PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚPrograma de Perfeccionamiento para Profesores de Matemáticas del

Nivel SecundarioCurso Piloto-Etapa a distancia

1. Ejercicios

1.1. Primera parte

1. Clasifique en verdadero (V) o falso (F):

a) Por un punto pasan infinitas rectas.

b) Por dos puntos distintos pasa una recta.

c) Una reta contiene dos puntos distintos.

d) Dos puntos distintos determinan una solo una recta.

e) Por tres puntos dados pasa una sola recta.

2. Clasifique en verdadero (V) o falso (F):

a) Tres puntos distintos son siempre colineales.

b) Tres puntos distintos son siempre coplanares.

c) cuatro puntos todos distintos determinan dos rectas.

d) Por cuatro puntos todos distintos pode pasar una sola reta.

e) Tres puntos pertenecientes a un plano son siempre colineales.

3. Usando cuatro puntos todos distintos, siendo tres de ellos colineales, cuantas rectas que pasen almenos por dos puntos podemos construir?

4. Clasifique en verdadero (V) o falso (F):

a) Si dos ángulos son complementarios, entonces ambos son agudos.

b) Todo ángulo es congruente a si mismo.

c) Dos ángulos rectos cualesquiera son congruentes.

5. Clasifique en verdadero (V) o falso (F):

a) Todo triángulo isósceles es equilátero.

b) Todo triángulo equilátero es isósceles.

c) Un triángulo escaleno pode ser isósceles.

d) Todo triángulo isósceles es triángulo acutángulo.

e) Todo triángulo rectángulo es triángulo escaleno.

f ) Existe triángulo rectángulo e isósceles.

g) Existe triángulo isósceles obtusángulo.

h) Todo triángulo acutángulo o es isósceles o es equilátero

6. Clasifique en verdadero (V) o falso (F):

a) Todos los triángulos isósceles son congruentes.

b) Todos los triángulos equiláteros son congruentes.

c) Todos los triángulos rectángulos son congruentes.

d) Todos los triángulos rectángulos isósceles son congruentes.

e) Todos los triángulos acutángulos son congruentes.

7. Si el ∆ABC es isósceles de base BC, determine x e y.

x+45°y2x-40°

8. El teorema del triángulo isósceles.

Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces losángulos opuestos a estos lados son congruentes,O de otro modo: Se da el ∆ABC. Si AB ∼= AC, entonces∠LB ∼= ∠LC. ///

9. Todo triángulo equilátero es equiángulo.

10. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos soncongruentes

O de otro modo: Se da el ∆ABC. Si ∠LB ∼= ∠LC, entoncesAB ∼= AC.

///

11. Todo triángulo equiángulo es equilátero.

12. Con segmentos de 8 cm, 5 cm y 18 cm se puede construir un triángulo? Porqué?

13. Dos lados, AB y BC, de un triángulo ABC miden respectivamente 8cm y 21 cm. Cuanto puedemedir el tercero lado, sabiendo que es múltiplo de 6?

14. El lado AB de un triángulo ABC es expresado por un número entero. Determine su valor máximo,sabiendo que los lados AC y BC miden respectivamente 27 cm y 16 cm y que ∠C < ∠A < ∠B.

15. Demuestre que todo triángulo posee por lo menos dos ángulos internos agudos.

16. Si dos rectas distintas son perpendiculares a una tercera, entonces no se interceptan.

17. Demuestre que en todo triángulo equilátero cada ángulo mide 60◦.

18. Usando el teorema del ángulo externo muestre que el triángulo rectángulo tiene dos ángulos agudos.

19. Muestre que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es mayor que cada uno de los catetos.

20. En todo triángulo, la suma de las distancias de un punto que pertenece a la región interior hacialos vértices de dicho triángulo es menor que la longitud del perímetro y mayor que la mitad deeste. Sea el ∆ABC, figura 1, el teorema afirma:

a + b + c

2< m + n + l < a + b + c

Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.

En el vértice P : s = w + v.

En consecuencia, de t = v + 2w ⇒ t > v.

Teorema 1.12. En todo triángulo, la suma de las distancias de un punto que pertenece a la

región interior hacia los vértices de dicho triángulo es menor que la longitud del perímetro y

mayor que la mitad de este. Sea el ∆ABC, figura 1.10, el teorema afirma:

a + b + c

2< m + n + l < a + b + c

A

B

C

a

b

c n

ml

P

Figura 1.10: Distancias de un punto interior a los vértices

Prueba. Sea P un punto en la región triangular. Se cumple las desigualdades

m + n < a + b, m + l < a + c n + l < b + c

Entonces

m + n + l < a + b + c (1.7.1)

Por el teorema 1.11

∆APC : b < m + l, ∆APB : c < m + n, ∆BPC : a < n + l

Sumadoa + b + c

2< m + n + l (1.7.2)

De las ecuaciones (1.7.1) y (1.7.2), se obtiene

a + b + c

2< m + n + l < a + b + c

13

Figura 1: Distancias de un punto interior a los vértices

21. Demuestre que la suma de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

22. Dos rectas L1 y L2 situadas en un mismo plano y paralelas a una tercera recta L3, son paralelasentre sí.

9. Sea la siguiente figura

a b

mn

Demuestre que m + n < a + b

23. Demostrar que la suma de distancias desde un punto de la base de un triángulo isósceles a los otrosdos lados, es constante.

