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Universidade Federal de Campina GrandeCentro de Engenharia Eletrica e Informatica

Ondas e LinhasProf. Dr. Helder Alves Pereira

Lista de exercıcios

1 Introducao as linhas de transmissao

1.1 Notas de Aula

1.1.1 Exercıcio 1

Dado que−→A = 10cos(108t − 10x + 60o)az e

−→B S = (20

j)ax + 10ej

2πx3 ay, expresse

−→A

na forma fasorial e−→B S na forma instantanea.

RESPOSTA:−→A S = 10ej(−10x+60o)az;

−→B = 20cos(wt− π

2)ax + 10cos(wt+ 2π

3)ay.

1.1.2 Exercıcio 2

Se−→P = 2sen(10t + x − π

4)ay e

−→QS = sen(πy)ejx(ax − ay), determine

−→P na forma

fasorial e−→QS na forma instantanea.

RESPOSTA:−→P S = 2ej(x−

3π4

)ay;−→Q = sen(πy)cos(wt+ x)(ax − ay).

1.1.3 Exercıcio 3

Considerando a propagacao de uma onda plana em um dieletrico sem perdas, de-termine a expressao da constante de atenuacao e de fase.

RESPOSTA:α = 0 Np/m e β = ω

√µε rad/m.

2 Parametros e modelos de elementos distribuıdos

2.1 Notas de Aula

2.1.1 Exercıcio 1

Uma linha de transmissao planar, preenchida com ar, com w = 30 cm, d = 1, 2 cm et = 3 mm, tem placas condutoras com σC = 7 × 107 S/m. Calcule R, L, C e G em500 MHz.

RESPOSTA:R = 0, 035 Ω/m; L = 50, 30 nH/m; G = 0 S/m e C = 221, 00 pF/m.

2.1.2 Exercıcio 2

Os fios de conexao de cobre de um diodo tem 16 mm de comprimento e raio de0, 3 mm. Eles estao separados por uma distancia de 2 mm, conforme ilustrado naFigura ??. Encontre a capacitancia entre os fios e a resistencia CA em 10 MHz.Considere σC = 5, 8× 107 S/m.

RESPOSTA:R = 0, 014 Ω e C = 0, 24 pF.

1

Figura 1: Diodo.

2.2 Exercıcios Propostos

2.2.1 Exercıcio 1

O cabo coaxial RG-223 /U possui um condutor interno de raio a = 0, 47 mm e umraio interno do condutor externo b = 1, 435 mm. O condutor e o cobre (σC =5, 8 × 107 S/m) e o dieletrico e o polietileno (εr = 2, 3). Calcule os parametrosdistribuıdos a 800 MHz.

RESPOSTA:R = 3, 32 Ω/m; L = 223, 00 nH/m; G = 0 S/m e C = 115, 00 pF/m.

2.2.2 Exercıcio 2

Calcule os parametros distribuıdos a 1 MHz para um cabo com condutor gemeo,formado por condutores de cobre (σC = 5, 8 × 107 S/m) AWG 26 com os centrosseparados, no ar, por 1, 0 cm.

RESPOSTA:R = 0, 41 Ω/m; L = 1, 56µH/m; G = 0 S/m e C = 7, 13 pF/m.

3 Equacoes de linhas de transmissao

3.1 Notas de Aula

3.1.1 Exercıcio 1

Encontrar as equacoes da linha de transmissao considerando o circuito equivalentetipo T.

RESPOSTA:− ∂∂zV (z, t) = RI(z, t) + L ∂

∂tI(z, t) e − ∂

∂zI(z, t) = GV (z, t) + C ∂

∂tV (z, t).

3.1.2 Exercıcio 2

Encontrar as equacoes da linha de transmissao considerando o circuito equivalentetipo Π.

RESPOSTA:− ∂∂zV (z, t) = RI(z, t) + L ∂

∂tI(z, t) e − ∂

∂zI(z, t) = GV (z, t) + C ∂

∂tV (z, t).


