1. iskazni raqun - mata.fon.rsmata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-dms-03.pdf · iii dvoqas...
TRANSCRIPT
III dvoqas veжbi
dr Vladimir Balti�
1. Iskazni raqun
DNF, KNF, SDNF, SKNF
Teorijski uvod
Literali su iskazne promenƩive, kao iƬihove negacije.
Teorijski uvod
Literali su iskazne promenƩive, kao iƬihove negacije.
a, b, c, . . . , p, q, r, s, . . . ,
q a, q b, . . . , q p, q q, . . .
Literali su iskazne promenƩive, kao iƬihove negacije.
a, b, c, . . . , p, q, r, s, . . . ,
q a, q b, . . . , q p, q q, . . .
Konjunkti su literali, kao i Ƭihove konaqnekonjunkcije.
Literali su iskazne promenƩive, kao iƬihove negacije.
a, b, c, . . . , p, q, r, s, . . . ,
q a, q b, . . . , q p, q q, . . .
Konjunkti su literali, kao i Ƭihove konaqnekonjunkcije.
a, b, q p, a ∧ q b, q p ∧ q q ∧ q r ∧ s ∧ t, . . .
Literali su iskazne promenƩive, kao iƬihove negacije.
a, b, c, . . . , p, q, r, s, . . . ,
q a, q b, . . . , q p, q q, . . .
Konjunkti su literali, kao i Ƭihove konaqnekonjunkcije.
a, b, q p, a ∧ q b, q p ∧ q q ∧ q r ∧ s ∧ t, . . .
Formule u disjunktivnoj normalnoj formi (DNF)su konjunkti i Ƭihove konaqne disjunkcije.
Literali su iskazne promenƩive, kao iƬihove negacije.
a, b, c, . . . , p, q, r, s, . . . ,
q a, q b, . . . , q p, q q, . . .
Konjunkti su literali, kao i Ƭihove konaqnekonjunkcije.
a, b, q p, a ∧ q b, q p ∧ q q ∧ q r ∧ s ∧ t, . . .
Formule u disjunktivnoj normalnoj formi (DNF)su konjunkti i Ƭihove konaqne disjunkcije.
q c ∨ (a ∧ q b ∧ c) ∨ (q a ∧ d),(q p ∧ q ∧ q s) ∨ (q p ∧ q ∧ s) ∨ (p ∧ q q ∧ s), . . .
Literali su iskazne promenƩive, kao iƬihove negacije.
a, b, c, . . . , p, q, r, s, . . . ,
q a, q b, . . . , q p, q q, . . .
Konjunkti su literali, kao i Ƭihove konaqnekonjunkcije.
a, b, q p, a ∧ q b, q p ∧ q q ∧ q r ∧ s ∧ t, . . .
Formule u disjunktivnoj normalnoj formi (DNF)su konjunkti i Ƭihove konaqne disjunkcije.
q c ∨ (a ∧ q b ∧ c) ∨ (q a ∧ d),(q p ∧ q ∧ q s) ∨ (q p ∧ q ∧ s) ∨ (p ∧ q q ∧ s), . . .
SDNF su DNF kod kojih se u svakom konjunktujavƩaju sve iskazne promenƩive.
Literali su iskazne promenƩive, kao iƬihove negacije.
a, b, c, . . . , p, q, r, s, . . . ,
q a, q b, . . . , q p, q q, . . .
Disjunkti su literali, kao i Ƭihove konaqnedisjunkcije.
a, b, q p, a ∨ q b, q p ∨ q q ∨ q r ∨ s ∨ t, . . .
Formule u KNF su disjunkti i Ƭihove konaqnekonjunkcije.
q c ∧ (a ∨ q b ∨ c) ∧ (q a ∨ d),(q p ∨ q ∨ q s) ∧ (q p ∨ q ∨ s) ∧ (p ∨ q q ∨ s), . . .
SKNF su KNF kod kojih se u svakom disjunktujavƩaju sve iskazne promenƩive.
SDNF:
gledamo SVE 1 u F
1 → p, 0 → q p
sve 0 ⇒ nema SDNF;
IMA DNF: m ∧ qm (to je i KNF!).
SKNF:
gledamo SVE 0 u F
0 → p, 1 → q p.
sve 1 ⇒ nema SKNF;
IMA KNF: m ∨ q m (to je i DNF!).
