1 ecuaciones de fresnel estos problemas proceden de cuadernillos y exámenes de años anteriores....

1

ECUACIONES DE FRESNEL

Estos problemas proceden de cuadernillos y exámenes de años anteriores. Las soluciones presentadas aquí se basan en los enunciados resueltos por

los profesores de la sede central Carmen Carreras y Manuel Yuste

Óptica

2

Óptica

PROBLEMA 1 (CUADERNILLO 2002-2003, 1º P). Ecuaciones de Fresnel.

Un rayo láser, de intensidad I0 = 0.1 W/cm2, incide perpendicularmente sobre una de las paredes laterales de una cubeta paralelepipédica de vidrio transparente. Después de atravesarla sale por la pared opuesta con la intensidad I. Admitiendo por simplicidad que sólo se produce una reflexión en cada una de las caras de las paredes de la cubeta (es decir, despreciando las múltiples reflexiones internas), se pide:

1 2 3 4

Determinar el índice de refracción nv del vidrio respecto del aire (índice del aire na = 1), sabiendo que el valor de la intensidad luminosa de salida con la cubeta vacía es I = 0.08493 W/cm2.

1.

Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl < nv, la intensidad de salida vale I = 0.09208 W/cm2. Halle nl.

2.

Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl > nv, la intensidad de salida vale I = 0.09163 W/cm2. Halle nl.

3.

Determine I cuando el índice de refracción del líquido coincide con el del vidrio.

4.

1. El rayo entra perpendicularmente, por lo tanto el factor de reflexión cada vez que atraviesa una interfase es:2

4321 1

1

v

v

n

nRRRRR pues inicialmente la cubeta está vacía y todas las interfases son vidrio/aire

Intensidades

1

I0

2

I1

3

I2

4

I3 I4

RII 101

2012 11 RIRII

3023 11 RIRII

4034 11 RIRII

40

4 1 RI

I

0400.08493.01 4/1 R

1.0

08493.02

1

1

v

v

n

n

50.18.0

2.1 vn

Factor de reflexión en incidencia nomal: ver

demostración aquí

3

Óptica

Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl < nv, la intensidad de salida vale I = 0.09208 W/cm2. Halle nl.

2.


1

I0

2

I1

3

I2

4

I3 I4

ln

vn

En este caso los coeficientes de reflexión son:2

41 1

1

v

v

n

nRRR

(iguales al caso anterior ya que las interfases 1 y 4 son aire/vidrio)

0400.02

32

lv

lvl nn

nnRRR (interfases líquido/vidrio)

Intensidades RII 101 ll RRIRII 111 012

2023 111 ll RRIRII 22034 111 lRRIRII

1.0

09208.011 22

0

4 lRRI

I

42 1034.4

04.01

9208.01

lR v

l

ll n

R

Rn

1

1 439.1

Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción nl > nv, la intensidad de salida vale I = 0.09163 W/cm2. Halle nl.

3.

En caso de que el índice de refracción del líquido y del vidrio sean iguales, el razonamiento es el mismo que en el apartado anterior, con la única salvedad siguiente: cuando se haya de despejar nl a partir de Rl, debe utilizarse el signo negativo de la raíz cuadrada, pues en caso contrario no se cumple la condición nl > nv .

22034 111 lRRIRII

1.0

09163.011 22

0

4 lRRI

I

32 1088.2

04.01

9163.01

lR

2

32

lv

lvl nn

nnRRR l

lv

lv Rnn

nn

vl

ll n

R

Rn

1

1 670.1

Tomamos el signo negativo

50.1

4


Determine I cuando el índice de refracción del líquido coincide con el del vidrio.

4.

1

I0

2

I1

3

I2

4

I3 I4

ln

vn 50.1

Coeficientes de reflexión para nl = nv:2

41 1

1

v

v

n

nRRR

02

32

lv

lvl nn

nnRRR

0400.0

Intensidad 22034 111 lRRIRII 20 1 RI

2-2204 cm W 09216.004.011.01 RIII

Óptica

5

Óptica

Un haz de luz de intensidad I0 incide sobre un prisma en ángulo recto de vidrio flint denso (n = 1.72 respecto al aire) como se indica en la figura. El haz está polarizado linealmente en la dirección perpendicular al plano de incidencia.

