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8/18/2019 1 Errrores de Redondeo 5

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Métodos Numéricos y Programación I UNMSM 2014 I

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ERRRORES DE REDONDEO

INTRODUCCION:

Al momento de aplicar las Matemáticas a situaciones del mundo real nosencontramos a menudo con problemas que no pueden ser resueltosanalíticamente o de manera exacta y cuya solución debe ser abordada conayuda de algún procedimiento numérico. A continuación consideramos algunosproblemas típicos, ya formulados matemáticamente, para los cualesestudiaremos técnicas numéricas de solución.


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En relación con los problemas anteriores, tenemos que:

Los problemas anteriores sirven como motivación para el estudio de los cursosde métodos numéricos.


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¿Qué es un método numérico?

Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casisiempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizandocálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales,

cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo proposicional,etc.). Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisasque especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas(algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución delproblema (solución numérica) o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculode dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación delalgoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentosde cálculo (los computadores). En general, al emplear estos instrumentos decálculo se introducen errores llamados de redondeo.

ARITMETICA FINITA

Siendo los computadores la herramienta básica en los métodos numéricos es

conveniente indicar cómo son los números del computador y cómo se simula su

aritmética.

La mayoría de los computadores usan sólo un subconjunto finito, relativamente

pequeño, de los números reales para representar a "todos" los números reales;

este conjunto, que sólo contiene números racionales, es llamado conjunto de

números de punto flotante o conjunto de números de máquina en

punto flotante o simplemente conjunto de punto flotante.

Para una computadora dada, el número de bits generalmente se llama palabra,

las palabras van desde ocho bits hasta 16 bits, para nuestro estudio

consideraremos que una palabra es de 16 bits.

NUMEROS ENTEROS

De los 16 bits, el primero representa el signo del número; un cero es signo más

y un 1 un signo menos. Los 16 bits restantes pueden usarse para guardar

números binarios desde

⏟

hasta ⏟

16 bits

……

0 1 2 15


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Ejemplo:

Represente el número en una palabra de 16 bits.Solución:

Entonces su almacenamiento en una palabra de 16 bits es representada por:

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0

NUMEROS REALES:

Cuando se desea almacenar un número real, se emplea en su representaciónbinaria llamada punto flotante y es representado por

Donde Pueden ser ceros o unos y se guardan en una palabra de la forma

0 1 2 7 8 15

En el bit cero se guarda el signo del número y en los bits del 1 al 7 se almacena

el exponente de la base 2(es un numero binario de seis dígitos, ya que el bit 1

se emplea para su signo). En los bits del 8 al 15 se almacena la fracción.La fracción es llamada mantisa y el exponente característica.

Ejemplo 1.

El numero decimal (en base 2)Este número al ser normalizado (punto flotante) se tiene

⏟

Signo(-)

CARACTERISTICA MANTISA

Signo

mantisa Signomantisa


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El número quedara almacenado de la forma

1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0

⃡ ⃡

Ejemplo 2.

El numero (en base 2)Normalizando se tiene

⏟

El número se almacena de la siguiente forma

0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0

⃡ ⃡

OBSERVACION:

Supondremos que los números de maquina se presentan en forma decimal

normalizado

donde para cada en algunas máquinas tienen aproximadamente

Si el número real en la forma de punto flotante puede ser normalizado y tiene la

forma Si se quiere obtener la mantisa de k dígitos decimales, existen dos maneras de

realizar esta terminación.

1° METODO DE TRUNCACION (CORTE)

Consiste en cortar los dígitos Para obtener


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2° METODO DE REDONDEO

Si agregamos uno a Si cortamos los digitos

Ejemplo: el numero Supongamos que , entonces1° 2° El error que resulta de reemplazar un número por su forma de punto flotante se

denomina error de redondeo (independiente del método que de use).


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DEFINICION

Si es una aproximación de pEl Error Absoluto se define por

| | El Error Relativo se define por

||||

También se define el error porcentual de con respecto a , como y se expresa en porcentajes (%).

Ejemplo:

1. Si , entonces | | |

|||

2. Si , entonces | | |

|||

3. Si , entonces | |

|

|||


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OBSERVACION:

El error relativo ocurre para errores absolutos muyvariados, por lo tanto, el EA puede ser engañoso y el ER más significativo para

cantidades “muy grandes” o “ muy pequeñas”.