3.2.1 Exercıcio 1

Uma linha telefonica tem os seguintes parametros: R = 40 Ω/m, G = 400µS/m,L = 0, 2µH/m e C = 0, 5 nF/m.

• Se a linha opera em 10 MHz, calcule a impedancia caracterıstica Zo e a velo-cidade u.

2

• Depois de quantos metros a tensao na linha cai de 30 dB?

RESPOSTA:Zo = (29, 59− j21, 43) Ω; u = 0, 68× 108 m/s e d = 5, 08 m.

4 Impedancia de entrada e ROE

4.1 Notas de Aula

4.1.1 Exercıcio 1

Um transmissor operando em 300 MHz e ligado a uma antena atraves de um cabocoaxial RG058 com 30 m de comprimento. A relacao de onda estacionaria medidana entrada do cabo (saıda do transmissor) foi de 1, 2. Calcule a ROE da antena. Ocabo coaxial RG058 apresenta em 300 MHz, segundo o fabricante, uma atenuacaode 29, 10 dB/100 m.

RESPOSTA:s = 5, 10.

4.1.2 Exercıcio 2

Considere a mesma situacao do Exercıcio 10, somente trocando o cabo RG058 poroutro do tipo RGC058. O cabo coaxial RGC058 apresenta em 300 MHz, segundo ofabricante, uma atenuacao de 16, 64 dB/100 m.

RESPOSTA:s = 1, 82.


4.2.1 Exercıcio 1

Um cabo coaxial de 50 Ω alimenta uma antena dipolo cuja impedancia e 75 + j20 Ω.Encontre Γ e s.

RESPOSTA:Γ = 0, 22 + j0, 12 e s = 1, 68.

4.2.2 Exercıcio 2

Mostre que uma linha de transmissao com perdas, de comprimento l, tem uma im-pedancia de entrada Zcc = Zotgh(γl), quando curto-circuitada, e Zca = Zocotgh(γl),quando em circuito aberto.

RESPOSTA:Deducao.

4.2.3 Exercıcio 3

Encontre a impedancia de entrada do cabo coaxial curto-circuitado, se Zo = 65 +j38 Ω, γ = 0, 7 + j2, 5 /m e l = 0, 8 m.

RESPOSTA:Zent|cc = (113, 02 + j2, 73) Ω.

3

4.2.4 Exercıcio 4

Para a linha de transmissao sem perdas da Figura ??:

• encontre Γ e s;

• determine a impedancia Zent vista pelo gerador.

Figura 2: Linha de transmissao.

RESPOSTA:Γ = 0, 41; s = 2, 40 e Zent = (26, 26− j22, 55) Ω.

4.2.5 Exercıcio 5

Tres linhas de transmissao estao conectadas conforme a Figura ??. Determine Zent.


RESPOSTA:Zent = (38, 93− j57, 06) Ω.

4.2.6 Exercıcio 6

Considere o quadripolo mostrado na Figura ?? (a). A relacao entre as variaveis deentrada e de saıda pode ser escrita como:

V1 = AV2 −BI2 (1)

I1 = CV2 −DI2 (2)

Mostre que, para a linha com perdas da Figura ?? (b), A = cosh(γl), B =Zosenh(γl), C = 1

Zosenh(γl) e D = cosh(γl).

RESPOSTA:Deducao.

4

Figura 4: (a) quadripolo e (b) linha de transmissao com perdas.

4.2.7 Exercıcio 7

Uma linha sem perdas de 50 Ω tem 4, 2 m de comprimento. Para uma frequenciade operacao de 300 MHz, a impedancia no centro da linha e 80 − j60 Ω. Encontrea impedancia de entrada vista pelo gerador e o coeficiente de reflexao da tensao nacarga. Considere u = 0, 8c.

RESPOSTA:Zent = (21, 62− j20, 27) Ω e Γ = 0, 29 + j0, 37.