Zadaci
1. Odrediti iskaznu formulu F koja odgo-vara datom kolu.
p
q
r
F
Ispitati da li je F tautologija.Da li F predstavƩa SKNF, SDNF, KNF iliDNF?Predstaviti F u jednoj KNF i jednoj DNF.
p
q
r
F
p
q
r
F
p
p
q
r
F
p
q
p
q
r
F
p
qp q
p
q
r
F
p
qp q
p
p
q
r
F
p
qp q
p
r
p
q
r
F
p
qp q
p
r p r
p
q
r
F
p
qp q
p
r p rp r
p
q
r
F
p
qp q
p
r p rp r
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)
Da li F predstavƩa SKNF, SDNF, KNF iliDNF?
p
q
r
F
p
qp q
p
r p rp r
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)
Da li F predstavƩa SKNF, SDNF, KNF iliDNF?
SKNF, SDNF nije: svaki disjunkt/konjunkttreba da ima sve 3 promenƩive (i p i q i r)
p
q
r
F
p
qp q
p
r p rp r
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)
Da li F predstavƩa SKNF, SDNF, KNF iliDNF?
SKNF, SDNF nije: svaki disjunkt/konjunkttreba da ima sve 3 promenƩive (i p i q i r)
KNF nije: qlanovi spojeni sa ∨, a ne sa ∧
p
q
r
F
p
qp q
p
r p rp r
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)
Da li F predstavƩa SKNF, SDNF, KNF iliDNF?
KNF nije: qlanovi spojeni sa ∨, a ne sa ∧
DNF nije: q(p ∧ q r) nije konjunkt.
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)L a D F
p q r q p q p∧q q r p∧q r q a L ∨ D
0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)L a D F
p q r q p q p∧q q r p∧q r q a L ∨ D
0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 01 1 1 0
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)L a D F
p q r q p q p∧q q r p∧q r q a L ∨ D
0 0 0 1 00 0 1 1 00 1 0 1 10 1 1 1 11 0 0 0 01 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 0 0
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)L a D F
p q r q p q p∧q q r p∧q r q a L ∨ D
0 0 0 1 0 10 0 1 1 0 00 1 0 1 1 10 1 1 1 1 01 0 0 0 0 11 0 1 0 0 01 1 0 0 0 11 1 1 0 0 0
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)L a D F
p q r q p q p∧q q r p∧q r q a L ∨ D
0 0 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 00 1 0 1 1 1 00 1 1 1 1 0 01 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 0 01 1 0 0 0 1 11 1 1 0 0 0 0
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)L a D F
p q r q p q p∧q q r p∧q r q a L ∨ D
0 0 0 1 0 1 0 10 0 1 1 0 0 0 10 1 0 1 1 1 0 10 1 1 1 1 0 0 11 0 0 0 0 1 1 01 0 1 0 0 0 0 11 1 0 0 0 1 1 01 1 1 0 0 0 0 1
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)L a D F
p q r q p q p∧q q r p∧q r q a L ∨ D
0 0 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 0 1 10 1 0 1 1 1 0 1 10 1 1 1 1 0 0 1 11 0 0 0 0 1 1 0 01 0 1 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 1 1 0 01 1 1 0 0 0 0 1 1
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)L a D F
p q r q p q p∧q q r p∧q r q a L ∨ D
0 0 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 0 1 10 1 0 1 1 1 0 1 10 1 1 1 1 0 0 1 11 0 0 0 0 1 1 0 01 0 1 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 1 1 0 01 1 1 0 0 0 0 1 1
ima 0 ⇒ nije tautologija!
