1.- funciones. caracterÍsticas. funciones...

2º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS II – TEMA 7.- LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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- Página 1 -

1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS. FUNCIONES ELEMENTALES

Definición de función

Una función real de variable real es una forma de hacerle corresponder a un número real “x” un único número real “y”, que se representa por f(x).

Si llamamos f a la función, se suele representar así: f: R → R, y = f(x)

Se llama imagen de un valor dado x, al valor obtenido al sustituir en la fórmula el valor de x.

Ejemplo:

Si f es la función dada por la expresión f(x) = 3x +2, la imagen de x = 4 es f(4) = 3.4 + 2 = 14

El dominio de definición, D(f), es el conjunto de valores de “x” para los que se puede calcular f(x).

Continuidad de una función

Monotonía y extremos de una función

Funciones elementales más importantes

Lineales Afines Constantes Cuadráticas

( , )

f( )

v →v

v v

v v

bx =

x y 2a

y = x

−


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- Página 2 -

y = sen x

-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π

-2

-1

1

2

X

Y

y = cos x

-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π

-2

-1

1

2

X

Y

y = tg x

-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2

X

Y

2.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONTINUIDAD

Cálculo de límites puntuales con tabla de valores o usando la gráfica

2x 1 , si x 3

Sea, por ejemplo f (x) 1, si x 3

x 3

− <

= > −

− +→ →≠ ⇒ ∃

x 3 x 3

lim f(x) lim f(x)→x 3lim f(x)

− +

− +

→→ →

→ →

= = ⇒ ∃ =

≠ ⇒ ∃

x ax a x a

x a x a

Si lim f(x) lim f(x) L lim f(x) L

En general,Si lim f(x) lim f(x)

→

x a

lim f(x)

− +→ →x a x a

lim f(x) y lim f(x) se llaman límites laterales

Cálculo de límites puntuales usando la fórmula

Si f(x) viene dada por la fórmula, para calcular →x alim f(x) , se sustituye “x” por “a”, es decir

→=

x alim f(x) f(a) .

Por ejemplo, →−

− = − − = −� ��

* Si la función es constante entonces el límite es el mismo número. Por ejemplo, →

= ��

* Si la función es definida a trozos y “a” es el punto donde cambia de expresión la función, tenemos calcular los límites laterales y ver si ambos coinciden.

x → 3– 2,8 2,9 2,99 …

−→=

x 3

lim f(x) 5 si x < 3� f(x) = 2x – 1 4,6 4,8 4,98 …

x → 3+ 3,01 3,001 3,0001 …

+→= ∞

x 3

lim f(x) si x > 3� f(x) =

−�

� � 10 100 1000 …


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- Página 3 -

Reglas para el cálculo de límites

+ ∞ = ∞ −∞ = −∞ ∞ + ∞ = ∞ −∞ − ∞ = −∞ ∞ − ∞ =a a Indet erminación

∞ >∞ = ∞∞ = ∞ ∞ =

−∞ <

, si a 0a. . 0. Indet erminación

, si a 0

+ −

∞ > ∞ < ∞ ∞= = = ±∞ = = = =

−∞ < −∞ >∞ ∞ ∞

, si a 0 , si a 0a 0 a a 00 0 Indet erminación Indeterminación

, si a 0 , si a 00 00 0

∞ ∞ ∞ ∞∞ >> = ∞ =∞ = ∞ = = =

< <

0 0, si a 1Si a 0, a 0 0 Indeterminación 0 Indeterminación 1 Indeterminación

0, si 0 a 1

Ejercicio 1 Halla 2

lim ( )x

f x→

, si

>−

<+−

=2 xsi ,)126(

2 xsi ,2

4

)(

2

xx

x

x

xf

Resolución de indeterminaciones en límites puntuales

→= = ±∞ ⇒

� �

�� ! �"#$%&%'��#()�*#! �% )(�)+�(# �,- �.��&%- �(&%'(�%-

/

Ejercicio 2 Calcula: a)( )( )4

3

3 3

1

+

+−→ x

xlimx

b)

−→ 1

sen21 x

limx

π

p(x)

q(x)→= ⇒ −

0 1

234 546 789:;< ;=649>?4@9A 3; B>?<C=4D>9 5CE FC549C64CE G E; E46F54B4?> ;5 B>?<C=7H >A

2

Ejercicio 3 Calcula: a)3 2

3 23

5 3 9lim

7 15 9x

x x x

x x x→ −

+ + −

+ + + b)

( )2

2 2

1limx a

x a x a

x a→

− + +

−

c) 2

22

2 4lim

24x

x x

xx→

− −− −−

d) 2

22

3 2lim tg

4x

x x

x→

− + −

e) 2

21

1lim

2 1 1x

x

x x→

−

− − −

Algunas veces aparece la indeterminación I

I en expresiones radicales. Para resolver esta indeterminación se

utiliza la expresión conjugada.

