1. ElőadásLineáris programozás

Salamon Júlia

Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára

2016.09.26. I. előadás 2

OperációkutatásAz operációkutatás az alkalmazott matematika az az ága, ami bizonyosfolyamatok és eljárások optimalizálásával foglalkozik.

Az operációkutatás szóban az operáció hadműveletre utal. Elsőként1938-ban alkalmazta a brit légierő egy radarfigyelő rendszerkiépítésére. A második világháborúban a Nagy-Britannia, az USA ésa Szovjetunió által alapított Operational Research Sectionsben többekközött a hajók optimális száma, a hajókonvojok védőkíséreténekmérete vagy a szőnyegbombázás sűrűsége és kiterjedése.A háború után az operációkutatás a csatamezőkről bevonult agazdaságba, ahol is arra alkalmazták, hogy minimalizálja az adott célelérésének költségét, vagy duálisan, maximalizálja az adotteszközökkel elérhető célt. Ma a mérnöki tudományokban, a gazdaságiinformatikában is hasznosítják, továbbá összekapcsolódott ajátékelmélettel.

2016.09.26. I. előadás 3

Előadások tematikája1) LINEÁRIS PROGRAMOZÁS.

1) Lineáris programozás modellje 2) Dualitás. A dualitás közgazdasági jelentése. 3) Érzékenység vizsgálat4) Szimplex algoritmus5) Degenerált lineáris programozási feladatok6) Keverési feladatok7) Belsőpontos algoritmus

2) SZÁLLÍTÁSI ÉS HOZZÁRENDELÉSI FELADATOK

1) Szállítási feladatok2) Hozzárendelési feladatok

3) JÁTÉKELMÉLET

1) Kétszemélyes nullaösszegű játékok 2) Neumann egyensúlyi pont 3) Nash egyensúlyi pontok 4) A játék magja és a Shapley érték n személyes játékokban5) Játékelméleten alapuló közgazdasági modellek

4) HÁLÓZATOK ELEMZÉSE

1) Minimális feszítőfa problémája2) Legrövidebb út keresése3) Maximális folyam meghatározása4) Utazó ügynök problémája

5) PROJEKTEK ÜTEMEZÉSE

1) Kritikus út módszere – CPM2) Idő-költség diagramon alapuló CMP módszer3) PERT módszer

2016.09.26. I. előadás 4

2016.09.26. I. előadás 5

Könyvészetwww.emte.siculorum.ro/~salamonjulia

Makó Z., Salamon J.: Operációkutatási példatárközgazdászoknak, Ed. Scientia, Cluj Napoca, 2011. (30 db.a könyvtárban)Winston W.: Operációkutatás I. II., Ed. AULA, Budapest,2003. (5 db. a könyvtárban)Darnyi P., Varró Z.: Operációkutatás, Ed. Carbocomp,Pécs, 2001. (19 db. a könyvtárban)Hiller F. S., Lieberman G. J.: Bevezetés azOperációkutatásba LSI Okt.központ, Budapest, 1999. (1db. a könyvtárban)

Lineáris programozásA lineáris programozási feladat (LP) egy olyan optimalizálásifeladat, amelyben:

maximalizáljuk vagy minimalizáljuk a döntési változókegy lineáris függvényét. Ezt a maximalizálandó vagyminimalizálandó függvényt célfüggvénynek nevezzük;a döntési változók értékeinek ki kell elégíteniük akorlátozó feltételeket. Ezen a feltételek vagy lineárisegyenlőtlenségek vagy lineáris egyenletek kell legyenek;a döntési változókhoz tartozhat előjel-korlátozás is.

Ha a döntési változókra pluszban kikötjük, hogy értékei egészszámok, akkor egész értékű lineáris programozási feladatrólbeszélünk.

2016.09.26. I. előadás 6

Általános alakja

2016.09.26. I. előadás 7

Lineáris programozás

Matematikai modell felírásának lépései:1. lépés: A döntési változók és a

mértékegységek meghatározása. x1, x2, …..2. lépés: A célfüggvény felírása.3. lépés: A korlátozó feltételek és a döntési

változókra vonatkozó előjel-korlátozófeltételek megadása.

2016.09.26. I. előadás 8

Lineáris programozásFeladatEgy cég kéttípusú robot összeszerelésével foglalkozik. Az elsőtípusú robot R1-nek nevezik és darabja 50 euró profitot, a másodiktípust R2-nek nevezik és darabja 40 euró profitot jövedelmez. Akövetkező héten a két robot összeszerelésére 150 munkaóra állrendelkezésre. Egy darab R1 összeszereléséhez 3 munkaóra és egydarab R2 összeszereléséhez pedig 5 munkaóra szükséges. A R2olyan speciális processzort tartalmaz, amiből csak 20 darab vanraktáron. A cég raktározási helysége 300 négyzetméter, amiből egyR1 8 négyzetmétert és egy R2 pedig 5 négyzetméter területet foglalel. A cég vezetősége maximalizálni szeretné a profitját. Milyentermelési tervet kövessen?

