1 geometria analitica (curso apuntes) pga nov 2012 (1).ppt
TRANSCRIPT
![Page 1: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/1.jpg)
1
GEOMETRIA ANALITICA
![Page 2: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/2.jpg)
2
SISTEMA COORDENADO CARTESIANOSISTEMA COORDENADO CARTESIANO
1.- El sistema coordenado Unidimensional:
Representado por la recta numérica, que se determina por P1(x1) y P2(x2) se tiene :
La distancia dirigida de P1 a P2 es : P2 - P1 = x2 - x1 La distancia no dirigida es :
P1 P2
( x1 ) ( x2 )
122121 xxPP :es PP
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
P1 Q1 R1 S1 O Q R P2
231xxQP 743)4(3xxPP 1221221
231xx QP 7)4(3xxPP 1221221
Distancia dirigida
Distancia no dirigida
Ejemplo:
xx
![Page 3: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/3.jpg)
3
SISTEMA COORDENADO CARTESIANOSISTEMA COORDENADO CARTESIANO
2.- El sistema coordenado Bidimensional:
Un punto en el plano se determina mediante el par: P (x,y)
Y
X
P (x,y)
0
I (+ , +)II (- , +)
III (- -) IV (+ , -)
El sistema de coordenadas en el plano consiste en un par de rectas orientadas perpendiculares, llamadas ejes coordenadas.
Recta horizontal : eje x (abscisa)
Recta vertical: eje y (ordenada)
La intersección de ambas rectas es el origen.
Las cuatro partes en que el plano queda dividido por los ejes coordenadas se llaman
cuadrantes.
Las coordenadas del punto P se representan por el par ordenado (x,y)
![Page 4: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/4.jpg)
4
DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL PLANOPLANO
Sean los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
La distancia entre P1 y P2
Se determina por:
Esta expresión se obtiene
observando la figura en cuyo
triángulo rectángulo P1QP2 , se tiene:
donde:
sustituyendo en ( 1 ), se tiene finalmente.
212
21221 )y(y)x(x)P,d(P
) 1 ( . . .QPQPPP2
22
12
21
121 XXMNQP
122 YYSTQP
212
21221 )y(y)x(x|PP|
Y
X
(O,y2)
T
S(O,y1)
M (x1 ,0) N (X2 , 0)
Q (x2 ,y1)
P2 (X2 ,Y2)
P1
(x1 , y1)
![Page 5: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/5.jpg)
5
DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL PLANOPLANO
2
122
1221 )y(y)x(x)P,d(P
Ejemplo 1: Si P1 = (8 , 6) y P2 = ( 5 , 2) Hallar d(P1 , P2) = 21PP
525432)(65)(8)P,d(P 222221
Ejemplo 2: Demostrar que los puntos A(-2 ,-1) , B(2, 2 ) y C(5 , -2) son los
vértices de un triángulo isósceles.
251491225AC
51692225BC
59161222AB
22
22
22
A (-2 ,-1)
B (2, 2 )
C (5 , -2)
y
x
AB BCComo el triángulo ABC es isósceles.
![Page 6: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/6.jpg)
6
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDACONOCIDA
P2 (x2, y2)
P(x,y)
P1 (x1, y1)
Sea el segmento y el punto que divide a
en la razón entonces, las coordenadas
de P Serán:
Si P es la punto medio entonces : ;
21PP
21PP
2
1
PP
PPr
1r , r1
rxxx 21
-1r , r1
ryyy 21
2
xxx 21
2
yyY 21
)y,x(P
![Page 7: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/7.jpg)
7
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDACONOCIDA
en la figura P1QP PRP2 entonces : rPP
PPRPQP
2
1
2
Para hallar la Ordenada y del punto P
-1r , 1r
ryy y ryy1)y(rryy ryy
ryryy-yy)r(yy-yryy
y-y r
PP
PP
212121
21212
1
2
1
P2 (x2, y2)
P
P1 (x1,y1)
(x,y)
Q
R
x
y
![Page 8: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/8.jpg)
8
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDACONOCIDA
en la figura P1QP PRP2 entonces : rPP
PP
PR
QP
2
11
Para hallar la abscisa x del punto P
-1r , 1rrxx
x rxx1)x(rrx xrx
rxrxx-xx)r(xx-xrxx
x-x r
PPPP
212121
21212
1
2
1
x
P2 (x2, y2)
P
P1 (x1,y1)
(x,y)
Q
R
x
y
![Page 9: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/9.jpg)
9
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDACONOCIDA
P2 (x2, y2)
P
P1 (x1,y1)
en la figura P1QP PRP2 entonces :
(x,y)
Q
R
rPP
PP
PR
QP
2
11
Observaciones
1. Si r > 0 , el punto P(x , y) está en el interior del segmento:
1. Si r < 0 , el punto P(x , y) está en el exterior del segmento:
2. Si P(x,y) es el punto medio del segmento entonces la razón r = 1
21PP
21PP
21PP
1PP
PP
2
1 Luego las coordenadas del punto P son:
2
yyy ;
2
xxx 2121
x
y
![Page 10: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/10.jpg)
10
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDACONOCIDA
3
1
PB
AP
Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las
coordenadas del punto P(x,y) donde:
Solución:
2
5
4
10
31
1
(4)31
2
r1
rxxx 21
4
17
31
1
(8)31
3
r1
ryyy 21
4
17 ,
2
5 P :Luego
![Page 11: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/11.jpg)
11
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDACONOCIDA
3
1
PB
AP
Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las
coordenadas del punto P(x,y) donde:
Solución:
4
17 ,
2
5 P :Luego
417
y31
y83y
25
x31
x42x
31
PBAP
![Page 12: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/12.jpg)
12
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDACONOCIDA
Ejemplo 2. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son: A(-2,3) y B(6 ,-3)
Solución: A(-2,3)
B(6,-3)
P(x,y)
Q1
1
1
1y
2
1
y3
3)(y3
10x
2
1
x2
6x
2
1
PA
BP
1y2
y3
3)(y3
2x2
x2
6x
2QA
BQ
02
33
2
yyy 2
2
26
2
xxx 2121
Punto medio M(x,y) :
M
P(10/3 , -1) Q(2/3 ,1)
![Page 13: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/13.jpg)
13
PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA
P1 (x1,y1)
L
x
y
ANGULO DE INCLINACIÓN
Se llama ángulo de inclinación al ángulo formado por la recta L y el eje x positivo, en sentido antihorario.