90º

nl

n

1

2

3

r

i

90º

nl

n

1

2

3I0

ISobre la superficie horizontal del prisma hay un líquido de índice de refracción nl respecto al aire que se quiere determinar. Se pide:

Encontrar la expresión de la intensidad I emergente por la cara 3, en función de los factores de reflexión en las caras 1, 2 y 3, que dependen de los índices de refracción n y nl.

1.

Sabiendo que I/I0 = 0.127, determinar el índice de refracción nl del líquido.2.

Si la superficie superior del prisma estuviese en contacto directo con el aire, calcular I/I0. 3.

PROBLEMA 2 (EX. 1º P, FEBRERO 97, 2ª VUELTA). Ley de Snell y ecuaciones de Fresnel.

La luz incidente sobre la cara 1 se reflejará y transmitirá en primer lugar en la cara 2;pero hay que tener en cuenta que cada vez que la luz alcanza una interfase se produce reflexión y refracción, de modo que en las tres caras 1, 2 y 3 habrá que considerar el efecto de las reflexiones múltiples sobre la intensidad que finalmente emerge de la cara 3.

Coeficientes de reflexión: RRR 31

2

1

1

n

n0701.0

172.1

172.1

1

122

n

nR(Incidencia normal)

2

22 sin

sin

ri

riRR

2

22 sincoscossin

sincoscossin

riri

ririRR (puesto que i = 45º sin i = cos i)

2

sincos

sincos

rr

rr

(Nótese que el ángulo r no es conocido por el momento, ya que depende del índice de refracción del líquido, desconocido por ahora, que tendremos que determinar)

Encontrar la expresión de la intensidad I emergente por la cara 3, en función de los factores de reflexión en las caras 1, 2 y 3, que dependen de los índices de refracción n y nl.

1.

Factor de reflexión en incidencia normal: ver

demostración aquí.

6

Óptica

Luz que entra al prisma: estudio de las reflexiones múltiples.

RI 10

20 1 RRI

22

20 1 RRRI

Los coeficientes de reflexión de interés son R (cada vez que hay una reflexión en la cara 1 o en la 3) y R2 (cada vez que hay una reflexión en la cara 2). 2

1

1

n

nR

La intensidad que, procedente de múltiples reflexiones, sale finalmente por la cara 3 se puede obtener siguiendo el esquema siguiente.

0I 2

20 1 RRRI

1

3

2La intensidad luminosa que sale de la cara 3 tras las múltiples reflexiones producidas es la suma:

20 1 RRRI

22

0 1 RRI

32

20 1 RRRI

32

220 1 RRRI

32

30 1 RRRI

52

420 1 RRRI 4

23

0 1 RRRI

42

40 1 RRRI

52

40 1 RRRI

2

2 sincos

sincos

rr

rrR

...111 52

420

32

2202

20 RRRIRRRIRRII

...11 42

222

20 RRRRRRII

Este término es una serie geométrica de razón 22RR

22

1

1

1

1 RRr

aS

El primer término es a1 = 1 y la razón r es menor que la unidad, por tanto la suma de los infinitos términos de la serie es:

2

2

22

01

1

RR

RRII

Intensidad que emerge por la

cara 3:

2

1

1

n

nR

2

2 sincos

sincos

rr

rrR


7

Sabiendo que I/I0 = 0.127, determinar el índice de refracción nl del líquido.2.


2

2

22

01

1

RR

RRII

127.01

1

02

2

22

I

I

RR

RR0701.0

172.1

172.1

1

122

n

nR

127.00701.01

0701.012

2

22

R

R0127.08647.01024.6 2

22

4 RR 2R1469.0

1469.0

Valor aceptado

2

2 sincos

sincos

rr

rrR 3832.01469.0

sincos

sincos

rr

rr

rrrr sin3832.0cos3832.0sincos

rr sin3832.1cos6168.0 4195.03832.1

6168.0tan r

Respecto al ángulo r hay dos posibilidades: que al salir el rayo transmitido por la cara 2 se acerque a

la normal, cuando (cos r – sin r) > 0, o bien se aleje de la normal, cuando (cos r – sin r) < 0.Caso 1. Se acerca a la normal: obtenemos r y aplicamos ley de Snell

