1. kombinatorika 1.1. varijacije
TRANSCRIPT
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
1
1. KOMBINATORIKA
1.1. Varijacije
Imamo skup S=a1, a2, ... , an, k∈N, 1≤k≤n
Varijacija k-te klase bez ponavljanja u skupu S je svaka ureñena k-torka
(ai1, ai2, ... , ain) meñusobno različitih elemenata skupa S.
Broj varijacija bez ponavljanja od n elemenata k-te klase odreñujemo po formuli:
)!(
!
kn
nV k
n −=
Varijacija sa ponavljanjem k-te klase u skupu S je svaka ureñena k-torka
elemenata iz skupa S.
Broj varijacija sa ponavljanjem od n elemenata k-te klase odreñujemo po formuli:
kkn nV =
Primer:
S=1, 2, 3, 4
V42 (bez ponavljanja): V4
2 (sa ponavljanjem):
(1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4)
(2, 1) (2, 3) (2, 4) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)
(3, 1) (3, 2) (3, 4) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4)
Zadaci 1.1.1. U razredu ima 32 učenika. Na koliko načina može 6 učenika sedeti u prvoj klupi?
Rešenje:
652458240272829303132!26
!32
)!632(
!32632 =⋅⋅⋅⋅⋅==
−=V
1.1.2. Na klupi su slobodna četiri mesta. Na koliko načina 15 osoba može popuniti ova mesta?
Rešenje:
3276012131415!11
!15
)!415(
!15415 =⋅⋅⋅==
−=V
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
2
1.1.3. Koliko ima trocifrenih brojeva koji se sastoje od različitih cifara?
Rešenje:
648899!7
!99
)!29(
!992
91
9 =⋅⋅=⋅=−
⋅=⋅VV
1.1.4. Jedan student treba da polaže 4 ispita za 8 dana. Na koliko načina to može učiniti ako se
zna da poslednji ispit polaže osmog dana?
Rešenje:
210567!4
!7
)!37(
!737 =⋅⋅==
−=V
1.1.5. Odeljenje jednog razreda broji 35 učenika. Oni su meñusobno razmenili fotografije.
Koliko je ukupno podeljeno fotografija?
Rešenje:
11903435!33
!35
)!235(
!35235 =⋅==
−=V
1.1.6. Od koliko različitih elemenata možemo formirati 210 varijacija druge klase?
Rešenje:
152
291
2
84011
0210
210)1(
210)!2(
!
210
1
2,1
2
2
=
±=+±=
=−−=−⋅
=−
=
n
n
nn
nn
n
n
Vn
1.1.7. Koliko se brojeva može formirati pomoću elemenata skupa N koji čine svi prosti činioci
broja 2310 ako traženi brojevi sadrže po dva različita prosta činioca?
Rešenje: 1175322310 ⋅⋅⋅⋅=
2045!3
!5
)!25(
!525 =⋅==
−=V
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
3
1.1.8. Rešiti jednačine: a) 32
3
12
5+= nn VV , b) 3:2: 4
43
42 =++ nn VV
Rešenje: a)
)!1(
)!2(
12
5
)!3(
!12
5 32
3
−+=
−
= +
n
n
n
n
VV nn
714
4751
14
392260151
014517
10155243612
)23(5)23(12
12/)1)(2(
12
5)2)(1(
1
2,1
2
22
22
=
±=−±=
=+−
++=+−
++=+−
⋅++=−−
n
n
nn
nnnn
nnnn
nnnnnnn
b)
62
75
2
24255
065
12431812
)3)(4()32(6
3
2
)1)(2)(3)(4(
)1(2)32)(2(2
3
2
)1)(2)(3)(4(
)22)(32)(42(
3
2
!
)!4(:
)!12(
)!42(
3:2:
1
2,1
2
2
44
342
=
±=+±=
=−−
+++=+++=+
=++++
+++
=++++
+++
=+++
=++
n
n
nn
nnnn
nnn
nnnn
nnn
nnnn
nnn
n
n
n
n
VV nn
1.1.9. Koliko različitih bacanja daju četiri kocke za igru?
Rešenje:
12966446 ==V
1.1.10. Koliko se petocifrenih brojeva može napisati pomoću 10 cifara koje se mogu ponavljati,
tako da prve dve cifre budu 4 i 0?
Rešenje:
1000103310 ==V
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
4
1.1.11. Koliko petocifrenih telefonskih brojeva ima ako znamo da su im sve cifre neparne?
Rešenje:
31255555 ==V
1.1.12. Odrediti broj reči, od 5 slova, koje se mogu napisati pomoću azbuke od 30 slova, bez
obzira da li se u rečima ponavljaju sva slova i da li se dobijaju reči bez značenja.
Rešenje: 555
30 1024330 ⋅==V
1.1.13. Dat je skup A=3, 4, 5, 6, 7. Odrediti broj trocifrenih brojeva koji se mogu obrazovati
od elemenata skupa A.
Rešenje:
1255335 ==V
1.1.14. Dat je skup E=0, 1, 2, 3, 4, 5. Odrediti broj četvorocifrenih brojeva većih od 1000, koji
se mogu obrazovati od elemenata skupa E.
Rešenje:
107916515 336 =−⋅=−⋅V
1.1.15. Koliko se Morzeovih znakova može formirati iz oba osnovna znaka . i -, ako se jedan
znak sastoji od najviše 5 znakova?
Rešenje:
62321684252
42
32
22
12 =++++=++++ VVVVV
1.1.16. Broj varijacija četvrte klase sa ponavljanjem od x elemenata iznosi 50625. Odrediti broj
elemenata x.
Rešenje:
506254 =xV
154
50625loglog
50625loglog4
log/506254
=⇒=
==
xx
x
x
1.1.17. Broj varijacija treće klase sa ponavljanjem od x elemenata veći je za 408 od broja
varijacija treće klase bez ponavljanja od istog broja elemenata. Odrediti broj x.
Rešenje: 12=x
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
5
1.2. Permutacije
Permutacija bez ponavljanja skupa S=a1, a2, ... , an (ks=n) je svaka varijacija n-te
klase bez ponavljanja u skupu S.
Broj permutacija bez ponavljanja od n elemenata odreñujemo po formuli:
!)( nnP =
Neka je dat skup od n elemenata, od kojih ima k1 jednakih jedne vrste, k2 jednakih druge vrste itd; km jednakih m-te vrste; pri čemu je m≤≤≤≤n i k1+k2+...+km≤≤≤≤n. Svaki linearni raspored koji se
sastoji od svih elemenata zove se permutacija sa ponavljanjem.
Broj permutacija sa ponavljanjem odreñujemo po formuli:
!!...!
!)(
21,...,, 21
mkkk kkk
nnP
m=
Primer:
S=1, 2, 3, 4 S=1, 2, 2, 3
P(4)=V44 (bez ponavljanja): P1, 2, 1(4) (sa ponavljanjem):
1234 2134 3124 4123 1223 2123 2132 3122
1243 2143 3142 4132 1232 2213 2312 3212
1324 2314 3214 4213 1322 2231 2321 3221
1342 2341 3241 4231
1423 2413 3412 4312
1432 2431 3421 4321
Zadaci 1.2.1. Na koliko različitih načina mogu da sednu četiri osobe ako su postavljene četiri stolice?
