1 Fondamenti TLC

QUANTIZZAZIONEE

TRASMISSIONE DI SEGNALI NUMERICISEZIONE 7

2 Fondamenti TLC

Segnali numericiSi consideri il segnale x(t) campionato a intervalli T.

tT

Segnale originale x(t)

Campioni del segnale x(nT)

Ogni campione del segnale campionato x(nT) e’ un numero reale che puo’ assumere con continuita’ qualsiasi valore compreso tra uno minimo e uno massimo.

Se si vuole rappresentare ogni campione x(nT) in forma numerica (ad es. per memorizzarlo in forma binaria su un PC) e’ necessario approssimare il numero reale con un numero finito K di livelli compresi tra il minimo e il massimo.Questa operazione viene detta QUANTIZZAZIONE.

3 Fondamenti TLC

Schema a blocchi del convertitore A/D

Campionatore Quantizzatore Codificatorex(t) c(n)

fc=1/T

t

K=256=28

….u10 -> 00001010u11 -> 00001011 u12 -> 00001100...

c(n)

nTb

tRb [bit/s]= 1/Tb=fc log2K

Tb=T/log2K

xq(nT)x (nT)

1

0

4 Fondamenti TLC

La quantizzazione

x(nT)

xq(nT)

-V V

Quantizzatorex(nT) xq(nT)Il quantizzatore e’ un dispositivo che trasforma

il campione reale x(nT) nel campione quantizzato con un numero K di livelli xq(nT).

Ad esempio se il minimo e il massimo valore che puo’ assumere il campione x(nT) sono -V e V, la relazione tra il valore continuo x(nT) e quello quantizzato xq(nT), e’ rappresentata

da una scalinata con K livelli.

L’intervallo di quantizzazione e’:

K

V2

5 Fondamenti TLC

L’errore di quantizzazione

Quantizzando si commette un errore tanto piu’ piccolo quanto piu’ elevato e’ il numero K di livelli. L’errore di quantizzazione e’ definito come: nTxnTxnTe q

0 50 100-5

0

5

0 50 100-5

0

5

x(nT) xq(nT)

e(nT)

6 Fondamenti TLC

-V/K V/K

p(e(nT))

e(nT)

K/2V

Caratteristiche dell’ errore di quantizzazione

0

valore medio nullo

densita’ di probabilita’ uniforme p(e)= K/2V

valore qaudratico medio (valore efficace) =V/K 3-1/2

campioni incorrelati (se K sufficientemente grande)

7 Fondamenti TLC

Un’espressione facile da ricordare

Se il numero K di livelli e’ elevato, l’errore di quantizzazione di un campione e’ una

variabile casuale con densita’ di probabilita’ uniforme tra - e +Dunque l’errore di quantizzazione e’ una variabile casuale a valor medio nullo e varianza uguale a:

Se si vogliono utilizzare N cifre binarie per rappresentare i campioni avremo che:

NnTe

V2

222

2

1

312

2

2222

312

12

12 K

V

K

VnTe

Se ora esprimiamo la varianza dell’errore in DECIBEL (dB), otteniamo:

NV

NV

V NnTedBnTe

63

log104log103

log10

2log103

log10log10

2

1010

2

10

210

2

102

102

Con una cifra binaria in piu’, la varianza dell’errore di quantizzazione si riduce di 6dB

Con una cifra binaria in piu’, la varianza dell’errore di quantizzazione si riduce di 6dB

8 Fondamenti TLC

Codifica dei campioni quantizzati

Codifica naturale

v3

v2

v1

111110101100

010

000

011

001

v5

v6

v7

v8

v4

Con N cifre binarie (bit) si ottengono K = 2N livelli di quantizzazione. Ad ogni livello si puo’ dunque associare un codice di N bit .

Ad esempio, se N=3 , otteniamo K = 8 livelli di quantizzazione Vm codificabili in vario modo con 3 bit.

9 Fondamenti TLC

La BIT RATE di un segnale numerico

La cadenza di bit al secondo di un segnale numerico viene chiamata “bit rate”.

Per un segnale tempo continuo x(t) con frequenza massima di 3.6KHz (un segnale telefonico p.e.), il teorema del campionamento ne impone una frequenza di campionamento fc maggiore di 7.2KHz. Utilizziamo quindi fc =8KHz: 8000 campioni al secondo.

