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Prof. Dr. Wandinger 2. EnergiemethodenHöhere Festigkeitslehre
2.1-1
12.09.14
1. Formänderungsenergie
1.1 Grundlagen
1.2 Grundlastfälle
1.3 Beispiele
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2.1-2
12.09.14
1.1 Grundlagen
● Zugstab:
– An einem am linken Ende eingespannten linear elastischen Stab greift am rechten Ende die Kraft F an.
x
L
FE, A
F
u
F
u
W
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2.1-3
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1.1 Grundlagen
– Der Stab hat die Länge L, die konstante Querschnittsfläche A und den Elastizitätsmodul E.
– Die Kraft verrichtet die Arbeit:
– Die Normalspannung σ im Stab ist konstant.
– Mit F = σ A folgt:
W=12
F u
W=12
Au=12 ∫0
L d u
dxA dx=
12 ∫
0
L
d
dxu
dudx A dx
=12∫0
L
A dx= 12∫V
dV=EF
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1.1 Grundlagen
– Die Größe
heißt Formänderungsenergie und der Integrand
Formänderungsenergiedichte.
– Die von der äußeren Kraft verrichtete Arbeit ist als Formän-derungsenergie im Stab gespeichert:
EF=
12∫V
dV=∫V
eF dV
eF=
12
W=E F
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1.1 Grundlagen
● Räumlicher Spannungszustand:
– Untersucht wird die Arbeit, die die an einem Quader mit achsenparallelen Kanten angreifenden Kräfte verrichten.
– Diese Arbeit ist gleich der im Quader gespeicherten Form-änderungsenergie.
– Die gesamte Formänderungsenergie in einem Körper ergibt sich als Integral der Formänderungsenergiedichte über den gesamten Körper.
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1.1 Grundlagen
A B
D
CE
F
x
yz f
t(B)
t(F)
t(A)
t(E)
t(D)
t(C)
(xA
, yC
, zE ) (x
B , y
C , z
E )
(xB , y
D , z
E )
(xB , y
D , z
F )
(xA , y
D, z
F )
(xA , y
C , z
F )
u(F)
u(A)
u(C)
u(E)
u(B)
u(D)u
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1.1 Grundlagen
– Für die Arbeit W gilt zunächst:
2 W =∫yC
yD
∫zE
zF
t B⋅uB t A⋅u A dz dy
∫x A
xB
∫zE
zF
t D⋅u D t C ⋅uC dz dx
∫x A
xB
∫yC
yD
t F ⋅uF t E ⋅u E dy dx
∫x A
xB
∫yC
yD
∫zE
zF
f⋅udz dy dx
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1.1 Grundlagen
– Mit folgt in Komponenten:t=⋅n
2 W =∫yC
yD
∫z E
z F
x BuB xyB v B xz B w B
− x Au A− xy Av A− xz Aw A dz dy
∫x A
xB
∫zE
zF
xy DuD y D v D yz D w D
− xy C u C − y C v C − yzC w C dz dx
∫x A
xB
∫yC
yD
xz F uF yzF v F zF w F
− xzE uE − yzE v E − z E w E dy dx
∫x A
xB
∫yC
yD
∫zE
zF
f x u f y v f z w dz dy dx
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1.1 Grundlagen
– Ersetzen der Differenzen durch Integrale ergibt:
2 W =∫x A
xB
∫yC
yD
∫z E
z F
∂ x u
∂ x
∂ xy v
∂ x
∂ xz w
∂ x dz dy dx
∫x A
x B
∫yC
yD
∫zE
zF
∂ xy u
∂ y
∂ y v
∂ y
∂ yz w
∂ y dz dy dx
∫x A
x B
∫yC
yD
∫zE
zF
∂ xz u
∂ z
∂ yz v
∂ z
∂ z w
∂ z dz dy dx
∫x A
x B
∫yC
yD
∫zE
zF
f x u f y v f z w dz dy dx=2∫x A
x B
∫yC
yD
∫zE
zF
eF dz dy dx
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2.1-10
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1.1 Grundlagen
– Mit der Produktregel ergibt sich daraus für die Formände-rungsenergiedichte:
2 eF=∂ x
∂ x
∂ xy
∂ y
∂ xz
∂ z f xu x
∂u∂ x
∂ xy
∂ x
∂ y
∂ y
∂yz
∂ z f y v x
∂ v∂ y
∂ xz
∂ x
∂ yz
∂ y
∂ z
∂ z f zw z
∂ w∂ z
xy ∂v∂ x
∂u∂ y xz ∂w
∂ x
∂u∂ z yz ∂ w
∂ y
∂v∂ z
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1.1 Grundlagen
– Mit den Gleichgewichtsbedingungen und den kinematischen Beziehungen folgt:
– Die Formänderungsenergiedichte ist positiv. Sie ist null, wenn die Verzerrungen null sind, d.h. für eine Starrkörper-bewegung.