Rešenje: 24!4)4( ==P
1.2.2. Dat je skup E=1, 2, ... , 8. Koliko permutacija, koje se mogu obrazovati od elemenata
skupa E, počinje sa: 5, 123 i 8642?
Rešenje:
24)4(
120)5(
5040)7(
===
P
P
P
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
6
1.2.3. Na koliko se načina može rasporediti 8 knjiga na jednoj polici?
Rešenje: 40320)8( =P
1.2.4. Odrediti broj permutacija od elemenata a, a, a, b, b, b, c.
Rešenje:
14023
4567
!1!3!3
!7)7(1,3,3 =
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅=P
1.2.5. Koliko ima sedmocifrenih brojeva obrazovanih od cifara 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, ne uzimajući u
obzir one koji počinju nulom ili nulama?
Rešenje:
90563!1!1!4
!6)6(3 1,1,4 =⋅⋅=
⋅⋅=⋅ P
1.2.6. Koliko permutacija od elemenata a, a, a, a, a, b, b, b, c, počinje sa a, sa b i sa c?
Rešenje:
a 280578!1!3!4
!8)8(1,3,4 =⋅⋅=
⋅⋅=P
b 168378!1!2!5
!8)8(1,2,5 =⋅⋅=
⋅⋅=P
c 5678!3!5
!8)8(3,5 =⋅=
⋅=P
1.2.7. Koliko permutacija od elemenata 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, počinje sa 22, sa 313 i sa
1234?
Rešenje:
22 - 25206
56789
!3!4
!9)9(3,4,1,1 =⋅⋅⋅⋅=
⋅=P
1.2.8. Odrediti broj permutacija koje se mogu formirati od svih činilaca proizvoda a5⋅b3.
Rešenje: 56 1.2.9. Na koliko se različitih načina može prikazati a3b2c3 kao proizvod od osam činilaca a, a, a,
b, b, c, c, c?
Rešenje:
56012
45678
!3!2!3
!8)8(3,2,3 =⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅=P
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
7
1.2.10. Broj permutacija od n elemenata odnosi se prema broju permutacija od n+2 elementa kao
0.1:3. Odrediti n.
Rešenje:
42
113
2
11293
0283
10/1.0)1)(2(3
3
1.0
)!2(
!
3:1.0)2(:)(
1
2,1
2
=
±−=+±−=
=−+
⋅⋅++=
=+
=+
n
n
nn
nn
n
n
nPnP
1.2.11. Broj permutacija od n+2 elementa je veći 56 puta od broja permutacija od n elementa.
Odrediti n.
Rešenje: 61 =n
1.2.12. Rešiti jednačinu: 30)!1(
)!1( =−+
n
n.
Rešenje:
52
1112
12011
030
30)1(
30)!1(
)!1(
1
2,1
2
=
±−=+±−=
=−+
=+
=−+
n
n
nn
nn
n
n
1.2.13. Rešiti jednačinu: 72!
)!2( =+n
n.
Rešenje: 71 =n
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
8
1.3. Kombinacije
Kombinacija k-te klase bez ponavljanja skupa S=a1, a2, ... , an je svaki njegov podskup od k elemenata, 1≤≤≤≤k≤≤≤≤n.
Broj kombinacija bez ponavljanja od n elemenata k-te klase odreñujemo po formuli:
=
−=
k
n
knk
nCk
n )!(!
!
Kombinacije k-te klase od n elemenata u kojima se jedan elemenat može ponavljati do k puta, zovu se kombinacije sa ponavljanjem.
Broj kombinacija k-te klase od n elemenata sa ponavljanjem odreñujemo po formuli:
−+=
k
knC
kn
1
Primer:
S=1, 2, 3, 4, 5 S=1, 2, 3, 4
C53 (bez ponavljanja): C4
3 (sa ponavljanjem):
123 234 345 111 222 333 444
124 235 112 221 331 441
125 245 113 223 332 442
134 114 224 334 443
135 123 234 341
145 124
Zadaci
1.3.1. Koliko se različitih grupa po 4 učenika može izabrati od 12 kvalifikovanih učenika koji će reprezentovati školu na takmičenju?
Rešenje:
495!8!4
!12412 =
⋅=C
1.3.2. Na jednom šahovskom turniru učestvuje petnaest šahista. Svaki treba da odigra partiju sa
svakim. Koliko će biti odigrano partija na turniru?
Rešenje:
105!13!2
!15215 =
⋅=C
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
9
1.3.3. Odrediti broj dijagonala konveksnog petougla i n-tougla.
Rešenje:
55!3!2
!552
5 =−⋅
=−C
nnnnnnn
nnCn 2
3
2
1)1(
2
1
)!2(!2
! 22 −=−−=−−⋅
=−
1.3.4. Dat je skup A=a1, a2, ... , a6. Odrediti sve podskupove skupa A koji: ne sadrže elemente
a4, a5 i a6; sadrže sve elemente skupa A.
Rešenje: - a1, a2, a3
333
23
13
03 281331 ==+++=+++ CCCC
- A 66
656
46
36
26
16
06 2641615201561 ==++++++=++++++ CCCCCCC
1.3.5. Odrediti broj svih podskupova skupa koji ima n elemenata.
Rešenje: n
nnn CCC 2...210 =+++
1.3.6. Za delegaciju škole treba izabrati, od 10 učenika koji govore nemački i 15 koji govore
engleski jezik, pet učenika od kojih bar jedan govori engleski. Na koliko načina se može obaviti izbor?
Rešenje:
5287810 515
115
410
215
310
315
210
415 =+⋅+⋅+⋅+⋅ CCCCCCCC
1.3.7. Na jednom šahovskom turniru odigrano je 210 partija. Odrediti broj učesnika ako se zna
da je svaki učesnik odigrao partiju sa svakim.
Rešenje:
210)!2(!2
!
2102
=−
=
n
n
Cn
212
411
2
168011
0420
420)1(
1
2,1
2
=
±=+±=
=−−=−
n
n
nn
nn
1.3.8. Rešiti jednačinu: 4
235 += nn CC .
Rešenje:
3,14 21 == nn
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
10
1.3.9. Rešiti jednačinu: )1(72 3
121 −=+ −
−+ nCC n
nn .
Rešenje:
52
73
2
4093
)1(7)!4(!3
)!1(2
)!2(!3
)!1(
)1(72
1
2,1
31
21
=
±=+±=
−=−
−+−
+−=+ −
−+
n
n
nn
n
n
n
nCC nnn
1.3.10. Koliko ima trouglova čije dužine stranica imaju vrednosti u skupu 5, 6, 7, 8?
Rešenje:
20!3!3
!634 ==C
1.3.11. Imamo na raspolaganju 6 automobila, a 9 ljudi želi da vozi. Na koliko načina se to može
izvesti ako redosled automobila: nije bitan; bitan je?
Rešenje:
- 8469 =C
- 6048069 =V
1.3.12. Broj kombinacija druge klase od x elemenata sa ponavljanjem iznosi 276. Odrediti x.
Rešenje:
23
0552
552)1(
276)!1(!2
)!1(
276
1
2
2
==−+
=+
=−
+=
x
xx
xx
x
x
Cx
1.3.13. Broj kombinacija treće klase bez ponavljanja od x elemenata odnosi se prema broju
kombinacija treće klase od istog broja elemenata sa ponavljanjem kao 7:15. Odrediti x.
