LABORATRIO DE MATEMTICA PARA CINCIAS SOCIAIS APLICADAS II

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Funes de mais de uma varivel

Em muitas situaes que ocorrem, quer no plano terico quer na prtica, h necessidade de

considerar diversas variveis. muito importante, nesses casos, tentar descrever quantitativamente

a forma pela qual elas se relacionam. Uma das formas de expressar tal relacionamento

descrevendo como uma delas se expressa em funo das outras; tal conceito chamado de funo

de vrias variveis.

O custo de certo produto pode depender do custo de mo-de-obra, do preo dos materiais e

de despesas gerais. O nmero de unidades vendidas de certa mercadoria pode depender do preo de

venda de cada unidade e da quantia dispendida em propaganda. A demanda de um produto depende

do seu preo, mas tambm pode ser influenciada pelo preo dos produtos concorrentes, bem como

pela renda dos consumidores em potencial.

Situao 1: A demanda semanal de manteiga num supermercado depende de certos fatores, como

seu preo unitrio, preo unitrio de bens substitutos (por ex., margarina), renda familiar, gostos

pessoais e outros. Suponhamos que a demanda por manteiga depende de seu preo unitrio p1 e do

preo unitrio da margarina p2. Dizemos, ento, que a quantidade demandada q funo de p1 e p2 e

escrevemos q = f(p1,p2).

Ex. 1: Sejam q: a quantidade semanal demandada de manteiga num supermercado (em kg), x: o

preo por kg de manteiga, y: o preo por kg de margarina. Suponhamos que q = 100 2x + y. Temos assim, uma funo de duas variveis em que f(x,y) = q e o domnio da funo

D = {(x,y) IR2| x 0, y 0, 1002x+y0}, pois no possvel termos preos ou quantidades negativas. Determine a quantidade demandada se o preo por kg de manteiga for R$ 10,00 e o da

margarina for R$ 8,00. Faa o esboo do domnio de f.

Ex. 2: Uma loja de roupas vende dois tipos de suteres similares, porm de diferentes fabricantes. O

primeiro tipo custa R$ 40,00 para a loja, enquanto que o segundo tipo custa R$ 50,00. A

experincia mostra que se x e y forem os preos de venda do primeiro e do segundo tipo,

respectivamente, ento a quantidade vendida do primeiro tipo, por semana, ser 3200 50x + 25y, enquanto que 400 25y + 25x sero as vendas do segundo tipo. O lucro bruto na venda de um suter do primeiro tipo (x 40), enquanto que (y 50) o lucro bruto na venda de um suter do segundo tipo. Se cada uma destas quantias for multiplicada pelo respectivo nmero de

suteres vendidos, a soma dos produtos dar o lucro bruto. Escreva a funo e avalie-a em x = 40

e y = 50.

Ex. 3: Se, a loja vende suteres de primeiro e de segundo tipo por R$ 90,00 e R$ 100,00,

respectivamente, ento o lucro bruto semanal ser P(90,100).

Ex. 4: A Companhia Acrosonic fabrica um sistema de caixas de som portteis que pode ser

comprado completamente montado ou na forma de kit. As equaes de demanda que relacionam os

preos unitrios p e q, com as quantidades demandadas semanais x e y das verses montada ou kit

do sistema de caixas de som, so dadas por p =

e q =

A) Qual a

funo receita total semana R(x,y)? B) Qual o domnio da funo R?

Situao 2: A funo de Cobb-Douglas A funo de produo relaciona a quantidade produzida de algum bem em certo intervalo de tempo com os insumos variveis necessrios (mo-de-obra e

capital) a essa produo (trabalho, terra, capital e outros). A funo de Cobb-Douglas um modelo

de funo de produo muito utilizado pelo economista Paul Douglas e pelo matemtico Charles

Cobb, ambos norte americanos, em seus estudos sobre a repartio da renda entre o capital e o

trabalho no incio do sculo XX. A expresso da referida funo P = f(L,K) = A.K.L

1, em que P

a quantidade produzida, K o capital empregado, L a quantidade de trabalho (mo-de-obra)

envolvido. A constante A depende da tecnologia utilizada e um parmetro que varia de 0 a 1.