Se quantizziamo il segnale con K=256 livelli servono N=8 bit.

Il segnale telefonico numerico avra’, dunque, una bit rate di:

Kbit/sec 6480008 cNf Kbit/sec 6480008 cNf

10 Fondamenti TLC

Applicazione: quantizzazione non uniforme

Segnale Telefonico

v(t)

Microfono

Banda 300-3400 HzFrequenza di campionamento fc=8kHz

Utilizziamo N=8 bit per campione

Bit Rate: 64Kbit/s (8 Kcamp/s.*8 bit/campione)

Nell’ipotesi di segnale con distribuzione d’ampiezza uniforme nell’intervallo [-V,+V], la potenza di segnale e’ P1=V2/3.

Se si utilizza una quantizzazione uniforme (=2V/2N), PQ=2/12, dunque

(P1/ PQ) |dB =SNR|dB =6N=6*8=48 dB

Sufficiente per buona qualità segnale (>30dB).

Fissato il passo di quantizzazione , se la potenza del segnale PS diminuisce di un fattore 100 (Ps=P1-20 [dB]), cosa normalissima,

SNR|dB 28dB < 30dB.

Potenza del segnale fortementedipendente dal parlatore

11 Fondamenti TLC

Quantizzatori non uniformi

v

u

Sono utilizzati quando 1)la statistica del segnale in ingresso non è uniforme per minimizzare l’ errore quadratico medio 2) la sensibilita’ percettiva dipende dall’ ampiezza del segnale

si+1si

ui

12 Fondamenti TLC

Quantizzatore non uniforme: implementazione

N.L. Q. unif.v vc

MM,c

coo v

vm;

v

vv;

)1log(

)m1log(v

0 1

1

=5100200

|m|

ov

vq

vc

vsisi-1

vi

13 Fondamenti TLC

Companding (Compression-Expanding)

-48 -44 -40 -36 -32 -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 00

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

Ps /P1 [dB]

SNR [dB]

10dB

Senza Companding

Con Companding

14 Fondamenti TLC

Come si trasmette un segnale numerico

Abbiamo visto che un segnale numerico, a valle della codifica, e’ costituito da una sequenza di bit che si presentano con una certa cadenza (la bit rate).

......1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 …..

A questo punto possiamo dimenticare l’origine della sequenza e che i bit vanno letti a gruppi di N, a partire da una certa posizione, per risalire ai campioni del segnale quantizzato xq(nT) .

Si deve trasmettere la sequenza, con la sua cadenza, attraverso un canale di trasmissione (satellite, ponte radio, cavo coassiale, fibra ottica …) che lascia passare solo segnali y(t) che hanno frequenze comprese nella banda B centrata attorno alla frequenza fo. Inoltre dovremo trasmettere dei segnali di sincronismo.

f

BB

fo-fo

Banda del canale

15 Fondamenti TLC

)(ty tgamFiltro PBcanale campionatore tg

ma sm nTga

soglia0;10;1

Trasmissione antipodale in banda base

-A 0 A am

Sistema di trasmissionenon rumoroso

y(t) = -A;+A

x(t)=y(t)+n(t)

n(t) mn=0

n2= kT B

Soglia S 0;1Gen.Segn.

0;1

16 Fondamenti TLC

)(ty tgam

tfo2cos

Filtro PBcanale campionatore tg

ma sm nTga tfo2cos

soglia0;10;1

-A 0 A am

fBB

fo-fo

No : densita’ spettrale

di potenza del rumore

No

BNwEwE nn 022

;0 BNwEwE nn 022

;0

Trasmissione antipodale in banda traslata

17 Fondamenti TLC

Uso delle costellazioni di segnali complessi

Re

Im

A

A3A

3A

Abbiamo visto in precedenza che, utilizzando la modulazione in fase e quadratura, possiamo sovrapporre nella stessa banda di frequenze M segnali che, una volta demodulati e campionati producono M numeri complessi che formano la costellazione. E’ evidente che possiamo associare agli M punti della costellazione una qualsiasi configurazione di N=log2M bit che possono essere trasmessi contemporaneamente sullo stesso canale.

......1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 …..

Ad esempio, se usiamo una costellazione QAM con M=16 punti, possiamo trasmettere “simboli” di N=log216=4 bit contemporaneamente sullo stesso canale.ATTENZIONE: il numero M di punti della costellazione non e’ necessariamente legato al numero K di livelli del segnale quantizzato.