Ejercicio 4 Determina: a)0

3 3limx

x

x→

+ − b) lim

x a

x a

x a→

−−

Practica tú:

1 Calcula los siguientes límites: a) ( )2

1lim 3 6 1x

x x→

− + b) ( )3 2

5lim 2x

x x→

+ − c) 3

2lim

3 1x

x

x+→ −

+

+ −

d) 0

2lim

3 1x

x

x→

+

+ − e)

1

8 1lim

3x

x

x→

++

f) 1

lim2x

x x

x→

− g)

1lim

2x

x x

x→ −

− h)

112

12

2

0 −−−

−→ xx

xlimx

i)0

3 3

3 3

x x

x xxlim

−

−→

−

+

j) )(5

xflimx→

, si

>−

<+=

5 xsi ,76

5 xsi ,1)(

2

x

xxf k) )(

1xflim

x→, si

2 2 5, si x 1( )

3 5, si x 1

x xf x

x

+ − <=

− >

3 1Sol.: a) 2 b) 2 c)1 d) 1 3 e) f ) 0 g) 1 h) i)0 j)

2 3− − + ∃ (los límites laterales son 26 y 23) k) 2−


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- Página 4 -

2 Halla los siguientes límites: a)2

20

6 9limx

x x

x→

− + b)

2

21

2lim

2 1x

x x

x x→

+ −

− + c)

2

25

25lim

5x

x

x x→

−

−

d)

3 2

4 31

6 5lim

1x

x x x

x x x→

− +

− + − e)

4 3 2

4 3 22

4 5 4 4lim

4 4x

x x x x

x x x→ −

+ + + +

+ + f)

4 3

3 22

2 2lim

4 11 2x

x x x

x x x→

− + −

+ − −

g) 4 2

4 31

6 8 3lim

2 2 1x

x x x

x x x→

− + −

− + − h)

0lim

2x

x x

x→

− i)

2

2lim

3 1x

x

x→ −

+

+ − j)

0

2 2limx

x

x→

+ −

Sol.: a) b)∞ ∃ 5 9(los límites laterales son e ) c) 2 d) 2 e) f ) g) 2

4 17

h)

−∞ ∞ −

∃ 2(los límites laterales son 0 y 1) i) 2 j)

4

Estudio de la continuidad a partir del límite puntual

− +→ →

∃= = =x a x a

f(a)

Una f(x) es continua en el punto x a si se cumple lim f(x) lim f(x) f(a)

Tipos de discontinuidades

Discontinuidad asintótica o de salto infinito

Se da cuando −→

= ±∞x a

lim f(x) y/o +→

= ±∞x a

lim f(x) .

Ejemplos:

−→

= ∞x a

lim f(x) −→

= −∞x a

lim f(x) −→

= −∞x a

lim f(x)

+→

=x a

lim f(x) L +→

= −∞x a

lim f(x) → +

= ∞x alim f(x)

( ∃ f(a) ) ( ∃ f(a) ) (f(a) = b )

En todos los casos, se dice que la asíntota vertical es la recta de ecuación A.V. : x = a


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- Página 5 -

Discontinuidad de salto finito

Se da cuando −→

=x a

lim f(x) b , +→

=x a

lim f(x) c , pero b ≠ c

Ejemplos:

−→=

x a

lim f(x) b −→

=x a

lim f(x) b −→

=x a

lim f(x) b

+→

=x a

lim f(x) c +→

=x a

lim f(x) c +→

=x a

lim f(x) c

(f(a) = c ) ( ∃ f(a) ) (f(a) = d )

Discontinuidad evitable

Se da cuando →

=x alim f(x) b , pero b ≠ f(a)

Ejemplos:

−→=

x a

lim f(x) b −→

=x a

lim f(x) b

+→

=x a

lim f(x) b +→

=x a

lim f(x) b

(f(a) = c) ( ∃ f(a) )

Ejercicio 5 Sea f la función definida por ( )( )(2 1)

kf x

x a x=

− − para x ≠ a y x ≠ 1/2.