4.2.8 Exercıcio 8

Uma linha de 60 Ω no ar, operando em 20 MHz, tem 10 m de comprimento. Se aimpedancia de entrada e 90 + j150 Ω, calcule ZC , Γ e s.

RESPOSTA:ZC = (10, 24 + j13, 64) Ω e Γ = −0, 65 + j0, 32 e s = 6, 17.

4.2.9 Exercıcio 9

Uma linha de transmissao de 75 Ω e terminada por uma carga de impedancia ZC .Se a linha tem um comprimento de 5λ/8, calcule Zent quando:

• ZC = j45 Ω;

• ZC = 25− j65 Ω.

RESPOSTA:Zent = j300 Ω e Zent = (13, 91 + j2, 87) Ω.

5 Transferencia de potencia

5.1 Notas de Aula

5.1.1 Exercıcio 1

Certa linha de transmissao, que opera a ω = 106 rad/s, tem α = 8 dB/m, β =1 rad/m, Zo = 60 + j40 Ω e tem 2 m de comprimento. Se a linha esta conectada auma fonte de 106 0o V, Zg = 40 Ω e esta terminada por uma carga de 20 + j50 Ω,determine:

• a impedancia de entrada;

• a corrente na entrada da linha;

5

• a corrente na metade da linha.

RESPOSTA:Zent = (60, 25 + j38, 78) Ω; I = (6, 53 + j1, 34) A e I = (6, 82 + j1, 34) A.

5.1.2 Exercıcio 2

Uma linha de transmissao de 40 m de comprimento, mostrada na Figura ?? queopera a ω = 106 rad/s, tem Vg = 156 0o Vrms, Zo = 30+ j60 Ω e VC = 56 −48o Vrms.Se a linha esta casada com a carga, determine:


• a impedancia de entrada Zent;

• a corrente Ient e a tensao Vent na entrada da linha;

• a constante de propagacao γ.

RESPOSTA:Zent = (30 + j60) Ω; I = 50 mA; V = 7, 5 V e γ = (0, 01 + j0, 014) m−1.


5.2.1 Exercıcio 1

Se uma potencia de 1, 0 W e injetada em um cabo coaxial e 1, 0µW de potencia emedido a 100 m do ponto de injecao na linha, qual e a atenuacao da linha em dB/m?

RESPOSTA:α = 0, 60 dB/m.

6 Tipos de linhas de transmissao

6.1 Notas de Aula

6.1.1 Exercıcio 1

Considere o circuito da linha de transmissao sem perdas da Figura ??. Determinea tensao sobre a carga de 100 Ω.

RESPOSTA:VC = (5− j8, 66) V.

6


6.1.2 Exercıcio 2

Uma linha de transmissao no ar tem impedancia caracterıstica de 70 Ω e constantede fase de 3 rad/m a 100 MHz. Calcule a indutancia por metro e a capacitancia pormetro da linha.

RESPOSTA:L = 334, 20 nH/m e C = 68, 21 pF/m.

6.1.3 Exercıcio 3

Uma linha de transmissao, operando em 500 MHz, tem Zo = 80 Ω, α = 0, 04 Np/m,β = 1, 5 rad/m. Encontre os parametros da linha R, L, G e C.

RESPOSTA:R = 3, 20 Ω/m; L = 38, 20 nH/m; G = 500µS/m e C = 6, 00 pF/m.

6.1.4 Exercıcio 4

Uma linha sem distorcao tem Zo = 60 Ω, α = 20 mNp/m e u = 0, 6c, onde c e avelocidade da luz no vaculo. Encontre R, L, G, C e λ a 100 MHz.

RESPOSTA:R = 1, 20 Ω/m; L = 333, 30 nH/m; G = 333, 30µS/m e C = 92, 59 pF/m.

6.1.5 Exercıcio 5

Uma linha telefonica tem R = 30 Ω/km, L = 100 mH/km, G = 0 Ω−1/km e C =20µF/km. Para f = 1 kHz, obtenha:

• a impedancia caracterıstica da linha;

• a constante de propagacao;

• a velocidade de fase.