Simboli di 4 bit

18 Fondamenti TLC

Schema del sistema di trasmissione

3A

......1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 …..

Simbolo da 4 bit da trasmettere

Ab

Aa

m

m

3

3

Im

A

A

3A

Re

tfo2sin

)(ty

tgbm

tgam

tfo2cos

tfj o22exp

Filtro PB tgjbtga mm canale

campionatore

tg

tg

ma mb

AjAjba mm 33 smsm nTgjbnTga

Ts=NT e’ detto tempo di simbolo

m=116

19 Fondamenti TLC

Cadenza dei simboli (1)

Supponiamo che il segnale g(t) utilizzato nello schema di trasmissione precedente, sia un seno cardinale con ampiezza massima unitaria in t=0 e zeri in t=n Ts. La sua trasformata di Fourier e’ limitata tra le frequenze -1/(2 Ts) e +1/(2 Ts).

1

-TsTs

t -1/2Ts 1/2Ts

Ts

fTrasformata di Fourier

1 - Affinche’ in ricezione, agli istanti di campionamento, non si sommino contributi di simboli successivi, e’ necessario che intercorra un tempo pari a Ts secondi tra un simbolo e l‘altro.

1 - Affinche’ in ricezione, agli istanti di campionamento, non si sommino contributi di simboli successivi, e’ necessario che intercorra un tempo pari a Ts secondi tra un simbolo e l‘altro.

-2Ts -Ts Ts 2Tst

Agli istanti di campionamento t=n Ts e’ presente il contributo di un solo simbolo. In questo caso si dice che l’interferenza intersimbolica e’ nulla.

20 Fondamenti TLC

Cadenza dei simboli (2)

2- Affiche’ il segnale g(t) passi attraverso la banda B del canale e’ necessario che la banda complessiva del seno cardinale 1/Ts sia minore o uguale a B

2- Affiche’ il segnale g(t) passi attraverso la banda B del canale e’ necessario che la banda complessiva del seno cardinale 1/Ts sia minore o uguale a B

Dunque, data la banda B del canale, il piu’ breve tempo di simbolo Ts che si puo’ utilizzare

e’ uguale a 1/B e quindi la cadenza dei simboli Rs e’ uguale alla banda B:

Rs=BLa cadenza dei bit R (bit rate) e’ uguale alla banda B per il numero N di bit per simbolo.

Esempio 1 - Dato un canale trasmissivo con 20MHz di banda e volendo utilizzare una costellazione MSK a M=16 punti, la massima bit rate che possiamo trasmettere e’:

Mbit/sec 8016log1020 26 Mbit/sec 8016log1020 2

6 Esempio 2 - Data una bit rate da trasmettere pari 100Mbit/sec. e volendo utilizzare una costellazione QAM a 64 punti, la minima banda del canale e’:

MHz 6.1664log

10100

2

6

B MHz 6.1664log

10100

2

6

B

R=NRs= NB=Blog2M

R=

21 Fondamenti TLC

Effetto del rumore sommato al segnale ricevuto

Si consideri la trasmissione di simboli da N=log2M bit utilizzando un segnale g(t) scalato con i coefficienti am e bm come descritto nello schema del sistema di trasmissione.

Adottiamo la notazione complessa cm = am +j bm con m=116.

Assumiamo che la trasmissione del segnale g(t) sia disturbata solamente dal rumore bianco w(t) introdotto dal canale, e cioe’ che al ricevitore, a valle della demodulazione complessa, arrivi il segnale:

)()()( twtgctx m )()()( twtgctx m

Il rumore w(t) introdotto dal canale modifica sia la componente in fase che quella in quadratura del segnale desiderato cm g(t) e quindi e’ complesso.

Abbiamo gia’ visto che, campionando il segnale complesso ricevuto si ottengono i punti della costellazione cm in assenza di rumore in quanto si pone g(0)=1.

L’aggiunta del rumore cambia il valore complesso ricevuto cm + w(n Ts) . L’effetto di tale cambiamento e’ uno spostamento nel piano complesso del valore ricevuto rispetto a cm .

22 Fondamenti TLC

Effetto del rumore sulla costellazione ricevuta

Il rumore w(t) introdotto dal canale ha valor medio nullo e una distribuzione delle ampiezze di tipo gaussiano sia sulla parte reale sia su quella immaginaria. I valori misurati in prove ripetute si distribuiscono circolarmente attorno ai valori nominali cm .