Rešenje: 8=x 1.3.14. Odrediti n i k ako je: Vn
k=24 i Cnk=4.
Rešenje:
3
4
==
k
n
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
11
1.4. Binomni obrazac
Ako je n bilo koji prirodan broj i a i b bilo koji kompleksni brojevi, tada je:
∑=
−−−−
=
+
−++
+
+
=+
n
k
kknnnnnnn bak
nb
n
nba
n
nba
nba
na
nba
0
112211
1...
210)(
gde je
k
n binomni koeficijent i 1≤k≤n.
Opšti član u razvijenom obliku binoma (a+b)n dat je formulom:
kknk ba
k
nT −
+
=1
Paskalov trougao prikazuje koeficijente uz an-kbk u razvoju binoma:
( )( )( )( ) 32233
222
1
0
33
2
1
babbaaba
bababa
baba
ba
+++=+
++=+
+=+
=+
... 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...
Zadaci 1.4.1. Primeniti binomnu formulu na binom: (2x+5)4.
Rešenje:
625100060016016
62512524254682016
54
45)2(
3
45)2(
2
45)2(
1
4)2(
0
4)52(
234
234
4322344
++++==+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=
=
+
+
+
+
=+
xxxx
xxxx
xxxxx
1.4.2. Odrediti peti član u razvijenom obliku binoma:
12
3
2
2
1
+ xx .
Rešenje:
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
12
3
20
3
8443
282
1
5 495234
9101112)()(
4
12xxxxxT =⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=⋅
=
1.4.3. Odrediti član koji ne sadrži x u razvijenom obliku binoma: ( )122−+ xx .
Rešenje:
4
0312
12)(
12 2122121
==−
=⋅
= −−−−
+
k
k
xk
xxk
T kkkkk
Peti član ne sadrži x.
1.4.4. U razvijenom obliku binoma 11
2
1
3
1
+ xx odrediti član koji posle sreñivanja sadrži x sa
izložiocem 5.
Rešenje:
5233
11
52
1113
1
)()(
xxx
xxxkk
kk
=⋅
=⋅−
−
5559 165
23
91011
8
11
8
303222
523
11
xxxT
k
kk
kk
=⋅
⋅⋅=
=
==+−
=+−
1.4.5. Odrediti 13. član u razvijenom obliku binoma n
xx )
3
19( − , ako je binomni koeficijent
trećeg člana jednak 105.
Rešenje:
366
36123112
1
2,1
2
4553
13
23
131415)
3
1()9(
12
15
152
84011
0210
210)1(
105!2)!2(
!
−+ =⋅
⋅⋅⋅=
=
=
+±=
=−−
=−⋅
=−
xx
xx
xT
n
n
nn
nn
n
n
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
13
1.4.6. Zbir koeficijenata prvog, drugog i trećeg člana u razvijenom obliku binoma n
xx
+ 12 jednak je 46. Odrediti član koji ne sadrži x.
Rešenje:
92
36011
090
92)1(22
46!2)!2(
!1
46210
22,1
2
=⇒+±−=
=−−
=−⋅++
=−
++
=
+
+
nn
nn
nnn
n
nn
nnn
( )
8423
7896
97
6
0218
9191
1
1
21892
92
2
=⋅
⋅⋅=
=
==−−
=
=+
+
+
−−−
T
k
kk
xxkx
xk
Tk
xx
xx
kkk
k
n
1.4.7. Binomni koeficijent trećeg člana u razvijenom obliku binoma ( )nxxx 5−+ jednak je 78.
Odrediti član koji ne sadrži x.
Rešenje:
n=13, kkk xx
kT 5132
3
1 )(13 −−
+ ⋅
= , k=3
1.4.8. Zbir binomnih koeficijenata drugog i trećeg člana u razvijenom obliku binoma n
xx
+
−3
2
2
3
jednak je 136. Odrediti član koji ne sadrži x8.5.
Rešenje:
n=16,
k
kk xx
kT
⋅
= −−
+3
2162
3
1 )(16
, k=15
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
14
2. σσσσ-POLJE DOGAĐAJA
ΩΩΩΩ - skup svih mogućih ishoda (dogañaja) koji se mogu očekivati pri nekom opitu.
Primer: opit je bacanje kocke, a Ω=1, 2, 3, 4, 5, 6
ωωωω - elementarni dogañaj, pojedini ishod ili rezultat (elemenat skupa Ω).
Primer: pala je šestica.
A – dogañaj koji je bilo koji podskup skupa Ω.
Primer: pojava parnog broja
Siguran dogañaj – dogañaj koji se realizuje uvek.
Nemoguć dogañaj – prazan podskup Ω, dogañaj čija je realizacija nemoguća.
Analogno relacijama i operacijama u Teoriji skupova i ovde možemo posmatrati relacije:
implikacija (⊂) – A⊂B (A povlači B) znači da se B realizuje kad se realizuje A. Ako A⊂B i B⊂A u pitanju su identični dogañaji.
komplementaran ili suprotan dogañaj dogañaja A – Ac ili A je dogañaj koji se realizuje samo ako se dogañaj A ne realizuje.
presek ili proizvod dogañaja – A∩B ili AB znači dogañaj koji se realizuje samo kada se realizuju i dogañaj A i dogañaj B.
unija dogañaja – A∪B ili A+B (kada su A i B disjunktni dogañaji) znači dogañaj koji se realizuje ako se realizuje bar jedan od dogañaja A i B.
razlika dogañaja – A/B ili A–B=ABc znači dogañaj koji se realizuje kada se realizuju oni ishodi ω koji pripadaju dogañaju A, a ne pripadaju dogañaju B.
simetrična razlika dogañaja – A∆B=(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-AB
disjunktni dogañaji – A∩B=AB=∅ znači da se dogañaji ne mogu istovremeno ostvariti.
Proširenje operacija unije i preseka na konačno i prebrojivo mnogo dogañaja:
U
In
inn
n
iin
AAAA
AAAA
121
121
...
...
=
=
=∪∪∪
=∩∩∩
Ako je A=B1+B2+...+Bn, BiBj=∅ za i≠j, A je rastavljen na n posebnih činilaca. Ako njihova unija čini Ω, dogañaji Bi obrazuju potpunu grupu dogañaja.
Klasa F dogañaja koji se posmatraju kod opita sa slučajnim ishodima je σ-polje dogañaja (ili σ-algebra), ako:
1. Ω∈F,
2. A∈F ⇒ Ac∈F
3. An∈F, n=1, 2, ... ⇒Un
nn FA
1=
∈
dogañaj koji se realizuje ako se realizuje svaki od dogañaja Ai, i=1,...n.
...
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
15
Važi i da ako prazan skup pripada F onda proizvod svih An takoñe pripada F.