RESPOSTA:Zo = (70, 73− j1, 69) Ω; γ = (0, 21 + j8, 88) m−1 e u = 706, 93 km/s.

7


6.2.1 Exercıcio 1

Uma linha sem distorcao, que opera em 120 MHz, tem R = 20 Ω/m, L = 0, 3µH/me C = 63 pF/m.

• Determine γ, u e Zo.

• Que distancia se propagara uma onda de tensao antes que sua amplitude caiapara 20 % do valor inicial?

• Que distancia a onda deve se propagar para sofrer uma mudanca de fase de45o?

RESPOSTA:γ = (0, 29 + j3, 28) m−1; u = 2, 30 times108 m/s; Zo = 69 Ω; lα = 5, 55 m e

lβ = 0, 24 m.

6.2.2 Exercıcio 2

Mostre que para uma linha bifilar sem perdas:

• A velocidade de fase u = c = 1√LC

.

• A impedancia caracterıstica Zo = 120√εrcosh−1 d

2a

O resultado do primeiro item e verdadeiro para outras linhas de transmissao semperdas?

RESPOSTA:Deducao; Deducao e Sim.

6.2.3 Exercıcio 3

O par trancado, que pode ser aproximado pela linha bifilar, e muito utilizado naindustria telefonica. Considere uma linha formada por dois fios de cobre de 0, 12 cmde diametro cuja separacao entre centros e de 0, 32 cm. Se os fios estao separadospor um dieletrico com ε = 3, 5ε0, encontre L, C e Zo.

RESPOSTA:L = 654, 70 nH/m; C = 59, 45 pF/m e Zo = 104, 94 Ω.

6.2.4 Exercıcio 4

Uma linha sem perdas tem uma onda de tensao dada por V (z, t) = V0sen(ωt− βz).Encontre a onda de corrente correspondente.

RESPOSTA:

I(z, t) = Vo

√CLsen(ωt)− βzA.

8

6.2.5 Exercıcio 5

Em uma linha sem distorcao, a onda de tensao e dada por V (l′) = 120e0,0025l

′cos(108t+

2l′)+60e−0,0025l

′cos(108t−2l

′), onde l

′e a distancia a partir da carga. Se ZC = 300 Ω,

encontre:

• α, β e u.

• Zo e I(l′).

RESPOSTA:α = 0, 0025 Np/m; β = 2 rad/m; u = 5 × 107 m/s; Zo = − 300

1+2eγlΩ e IS(l′) =

60Zoe−γz − 120

Zoeγz.

6.2.6 Exercıcio 6

Uma linha coaxial com 5, 6 m de comprimento tem como parametros distribuıdosR = 6, 5 Ω/m, L = 3, 4µH/m, G = 8, 4 mS/m e C = 21, 5 pF/m. Se a linha operaem 2 MHz, calcule a impedancia caracterıstica e o tempo de propagacao entre osextremos da linha.

RESPOSTA:Zo = (55, 13 + j45, 86) Ω e t = 178, 30 ns.

6.2.7 Exercıcio 7

Uma linha de transmissao sem perdas, operando em 4, 5 GHz, tem L = 2, 4µH/m eZo = 85 Ω. Calcule a constante de fase β e a velocidade de fase u.

RESPOSTA:β = 798, 33 rad/m e u = 3, 54× 107 m/s.

6.2.8 Exercıcio 8

Uma linha planar sem perdas de 78 Ω foi projetada, mas nao alcancou seus objetivos.Que fracao da largura da fita deve ser adicionada ou removida para se alcancar aimpedancia caracterıstica de 75 Ω?

RESPOSTA:4 % adicionada.

6.2.9 Exercıcio 9

Uma linha sem perdas de 500 Ω tem VC = 10ej25o V e ZC = 50ej30o Ω. Encontre acorrente a λ

8da carga.

RESPOSTA:I = (0, 15− j0, 03 A.