I valori nominali cm della costellazione 16-QAM sono indicati con

23 Fondamenti TLC

-300 -200 -100 0 100 200 300-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Il problema della stima dei punti della costellazione (1)

Per semplicita’ di scrittura nel seguito indicheremo:• il segnale ricevuto agli istanti di campionamento: x(n T)=xn • il rumore introdotto dal canale agli istanti di campionamento: w(n T)=wn

• la forma d’onda reale trasmessa agli istanti di campionamento: g(n T)=gn

nnn wcgx nnn wcgx

Attenzione: utilizziamo un intervallo di campionamento T tale per cui il segnale e’ campionato correttamente ed il rumore e’ incorrelato da campione a campione.

Gli elementi della costellazione cm

vengono indicati genericamente con

c sottintendo il pedice m.

ncgncg

TTs

0cg0cg

1cg1cg1cg 1cg

24 Fondamenti TLC

Il problema della stima dei punti della costellazione (2)

BNwEwE nn 022

;0 BNwEwE nn 022

;0

Il rumore wn introdotto dal canale e’ complesso a valor medio nullo con varianza (reale!) uguale alla densita’ spettrale di potenza No costante dato che’ e’ un processo casuale bianco.

f

BB

fo-fo

No : densita’ spettrale

di potenza del rumore

25 Fondamenti TLC

-300 -200 -100 0 100 200 300-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Il problema della stima dei punti della costellazione (3)

nnn wcgx nnn wcgx

110011

2/

2/

ˆ xdxdxdxdcL

Liii

110011

2/

2/

ˆ xdxdxdxdcL

Liii

La stima lineare di ogni

elemento della costellazione c (e

quindi del simbolo trasmesso) si ottiene combinando L+1 dati ricevuti intorno a x0 , con

coefficienti di ottimizzati per

minimizzare l’errore di stima (quadratico medio). Per ora, si trasmetta un simbolo per volta!

TTs

nxnx

0x0x

1x1x

1x1x

26 Fondamenti TLC

Il problema della stima dei punti della costellazione (4)

cc ˆ cc ˆL’errore di stima degli elementi della costellazione e’:

Per trovare i coefficienti di , minimizziamo il valore quadratico medio di :

2 E minimo 2 E minimo

2/,,2/0

2

22 L...L ii

d

εE

ii

xEd

εεE

2/,,2/0

2

22 L...L ii

d

εE

ii

xEd

εεE

Troviamo L+1 equazioni in L+1 incognite di che, al solito, stabiliscono che l’errore di

stima sia incorrelato con i dati xn .

A meno di un fattore di scala verificheremo che la soluzione e’: ii gd ii gd

2/

2/

xdL

Liii

c con

27 Fondamenti TLC

Il problema della stima dei punti della costellazioneNell’esempio riportato nelle figure precedenti abbiamo:

;4/1 ;2/1 ;4/1 110011 gdgdgd ;4/1 ;2/1 ;4/1 110011 gdgdgd

12120121

5140312

3120111

1100110

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

mmmm xdxdxdc

xdxdxdc

xdxdxdc

xdxdxdc

12120121

5140312

3120111

1100110

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

mmmm xdxdxdc

xdxdxdc

xdxdxdc

xdxdxdcSe ora trasmettiamo piu’ simboli (punti della costellazione) a passo Ts=2T , utilizziamo gli stessi

coefficienti di per combinare linearmente i campioni

del segnale ricevuto xn centrati attorno all’istante di

tempo mTscorrispondente a cm (attenzione m ora e’

l’ indice temporale!!)Si noti che l’operazione che stiamo eseguendo puo’ essere interpretata come una convoluzione tra il segnale ricevuto xn e il filtro con risposta all’impulso hn = d-n seguito da

una selezione dei campioni dell’uscita yn : cm = y2m (nel caso generale in cui il tempo di

simbolo Ts=MT avremmo cm = yMm ).

mmmmm

nnnk

kknnnn

cxdxdxdy

xdxdxddxdxy

ˆ

*

121201212

11011

1

1

mmmmm

nnnk

kknnnn

cxdxdxdy

xdxdxddxdxy

ˆ

*

121201212

11011

1

1

28 Fondamenti TLC

Il filtro adattato

Il filtro con risposta all’impulso hn = d-n che ottimizza la ricezione dei simboli

trasmessi viene detto FILTRO ADATTATO in quanto adattato al segnale

trasmesso gn infatti, a parte un fattore di scala, è hn = g-n .