Halla a y k sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (0, 2) y que la recta x = 2 es una asíntota de dicha gráfica. Ejercicio 6 Estudia la continuidad de la siguiente función, clasificando sus posibles discontinuidades:

11

1)(

−−

=x

x

e

xf

Ejercicio 7 Sea f: R → R la función definida por 2

, 1( )

1, 1

asi x

xf x

x si x

− ≤ −= + > −

(a) Halla el valor de a sabiendo que f es continua. (b) Esboza la gráfica de f.

Ejercicio 8 Si f: R → R es la función continua definida por 2

2 ,( )

5 7,

x si x af x

x x si x a

− <=

− + ≥, donde a es un número

real. Determina a.


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- Página 6 -

Ejercicio 9 Se define la función f del modo siguiente:

≤++

>−=

1 x si baxx2

1 x si 1xln)x(f

2

Encontrar los valores de a y b para que la función sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas

Practica tú:

3 Sea la función

>−+

≤≤+

<

=

3 si 3

5

30 si

0 si

)( 2

2

xx

x

xax

xe

xf

x

con a un parámetro real. Se pide:

a) Determinar, razonadamente, el valor del parámetro a para que f(x) sea continua en x = 0. Sol.: a 1=

b) ¿Para qué valores del parámetro a es continua f(x) en x = 3? Razonar la respuesta.

Sol.: ∃ a, porque a , f tiene una discontinuidad asin tótica en x 3∀ =

4 Se sabe que la función f : (−1, +∞) → R definida por

≥+

+

<<−+−=

01

0134

)( 2

2

xsix

ax

xsixx

xf es continua en (−1,+∞ ). Halla el valor de a. Sol.: a 3=

5 Sea la función

≥+−

<<−+

−≤+

=

1 si 8

11 si 43

1 si 1

)(

3

2

2

xx

xx

xbx

xf donde b es un parámetro real. Se pide:

Calcular el valor del parámetro b para que f(x) sea continua en x = −1 y en x = 1. Sol.: b 6=

6 Calcula los valores de a y de b para que la siguiente función sea continua:

2 2 1, si x 0

( ) , si 0 x 1

2, 1

x x

f x ax b

si x

+ − <

= + ≤ < ≥

y dibuja su gráfica para dichos valores. Sol.: Sólo voy a dar los valores de a y b: a 3, b 1= =−

3.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO

Concepto de límite en +∞ Concepto de límite en – ∞

X

Y

2

X

Y

x → ∞ 100 200 300 …

f(x) = +JK L

MK 2,0033 2,0017 2,0011 …

→ ∞=

xlim f(x) 2

x → – ∞ –100 –200 –300 …

f(x) = 3x2 30 000 120 000 270 000 …

→ −∞= ∞

xlim f(x)


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- Página 7 -

Límite en el infinito de una función polinómica

→±∞xPara calcular lim p(x) se multiplica y divide por la mayor potencia de x

Ejemplo: → ∞

− + −N

OPQR S TU VU WX =

→ ∞

− + −Y

Y

YZ

[\ ]\ ^_`a b \

\

= → ∞

− + −

cc

c c cd

ef gf hijk l f

f f f

=

→ ∞

− + −

m

n mo

p qrst u v w

w w

=→ ∞

− = − ∞ = −∞

x x

yz{| } ~ }�

→ ∞ → ∞

∞ >= = ∞ = ∞ =

−∞ <

n n n

x x

, si a 0Regla general : lim p(x) lim ax a. a. , siendo ax el término de mayor grado de p(x)

, si a 0

→ −∞ → −∞= n

x xAnálogamente : lim p(x) lim ax

Límite en el infinito de una función racional

Al calcular el límite de una función racional llegamos a una indeterminación ∞∞

. Para resolver esta

indeterminación podemos dividir numerador y denominador entre la potencia de x con mayor exponente