º03.24r 99.203.24sin

45sin72.1 ln

Un índice tan elevado es poco realizta

rrrr sin3832.0cos3832.0sincos

rr sin6168.0cos3832.1 2425.26168.0

3832.1tan r

Caso 2. Se aleja de la normal: obtenemos r y aplicamos ley de Snell

º97.65r 332.197.65sin

45sin72.1 ln

Si la superficie superior del prisma estuviese en contacto directo con el aire, calcular I/I0. 3.

Véase que el ángulo de incidencia de 45º es superior al ángulo límite para n = 1.72, por lo que R2 = 1

22

22

01

1

RR

RRII

RR

R

R

R

I

I

11

1

1

1 2

2

2

0

2

2

0 1

1

R

RII

R

R

1

1869.0

0701.01

0701.01

Óptica

8

Óptica

PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V)Utilización de las ecuaciones de Fresnel para determinar el índice de refracción de un líquido

1 2

O

I0

Fotómetro A

Fotómetro B

Se dispone de dos cubetas semicilíndricas, de paredes transparentes y adosadas como se indica en la figura.

En ellas hay sendos líquidos de índices de refracción respecto del aire n1 y n2. Sobre la cubeta 1 incide radialmente un rayo láser polarizado linealmente y de intensidad I0 = 0.1 W/cm2.

Cuando el rayo está polarizado paralelamente al plano de incidencia, la intensidad IA // medida por el fotómetro A es mínima para = 50.96º. Se pide:

1. Determine la relación entre los índices de refracción n = n2/n1.

2. Si la intensidad IB // medida por el fotómetro B es 0.0748 W/cm2, determine n1 y n2.

AI3. Determine e para el mismo valor de cuando el láser está polarizado perpendicularmente BI

al plano de incidencia.

Nota. Desprecie los efectos debidos a las paredes de las cubetas y considere una sola reflexión en los pasos de la luz a través de las superficies de separación líquido-líquido y líquido-aire. Use cuatro cifras decimales para los cálculos numéricos.

9

Óptica

1 2

O

Considerando en todos los casos una sola reflexión, según el enunciado, veamos cuanta luz llega al fotómetro.

Del aire a la cubeta 1: el rayo I0 incide normalmente a la superficie, por lo tanto el coeficiente de reflexión es

La intensidad del rayo I1 será pues

2

1

11 1

1

n

nR 101 1 RII

I0

I1

Ir

Fotómetro A

IA

Reflexión en el punto O: El ángulo de incidencia es , el de refracción es ; el coeficiente de reflexión será:

2

// tg

tg)O(

R

Intensidad reflejada Ir: )O( 1)O( //10//1 RRIRIIr

De la cubeta 1 al aire tenemos el rayo IA (incidencia normal)

)O( 11 //2

101 RRIRII rA

(Las ecuaciones de Fresnel son reversibles, el coeficiente de reflexión del medio 1 al aire es el mismo que si el rayo va a la inversa)

(Recordemos que el rayo incidente está polarizado paralelamente al plano de incidencia)

R//(O) es mínima si + = 90ºPuesto que el coeficiente de reflexión R1 (el que corresponde a incidencia normal) es constante, la intensidad del rayo IA será mínima si R//(O) es mínima

Es decir, R//(O) se anula cuando el ángulo de incidencia es el ángulo de Brewster. Entonces = 90 - = 39.04º

sensen 21 nn

La relación entre los índices de refracción n = n2/n1 se obtiene aplicando la ley de Snell

sen

sen

1

2 n

nn 2331.1tg

cos

sen

90sen

sen

1. Determine la relación entre los índices de refracción n = n2/n1.

PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V)

Factor de reflexión en incidencia normal: ver

demostración aquí.

