y=0) car cette vitesse correspond à la vitesse moyenne dans une zone comprenant le plan y=0. Il faut s ’éloigner d’au moins llpm de y=0 pour trouver des molécules non influencées par y=0:

Ainsi on trouve pour le débit de quantité de mouvement moyen (ou d ’ensemble) du ½ plan (y<0) à travers y=0 et par unité de surface:

1

Si le mouvement d’ensemble est turbulent. On distingue une vitesse moyenne et une agitation turbulente de composantes u’ et v’ dans le plan Oxy. Ainsi le débit de quantité de mouvement moyen dans la direction x à travers le plan y=0 et par unité d’aire s ’écrit:

Ce débit de quantité de mouvement créée une contrainte turbulente apparente que l ’on note par analogie avec le tenseur des forces visqueuses:

Et pour le ½ plan (y<0):

D ’où le débit total suivant:

Ce débit de quantité de mouvement à travers y=0 se traduit par la contrainte -xy exercée par le gaz situé en y<0 sur le gaz situé en y>0. On écrit généralement cette contrainte:

' ' ' 'Q v u u u v

Hypothèse de Boussinesq:

t est appelée viscosité turbulente (ou tourbillonnaire) et u et l sont respectivement des échelles de vitesse et de longueur caractéristiques du mouvement turbulent.

est une propriété du fluide - t est une propriété de l’écoulement

V.2 Modèles à viscosité tourbillonnaire - Hypothèse de Boussinesq (ii)

1

Les modèles de turbulence à viscosité tourbillonnaire consistent donc à se donner deux échelles u et l du mouvement turbulent et à en déduire le tenseur des contraintes visqueuses à l’aide de la relation plus générale:

23' ' avec (2)j tei t

i j t ij tj i

uuu u k C u

x x

V.2.1 Modèles à zéro équation de transport (i)

Le cas le plus intéressant (?) d’un point de vue pratique est quand t=Cte.

Ecoulements de jets développés où dans une même section on peut écrire:

expérimentalement et • Ecoulement de plaque plane:

t=Cte n’est jamais vérifié dans tout l ’écoulement et cela est d ’autant plus vrai que l ’on se rapproche desparois où u et l sont soumis à d’importantes variations.

V.2.1.2) Théorie de la longueur de mélange de Prandtl (1925)Prandtl postule que l ’on peut utiliser une seule échelle de longueur l et déduire l’échelle de vitesse à partirdu mouvement moyen:C ’est à dire que l’on a posé:

Généralisation:

V.2.1.1) t=Cte

V.2 Modèles à viscosité tourbillonnaire - Hypothèse de Boussinesq (iii)

1

Il paraît plus logique d’estimer u par d ’où:

Le problème est fermé si l ’on se donne la loi de l. Exemple zone logarithmique d ’une couche limite turbulente:

Problème des modèles à zéro équation de transport: le mouvement turbulent est uniquement dépendant du mouvement moyen puisque :

V.2.2 Modèle à une équation de transport - Modèle k-l (i)

Il faut alors une quatrième équation de transport pour calculer k:

Problème pour l ’expression généralisée des contraintes turbulentes car:

Gênant!!! On pose:

V.2.1 Modèles à zéro équation de transport (ii)

1

Pour le terme de transport de k par diffusion (sous l ’action des forces de pression, de viscosité et des contraintes turbulentes) on réalise une approximation en premier gradient:

On pose:

et:

On a donc le système suivant:

Les constantes C2, C3 et k sont calées empiriquement

Problème du k-l : l est encore donné par des considérations géométriques type longueur de mélange. Peut poser un problème dans les configurations où il est justement délicat de définir à priori une échelle de longueur.

V.2.3 Modèle à deux équations de transport - Modèle k- (i)

Idée: on (Kolmogorov) se sert de la dissipation:

V.2.2 Modèle à une équation de transport - Modèle k-l (ii)

1

D ’où l ’on tire l ’expression:

Par rapport au modèle précédent t ne dépend plus que de k et mais il faut une nouvelle équation de transport pour suivre l ’évolution de .

L ’équation de transport pour est complexe et s ’obtient après des calculs assez fastidieux (il faut le dire!).