6.2.10 Exercıcio 10

Uma linha sem perdas de 60 Ω e conectada a um gerador, que tem Vg = 106 0o Vrmse Zg = 50 − j40 Ω, e e terminada por uma carga de j40 Ω. Se a linha tem umcomprimento de 100 m e β = 0, 25 rad/m, calcule Zent e V :

• na extremidade de emissao;

• na extremidade de recepcao;

9

• a 4 m da carga;

• a 3 m do gerador.

RESPOSTA:Zent = j29, 37 Ω e V = (−1, 19 + j5, 62) V. Zent = j40 Ω e V = j(−1, 51 +

j7, 09) V. Zent = −j3, 49 × 103 Ω e V = (−2, 72 + j12, 78) V. Zent = −j18, 22 Ω eV = (0, 79− j3, 71) V.


Uma linha de transmissao sem perdas, com impedancia caracterıstica 75 Ω, e termi-nada por uma carga de 120 Ω. A linha tem um comprimento de 1, 25λ. Se a linhafor energizada por uma fonte de 100 Vrms com uma impedancia interna de 50 Ω,determine:

• a impedancia de entrada;

• a amplitude de tensao na carga.

RESPOSTA:Zent = 46, 87 Ω e V = −j77, 42 V.

7 A carta de Smith

7.1 Notas de Aula

7.1.1 Exercıcio 1

Localizar na carta de Smith as impedancias:

• z = 2 + j;

• z = 1− j0, 5.

RESPOSTA:Localizacao na Carta de Smith.

7.1.2 Exercıcio 2

Localizar na carta de Smith as impedancias das cargas iguais a:

• 100 + j50 Ω;

• 50− j25 Ω.

Considere a impedancia caracterıstica da linha de transmissao igual a 50 Ω.RESPOSTA:Localizacao na Carta de Smith.

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7.1.3 Exercıcio 3

Uma linha de transmissao sem perdas, de 30 metros de comprimento, com Zo = 50 Ωe operando em 2 MHz e terminada com uma carga ZC = 60+ j40 Ω. Se a velocidadede propagacao na linha e u = 0, 6c, determine:

• o coeficiente de reflexao Γ;

• a relacao de onda estacionaria s;

• a impedancia de entrada.

RESPOSTA:0, 356 53, 5o; 2, 1; Zent = 25 + j4 Ω.

7.1.4 Exercıcio 4

Uma linha de transmissao sem perdas de 70 Ω tem s = 1, 6 e θΓ = 300o. Se a linhatem um comprimento de 0, 6λ, obtenha:

• Γ, ZC e Zent;

• a distancia do primeiro mınimo de tensao a carga.

RESPOSTA:0, 24; (79, 8− j35) Ω; (47, 6− j22, 4) Ω; 0, 17λ.

7.1.5 Exercıcio 5

Uma carga de 100 + j150 Ω e conectada a uma linha de transmissao sem perdas de75 Ω. Encontre:

• Γ;

• s;

• a admitancia da carga YL;

• Zent a 0, 4λ da carga;

• a localizacao de VMax e VMin com relacao a carga, se a linha tiver um compri-mento de 0, 6λ;

• Zent no gerador.

RESPOSTA:0, 666 38, 8o; 5, 0; 2, 93−j4, 53 mS; (18, 0+j31, 5) Ω; MAX: 0, 054λ; mın: 0, 304λ;

(138− j166, 50) Ω.

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7.1.6 Exercıcio 6

Uma linha de transmissao sem perdas de 60 Ω e terminada por uma carga de 60 +j60 Ω.

• Encontre Γ e s. Se Zent = 120−j60 Ω, qual e a distancia (em comprimentos deonda) entre o gerador e a carga? Resolva sem a utilizacao da carta de Smith;

• Resolva o item anterior usando a carta de Smith. Calcule Zent,Max e Zent,Min.Qual e a distancia (em comprimentos de onda) entre o primeiro maximo detensao e a carga?

