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Université Felix Houphouet BoignyUFR SSMT - Licence 1 Tronc commun

28/11/2018

Régime sinusoïdal - Dr N'Guessan Alexandre 1

Circuits Electriques-Régime sinusoïdal• Objectifs : Fournir aux étudiants les outils de base nécessaires à la

résolution des problèmes relatifs aux circuits fonctionnant en régime sinusoïdal permanent;

• Pré-requis : Bac scientifique (C,D,E)

• Nombre de crédits : 2 crédits

• Type d’enseignement : CM + TD

• Bibliographie : – Fundamentals of electric circuits (Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku)

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Régime sinusoïdalRésultats attendus

A la fin de ce cours, l’étudiant devra savoir :

• Passer du sinusoïdal temporel permanent au phasoriel etinversement

• Utiliser les lois de base de l’électrocinétique pour déterminer lesgrandeurs d’un circuit fonctionnant en régime sinusoïdalpermanent

• Effectuer le bilan de puissance d’une installation électrique

• Améliorer le facteur de puissance d’une installation électrique

• Adapter un générateur à une charge

• Analyser un circuit lors d’un fonctionnement à la résonance

• Fournir la fonction de transfert et tracer le diagramme de Boded’un circuit

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Régime sinusoïdal

Programme

• Chapitre 1 : De l’expression temporelle à la représentation phasorielle

• Chapitre 2 : Application des phaseurs aux circuits électriques

• Chapitre 3 : Puissances électriques

• Chapitre 4 : Notions de résonance

• Chapitre 5 : Réponse fréquentielle

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CHAPITRE 1

DE L’EXPRESSION TEMPORELLE A LA REPRESENTATION

PHASORIELLE

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Programme

• Grandeur sinusoïdale

• Représentation de Fresnel

• Les phaseurs

• Application des phaseurs aux éléments d’un circuit

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Pourquoi l’étude des sinusoïdes?

La nature se manifeste sous forme d’ondes sinusoïdales, qu’il

s’agisse des vagues d’océan, d’un tremblement de terre, d’un

bang sonique, d’une explosion, de la propagation du son dans

l’air ou de la fréquence naturelle d’un corps en mouvement.

Notre univers physique est imprégné d’énergie, de particules en

vibration et d’autres forces invisibles. Même la lumière, à la fois

onde et corpuscule, possède une fréquence fondamentale que

nous percevons comme sa couleur.

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1 . 1 Sinusoïde

- : l’amplitude de la sinusoïde

- : la pulsation (en radians/seconde)

- : est l’argument (radians ou degrés)

- : est la phase (radians ou degrés)

-f2π

Tπ2ω

mX

ω

7

φωtsinXtx m

t

Soient

--> et sont en phase

--> et ne sont pas en phase

: en opposition de phase

: en quadrature de phase

2m22 φωtsinXtx

0 1x 2x

0 1x2x

1 . 1 Sinusoïde

8

1m11 φωtsinXtx

21

π

2π


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1 . Sinusoïdes

tsin180tsin

tcos180tcos

Passage sinus-cosinus

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𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭 ± 𝟗𝟎° ∓ 𝐬𝐢𝐧𝛚𝐭

sin 𝛚𝐭 ± 𝟗𝟎° ± 𝐜𝐨𝐬𝛚𝐭

Comparaison :• Même fréquence. • Pas obligation de même amplitude• Il vaut mieux exprimer les sinusoïdes sous la même forme (sinus ou cosinus)

1.1 Sinusoïde

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Soit à effectuer et à mettre sous la forme

1 . 1 Sinusoïde

11

21 uuu tU cos2

t100cos210u1

3t100cos25u 2

3sint100sin

3cost100cos25t100cos210u

t100sin3

sin25t100cos3

cos25210u

5.03

cos

87.03

sin

t100sin35.4t100cos25.12u

sintsincostcos2Utcos2Uu

sintsin2Ucostcos2Uu

Il vient par identification :

et

Divisons membre à membre :

D’où U=13.2 V

Finalement :

1 .1 Sinusoïde

12

5.12cosU 35.4sinU

348.05.12

35.4tan

33.0

2222235.45.12UsinUcosU

33.0t100cos2.13u


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Pour pouvoir résoudre les circuits alternatifs complexes sans trop de difficultés, on représente tensions et courants par des vecteurs tournants.

Dans le plan Oxy, une tension v = Vmsin (ωt + φ) (ou un courant), est représentée par un vecteur de longueur égale à l'amplitude de la tension, Vm, faisant un angle ωt + φ, avec l'axe Ox. C'est donc un vecteur qui tourne dans le temps avec une fréquence angulaire ω. Cette représentation est appelée représentation de Fresnel.

A chaque instant la grandeur sera égale à la projection du vecteur qui la représente sur l'axe de référence.

1 .2 Représentation de Fresnel

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Si l'on représente sur la même construction de Fresnel plusieurs tensions de même fréquence, les vecteurs qui les représentent tournent à la même vitesse. La figure obtenue tourne donc sans se déformer

Par commodité, on choisit de la construire à t=0 . Dans ce cas, pour représenter une tension, il suffira de construire un vecteur de longueur proportionnelle à Vm faisant un angle φ avec l'axe choisi comme origine des phases. Toute tension sera ainsi associée à un

point du plan.


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Addition de deux tensions sinusoïdales


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1 . 3 Les phaseurs

Soit (représentation temporelle)

ou

D’où

Avec

est la représentation phasorielle de la sinusoïde

Comme dans le cas d’une grandeur complexe, le phaseur peut être exprimé sous forme cartésienne, polaire ou exponentielle.

tcosVt mv

tj

mm eVRetcosVtv

tjj

m eeVRet v

tjeVRet v

m

j

m VeVV

V

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1 .3 Les phaseurs

Un Phaseur est un nombre complexe représentant l’amplitude et la phase d’une sinusoïde

Expression d’un nombre complexe :

• Forme rectangulaire

• Forme polaire

• Forme exponentielle

Relation entre forme rectangulaire et forme polaire :

jyxz

rz jrez

sinjcosrrjyxz

22 yxr x

ytan 1

cosrx sinry

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1 .3 Les phaseurs

Opérations sur les nombres complexes :

•Addition :

•Soustraction :

•Multiplication :

•Division :

11111 rjyxz 22222 rjyxz

212121 yyjxxzz

212121 yyjxxzz

212121 rrzz

21

2

1

2

1

r

r

z

z

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1 . 4 Application des phaseurs aux éléments d’un circuit électrique

Résistance R

•Forme temporelle :

•Forme phasorielle

La relation tension-courant du domaine temporel continue d’exister dans le domaine phasoriel

tcosImi φωtcosRIR m iv

mII IRV

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•Résistance R

Le courant et la tension sont

en phase

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Inductance L



tcosIi m

mII

tsinLIdt

diL mv

90cossin AA 90tcosLImv

φIeωLeeωLIeωLIV m

j90j90jφ

m

90φj

m

je 90j ILjV

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•Inductance L

Diagramme phasoriel d’une inductance : le courant I est en retard de phase sur V

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•Condensateur C



je 90j

tcosVmv tsinCVdt

dvCi

90tcosCVisoit

mVV

m

90j90jj

m

90j

m VeCeeCVeCVI

VCjI

Cj

IV

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•Condensateur C

Diagramme phasoriel d’un condensateur : le courant I est en avance de phase sur V

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Tableau récapitulatif

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