Važe sledeći identiteti:
Komutativnost preseka i unije: A∩B=B∩A; A∪B=B∪A
Asocijativnost preseka i unije: A(BC)=(AB)C; A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
Distributivni zakon: A(B∪C)=AB∪AC; A∪ (BC)=(A∪B)(A∪C)
Zakon jedinice: A∪∅=A; A∪Ω=Ω; A∅=∅; AΩ=A
De Morganovi zakoni: (AB)c=Ac∪Bc; (A∪B)c=AcBc;
( ) UI ci
c
i AA = ; ( ) IU ci
c
i AA =
Idempotentni zakon: AA=A; A∪A=A
∅c=Ω; AAc=∅; A∪Ac=Ω; (Ac)c=A; Ωc=∅
A∪B=A∪AcB
nccc
i
n
i
ci AAAAAAAAA ...... 132
1211 ++++=
=U
Zadaci 2.1. Četiri studenta Aca, Bojan, Darko i Marko polažu ispit. Ako sa A, B, D i M označimo
njihove uspehe na ispitu, izraziti sledeće dogañaje: E – nijedan nije položio, F – položila su dva studenta, G – položio je samo Bojan, H - položili su svi i I - položio je makar jedan od njih.
Rešenje: E=AcBcDcMc F= ABDcMc+ ABcDMc+ ABcDcM+ AcBDMc+ AcBDcM+ AcBcDM G= AcBMcDc
H=ABDM I= A ∪ B ∪ D ∪ M 2.2. Bacaju se istovremeno novčić i numerisana kocka, pri čemu se registruje pojava pisma i
grba na novčiću, kao i pojava broja na gornjoj strani kocke. Opisati skup ishoda.
Rešenje:
)6,(),5,(),4,(),3,(),2,)(1,(
),6,(),5,(),4,(),3,(),2,(,)1,(
GGGGGG
PPPPPP=Ω
2.3. U kutiju su 4 cedulje numerisane brojevima 1,2,3,4. Na slučajan način se iz kutije izvlači
jedna po jedna cedulja bez vraćanja i to sve dok se ne izvuče cedulja na kojoj je neparan broj. Opisati prostor ishoda.
Rešenje:
243,241,423,421,43,41,23,21,3,1=Ω
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
16
2.4. Baca se kocka i registruje broj koji se pojavi na gornjoj strani. Neka je dogañaj A: pada broj manji od 3, a dogañaj B: pada broj manji od 5. Opisati prostor ishoda, kao i dogañaje A i B.
Rešenje:
6,5,4,3,2,1=Ω , 4,3,2,1,2,1 == BA 2.5. Dokazati sledeće jednakosti za ma koje dogañaje A,B,C: a) ))(( CABABCA ∪∪=∪
b) BAABABBA cc ∪∪=∪ Rešenje:
a) )()())()((
))(())((
CABACABA
CBACBA
∪∩∪∈⇔∈∨∈∧∈∨∈⇔∈∧∈∨∈⇔∩∪∈ωωωωω
ωωωω
b) BABABAAA
BAABAABABBABAABABBAC
CCCCCC
+=+Ω=++==+=+Ω=++=++=+
)())((
)(
2.6. Neka je BA⊂ . Uprostiti izraze:AB, A+B,ABC,A+B+C.
Rešenje:
CBCBCBACBA
ACCACBAABC
BBABA
ABAAB
+=∪=∪∪=++=∩=∩∩=
=∪=+=∩=
2.7. Dokazati da dogañaji CCCCCC AAAAAAAAA 321321211 ,,, obrazuju potpun sistem dogañaja.
Rešenje:
Ω=+=Ω+=
=++=++=Ω++=
=+++=+++
CC
CCCCCCCC
CCCCCCCCCC
AAAA
AAAAAAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAAAAAA
1111
22112121121211
3321211321321211
)(
)(
=⋅ 211 AAA C ∅
=⋅ 3211 AAAA CC ∅
=⋅ CCC AAAA 3211 ∅
=⋅ 32121 AAAAA CCC ∅
=⋅ CCCC AAAAA 32121 ∅
=⋅ CCCCC AAAAAA 321321 ∅
2.8. Dokazati da dogañaji AB, ACB,ABC,ACBC obrazuju potpun sistem dogañaja ako su A i B
proizvolji dogañaji.
Rešenje:
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
17
Ω=+=Ω+Ω=
=+++=+++CC
CCCCCCC
BBBB
AABAABBAABBAAB )()(
=⋅ BAAB C ∅
=⋅ CABAB ∅ =⋅ CCBAAB ∅
=⋅ CC ABBA ∅ =⋅ CCC BABA ∅
=⋅ CCC BAAB ∅
2.9. Dokazati da je )()()()( cccc BABABABAM ∪∩∪∩∪∩∪= nemoguć dogañaj.
Rešenje:
∅=∩=∅∪∩∅∪=∩∪∩∩∪ CCCCC BBBBAABAAB )()(
2.10. Uprostiti izraz ( )( )( )CC CBCBCBA ∪∪∪=
Rešenje: CBA ∩=
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
18
3. DEFINICIJE VEROVATNO ĆE DOGAĐAJA
Klasična definicija verovatnoće
Imamo prostor elemetnarnih dogañaja nωωω ,...,, 21=Ω i dogañaj imiA ωω ,...,1= podskup
Ω, gde je 1≤i1<i2<...<im≤n. Tada verovatnoću dogañaja A odreñujemo prema:
n
mAp =)(
gde su: n – broj svih mogućih ishoda
m – broj povoljnih ishoda za dogañaj A
Statistička definicija verovatnoće
n(A) – broj realizacija dogañaja A u n opita 0≤n(A)≤1
n
An )( – relativna frekvencija dogañaja A
n
AnAf r
)()( =
Za dovoljno veliko n frekvencija dogañaja A je skoro konstantna vrednost i ona se uzima za verovatnoću dogañaja A.
Frekvencija dogañaja A teži verovatnoći dogañaja A, kad se n uvećava, ako za proizvoljno malo
ε, verovatnoća nejednakosti ( )
⟨− εp
n
Anteži jedinici.:
( )1 →
⟨− ∞→np
n
Anp ε
Geometrijska definicija verovatnoće
Proširenje klasične definicije verovatnoće na beskonačan broj slučajeva je geometrijska verovatnoća:
)(
)()(
Gpovršina
gpovršinaAp =
gde su: G – oblast na koju može pasti slučajno bačena tačka
g – oblast čija je površina proporcionalna verovatnoći da tačka padne u nju (ne zavisi od oblika i položaja oblasti) i g⊂G.
g
G
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
19
Zadaci 3.1. Kuglica je izvučena iz kutije u kojoj se nalazi 4 bele, 3 crvene i 4 plave kuglice. Odrediti
verovatnoću da izvučena kuglica:
a) bude bela
b) bude bela ili crvena
c) nije crvena
Rešenje:
a) 11
4)( =Ap
b)11
7)( =Bp
c)11
8)( =Cp
3.2. Slučajno je izabran telefonski broj sa 6 cifara. Kolika je verovatnoća da su u njemu sve cifre različite?
Rešenje:
1512.010
151200)(
151200!4
!10
10
6
610
66
10
===
===
==
n
mAp
Vm
Vn
3.3. Meta se sastoji iz 3 zone čija je verovatnoća pogañanja redom 0.15, 0.25 i 0.35. Koja je verovatnoća da se pri gañanju meta promaši?
Rešenje:
02575.01)(
75.035.025.015.0)(
=−=
=++=cAp
Ap
3.4. Bacaju se dve numerisane kocke. Odrediti verovatnoću dogašaja A: pao je zbir 8 i B: pao je proizvod 8.
Rešenje:
366V n 226 ===
A – dobijen je zbir 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4,4,3,5,5,3,2,6,6,2=A , m1=5
p(A) =36
5
A2 – dobijen je proizvod 8 ( ) )2,4(,4,2=B , m2=2
p(B) =36
2
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
20
3.5. Šta je verovatnije dobiti pri bacanju dve kocke: zbir 11 ili zbir 12?