10

2. Si la intensidad IB // medida por el fotómetro B es 0.0748 W/cm2, determine n1 y n2.


1 2

O

I0

I1

Ir

Fotómetro A

IA Fotómetro B

El factor de transmisión de la luz que se refracta se expresa como ii

tt

I

IT

cos

cos R1

i incidentet refractado (transmitido)

En nuestro caso1IIi i

)O(//RR t

It

)O(1cos

cos//R

I

IT

i

t

Recordemos que en las condiciones propuestas en el enunciado 0)O(// R

cos

cos1

cos

cos)O(1 10//1 RIRIIt

101 1 RII = 0

Intensidad que alcanza el fotómetro B:

IB

210 1cos

cos1 RRIIB

2

2

22 1

1

n

nR

(incidencia normal)

2

1

11 1

111

n

nR

21

1211

21

21

121

1

1212

1

121

n

nnnn

n

nn 21

11

1

41

n

nR

2

2

22 1

111

n

nR

22

2222

22

22

222

1

1212

1

121

n

nnnn

n

nn 21

12

2

22

1

4

1

41

nn

nn

n

nR

sen

sen

1

2 n

nnDe la relación

sen

sen1

2

1 n

n

nse obtiene

sen

cos

cos

cos (ya que = 90-)

Óptica

11

Óptica


210 1cos

cos1 RRIIB

21

11

1

41

n

nR

21

12

2

22

1

4

1

41

nn

nn

n

nR

cos

cos1

n

21

12

1

10

1

4

1

4

nn

nn

n

n

n

IIB

2

0

I

IB

212

1

21

1 1

16

nnn

n

1 1

4

11

1

nnn

n

86487.01.0

0748.0

0

I

IB

111 41 1 nnnn 11121 41 nnnnnn

0 4-1 121 nnnn

0

1

4-11

21

nn

n

nn

Valores numéricos: 2331.1n

0 8110,09397.1 121 nnResolvemos la ecuación de 2º grado en n1: 330.1

610.0

1

1

n

n

640.12331.1 12 nn

3. Determine e para el mismo valor de cuando el láser está polarizado perpendicularmente

al plano de incidencia.

AI BI

Recordemos del apartado 1 que la intensidad que alcanza el fotómetro A es:

2

sen

sen)O(

R

)O( 1 210 RRII A

2sen

(ya que + = 90º)

)O( 11 //2

101 RRIRII rA

Siguiendo el mismo razonamiento, la intensidad en el fotómetro A cuando la luz está polarizada perpendicularmente al plano de incidencia será:

2-3210 cm W 101.4)O( 1

RRII A

12

Óptica

Fotómetro B


El factor de transmisión de la luz que se refracta se expresa como

R1

i incidentet refractado (transmitido)

En nuestro caso1IIi i

)O(RR t

)O(1cos

cos R

I

IT

i

t

ii

tt

I

IT

cos

cos

cos

cos)O(11

cos

cos)O(1 101 RRIRIIt

101 1 RII

cos

cos1)O(11 210 RRRIIB

Intensidad que alcanza el fotómetro B

1 2

O

I0

I1

Ir

Fotómetro A

IA Fotómetro B

It IB

2sen)O(R

º96.50

º04.39

2

1

11 1

1

n

nR

2

2

22 1

1

n

nR

= 0.0716 W cm-2

13

ANEXO. COEFICIENTES DE REFLEXIÓN EN INCIDENCIA NORMAL

2

sen

sen

ri

riR

1n

2n

2

// tg

tg

ri

riR

rnin sensen 21

2

sencoscossen

sencoscossen

riri

ririR

2

00 sencoscossen

sencoscossen

riri

ririlimRri

2

21

21

0 sen/sen

sen/sen

inni

innilimi

2

21

21

0 sen/sen

sen/sen

inni

innilimRi

2

12

12

nn

nnR

Coeficiente de reflexión perpendicular Coeficiente de reflexión perpendicular

Ley de Snell

Cuando la incidencia es normal:

Cuando i 0 y r 0, el seno y la tangente tienden al mismo límite

2

00

// tg

tg

ri

rilimRri

2

00 sen

sen

ri

rilimri

2

12

12

nn

nn

2

12

12//

nn

nnRR

En incidencia normal

Volver Problema 1

Volver Problema 2

Volver Problema 3

Óptica

1 ecuaciones de fresnel estos problemas proceden de cuadernillos y exámenes de años anteriores....

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