CAUSAS DE ERRORES

Consideremos un número en el sistema decimal tal que tiene una mantisa de 4

digitos decimales y una característica de 2 digitos decimales. Sumando estos 6

al bit empleado para el signo del número, se tendrá una longitud de palabra de

7 bits. Los números que se van a guardar primero deben normalizarse, veamos

a). SUMA DE NUMEROS

Sumar 0.002 a 600.

Normalizándose se tiene

Estos números normalizados no pueden sumarse directamente, entonces la

computadora debe desnormalizarlos antes de efectuar la suma, veamos

Como solo puede manejarse 4 digitos, los dos últimos serán eliminados y la

respuesta será

Esto quiere decir que la suma nunca se realizó.

OBSERVACION

No sumar o restar números muy diferentes.


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b). ALGUNAS OPERACIONES

Se tiene la expresión algebraica a calcularse

1. Si Entonces

2. Si Entonces

Aquí se observa que y pero para se tiene que

c). Calcular el producto de A, B y C, si

1. Sea Veamos El exponente esta excedido en un digito, entonces no puedeguardarse en la computadora y este resultado se expresa como cero,

luego

2. Sea Veamos Entonces

Aquí se observa que


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OBSERVACION:

Un caso particular de aproximación de un numero p es cuando , y setiene que el error es

|| ||

|| También el numero se representa por , es decir

DEFINICION:

Se dice que el numero x* aproxima con sus primeros t-digitos o cifras

significativas al numero , si t es el mayor entero no negativo para el cual

| |||

Los t-digitos significativos, son los primeros t-digitos en la mantisa de x * cuando

x* se escribe en forma decimal normalizada.

DEFINICION:

Se dice que el numero x* aproxima con sus primeras k-cifras decimales exactas

al numero x, si k es el mayor entero no negativo tal que

| | Las k-cifras decimales exactas, son las primeras k cifras contadas a partir del

punto decimal en x* , cuando x* se escribe en forma decimal.


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CRITERIO PARA ELABORAR UN ALGORITMO

El objetivo es escoger métodos que produzcan resultados confiables en su

precisión, esto es, si se hace cambios pequeños en los datos iniciales

produzcan correspondientes cambios pequeños en los resultados finales.

Un algoritmo que satisface esta propiedad se llama estable, es inestable cuando este criterio no se cumple.

DEFINICION:

Supongamos que representa el crecimiento del error después de noperaciones subsecuentes,

Si || donde C: constante independiente de n

: error que se introduce en alguna etapa de los cálculos.Se dice que el crecimiento del error es lineal.

Si || , para algún K>1,Se dice que el crecimiento del error es exponencial.

El crecimiento lineal de error es usualmente inevitable, y cuando C y sonpequeños los resultados son generalmente aceptables.

El crecimiento exponencial del error debe ser evitado, porque el término

será grande aun para valores pequeños de n.

Por lo tanto, un algoritmo que presenta crecimiento lineal del error es estable,

mientras que un algoritmo donde el crecimiento del error es exponencial es

inestable.


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Ejemplo:

La sucesión

Puede generarse recursivamente tomando y definiendo

Y se tiene los resultados para 5 dígitos redondeado

n

= Exacto

0 1

2

3 0.37037 4 0.12346

El error de redondeo introducido al reemplazar produce un

error de solo en el n-esimo término de la sucesión, estemétodo de generar la sucesión es estable.

Otra manera de generar la sucesión es definiendo

y para ,

Se tiene los resultados exactos y redondeados a 5 digitos.

n

0

1 2 3 4 5 6 7

Este método es inestable.


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La rapidez de convergencia de *+ a cero es similar a la convergencia de {} a cero, en tanto que *̂+ converge a cero con una rapidez similar a la de lasucesión { }, la cual converge mas rápido.

Ejemplo

Suponga que, para , ̂

Aunque ̂ , la sucesión *̂+ converge en estelímite mucho más rápido que la sucesión *+ , usando la aritmética deredondeo a cinco cifras se muestra en la siguiente tabla.

n 1 2 3 4 5 6 7

2.00000 0.75000 0.44444 0.31250 0.24000 0.19444 0.16327 4.00000 0.62500 0.22222 0.10938 0.06400 0.041667 0.029155

Si

, se tiene que

| |

y

|̂ |

De modo que

() (

)

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