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1
Intégration numérique garantie de systèmes décrits par des équations différentielles non-linéaires
Application à l'estimation garantie d'état et de paramètres dans un contexte à erreur bornée.
T. RAISSI, N. RAMDANI et Y.CANDAU
Centre d’Etude et de Recherche en Thermique, Energétique et Systèmes Université Paris XII-Val de Marne, Créteil.
Centre d’Etudeset de Recherche en T hermique
Energétique et S ystèmes
C E R T E S
Groupe identification 26 Septembre 2002
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2
Plan
- Introduction- Rappel sur le développement de Taylor (pour les intervalles)- Application à l’estimation d’état pour les systèmes continus- Estimation de paramètres
- Conclusions et perspectives
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3
Estimation d’état : cas discret
x(k+1) = )(),( kukxf y(k) = g(x(k), u(k)) x(0) = x0
x IRn : vecteur d’état à estimer
y IRm : vecteur des mesures (sortie)
Deux types d’estimateur :
Estimateur causal (on n’a que les mesures des instants précédents)
Estimateur non causal ( on a toutes les mesures)
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4
Estimateur causal (Jaulin et al. 2001)
fx(0
)x(1)
x(n)
y(1)
g
y(n)
g
On attribue un domaine a priori pour l’état à chaque instant, puis on fait une propagation dans le sens direct
on trouve l’ensemble des valeurs de l’état qui sont cohérentes avec les mesures
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5
Algorithme State_estimation(Jaulin et al., 2001)
Entrée : [x(0)]
Pour k = 1 à N,
la mesure [y(k)] est disponible
[x](k) = f([x(k-1)]) g-1([y(k)])
Sortie : [x(1)], [x(2)] … [x(N)]
C’est un estimateur à deux étapes: prédiction et correction
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6
Systèmes continus
=x )(),( tutxf y = g(x(t), u(t)) x(t0) = x0
Calcul Symbolique Solution explicite
Inversion ensembliste
(SIVIA, CSP,…)
Généralement, PAS de solution EXPLICITE pour les systèmes non-linéaires
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7
=x )(txf y = g(x(t)) x(t0) = x0
Intégration de fx(0
)x(1)
x(n)
y(1)
g
y(n)
g
Pour estimer l’état à des instants définis, il faut intégrer numériquement l’équation d’état
Systèmes continus : suite
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8
Outils Mathématiques(Développement de Taylor: Rappel)
1
1
K
i
Si : IRn IRm CK dans un voisinage D d’un vecteur de réels a
Alors x D,
(x) = (a) + (i)(a) + rK(x)!
)(
p
ax p
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9
Application à l’intégration de l’équation d’état
=x )(txf
x(t0) = x0
Avec : h = tj+1 - tj
x(tj+1) = x(tj) +
1
0
k
ihi x[i](x(tj)) + hk x[k]( )jx~Taylor
x[i] : le ième coefficient de Taylor
x[i] = i
i
t
x
i
!
1
Si f : IRn IRm est de classe Ck
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10
t
x
x[1] = = f(x) = f[1]
t
x
x[2] = 2
2
2
1
t
x
= ( ) = (f(x)) = = J(f[1])f = f[2]
t
2
1
t
x
x
f
]1[
2
1
t
2
1
2
1
Calcul explicite des coefficients de Taylor
Méthode récursive pour calculer les coefficients de Taylor
t
x
i
)!1(
1x[i] = i
i
t
x
i
!
1= ( ) = (f[i-1]) =
ti 1
t
x
x
f
i
i
]1[1
ti 1
= = f[i]ffJi
i )(1 ]1[ f[i]
A chaque pas, calcul du jacobien du coefficient précédent
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Développement de Taylor(version Intervalles)
=x )(txf
x(t0) = [x0]
Ce calcul se fait en 2 étapes :
1) Trouver un encadrement a priori de la solution qui garantit que: t [tj, tj+1], xt [ ]
2) Utiliser un développement de Taylor pour réduire cet encadrement
Améliorer la qualité de la solution
jx~
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Intégration des équations d’état
Calcul d’une solution a priori contenant de manière garantie la solution exacte: Théorème du point fixe + l’opérateur de Picard Lindelöf (Nedialkov, 1997)
Tel que : [xj] + f([w])[0,h] [w]
Pour faire le développement de Taylor (intervalle) on remplace chaque occurrence de x par un intervalle [x] :
[x(tj+1)] = [x(tj)] +
1
0
k
i hi f[i] ([x(tj)]) + hk f[k]([ ])jx~
Trouver [w]
Problème de surestimation
w([xj+1])=w([xj])+ hi w(f[i] ([x(tj)])) +w( f[k]([ ])) ≥ w([xj])jx~
1
0
k
i
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Valeur Moyenne
x, y [a],
(y) (x) + ’([a])([a] – x) : forme moyenne
: IRn IR, une fonction dérivable dans un domaine [a]
i-ème coefficient de Taylor avec la forme moyenne :
jx̂ [xj] qui peut être le milieu de [xj]
