GEOESTADISTICA.COMLa minera es la industria extractiva de mayor monto de inversin y de mayor riesgo, los esfuerzos para reducir la inversin y el nivel de incertidumbre con que se presenta el mineral econmico, son preocupaciones permanentes en toda labor operativa minera y proyecto de inversin.

Uno de los puntos fundamentales para definir la bondad de un proyecto, requiere resolver y definir los niveles de recuperacin metalrgica, definidos por la tecnologa vigente disponible y sus costos de inversin inicial.

Los costos operativos mina y planta son los pilares fundamentales que permiten definir la rentabilidad de un proyecto minero, los mismos que se sustentan en un adecuado planeamiento de minado a corto, mediano y largo plazo.

Considerando que la bsqueda de un procedimiento operativo ptimo es aquel que nos permite la mxima rentabilidad, los esfuerzos que se puedan aplicar para alcanzarlo desde un inicio generan un procedimiento o estndar de trabajo que se reflejar en menores costos y beneficios destacados. La experiencia tambin indica mantener una permanente revisin y control de los estndares de trabajo que puedan mantenerse durante un tiempo, a fin de identificar los puntos frgiles que se requieran mejorar para volver a alcanzar nuevamente el procedimiento ptimo inicial.

Los integrantes de nuestra empresa conocen bien el qu hacer en las operaciones de minado, as tambin tienen claridad del respeto y cuidado que se debe tener en cada normativa que regulan las actividades mineras. Esto permite mejorar los estndares de trabajo e inversin que algunas veces son tomadas con simplicidad de otras experiencias "similares", consideramos que el evaluar con profundidad las condiciones particulares propias de cada proyecto minero o de una operacin minera generarn una importante reduccin de montos de inversin, costos, tiempo y esfuerzo.

Ante esta secuencia de actividades que conlleva importantes montos de inversin, costos operativos con comprensibles riesgos en cada una de las etapas, consideramos oportuno proponer a las compaas mineras nuestra experiencia acumulada en muchos aos de trabajo en diferentes tipos de operaciones mineras, plantas metalrgicas y localidades que alcanzan a la regin andina.QUINES SOMOS: Somos una organizacin conformada por profesionales con slida experiencia en estimacin de recursos, diseo de minas a cielo abierto, estimacin de reservas, planeamiento de minado, operaciones mineras y recuperacin metalrgica. Los profesionales afiliados a esta organizacin cuentan con ms de 20 aos de experiencia, contando con un slido conocimiento actualizado de la tecnologa que se viene aplicando de manera intensa en el mbito nacional y regional.

Recursos y ReservasNuestra experiencia en la Estimacin de Recursos se soporta en el dominio de la ciencia geoestadstica y en la interpretacin coherente del comportamiento de la mineralizacin en el depsito, el mismo que debe reflejar y sustentarse con los indicadores matemticos, estadsticos y probabilsticos que la geoestadstica describe con claridad para su aplicacin.

Durante nuestras actividades en este tema, buscamos que la validacin de nuestros resultados con lo que se encuentra en el terreno, presente la certeza que requieren las operaciones mineras, tanto a corto como a mediano plazo. Los procedimientos que aplicamos, mantienen un elevado porcentaje de precisin que permiten ingresar en el terreno con confianza y seguridad verificando la correcta localizacin y calidad de la ley estimada.

Para determinar las reservas, contamos con vasta experiencia en diseo de minas tanto a cielo abierto como subterrneas, aplicando tcnicas de optimizacin mediante software y procedimientos que garantizan la optimalidad de los resultados.MineraCon respecto a las operaciones mineras, la experiencia de los profesionales que nos acompaan, no solo se limita al quehacer operativo, sino a desarrollar un activo seguimiento y control de la calidad de la labor que se realiza o se debe realizar en cada punto de trabajo. Los mismos que luego de un anlisis integral de la informacin y de las actividades desarrolladas en el terreno, permiten plantear las recomendaciones con propuestas ms rentables para la empresa. Para el logro con xito de esta labor aplicamos los instrumentos ms avanzados de gestin de informacin como el Balance Score Card, Reingeniera y Control de Procesos.MetalurgiaRespecto a la recuperacin metalrgica, la experiencia de los profesionales que nos acompaan, como primera actividad se orienta al diseo integral de plantas ADR para la recuperacin de oro y plantas de flotacin para mineral sulfuroso, como segunda actividad a la supervisin en la fabricacin y construccin de estas plantas, finalmente a la instalacin y operacin continua.

CONCEPTO DE CLCULO DE RESERVASLos recursos clasificados en medidos, indicados e inferidos mantienen esta calificacin en base a la precisin de la estimacion que depende de la cantidad de muestras y la proximidad de las mismas utilizadas en la estimacin de recursos, sin embargo esta clasificacin de recursos mantienen una relacin directa con las reservas probadas y probables, pero aqu es muy importante precisar que la calificacin de reservas depende ms de la facilidad de extraccin del mineral.

De esta manera se entiende con facilidad que no todos los recursos medidos e indicados podrn convertirse en reservas probadas o probables. Es aqui en donde se destaca que las reservas (probadas o probables) se definen por anlisis de costos, precios y recuperacin metalrgica.

Las reservas constituyen el activo valorizado de mineral que puede ser extraido econmicamente, para llegar a estos resultados es necesario:1. Anlisis y clculo de costos de produccin2. Determinacin de la Recuperacin Metalrgica3. Determinar el precio mas confiable y seguro del metal4. Determinar el tiempo de proyeccin de estas variables5. Determinacin de los accesos y volmenes de extraccin del mineralEl conocimiento y control de estas variables permiten definir con mayor certeza la ley de corte (cut off) requerida para el trabajo cotidiano de las operaciones mineras.

En la siguiente expresin el lado izquierdo indica las variables: tonelaje (T), recuperacin metalrgica (R), precio del metal a vender (P) y el lado derecho la suma de, costos (Ci). En toda operaci minera el lado izquierdo debe ser mayor que el lado derecho.

Sin embargo al igualar estas expresiones se determina la condicin que debe cumplir la ley de corte o cut-off, en donde la ley de corte subir en valor directamente proporcional al alza de los costos, tambin la ley de corte subir en valor cuando la recuperacin metalrgica o el precio disminuyan en valor.En trminos simples la ley de corte indica la mnima ley de mineral que debe ser enviada a la planta de tratamiento.

Con esta ley de corte podemos identificar los cuerpos o zonas mineralizadas de inters, sin embargo es necesario que este volumen de mineral identificado pueda pagar su extraccin, tanto en minera subterrnea como en minera superficial, este concepto es de igual significado.En minera subterrnea, si luego de la estimacin de recursos, encontramos que algunos tajeos tienen ley mayor a la ley de corte, sin embargo se encuentran muy alejados de la planta metalrgica, no formar parte de las reservas (hasta encontrar alguna forma que reduzca los costos de extraccin o minado).

De forma similar en minera superficial, los recursos pueden indicar volumenes con leyes superiores a la ley de corte, pero si estos se encuentran en profundidad que no puede pagar el desbroce y extraccin, no formarn parte de las reservas.La ley de corte puede indicar tambin la ley de corte equivalente (conformado por la ley mnima de cada uno de los metales presentes en el mineral de inters).

Otra de las principales preocupaciones de las empresas constituye encontrar la diferenciacin entre las leyes de corte operativa, empresarial y corporativa, que algunas veces pasan por un mayor anlisis de depreciacin de activos, costos de refinanciamiento y su influencia en el tonelaje de recursos y reservas.

El control anlisis y control comparativo de la ley de corte, costos y reservas permiten prever y proyectar el desarrollo sostenido de las operaciones mineras.