RESPOSTA:0, 466 63, 8o; 2, 8; 0, 125λ; 168 Ω; 21, 42 Ω; 0, 088λ.


7.2.1 Exercıcio 1

Posicione em uma Carta de Smith as seguintes impedancias de carga terminandouma linha de transmissao de 50 Ω:

• ZC = 200 Ω;

• ZC = j25 Ω;

• ZC = 50 + j50 Ω;

• ZC = 25− j200 Ω.

RESPOSTA:Localizacao na Carta de Smith.

7.2.2 Exercıcio 2

Uma linha de transmissao de 75 Ω e terminada por uma carga de 120 + j80 Ω.

• Encontre Γ e s.

• Determine a que distancia da carga a impedancia e puramente resistiva.

RESPOSTA:0, 446 38o; 2, 62; 0, 053λ.

7.2.3 Exercıcio 3

Determine a impedancia de entrada normalizada a λ/8 da carga se:

• a impedancia normalizada da linha e 2 + j;

• a admitancia normalizada e 0, 2− j0, 5;

• o coeficiente de reflexao na carga e 0, 3 + j0, 4.

RESPOSTA:(0, 95− j1, 02); (1, 4− j2, 4); (1, 70− j1, 38).

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7.2.4 Exercıcio 4

Uma linha de transmissao e terminada por uma carga com admitancia YC = 0,6+j0,8Zo

.Encontre a impedancia normalizada a λ/6 da carga.

RESPOSTA:0, 35 + j0, 24.

8 Aplicacoes de linhas de transmissao

8.1 Notas de Aula

8.1.1 Exercıcio 1

Uma linha sem perdas, de impedancia caracterıstica de 300 Ω, trabalhando nafrequencia de 100 MHz e ligada a uma carga ZC = (77, 6 − j49, 4) Ω. Projete umtoco simples (em curto circuito) para realizar o casamento da carga.

RESPOSTA:l = 0, 046λ; d = 0, 409λ.

8.1.2 Exercıcio 2

Com uma carga desconhecida conectada a uma linha fendida no ar, e medido umvalor de s = 2, pelo indicador de ondas estacionarias, e sao observados mınimos detensao em 11 cm, 19 cm, ... Quando a carga e substituıda por um curto, os mınimospassam para 16 cm, 24 cm, ... Se Zo = 50 Ω, determine λ, f e ZC .

RESPOSTA:16 cm; 1, 875 GHz; ZC = (71, 5 + j36, 5) Ω.

8.1.3 Exercıcio 3

As seguintes medidas foram obtidas usando a tecnica da linha fendida: com carga,s = 1, 8, VMax ocorreu em 23 cm, 33, 5 cm, ...; com curto-circuito, s = ∞, VMax

ocorreu em 25 cm, 37, 5 cm, ... Se Zo = 50 Ω, determine ZC .RESPOSTA:ZC = (36− j24) Ω.

8.1.4 Exercıcio 4

Uma antena com impedancia de 40 + j30 Ω deve ser casada a uma linha de trans-missao sem perdas de 100 Ω, com um toco curto-circuitado. Determine:

• a admitancia necessaria do toco;

• a distancia entre o toco e a antena;

• o comprimento do toco;

• a razao de onda estacionaria em cada parte do sistema.

RESPOSTA:j11 mS; 0, 032λ; 0, 382λ; Entre o toco e a carga: 2, 8; Antes do toco: 1, 0; No

toco: ∞.

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8.1.5 Exercıcio 5

Uma linha de transmissao sem perdas de 75 Ω deve ser casada a uma carga de100 − j80 Ω com um toco curto-circuitado. Calcule o comprimento do toco, a suadistancia da carga e a sua admitancia necessaria.

RESPOSTA:0, 631λ; 0, 09λ; −j12, 27 mS.


