1 initial valued problems : multi step methodmaths.sci.ku.ac.th/angkana/01417268/slide268...

1 Initial Valued Problems : Multi Step Method

ระเบยบวธหลายขน (Multi-Step Method)

ส าหรบสมการเชงอนพนธ

y,xfdx

dy ; bxa และ αay

ถาเราอนทเกรตเหนอชวง 1ii x,x จะได

1i

i

1i

i

x

x

x

xi1i dxy,xfdxxyxyxy

ดงนน 1i

i

x

xi1i dxy,xfxyxy แตเราอนทเกรต y,xf ไมได เพราะไมทราบผลเฉลย xy ประมาณ xy ดวยพหนามตวประมาณคาในชวง xP แทน

ซงเปนพหนามดกร m โดยสรางจากชดขอมล mimi y,x , 1mi1mi y,x ,..., ii y,x

เมอเราประมาณ ii yxy จะได

1i

i

x

xi1i dxxP,xfyxy

แมวารปแบบของพหนามตวประมาณใดๆสามารถใชแทน xP ได แตทสะดวกทสดคอ การใชผลตางสบเนองยอนหลงของนวตน


ระเบยบวธหลายขนสามารถแบงไดเปน 2 แบบคอ

1. ระเบยบวธโดยชดแจง เปนระเบยบวธท 1iy ไมขนกบการหาคา 1i1i y,xf

2. ระเบยบวธโดยปรยาย ซงมบางสวนขนกบ 1i1i y,xf

ระเบยบวธหลายขนโดยชดแจง

สตรทไดหาจากการประมาณ

1i

pi

x

xpi1i dxxP,xfyy บนชวง ]x,x[ 1ipi โดยท mp0

ถา 0p จะไดสตรของ Adams-Bashforth อนดบตางๆในรปแบบ

m

0kkikimki1i y,xfbhyy

พรอมทงคาคลาดเคลอน mE ซงแสดงดงในตาราง อนดบ m 0mb 1mb 2mb 3mb mE

1 0 1 0

2

y2

h

2 1 23 21 13yh

12

5

3 2 1223 1216 125 244yh

8

3

4 3 2455 2459 2437 249 355yh

720

251


จากตาราง จะไดสตร

Adams-Bashforth อนดบ 2 (AB2) 00y , 11y

1i1iiii1i y,xf

2

1y,xf

2

3hyy 1N,,2,1i

คาผดพลาดเฉพาะถน คอ i3yh

12

5 ส าหรบบาง 1i1ii x,x

Adams-Bashforth อนดบ 3 (AB3) 00y , 11y , 22y

2i2i1i1iiii1i y,xf

12

5y,xf

12

16y,xf

12

23hyy 1N,,2,1i

คาผดพลาดเฉพาะถน คอ i44yh

8


Adams-Bashforth อนดบ 4 (AB4) 00y , 11y , 22y , 33y

3i3i2i2i1i1iiii1i y,xf

24

9y,xf

24

37y,xf

24

59y,xf

24

55hyy

1N,,2,1i คาผดพลาดเฉพาะถน คอ i

55yh720



กรณท 0p ( mp0 ) จากการกระจายผลตางสบเนองจะไดรปแบบของ

สตรเปน

m

0kkikimkpi1i y,xfbhyy

พรอมทงคาคลาดเคลอน mE ดงตาราง

m p 0mb 1mb 2mb 3mb mE

1 1 2 33yh

6

1

3 3 38 34 38 355yh

45

14

สตรของ Milne

2i2i1i1iii3i1i y,xf

3

8y,xf

3

4y,xf

3

8hyy 1N,,2,1i

คาผดพลาดเฉพาะถนคอ 355yh

45

14 ส าหรบบาง 1i2ii x,xμ

ในการหาสตรโดยชดแจงนพบวาเมอ m เปนจ านวนค และเลอก mp สตรส าหรบกรณ 0p จะใชจ านวนของ f นอยกวาสตรส าหรบกรณ 0p ทมอนดบเดยวกน