CLCULO DE RESERVAS EN MINERA SUPERFICIALCriterios para el Clculo de Reservas en Minera SuperficialPara calcular las reservas en minera superficial, es necesario realizar el diseo de la mina a tajo abierto, el diseo se sustenta en lograr identificar los bloques estimados con ley superior a la ley de corte (cut off) y al mismo tiempo su extraccin pague el esteril o desmonte que se encuentra sobre ellos.Entre las consideraciones mas importantes que se deben tener en cuenta para el diseo de una mina a cielo abierto, se presentan las siguientes:1. Modelo de bloques con valores de ley y certeza de la estimacin de bloques de mineral2. Recursos clasificados en medidos, indicados e inferidos3. Modelo topogrfico del terreno, en una extensin suficiente para la extensin de los taludes del tajo4. Altura del banco de explotacin y gradiente de los taludes en direcciones5. Recuperacin metalrgica, Costos de Mina y de Planta, Precios de los metales a explotarFig. 2Fig. 3

Con esta informacin se procede a calcular el diseo ptimo del tajo mediante cualquiera del software disponible en el mercado que garantice la optimalidad del clculo.

El diseo ptimo es nico, por ser una funcin matemtica, sin embargo constituye un diseo por lo general no aplicable en 100%, debido a que muchas veces presenta contornos no compatibles con la operacin de los equipos de minado. Para ello, es necesario introducir ajustes en el diseo aplicando criterios operativos, si bien estos ajustes alejarn en un pequeo porcentaje el diseo ptimo matemtico, estaremos logrando un ptimo tcnico operativo para el proceso de produccin.Fig. 4Fig. 5

Una vez obtenido el "diseo ptimo tcnico" de la mina a cielo abierto (Fig. 4), se procede a calcular el tonelaje de mineral que se encuentra en su interior (Fig. N 5), el mineral dentro del pit es calificado como reservas. Aquellos recursos que fueron calificados como "recursos medidos" y que se encuentran al interior del diseo, reciben el calificativo de "reservas probadas". Aquellos recursos que fueron calificados como "recursos indicados" y que se encuentran al interior del diseo, reciben el calificativo de "reservas probables". Los recursos inferidos no son tomados en cuenta para el clculo del diseo del pit y tampoco como contribucin en los tonelajes de reservas.

Diseo de Mina a Tajo Abierto(Open Pits)El diseo de una mina a tajo abierto (o cielo abierto) es una de las actividades ms importantes en el estudio tcnico econmico de un proyecto minero, pues no solo nos proporcionar las reservas econmicas a explotar, sino la forma de la mina al final de su vida en cada banco de explotacin, la pendiente de los taludes en diferentes niveles, el tonelaje de material estril a extraer, la ubicacin del tonelaje y ley que suministrar la mayor rentabilidad.

Fig.1: Secuencia para llegar a reservasConsideramos importante en esta parte introducir el concepto de optimalidad que involucra el aplicar un algoritmo de diseo de minas mediante alguno de los software disponibles en el mercado. Es tambin importante mencionar la histrica trayectoria de investigacin en varios pases para lograr el software que obtenga, en primer lugar el diseo ptimo matemtico del tajo abierto, y en segundo lugar que presente versatilidad y flexibilidad en la aplicacin en depsitos de gran dimensin y complejidad.Para entender la magnitud de la complejidad de clculo en el diseo ptimo de una mina a cielo abierto, se muestra en el grfico N 3.

Fig. 3: Tajo con bloques seleccionadosEn este diseo de tajo abierto, se observan bloques de 10 x 10 x 10 m3, la magnitud del modelo de bloques se encuentra en el orden de 180 x 120 x 80 (1,728,000 bloques) limitado en la parte superior por una topografa.En el grfico se observan bloques seleccionados encima de la topografa del tajo diseado y debajo de sta se observan los bloques que no son posibles de extraer, ya sea por que estar ms profundos o de menor ley, que no pagan su extraccin.Para el diseo ptimo del tajo abierto es necesario que el algoritmo a aplicar seleccione los bloques con ley que puedan pagar la extraccin del material estril que la recubre, respetando las condiciones de estabilidad de los taludes indicados.Se podr entender que la combinatoria de seleccin de bloques de mineral con bloques con material estril requiere de un software comprobado, validado y reconocido y aceptado internacionalmente por las principales entidades que financian proyectos mineros.

Un software de alta versatilidad presenta como resultado en un solo proceso de clculo varios diseos de minas, cada uno diferenciado del parmetro (Pit (i)), que esta en funcin de los costos de mina, planta, precios del metal y recuperacin.

Fig. 4: Diseos de tajos con bloques de reservasConsiderando las variables que intervienen en el clculo del cut-off, se entiende que es posible disear pits anidados que estan en funcin de las variables que determinan el cut-off. Por lo tanto Cada Pit es funcin del, precio (P) del metal, recuperacin (R), tonelaje (T), ley del metal (L) y costos (C).

Los software disponibles actualmente en el mercado pueden suministrar en un solo proceso decenas de pits, simulando un anlisis de sensibilidad para variaciones del parmetro tcnico econmico, indicando tambin el diseo ptimo para las condiciones actuales de costos y precios.

En la figura 4 se presentan tajos generados mediante la variacin de parmetros tales como el Costo (mina + planta), Precio del metal, Recuperacin Metalrgica, Tonelaje de Mineral y ley del metal.

Estos parmetros en conjunto generan el cut off o ley de corte, entonces cada tajo que pueda generarse mantiene una relacin directa y proporcional con el cut off

Fig. 5: Diseos de tajos para diferentes parmetrosEn el grfico 5, se muestra como incrementando el valor del precio del metal se puede lograr que se vuelva econmico las profundidades de un pit. Lgicamente esta relacionado a la presencia de buena ley y a la relacin estril mineral.Si observamos un depsito con recursos, podremos realizar un gran nmero de diseos que generarn un tonelaje de minado y una rentabilidad, segn la Fig. 6 podremos encontrar un tonelaje (t) que proporcionar una rentabilidad (r), para cualquiera de los puntos que se encuentran debajo de la curva

Fig. 6: Curva de Optimalidad de la Rentabilidad

Si evaluamos la rentabilidad de un proyecto que tiene como mximo 120 millones de toneladas, la rentabilidad puede partir desde valores muy bajos (para mnimos tonelajes) como indica la curva, y se va incrementando gradualmente hasta un mximo, luego del cual la rentabilidad ir decreciendo.Es interesante imaginar que los puntos debajo de la curva tambin son relaciones que pueden presentarse entre valores de tonelaje y la rentabilidad, estos puntos debajo de la curva definitivamente no constituyen valores ptimos para cada tonelaje total a producir en el proyecto. Probablemente estos valores debajo de la curva podran ser utilizados en los casos que no se apliquen criterios de optimalidad ocasionando prdidas en el proyecto por mala concepcin.La cantidad de puntos existente debajo de la curva es muy grande. Los diseos ptimos de tajos abiertos que se pueden encontrar con un software especializado se ubican en el borde superior de la curva (puntos a, b, c, d, e, f, g, etc.), de los cuales para cierta condicin de las variables que intervienen en un determinado momento, encontrariamos el ptimo entre los puntos (e) y (g).El hecho de conocer la mayor cantidad de opciones de optimalidad para distintos valores del parmetro Pit(i) nos permite definir un espectro de opciones de pits ptimos que contribuyen a definir mejor el horizonte de trabajo principalmente en perodos de inestabilidad de los precios y costos.En todo proyecto que involucra inversin y riesgo es necesario contar con un anlisis de sensibilidad de los retornos de inversin acorde a las fluctuaciones de precios y costos.

ALGORITMOS DE DISEO DE MINASBsqueda del ptimoLa Mineria al igual que en otros procesos industriales requiere de un anlisis profundo de la forma de explotacin de los minerales, una de las etapas cruciales que definen la rentabilidad o no de un proyecto minero a cielo abierto corresponde al diseo final ptimo del tajo abierto.

La tecnologa de procesamiento de informacin en base a modelos matemticos de optimizacin, ha sido desarrollada durante muchos aos por los principales centros de investigacin de pases desarrollados con importante influencia en inversiones mineras de gran magnitud.

Es as que podemos recopilar importantes esfuerzos cientficos desarrollados en Estados Unidos, Inglaterra, Rusia, Francia, Blgica, etc. con miras a encontrar la frmula o el algoritmo matemtico mas eficiente y flexible para conseguir un diseo ptimo matemtico de una mina a cielo abierto.