La variación de es : 0° 180°
![Page 14: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/14.jpg)
14
PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA
Sea el ángulo formado por la recta L
y el eje X
La pendiente m de la recta L es:
Si la recta L pasa por los puntos P1 (x1 , y1) ; P2 (x2 , y2); la pendiente
es:
( Ver Figura )
m = Tg
1212
12 x x, xx
yym
QP1 (x1,y1)
L
P2 (x2,y2)
X
Y
y2 - y1
x2 - x1
![Page 15: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/15.jpg)
15
PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA
m = Tg
1212
12 x x, xx
yym
Q
P1
(x1,y1)
L
P2 (x2,y2)
X
Y
y2 - y1
x2 - x1
OBSERVACIONES
1. Si m > 0 entonces el ángulo de inclinación es agudo ( < 90° )
2. Si m < 0 entonces el ángulo de inclinación es obtuso ( > 90° )
3. Si m = 0 entonces el ángulo de inclinación es 0° ó 180°.
4. Si m = entonces el ángulo = 90° .
![Page 16: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/16.jpg)
16
PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA
m = Tg
1212
12 x x, xx
yym
Q
P1
(x1,y1)
L
P2 (x2 ,y2)
X
Y
y2 - y1
x2 - x1
Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta L que pasa por los puntos :
P1(2,1) y P2(5,6)
3
5
2-5
1-6
xx
yym
12
12
![Page 17: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/17.jpg)
17
PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA
Ejemplo 2: Los vértices de un triángulo son los puntos A(2 , -2) , B(-1 , 4) y C(4 , 5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados.
SOLUCION:
B(-1,4)
C(4,5)
A(2,-2)2
7
24
)2(5m
5
1
)1(4
45m
221
)2(4m
AC
BC
AB
x
y
o
![Page 18: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/18.jpg)
18
ÁNGULO ENTRE DOS RECTASÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
Sean las rectas L1 y L2 que forman un ángulo .
Entonces:
Donde: m1 = Pendiente recta inicial L1.
m2 = Pendiente recta final L2 .
Nota:
1) Si L1 es paralela a L2 m1 = m2
2) Si L1 es Perpendicular a L2 m1 . m2= -1 ó m1 =
12
12
m . m 1
m - mtg
L1L2
X
Y
2m
1
![Page 19: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/19.jpg)
19
ÁNGULO ENTRE DOS RECTASÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
DEMOSTRACIÓN
Sean las rectas L1 y L2 que forman un ángulo , 1 ángulo de inclinación de la recta inicial L1 y 2 ángulo de inclinación de la recta final L2 .
Donde: m1 =tg 1 Pendiente recta inicial L1.
m2 = tg 2 Pendiente recta final L2 .
1mm ; m . m 1
m - mα tg 21
12
12
L1L2
X
21
A B
C
Por geometría elemental sabemos que todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes . Entonces en el ABC :
1 2
1 2
1 2
1 21 2
tgtg1
tg- tg tg
) - tg( tg -
Luego:
![Page 20: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/20.jpg)
20
LA RECTALA RECTA
DEFINICIÓN: La línea recta es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) del lugar la pendiente “m” resulta siempre una constante.
ECUACIONES DE LA RECTA
1) Forma Punto Pendiente :
Si la recta pasa por el punto P1 ( x1 , y1 ) y cuya pendiente es “m” entonces
la ecuación de la recta está dado por :
12
12
xx
yym
y - y1 = m ( x - x1 )
P1(x1,y2)
x
P2(x2 ,y2)y
![Page 21: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/21.jpg)
21
LA RECTALA RECTA
)xm(xyyxx
yym 11
1
1
P1(x1,y1)
x
P(x, ,y)
y
DEMOSTRACIÓN
La recta L pasa por el punto P(x1 , y1) y tiene pendiente conocida “m” y sea P(x , y) un punto cualquiera de la recta L.