ระเบยบวธโดยปรยาย จะใชวธการหาสตรเชนเดยวกบการหาสตรโดยชดแจงแตแทน y,xf ในชวง 1ii x,x ดวยพหนาม xq ทผานจด 1mi1mi y,x , ..., ii y,x , 1i1i y,x ซงเราจะได

กรณท 0p :

1m

1kkikimki1i y,xfbhyy

สตรนเรยกวา สตรของ Adams-Moulton อนดบตางๆ ในรปแบบขางตน พรอมทง

mE ดงแสดงในตารางตอไปน อนดบ

m 1,mb 0,mb 1,mb 2,mb mE

1 0 1 0

2

2y

h

2 1 21 21 1

3

12

1yh

3 2 125 128 121 2

44

24

1yh

4 3 249 249 245 241 3

55

720

19yh

เมอ 1im1mi xx

กรณท 0p หาสตรไดในท านองเดยวกนดวยการอนทเกรต y,xfy จาก

pix จนถง 1ix สตรทนาสนใจคอ สตร Simpson ( 1p,3m )

1i1iii1i1i1i1i y,xfy,xf4y,xf3

hyy 1N,,2,1i

คาผดพลาดเฉพาะถนคอ 355

3 yh90

1E ส าหรบบาง 1i1i3 x,x

สตรแบบโดยปรยายน มคาของฟงกชน y,xf ทจดปลาย 1ix ทไมทราบคารวมอยดวย ซงไมสามารถใหคา 1iy ไดโดยตวของมนเอง สตรแบบนมความแมนย าสงกวาสตรโดยชดแจง


ในระเบยบวธถดไปเปนในระเบยบวธตวแก-ตวท านาย จะใชสตรโดยชดแจงและโดยปรยายรวมกน

ตองหาคา 01mm y,,y,y เสยกอนดวยระเบยบวธขนเดยว (single step method) เสยกอน เชน ใชระเบยบวธของ Runge-Kutta oder 4 แลวประมาณคา 1iy ดวยสตรโดยปรยายอกรอบ

1 Initial Valued Problems : Predictor-Corrector & Higher Order

การหาผลเฉลยเชงตวเลขของปญหาคาเรมตน

ระเบยบวธตวท านาย-ตวแก

ระเบยบวธนใชสตร 2 สตรรวมกนโดยสตรหนงจะเปนสตรแบบชดแจง เรยกวา สตรตวท านาย (Predictor Formula) และอกสตรหนงเปนสตรโดยปรยายทมความแมนย าสงกวา เรยกวา สตรตวแก (Corrector Formula) ตวอยางเชน ตองการใชคสตรดงน

สตร Euler iii01i y,xhfyy เปนตวท านาย

สตร AM2 iik1i1ii

)1k(1i y,xf)y,x(f

2

hyy

เปนตวแก

ส าหรบ ,1,0k

หมายเหต ใชสตร Euler เปนสตรตวท านายทใหคา 01iy โดยประมาณ

จากนนใชสตรAM2 ซงเปนตวแกเพอหาคา 11iy และสามารถใชสตรตวแก

ซ าเพอใหการค านวณแมนย ายงขนซงเรยกวา การท าซ าภายใน (inner iteration)

คาของ 1iy จะมความแมนย าสงขนระดบหนงเนองจากสตรตวแกทใชกยงมคาคลาดเคลอน โดยปกตแลวการท าซ าจะท าเพยงคร งหรอสองคร งเทาน น ถาคา

1iy ไมดขนตองลดขนาด h


พจารณาคา h ทเหมาะสม

ในสตร 0x , 0y , 1x , h เปนคาคงตว

ให 1iyt จากสตรการท าซ าจดคงทจะไดวา

k1k tFt ( ,1,0k ) ----(1)