D’une manière similaire à ce qui à été fait pour k cette équation est simplifiée par des considérations portant sur l ’importance relative des termes, etc..

On retient généralement l ’expression suivante:

Avec: Ces termes sont modélisés en:

• Pour la diffusion la classique approximation en 1er gradient:

• Pour P() et D () on se base sur une hypothèse d ’équilibre spectral c ’est à dire que l’on suppose:

D ’où finalement:

V.2.3 Modèle à deux équations de transport - Modèle k- (ii)

1

Modèle k- (Jones-Launder)

6 inconnues:

6 équations

¿=¿¿¿

V.3 Conclusion

L’ensemble de ces modèles s ’utilise bien entendu avec les conditions aux limites adéquates pour chacune des inconnues (en particulier pour k et qu ’il convient de ne pas oublier!).

Le problème majeur de tous ces modèles est qu’ils ne sont pas valables à proximité immédiate de la paroi car à cet endroit seuls les effets visqueux prédominent.

Solution: • Loi de paroi = fonction analytique décrivant le comportement à la paroi)

• Modèle de bas-Reynolds = modèle auto-adaptatif à l ’aide de fonction correctrices

V.2.3 Modèle à deux équations de transport - Modèle k- (ii)

1

VI. Applications

VI. 1 Ecoulement turbulent établi dans une conduite cylindrique (i)

Hypothèses:

• écoulement permanent en moyenne

• écoulement établi à symétrie de révolution

• fluide incompressible

Equation de continuité:

Equation de NS:

(symétrie en )

ru

xu

èu

R

1

L’équation (2) peut s’écrire:

soit en intégrant par rapport à r:

étant nécessairement fini, on obtient:

A la paroi soit en r=R, = -p avec

(5)&(6) et

r u

x

-p

y

Remarque: pour exprimer le frottement à la paroi on préfère utiliser un repère dont l’origine est à la paroi d ’où l ’apparition du signe (-) dans l ’expression de (r=R)

On pose: Cf coefficient de frottement ( est la vitesse débitante de la conduite)

coefficient de perte de charge (D=2R = diamètre du tube)

Pour un tube rond on a donc: (canal plan =2Cf)Expérimentalement Blasius pour un tube lisse:

VI. 1 Ecoulement turbulent établi dans une conduite cylindrique (ii)

1

Cette zone est appelée sous couche visqueuse

On définit la vitesse de frottement: et les variables réduites suivantes:

Où y=R-r est un repère dont l ’origine est placé à la paroi (l’écoulement étant de révolution on restreint l ’étude à une coupe 2D).

L’équation (8) devient alors:avec:

Région interne: Sous couche visqueuse

Si l ’on se place très près de la paroi du tube (y+/R+<<1) le mouvement turbulent est très faible et l’essentiel du frottement est assuré par la viscosité moléculaire c ’est-à-dire: t<< soit t

+<<1. L ’équation (13) s ’écrit alors:

soit après intégration suivant y+ :

Pratiquement on considère que la relation (14) est valable pour y+<5. Exemple: Re=9000 y+=5 y/R=6.10-4

Région interne: Zone logarithmique

Lorsque l’on s’éloigne de la paroi la turbulence prend progressivement le pas sur la viscosité moléculaire et l’on considère généralement que pour y+>30, t>> . Etant encore suffisamment près de la paroi pour que l ’on puisse considérer que y+/R+<<1 l ’équation (13) devient alors:

VI. 1 Ecoulement turbulent établi dans une conduite cylindrique (ii)

1

Dans l ’approximation de Boussinesq le modèle de longueur de mélange de Prandtl permet ainsi d ’écrire:

Où l est une échelle de longueur de la turbulence. On pose avec =0.41 constante de Karman. On montre alors facilement que:

D’où après intégration par rapport à y+: où B est une constante qui vaut environ 5.1.

Zone logarithmique: y+>30 avec =0.41 et B=5.1

Région interne: Zone tampon - Profil composite de Van Driest

Pour 5<y+<30 on passe progressivement d ’un régime contrôlé par la viscosité moléculaire à un régime turbulent. Van Driest propose un profil composite permettant de corriger la longueur de mélange au voisinage de la paroi et ainsi d ’étendre son domaine de validité à la paroi:

(13) s ’écrit alors (avec toujours y+/R+<<1) :

Cette équation nécessite d ’expliciter la viscosité turbulente pour pouvoir être intégrée.

