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Matemática - Cuarto Año - 1

1 FUNCIONES – Ejercicios – Problemas – Modelos Matemáticos

Una función de A (Domino) en B (Codominio) es una relación que asocia a cada elemento x del conjunto A uno y sólo uno elemento y del conjunto B, llamado su imagen.

En símbolos: la relación f : A→B es una función si y sólo para todo x A existe un único y que es su imagen, esto es y = f (x).

¡Importante!

Una función modeliza una situación en la que existe una relación de dependencia entre dos variables que intervienen en dicha situación.

La variable x A se denomina variable independiente y la variable y se denomina variable dependiente.

¡Un poco de historia!

La definición de función es el resultado de un proceso de varios siglos. Las primeras definiciones de función las presentó el inglés Isaac Newton. Posteriormente los suizos Johann Bernoulli y Leonhard Euler, entre otros matemáticos, también dieron algunas definiciones. Hasta que, finalmente, en el siglo XIX, se llegó a la definición moderna de función dada por el matemático alemán M. Dirichlet quien, en 1837, consideró una función como una correspondencia entre variables que verifica ciertas reglas.

Se propone ver el siguiente Video:

Canal Encuentro – Alterados por PI – Tema Funciones por el Dr. Adrián Paenza

http://www.encuentro.gov.ar/sitios/encuentro/programas/ver?rec_id=105774

Bibliografía:

Matemática 1: “Funciones 1” – Autores: Altman – Comparatore – Kurzrock. Editorial: Longseller.

Matemática 2: “Funciones 2” – Autores: Altman – Comparatore – Kurzrock. Editorial: Longseller.

“Funciones elementales para construir modelos matemáticos”. Autora: Mónica Bocco. Ministerio de Educación – Instituto Nacional de Educación Tecnológica – 2010.

Apuntes del Docente disponibles en Blog “Cuba Exactas”.

Llamamos función lineal a una función f : R→ R que verifica:

f (x) = ax + b , o bien, y = ax + b

donde a (distinto de cero) y b son números reales, llamados parámetros de la función lineal.

El gráfico de la función lineal f (x) = a.x + b es una recta oblicua que pasa por el par de coordenadas (0;b) y el punto (1;a + b).

http://www.encuentro.gov.ar/sitios/encuentro/programas/ver?rec_id=105774


La recta que representa el gráfico de cualquier función lineal f (x) = a.x + b queda unívocamente determinada por dos puntos pertenecientes a la misma.

Nota. Si b > 0 la traslación se realiza "hacia arriba" y si b < 0 la traslación se realiza "hacia abajo".

El parámetro a, de la función f (x) = ax + b se llama pendiente de la recta y coincide con la tangente del ángulo que le da dirección. La pendiente de una función lineal indica, en el gráfico,

cuánto aumenta la coordenada y por cada unidad que aumenta la coordenada x.

El parámetro b, de la función f (x) = a x + b se llama ordenada al origen de la recta e indica el punto donde la recta corta al eje de las ordenadas.

Se propone trabajo con GeoGebra para analizar la variación de los parámetros utilizando deslizadores.

Función Parámetro “a” –

Pendiente –

Parámetro “b” – Ordenada al origen

– Gráfico

Función Constante

Cero – ángulo de dirección nulo. Pendiente Nula.

Cero Recta horizontal

ecuación del eje “x”

Positivo ó Negativo Recta horizontal paralela al eje “x”

Positivo – ángulo de

dirección

Pendiente Positiva. Función Creciente.

Negativo – ángulo de

dirección

Pendiente Negativa. Función Decreciente.

Cero Recta oblicua a la

cual pertenecen los puntos (0;0) y (1;a)

Positivo ó Negativo

Recta oblicua a la cual pertenecen los

puntos (0;b) y (1;a+b)

Positivo La traslación se

realiza hacia arriba

Negativo La traslación se

realiza hacia abajo

Toda recta vertical en el plano coordenado no representa el gráfico de una función lineal. Justifique: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Ejercicio 1 Realice la representación gráfica de las siguientes funciones en un mismo sistema de ejes coordenados y complete:

Función Intersección

con eje x Intersección

con eje y Conjuntos Observaciones

Ejercicio 2 Antonela va a un gimnasio que se encuentra en su barrio. Cuando camina el trayecto que va desde su casa al gimnasio gasta 290 calorías. Ya en el gimnasio, Antonela realiza bicicleta fija, su profesor le ha dicho que con ese ejercicio quema 3,5 calorías por minuto de pedaleo. En los días que tiene muchas ganas de hacer ejercicio físico, Antonela se queda en el gimnasio haciendo bicicleta dos horas seguidas.