29 Fondamenti TLC

-100 -50 0 50 100-0.5

0

0.5

1

1.5

1x1x

0x0x

100 , iixE 100 , iixE

Esempio per L+1=2

Stimiamo l’elemento della

costellazione c0 combinando

linearmente i dati ricevuti x0 e x1.

00 cc

11000ˆ xdxdc

0

0

1002111

201110001

1012000

200110000

xxEdxEdgcExxdxdcExE

xxEdxEdgcExxdxdcExE

0

0

1002111

201110001

1012000

200110000

xxEdxEdgcExxdxdcExE

xxEdxEdgcExxdxdcExE

0000 wgcx

1101 wgcx

30 Fondamenti TLC

Esempio per L+1=2

0000 wgcx 1101 wgcx

0

0

1002111

201110001

1012000

200110000

xxEdxEdgcExxdxdcExE

xxEdxEdgcExxdxdcExE

0

0

1002111

201110001

1012000

200110000

xxEdxEdgcExxdxdcExE

xxEdxEdgcExxdxdcExE

10

201010

20

100101001020

11000010

ggcEwwggcE

wwwgcwgcggcE

wgcwgcExxE

2

121

20

2110

21

20

20

20

2000

20

wEgcEwgcExE

wEgcEwgcExE

0

0

10200

21

21

2011

20

10201

20

20

2000

20

ggcEdwEgcEdgcE

ggcEdwEgcEdgcE

0

0

10200

21

21

2011

20

10201

20

20

2000

20

ggcEdwEgcEdgcE

ggcEdwEgcEdgcE

31 Fondamenti TLC

Esempio per L+1=2

0

0

102

022

12

112

102

122

02

002

ggdgdg

ggdgdg

SNSS

SNSS

0

0

102

022

12

112

102

122

02

002

ggdgdg

ggdgdg

SNSS

SNSS

0

0

1002

22111

1012

22000

ggdgdg

ggdgdg

S

N

S

N

0

0

1002

22111

1012

22000

ggdgdg

ggdgdg

S

N

S

N

0

0

10200

21

21

2011

20

10201

20

20

2000

20

ggcEdwEgcEdgcE

ggcEdwEgcEdgcE

0

0

10200

21

21

2011

20

10201

20

20

2000

20

ggcEdwEgcEdgcE

ggcEdwEgcEdgcE

11

212

220

00

1

kgd

ggk

kgd

S

N

11

212

220

00

1

kgd

ggk

kgd

S

N

32 Fondamenti TLC

Il filtro adattato

2/

2/

2/

2/

22/

2/

2/

2/

ˆL

Liii

L

Lii

L

Liiii

L

Liii wgkgckwcgkgxdc

2/

2/

2/

2/

22/

2/

2/

2/

ˆL

Liii

L

Lii

L

Liiii

L

Liii wgkgckwcgkgxdc

cg

wgcc L

Lii

L

Liii

2/

2/

2

2/

2/ˆ

cg

wgcc L

Lii

L

Liii

2/

2/

2

2/

2/ˆ

Riscalando (cioè normalizzando al valore di c) il risultato in modo che, in assenza di rumore, si ritrovi il valore trasmesso c, otteniamo:

La somma deve essere fatta su tutti i campioni del segnale trasmesso, per massimizzare l’efficienza. Si commette errore se il termine di rumore rende il valore complesso stimato piu’ prossimo ad un punto della costellazione diverso da quello trasmesso. La probabilita’ di questo evento dipende dal valore quadratico medio di .

33 Fondamenti TLC

Il filtro adattato

02/

2/

2

2/

2/

L

Lii

L

Liii

g

wEgE

02/

2/

2

2/

2/

L

Lii

L

Liii

g

wEgE

g

L

Lii

L

Lii

N

L

Lii

L

LiiN

L

Lii

L

Liii

E

N

gT

N

gg

g

g

wgE

E 02/

2/

2

02/

2/

2

2

22/

2/

2

2/

2/

22

22/

2/

2

22/

2/2

g

L

Lii

L

Lii

N

L

Lii

L

LiiN

L

Lii

L

Liii

E

N

gT

N

gg

g

g

wgE

E 02/

2/

2

02/

2/

2

2

22/

2/

2

2/

2/

22

22/

2/

2

22/

2/2

Si noti che ha valor medio nullo. Infatti:

Il valore quadratico medio di dipende dal rapporto tra la densita’ spettrale di potenza del rumore No all’ingresso del ricevitore e l’energia Eg del segnale ricevuto e filtrato in modo ottimale (filtro adattato).