L
Por definición de pendiente de una recta se tiene:
)xm(xyy :L 11
![Page 22: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/22.jpg)
22
LA RECTALA RECTA
01y3x : L 63x5y
2)3(x5y)xm(xyy
p(2,5) , 3m
11
P(2 , 5)
x
P(x, ,y)y
Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto P(2 ,5) y tiene pendiente 3.
SOLUCION: L
)xm(xyy :L 11
![Page 23: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/23.jpg)
23
12
12
xx
yym
LA RECTALA RECTA
La recta L pasa por los puntos : P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) entonces la
pendiente ......(1)
2 ) Ecuación de la Recta que pasa por 2 puntos:
Si la recta L pasa por lo puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) su ecuación
es:
DEMOSRACION:
)x(xxx
yyyy : L 1
12
121
y - y1 = m ( x - x1 )
P1(x1,y1)
x
P2(x2 ,y2)y
)x(xxx
yyyy : L 1
12
121
Se conoce la ecuación de la recta en su forma punto pendiente
y - y1 = m( x - x1 )......(2)
Remplazando (1) en (2) se tiene:
![Page 24: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/24.jpg)
24
LA RECTALA RECTA
Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por los puntos P1 ( -2 , -3)
y P2 ( 4 , 6)
SOLUCIÓN:
y - y1 = m ( x - x1 )
)x(xxx
yyyy : L 1
12
121
0 2y -3x : L
6x362y2)(x2
3)3(y
2)(x6
9)3(y2)(x
24
36)3(y
))2((x)2(4
)3(6))3((y
![Page 25: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/25.jpg)
25
LA RECTALA RECTA
3) Pendiente y ordenada en el origen:
Una Recta con Pendiente “ m “ y que corta al eje y ; en el punto ( 0,b ) ; su
ecuación es :
DEMOSTRACIÓN:
y = mx + b
L
x
y
( 0 , b)
bmxy
mxb-y0)m(xby
)xm(xyy :L 11
![Page 26: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/26.jpg)
26
LA RECTALA RECTA
4 ) Ecuación Simétrica
Si una Recta corta a los ejes
Coordenados en ( a , 0 ) y ( 0 , b );
su Ecuación es :
5 ) Ecuación General
La Ecuación General de una Recta esta representado por :
Donde :
En la Ecuación ( 1 ) ; si :
A = 0 By + C = 0 ; es una recta Horizontal
B = 0 Ax + C = 0 ; es una recta Vertical
1b
y
a
x
Ax + By + C = 0 . . . ( 1 )
B
Am
( 0,b )
( a,0 ) x
y
![Page 27: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/27.jpg)
27
LA RECTALA RECTA
Distancia de un punto a una Recta
Sea la Recta L: Ax + By + C = 0 y
Sea el Punto P1( x1, y1 ) ; la distancia
“d” del punto P a la recta L esta dado
por:
L
x
y
d
P (x1 , y1 )
22
11
BA
CByAxL)d(P,
Distancia entre dos rectas paralelas
Dadas las rectas paralelas :
L1 : Ax + By +C1 = 0 y L2 : Ax + By +C2 = 0
la distancia de L1 a L2 está dado por:
22
2121
BA
CC)L,d(L
![Page 28: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/28.jpg)
28
LA RECTALA RECTA
L
x
y
dP (5 ,4 )
22
11
BA
CByAxL)d(P,
Ejemplo1. Hallar la distancia del punto P(5 ,
4) a la recta L : 3x + 4y - 6 = 0
L
55
25
25
25L)d(P,
43
64(4)3(5)L)d(P,
22
![Page 29: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/29.jpg)
29
LA RECTALA RECTA
L
x
y
d
Q (5 ,6 )
535
515
5
15
5
15L)d(R,
21
72(-2)-1(4)L)d(R,
BA
CByAxL)d(R,
2222
11
Ejemplo2. Hallar la distancia que existe entre el punto R(4 , -2) del plano y la recta que pasa por los puntos P(-3 , 2) y Q(5 , 6)
SOLUCIÓN
LP (-3 ,2 )
R (4 ,-2 )
2
1
8
4
35
26m
Aplicamos la ecuación punto pendiente de la recta: y - y1 =m(x - x1)
0 7 2y x :L 3x4-2y3)(x21
2y
![Page 30: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/30.jpg)
30
LA RECTALA RECTA
Posición Relativa de 2 Rectas
Sean las rectas : L1: A1x + B1y + C1 = 0
L2: A2x + B2y + C2 = 0
* Si L1 // L2 m1 = m2 ó
* Si L1 L2 m1 . m2 = -1 ó A1A2 + B1B2 = 0
* Si L1 y L2 son coincidentes :
2
1
2
1
B
B
A
A
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
![Page 31: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/31.jpg)
31
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA
DEEFINICION: La Circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos en el plano tal que la distancia de un punto fijo a cada uno de ellos es una constante.