2016.09.26. I. előadás 9

Matematikai modell1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása:

x1 az összeszerelendő R1 robotok darabszáma;x2 az összeszerelendő R2 robotok darabszáma.

2. A célfüggvény felírása.Mivel a cél a profit maximalizálása, ezért meghatározzuk,hogy ha a cég az (x1, x2) termelési tervet választja, azaz x1darabot szerel össze a R1-ből és x2-őt a R2-ből, mennyi lesz aprofitja. Tudjuk, hogy 1 darab R1 50 euró profitoteredményez. Tehát x1 darabnak 50x1 a profitja. Teljesenhasonlóan x2 darab R2 40x2 profitot eredményez. Tehát, ateljes profit: 50x1 + 40x2. Következésképpen a célfüggvény:

z = 50x1 + 40x2.

2016.09.26. I. előadás 10

3. A korlátozó feltételek megadása.Az összeszerelés időigényével kapcsolatos feltétel: mivel egy darabR1 összeszereléséhez 3 munkaóra és egy darab R2összeszereléséhez 5 munkaóra szükséges, ezért x1 darab R1-et és x2darab R2-t 3x1 + 5x2 munkaóra alatt szerelnek össze, ami nem lehetnagyobb, mint a rendelkezésre álló 150 munkaóra, vagyis

3x1 + 5x2 ≤150.A R2 processzorigényével kapcsolatos feltétel: mivel csak 20 darabprocesszor van raktáron, ezért: x2 ≤ 20.A raktározási feltétel: mivel egy R1 8 m2-t és egy R2 5 m2-t foglalel, ezért x1 darab R1 és x2 darab R2 összesen 8x1 + 5x2 m2 területetigényel, ami nem lehet nagyobb, mint a rendelkezésre álló 300 m2

raktározási felület. Következésképpen:8x1 + 5x2 ≤ 300.

A döntési változókra vonatkozó előjelkorlátozó feltételek: mivel azx1 és x2 darabszámokat jelölnek, ezért x1 ≤ 0, x2 ≤ 0, és x1, x2 egészszámok.

2016.09.26. I. előadás 11

Ha összegezzük az 1. 2. és 3. pontokban kapott összefüggéseket, az alábbimatematikai modellhez jutunk:

2016.09.26. I. előadás 12

A lehetséges megoldások halmazának megszerkesztése

Tekintünk egy olyan koordinátarendszert, amelynek a vízszintestengelyen x1 döntési változót, a függőleges tengelyén pedig az x2döntési változót vesszük fel.Az egyenlőtlenségekkel megadott korlátozó feltételek egy félsíkot, azegyenlőséggel megadott feltételek pedig egy egyenest határoznak meg.Ábrázoljuk a határegyeneseket:

3x1 + 5x2 = 150x2 = 20

8x1 + 5x2 = 300Ahhoz, hogy meghatározzuk a lehetséges megoldások halmazt ki kellszámítsuk a három határegyenes páronkénti metszéspontjainakkoordinátáit, azaz meg kell oldani a

2016.09.26. I. előadás 13

2016.09.26. I. előadás 14

Metszéspontok: F( 50/3 , 20), G(25, 20) és H(30, 12).Az M (lehetséges megoldások halmaza) egy olyan poliéder, amelynekcsúcspontjai: O,E, F, H, D.

Sajátos esetekAlternatív vagy többszörös megoldások. Ha két egymásmelletticsúcspontban optimális megoldásokat kapunk, akkor a két csúcspontotösszekötő szakasz minden pontja optimális pont. Ebben az esetben aszintvonal párhuzamos az optimális szakaszt tartalmazó egyenessel.Nincs lehetséges megoldás. Előfordulhat, hogy a korlátozó feltételekés az előjelkorlátozások által meghatározott tartományok metszeteüres. Ekkor a LP-nek nincs megoldása.Az LP feladat nem nemkorlátos. Egy maximalizálási problémában anemkorlátos eset akkor fordul elő, ha a lehetséges megoldásokhalmazában találhatók olyan pontok, amelyekhez tetszőlegesen nagy zértékek tartoznak. Ez csak akkor fordulhat elő, ha a profit szintvonalata növekvő z irányába saját magával párhuzamosan mozgatjuk, és sohanem hagyjuk el a lehetséges megoldások halmazát. Hasonlóan aminimalizálási feladatoknál, ha a költség szintvonalat a csökkenő zirányába saját magával párhuzamosan mozgatjuk, és soha nem hagyjukel a lehetséges megoldások halmazát.

2016.09.26. I. előadás 15