Ejemplo: +→ ∞ → ∞ → ∞

−+ − − + −

− + − − + − −= = = = = −∞

− +− + − +− +

� �

� � � � � � �

� ��

� ��

��

��

� � �

También se puede resolver así: → ∞

→ ∞

→ ∞

− + −− + −

=− + − +

� ��

�

� ��

�

��

��

��

=→ ∞

→ ∞

−�

�

�

�

��

��

=→ ∞

−�

��

�� ¡¢

£�

→ ∞ → ∞

< =

= = ±∞ >

m

nx x

m n

0 , si m n

a, si m n

bp(x) axRegla general : lim lim

q(x) bx

a. ( ) , si m n

b

siendo ax , bx los términos de mayor grado de los polinomios

→ −∞ → −∞=

m

nx x

p(x) axAnálogamente : lim lim

q(x) bx

Resolución de indeterminaciones con expresiones con radicales en límites en el infinito

Para resolver indeterminaciones ∞∞

con expresiones radicales se suele dividir numerador y denominador entre

la potencia de x con mayor exponente entendiendo que si x está dentro de un radical su exponente es el que lleva dividido entre el índice del radical. Cuando lleguemos a la indeterminación ∞ − ∞ ó ∞¤¥ con expresiones radicales se suele usar la expresión conjugada.

Ejercicio 10 Calcula los límites: a)2

1lim

4 4x x x→ ∞ − + b) lim

2x

x x

x→ −∞

− c) ( ) ( )( )2 2

lim log 2 6 log 2 3 5x

x x x x→ ∞

− + − + −

d) 112

12

2

−−−−

∞→ xx

xlimx

e)2

lim sen1x x

π→ ∞

− f)

1lim 1

1x

xx

x→ ∞

−− +

g) ( )3 5 5lim 1 2 2 2 3x

x x x x x→ ∞

+ − − +


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- Página 8 -

Practica tú:

7 Calcula los siguientes límites: a) ( )2lim 2 1x

x x→ ∞

− + b) ( )3lim 3x

x x→ −∞

− + c)4

4 3lim

2 3 6x

x

x x→ ∞ − + − d)

4 2

5lim

1x

x x

x→ ∞

−

+

e) 3 2

2

2lim

2 6x

x x x

x x→ ∞

− +

− f)

5 2

2

3lim

2 1x

x x

x→ −∞

− +

− g)

1 1lim

2 2x x x→ ∞

+ + − h) lim

2x

x x

x→ ∞

− i)

2

2

1 1lim

2 4x

x

x→ ∞

+ −

+ −

j)2

1lim

1x

x

x→ −∞

++

k)2 1 2 1

limx

x x

x→ ∞

+ − − l)

2lim

3 1x

x

x→ ∞

+

+ − m) ( )2

lim 3 2x

x x x→ ∞

+ − n) ( )( )lim 1 1x

x x x→ ∞

+ − −

1Sol.: a) b) c) d) 0 e) f ) g) 0 h)0 i)1 j) 1 k) 0 l) m) n) 1

2

−∞ ∞ ∞ ∞ ∞ −∞

Asíntotas en el infinito

→±∞= ⇒ ± ∞

xSi lim f(x) L f(x) tiene una en de ecuación :asíntota horizontal ¦§¨§ © ª «¬

Análogamente podemos hablar de asíntotas horizontales en –∞

X

Y

2

Por ejemplo, la función representada tiene una asíntota horizontal en ∞, que es la recta de ecuación A.H.: y = 2

[ ]→ ±∞ → ±∞

= ≠ − = ⇒ ± ∞x x

f(x)Si lim m 0 y lim f(x) mx n f(x) tiene una en de ecuación :

xasíntota oblicua ®¯® ° ± ²³´ µ¶


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- Página 9 -

Asíntotas en el infinito de las funciones racionales

< ⇒ =

= ⇒ ==

− = = + ⇒ =

m n

Si m n A.H : y 0

aSi m n A.H : y

p(x) bSea f(x)q(x) r(x)

Si m n 1 , se expresa c(x) A.O : y c(x)q(x)

En otro caso, no hay asíntotas

ax , bx son los términos de mayor grado de los polinomios p(x) y q(x), respectivamen

p(x)

q(x)

te

Posición de la gráfica respecto de la asíntota

- La gráfica está por encima de la asíntota en ∞ cuando ygráfica

> yasíntota

, o sea cuando ygráfica

– yasíntota

> 0.

Por ejemplo, la función f(x) tiene asíntota horizontal en ∞ A.H.: y = 2.