Centro (C) : Punto fijo
radio r : distancia constante
d(P , C) = r
C(h,k)
r
P(x,y)
![Page 32: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/32.jpg)
32
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
C
r
E
D
F
A BLT
LN
1. Centro de la circunferencia. “ C “
2. Radio de la circunferencia “ r “
3. Diámetro de la circunferencia
4. Cuerda de la circunferencia
5. Recta tangente a la circunferencia. LT
6. Recta normal a la circunferencia. LN
ABFD
![Page 33: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/33.jpg)
33
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA
Una Circunferencia queda completamente definida, si se conoce su centro y su radio.
Ecuaciones de la Circunferencia:
1) Forma Ordinaria:
Sea el Centro de la Circunferencia
C ( h,k ) y radio r .
Si P (x,y) es un punto
Por distancia:
2) Forma canónica
si el Centro es el origen su ecuación es :
C(h,k)
r
P(x,y)
0 X
Y
r PC
rk)(yh)(x 22
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
222 ryx 0
P(x,y)
X
Y
![Page 34: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/34.jpg)
34
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIAEjemplo 1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C(-3 , -4) y radio 5.
Solución.
222 rkyhx
254y3x 22 Ejemplo 2. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (2 , 3) y B(-4 , 5). Hallar la ecuación de la curva.
Solución.
C
Las coordenadas del centro :
104y1x
104312ACr
4) , 1C()2
53 ,
2
42C(
22
22
y
x
B
A
![Page 35: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/35.jpg)
35
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIAEjemplo 3. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el
eje x y que pasa por los dos puntos A(1 , 3) y B(4 , 6)
4591791x7x
426x36168xx912xx
364-x91x
22
22
22
r
364)(x91)(xB)d(C,A)d(C,r 22
y
x
BA
C(x,0)
450-y7x 22 La ecuación de la circunferencia:
![Page 36: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/36.jpg)
36
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIAObservaciones:
222 kkyhx
C(h,k)Si la circunferencia es tangente al eje x su ecuación es :
x
y
k
x
y
C(h,k)h
Si la circunferencia es tangente al eje y su ecuación es :
222 hkyhx
![Page 37: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/37.jpg)
37
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA3) Ecuación General
Desarrollando la ecuación ordinaria de la circunferencia tenemos:
2,
2
D-C CentroSu
E4FED
21
r
4E
4D
-Fr4
E4
D-F
2E
y2D
x
4E
4D
F- 2E
Eyy 2D
Dx x
0FEyDxyx
22
222
2222
2222
22
22
Completando cuadrados lo llevamos a su forma ordinaria
Esta ecuación tiene la misma forma que:
Se llama forma general de la circunferencia.
)........(1 0rkh2ky2hxyx
rk2ykyh2xhxrkyhx22222
22222222
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
![Page 38: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/38.jpg)
38
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA
Ejemplo 3. Reduciendo las ecuaciones dadas a la forma ordinaria , determinar si representa o no una circunferencia.
a. 2x2 + 2y2 - 6x +10y + 7 = 0
b. 4x2 + 4y2 +28x - 8y + 53 = 0
c. 16x2 + 16y2 - 64x + 8y + 177 = 0
Solución.
- Si D2 + E2 - 4F > 0 ; la Circunferencia es real
- Si D2 + E2 - 4F < 0 ; la Circunferencia es imaginaria
- Si D2 + E2 - 4F = 0 ; la Circunferencia representa un punto
4FED21
r 22
2,
2
D-C CentroSu
E
![Page 39: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/39.jpg)
39
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA
5)(y)2
3-(x10)2(y)
2
3-2(x
2
25
2
9-7)
2
55y2(y )
2
3 3x 2(x
0710y6x2y2x a.
22522
252
22
22
22
Luego la ecuación es una circunferencia
de centro C (3/2 , -5/2) y radio 55
25
y23
x
5425
49
27
25
5yy 23
3x-x
027
5y3xy x
0710y6x2y2x a.
22
22
22
22
22
![Page 40: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/40.jpg)
40
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA
0)1-(y)2
7(x)1-(y4)
2
74(x
449-53)1y24(y )2
7 x 74(x
0538284y4x b.
2222
22
2
22
yx
Luego la ecuación representa el punto C(-7/2 , 1)
Luego la ecuación representa un conjunto vacío o una circunferencia imaginaria.
7)4
1(y2)-(x)
4
116(y2)16(x
164-177)4
1
2
y16(y )
2
4 4x16(x
01778y64x16y16x c.
2222
22
22
22
![Page 41: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/41.jpg)
41
CURVAS CÓNICASCURVAS CÓNICAS
Una Cónica es el conjunto de puntos cuyas distancias dirigidas a un punto fijo
( Foco ) y a una Recta fija ( Directriz ), es una razón constante llamada
excentricidad.