โดยม tF คาทไมขนกบ t,x ปจจบน t,xf2

h

เงอนไขของการลเขาคอ 1tF ส าหรบคา t ทอยใกล 1ixy

นนคอการลเขาของ (1) จะเปนจรงกตอเมอ y,xf และ y

f

มความตอเนองใน x

และ y ทท าให 1y

f

2

htF

นนคอ y

f

2h

สตรตวท านายตองใชคตวแกทมคาคลาดเคลอนอยในอนดบใกลเคยงกน มฉะนนแลวการท าซ าภายในอาจจะไมลเขากได

ส ำหรบสตร Euler ดดแปลง


ตวอยาง จงใชระเบยบวธตวท านาย-ตวแก หาคาของ )2.1(y ของปญหาคาเรมตน

x

y1y เมอ 2)1(y โดยใช 1.0h

วธท า คสตรทใชคอ สตรตวท านาย iii01i y,xhfyy

สตรตวแก iik1i1ii1i y,xfy,xf

2

hyy

ในทน 1x0 , 2y0 , 3y,xf 00

3.21

211.02y 0

1

0909.31.1

3.21y,xf 0

11

1k 3045.20909.332

1.02y 1

1

095.3

1.1

3045.21y,xf 1

11

2k 3048.2095.332

1.02y 2

1

3k 3048.2y 31

1.1x1 , 1.1y3048.2y1

ท านองเดยวกนจะได 6143.2y 02

6185.2y 12

6187.2y 22

2.1y6187.2y 32


ความคลาดเคลอนของสตรตวแกคอ 13yh

12

1 เมอ 1i1i xx

ถาประมาณ 1y ดวย 11y และ 1.0h ไดความคลาดเคลอนไมเกน

43

1083.0112

1.0 แสดงวาผลเฉลยมความแมน 3 D.P.

สตรทนยมใชกนมากในระเบยบวธตวท านาย-ตวแก คอ

สตรของ Adams-Bashforth-Moulton เขยนยอวา ABM4 ซงขยายความไดดงน

จากปญหาคาเรมตน

y,xfy ; bxa ; ay

ใชจดจ านวน 1n จดทหางเทาๆกนในชวง b,a จะได n

abh

ใชระเบยบวธแบบชนเดยว เชน Runge-Kutta เพอหาคา 321 y,y,y และ 3210 f,f,f,f

ค านวนคา 01iy เรมดวย 3i โดยใชสตร

3i2i1iii01i f9f37f59f55

24

hyy

ตอจากนน ค านวณคา 01i1i

01i y,xff

แลวค านวณคา 1k1iy

เรมดวย 0k โดยใชสตร

3i2i1i1ii1k

1i ff5f19f924

hyy

และท าซ าดวยจนกวาจะไดคาคลาดเคลอนทตองการ

ตวท ำนำย

ตวแก


คสตรตวท านาย-ตวแกมอกมากมาย เชน

สตรตวท านาย ใชสตรของ Milne 2i2i1i1iii3i01i y,xf2y,xfy,xf2h

3

4yy

สตรตวแก ใชสตร Simpson 1i1iii

k1i1i1i

1k1i y,xfy,xf4y,xf

3

hyy

หรอ สตรตวแก ใชสตร Hamming

8

ff2fh3yy9y 1ii1i2ii1k

1i


สมการเชงอนพนธอนดบสงและระบบสมการเชงอนพนธ

ปญหาคาเรมตนทมสมการเชงอนพนธอนดบ n โดยทวไป มรปแบบเปน

1nn y,,y,y;xfy โดยมเงอนไขคาเรมตน 10xy , 20xy , ..., n0

1n xy เมอ 0xx

แปลงปญหาขางตนใหเปนปญหาในระบบสมการเชงอนพนธอนดบหนงได โดยให 1uy , 2uy , ...,

n1n uy จะไดระบบสมการ

1n21n

n1n

43

32

21

u,,u,u;xfu

uu

uu

uu

uu

และเงอนไขคาเรมตน 101 xu , 202 xu , ..., n0n xu เมอ 0xx

ระบบสมการเชงอนพนธอนดบหนงขางตนเขยนไดในรปแบบสมการเวกเตอรเชงอนพนธ ไดเปน

Y;xFxY โดยม

0YY เมอ 0xx

โดยท

xy

xy

xy

xY

n

2

1

;