Ex. 5: Um fabricante estima que sua produo (medidas em unidades de um produto) pode ser

modelada por f(x,y) = 100x0,6

y0,4

, em que a mo-de-obra x medidas em pessoas-hora e o capital

y, em milhares de reais.

a) Qual o nvel de produo quando x = 1000 e y = 500?

b) Qual o nvel de produo quando x = 2000 e y = 1000?

c) Como dobrar a unidade de mo-de-obra e capital dos itens a) e b) afeta a produo?

Ex. 6: Utilize a funo de Cobb-Douglas no ex. 5 para determinar os nveis de produo quando

x = 1500 e y = 1000 e x = 1000 e y = 1500. Utilize seus resultados para determinar qual varivel

possui maior influncia sobre a produo.

Situao 3: Determinao de pagamentos mensais

Ex. 7: O pagamento mensal M de um emprstimo parcelado de P reais tomado por t anos a uma

taxa de juros anual de r dado por M = f(P,r,t) =

*

+ .

a) Determine o pagamento mensal de uma hipoteca residencial de R$ 100000, tomada por trinta

anos a uma taxa anual de juros de 7%.

b) Determine o pagamento mensal do financiamento de um automvel no valor de R$ 22000,

tomado por cinco anos a uma taxa anual de juros de 8%.

Ex. 8: a) Determine o pagamento mensal M de uma hipoteca residencial de R$ 100000,00, tomada

por trinta anos a uma taxa de juros mensal de 8%.

b) Determine a quantidade total de dinheiro a ser paga nessa hipoteca.

Situao 4: Funo utilidade Em Economia, chama-se utilidade de um consumidor ao grau de satisfao que o mesmo adquire ao consumir um ou mais bens ou servios.

Ex. 9: Suponhamos que um consumidor tenha a seguinte funo utilidade U(x1,x2) = x1.x2, em que

x1 a quantidade consumida do bem I e x2, a quantidade consumida do bem II. Suponha que, no

incio, ele consuma 4 unidades de I e 6 unidades de II.

a) Se o consumidor diminuir o consumo do produto I para 3 unidades, qual deve ser o consumo de

II para manter o mesmo nvel de satisfao?

b) Se o consumidor aumentar o consumo do produto I para 12 unidades, qual deve ser o consumo

de II para manter o mesmo nvel de satisfao?

c) supondo que os bens I e II sejam vendidos em quantidades inteiras, quais as possveis

combinaes que o consumidor poder fazer para manter o nvel de satisfao do incio?

Exerccios:

1) Um fabricante de materiais esportivos produz bolas de futebol em duas fbricas. Os custos de

produo de x1 unidades no Local 1 e de x2 unidades no Local 2 so dados, respectivamente, por

C1(x1) = 0,02 + 4x1 + 500 e C2(x2) = 0,05

+ 4x2 + 275. Se o produto for vendido a R$ 50,00

por unidade, ento a funo de lucro do produto dada por P(x1,x2) = 50(x1 + x2) C1(x1) C2(x2). Determine: a) P(250,150); b) P(300,200).

2) Uma loja vende apenas dois produtos, o primeiro a R$ 500,00 a unidade e o segundo, a

R$ 600,00 a unidade. Sejam x e y as quantidades vendidas dos dois produtos. A) Qual a

expresso da receita de vendas? B) Qual o valor da receita se, forem vendidas 10 unidades do

primeiro produto e 15 do segundo? C) Represente graficamente os pontos (x,y) para os quais a

receita R$ 300000,00.

3) A funo de demanda que relaciona os preos unitrios p e q com as quantidades de demanda

semanais x e y de dois bens A e B so dadas por p = 200

x

y e

q = 150

x

y.

a) Qual a funo receita total semanal R(x,y)?

b) Qual o domnio de R e qual o seu grfico?

4) As equaes de demanda de dois produtos A e B so p = 50 2x (A) e q = k y (B), em que p e q so os preos unitrios e x e y as respectivas quantidades. Calcule k de modo que a receita seja

R$ 2000,00 quando so vendidas 6 unidades de A e 2 unidades de B.

5) Sejam x e y as quantidades vendidas de dois produtos, cujos preos unitrios so R$ 100,00 e

R$ 300,00, respectivamente. A) Determine a funo receita R(x,y). B) Calcule R(2,4).