Entre los algoritmos mas importantes podemos destacar:1. Cono Movil o Mtodo de Incrementos (USA)2. Algoritmo de Korobov (Ruso)3. Programacin Dinmica (Lerchs y Grossman) (Ingls y USA)4. Grafos de Lerchs y Grossman (Ingls y USA)5. Bosque Subcompactado de Ren Vallet (Belga)6. Parametrizacin de Reservas Minables de Mathern (Francia)Casi todos estos mtodos o algortmos descritos, logran obtener o llegar con bastante aproximacin al ptimo matemtico (a excepcin del Cono Movil), pero la diferencia se encuentra en la flexibilidad para el procesamiento y velocidad para converger en el ptimo matemtico, que como se sabe es nico.

Ejemplo Figurativo Simple: Para lograr transmitir en forma simple el mensaje sobre el significado de optimizacin de un tajo, y saber por que se llama ptimo, que hace el software que optimiza y por que utilizarlo, podemos imaginar un modelo de bloques (figurativamente) del tamao de una caja de cartn de unos 30 cm de alto x 60 cm de ancho y 88 cm de largo. Los "bloques de mineral" los colocaremos al interior de esta caja de cartn, tomando para ello cajas pequeas de fsforo cerillos (de 1 cm de alto x 3 cm de ancho x 4 cm de largo) distribuidas en forma ordenada. Asumiremos en este modelo simulado que la topografa es horizontal.

En total podriamos colocar 30 x 20 x 22 cajas de fsforo (simulando 30 bloques en direccin de la cota, 20 bloques en direccin norte, 22 bloques en direccin este), esto significa que se requeriran 13,200 cajas al interior del model simulado. Si a 5,000 cajas de fosforo ubicados con cierta aleatoriedad en profundidad le cargamos con monedas de valores diferentes entre 1$ y 5$ (obtendremos bloques que simulan la valorizacin del metal dentro de cada uno).

A este conjunto de cajas con valores positivos, las rodeamos hasta llenar el modelo con bloques que contengan un material estril pesado y con valor negativo por que su extraccin cuesta, de esta manera tendremos un modelo de bloques que simula a los depsitos de mineral.

El objetivo en este conjunto de cajas de fosforo es extraer los bloques (tanto con valor positivo o negativo) que en conjunto sumen el mximo valor a extraer de todas las combinaciones de extraccin posibles. Asi mismo se deber tener cuidado en darle una forma y gradiente a las paredes del hoyo para que tenga estabilidad.

Esta combinatoria de extraccin de bloques de mineral que se encuentran en profundidad cubierto por bloques de material estril es la que buscan los algortmos de diseo de minas para encontrar el diseo que proporcione el mximo beneficio (mayor cantidad de metal y menor cantidad de desmonte).

A esta complejidad debemos adicionarle las condiciones de variacin de los precios, costos, topografa irregular, recuperacin metalrgica de acuerdo al tipo de mineral.

DISEO DE MINAS A CIELO ABIERTO: MTODO DEL CONO MVILMtodo del Cono Mvil o mtodo de incrementosEs un mtodo que an es utilizado con cierta frecuencia para obtener los primeros resultados en un diseo, se aproxima al mtodo manual de diseo por su fcil aplicacin.Existen muchas variantes de este mtodo, pero en escencia consiste en remover material en forma de conos o porciones de estos conos. Las consideraciones generales que guan la metodologa son:1. Definir el volmen de minado inicial, fijando la forma del fondo de este volmen2. Sumar los valores de los bloques que caen dentro de la porcin a incrementar (parte de un cono)3. Considerar a la porcin como incremento efectivo al primer volmen si su valor es mayor de ceroCuando no se introduce el criterio econmico, se parte con volmenes de geometra del fondo diferente, y luego se efecta la ampliacin considerando solamente la relacin desmonte / mineral.Las desventajas de este mtodo son: Al ser utilizadas, la solucin a menudo depende de la forma como se parti dando por lo tanto muchas soluciones que no conducen al ptimo. Particularmente el traslape de volmenes no es fcil de controlar. Por ejemplo:Fig. 1: Ejemplo de MulticonosTanto el cono 1 como el cono 2, ninguno de los dos independientemente pueden ser minados en forma econmica, pero considerando ambos a la vez, resulta un valor positivo = 1.

Tanto el cono 1 como el cono 2, ninguno de los dos independientemente pueden ser minados en forma econmica, pero considerando ambos a la vez, resulta un valor positivo = 1.

DISEO DE MINAS A CIELO ABIERTO: ALGORITMO DE KOROBOVEste mtodo es particularmente aproximado al de multiconos y se muestra simple permitiendo cierata flexibilidad en la eleccin de las pendientes de los taludes en direcciones principales (X e Y).

La diferencia que se encuentra con el mtodo anterior, es que no snecesita del anlisis combinatorio tedioso. La metologa es simple, pero no introduce criterios de optimalidad estricta pues el resultado depende de la direccin en que se trabaja el mtodo. En el ejemplo que sigue se trabajar de izquierda a derecha, el contenido del ejemplo se extrajo a partir de un reporte tcnico de Sergey Korobov, investigador del Instituto de Minas de Mosc, editado en el Dpto. de Mienerales de la Escuela Politcnica de Montreal.

El proceso de este algoritmo puede ser explicado con el siguiente ejemplo, partiendo de la Fig. N 1 en donde los nmeros en color es el nmero del bloque, el nmero a su derecha es la evaluacin inicial y el nmero debajo de estos dos, la evaluacin resultante que se forma haca arriba.

Empezamos a explorar el primer nivel y extraemos todos los bloques cuya valucin sea positiva. Encontramos los bloques 1, 2, y 7 que dan la primera evaluacin V = 1+1+3 = 5. Resulta el siguiente grfico.

A continuacin pasamos al segundo nivel y analizamos su influencia en el primer nivel, en el segundo nivel identificamos los bloques con valor positivo 13, 14, y 17. Para cada uno de estos bloques identificamos los bloques necesarios a extraer, que se encuentran en el primer nivel (ver el siguiente grfico). Para el bloque 13 vemos que es necesario extraer el bloque 3 y 4. La suma de los valores de estos bloques resulta valor negativo, por lo tanto el cono que se forma a partir del bloque 13 no puede ser extraido. Marcamos con valor cero a los bloques de este cono que pueden ser pagados por el bloque 13, en este caso queda pagado solo el bloque 3 y el mismo bloque 13, queda sin se pagado el bloque 4.

Pasamos al bloque 14 que esta "cubierto" por los bloques 3, 4 y 5, para ser extraido tiene que pagar el costo del bloque 4 y 5, pues el bloque 3 ya lo pag el bloque 13. Vemos que la valuacin resultante del bloque 14 es cero, por lo tanto tampoco puede extraerse. Sin embargo el bloque 14 paga los bloques 4 y 5 por ello se les asigna a stos valores cero como pagados. Por lo tanto hasta el momento contamos como pagados (con valor cero) los bloques 3, 4, 5, 13 y 14.

En el mismo nivel encontramos al bloque 17, el cual slo puede ser extraido junto con los bloques 6 y 8. La valuacin resultante del bloque 17 es V = +5 -1-1 = 3. Esto significa que si sumamos los valores de los bloques de los conos extraidos el valor total hasta el momento se incrementara a V = 5 + 3 = 8.

Agregando el tercer nivel (siguiente grfico), encontramos en este nivel un solo bloque positivo, el 23; el cual contiene en su cono de extraccin a los bloque superiores 3, 4, 5, 14, 15, 16. El bloque 23 solo debe y puede pagar la extraccin de 15, debido a que los bloques 3, 4, 5, 14 ya fueron pagadas. (los pagos se realizan de arriba haca abajo y de izquierda a derecha, en aquellos bloques que no fueron pagados por otros bloques anteriormente). Por lo tanto la valuacin del cono resultante desde el bloque 23 es cero y no puede ser extraido.