Si:
e = 1 ; la cónica se llama Parábola.
e < 1 ; la cónica se llama Elipse.
e > 1 ; la cónica se llama Hipérbola.
F
PM
) e ( Constante PM
PF
![Page 42: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/42.jpg)
42
LA PARÁBOLALA PARÁBOLAEs el conjunto de puntos que equidistan
de una recta fija llamada directriz y de un
punto fijo llamado Foco.
Elementos:
Foco: Punto fijo F
Eje Focal: Recta DD’ y pasa por el Foco
Vértice: Punto V
Cuerda:
Cuerda Focal:
Lado Recto:
Radio Vector:
Directriz : DD
F
MP
F
M
R
D’
D
V
N
PFPM
Y
MN
HD
LR
FH
H
D
L
x
![Page 43: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/43.jpg)
43
LA PARÁBOLALA PARÁBOLAEcuaciones de la Parábola:
1) Si el Vértice es el Origen y su eje
Focal es el eje X
F( p,0) ; P( x,y)
d(P,F) = d( p,L)
Elevando al cuadrado y
simplificando se tiene:
- Si: p > 0 ; la Parábola se abre a la
Derecha.
- Si: p < 0 ; la Parábola se abre a la
Izquierda.
Y
X
L
D’
Y
X
D
D’
F
F(p,0)
o
o
V
V
VFp
y2 = 4px
P(x,y)D
pxypx 22
![Page 44: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/44.jpg)
44
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Y
X
L
D’
Y
X
D
D’
F
F(p,0)
o
o
V
V
VFp
P(x,y)
D
ELEMENTOS
1. El vértice V(0,0)
2. El foco F(p,0)
3. Lado Recto LR = | 4 p |
4. Ecuación de la directriz: x = - p
L
R
L
y2 = 4px
R
![Page 45: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/45.jpg)
45
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ecuaciones de la Parábola:
2) Si el Vértice es el Origen y su eje
Focal es el eje Y, su ecuación es:
- Si p > 0; la Parábola se abre hacia
arriba.
- Si p < 0; la Parábola se abre hacia
abajo
Y
X
DD’
Y
X
DD’
F
F
o
o
V
V
VF p
x2 = 4py
L R
L R
![Page 46: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/46.jpg)
46
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
ELEMENTOS
1. El vértice V(0,0)
2. El foco F(0 , p)
3. Lado Recto LR = | 4 p |
4. Ecuación de la directriz: y = - p
Y
X
DD’
Y
X
DD’
F
F
o
o
V
V
VF p x2 = 4py
L R
L R
![Page 47: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/47.jpg)
47
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la
longitud del lado recto y graficar.
a. x2 - 12y = 0 b . y2 + 8x = 0
Solución:
Y
X
3
DD’
F
oV
0)(p 3p124p4pyx
forma la de esecuación La
12yx012y xa.
2
22
1. Vértice V(0,0)
2. Foco F(0,p) F(0,3)
3. Directriz y = - p y = -3
4. Lado Recto LR= 4p LR = 12
como p> 0 la parábola se abre hacia arriba.
-3
![Page 48: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/48.jpg)
48
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la
longitud del lado recto y graficar.
a. x2 - 12y = 0 b . y2 + 8x = 0
Solución:
Y
X-2
D
D’
Fo
V
0)(p -2p-84p4pxy
forma la de esecuación La
-8xy08xy b.
2
22
1. Vértice V(0,0)
2. Foco F( p , 0) F( -2, 0)
3. Directriz x = - p x = - ( -2) = 2
4. Lado Recto LR= 4p LR = 8
como p< 0 la parábola se abre hacia la izquierda.
2
![Page 49: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/49.jpg)
49
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ecuación Ordinaria de la Parábola:
3) Si el Vértice es V ( h, k ), el eje
focal es Paralelo al eje x su
ecuación es:
Con Foco: F( h+p , k )
- Si: p > 0 ; Se abre a la Derecha.
- Si: p < 0 ; Se abre a la Izquierda.
( y - k )²2 = 4p ( x - h )
D
D’
D
D’
FV
V
Y
Y
X
X
(h,k)
(h,k)F
![Page 50: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/50.jpg)
50
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
( y - k )²2 = 4p ( x - h )
D
D’
D
D’
FV
V
Y
Y
X
X
(h,k)
(h,k)F
ELEMENTOS
1. El vértice V( h , k)
2. El foco F(h + p , k)
3. Lado Recto LR= 4p
4. Ecuación de la directriz x = h - p
![Page 51: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/51.jpg)
51
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ecuación Ordinaria de la Parábola:
ii ) Si el eje Focal es Paralelo al eje Y,
su ecuación es:
Con Foco: F ( h , k+p )
- Si: p > 0 ; Se abre hacia arriba.
- Si: p < 0 ; Se abre hacia abajo.