Nel calcolo si pone la banda del canale uguale a 1/T e il numero di campioni L sufficientemente elevato da ricoprire l’intera forma d’onda ricevuta g(t).

34 Fondamenti TLC

Il rapporto segnale-rumore che si ottiene con un filtro adattato dipende solamente dal rapporto tra l’energia del segnale Eg e la densita’ spettrale di potenza N0 del rumore all’ingresso del filtro (dimensionalmente un’ energia).

Per valutare l’efficacia con cui un filtro adattato combatte l’effetto del rumore additivo introdotto dal canale, tutte le forme d’onda g(t) che hanno la stessa energia sono equivalenti, indipendentemente dalla loro forma (ad es. seno cardinale, rettangolo, triangolo …).

Il rapporto Eg/ N0 e’ adimensionale ([J ]=[W]/[Hz]).

Per trasmissioni binarie, Eg= Eb (energia spesa per la trasmissione di un bit).

Il filtro adattato (conclusioni)

35 Fondamenti TLC

-50 -25 0 25 50-2-1012

-50 -25 0 25 50-202

-50 -25 0 25 50-2-1012

Il filtro adattato (un esempio)

Due segnali c1 g(t)

e c2 g(t) senza

rumore.

Gli stessi segnali c1 g(t) e c2 g(t)

con l’aggiunta del rumore. I valori all’istante di lettura t=0 sono quasi uguali.

L’effetto del filtro adattato. I valori all’istante di lettura t=0 sono ritornati ben distinti.

36 Fondamenti TLC

Il filtro adattato (lo stesso esempio visto sulla costellazione)

Due segnali c1 g(t)

e c2 g(t) senza

rumore.

Gli stessi segnali c1 g(t) e c2 g(t)

con l’aggiunta del rumore. I valori all’istante di lettura t=0 sono quasi uguali.

L’effetto del filtro adattato. I valori all’istante di lettura t=0 sono ritornati ben distinti.

Re

Im

Re

Im

Re

Im

37 Fondamenti TLC

II nAy

QQ nBy

(yI+jyQ )(A+jB)

nI

nQ

dmin

Re

Im

Prestazioni delle costellazioni QAM

gE

NE 02

gE

NE 02

e’ il rumore complesso normalizzato dall’energia Eg della forma d’onda g(t). Dunque, a parita’ di rumore, piu’ l’energia di g(t) e’ piccola piu’ e’ grande in modulo.

La probabilita’ di commettere un’errore di decisione sul valore trasmesso coincide con la probabilita’ che un qualsiasi valore della costellazione si sposti, a causa di al di fuori del quadrato di lato dmin (almeno per i punti interni della costellazione), centrato sul valore corretto. Dunque tale probabilita’ dipende sia dalla deviazione standard di sia dalla distanza minima tra i punti della costellazione dmin

cg

wgcc L

Lii

L

Liii

2/

2/

2

2/

2/ˆ

38 Fondamenti TLC

La probabilita’ di errore di simbolo P(es)

0

2minmin

24

24

N

EdQdQeP g

sdmin

Re

Im

dmin

Re

Im

Simbolo sbagliato

Simbolo giusto

Supponendo che parte reale e immaginaria di abbiano densita’ di probabilita’ gaussiane indipendenti, la probabilita’ che esca dal quadratino giallo (cioe’ la probabilita’ di sbagliare simbolo) e’ data da:

dove la funzione Q e’ stata definita in precedenza

a

)(af X

22

606.0

xx x

B

mX

C=B

X

QB

X

QB

PUNTI INTERNI DELLA COSTELAZIONE M-QAMPUNTI INTERNI DELLA COSTELAZIONE M-QAM

39 Fondamenti TLC

La probabilita’ di errore di simbolo P(es)