Adicionando el cuarto nivel (en el siguiente grfico), analizamos el bloque con valor positivo nmero 28, el cual puede solo pagar a 12, 16 y 21 dando como valor resultante del cono igual a cero y no puede ser extraido. El siguiente bloque positivo de este nivel es el 31 que contiene en su cono a los bloques 4, 5, 9, 10, 15, 16, 18, 19, 24, 25 y 26, de los cuales solo pueden ser pagados (sin considerar los bloques ya pagados) 9, 10, 18, 19, 24 y 25, no se podr pagar el bloque 26, resultando un valor cero para el cono que parte del bloque 31 sin poder ser extraido

En el mismo nivel 4 se tiene el bloque positivo 32, que paga los bloques 11, 20, 26 y 27 dando un valor resultante del cono igual a 3 (valor del bloque 32 = 7, menos los valores recientemente pagados que suman - 4). Por lo tanto este cono si puede ser extraido. (notar que este cono tiene 11 bloques de valor -1). Con ello la valuacin total hasta el momento disminuir a V = 8 + 7 - 11 = 4.

Luego de culminar la extraccin del cono desde el cuarto nivel se obtiene el siguiente grfico.

El siguiente paso es comenzar nuevamente el anlisis desde el primer nivel, esta vez borrando todos los valores resultantes (ceros en este caso). Segn el siguiente grfico, en el nivel 1 no se obtienen bloques positivos, en el segundo nivel encontramos el bloque 13 que paga la extraccin del bloque 3, dando un valor resultante cero sin poder extraerse este cono.

El bloque 14 paga la extraccin del bloque 4, dando como valor resultante 1. Por lo tanto los bloques 3, 4 y 14 pueden ser extraidos. Volviendo a analizar el mismo nivel vemos que podemos extraer el bloque 13 por ya no tener bloques superiores. Hasta aqu la valuacin total ser V = 4 + (3-2) = 5.

Continuamos con el nivel 3 y vemos que ningn bloque puede ser extraido, pues la valuacin resultante desde el bloque 23 es cero.En en nivel 4 el bloque 28 paga el minado de 12, 21, 22 dando valor resultante del cono igual a cero, por lo tanto no puede extraerse.En el nivel 4 el bloque 31 paga la extraccin del bloque 24, dando como valor resultante igual a 5, por lo tanto los bloques 15, 24 y 31 pueden ser extraidos.La nueva valuacin ser V = 5 + (6 - 2) = 9 como se indica en el grfico siguiente.

Volviendo a analizar desde el nivel superior, se encuentra que el bloque 23 puede ser minado, la valuacin se incrementar a V = 9 + 1 = 10. Examinando el cono del bloque 28 vemos que no puede ser minado, por lo tanto la valuacin final es V = 10, con el diseo final que se observa.

Este mtodo de diseo que puede extrapolarse son facilidad a tres dimensiones, no requiere del anlisis tedioso e incorrecto del mtodo del cono mvil. Por ejemplo si aplicamos el cono mvil en este ejemplo el cono que se forma desde el bloque 31 o el que cono que se forma desde el bloque 32 no pueden ser incluidos en el pit final, sin embargo ambos calculados en forma simultanea si pueden ser incluidos en el pit final.La nueva valuacin ser V = 5 + (6 - 2) = 9.

Adems en el primer grfico si evaluamos (con el mtodo de multiconos) solo el cono desde el bloque 28 obtenemos (12 - 9) = 3, no estamos tomando en cuenta que los bloques superiores con valor positivo estaran pagando incorrectamente algunos bloques negativos de niveles inferiores. En este mtodo de Korobov se tiene cuidado de que los bloques negativos de niveles superiores solamente sean pagados por los bloques positivos que se encuetnran en niveles inferiores.

DISEO DE MINAS A CIELO ABIERTO: ALGORITMO DE LEARCHS Y GROSSMAN A 2DEste algortmo esta limitado a dos dimensiones, debido a su simplicidad es fcil de programar, las principales desventajas para un diseo se encuentran justamente por ser a 2D que lo aleja del ptimo, ms an cuando se requiere aplicar los alizados para un pit operativo.Para dar inicio a una explicacin prctica se definirn los siguientes trminos: "Precedentes" de un bloque x: son los tres bloques que existen a la izquierda de un bloque x (cuando el pit es diseado de izquierda a derecha) El pit pasa por el bloque x, si x pertenece al pit y toca el lmite con sus carasEn la Fig. N 1 se tiene una seccin de J = 9 columnas con I = 4 niveles, con valorizacin de bloques (negativo cuando el material es estril y requiere un costo para extraerlo). Se adiciona una fila artificial (0) con costo nulo, con un elemento adicional en la columna J+1 (se ignoran los bloques con color gris).FASE 1A partir de las valorizaciones de bloques C(i,j) de la Fig 1, se calcula el valor de M(i,j) con la siguiente expresin:

Fig. 1: Seccin con Valorizaciones C(i,j)

para i = 0,...,Ij = 1,..., J.

Se observa que para cualquier pit que pase por el bloque (i,j), M(i,j) representa la participacin del valor de la columna en el pit.

Fig. 2: Seccin con Valores M(i,j)Por ejemplo para el bloque M(3,5) se tiene:M(3,5) = c(3,5) + c(2,5) + c(1,5) + c(0,5) = -3FASE 2Para todas las columnas desde j = 2 hasta j = j + 1, se trata cada bloque aadiendole el mayor valor de sus precedentes. Es decir se calculo P(i,j).

Se debe notar que cuando se trata la columna j, la columna j-1 ya ha sido tratada y tiene valores Pij en lugar de Mij. Por ejemplo en la Fig. 3 se tiene:P(2,3) = M(2,3) + Max [ P(1,2), P(2,2), P(3,2) ]P(2,3) = 5 + Max [ 1,0,-4 ] = 5 + 1 = 6

Fig. 3: Seccin con Valores P(i,j)

Si nos detenemos a ver el significado de cada valor de P(i,j), vemos que indica el mximo valor de un pit que se puede construir desde el bloque (i,j).

Fig. 4: Valores de C(i,j) que suman P(2,5)

En la Fig. 3 al disear el pit desde el bloque P(2,5)=1 haca la izquierda (siguiendo los mximos precedentes) encontramos el cortorno del la Fig. 4. Si sumamos los valores de C obtenemos el valor 1.FASE 3En la primera fila de la Fig. 3 se busca el elemento de mayor valor, si hay varios se toma el que se encuentra mas a la derecha. Segn lo indicado en la fase 2 este valor representara la valuacin del pit ptimo encontrado.FASE 4Se entiende con facilidad que se puede dibujar el pit solucin a partir del bloque de la columna 9, siguiendo al bloque precedente P de mayor valor.

Fig. 5: Seccin con Valores P(i,j) con el Pit ptimo

OBTENCION DE UN DISEO HASTA UN NIVEL DESEADOPor definicin el pit ptimo en una matriz de valores como la descrita en la seccin (o de cualquier seccin real de terreno) es uno solo, por lo tanto llega hasta un solo nivel.Sin embargo para propsitos de lograr la extrapolacin a tres dimensiones, se requiere lograr el diseo ptimo hasta un nivel deseado, este diseo si bien no ser el ptimo, ser el diseo que suministre el mximo valor que llega al nivel que uno desea.Partiendo con la misma seccin de valores de bloques (Fig. 1) pero ignorando la existencia del del nivel 4 se tiene la Fig. 6. A esta seccin se aplica el procedimiento de la Fase 1 y tambin lo descrito en la Fase 2.

Fig. 6: Seccin C(i,j) sin el nivel 4

Los valores de M se presentan en la Fig. 7, segn la frmula siguiente:

Fig. 7: Valores de M(k,p)

Los valores de P se presentan en la Fig. 8, que se obtienen con la siguiente expresin:

En donde se tendr en cuenta que cuando k = i, r es diferente de 1, para no tomar en cuenta los valores de P d la fila 3

Fig. 8: Valores de P(k,p)A continuacin calculamos los valores de P par la fila 3 aplicando la siguiente expresin hasta obtener la Fig. 9.