( x - h )²2 = 4p ( y - k ) DD’
DD’
F
V
V
Y
Y
X
X
(h,k)
(h,k)
F
![Page 52: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/52.jpg)
52
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
( x - h )²2 = 4p ( y - k )
DD’
DD’
F
V
V
Y
Y
X
X
(h,k)
(h,k)
F
ELEMENTOS
1. El vértice V( h , k)
2. El foco F( h , k + p)
3. Lado Recto LR= 4p
4. Ecuación de la directriz y = k - p
![Page 53: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/53.jpg)
53
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
5. La Ecuación General de la Parábola esta dado por:
x2 + Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje Y.
y2 + Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje X.
Ejemplo1 . Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértices y focos son los
puntos (-4,3) y (-1 , 3) respectivamente. Hallar también las
ecuaciones de su directriz , eje focal y LR.
Solución:
-4
3V
-1
FLa parábola es de la forma:
(y - k)2 = 4p(x - h)
4)12(x3y4)4.3(x3y
33314VFp
22
22
Directriz: x = h - p =-4 -3 =-7 x+7=0
Eje de la parábola y=k y = 3 , LR = 12
![Page 54: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/54.jpg)
54
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ejemplo2 . Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los
puntos V (3 , 3 ) y F(3 , 1 ) respectivamente. Hallar también las
ecuaciones de su directriz , eje focal y LR.
Solución:
V
oF
La parábola es de la forma:
(x - h)2 = 4p(y –k )
3)--8(y3x3)-4(-2)(y3-x
21333VFp
22
22
Directriz: y = k - p = 3 – (-2) = 5 y – 5 = 0
Eje de la parábola x = 3 x – 3 = 0
LR = 8
L R
![Page 55: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/55.jpg)
55
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ejemplo 3. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones
de la directriz y eje, y la longitud del lado recto.
4y2 -48x -20y - 71 =0
Solución:
Completando cuadrados para la variable y, se tiene:
De donde h = -2 , k = 5/2 , 4p = 12 , p=3 ; Vértice V( h , k) V( -2 , 5/2)
Foco F( h+p , k ) F( -2 + 3 , 5/2) F( 1 , 5/2)
Ec. De la directriz: x = h - p x = -2 - 3 x = -5
Ec del eje : Y = k y = 5/2 ; LR = 12
2)12(x5/2)(y
2412x425
471
12x 425
5yy
0471
12x5yy 07148x20y4y
2
2
22
![Page 56: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/56.jpg)
56
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ejemplo 3. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones
de la directriz y eje, y la longitud del lado recto.
4y2 -48x -20y - 71 =0
Solución:
Completando cuadrados para la variable y, se tiene:
9648x257148x425
5yy4 2
De donde h = -2 , k = 5/2 , 4p = 12 , p=3 ; Vértice V( h , k) V( -2 , 5/2)
Foco F( h+p , k ) F( -2 + 3 , 5/2) F( 1 , 5/2)
Ec. De la directriz: x = h - p x = -2 - 3 x = -5
Ec del eje : Y = k y = 5/2 ; LR = 12
7148x20y 4y2
2)12(x25
y 2412x425
5yy2
2
![Page 57: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/57.jpg)
57
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ejemplo 4. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones
de la directriz y eje, y la longitud del lado recto.
4x2 + 48y + 12x – 159 =0
Solución:
Completando cuadrados para la variable x, se tiene:
De donde h = -3/2 , k = 7/2 , 4p = -12 , p= -3
Vértice V( h , k) V( - 3/2 , 7/2 )
Foco F( h , k + p ) F( -3/2 , 7/2 –3 ) F( -3/2 , 1/2 )
Ec. De la directriz: y = k - p y = 7/2 + 3 y = 1 3 / 2 2y – 13 = 02
Ec del eje : x = h x = -3/2 2x + 3 = 0 ; LR = 12
7/2)12(y3/2)(x
4212y4
16812y
49
4159
12y 49
3xx
04
15912y3xx015948y12x4x
2
2
22
![Page 58: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/58.jpg)
58
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ejemplo 4. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones
de la directriz y eje, y la longitud del lado recto.
4x2 + 48y + 12x – 159 =0
Solución:
Completando cuadrados para la variable x, se tiene:
16848y915948y49
3xx4 2
De donde h = -3/2 , k = 7/2 , 4p = -12 , p= -3
Vértice V( h , k) V( - 3/2 , 7/2 )
Foco F( h , k + p ) F( -3/2 , 7/2 –3 ) F( -3/2 , 1/2 )
Ec. De la directriz: y = k - p y = 7/2 + 3 y = 1 3 / 2 2y – 13 = 02
Ec del eje : x = h x = -3/2 2x + 3 = 0 ; LR = 12
15948y12x 4x2
)27
-y(1223
x42y1249
3xx2
2
![Page 59: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/59.jpg)
59
LA ELIPSELA ELIPSE
Definición:
Dado 2 puntos fijos F1 y F2 un numero 2a > 0 ; la elipse es el conjunto de
puntos cuya suma de las distancias de un punto de la curva a sus puntos
fijos es siempre igual a 2a.