Rešenje:
366V n 226 ===
A1 – dobijen je zbir 11 ( ) ( ) 5,6,6,51 =A , m1=2
p(A1) =36
2
A2 – dobijen je zbir 12 ( ) 6,62 =A , m2=1
p(A2) =36
1
3.6. Kolika je verovatnoća da će se na dvema bačenim kockama dobiti zbir tačaka 10 ili ako se to
ne dogodi, da će se pri ponovljenom bacanju dobiti zbir 8?
Rešenje:
A- zbir 10 : 46,64,55 12
1
36
3)( ==Ap
B – zbir 8: 26,62,35,53,44 36
5)( =Bp
C – A+AcB 21.036
5
36
33
36
3)( =⋅+=Cp
3.7. U kutiji se nalazi 6 belih i 4 crvene kuglice. Odjednom se izvlači tri kuglice. Naći
verovatnoću da će se meñu njima naći makar jedna bela kuglica.
Rešenje:
30
29
120
41)(
4
120!3!7
!10
34
310
=−=
==
===
cAP
Cm
Cn
−)(Ap izvučena je crvena kuglica
3.8. Kupac je kupio 7 sijalica od 40W, 5 sijalica od 60W i 3 sijalice od 100W. Usput je razbio 3 sijalice. Kolika je verovatnoća da razbijene sijalice imaju ukupno 180W?
Rešenje:
16.0455
73)(
733
45535
27
315
≈=
=+⋅=
==
Ap
CCm
Cn
3.9. U prodavnici je 30 sijalica, od kojih je 6 boljeg kvaliteta, ali se ne zna koje su to sijalice.
Ako je kupac kupio 4 sijalice, koja je verovatnoća da je meñu njima tačno dve boljeg kvaliteta?
Rešenje:
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
21
15.0)( =Ap
3.10. Na raspolaganju su duži 2, 4, 5, 7 i 9 cm. Kolika je verovatnoća da se od 3 slučajno
izabrane duži može konstruisati trougao?
Rešenje:
102
4535 =⋅== Cn , 479,579,457,245:m 4.0
10
4)( ==Ap
3.11. Ako konstruišemo jednakostraničan trougao ivice 3 cm, naći verovatnoću da je rastojanje
izmeñu temena trougla i neke slučajno izabrane tačke unutar trougla veće od 1.
Rešenje:
6.0
4
3921)( ≈−=
π
Ap
3.12. U kvadrat upisan je krug. Izračunati verovatnoću da će slučajno izabrana tačka kvadrata
biti van kruga.
Rešenje: G=a2
g= πππ4
)2
(2
22 aar ==
4141)(
2
2
ππ−=−=
a
a
Ap
3.13. U krug upisan je kvadrat. Izračunati verovatnoću da će slučajno izabrana tačka u krugu biti
i u kvadratu.
Rešenje:
2ra = 64.022
)(2
2
≈==ππr
rAp
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
22
4. AKSIOMATSKO ZASNIVANJE TEORIJE VEROVATNO ĆE
Klasa F dogañaja koji se posmatraju kod opita sa slučajnim ishodima je σ-polje dogañaja (ili algebra dogañaja), ako:
Ω∈F, A∈F ⇒ Ac∈F
Ai∈F, i=1, 2, ... ⇒Un
ii FA
1=
∈
Važi i da ako prazan skup pripada F onda proizvod svih Ai takoñe pripada F. Takoñe algebri
dogañaja F pripadaju BA∆ i ( )cBA∆ . ( ( ) ( )cc BABABA ∩∪∩=∆ ,
( ) ( ) ( )ccc BABABA ∩∪∩=∆ )
Definicija: Neka je F σ-polje dogañaja i R+ skup svih nenegativnih realnih brojeva. Neka je, dalje, preslikavanje: p:F→ R+ takvo da su zadovoljeni sledeći uslovi:
normiranost – p(Ω)=1
σ-aditivnost – Ai∈F, AiAj=∅ za i≠j ( )∑∞
=
∞
=
=
11 ii
ii ApAp U
aditivnost – Ai∈F, i=1, 2, … , n, AiAj=∅ za i≠j ( )∑==
=
n
ii
n
ii ApAp
11U
Tada se trojka (Ω, F, p) naziva prostor verovatnoće. Posledice definicije su:
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )BpApBAp
ABpBpApBAp
ApFA
BpApBA
ApAp
pc
+≤∪−+=∪
≤≤⇒∈∀≤⇒⊆
−=
=∅
10
1
0
Nejednakost u poslednjem slučaju važi ako su dogañaji A i B disjunktni.
Ako je p(A)=1 kažemo da je dogañaj A skoro siguran (s. s.), a ako je p(A)=0 kažemo da je dogañaj A skoro nemoguć (s. n.).
Zadaci
4.1. Kod bacanja numerisane kocke, neka je dogañaj A: pao je paran broj. Odrediti σ - algebru koja sadrži A.
Rešenje:
6,5,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,
,5,3,1
,6,4,2
∅==
=
F
A
Ac
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
23
4.2. Kod bacanja numerisane kocke, neka je dogañaj A: pao je paran broj, a dogañaj B: pao je broj deljiv sa 3. Odrediti σ - algebru koja sadrži A i B.
Rešenje:
6,5,4,3,2,1),()(),()(
,,,,,,,,,,,,,
,6,3
,6,4,2
=Ω∩∪∩=∆∩∪∩=∆
∪∩∩∩∪∪∩∪∅=
==
cccc
cccccccccc
BABABABABABA
BABABABABABABABABABAF
B
A
4.3. Pokazati da iz DC ⊂ sledi )()()\( CpDpCDp −= .
Rešenje:
)()()\()\()()()\(
))\()(()(
)\(
CpDpCDpCDpCpDpCDC
CDCpDp
CDCDDC
−=⇒+=⇒∅=∩∪=
∪=⇒⊂
4.4. Koliko je p(A∪B∪C∪D)? Uputstvo: odrediti prvo p(A∪B∪C).
Rešenje:
)()()()()()()(
))()(()()()()(
))(()()()(
CBApCABApCBpCpBpAp
CABApCBpCpBpAp
CBApCBpApCBAp
∩∩+∩−∩−∩−++==∩∪∩−∩−++=
=∪∩−∪+=∪∪
)(
)()()()()()(
)()()()()()()()(
))()()(()()(
))(()()()(
DCBA
DCApDBApDCBpDCpDBpDAp
DpCBApCABApCBpCpBpAp
DCDBDApDpCBAp
DCBApDpCBApDCBAp
∩∩∩−−∩∩+∩∩+∩∩+∩−∩−∩−
−+∩∩+∩−∩−∩−++==∩∪∩∪∩−+∪∪=
=∩∪∪−+∪∪=∪∪∪
4.5. Poznate su verovatnoće dogañaja A i AB. Odrediti p(ABc).
Rešenje:
)()()(
)()()\(
)()\()(
)())\()((
)\()(
)\()(
BApApABp
BApApBAp
ApBApBAp
ApBABAp
BABA
ABABA
c ∩−=
∩−=⇒
⇒=+∩=∪∩
∅=∩∩=∪∩
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
24
5. USLOVNE VEROVATNOĆE Verovatnoća dogañaja A pod uslovom da se realizovao dogañaj B, p(A/B) ili pB(A) se odreñuje prema:
( ) ( ) ( )Ap
ABpABpBpA
)(/ ==
Ovim je odreñena nova verovatnoća i novi prostor (Ω, F, pA). Ova verovatnoća zadovoljava uslove (aksiome):
♦ nenegativnost: ( ) 0≥BpA
♦ normiranost: ( ) 1=ΩAp
♦ ( )∑∑∞
=
∞
=
=
11 iiA
iiA BpBp
Imamo da je: ( ) 1=ApA ( ) 1/ ≤BAp
Takoñe sledi pravilo množenja:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )BApBpABpApABp // ==
Nezavisni dogañaji – Dogañaj A je nezavisan od dogañaja B akko je ( ) ( )BpBpA = , u tom
slučaju je ( ) ( ) ( )BpApABp = . Osobine nezavisnih dogañaja:
♦ proizvoljan dogañaj A i siguran dogañaj Ω su nezavisni: ( ) ( ) ( )Ω=Ω pApAp
♦ nezavisni su i dogañaji A i ∅: ( ) ( ) ( ) ( )∅==∅⇒=∅∅=∅ pApAppA 00,
♦ ako su nezavisni dogañaji A i B, nezavisni su i A i Bc, Ac i B i Ac i Bc
♦ ako su nezavisni A i B1 i A i B2 nezavisni su i A i ∅≠+ 2121 , BBBB
Odnos izmeñu nezavisnih i disjunktih dogañaja:
♦ ako su dogañaji A i B nezavisni i sa pozitivnim verovatnoćama onda su disjunktni
♦ ako su dogañaji A i B sa pozitivnim verovatnoćama disjunktni onda su zavisni
♦ dogañaji nAAA ,...,, 21 su nezavisni u ukupnosti ako postoji meñusobna nezavisnost
proizvoljnih r ( )nr ≤ takvih dogañaja, tj. ako za svaku konačnu kolekciju
( )nriiiAAA rinii ≤≤≤≤≤ ,...1,,...,, 2121 važi:
( ) ( ) ( ) ( )iniiinii ApApApAAAp ...,...,, 2121 =
Ako su dogañaji nAAA ,...,, 21 uzajamno disjunktni sa pozitivnim verovatnoćama čija je suma Ω,
tada za svako B∈F važi formula totalne verovatnoće:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BpApBpApBpApBp AnnAA +++= ...2211
p(Ai) su apriorne verovatnoće (unapred poznate), Ai su hipoteze, pAi(B) su aposteriorne verovatnoće
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
25
Bajesova formula: ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )∑
=
==n
jjj
iiiii
ABpAp
ABpAp
Bp
ABpApBAp
1
/
///
Tumačenje: realizacija dogañaja B je nastupila pod hipotezom (uzorkom) Ai.
Zadaci: 5.1.Odrediti verovatnoću da slučajano izbran prirodni broj: a) bude deljiv sa 2 i sa 3, b) ne bude deljiv sa 2 ili sa 3.
Rešenje:
A: broj deljiv sa 2, B: broj deljiv sa 3
a) 3
1)(,
2
1)( == BpAp ,
6
1
3
1
2
1)()( =⋅== ABpCp
b) 6
5
3
1
3
2
2
1)()()()()( =−+=−+=∪= cccccc BApBpApBApDp
5.2. Ako je p(A)=0.9, p(B)=0.8, pokazati da je p(A/B) ≥ 0.875.
Rešenje:
1)(
875.08.0
18.09.0
)(
)()()(
)(
)()/(
≤∪
=−+≥∪−+==
BAp
Bp
BApBpAp
Bp
ABpBAp
5.3. Iz skupa S=1,2,3,...,20 je slučajno izabran jedan broj. Ako je poznato da je izabrani broj deljiv sa 3 kolika je verovatnoća da je u pitanju paran broj?
Rešenje:
2
1
20
620
3
)(
)()/(
20
6)(
2
1)(
18,12,6
18,15,12,9,6,3:
20,18,16,14,12,10,8,6,4,2:
===
=
=
=∩
Bp
ABpBAp
Bp
Ap
BA
B
A
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
26
5.4. Kolika je verovatnoća da će se na dvema bačenim kockama dobiti zbir tačaka 10 ili ako se to ne dogodi, da će se pri ponovljenom bacanju dobiti zbir 8?
Rešenje: A- zbir 10 : 46,64,55 B – zbir 8: 26,62,35,53,44 C – A+AcB
p(A)=36
3
p(B)=36
5
p(Ac)=36
33
p(AcB)=0.126 p(C)=p(A)+p(AcB)=0.2 5.5. Student je izašao na ispit znajući 20 od 25 pitanja. Ispitivač je postavio 3 pitanja. Koja je
verovatnoća da student zna sva tri pitanja?
Rešenje:
4956.023
18
24
19
25
20)/()/()()( 213121321 =⋅⋅== AAApAApApAAAp
5.6. Čovek ima 5 ključeva od kojih samo jedan otvara vrata. Ključevi su po obliku slični pa ih on
ne razlikuje. Da bi otvorio vrata on proba ključeve jedan za drugim, pa ključ koji "ne otvara" stavlja na stranu. Odrediti verovatnoću da će mu za otvaranje vrata trebati 1,2,3,4,5 pokušaja.
Rešenje:
5
11
2
1
3
2
4
3
5
4
)/()/()/()/()()(
5
1
2
1
3
2
4
3
5
4)/()/()/()()(
5
1
3
1
4
3
5
4)/()/()()(
5
1
4
1
5
4)/()()(
5
1)(
4321532142131215
32142131214
2131213
1212
1
=⋅⋅⋅⋅=
==
=⋅⋅⋅==
=⋅⋅==
=⋅==
=
cccccccccccccc
ccccccccc
ccccc
cc
AAAAApAAAApAAApAApApAp
AAAApAAApAApApAp
AAApAApApAp
AApApAp
Ap
5.7. Iz kutije u kojoj je m belih i n crnih kuglica odjednom je izvučeno k kuglica. Pod
predpostavkom da su sve izvučene kuglice iste boje koja je verovatnoća da su sve crne?
Rešenje:
A - izvučeno je k kuglica
B- izvučene su crne ili bele kuglice
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
27
+
=+
==
+
+
k
m
k
n
k
n
C
CC
C
C
Bp
ABpBAp
kmn
km
kn
kmn
kn
)(
)()/(
5.8. Strelci A,B,C, gañaju po jednom u cilj nezavisno jedan od drugog, pogañajući ga sa
verovatnoćama 0.6, 0.5 i 0.4. Ustanovljeno je da je cilj pogoñen 2 puta. Šta je verovatnije da je strelac C pogodio ili promašio?