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)L a D F
p q r q p q p∧q q r p∧q r q a L ∨ D disjunkt0 0 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 0 1 10 1 0 1 1 1 0 1 10 1 1 1 1 0 0 1 11 0 0 0 0 1 1 0 0 q p ∨ q ∨ r
1 0 1 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 1 1 0 0 q p ∨ q q ∨ r
1 1 1 0 0 0 0 1 1
SKNF: F = (q p ∨ q ∨ r) ∧ (q p ∨ q q ∨ r)
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)L a D F
p q r q p q p∧q q r p∧q r q a L ∨ D disjunkt0 0 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 0 1 10 1 0 1 1 1 0 1 10 1 1 1 1 0 0 1 11 0 0 0 0 1 1 0 0 q p ∨ r
1 0 1 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 1 1 0 0 q p ∨ r
1 1 1 0 0 0 0 1 1
SKNF: F = (q p ∨ q ∨ r) ∧ (q p ∨ q q ∨ r)
KNF: F = q p ∨ r
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)L a D F
p q r q p q p∧q q r p∧q r q a L ∨ D disjunkt0 0 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 0 1 10 1 0 1 1 1 0 1 10 1 1 1 1 0 0 1 11 0 0 0 0 1 1 0 0 q p ∨ r
1 0 1 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 1 1 0 0 q p ∨ r
1 1 1 0 0 0 0 1 1
SKNF: F = (q p ∨ q ∨ r) ∧ (q p ∨ q q ∨ r)
KNF: F = q p ∨ r (i DNF)
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)L a D F
p q r q p q p∧q q r p∧q r q a L ∨ D
0 0 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 0 1 10 1 0 1 1 1 0 1 10 1 1 1 1 0 0 1 11 0 0 0 0 1 1 0 01 0 1 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 1 1 0 01 1 1 0 0 0 0 1 1
iz F Demorganovo pravilo:
DNF: F = (q p ∧ q) ∨ q p ∨ r
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)L a D F
p q r q p q p∧q q r p∧q r q a L ∨ D konjunkt0 0 0 1 0 1 0 1 1 q p ∧ q q ∧ q r
0 0 1 1 0 0 0 1 1 q p ∧ q q ∧ r
0 1 0 1 1 1 0 1 1 q p ∧ q ∧ q r
0 1 1 1 1 0 0 1 1 q p ∧ q ∧ r
1 0 0 0 0 1 1 0 01 0 1 0 0 0 0 1 1 p ∧ q q ∧ r
1 1 0 0 0 1 1 0 01 1 1 0 0 0 0 1 1 p ∧ q ∧ r
SDNF: F =(q p∧q q∧q r)∨(q p∧q q ∧ r)∨(q p∧q∧q r)∨(q p ∧ q ∧ r)∨(p ∧ q q ∧ r)∨(p ∧ q ∧ r)
F = (q p ∧ q) ∨ q(p ∧ q r)L a D F
p q r q p q p∧q q r p∧q r q a L ∨ D konjunkt0 0 0 1 0 1 0 1 1 q p
0 0 1 1 0 0 0 1 1 q p r
0 1 0 1 1 1 0 1 1 q p
0 1 1 1 1 0 0 1 1 q p r
1 0 0 0 0 1 1 0 01 0 1 0 0 0 0 1 1 r
1 1 0 0 0 1 1 0 01 1 1 0 0 0 0 1 1 r
SDNF: F =(q p∧q q∧q r)∨(q p∧q q ∧ r)∨(q p∧q∧q r)∨(q p ∧ q ∧ r)∨(p ∧ q q ∧ r)∨(p ∧ q ∧ r)
DNF: F = q p ∨ r
2. Odrediti iskaznu formulu F koja odgo-vara datom kolu.
a
b
c
F
Ispitati da li je F tautologija.Predstaviti F u jednoj KNF i jednoj DNF.
a
b
c
F
a
b
c
F
a b c
a
b
c
F
a b c
b c
a
b
c
F
a b c
b c
a b
a
b
c
F
a b c
b c
a b
F = (a ∧ b ∧ q c) ∨ (q b ∧ c) ∨ (q a ∧ b)
a
b
c
F
a b c
b c
a b
F = (a ∧ b ∧ q c) ∨ (q b ∧ c) ∨ (q a ∧ b)
Ova formula nije tautologija, jer je zaa = b = c = 0 i F = 0.
a
b
c
F
a b c
b c
a b
F = (a ∧ b ∧ q c) ∨ (q b ∧ c) ∨ (q a ∧ b)
ovo je i jedna DNF.
a
b
c
F
a b c
b c
a b
F = (a ∧ b ∧ q c) ∨ (q b ∧ c) ∨ (q a ∧ b)
SKNF (i KNF):F = (a ∨ b ∨ c) ∧ (q a ∨ b ∨ c) ∧ (q a ∨ q b ∨ q c).
KRAJ QASA