F2F1
2aPFPF 21
P
CFocos: F1 , F2
C : centro
R 2a , FF2a 21
![Page 60: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/60.jpg)
60
LA ELIPSELA ELIPSEELEMENTOS DE LA ELIPSE:
Focos: F1 y F2 .
Eje Focal: Es la recta que pasa por
los Focos.
Vértice: Puntos V1 y V2.
Centro: C Punto medio de V1 y V2.
Eje Normal: Recta que pasa por el centro
y es al eje Focal.
Eje Mayor: Segmento
Eje Menor: Segmento
Cuerda: Segmento
Cuerda Focal: segmento
Lado Recto: Segmento
Directriz: Rectas D’D.
D D
D’ D’
Q
V1 V2
C
L LM
B1
B21
N RR21VV
21BB
MNMQ
LR
F1 F2
![Page 61: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/61.jpg)
61
LA ELIPSELA ELIPSEEcuaciones de la Elipse:
1) Centro en el Origen y eje Focal el
eje x ; su ecuación es:
b2 = a2 - c2
Elementos
1. Los vértices son: V1 ( -a,0 ) ; V2 ( a,0 ) :
2. Los focos: F1(- c,0 ) ; F2 (c , 0 )
3. Extremos del eje menor: B1(0 , -b) , B2 (0 , b)
4. Lado recto : 5. Ecuación de la directriz:
6. Excentricidad :
V2V1
F2F1(-a,0) (a,0)
D D
D’D’
X
Y
1b
y
a
x2
2
2
2
B2
B1
a
2bLR
2
c
ax
2
1a
ce
![Page 62: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/62.jpg)
62
LA ELIPSELA ELIPSEEcuaciones de la Elipse:
2) Si el eje Focal es el eje Y su ecuación
es:
b2 = a2 - c2
Elementos
1. Los vértices son: V1 (0 , -a ) ; V2 ( 0 , a )
2. Los focos: F1( 0 , - c) ; F2 ( 0 , c )
3. Extremos del eje menor: B1( -b , 0) , B2 ( b , 0)
4. Lado recto :
5. Ecuación de la directriz: 6. Excentricidad :
V1
V2
F1
F2
(0,-c)
(0,c)
X
Y
1a
y
b
x2
2
2
2
B1 B2
a
2bLR
2
c
ay
2
1a
ce
![Page 63: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/63.jpg)
63
LA ELIPSELA ELIPSE
V1
V2
F1
F2
(0,-c)
(0,c)
X
Y
B1 B2
Ejemplo: Hallar las coordenadas del vértice y focos, la longitud de los ejes mayor y menor , la excentricidad y la longitud del lado recto.
Graficar la curva. 9x2 + 4y2 = 36 Solución:
Dividiendo cada término entre 36
19
y
4
x364y9x
2222
a = 3 , b= 2 , c2 = a2 - b2 = 9 - 4 =
1. Los vértices son: V1 (0 , -3 ) ; V2 ( 0 , 3 )
2. Los focos: F1( 0 , - ) ; F2 ( 0 , )
3. Extremos del eje menor: B1( -2 , 0) , B2 ( 2 , 0)
4. Lado recto : 5. Excentricidad :
6. Longitud del eje mayor =2a =6
7. Longitud del eje menor = 2b = 4
5 5
3
8
a
2bLR
2
3
5
a
ce
![Page 64: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/64.jpg)
64
LA ELIPSELA ELIPSE
V2V1
F2F1
D D
D’D’
X
YB2
B1
Ejemplo: Hallar las coordenadas del vértice y focos, la longitud de los ejes mayor y menor , la
excentricidad y la longitud del lado recto. Graficar la curva. 16 x2 + 25 y2 = 400 Solución:
Dividiendo cada término entre 400
116y
25x
40025y16x22
22
a = 5 , b= 4 , c2 = a2 - b2 = 25 –16 = 9 c = 3
1. Los vértices son: V1 (-5 , 0 ) ; V2 ( 5 , 0 )
2. Los focos: F1( -3 , 0) ; F2 ( 3 , 0 )
3. Extremos del eje menor: B1( 0 , -4 ) , B2 ( 0 , 4 )
4. Lado recto : 5. Excentricidad :
6. Longitud del eje mayor =2a = 10
7. Longitud del eje menor = 2b = 8
532
a2b
LR2
53
ac
e
![Page 65: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/65.jpg)
65
LA ELIPSELA ELIPSE
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE :
1 - Si el centro es el Punto C( h , k)
y tiene eje Focal Paralelo al
eje X, su ecuación es:
1b
ky
a
hx2
2
2
2
LA ELIPSELA ELIPSE
V2V1
F2F1
D D
D’D’
X
YB2
B1
a
2bLR
2
c
ahx
2
1a
ce
O
C
k
h
Elementos
1. Los vértices son: V1 ( h -a,k ) ; V2 (h + a ,k ) :
2. Los focos: F1( h- c,k ) ; F2 ( h + c ,k )
3. Extremos del eje menor: B1( h , k - b) , B2 (h ,k+ b)
4. Lado recto : 5. Excentricidad
6. Ecuación de la directriz:
b2=a2-c2
![Page 66: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/66.jpg)
66
LA ELIPSELA ELIPSE
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE :
2- Si el centro es el punto C( h,k)
el eje Focal es Paralelo al eje y
su ecuación es: 1
a
ky
b
hx2
2
2
2
Elementos
1. Los vértices son: V1 (h k -a ) ; V2 ( h , k+a )
2. Los focos: F1( h , k- c) ; F2 ( h , k +c )
3. Extremos del eje menor: B1( h- b , k) ,
B2 ( h + b , k)
4. Lado recto :
5. Ecuación de la directriz:
6. Excentricidad :
V1
V2
F1
F2
X
Y
B1 B2
a
2bLR
2
c
aky
2
1a
ce
C
h
k
DD’
222 cab
![Page 67: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/67.jpg)
67
LA ELIPSELA ELIPSE ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
La Ecuación General es: Donde A B y son del mismo signo.