Fig. 9: Seccin con Valores P(i,p)

PROCESO PARA LLEGAR DEL NIVEL i HASTA SUPERFICIEConsiderando que para realizar el diseo ste se delimita dese la superficie, en los siguientes pasos se describir el proceso para delinear el ptimo desde el ltimo nivel hasta la superficie.CASO 1A partir del primer bloque del ltimo nivel (de izquierda a derecha) subimos la diagonal de izquierda a derecha de la forma siguiente:

Con valores de s = 1, 2, 3, ... Para cada bloque (i - s, p + s) de la diagonal, se calcula:

En donde los sub ndices indican las siguientes coordenadas:Bloque Z de coordenadas (i,p), X de coordenadas (i-s,p+s).

Fig. 10: Diagonal y Precedentes de (i,p)

Los precedentes de x son:

a : de coordenadas (i-s-1,p+s-1)b : de coordenadas (i-s,p+s-1)c : de coordenadas (i-s+1,p+s-1)Cuando :

y se contina subiendo la diagonal, aumentando el valor de s.Pero si:

Se detiene el ascenso en la diagonal (se detiene el incremento de s) y se pasa a otra diagonal, retornando el clculo desde la fila i , para una columna (p+1) siguiente, en el bloque P(i,p+1).Por ejemplo si empezamos esta aplicacin desde el bloque (i,p) = (3,2), de la Fig. 9, tenemos lo siguiente:P(3,2) = M(3,2) + Max [ P(3,1), P(2,1) ]

P(3,2) significa el mximo valor de un pit que se puede construir desde (3,2), sin pasar por los niveles 4 y 5.Para subir la diagonal empezamos con s = 1 (subimos un bloque).

Encontramos que el resultado es P(2,3) que tambin tiene valor 6, por lo tanto cambiamos de diagonal, por que el nivel i no incrementa el valor de los P superiores (se puede comprobar si seguimos subiendo esta misma diagonal).Al cambiar de diagonal tenemos:P(3,3) = M(3,3) + Max [ P(3,2), P(2,2) ] = 4 + Max ( 0, -4 ) = 4

que es lo que se muestra en la Fig. 9. Para subir la diagonal, empezamos con s = 1.

vemos que este resulado es igual a P(2,4) por lo tanto cambiamos de diagonal y pasamos al siguiente bloque (3,4), y as sucesivamente hasta terminar la fila i = 3 (que no hace posible ascender hasta el nivel cero).CASO 2Si no se llega al nivel cero en ninguna diagonal, aplicamos el algortmo de optimizacion simple que vimos en la Fase 1 y 2 pero de derecha a izquierda, de la siguiente forma:A partir de la Fig. 7 aplicamos la siguiente frmula similar a la utilizada en la Fase 1 y 2.

Por ejemplo de la matriz M Fig. 7 obtenemos el resultado siguiente:PD(1,7) = M(1,7) + Max [ PD(0,8), PD(1,8), PD(2,8) ] = -1 + Max [0, -1] = -1tambin obtenemos:PD(1,6) = M(1,6) + Max [ PD(0,7), PD(1,7), PD(2,7) ] = -1 + Max [9, -1, -3 ] = -1De esta forma completamos el clculo y obtenemos el resultado de la Fig. 11 y 12.

Fig. 11: Resultado PD(i,j) Hasta el Nivel 2

Fig. 12: Resultado PD(i,j) Hasta el Nivel 3De esta forma conseguimos dos matrices P(i,j) de la Fig. 9, y PD(i,j) de la Fig. 12. Recordando P(i,j) es el procedimiento de clculo de izquierda a derecha hasta el nivel 3, y PD(i,j) resulta del procedimiento aplicado de derecha a izquierda hasta el nivel 3.A continuacin, utilizando las matrices P(i,j), PD(i,j) y M(i,j), esta ltima de la Fig. 7, calculamos los valores de la siguiente expresin:

En donde V(i,m) representa el mximo valor total de cualquier pit que se trace desde (i,m), el mximo valor de V(i,m) se obtiene elegiendo entre todos los valores V(i,m) que se encuentran desde los bloques de la fila 3. En la expresin se resta M por que esta incluido dos veces (tanto en P como en PD).Como ejemplo de clculo de V(i,m) tenemos:

El valor mximo es V(3,3) = -1, por lo tanto el pit debe ser diseado desde el bloque (3,3), haca la izquierda en la matriz P(i,j) como se indica en la Fig. 13 y haca la derecha en la matriz PD(i,j) como se indica en la Fig. 14. Al unirse ambos trazos resultar un solo diseo del pit ptimo que llega hasta el nivel 3.

Fig. 13:Diseo haca la izquierda en P(i,j)

Fig. 14: Diseo haca la derecha en PD(i,j)CASO 2 (continuacin)En el caso que aplicando las frmulas relacionadas a la Fig. 7, y se llega al nivel cero en cualquiera de las diagonales analizadas, significa que la fila "i" si contribuye con valor a los niveles superiores, por lo tanto existe un ptimo hasta el nivel "i". En este caso el valor del bloque del nivel cero, a donde se lleg subiendo la diagonal, indica el valor del pit que se puede construir desde l.

Entonces cuando se ha intentado subir al nivel cero en todas las diagonales y habiendo llegado en algunas, a a continuacin se busca el mayor valor de todos los bloques del nivel cero y que se encuentre mas a la derecha, y desde all se construye el pit ptimo.

Como ejemplo se desarrollar el pit ptimo hasta el nivel i = 2 en la matriz de costos C(i,j) de la Fig. 6. El clculo de la matriz M(i,j) se presenta en la Fig. 7.

A continuacin calculamos P(i,j) hasta el nivel (i - 1) = 1. como se muestra en la Fig. 15.

Fig. 15: Calculo de P(i,j) hasta el Nivel (i - 1)Al igual que para la Fig. 9, calculamos los P(i,p) que se muestra en la Fig. 16 siguiente. Luego desde cada uno de los bloques de la fila 3 aplicamos la expresin siguiente que se utiliz anteriormente.

A modo de ejemplo obtenemos lo siguiente:

Fig. 16: Clculo de P(i,p) hasta el nivel "i" igual a 2.

Para

Luego s=1 segn lo indicad en la frmula, se tiene:

Cambiamos la diagonal por condicin ya indicada, y tenemos nuevamente:

Luego s=1

entonces cambiamos de diagonal y tenemos:

Luego s=1

Vemos que:

entonces cambiamos el valor de P (1,4) segn la frmula establecida.

A continuacin incrementamos s al valor 2, y tendremos:

Vemos que:

por lo tanto el nivel cero es alcanzado, lo cual indica que es posible construir desde este bloque (0,5) un pit que llegue hasta el nivel i = 2, por lo tanto existe un diseo ptimo que llega hasta el nivel 2.

Esta parte del algortmo indica que el procedimiento descrito debe aplicarse para todas las columnas desde p = 2,....., J para buscar otros contornos posibles que se encuentren mas a la derecha y que puedan proporcionar un mejor valor. En este ejemplo particular, al continuar con los clculos no encontraremos un mejor pit, por que no se encuentra un valor mayor de P(0,5) = 3.

Aplicado este procedimiento a todas las columnas, buscamos en la fila artificial (primera fila) el bloque de mayor valor que se encuentre ms a la derecha, vemos que es el bloque (0,9). Este valor 3 es el valor del pit que se puede construir desde l y que llegar hasta el nivel i = 2, como se muestra en la Fig. 17.

Fig. 17

Comparando este resultado, que tiene una particular metodologa que fuerza encontrar el diseo ptimo hasta cierto nivel, con la obtenida por un mtodo mas simple (Fig. N 5) se encuentran iguales resultados, es decir suministran el mismo diseo que llega hasta el nivel 2 y adems el mismo valor econmico.

Por lo tanto si el concepto de diseo ptimo nos permite encontrar un solo diseo que proporcione el mximo valor, tambin podemos forzar encontrar el ptimo que llegue a cada nivel (i) deseado, obteniendo como resultado el mejor diseo que proporcione el mayor valor del pit hasta el nivel (i).