Y,xf

Y,xf

Y,xf

Y;xF

n

2

1

n

2

1

0xY


เมอ xy,,xy,xy n21 เปนฟงกชนตวประมาณของ xY ผลเฉลยเชงตวเลขของระบบสมการขางบนนกคอ เวกเตอร ,xY,xY 21 ซงมคาประมาณเปน

,Y,Y 21 ตามล าดบ ตวอยาง จงสรางระบบสมการเชงเสน ซงใชในการหาผลเฉลยของ

xlnxy2yx2y 3 , 2x1 เมอ 11y , 01y

วธท า ลดทอนปญหาใหเปนระบบสมการเชงอนพนธอนดบหนงโดย

ก าหนดให uy

ดงนน xu2y2xlnxyx2y2xlnxuy 33

ให

u

y

xu

xyY จะไดระบบสมการเชงอนพนธคอ

xu2y2xlnx

uY;xF

u

yY 3 ,

และมเงอนไขเรมตนคอ

0

1

0y

0y

0u

0yY0


ในการหาผลเฉลยของระบบสมการจะใชระเบยบวธตางๆทใชกบปญหาคาเรมตน y,xfy ทม 0yy เมอ 0xx แตตองเปลยนปรมาณสเกลาร

0y,y,xf,y,y ใหเปนปรมาณเวกเตอร 0Y,Y;xF,Y,Y เชน

สตรของ Euler เดมคอ )y,x(hfyy iii1i

เปลยนเปนสตรส าหรบระบบสมการคอ ii1i Y;xFhYY

สตร Runge-Kutta RK4 กตองเปลยนเปนเวกเตอรคอ

4321i1i KK2K2K6

1YY

ii1 Y;xFhK

2

KY;

2

hxFhK 1

ii2

2

KY;

2

hxFhK 2

ii3

3i1i4 KY;xFhK 1N,,1,0i

สตร AB4, ABM4 คอ

สตรตวท านาย 3i2i1iiip1i F9F37F59F55

24

hYY

สตรตวแก 3i2i1i1iic

1i FF5F19F924

hYY

โดยท iii xY;xFF


ตวอยาง (Sheet) จากปญหาคาเรมตน 2xyy , 10y , 10y จงหาคาประมาณของ 1.0y เมอก าหนดให 1.0h

วธท า ลดทอนปญหาใหเปนระบบสมการเชงอนพนธอนดบหนงโดย

ก าหนดให uy

ดงนน 2xyuy และ 1.0h,1.0x,0x 10

xu

xyY ,

xxy

xuY;xFY

2,

1

1

0u

0yY0

ไดระบบสมการ Y;xFY

พรอมเงอนไข

1

1Y0

โดยระเบยบวธออยเลอร (Euler Method) สตรคอ

iii1i Y;xFhYY

ดงนน 0001 Y;xFhYY

1

1;0F)1.0(

1

1

2)1(0

1)1.0(

1

1

1

9.0

0

1.0

1

1

ดงนนจะไดคาประมาณ 9.0y)1.0(y 1 และ 1u)1.0(y 1

x

y

u

y

u

แทนสตร

2xy

uY;xF


โดยระเบยบวธออยเลอรดดแปลง (Modified Euler Method) สตรคอ

iii1iiii1i Y;xFhY;xFY;xF

2

hYY

ดงนน 00010001 Y;xFhY;xFY;xF2

hYY

1

9.0)

1

1;0(F)1.0(

1

1Y;xFhY 000

)1

9.0;1.0(F)Y;xFhY;x(F 0001

081.0

1

)9.0)(1.0(

12

จะไดวา

081.0

1

1

1;0F

2

1.0

1

1Y1

99595.0

9.0

081.0

1

0

105.0

1

1

ดงนนจะไดคาประมาณ 9.0y)1.0(y 1 และ 99595.0u)1.0(y 1

แทน

2xy

uY;xF


โดยระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4 สตรคอ

432101 KK2K2K6

1YY

0

1.0

10

11.0Y;xFhK 2001

1

95.0

0

1.0

2

1

1

1K

2

1Y 10

0045.0

1.0

95.005.0

11.0

2

KY;