C) Represente graficamente os pontos (x,y) para os quais a receita vale R$ 12000,00.

6) Seja C(x,y) = 100 + 2x + 3y a funo custo conjunto para fabricar x unidades de um produto I e y

unidades de um produto II. A) Qual o custo de fabricao de 10 unidades de I e 20 unidades de

II? B) Qual o custo fixo? C) Qual a variao do custo quando se aumenta em 5 unidades a

fabricao do produto I e em 6 unidades a do produto II, a partir da situao do item (A)?

D) Represente graficamente os pontos (x,y) para os quais o custo R$ 300,00.

7) Um fabricante estima sua funo de produo de Cobb-Douglas como f(x,y) = 100x0,75

y0,25

.

Estime os nveis de produo quando x = 1500 e y = 1000.

8) Utilize a funo de produo de Cobb-Douglas f(x,y) = 100x0,6

y0,4

para mostrar que, se o nmero

de unidades de mo-de-obra e o de capital forem dobrados, o nvel de produo tambm ser

dobrado.

9) A Agncia de Viagens Odyssey tem um oramento mensal de propaganda de R$ 20000. A

gerencia da Odyssey estima que se gastarem x reais em propaganda de jornais e y reais em

propaganda de televiso, a receita mensal ser de f(x,y) = 30x1/4

y3/4

reais. Qual ser a receita

mensal se a agncia Odyssey gastar R$ 5.000,00 por ms em anncios de jornal e R$ 15000,00

por ms em anncios de televiso? E se gastar R$ 4000,00 por ms em anncios de jornal e

R$ 16.000,00 por ms em anncios de televiso?

10) A quantidade mdia de tempo que um cliente espera em uma fila de atendimento dada por

W(x,y) =

, y < x, em que y a taxa mdia de chegadas e x a taxa mdia de atendimentos

(x e y so medidos em nmero de clientes por hora). Calcule W em cada ponto: a) (15,10);

b) (12,9); c) (12,6); d) (4,2).

11) Um consumidor tem a seguinte funo utilidade U(x,y) = x2y, em que x e y so as quantidades

consumidas de dois produtos A e B, respectivamente. Considere os pares (x,y) de consumo:

(I) (6,0); (II) (3,4); (III) (5,8). Coloque em ordem crescente de preferncia esses pares.

12) Em 2008, foi feito um investimento de R$ 1000,00 em um ttulo rendendo 10% capitalizados

anualmente. O investidor paga impostos taxa R e a taxa de inflao anual I. No ano de 2018,

o valor V do ttulo na moeda vigente em 2008 dado por V(I,R) = *

+

. Utilize

essa funo de duas variveis e uma planilha para preencher a tabela.

Taxa de impostos Taxa de inflao

0 0,03 0,05

0

0,28

0,35

13) A prestao mensal que amortiza um emprstimos de A reais em t anos, quando a taxa de juros

de r ao ano, dada por P = f(A,r,t) =

[ (

)

].

a) Qual a prestao mensal para uma hipoteca de R$ 120.000,00 que ser amortizada ao longo

de 25 anos com uma taxa de juros de 9% ao ano? E com uma taxa de 11% ao ano?

b) Determine a prestao mensal para uma hipoteca de R$ 120.000,00 que ser amortizada ao

longo de 30 anos com uma taxa de juros de 9% ao ano.

14) Suponha que um indivduo contraia um emprstimo de A reais num banco para comprar uma

casa. Se a taxa de juros cobrada de r ao ano e o emprstimo deve ser amortizado em t anos,

ento a reposio do principal ao final de i meses dada por B = f(A,r,t,i) = [(

)

(

)

]

(0 i 12t). Suponha que os Silva tomem emprestado de um banco uma quantia de R$ 80.000,00 para ajud-los a financiar a compra de uma casa e o banco lhes cobra uma taxa de

juros de 9% ao ano. Se os Silva concordarem em pagar o emprstimo em prestaes mensais

iguais ao longo de 30 anos, quanto eles devero ao banco aps o 60 pagamento (5 anos)? E aps

o 240 pagamento (20 anos)?