Fig. 18Entonces podemos obtener para una seccin una columna de valores, por ejemplo para una seccin con valores de C(i,j) como se indica en la Fig. N 18, podemos obtener los siguientes resultados:

Fig. 19En donde el valor econmico del Pit es:S(1,1) = 1 + 1 = 2

Fig. 20

S(2,1) = 1 + 1 -2 -3 = -4

Fig. 21S(3,1) = 0

Fig. 22S(4,1) = -8La columna de valore estar formada por los resultados: 2, -4, 0, -8. Si tomamos otra seccin adyacente, con valores C(i,j), obtendremos tambin otra columna de valores de los diseos hasta cada nivel como el obtenido para la Fig N 18. As sucesivamente obtendremos similares valores para las demas secciones, que nos permitir formar otra matriz como se indica en el lado lateral derecho de la Fig. N 23.

A continuacin con esta nueva matriz de valores ubicado en el lado lateral derecho de la Fig. 23, procedemos a aplicar los mismos conceptos descritos, de donde podremos obtener un pit que proporcione el diseo con mejor valor econmico.

Fig. 23As si el diseo llega hasta llega hasta el valor 5 del 3er nivel, indica que en el pit en la primera seccin llegar hasta el nivel 1, de donde se tomar el diseo obtenido previamente hasta este nivel.Si en la seccin 2, el diseo llega hasta el 2do nivel, se tomar en esta seccin 2, el diseo encontrado previamente que lleg hasta este 2do nivel.De esta forma se procede a tomar el diseo encontrado y elegido en cada seccin para hacer el ensamblado de secciones y obtener una presentacin similar a la Fig. N 24.

Fig. 24

DISEO DE MINAS A CIELO ABIERTO: ALGORITMO DE GRAFOS DE LEARCHS Y GROSSMANEste algoritmo se sustenta en la teora de grafos que define entidades y relaciones bsicas simples para lograr la seleccin mxima de entidades agrupadas con valor. En las siguientes lneas se observar como estas entidades son representadas por bloques de mineral, y como la relacin entre ellas se soportan en definiciones bsicas de relacin entre ellas.

DEFINICIONES BSICASFig. 1Fig. 1a

Camino: Es una secuencia de arcos tal que el vrtice final de cada uno de ellos corresponda al vrtice inicial del siguiente. No interea la orientacin de los arcos, Fig. 2.

Circuito: Es un camino donde el vrtice inicial y final conciden, es decir las orientaciones son en un solo sentido, Fig. 3.Fig. 2Fig. 3

Arista: Es un conjunto e(i) = (X,Y) de dos elementos que pueden ser (X,Y) pertenecientes al conjunto A de arcos, o (Y,X) tambin pertenecientes a A. Se diferencian del arco porque la arista no implica orientacin.

Cadena: Es una secuencia de aristas (e1, e2, .... , en) donde cada arista tiene un vrtice en comn con el siguiente, Fig. 4.

Ciclo: Es una cadena donde los vrtices inicial y final conciden, Fig. 5.Fig. 4Fig. 5

Sub-Grafo: Se llama sub-grafo de G(X,A) al conjunto de vrtices Y de X, y comprendiendo a todos los arcos que conectan los vrtices de Y en G, se denota por G(Y,Ay), Fig. N 6a y 6b.Fig. 6aFig. 6b

En donde:

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {(2,1), (3,2), (4,3), (8,3), (3,5), (8,6), (6,5), (9,6), (6,7), (9,10)}

Y = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

Ay = {(4,3), (8,3), (8,6), (6,5), (6,7)}Fig. 6aFig. 6b

Grafo Parcial: El grafo parcial G(X,B) de un grafo G(X,A) es un conjunto de arcos B contenido en A y conteniendo todos los vrtices de G(X,A), Fig. 7.Fig. 7aFig. 7b

En donde:

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {(2,1), (3,2), (3,4), (5,4), (5,6), (7,3), (8,3), (8,5), (9,5), (9,10)}

B = {(2,1), (7,3), (8,3), (8,5), (5,6), (9,10)}

Cierre de un Grafo Orientado: Se denomina cierre de un grafo orientado G(X,A) a un conjunto de vrtices Y perteneciente a X que cumplen la condicin.

Para todo vrtice X perteneciente al conjunto de vrtices Y, implica que cualquier elemento perteneciente al cono (formado a partir de X) pertenezca al conjunto Y.

Sea el conjunto Y de vrtices pertenecientes a un "pit". Fig. 8.

Y = {2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 18}

Tomemos un punto x del conjunto Y. Por ejemplo el 18, vemos que x pertenece a Y, adems que todos los elementos del cono (es decir los primeros vrtices a minar antes de llegar a X) estn contenidos en ?(x) = ?(18) = {2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 18}

Vemos que si Y es un cierre de G(X,A), entonces G(Y,Ay) es un sub-grafo cerrado de G(X,A). Adems por definicin el conjunto nulo Y=0 es tambin un cierre de G(X,A).

rbol: Es un grafo orientado que no contiene ningn ciclo. Se le denomina por T=(X,C). Fig. 9:

Raz: Cualquier vrtice de un rbol puede ser raz. Fig. 10:Fig. 10aFig. 10b

Por ejemplo en la figura si suprimimos un arco (2,6) se obtienen 2 componentes. El componente T1 = (X1, A1) que no contiene la raz se llama ramo de T = (X,C), la raz del ramo es el vrtice del ramo adyacente del arco (2,6). Este vrtice adyacente es el 2.Los ramos de un ramo le llamaremos "ramitos".

EL PROBLEMACon estas definiciones de base pasamos a anunciar el problema:Dado un conjunto de bloques v(i) de valor m(i), que encierra el yacimiento, estos bloques pueden formar un grafo orientado G(X,A), es decir cada v(i) constituye un vertice x(i) del grafo con un valor m(i), y todos los arcos A estn orientados haca la "superficie", Fig. N 11.

Fig. 11

Se necesita hallar el cierre G(Y,Ay) tal que la suma de las masas m(i) que lo contienen, sea mxima.

todo vrtice Xi que pertenezca a Y (vrtices del cierre mximo) implica que el rbol (o ramo) que forman los vrtices Xi , tambin pertenezcan a Y, Fig. 12:

Fig. 12

Los vrtices x = 1, 2, 3, 4, 5 pertenecen a Y, para que sea un cierre mximo T(X) debe pertenecer a Y.DESARROLLO DEL ALGORITMOEl procedimiento que se explicar en pocos pasos ms adelante, empieza con la construccin de un rbol To en G. Luego To es transformado en sucesivos rboles T1, T2, .... , Tn, segn determinadas reglas hasta que ya no sea posible ninguna transformacin. Entonces el cierre mximo viene formado por aquellas ramas conocidas del rbol final.La transformacin de los sucesivos rboles Ti, pueden ser realizados teniendo en cuenta ciertas propiedades que describiremos a continuacin: Cada arista ek (arco ak) de un rbol T, define una rama; Tk = (Kk, Ak) Se llamar a Xk, la raz de la rama Tk La masas Mk de una rama Tk es la suma de las masas de los vrticesEn la Fig. 13 la masa M de la rama es +8.6 podemos decir que la arista ek soporta la masa +8.6

Fig. 13 En una rbol con una raz ficticia Xo, cada arista ek, es caracterizada por una orientacin del arco ek, respecto a Xo Arista positiva (P), cuando el arco ek, esta orientado haca la rama Tk (no haca la raz) es decir si el vrtice final del arco ak es parte de la rama TkEn la Fig. 13 los arcos (8,4), (7,2) y (8,3 ) son positivos. Arista Negativa (N), cuando el arco est orientado haca afuera de Tk en este caso Tk es llamado rama negativa. Ejemplo en la rama que soporte (7,13) sta es una arista negativa y la rama que la soporta es negativa Arista fuerte (F), cuando la masa que soporta una arista P es positiva, o cuando la masa que soporta una arista N es negativa. Las aristas que no son fuertes se les llama dbiles (D)Ejemplo de tipos de aristas: Arista de aristas fuertes y positivas: (8,4), (7,2), (8,3) Arista positiva y dbil: (7,1) Arista negativa y dbil: (2,8), (4,10), (7,13) Arista negativa fuerte: (11,6), (7,11)

Fig. 14

Un vrtice Xk es de carcter fuerte cuando la cadena que lo une con el vrtice raz tiene alguna arista fuerte Arbol Normalizado: si su raz es comn a todas las aristas fuertes, cada rbol T de un grafo G puede ser normalizado, reemplazando los arcos P fuertes (Xk, Xe) por un arco que una el vrtice final (de este arco fuerte) con el vrtice ficticio, es decir (Xo, Xe) y el arco (Xq,Xr) de una arista N fuerte por un arco ficticio (Xo ,Xq). Iterando este procedimiento hasta que todas las aristas fuertes tenga Xo como extremidadEl rbol normalizado de la Fig. N 13 se representa en la Fig. N 14. Vemos que todas las aristas fuertes son positivas. El vrtice Xo ser la raz de todos los vrtices considerados.