2

hxFhK 2

1002

9978.0

95.0

0045.0

1.0

2

1

1

1K

2

1Y 20

0045.0

0998.0

95.005.0

9978.01.0

2

KY,

2

hxFhK 2

2003

9955.0

9002.0

0045.0

0998.0

1

1KY 30

0081.0

0996.0

9002.01.0

9955.01.0KY,xFhK 23014

ดงนน 432101 KK2K2K6

1YY

99565.0

90013.0

0081.0

096.0

0045.0

0998.02

0045.0

1.02

0

1.0

6

1

1

1

นนคอ 90013.01.0y และ 99565.01.0y

2xy

u

u

y

u

y

2xy

u

u

y


ตวอยาง (Sheet) จงใชระเบยบวธตวท านาย-ตวแก ABM4 เพอหาคา )4.0(y ของปญหาคาเรมตน 0yy เมอก าหนดเงอนไขเรมตน 10y , 10y และคาเรมตนดงตาราง

x y uy 0.0 1 -1

0.1 0.895171 -1.094838

0.2 0.781397 -1.1787736

0.3 0.659816 -1.250857

วธท า ก าหนดให 0x0 , ihxi , 1.0h

uy

yuy จะไดวา

u

yY และ

y

u)Y;x(F

1

1Y0 ,

094838.1

895171.0Y1 ,

178736.1

781397.0Y2 ,

250857.1

659816.0Y3

ดงนน

1

1)

1

1;0(F)Y;x(FF 000 ,

895171.0

094838.1

094838.1

895171.0)

1

1;1.0(F)Y;x(FF 111

ท านองเดยวกนจะได

781397.0

178736.1F2 และ

659816.0

250857.1F3

x y

u


ใชสตรตวท านาย-ตวแก ABM4

สตรตวท านาย 3i2i1iiip1i F9F37F59Fi55

24

hYY

012330

4 F9F37F59F5524

hYY

385074.1

440410.0

212204.32

657477.52

24

1.0

250857.1

659816.0

440410.0

385074.1)

385074.1

440410.0;4.0(F)Y;x(FF

044

04

สตรตวแก 3i2i1i1iic

1i FF5F19F924

hYY

307058.1

528845.0FF5F19F9

24

hYY 123

043

14

528845.0

307058.1)Y;x(FF

144

14

ท าซ าภายในตอไปจะได

310375.1

531770.0FF5F19F9

24

hYY 123

143

24

310484.1

531646.0Y

34

310480.1

531642.0Y

44

ดงนน 534

44 104.0YY

นนคอผลเฉลยมความแมนย า 5 D.P.

จะไดผลเฉลยคอ 53164.04.0y และ 31048.14.0y

1 ระเบยบวธผลตางสบเนองส าหรบปญหาคาขอบ

0

x n

x 1x

2x

2nx

1nx

ระเบยบวธการใชผลตางสบเนอง

ระเบยบวธนใชหาผลเฉลยของปญหาคาขอบของสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบสองทอยในรป

(*)------- xgyxqyxpy ; bxa

เมอก าหนดเงอนไขขอบคอ β)b(y,αay

เปลยนปญหาคาขอบในระบบตอเนอง ใหเปนปญหาในระบบไมตอเนอง ซงท าไดดงน

เปลยนโดเมนตอเนองของ x ในชวง b,a เปนเซตของจดแบงชวง คอ n10 x,,x,x

เปลยนสมการเชงอนพนธ เปนสมการผลตางสบเนองโดย

ii yxy 1i1iii yy

h2

1yxy

1ii1i2ii yy2yh

1yxy


แทนคาลงในสมการ (*) จะได )ix(giy)ix(q)1iy1iy(

h2

1)ix(p)1iyiy21iy(

2h

1

เมอ 1n,,2,1i

จดรปสมการใหมจะได

)x(ghy))x(p1(y))x(qh2(y))x(p1( i2

1i2

hii

21ii2

hi

เมอ 1n,,2,1i

แทนคา ix ทจดตางๆและคา n0 y,y (เงอนไขขอบทโจทยให) เมอ 1n,,2,1i จะไดระบบสมการเชงเสนมเมตรกซของสมประสทธเปนเมตรกซสามแนวเฉยงททราบคาทกตว