8.2.1 Exercıcio 1

Uma linha de transmissao de 80 Ω, que opera em 12 MHz, e terminada por umacarga ZC . A 22 m da carga, a impedancia de entrada e 100− j120 Ω. Se u = 0, 8c:

• calcule ΓC , Zent,Max e Zent,Min;

• calcule ZC , s e a impedancia de entrada a 28 m da carga;

• quantos Zent,Max e Zent,Min existem entre a carga e a impedancia de entradade 100− j120 Ω?

RESPOSTA:0, 576 24, 2o; Zent,MAX = 288 Ω; Zent,min = 21, 36 Ω; ZC = (192+j128) Ω; s = 3, 6;

Zent:28m = (37, 6 + j61, 6) Ω; # Zent,MAX = 03; # Zent,min = 02.

8.2.2 Exercıcio 2

Uma antena, conectada a uma linha sem perdas de 150 Ω, produz uma relacao deonda estacionaria de 2, 6. Se as medidas indicam que os maximos de tensao estaoseparados por 120 cm e que o ultimo maximo esta a 40 cm da antena, calcule:

• a frequencia de operacao;

• a impedancia da antena;

• o coeficiente de reflexao. Suponha que u = c.

RESPOSTA:f = 125 MHz; ZC = (78 + j84) Ω; 0, 466 110o.

8.2.3 Exercıcio 3

A relacao de onda estacionaria observada em uma linha de transmissao sem perdasde 100 Ω e 8. Se o primeiro maximo de tensao ocorre a 0, 3λ da carga, calcule aimpedancia da carga e o coeficiente de reflexao de tensao na carga.

RESPOSTA:ZC = (18− j32) Ω; 0, 786 − 144o.

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8.2.4 Exercıcio 4

Uma linha de transmissao de 50 Ω e terminada por uma carga com impedanciadesconhecida. A relacao de onda estacionaria na linha e s = 2, 4 e um maximo detensao e observado a λ/8 da carga.

• Determine a impedancia da carga.

• Qual a distancia entre o primeiro mınimo de tensao e a carga?

RESPOSTA:ZC = (35 + j35) Ω; 0, 375λ.

8.2.5 Exercıcio 5

Uma linha sem perdas de 75 Ω e terminada por uma impedancia de carga desconhe-cida ZC . A uma distancia 0, 2λ da carga, a tensao e VS = 2 + jV e a corrente e10 mA. Encontre ZC e s.

RESPOSTA:ZC = (22, 5 + j6, 38) Ω; s = 3, 42.

8.2.6 Exercıcio 6

Dois transformadores de λ/4 sao usados, em cascata, para conectar uma linha de50 Ω a uma carga de 75 Ω, conforme a Figura ??.


• Determine a impedancia caracterıstica Zo1 se Zo2 = 30 Ω e se nao houver ondarefletida a esquerda de A.

• Se os melhores resultados sao obtidos quando:

(ZoZo1

)2 =Zo1Zo2

= (Zo2ZC

)2 (3)

determine Zo1 e Zo2.

RESPOSTA:12 Ω; 55, 33 Ω; 67, 77 Ω.

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8.2.7 Exercıcio 7

Duas antenas identicas, cada uma com impedancia de 74 Ω, sao alimentadas por treslinhas de transmissao sem perdas, de quarto de onda, de 50 Ω, identicas, conformemostrado na Figura ??. Calcule a impedancia de entrada na extremidade da fonte.

RESPOSTA:148 Ω.

8.2.8 Exercıcio 8

Se a linha do exercıcio anterior e conectada a uma fonte de tensao de 120 V comimpedancia interna de 80 Ω, calcule a potencia media fornecida a cada antena.

RESPOSTA:10, 32 W.

8.2.9 Exercıcio 9

Considere as tres linhas sem perdas da Figura ??. Se Zo = 50 Ω, calcule:


• Zent na entrada da linha 1;

• Zent na entrada da linha 2;

• Zent na entrada da linha 3.

RESPOSTA:12, 5 Ω; ∞Ω; 200 Ω.