Ax2 + By2 + Dx + Ey +F =0Ejemplo. La ecuación de una elipse es 9x2 + 25y2 - 36x + 150y + 36 = 0 , reducir
esta ecuación a la forma ordinaria y determinar las coordenadas de centro, vértices, focos, longitudes del eje mayor y menor, lado recto y la excentricidad
Solución:
1
93y
252x
2253y25 2x9
22536-3636yy25 2 4xx9
-36 6yy25 4x x9
-36150y)25y(36x)(9x
036150y36x25y9x
22
22
2222
22
22
22
a2 = 25 , b2 =9 c2 = a2 - b2 = 25 - 9 =16
a = 5 , b = 3 , c = 4
![Page 68: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/68.jpg)
68
LA ELIPSELA ELIPSE
V2V1
F2F1
X
Y
B2
B1
5
18
5
2x9
a
2bLR
2
5
4
a
ce
O C
1. Centro: C(2 , -3) , h = 2 , k= -3
2. Vértices:: V1 ( h -a,k ) ; V2 ( h + a ,k )
V1 ( 2-5 , -3 ) ; V2 ( 2+5 , -3 ) V1 ( -3 , -3 ) ; V2 ( 7 , -3 )
2. Focos: F1( h- c,k ) ; F2 ( h + c ,k ) F1( -2 , -3 ) ; F2 ( 6 ,-3 )
3. Extremos del eje menor: B1( h , k - b) , B2 (h ,k+ b) B1( 2 , -6) , B2 ( 2 , 0)
4. Lado recto : 5. Excentricidad:
1
9
3y
25
2x 22
a2 = 25 , b2 =9
c2 = a2 - b2 = 25 - 9 =16
a = 5 , b = 3 , c = 4
![Page 69: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/69.jpg)
69
LA ELIPSELA ELIPSEEjemplo. Los focos de una elipse son los puntos F1 (-4 , -2) y F2( -4 , -6), y la
longitud de cada lado recto es 6 . Hallar la ecuación de la elipse y su
excentricidad.
Solución:
V1
V2
F1
F2
X
Y
B1 B2
El eje focal de la elipse es paralelo a l eje y la ecuación es de la forma:
1a
k)-(y
b
h)-(x2
2
2
2
3a.....(2)b6a
2ba
2bLR
.....(1)4.........bacba
2c4(-2)-6-FF 2c Si
222
22222
21
C
![Page 70: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/70.jpg)
70
21
42
ac
e
116
4)(y12
4)(x :ecuación la tienese Luego
4)4,(2
62 ,
244
C
Fy F de medio punto el es centro El
32b4a
-1a 4a01)4)(a-(a04-3a-a
22
21
2
LA ELIPSELA ELIPSEReemplazando (2) en (1)
![Page 71: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/71.jpg)
71
Ejemplo. Los focos de una elipse son los puntos F1 (-2 , -2) y F2( 4 , -2 ) . Hallar
la ecuación de la elipse si uno de sus vértices está sobre la recta
L : x – y – 8 = 0.
Solución:
LA ELIPSELA ELIPSE
1
b
ky
a
hx2
2
2
2
V2V1
F2F1
Y
O
C
Con los datos del problema , la
ecuación de la elipse es:
5a08kahLk)a,V(h
2)C(1,2
22,
242
Ck)C(h,
x
16925bcab
3c62c)F,d(F2222
21
1
162y
251x
:E 22
![Page 72: 1 GEOMETRIA ANALITICA (curso apuntes) PGA Nov 2012 (1).ppt](https://reader037.vdocuments.net/reader037/viewer/2022102702/55cf9a93550346d033a26c83/html5/thumbnails/72.jpg)
72
Ejemplo. La ecuación de una elipse es 9x2 + 4y2 – 8y –32 = 0 . Hallar la
excentricidad y lado recto.
Solución:
LA ELIPSELA ELIPSE
35
eac
e
38
32(4)
a2b
LR
5c549cbac4b , 9a
1k , 0h191y
40x
3643212yy40x9
2
222222
22
22