VI. 1 Ecoulement turbulent établi dans une conduite cylindrique (iii)

1

Soit :

On obtient donc l ’équation du second degré en suivante:

Dont une racine est (on ne garde que la racine qui assure ):

Soit après intégration:

VI. 1 Ecoulement turbulent établi dans une conduite cylindrique (iv)

1

Zone centrale de la conduite - Loi déficitaire

Dans cette zone la paroi est trop loin pour influencer l ’écoulement. Celui-ci est pleinement turbulent et l ’on observe t=Cte avec expérimentalement:

Cette zone se raccorde, quand y0, avec la loi logarithmique au point où l ’on observe simultanément:

(µt)Zone log.= (µt)Zone externe soit en prenant u* pour échelle des vitesses des grosses structures turbulentes:

Dans cette zone externe turbulente on a bien sur µt>>µ et (13) s ’intègre donc en (uc étant la vitesse au centre du tube):

Loi de frottement (régime turbulent lisse)

Pour y>0.192.R

On considère généralement que bien qu’elle ne soit pas formellement valable dans cette zone la loi logarithmique constitue une approximation valable de la loi déficitaire

Loi déficitaire

En se basant sur l ’approximation de la loi log on peut calculer le débit dans la conduite:

On obtient de cette relation en simplifiant par R2:

Par définition: d ’où en combinant ces deux dernières relations:

Avec:

VI. 1 Ecoulement turbulent établi dans une conduite cylindrique (v)

1

Conduite rugueuse

Lorsque la paroi de la conduite présente des aspérités la conduite est dite rugueuse. La rugosité est quantifiée par la

hauteur de rugosité équivalente ks et par la rugosité relative:

Avec =0.41 et B=5.1 on obtient en définitive:Pour une conduite cylindrique =4Cf , on a donc également:

Loi de Prandtl-Karman-Nikuradse

Pour une conduite lisse

La rugosité équivalente est obtenue par comparaison avec une rugosité artificielle (grains de sables).

Pratiquement on observe deux comportements:

• tant que petit on montre que la loi logarithmique s ’écrit: où B(ks) est une fonction de ks.

• Lorsque ks+ on montre que la loi logarithmique s ’écrit: où B =8.5. C ’est le régime

pleinement rugueux. Ce n ’est plus y+ (il n ’apparaît plus dans le log) qui dirige l’écoulement car en paroi les forces s ’exerçant sont surtout dues à la traînée de forme sur les rugosités et la viscosité moléculaire joue un rôle très amoindri. Dans ce dernier cas un raisonnement similaire à celui effectué pour le régime lisse conduit à:

Loi de Nikuradse

Pour une conduite pleinement rugueuse

Soit:

Remarque:La loi de Blasius précédemment introduite

constitue une bonne approximation.

VI. 1 Ecoulement turbulent établi dans une conduite cylindrique (vi)

1

Pour beaucoup de conduites industrielles on passe progressivement du régime lisse au rugueux. Colebrook & White ont proposé la formule d ’interpolation suivante:

Ces différentes lois sont

représentées sur le diagramme

de Moody.

VI. 2 Couche limite turbulente (voir TD)

VI. 1 Ecoulement turbulent établi dans une conduite cylindrique (vii)

1

VI. 3 Ecoulements turbulents libres 2D - Sillages - Jets (TD)- Couche de mélange (TD) (i)

U0

Sillage

U0

Jet

U1

U2

Couche de mélangex

y

Contrairement aux écoulements en parois les écoulements cisaillés libres (Boundary-free shear flows) évoluent sous l’action de leur seule influence (pas de paroi à proximité par exemple). Les jets libres, les sillages et les couches de mélange entrent dans cette catégorie d ’écoulements libres.

Les considérations théoriques permettant de décrire les caractéristiques de ces écoulements étant identiques nous ne traiterons que le cas (+ simple) du sillage (voir TD pour le jet plan).