PRINCIPALES PASOS DEL ALGORITMOSe construye un rbol To en el grafo G, y se entra a un proceso iterativo siguiente: La iteracin (i + 1) transforma el rbol normalizado To en un nuevo rbol normalizado Ti+1. Cada rbol Ti = (X, Ai) es caracterizado por sus arcos Ai y sus vrtices fuertes Yi. El Proceso termina cuando Y es un cierre de G. Cada iteracin Ti+1 es realizado por los siguientes pasos (Fig. N 15):1. Buscar un arco (Xk, Xe) en G, tal que Xk ? Yi (tal que un vrtice Xk sea fuerte) y Xe ? (X- Yi) ( Xe sea dbil), si existe, entonces ir al paso 2, sino ir al paso 42. Determinar el vrtice Xm la raz de la rama fuerte que contiene a Xk . Construir el rbol Tj substituyendo el arco (Xo, Xm) de Ti con el arco (Xk, Xe). Ir al paso 33. Normalizar el rbol Tj , con lo cual obtenemos el rbol Ti+1 , regresa al paso 14. Se termina el proceso. Yi es el cierre mximo de G

Fig. 15

El mecanismos mencionado, implica el investigar arcos, una gran cantidad de veces, que depende del nmero de vrtices existentes yd e la situacin de ellos con las consecuencias de clculos muy pesados, difciles de predecir en tiempo de computacin.

APROXIMACIN DE LIPKEWICH Y BORGMANA partir de una publicacin de Michael P. Lipkeweich y Leon Borgman, se ha podido obtener una variante de la aplicacin de la teora de grafos que simplifica el nmero de clculos y obtiene resultados bien aproximados al ptimo. La simplificacin consiste en tratar a los vrtices (bloques econmicos) nivel por nivel, trabajando primero el nivel superior (1 nivel), luego el 1 con el 2 y as sucesivamente.Fig. 16Fig. 17: PD=positivo dbil, PF=positivo fuerte

Para aplicar mas al detalle esta optimizacin, se expondr un ejemplo numrico a dos dimensiones obtenido de la mencionada publicacin. Partiendo de la Fig. 16 iniciamos el algortmo con el 1 nivel.

Al normalizar el grafo nicamente con los vrtices del 1 nivel, tenemos el rbol de la Fig. 17. Se extraen los bloques nicamente con vrtices fuertes.

El rbol queda reducido a la Fig. 18:Fig. 18Fig. 19

Aadimos el 2 nivel y tenemos la Fig. N 19. Vemos que el vrtice 7 est condicionado a la extraccin de 1, pues esto lo tenemos registrado en el grafo original. Por lo tanto podemos conectar 7 a 1 con un arco, y el arco ficticio desde Xo ir a 1. Vemos en la Fig. N 20 que 1 ser un vrtice fuerte por lo tanto (Xo,1) es una arista positiva fuerte, necesariamente a extraer.

Del mismo modo, los vrtices 9 y 10 estn condicionados a la extraccin de 5 (ver grfico inicial). Podemos conectar el vrtice 10 a 5 que formar as una masa positiva cuyo vrtice 5 ser fuerte, unido al Xo por una arista positiva fuerte (PF). Fig. N 20.Fig. 20Fig. 21

Realizando la extraccin de las masas que tienen como soporte a una arista fuerte obtenemos la Fig. 21.

A este resultado le agregamos el siguiente nivel. Fig. 22. Para poder extraer los vrtices fuertes es necesario extraer los que condicionan su extrccin. Por ejemplo para extraer 11 es necesario extraer 6. Por lo tanto ambos unidos forman una masa negativa que ser unido a Xo por una arista positiva dbil (Fig. 23). De igual modo para extraer 13 es necesario extraer 8. Ambos forman una masa negativa que unido al vrtice Xo resulta ser este arco (Xo,8) positivo dbil.Fig. 22Fig. 23

Vemos que no podemos realizar mas extraccin por no existir aristas fuertes positivas, por lo tanto el fondo del pit esta conformado por vrtices negativos. Esto significa que el cierre mximo est formado por los vrtices 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 y 10, constituyendo la solucin ptima, Fig. 23.

EXTENSIN A TRES DIMENSIONESPara fines de mejor claridad se present el procedimiento y ejemplo a dos dimensiones, en donde no se consider la variable de la pendiente de los taludes del pit. Orientandonos a una evaluacin similar a tres dimensiones, es necesario considerar las variables de gradiente de los taludes en diferentes direcciones, siendo necesario establecer una funcin matemtica del cono (Fig. 24) que permita identificar los bloques superiores condicionantes para poder extraer los de menor nivel.

Fig. 24

Si bien la funcin del cono nos permite identificar los bloques superiores que condicionan la extraccion de bloques inferiores, puede ser interesante visualizar las diferentes opciones de configuracion de bloques superiores que se pueden presentar de acuerdo a la pendiente de los taludes.

Por ejemplo en la Fig. 25 se presenta dos alternativas visualizadas a tres dimensiones, analizando las gradientes que generan se presentan los ngulos segn la orientacin en la Fig. 26

Fig. 25En donde manteniendo una disposicin de bloques uniforme y similar a la 1 alternativa, se obtienen (Fig. 26) ngulos diferentes en direcciones: 45 en la direccin A-A y 55 en la direccin B-B.

Fig. 26

De aplicarse la 2 alternativa en forma genrica, se obtendran 45 en la direccin A-A y 35 en la direccin B-B.

Fig. 27

Realizando la combinacin de ambas alternativas, se obtiene un comportamiento simtrico en ambas direcciones (Fig. 28), siendo esta forma de disposicin la que permite obtener mejor control en las gradientes. Es importante considerar que en algunos casos al aplicar mtodos numricos que nos faciliten la identificacin de los bloques condicionantes, podran tambin evaluarse la posibilidad de utilizar tamaos de bloques en la estimacin de recursos segn las gradientes deseadas en los taludes.

Fig. 28En la construccin de un modelo de identificacin de bloques condicionantes, la relacin de extraccin de un bloque con respecto a otro que se ubica encima de l, se presentara segn la Fig. 29. Por lo tanto es posible establecer los arcos de dependencia de un bloque Xk con los que condicionan su extracccin.

Fig. 29

Esta identificacin de los bloques dependientes vienen a ser objetivamente para el caso de un Pit, la funcin Y= ?(x), con el conocimiento de esta funcin, se procede a la optimizacin a tres dimensiones, avanzando nivel por nivel, anlogamente al caso visto a dos dimensiones.