ระบบสมการนม 1n สมการ และม 1n ตวแปรคอ 1n21 y,,y,y

ถาเลอกขนาดของชวง h ทท าให M

2h โดยท xpmaxM

bxa

เมตรกซของสมประสทธในระบบสมการ

i2

1iiii2

1ii ghyp2

h1y2qhyp

2

h1

1n,,2,1i

จะมแนวทแยงมมขมแท จงมผลเฉลยแนนอนและมเพยงผลเฉลยเดยว


ตวอยาง (Sheet) พจารณาปญหาคาขอบ

xyyxy ,

เมอก าหนดเงอนไขขอบคอ 00y และ 01y จงหา

คาประมาณของ 5.0y โดยก าหนดให 4

1h

วธท า ให ii yxy

h2

yyxy 1i1i

i

2

1ii1ii

h

yy2yxy

แทนคาลงในสมการโจทย iiiii x)x(y)x(yx)x(y

ทจดแบง ix ตางๆสามารถประมาณไดดวย

ii1i1i

i21ii1i xy

h2

yyx

h

yy2y

จดรป

i2

i2

1i1ii

1ii1i xhyh)yy(2

hxyy2y

0x0 4

3x3

4

1x1

2

1x2

1x4


หรอ

i2

1ii

i2

1ii xhy

2

hx1y2hy

2

hx1

ส าหรบแตละคา i เราจะได

1i ; 12

21

12

01 xhy

2

hx1y2hy

2

hx1

2i ; 22

32

22

12 xhy

2

hx1y2hy

2

hx1

3i ; 32

43

32

23 xhy

2

hx1y2hy

2

hx1

แทนคา 4

1x,

4

1h 1 ,

2

1x2 ,

4

3x3

และเงอนไขขอบ 00yy0 , 01yyy 4n

จะไดระบบสมการ

046875.0y9375.1y90625.0

031250.0y0625.1y9375.1y9375.0

015625.0y03125.1y9375.1

32

321

21

ซงเขยนอยในรปเมทรกซไดเปน

046875.0

031250.0

015625.0

y

y

y

9375.190625.00

0625.19375.19375.0

003125.19375.1

3

2

1

ไดผลเฉลย 0562441.0y3 , 0685218.0y2 และ 044535.0y1

ดงนน 0685218.0y)5.0(y 2


ตวอยาง จงใชระเบยบวธการใชผลตางสบเนองแปลงปญหาคาขอบ xeyy2y พรอมดวยเงอนไขขอบคอ 10y และ 01y ใหเปนปญหาระบบสมการอนดบหนงไมตองหาคา วธท า ให ,yxy ii

h2

yyxy 1i1i

i

และ

21ii1i

ih

yy2yxy

แทนคาลงในสมการโจทย ixiii e)x(y)x(y2)x(y

จะได ixi

1i1i2

1ii1i eyh2

yy2

h

yy2y

จดรป ix21ii

21i ehyh1y2hyh1

แทนคา 25.0x,25.0h 1 , 5.0x2 , 75.0x3 จะไดระบบสมการ 080252.0y75.0y9375.1y25.1 210

103045.0y75.0y9375.1y25.1 321

132313.0y75.0y9375.1y25.1 432

แทนคาเงอนไขขอบ 10yy0 , 01yyy 4n 16975.1y75.0y9375.1 21 103045.0y75.0y9375.1y25.1 321

132313.0y9375.1y25.1 32

ไดระบบสมการตามตองการ

1 initial valued problems : multi step methodmaths.sci.ku.ac.th/angkana/01417268/slide268...

Documents