U0

x

y

Us

L

L’écoulement de sillage est obtenu lorsque l’on place un corps dans un écoulement potentiel à vitesse constante U0. Le sillage est supposé être 2D plan, permanent en moyenne, le fluide est incompressible. Le sillage est examiné loin derrière le corps. On définit:

• L une échelle de distance suivant x

• une échelle de longueur suivant y que l’on précisera ultérieurement

1

• une échelle de vitesse caractéristique du sillage

• U0 la vitesse de l’écoulement potentiel extérieur

• u une échelle de vitesse du mouvement turbulent à grande échelle

Les équations décrivant le problème moyen s’écrivent:

avec pour conditions aux limites:

Par des approximations de type couche limite essayons de simplifier ce système de 3 équations à 6 inconnues. On pose: et

D ’après l ’équation de continuité on en déduit:

L ’équation de quantité de mouvement suivant y donne alors:

est un nombre de Reynolds grand devant 1.

VI. 3 Ecoulements turbulents libres 2D - Sillages - Jets (TD)- Couche de mélange (TD) (ii)

1

Si on considère que: seul le gradient de pression transversal peut contrebalancer le termed’où l’on écrit:

Le même traitement pour l ’équation de QDM suivant x permet d ’écrire:

Note: d ’après (1) on peut écrire:

Essayons d ’obtenir une autre relation en prenant une intégrale première de (2) suivant y mais en l’exprimant sous la forme: Le terme étant d ’ordre par rapport à cela ne nuit pas outre mesure à l ’égalité (2). On a donc (avec U0= Cte):

D ’où: Soit:

T est la traînée du corps provoquant le sillage

Avec la définition de l ’épaisseur de QDM, , (3) peut également s ’écrire:

Le sillage lointain, comme les jets et les couches de mélange, est supposé être en auto-similitude. C ’est-à-dire que les échelles de longueur et de vitesse évoluent en fonction de la seule variable réduite

VI. 3 Ecoulements turbulents libres 2D - Sillages - Jets (TD)- Couche de mélange (TD) (iii)

1

On pose alors:

Remarquons encore que (2) peut se simplifier en: En effet:

(5)&(6) permettent d ’obtenir: avec:

L ’équation (7) étant vérifiée dans tout le sillage (on dit que F & G sont universelles) les groupements et

se doivent de ne pas dépendre de x. Si on suppose que l est %x et U° est également % à x cette condition implique: Soit :

Il manque une expression pour pouvoir discriminer la valeur de n. Utilisons les relations (4)&(5):

Soit encore:

Remarquons que l ’on a toujours F 1 et que est plus petit que de . La deuxième intégrale est donc plus petite d ’un ordre de grandeur au moins que la première. On peut donc poser:

Là également, le groupement devant l ’intégrale se doit de ne pas dépendre de x pour que le produit demeure constant quelque soit x. On doit donc avoir:

On pose alors: où A & B sont des constantes.

Conditions aux limites: F(0)=1, F()=0, G(0)=G ()=0

VI. 3 Ecoulements turbulents libres 2D - Sillages - Jets (TD)- Couche de mélange (TD) (iv)

1

En injectant (10) dans (7) on obtient l ’équation différentielle suivante:

Si l ’on ne fait pas d ’hypothèse supplémentaire sur les contraintes turbulentes c ’est-à-dire sur G, (11) n ’est pas solvable. Plaçons nous alors dans le cadre de l ’hypothèse de Boussinesq c ’est-à-dire posons:

En effet:

(5)&(12) donnent alors:Soit:

Rel est un nombre de Reynolds turbulent qui est constant (il ne dépend pas de x, le produit lus étant indépendant de x) et qui est déterminé expérimentalement:

(13), (14) & (15) permettent d ’obtenir le système différentiel final suivant:

dont une solution est:

La définition de la longueur n’ayant toujours pas été précisée on la choisit telle que =1. C ’est donc la distance à l ’axe où:

En utilisant notamment les relations (4), (9) & (10) on obtient:

Notons que le choix effectué pour normalise  F puisque l ’on a alors:

VI. 3 Ecoulements turbulents libres 2D - Sillages - Jets (TD)- Couche de mélange (TD) (v)

1