DISEO DE MINAS A CIELO ABIERTO: ALGORITMO DEL BOSQUE SUBCOMPACTADOEsta metodologa fue creada por informticos belgas, el anlisis que se describe es parte de una publicacin de Ren Vallet en la revista "Annales des Mines de Belgique". Lo interesante de este algoritmo es que tambin emplea la terminologa y fundamentos de la teora de grafos, pero ampla sus conceptos con nuevos trminos que hacen fcil su comprensin y aplicacin. A continuacin se inicia con algunas definiciones de grafos. Un grafo es conexo, si para todo par de vrtices existe una cadena desde un vrtice hacia el otro. Fig. 1:Fig. 1Fig. 2

El sub grafo A del grafo G, es un componente conexo si las dos condiciones siguientes se cumplen:1. A, es conexo2. No existe ninguna cadena que una un vrtice desde A haca un vrtice G-A Los diferentes componentes conexos de G constituyen una particin de G A, es libre relativamente a G si ningn vrtice de G-A es antecedente de un vrtice de A. Fig. N 2 (3,5,2) A, es neutro relativamente a G si ningn vrtice de A es antecedente de G-A. Fig. N 3 (3,5,3)

Fig. 3Fig. 4

Todo componente conexo de G es a la vez libre y neutro relativamente a G Si dos sub grafos son libres relativamente a G, su reunin interseccin diferencia es libre relativamente a G Si el sub grafo A es libre relativamente a G y si el sub grafo B es libre relativamente a G-A, su reunin o interseccin es libre relativamente a G, Fig. 4Densidad de un sub grafo es igual a la masa del sub grafo dividido por el nmero de vrtices que lo contiene. Raz de un rbol, es un vrtice que se distingue de los otros porque se le define y considera como tal Ramaes un sub grafo conexo de un rbol, ligado al resto de su rbol por un solo arco Untroncoes un sub grafo conexo de un rbol que contiene la raz de este rbol Rama verdaderaes un sub grafo conexo cuando no contiene la raz del rbol Bosque subcompactadoes un bosque donde todos los rboles tienen una raz y que posee la propiedad siguiente: La densidad de toda rama libre es igual o superior a toda rama verdadera neutra Bosquees un grafo donde cada componente es un rbolResolucin del AlgoritmoPaso 1:A partir del grafo G = G(X, A), se construye un grafo parcial G` que es un bosque donde todos los rboles tienen una raz y que no contienen ninguna verdadera rama neutra.Paso 2:Seleccionar dentro de G` la rama libre A` que tenga la densidad mxima. Sea A el sub grado de G que contiene los mismos vrtices de A` . Si un vrtice de j de (G-A) es antecedente de un vrtice i de A, ir al paso 3. Si A es libre relativametne a G se debe ir al paso 4.Paso 3:Si A`es una verdadera rama, suprimir del grafo parcial G` , el arco que dentro de G une A` con (G` - A`). Si A` es un rbol entero, la raz de este rbol pierde su calidad de raz. Agregar el grafo parcial G` el arco que dentro de G une j con i. Regresar al paso 2.Paso 4:El sub grafo A toma lugar dentro de la secuencia de sub grafos libres de densidad mxima. Retirar A del grafo G. Retirar A` del grafo parcial G`.

Si los dos grafos son vacios el proceso se termina. Sino se debe ir al paso 2.

Discusin del AlgoritmoEl paso 1 crea un grafo parcial que es un bosque sub-compactado. Cuando se entra por primera vez en la operacin 2, A` es entonces el sub-grafo libre de densidad mxima de G`.

Si A es libre dentro del grafo completo, A es el sub grafo libre de densidad mxima de G, y la operacin 4, sustrayendo A de G`, crea un nuevo grafo parcial G` que es siempre un bosque sub-compactado.

Si A no es libre relativamente a G, la operacin hace de A` una verdadera rama neutra creada, ella tambin hace un nuevo G` el cual es siempre un bosque sub-compactado.

Cualquiera que sea el camino seguido, cuando se regresa a la operacin 2, el grafo parcial G` queda como un bosque sub-compactado.

Si el nmero de vrtices que contiene G es finito, el nmero de grafos parciales posibles de G es un nmero finito. Si el algoritmo no puede generar dos veces el mismo parcial, el nmero de operaciones que necesitar para tratar G es un nmero finito. El mismo grafo parcial no ser generado dos veces si la rama libre A`, una vez transformado en rama neutra por la operacin 3, no puede resultar ms una libre en la serie de tratamientos.

Las ramas libres de densidad mxima que la serie de tratamientos encontrar son de 3 formas: Aquellos que son contenidos por la rama A` actual Aquellos que no son contenidos por la rama A`actual y que no lo contienen Aquellos que contienen la rama A` actualAntes de resultar ramas neutras, aquellos que son contenidos dentro de A` sern separados de A` , puesto que el arco que los une a A` ser suprimido por la operacin 3. En este caso la rama A` actual las perder, pero lo que quedar de A` ser siempre una rama neutra.

Aquellos que no son contenidos detnro de A` y que no contienen A` resultarn ramas neutras, ya sea de A` mismo o del resto del grafo. En el primer caso, A` estar contenido en la nueva rama neutra. Este mismo ser un trozo de rama ni libre ni neutro. En el segundo caso, A` quedar invariable.Cuando aquellos que contengan A` se convierten en ramas neutras, A` estar contenida dentro de la nueva rama neutra. Segn la posicin del nuevo arco, A` ser una rama neutra, o resultar un tronco de rama neutra. En ningn caso A` puede resultar una rama libre.

Ejemplo de AplicacinEn la Fig. N 5 se ilustra el problema de partida, en donde se presentan las valorizaciones de cada bloque a minar. El primer paso (Fig. 6) es transformar este grafo G en un grafo parcial G` que es un bosque formado por rboles que poseen una raz, sin presencia de ramas verdaderas neutras. La eleccin de estas races, para cada rbol se gua por la existencia de un vrtice de alto valor que se encuentra en profundidad. No se establece otra regla de eleccin.Fig. 5Fig. 6

En este grafo parcial G` se escoge el rbol de mayor densidad Fig. 7 denominndolo A` (y en el grafo G lo denominamos A). Vemos qeu un vrtice de (G - A) es antecedente de un vrtice A, por lo tanto continuamos al paso 3. En este paso, visto que A` es una verdadera rama (pues consideramos que no contiene a la raz del grafo), suprimimos los arcos que en G unen A` con (G` - A' ). Luego agregamos en este grafo G` el arco que una (G` - A`) con la raz de A` Fig. 8. Regresamos al paso 2.Fig. 7Fig. 8

En este caso repetimos la bsqueda de ramas ( rboles) de mayor densidad. Encontramos al de densidad 7. En el cual repetimos la operacin de eliminar en G` los arcos que en G unen este vrtice A con (G - A). Fig. 9 y finalmente agregamos (Fig 10), el arco que una la raz de A` (sera el mismo vrtice A) con (G` - A`) pero con un arco cuyo antecedente se encuentra en (G`- A`) pero con un arco cuyo antecedente se encuentra en (G` - A`) pudiendo ser con la rama o rbol anteriormente conectada.Fig. 9Fig. 10

Continuamos buscando ramas o rboles de mayor densidad, y encontramos al de 5.5 (Fig. 5.7). En el cual repetimos la operacin de eliminar arcos que unen la nueva rama A` con G` - A`, que existen en G, y agregar el arco que una la raz de A` con G`- A`(Fig. 5.8).Fig. 11Fig. 12

A continuacin encontramos al vrtice A' que se muestra en la Fig. 13 con la densidad 5, resultando la Fig. 14 con las operaciones ya sealadas.Fig. 13Fig. 14

El siguiente paso encuentra al nuevo A, de densidad 4 (Fig. 15). Vemos en G que (G - A) no posee ningn vrtice antecedente de A, por lo tanto A es libre relativamente a G y nos trasladamos al paso 4.En el paso 4 (Fig. 16), retiramos el sub grafo A' de G' y A del grafo G. como G - A no es vaco, continuamos el proceso con el paso 2.Fig. 15Fig. 16

En este paso sabemos que continuamos buscando la rama A' de mayor densidad, esta vez igual a 3.5 (Fig. 17). En donde se puee trazar un arco de vrtice antecedente que se encuentra en G' - A', por lo cual la rama no puede ser retirada. Fig. 18.Fig. 17Fig. 18

A continuacin el nuevo A' se muestra en la Fig. 19. En donde A resulta libre relativamente G, pudiendo ser extraido, pues no es posible de trazar un arco cuyo vrtice antecedente se encuentra en (G' - A' ). Fig. 20.Fig. 19Fig. 20

El nuevo A' que se presenta es de densidad 1 (Fig. 21) y puede ser extraido de la misma forma anterior. Fig. 22.Fig. 21Fig. 22

De igual procedimiento vemos lo que sucede en las Fig. 23, Fig. 24, Fig. 25.Fig. 23Fig. 24Fig. 25

MANUAL DE DISEO DE OPEN PITPgina 1