24. Dado un triángulo ABC, hallar un punto X sobre AB y otro Y sobre AC, de modo que XY =BX + CY, siendo XY paralela a BC.

25. En la siguiente figura halle el valor de x

a

a

ux

2u

60-u

26. En la siguiente figura halle el valor de v

u

60-u

2u

v

27. En la siguiente figura halle el valor de Y en términos de u.

uuu

90+u

Y

a

a

28. En la siguiente figura halle el valor de u

a

a4u

7u3u

29. En la siguiente figura halle el valor de x

x2x

4x

1.2. Segunda parte

1. Demuestra que cada punto de la bisectriz de un ángulo está a la misma distancia de cada uno delos lados del ángulo.

2. Demuestra que las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un mismo punto.

3. Demuestra que las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un solo punto.

4. Demuestra que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tresvértices del triángulo.

5. Demuestra que las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto.

6. En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de laslongitudes de la hipotenusa y la proyección ortogonal de dicho cateto respecto a la hipotenusa. Enel triángulo rectángulo ABC, c2 = bm, a2 = bn.

Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.

Sustituyendo la segunda en la primera ecuación se obtiene el resultado x = t/2.

1.10. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

En el triángulo rectángulo ABC recto en B, figura 1.16, se dan importantes resultados.

A

B

C

a

b

c

m n

h

v

v

H

Figura 1.16: Relaciones métricas en un triángulo rectángulo

Teorema 1.14. En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de un cateto es igual

al producto de las longitudes de la hipotenusa y la proyección ortogonal de dicho cateto respecto

a la hipotenusa. En el triángulo rectángulo ABC, c2 = bm, a2 = bn.

Prueba. Por semejanza de los triángulos ∆ABC ∼ ∆AHB

c

b=

m

c⇒ c2 = bm,

a

b=

n

a⇒ a2 = bn

Teorema 1.15 (Teorema de Pitágoras). En el triángulo rectángulo ABC, b2 = a2 + c2.

Prueba. Del teorema 1.14,

c2 = bm, a2 = bn ⇒ a2 + c2 = b(m + n) = b2

Teorema 1.16. En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa

es igual al producto de las longitudes de las proyecciones ortogonales de los catetos respecto de

dicha hipotenusa. En el triángulo rectángulo ABC, figura 1.16, h2 = mn.

Prueba. Por semejanza de los triángulos ∆AHB ∼ ∆BHC

h

n=

m

h⇒ h2 = mn

Teorema 1.17. En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de sus catetos es

igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a dicha hipotenusa. En el

triángulo rectángulo ABC, figura 1.16, ca = bh.

17

Figura 2: Relaciones métricas en un triángulo rectángulo

7. En el triángulo rectángulo ABC, b2 = a2 + c2.

8. En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de sus catetos es igual al producto delas longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a dicha hipotenusa. En el triángulo rectánguloABC, figura 2, ca = bh.

9. En todo triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la longitud de la altura relativa a lahipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de las longitudes de sus catetos. Enel triángulo rectángulo ABC, figura 2,

1

h2=

1

c2+

1

a2

10. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), la mediatriz de AC intersecta a BC y a AC en lospuntos E y D respectivamente. Si se cumple que AC = 20 y AB = 12, calcule el área de la regiónABED.

11. En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores AM y CN, las cuales se intersectan en I.Si AB 6= BC y NI = IM , calcule m^ABC.

12. En un triángulo ABC de ortocentro H, m^BAC = 70◦. En la región exterior y relativa al ladoAC se ubica el punto P. Si m^HPC = m^HBC. Calcule m^APH.

13. En un triángulo ABC isósceles de base AC, se ubica el punto P en la región interior, tal quem^BCP = 20◦, m^PCA = 50◦ y m^APC = 100◦. Calcule m^AOP si O es circuncentro deltriángulo ABP.

14. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AM , luego se ubican los puntos L y N en AM yAC respectivamente, MN ∩ LC = {T}, tal que m]ABM = m]AMN , BM = NC, AB = MC,m]MLC = m]MTL. Indique que punto notable es L para el triángulo ABC.

15. En un triángulo isósceles ABC de base AC se traza la ceviana interior AM, tal que MC=2(MB),en AM se ubica el punto L, tal que m]BLC = 90◦, calcule m]LBC, si m]MAC = 42◦.

Referencias

[1] MOISE-DOWNS: Geometría Moderna. ADISSONWESLESY IBEROAMERICANA Única Edición;1966.

[2] Osvaldo Dolce-José Nicolau Pompeo: Fundamentos de matemática elementar 9 GEOMETRÍA PLA-NA. ATUAL EDITORA. 7a edición

[3] Araujo, José: Area y Volumen en la geometría elemental. Red Olímpica Argentina; 2000.