eF=
12 x x y y zz xy xy yz yz xz xz
=12
{ }T
{ }=12
{ }T
{S } { }=12
{ }T
{E } { }≥0
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1.1 Grundlagen
– Für die Formänderungsenergie gilt:
– Sie ist gleich der Arbeit der äußeren Kräfte:
– Wenn am Körper nur eine einzige Kraft angreift, gilt:
– Daraus lässt sich die Verschiebung u am Lastangriffspunkt ermitteln:
EF=∫
VeF dV =
12∫V
{ }T
{ } dV
W=E F
W=12
F u=12∫V
{ }T
{ }dV
u=1F∫
V{ }
T{ } dV
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2.1-13
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1.2 Grundlastfälle
● Normalkraft:
– Betrachtet wird ein Stab mit veränderlichem Querschnitt, der durch eine Normalkraft N belastet wird.
– Mit
gilt:
– Wenn Querschnittsfläche und Normalkraft konstant sind, gilt:
σ x=NAund ϵx=
σE
E NF=
12∫V
N 2
E A2 dV =12∫0
L N 2
E Adx
E NF=
12
N 2 LE A
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1.2 Grundlastfälle
– Bei Fachwerken muss über alle Stäbe summiert werden:
● Biegemoment:
– Im Hauptachsensystem gilt für die Spannungen in einem Querschnitt:
E NF=
12 ∑k
N k2 Lk
E k Ak
x x , y , z =M y x
I yz−
M z x
I zy
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1.2 Grundlastfälle
– Daraus folgt für die Formänderungsenergiedichte:
– Die Formänderungsenergie ergibt sich durch Integration über das Volumen. Mit dV = dAdx und
folgt:
I y=∫A
z2 dA , I z=∫A
y2 dA , I yz=−∫A
y z dA=0
E BF=
12∫0
L
M y2
E I y
M z2
E I z dx
eBF=
12
x2
E=
12
M y2
E I y2 z2
−M y M z
E I y I zyz1
2M z
2
E I z2 y2
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1.2 Grundlastfälle
● Querkraftschub:
– Für die Schubspannung in einem Querschnitt senkrecht zur Balkenach-se gilt:
xz=Qz x S y z I y xb z
xy=Q y x S z y
I z x hy
b(z)
y
z
y
z
h(y)
A(z)
A(y)
τxz
τxy
S y z=∫A z
z dA
S z y= ∫Ay
y dA
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1.2 Grundlastfälle
– Dabei sind Sy (z) und S
z (y) die statischen Momente der ab z
bzw. y laufenden Fläche.
– Die Formänderungsenergiedichte berechnet sich zu
– Integration über das Volumen ergibt:
eSF=
12 G xz
2xy
2 = 12 G Qz
2 S y2
I y2 b2
Qy2 S z
2
I z2 h2
ESF=∫
V
12 G Qz
2 S y2
I y2 b2
Q y2 S z
2
I z2 h2 dV=∫
0
L1
2G Qz2
I y2 ∫
A
S y2
b2 dAQ y
2
I z2 ∫
A
S z2
h2 dAdx
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1.2 Grundlastfälle
– Mit den Schubverteilungszahlen
folgt für die Formänderungsenergie:
k y=AI z
2∫A
S z2
h2 dA , k z=AI y
2∫A
S y2
b2 dA
ESF=
12∫0
L
k z
Qz2
G Ak y
Qy2
G A dx
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1.2 Grundlastfälle
– Schubverteilungszahlen:
t « d t « d
ky, k
z
z
y
6/5 ≈ 10/9 2 ≈ 6/5 ≈ 1
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1.2 Grundlastfälle
● Torsion:
– Mit den Verdrehungen θA
und θB gilt:
– Damit gilt für die Formän-derungsenergie:
xA B
Mx
Mx
L
2 W=M x B−A =∫x A
xB
M xd
dxdx=∫
xA
xB M x2
G I Tdx
ETF=
12∫0
L M x2
G I Tdx
– Dabei ist IT das Torsions-
trägheitsmoment.