Observa que y

gráfica – y

asíntota = f(x) – 2 > 0

- La gráfica está por debajo de la asíntota en ∞ cuando y

gráfica < y

asíntota , o sea cuando y

gráfica – y

asíntota < 0.

Por ejemplo, la función f(x) tiene asíntota oblicua en ∞ A.O.: = +1

y x 12

.

Observa que ygráfica

– yasíntota

= − +

1f(x) x 1

2< 0

Análogamente podemos hablar de la posición entre gráfica y asíntota en –∞

Ejercicio 11 Sea f la función definida por 22

( )( 1)( 2)

xf x

x x=

+ − para x ≠ –1 y x ≠ 2.

(a) Calcula el dominio y las asíntotas de la gráfica de f. (b) Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de f donde ésta corta a Ia asíntota horizontal.


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Ejercicio 12 Considera las tres funciones cuyas expresiones respectivas vienen dadas, para x ≠ 0, por 2

1/1( ) , ( ) ( ) ln | |xxf x g x e y h x x

x

−= = =

(a) Halla las ecuaciones de las asíntotas de las gráficas de f, g y h. (b) Identifica, entre las que siguen, la gráfica de cada función, justificando la respuesta.

Ejercicio 13 Estudia las asíntotas y la continuidad de la función

11

1)(

−−

=x

x

e

xf

Ejercicio 14 Sea g la función definida por 3

2( )

( )

mxg x

x n=

− para x ≠ n.

a) Halla m y n sabiendo que la recta y = 2x − 4 es una asíntota de la gráfica de g. b) Determina si la gráfica de g es simétrica respecto al origen.

Ejercicio 15 Considera la función f definida para x ≠ –2 por 22 2

( )2

xf x

x

+=

+.

(a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) Estudia la posición relativa de la gráfica de f respecto de sus asíntotas.

Ejercicio 16 Calcula las asíntotas de la gráfica de 2

2

1( )

x

xf x e +=

Practica tú:

8 Determina el dominio de definición y las asíntotas de la función 2

)1x(

4xy

−+=

{ }Sol.: D(f ) R 1 A.V.:x 1; A.O.: y x= − = =

9 Sea f la función definida como 2

( )ax b

f xa x

+=

− para x ≠ a.

Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (2, 3) y tenga una asíntota oblicua con pendiente −4. Sol.: a 4 b 10= =−

10 Se sabe que la función f : [0, →∞) R definida por 2

, 0 8

( ) 32, 8

4

ax si x

f x xsi x

x

≤ ≤= −

>−

es continua en [0, ∞).

(a) Halla el valor de a. Sol.: a 8= (b) Calcula la asíntota oblicua Sol.: A.O.: y x 4= +

11 Dada la función f definida para x ≠ –1 por 3

2( )

(1 )

xf x

x=

+, determina:

(a) Las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.V.:x 1; A.O.: y x 2=− = −

(b) El punto de corte de dicha gráfica con su asíntota oblicua. 2 8Sol.: P( , )

3 3

− −

12 Sea f : R → R la función definida por 2

5 8( )

1

xf x

x x

+=

+ +

(a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados. 8Sol.: P( , 0) , Q(0, 8)

5

−

(b) Halla las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.V. No hay; A.H.: y 0→ =


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- Página 11 -

4.- TEOREMAS EN FUNCIONES CONTINUAS

Teorema de Bolzano

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] de forma que f(a) y f(b) tienen distinto signo, entonces existe al menos un punto c del intervalo (a, b) para el que f(c) = 0

El teorema de Bolzano dice que la gráfica de la función f(x) corta al eje X por lo menos en un punto c en el intervalo (a, b), es decir, la ecuación f(x) = 0 tiene por lo menos una solución en el intervalo (a, b).

Ejercicio 17 Demuestra que la función 2x4x)x(f 2 +−= corta al eje de abscisas en el intervalo [0, 2].

¿Se puede decir lo mismo de la función 1x

3x2)x(f

−−

= ?

Ejercicio 18 Comprobar que la ecuación x3 − 3x + 40 = 0 tiene alguna raíz real. Aproximar su valor hasta las centésimas.

Ejercicio 19 Comprobar si la ecuación x = x.senx + cos x tiene solución en [ ]ππ− , .

Ejercicio 20 Probar que la ecuación 2x x2xe −=+ tiene al menos una raíz positiva y otra negativa.