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Uma secao de uma linha de transmissao sem perdas e colocada em paralelo comuma linha principal, conforme a Figura. Se l1 = λ/4, l2 = λ/8 e l3 = 7λ/8, encontreyent1, yent2 e yent3, sabendo que Zo = 100 Ω e ZC = 200 + j150 Ω. Repita o calculopara o caso em que a linha em paralelo esta em circuito aberto.


RESPOSTA:Em curto circuito: Yent1 = (20 + j15) mS; Yent2 = −j10 mS; Yent3 = (6, 4 +

j5, 2) mS. Em circuito aberto: Yent1 = (20 + j15) mS; Yent2 = j10 mS; Yent3 =(2, 46 + j5, 69) mS.


Deseja-se casar uma linha de 50 Ω a uma carga com impedancia de 60 − j50 Ω.Projete um toco em circuito aberto de 50 Ω para esta finalidade. Encontre o com-primento da linha e sua distancia da carga.

RESPOSTA:l = 0, 0825λ e d = 0, 384λ.


Um toco em circuito aberto de 0, 12λ de comprimento e usado para casar uma linhasem perdas de 60 Ω a uma carga. Se o toco esta localizado a 0, 3λ da carga, calcule:

• a impedancia da carga ZC ;

• a relacao de onda estacionaria observada entre o toco e a carga.

RESPOSTA:ZC = (123 + j66) Ω; s = 2, 8.


Medidas em uma linha sem perdas indicam s = 4, 2, com o primeiro maximo detensao a λ/4 da carga. Determine a que distancia da carga deve ser colocado umtoco curto-circuitado e calcule o seu comprimento.

RESPOSTA:l = 0, 304λ e d = 0, 089λ.

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Uma linha sem perdas de 60 Ω, terminada por uma carga ZC , tem uma onda detensao conforme a Figura ??. Encontre s, Γ e ZC .


RESPOSTA:s = 4; ΓC = 0, 66 − 90o; ZC = (27− j52, 8) Ω.


As medidas que seguem foram realizadas em uma linha fendida de 50 Ω. Com cargas = 3, 2 e VMin consecutivos a 12 cm e a 32 cm (os valores mais observados para olado da carga). Com curto-circuito, VMin ocorre a 21 cm. Encontre a frequencia deoperacao e a impedancia da carga.

RESPOSTA:f = 0, 75 GHz; ZC = (130− j60) Ω.


Uma linha fendida de 50 Ω no ar e usada para medir uma impedancia de carga.Mınimos adjacentes foram encontrados a 14 cm e a 22, 5 cm da carga, quando acarga desconhecida esta conectada, e VMax = 0, 95 V e VMin = 0, 45 V. Quando acarga e substituıda por um curto-circuito, os mınimos se deslocam 3, 2 cm em direcaoa carga. Determine s, f , Γ e ZC .

RESPOSTA:s = 2, 11; f = 1, 76 GHz; ZC = (70− j41) Ω; ΓC = 0, 366 − 45o.

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9 Transientes em linhas de transmissao

9.1 Notas de Aula

9.1.1 Exercıcio 1

Para a linha de transmissao da Figura ??, calcule e trace:

• a tensao nas extremidades da carga e do gerador para 0 < t < 6µs;

• a corrente nas extremidades da carga e do gerador para 0 < t < 6µs;


9.1.2 Exercıcio 2

Repita o exercıcio anterior para o caso em que a linha de transmissao esta:

• curto-circuitada;

• em circuito aberto.


9.2.1 Exercıcio 1

O interruptor da Figura ?? e fechado em t = 0. Trace a tensao e a corrente a direitado interruptor para 0 < t < 6 l

u. Considere Zo = 50 Ω e l

u= 2µs. Suponha que a

linha e sem perdas.


9.2.2 Exercıcio 2

Trace V (l, t) e I(l, t) para 0 < t < 5µs, para o sistema mostrado na Figura ??.

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1 introdu˘c~ao as linhas de transmiss~ao · /m, l= 0;3 h/m e c= 63pf/m. determine , ue z o. que...

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