Rešenje:
A,B,C - cilj je pogodio strelac A,B,C
D - cilj je pogoñen dva puta
CABBCAABCD ccc ++=
4.0)(
5.0)(
6.0)(
===
Cp
Bp
Ap
38.04.05.06.04.05.04.06.05.06.0)( =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=Dp
47.038.0
18.0
)(
)(
)(
))((
)(
)()/( ===++==
Dp
ABCp
Dp
CABBCAABCCp
Dp
DCpDCp
ccccccc
53.047.01)/( =−=DCp
)/()/( DCpDCp c> Verovatnije je da je strelac C pogodio! 5.9. Proizvodi fabrike dolaze na kontrolu ispravnosti kod 2 kontrolora sa verovatnoćama 0.6 i
0.4. Verovatnoća da će proizvod biti proglašen ispravnim kod prvog kontrolora je 0.94, a kod drugog 0.98. Proizvod je bio ispravan. Naći verovatnoću da je proveru izvršio prvi kontrolor.
Rešenje: p(A) = 0.6 p(B) = 0.4 p(C/A) = 0.94 p(C/B) = 0.98 p(C) = )/()()/()( BCpBpACpAp + = 0.956
p(A/C) = 59.0)(
)/()( =Cp
ACpAp
5.10. U grupi sportista je 10 fudbalera, 8 košarkaša i 6 rukometaša. Verovatnoća da će postići pogodak je za fudbalera 0.6, za košarkaša 0.8 i za rukometaša 0.75. Odrediti verovatnoću da će slučajno odabrani sportista postići pogodak. Koja je verovatnoća da košarkaš poentira ?
Rešenje: p(A) = 10/24 = 0.42 p(B) = 8/24 = 0.33
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
28
p(C) = 6/24 = 0.25 p(D\A) = 0.6 p(D\B) = 0.8 p(D\C) = 0.75 p(D) = 0.7 p(B\D) = 0.377
5.11. U fabrici se 25% artikala proizvodi na mašini A, 35% na mašini B i 40% na mašini C. Mašine A,B,C prave 5%, 4% i 2% škarta respektivno. Svi proizvodi stavljaju se u isto skladište. Kolika je verovatnoća da je taj neispravni artikal napravljen na mašini A?
Rešenje: p(D) = 0.0345 p(A\D) = 0.36
5.12. Verovatnoća da dva blizanca budu istog pola je 0.64. Verovatnoća rañanja muškog deteta je 0.51. U slučaju rañanja dece raznih polova oba redosleda su jednako verovatna. Naći verovatnoću da je drugi blizanac muškog pola ako je i prvi bio muškog pola.
Rešenje:
65.035.01)/(1)/(
35.051.0
18.0
)(
)()/(
?)/(
18.0)64.01(5.0)()(
64.0)(
1)(
1212
1
2112
12
2121
2121
21212121
=−=−=
===
==−⋅==
=+=+++
MZpMMp
Mp
ZMpMZp
MMp
MZpZMp
ZZMMp
ZZMZZMMMp
5.13. Predpostavlja se da meñu istim brojem muškaraca i žena ima 5% daltonista muškaraca i 25% daltonista žena. Slučajno odabrana osoba je daltonista. Koja je verovatnoća da je ta osoba muškarac?
Rešenje: p(C) = 0.15 p(A\C) = 0.17
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
29
6. NIZOVI NEZAVISNIH OPITA Sm – dogañaj koji se realizuje kada se u n nezavisnih opita dogañaj A realizuje m puta. Verovatnoću dogañaja Sm odreñujemo prema Bernulijevoj šemi:
( ) mnmn qp
m
nmp −
= 0≤m≤n p – verovatnoća dogañaja A
q – verovatnoća dogañaja Ac
U opštem slučaju Bernulijeva šema ima oblik:
( ) kmk
mm
kkn ppp
mmm
nmmmp ...
!!...!
!,...,, 21
2121
21 =
U ovom slučaju vrši se n nezavisnih opita i u svakom od njih se može realizovati samo jedan od dogañaja Ai, i=1, 2, ... , k; p(Ai)=pi; 1...21 =+++ kppp . Odreñujemo verovatnoću da se u n
ponovljenih opita dogañaj A1 realizovao m1 puta, dogañaj A2 m2 puta, ... , dogañaj Ak mk puta.
qnpmqnp +≤≤−
Lokalna Moavr-Laplasova teorema – koristi se za približno odreñivanje verovatnoće pojavljivanja datog dogañaja m puta u slučaju kada su vrednosti n i k velike, za p=q=0.5, odnosno za n>100 i npq>20:
( )( )
npqemp
x
x
n
1
2
1 2
2
43421ϕ
π−
= ( )npq
x1ϕ= gde je
npq
npmx
−=
Funkcija ϕ(x) je Gausova funkcija, čije su vrednosti date u tabeli. Ova funkcija je parna: ϕ(x)= ϕ(-x).
Integralna Moavr-Laplasova teorema:
( ) ( ) ( )
[ ]
npq
npxb
npq
npxa
xxx
abdxebxapb
a
x
−=
−=
∈
Φ−Φ==≤≤ ∫−
2
1
21
2
,
2
2
π
gde je vrednost funkcije φ(x) data u tabeli. Ova funkcija je neparna: φ(-x)=-φ(x).
Posledica ove teoreme je Bernulijev zakon velikih brojeva. Neka je ε proizvoljan pozitivan broj.
Interesuje nas granična vrednost verovatoće dogañaja M=
≤− εpn
m kada ∞→n , gde je m/n
relativna frekvencija dogañaja A verovatnoće p(A)=p:
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
30
≤− εpn
mp ∼
=∫
−
−
pq
ndte
pq
n
pq
n
t
εφπ
ε
ε
22
12
Poasanova aproksimacija Bernulijeve šeme koristi se za retke dogañaje, kada je malo p, tj. np<20:
( ) ( )
( )λλ
λ λ
→⋅→∞→=
→−
= −−
nn
n
mmn
nmnn
pnpn
np
em
ppm
nmp
,0,
!1
0<λ<∞
Zadaci 6.1. U seriji jednog proizvoda ima 4% škarta. Slučajno se 5 puta bira po jedan proizvod iz serije.
Naći verovatnoću:
a) da se neće izvući ni jedan škart,
b) da će se najmanje 3 puta izvući škart.
Rešenje:
a)
81.096.096.004.00
5)(
0,5
96.01
,04.0
550 ==⋅⋅
=
===−=
=
mp
mn
pq
p
n
b)
0006.0)5()4()3()(
101.096.004.05
5)5(
1012.096.004.04
5)4(
0006.096.004.03
5)3(
5,4,3,5
96.01
,04.0
555
6055
445
235
=++=
⋅=⋅⋅
=
⋅=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
===−=
=
−
−
pppAp
p
p
p
mn
pq
p
II način
0)39.6()95.10()53(
95.105
,39.63
≈Φ−Φ=≤≤
=−==−=
xp
npq
npb
npq
npa
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
31
Napomena: Vrednosti za Φ potražiti u Tablici I proveriti!!!
6.2. Verovatnoća pogotka cilja je 0.25. Cilj se gaña 6 puta. Koja je verovatnoća da je cilj bio pogoñen:
a) 2 puta,
b) bar jedanput?
Rešenje:
a)
3.002.0!4!2
!675.025.0
2
6)2(
6
75.0,25.0
426 ≈⋅
⋅=⋅⋅
=
===
p
n
qp
b)
82.075.025.00
61)0(1
6
75.0,25.0
606 =⋅⋅
−=−
===
p
n
qp
6.3. Istraživanjem je utvrñeno da na svakih 1000 novoroñenčadi ima 515 dečaka i 485 devojčica. U nekoj porodici ima četvoro dece. Kolika je verovatnoća da meñu njima nema više od 2 devojčice.