Ejercicio 21 Consideremos la función f(x)= senx

x. Comprobar que 0

3

4fy0

3f <

π>

π; comprobar que

no existe

ππ∈α

3

4,

3 tal que 0)(f =α . Razona que no contradice el teorema de Bolzano

Ejercicio 22 Se piden los valores de los parámetros a y b para que la función cumpla el teorema de Bolzano

π≤≤

<<+

≤<π−

=

x1six

b

1x0sixa

0xxcos

)x(f 2 . Hallar así mismo el punto interior al intervalo

Ejercicio 23 Supongamos que f es una función continua en [0, 1] y que 0 < f(x) < 1 para todo x perteneciente a [0, 1]. Probar que debe haber un número c en (0, 1) tal que f(c) = c Indicación: Utilizar el teorema de Bolzano aplicado a la función g(x)= f(x) − x

Ejercicio 24 Probar que las gráficas de las funciones ( ) Ln y ( ) xf x x g x e−= = se cortan en algún punto y

localizarlo aproximadamente.

Practica tú: 13 ¿Podemos afirmar que 53)( 23 +−= xxxf toma el valor 2 en algún punto del intervalo [1, 2]? Sol.: No

14 Comprobar que la ecuación x3 + x − 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0, 1].

15 Prueba que las ecuaciones siguientes tienen al menos una raíz real:

a) 053 =+− xx b) 01002 25 =−++ xxx

16 Demostrar si la función f(x)=x3 + x2 − 5x − 2 tiene al menos una raíz en (1, 2).

17 Probar que existe al menos una raíz de la ecuación x + sen x − 1 = 0

18 La ecuación 2 1x

x + = tiene alguna solución en el intervalo [0, 1]. Razónese por qué.


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19 Probar que las ecuaciones cos x = 2x − 1, ex =π tienen al menos una raíz real.

20 Probar que la ecuación 02 =−−x

x tiene una única raíz en [0,1].

21 Demostrar que la ecuación x.lnx = 0 tiene raíz en [0,5; 2]

22 Demostrar que la ecuación 2x3 = 6x −1 tiene raíz real.

23 Probar que la función senx2

5)x(f

+= alcanza el valor 2 en el intervalo

π2

,0 . Razonar la respuesta y

resolver en caso de ser posible.

24 Sea la función f(x) =0

2

2 0

sen x si x

x a si x

π

π

− ≤ < + ≤ ≤

¿Para qué valores de a se puede aplicar el teorema de Bolzano

a dicha función en el intervalo ,2

ππ

−

? Sol.:a 0=

25 ¿Se puede aplicar el teorema de Bolzano a la función x

xfcos

1)( = en el intervalo [0, π]? Sol.:No

Teorema de Weierstrass

Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(x) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b]. Es decir: hay al menos dos puntos x

1, x

2 pertenecientes a [a, b] donde f alcanza valores extremos absolutos:

El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentran el máximo y el mínimo, sólo afirma que existen. Ejercicio 25 Para cada una de las funciones siguientes, indicar si se puede aplicar el teorema de Weierstrass

a) [ ]2( ) 1 en 1,1f x x= − − b) [ ]1( ) en 2, 5

3f x

x=

− c)

2

1( ) en ( , )

1f x

x= −∞ +∞

+

Ejercicio 26 Determina el valor de a para que a la función 2

2 ,( )

5 7,

x si x af x

x x si x a

− <=

− + ≥ se le pueda aplicar el

teorema de Weierstrass en el intervalo [a – 1, a + 1]

Ejercicio 27 Determina el valor de a para que a la función 2

, 1( )

1, 1

asi x

xf x

x si x

− ≤ −

= + > −

se le pueda aplicar el

teorema de Weierstrass en el intervalo [– 1, 1]

Practica tú:

26 Para cada una de las funciones siguientes, indicar si se puede aplicar el teorema de Weierstrass

a) [ ]3( ) en 1, 5f x x= Sol.:Si b) [ ]1( ) en 1, 2

1f x

x=

− Sol.:No c)

1( )

2f x

x=

− en [0, 3] Sol.:No

27 Determina el valor de a para que a la función

2

2

4 3, 1 0

( ), 0

1

x x si x

f x x asi x

x

− + − < <= +

≥+

se le pueda aplicar el

teorema de Weierstrass en el intervalo [– 1, 1] Sol.:a 3=

1.- funciones. caracterÍsticas. funciones...

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