jx̂ jx̂f[i] ([xj]) f[i]( ) + J(f[i], )([xj] - ), jx̂ i = 1,…,k
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Taylor + forme moyenne(Nedialkov et Al. 1997)
Développement de Taylor pour l’état x avec la forme moyenne pour les coefficients de Taylor :
jx̂
+
jx̂ jx~
jx̂
[xj+1] = +
1
0
k
ihi f[i] ( ) + hkf[k]( )
I + hjJ(f[i],[xj])([xj] - )
1
0
k
i
= [Vj+1] + [Sj]([xj] - ) jx̂
jx̂jx~hi f[i] ( ) + hkf[k]( ) [Vj+1] = +
1
0
k
ijx̂
[Sj] = I + hjJ(f[i],[xj])
1
0
k
i
C’est une méthode directe pour intégrer une équation différentielle
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Algorithme de la méthode directe
[xj+1] = [Vj+1] + [Sj]([xj] - ) jx̂
Entrées : [x0], h
pour j = 1 à N, calculer :
Sorties : [x1], [x2],…, [xN]
jx̂
1
0
k
i
hi f[i] ( ) + hkf[k]([ ] ) [Vj+1] = +
1
0
k
ijx̂
[Sj] = I + hjJ(f[i],[xj])
jx~
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Inconvénient : surestimation
[x1] = [V1] + [S0]([x0] - ) 0x̂
[x2] = [V2] + [S1]([x1] - ) 1x̂
[x2] = [V2] + [S1]([V1] - ) + 1x̂ [S1]([S0]([x0] - ) 0x̂
[xj+1] = [Vj+1] + [Sj]([Vj] - ) + jx̂ [Sj]([Sj-1]([Vj-1] - ) 1ˆ jx
+ + [Sj]([Sj-1]([Sj-2](…([S0]([x0] - ) 0x̂w([Sj]([Sj-1]([Sj-2](…([S0]([x0] - )) >>0x̂ w(([Sj][Sj-1][Sj-2]…[S0])([x0] - ) )0x̂
Une grande surestimation introduite à chaque pas
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Méthode de la valeur moyenne étendue
(Rihm, 1994)Initialisation : [x0], [p0], A0 = I
Pour j = 1 à N, calculer :
1) Un encadrement à priori [ ] pour la solution
2)
jx~
jx̂jx~hi f[i] ( ) + hkf[k]( ) [Vj+1] = +
1
0
k
ijx̂
[Sj] = I + hjJ(f[i],[xj])
[qj+1] = ([Sj]Aj)[pj] + [Sj]([Vj] - )
1
0
k
i
jx̂
[xj+1] = [Vj+1] + [qj+1]
jx̂
Sorties : x1, x2, …, xN
[pj+1] = ( ([Sj]Aj)[pj] + ( [Sj])([Vj] - )11
jA 1
1jA
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Application à l’estimation d’état
Deux étapes à chaque pas : Prédiction et Correction
Algorithme
Entrées : [x0] , [p0], A = I
Pour j = 1 à N
1) Etape de prédiction : calculer [xj+1] par Intégration de f avec la Méthode de la valeur moyenne étendue
2) Etape de correction :
[xj+1] = [xj+1] g-1([yj+1])
Sorties : [x1], [x2], … , [xN]
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Exemple (Lotka-Volterra)
2x
= (1 – 0.01 x2)x1
= (-1 + 0.002x1)x2
1x
y = x1(t) + x(t0) = [x0]
[x(t0)] = [49, 51][49, 51]
h = 0.005
Bruit numérique de 5% de la mesure
Modèle de Taylor d’ordre 4
Nombre de pas N = 1400
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Résultats
Sans mesures Avec mesure
Les mesures permettent de réduire le phénomène d’enveloppement
Prédiction assez bonne
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Estimation de paramètres
=x ptxf ),( y = g(x(t), p) x(t0) = x0
Estimation des paramètres p : trouver l’ensemble des paramètres tel que le système précédent possède une solution
IP = {p IRnp | t IR, g(x(t,p)) [y(t)] }
Trouver l’ensemble des paramètres qui sont cohérents avec les mesures et avec l’état prédit
Soit param_estimation_test un test qui peut prendre trois valeurs { vrai, faux, indéterminé}
Vrai : Si g(x,p) [y]
Faux : Si g(x,p) [y] =
Indéterminé sinon
param_estimation_test
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Algorithme Parameter estimation( SIVIA, Jaulin et al. 1993)
Entrées : f, g, [p], , [x0], [y1], [y2], …,[yN]
1) Si param_estimation_test (p) = faux; fin // [p] n’est pas une
solution
2) Si param_estimation_test (p) = vrai
IPin [p] ;
3) Si w(p) <
IPind [p]
4) bissecter ([p] en [p1] et [p2]) et aller à 1)
Sorties : IPin , IPout = IPin IPind
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23
2x
= (1 – p1 x2)x1
= (-1 + p2x1)x2
1x
y = x1(t)) + x(t0) = [x0]
[x(t0)] = [49, 51][49, 51]
h = 0.005
[p0] = [-1,1][-1,1]
Exemple
Erreur maximale de 5%
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Conclusions
Résolution des équations différentielles à l’aide du développement
de Taylor
Application à l’estimation d’état dans le cas des systèmes continus :
des résultats relativement corrects si on fait attention au phénomène
de surestimation.
Faisabilité de l’estimation de paramètres sans discrétisation de
l’équation d’état grâce à une intégration numérique garantie de
l’équation d’état
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Perspectives
On propose de réaliser un estimateur non causal pour réduire l’effet
de surestimation en utilisant des techniques de propagation de
contraintes
Appliquer ces algorithmes pour l’estimation de paramètres
thermiques