a) ¿Cuál es la función lineal que le permitiría a Antonela calcular las calorías quemadas desde que salió de su casa y hasta que terminó de pedalear x minutos en la bicicleta fija del gimnasio? [G(x) = Calorías quemadas por Antonela después de x minutos de bicicleta fija G (x) = ax + b]


b) ¿Cuál es el Dom G(x)? y ¿el Img G(x)?

c) ¿Qué indican en esta función lineal la pendiente y la ordenada al origen?

d) Si Antonela gastó 640 calorías, entre su camino al gimnasio y el tiempo de pedaleo en la bicicleta, ¿durante cuántos minutos utilizó la bicicleta?

Ejercicio 3 – Trabajo en grupo Se propone realizar, para la siguiente situación, un modelo que permita su representación matemática y, utilizando dicho modelo, encontrar la respuesta a las preguntas planteadas.

Sugerencias para armar el modelo

A partir de los datos planteados identificar los parámetros de la función lineal que permitirá representar la cantidad de combustible en función del tiempo de vuelo.

Plantear la función lineal considerando los datos iniciales, distinguir en dichos datos la ordenada al origen y la pendiente.

Utilizando la función y un gráfico de la misma, dar respuesta a las preguntas.

Para las compañías de aviación, una de las necesidades importantes es estimar cuánto combustible necesitarán los aviones para los vuelos. Por mediciones realizadas se conoce que un Boeing 727, que se abastece antes del despegue, contiene cerca de 28.000 litros de combustible y usa cerca de 5.000 litros por cada hora de vuelo. Si bien otros factores frecuentemente tienen efecto sobre el gasto de combustible, se puede considerar que la cantidad del mismo es, principalmente, función del tiempo de vuelo.

Para ayudar a la planificación de la empresa se plantean los siguientes interrogantes:

1) ¿cuánto combustible le queda al avión después de 4 horas y media de vuelo?;

2) ¿cuánto tiempo de vuelo ha realizado el avión en el momento en que consumió la mitad del combustible?;

3) ¿a qué tasa decrece el combustible del avión? Es decir, ¿cuál es el decrecimiento del combustible por cada hora adicional del vuelo?;

4) si por seguridad un avión debe tener al menos 5.000 litros de combustible, ¿qué tiempo de vuelo asegurado tenemos con la carga inicial?;

5) si el avión viaja a 800 kilómetros por hora, ¿cuál es el viaje más largo que puede hacer, siempre considerando el margen de seguridad de 5.000 litros?

Llamamos función cuadrática a una función f : R→ que verifica:

f (x) = ax2 + bx + c , o bien, y = ax2+ bx + c

donde a, b y c son números reales, llamados parámetros de la función cuadrática y se verifica siempre a distinto de cero.


El gráfico de una función cuadrática se llama parábola. Toda parábola tiene un Eje de Simetría que la divide en dos Ramas y un Vértice que puede ser el Máximo o el Mínimo valor que alcanza la función en su Dominio.

Ecuación del Eje de Simetría:

o bien

(semisuma de las raíces)

Coordenadas del Vértice:

o bien


Forma Polinómica Forma Canónica Forma Factorizada

Función Eje de

Simetría Vértice Observaciones

Eje y

Mínimo

a>0 Ramas hacia arriba Cóncava Positiva

Eje y

a>0 Cóncava (+) 0<a<1 Ramas se abren hacia eje x a>1 Ramas se cierran hacia eje y

a<0 Cóncava (-)

Vértice es Máximo

Eje y

c>0 Desplaza c

unidades hacia arriba

c<0 Desplaza c

unidades hacia abajo

Intersección con eje x (si existe):

Intersección con eje y:


Intersección con eje x (si existe): se anula “y” y se resuelve la ecuación

Intersección con eje y:

Ejercicio 4 Calcule analíticamente, realice el gráfico y complete para cada una de las siguientes funciones:

Función Eje de

Simetría Vértice

Intersección con eje x

Intersección con eje y

Conjuntos

Ejercicio 5

A partir del gráfico, hallar la expresión de la función en todas las formas posibles:


Ejercicio 6 Dada la función:

Se pide: a) Coordenadas del Vértice:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Ecuación del Eje de Simetría:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Intersección con Ejes Coordenados:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Imagen o Rango de la Función:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e) Escribirla en formas factorizada y canónica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f) Escribir todos los valores de “x” para los cuales es y creciente:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Ejercicio 7

Dada la siguiente función cuadrática: f(x)= a.(x+3)2 - 4, ¿Cuánto debería valer a para que una de las raíces sea x=-5? . Exprese la función en la forma polinómica, canónica y factorizada. Grafíquela. Rta: a = 1

Ejercicio 8

Hallar k para que la función y=k.(x+1)(x-3) tenga Yv=2 . Graficar la función cuadrática

obtenida y expresarla en forma polinómica, factorizada y canónica. Rta.:

Ejercicio 9 Sea la función se pide: a) Escribir la ecuación del eje de simetría. b) Hallar las coordenadas del vértice. c) Representar gráficamente en un par de ejes cartesianos e indicar conjunto imagen (o

rango).

Ejercicio 10

El gráfico de la parábola que tiene vértice en (3;5) y pasa el punto (4;4) se corta con el gráfico de la función en los puntos p y q. Hallar las coordenadas de p y q.

Ejercicio 11 Para las olimpíadas organizadas con motivo de la Semana del Estudiante, en la que participan distintas escuelas en Córdoba, se realizaron distintivos para identificar los distintos colegios participantes. La cantidad de distintivos vendidos se modeliza con la función C(p) donde p es el precio (en pesos) a los que se ofrecen los distintivos:

C (p) = 3.613 – p2 - 2p

Para esta función, ¿cuál es la respuesta a las siguientes preguntas?

a) ¿Para qué valores de p se puede definir la función C(p)?

b) ¿Cuántos distintivos se vendieron si se cobraron $ 50?

c) ¿Cuántos distintivos se habrían regalado si no se cobrara dinero alguno?

d) ¿Cuál es la imagen de $ 60? ¿Qué significa dicho resultado?


Llamamos función módulo o valor absoluto a una función f : R→ que verifica:

siendo



Función P. Anguloso Intersección

con eje x Intersección

con eje y Conjuntos


Llamamos función racional homográfica a una función f : → que verifica:

su representación gráfica recibe el nombre de hipérbola.

Dominio Rango Asíntota Vertical Asíntota Horizontal

Intersección con eje x (si existe) Intersección con eje y (si existe)




Función Dominio Imagen Asíntota Vertical

Asíntota Horizontal

Conjuntos

Ejercicio 14 a) A partir de las gráficas siguientes encuentre las expresiones de f y g con sus

correspondientes dominio e imagen.

f f

g g

ax bf : D I / f x con f y a

cx d

g : D I / g x mx n

0 1 2

b) Calcule el valor de

g f 1 1

3. Justifique sus respuestas.


Dos funciones f y g son una función inversa de la otra si y sólo sí se cumple: si f (a) = b entonces g (b) = a, en este caso escribimos g = .

Para realizar el gráfico de la función inversa . observemos que si el par ordenado (a;b)

pertenece a la gráfica de la función f entonces f (a) = b y por definición de función inversa: (b) = (f (a)) = a por lo tanto el par ordenado (b;a) pertenece a la gráfica de .

Entonces el gráfico de la función inversa es el que resulta de realizar una reflexión de la gráfica de la función f con respecto a la recta que es bisectriz del primer cuadrante.

Recordemos que para que la relación inversa de una función , también sea función, debe ser Biyectiva.

¿Cómo se obtiene la regla o fórmula de la función inversa de una función dada?

Dada la función biyectiva: hallar la fórmula de

Procedimiento:

(1) despejar “x”

(2) intercambiar “x” por “y”

Asíntota Horizontal


Así obtenemos: :

también Biyectiva.

Observemos que las gráficas de la función y su inversa resultan simétricas respecto de la función identidad.

A continuación los gráficos de los pares de funciones inversas:

g

Ejercicio 15

Considere la función calcule e indique Dominio y Rango de cada una.


Ejercicio 16

Sean y .

a) Halle

b) Halle

Ejercicio 17

Dadas las funciones y . Calcular y .

Ejercicio 18

Dadas las funciones y hallar .

Ejercicio 19

La figura que aparece a continuación muestra la gráfica de una función f , para − 1≤ x ≤ 2

a) Escriba

b) Escriba

c) Grafique en el mismo par de ejes

d) Escriba

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