0

2minmin

22

22

N

EdQdQeP g

s

dmin/2

Re

Im

dmin

La probabilita’ che esca dalla zona gialla (cioe’ la probabilita’ di sbagliare un simbolo sullo spigolo) e’ data da:

PUNTI DI SPIGOLO DELLA COSTELLAZIONE M-QAMPUNTI DI SPIGOLO DELLA COSTELLAZIONE M-QAM

0

2minmin

23

23

N

EdQdQeP g

s

La probabilita’ che esca dalla zona gialla (cioe’ la probabilita’ di sbagliare un simbolo sul bordo) e’ data da:

PUNTI DI BORDO DELLA COSTELLAZIONE M-QAMPUNTI DI BORDO DELLA COSTELLAZIONE M-QAM

Re

Im

40 Fondamenti TLC

Energia di simbolo ed energia di bit

L’energia associata ad ogni simbolo Es e’ data dall’energia Eg della forma d’onda g(t) , moltiplicata per il quadrato del modulo del punto della costellazione:

(C1= A+jA)

dmin

(C3= -A-jA) (C4= A-jA)

(C2= -A+jA)

dmin

gms EcE2

Ad sempio, nel caso delle costellazioni 4-QAM l’energia associata ad ogni simbolo vale:

gs Ed

E2

2min

Se il simbolo e’ formato da N bit, si puo’ dire che l’energia Eb associata al singolo bit e’ uguale a quella di simbolo Es divisa per N.

Re

Im

MNEN

d

N

EE g

sb 2

2min log

2

Ad sempio, nel caso delle costellazioni 4-QAM l’energia associata ad ogni simbolo vale:

42

2min

gs

b EdE

E

41 Fondamenti TLC

Probabilita’ di errore nel caso 4-QAM

(A+jA)

dmin

(-A-jA) (A-jA)

(-A+jA)

dmin

Nel caso della costellazione 4-QAM La probabilita’ di errore di simbolo assume la semplice espressione:

000

2min 2

222

2N

EQ

N

EQ

N

EdQeP bsg

s

Si noti che se si sbaglia un simbolo con uno vicino si commette errore su uno solo dei 2 bit che compongono il simbolo: la probabilita’ di errore del bit e’ la meta’ di quella del simbolo.

00

2

N

EQ

N

EQeP bs

b

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1410

-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

Eb/N0 [dB]

Si ricorda l’ equivalenza:Es/ N0= PsTs/N0= Ps/N0B=Ps/n

2

in quanto con il filtro adattato B=1/Ts e N0B=n

2

42 Fondamenti TLC

II sistemi di trasmissione numerici presentano diverse caratteristiche per quanto riguarda l’utilizzazione della banda di canale B e la potenza di trasmissione richiesta.

Si consideri una sorgente binaria con una cadenza di R [bit/s] e alla sua trasmissione su un canale di banda B.

Definiamo come parametro di efficienza nell’utilizzazione della banda il rapporto R/B [bit/s/Hz] detto efficienza di canale.

Confronto tra costellazioni

Abbiamo visto in precedenza che:1- per trasmettere un segnale g(t) del tipo seno cardinale senza interferenza intersimbolica a passo di lettura T, e’ necessario che la banda B del segnale (e dunque quella del canale) sia almeno pari a 1/T. 2 -La cadenza di bit al secondo R e’ uguale a 1/T 3 - Con una costellazione a M punti possiamo trasmettere contemporaneamente N=log2M bit.

Dunque, l’ efficienza al massimo è: MNBR

2log MNBR

2log

43 Fondamenti TLC

Confronto tra costellazioni M-QAM e M-PSK

8

M-PSK

M-QAM

4

16

64

16 32

0 10 20 300

2

4

6

8

Lim

ite d

i Sha

nnon

R/B

(dB) 0N

Eb

510beP

Si vedra’ piu’ avanti che i valori riportati su questo grafico sono decisamente peggiori di quelli ottenibili in pratica utilizzando sistemi piu’ complessi per codificare i segnali da trasmettere. In pratica si vedra’ che nei moderni sistemi di trasmissione numerica le prestazioni si avvicinano molto al limite di Shannon.

Per un dato valore di probabilita’ di errore di bit, e’ interessante riportare su un grafico, l’efficienza di canale R/B ottenibile per diversi tipi di costellazione e il valore di Eb/No che consente di ottenere la probabilita’ di errore fissata.