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1.2 Grundlastfälle
● Überlagerung:
– Wird ein Träger durch mehrere dieser Grundlastfälle belas-tet, so ergibt sich die gesamte Formänderungsenergie durch Addition der einzelnen Beiträge:
– Bei langen schlanken Balken (L > 5h) kann der Beitrag des Querkraftschubs vernachlässigt werden.
EF=E N
FE B
FES
FET
F
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12.09.14
1.3 Beispiele
● Fachwerk:
– Gegeben:● a = 1000mm● E = 210000MPa● A = 250mm2
● F = 10kN– Gesucht:
● Formänderungsenergie● Vertikalverschiebung des Lastangriffspunkts
aa
A B1
2 3
a/2 45°
Fx
y
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1.3 Beispiele
– Stabkräfte (mit Knotenpunktverfahren):
– Formänderungsenergie:
N A1=N B1=F2
, N 23=−F , N 12=N 13=F2
, N A2=N B3=−F2
E NF=
a2 E A [N A1
2N B1
2N 23
2
1
2 N A2
2N 12
2N 13
2N B3
2 ]=
a F2
2 E A [ 14
141
1
2 12
12
12
12 ]= a F2
2 EA [ 32
2
2 ]=
a F2
4 E A 32 2
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1.3 Beispiele
– Vertikalverschiebung des Lastangriffspunkts:
● Aus folgt:
● Zahlenwert:
● Ein positives Vorzeichen gibt an, dass die Verschiebung in Richtung der Kraft erfolgt.
W =E F 12
F v=EF=
3224
F2 aE A
v= 3222
F aE A
=2,914F aE A
v=2,914⋅10000 N⋅1000 mm
210000 N /mm2⋅250 mm2=0,5550 mm
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1.3 Beispiele
● Balkensystem:
– Gegeben:● a = 500mm● E = 210000MPa● A = 480mm2
● Iy = 4·106mm4
● F = 10kN– Gesucht:
● Formänderungsenergie● Horizontalverschiebung des Lastangriffspunkts
2a
a
F
A B
C
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2.1-26
12.09.14
1.3 Beispiele
– Schnittlasten:● Normalkraft
N
F
Nx1
x2
A B
C
-aF
Myx
1
x2
My
-aFA B
C
● Biegemoment
BalkenAB : N x1=F
BalkenBC : N x2=0
BalkenAB : M yx1=−a F
BalkenBC : M y x2=−a F 1− x2
a
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1.3 Beispiele
– Formänderungsenergie:
● Die Berechnung der Integrale erfolgt am einfachsten mit Hilfe einer Koppeltafel:
● Ergebnis:
● Dabei ist der Trägheitsradius.
EF=12
N 2⋅2 a
E A
12∫A
B M y2
E I ydx
12∫B
C M y2
E I ydx
∫A
B M y2
E I ydx= 2 a3 F2
E I y, ∫
B
C M y2
E I ydx=
13
a3 F2
E I y
EF=
F2 a2 E 2
A2
a2
I y
13
a2
I y =F 2 a3
E I y 76
I y
A a2 = F2 a3
E I y 76
i y2
a2 i y
2=I y/ A
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1.3 Beispiele
– Horizontalverschiebung des Lastangriffspunkts:
● Aus folgt:
● Zahlenwert:
● Der Beitrag der Normalkraft ist vernachlässigbar klein.
W =E F u F=2 EF u=
2 F a3
E I y 76
i y2
a2
u=2⋅10000 N⋅5003 mm3
210000 N /mm2⋅4⋅106 mm4⋅ 7
6
130 =3,571 mm
i y2=
4⋅106 mm4
480 mm2 =10⋅502
3mm2 ,
i y2
a2=10⋅502
3⋅502⋅102 =130