Rešenje:
7.037.026.007.0
515.0485.02
4515.0485.0
1
4515.0485.0
0
4
)2()1()0(
2,1,0,4
515.0,485.0
22340
444
=++=
=⋅⋅
+⋅⋅
+⋅⋅
=
=++
====
ppp
mn
qp
6.4. Vrši se 10 gañanju u cilj pri čemu je verovatnoća pogotka u jednom gañanju 0.2. Odrediti verovatnoću da broj pogodaka ne bude manji od 2 i ne veći od 4.
Rešenje:
44295.0)0()58.1()42(
,58.18.02.010
2.01044
,08.02.010
2.01022
8.0,2.0,10
=Φ−Φ=≤≤
=⋅⋅
⋅−=−=
=⋅⋅
⋅−=−=
===
xp
npq
npb
npq
npa
qpn
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
32
6.5. Broj dece u nekoj porodici je 10. Ako je verovatnoća rañanja muškog deteta 0.5 odrediti verovatnoću:
a) da porodica ima 5 dečaka i 5 devojčica
b) da je broj dečaka u porodici izmeñu 5 i 8.
Rešenje:
a)
246.05.05.05
10)5(
10
5.0
5510 =⋅⋅
=
===
p
n
qp
b)
47042.0)0()897.1()85(
,897.15.05.010
5.01088
,05.05.010
5.01055
5.0,10
=Φ−Φ=≤≤
=⋅⋅
⋅−=−=
=⋅⋅
⋅−=−=
===
xp
npq
npb
npq
npa
qpn
6.6. Verovatnoća da neki proizvod ne proñe kontrolu je 0.2. Odrediti verovatnoću da kod 400 slučajno izabranih proizvoda broj onih koji nisu prošli kontrolu bude izmeñu 70 i 100.
Rešenje:
88814.039435.049379.0
)25.1()5.2()25.1()5.2()10070(
,5.28.02.0400
2.0400100100
,25.18.002400
2.04007070
8.0,2.0,400
=+==Φ+Φ=−Φ−Φ=≤≤
=⋅⋅⋅−=−=
−=⋅⋅⋅−=−=
===
xp
npq
npb
npq
npa
qpn
6.7. Bacaju se dve kocke 155 uzastopno. Kolika je verovatnoća da će se zbir 8 pojaviti više od 24, a manje od 30 puta?
Rešenje:
25992.021566.047558.0)574.0()968.1()3024(36
31,
36
5,155
35,53,44,62,26
=−=Φ−Φ=≤≤
===
xp
qpn
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
33
6.8. U proizvodnji metalih šipki je prosečno 10% neispravnih. Sa kojom verovatnoćom se može smatrati da će u seriji od 400 slučajno izabranih šipki biti ispravno više od 299?
Rešenje:
1)10()67.6()400300(
1.0,9.0,400
≈Φ+Φ=≤≤===
xp
qpn
Napomena:
p=0.9 jer se u zadatku dat procenat neispravnih šipki.
Za svako a ili b koje je veće od 5 može se uzeti približna vrednost Φ od 0.5.
6.9. Neka je verovatnoća pojave dogañaja A u svakom od 100 nezavisnih opita 0.8. Naći verovatnoću pojave dogañaja A od 75 do 90 puta.
Rešenje:
8884.0)25.1()5.2()9075(
2.0,8.0,100
=Φ+Φ=≤≤===
xp
qpn
6.10. Naći broj potrebnih ponavljanja opita da bi se sa verovatnoćom ne manjom od 0.95 moglo tvrditi da je razlika izmeñu frekvencije i verovatnoće p=0.5 najviše 0.01.
Rešenje:
9604
98
96.102.0
475.025.0
01.0
95.025.0
01.02
5.05.001.02201.05.0
95.001.0
95.0)(,5.0?,
≥≥
≥
≥
Φ
≥
Φ
⋅Φ=
Φ=
≤−
≥
≤−
≥===
n
n
n
n
n
n
pq
n
n
mp
pn
mp
npqpn
ε
6.11. Posejano je 600 zrna kukuruza. Verovatnoća klijanja jednog zrna je 0.9. Naći granicu apsolutnog odstupanja frekvencije proklijalog semena od verovatnoće p=0.9 ako ta granica treba da bude garantovana sa verovatnoćom 0.995.
Rešenje:
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
34
( )( )
034.0
81.265.81
4975.065.81
995.065.812
1.09.0
60029.0
600
995.09.0600
995.0)(,1.0,9.0,600?,
==
=Φ=⋅Φ
⋅Φ=
≤−
=
≤−
=====
εε
εε
εε
ε
ε
mp
mp
npqpn
6.12. Odrediti verovatnoću da pri bacanju novčića 100 puta relativna frekvencija pojave grba odstupa od verovatnoće 0.5 više od 0.1 puta.
Rešenje:
( )
0455.09545.011.05.0100
9545.047725.0222
5.05.0
1001.021.05.0
100
?1.05.0100
5.0,100,1.0
=−=
>−
=⋅=Φ
⋅Φ=
≤−
=
≤−
====
mp
mp
mp
qpnε
6.13. U partiji od 10000 proizvoda ima 6000 proizvoda prve klase. Kolika je verovatnoća da u uzorku od 100 proizvoda bude 70 proizvoda prve klase?
Rešenje:
01.00498.02.0)04.2(899.4
1)70(
04.24.06.0100
6.010070
)(1
)70(
4.0,6.0,70,100
100
100
=⋅=⋅≈
=⋅⋅⋅−=−=
⋅≈
====
ϕ
ϕ
p
npq
npmx
xnpq
p
qpmn
6.14. U kutiji je 5 plavih i 50 crnih kuglica. Kolika je verovatnoća da se u 10 nezavisnih izbora sa vraćanjem 3 puta izvuče plava kuglica?
Rešenje:
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
35
05.0!3
9.0
!)3(
9.009.01011
10,
11
1,3,10
9.03
10 =⋅=⋅=
=⋅=
====
−− eem
p
qpmn
mλλ
λ
6.15. Naći verovatnoću da se od 500 slučajno izabranih ljudi šestoro rodilo 1.aprila.
Rešenje:
002.0!6
37.1
!)6(
37.1365
364,
365
1,6,500
37..16
500 =⋅=⋅=
=
====
−− eem
p
qpmn
mλλ
λ
6.16. Prema podacima tehničke kontrole prosečno kod 2% časovnika treba izvršiti dopunsko regulisanje.
a) Koja je verovatnoća da se na 290 od 300 slučajno izabranih časovnika ne vrši dopunsko regulisanje?
b) Ako se kod 300 časovnika nañe najmanje 11 kod kojih treba izvršiti dopunsko regulisanje, cela partija se ne prihvata. Koja je verovatnoća da se partija prihvati?
Rešenje:
a)
04.0!10
6
!)10(
6
98.0,02.0,290,300
610
300 =⋅=⋅=
=====
−− eem
p
qpmn
mλλ
λ
b)
98.002.01)11(1
02.0!11
6
!)11(
6
98.0,02.0,11,300
300
611
300
=−=−=
=⋅=⋅=
=====
−−
pp
eem
p
qpmn
mλλ
λ
6.17. Za jedan sat telefonska centrala dobije prosečno 60 poziva. Naći verovatnoću da neće biti ni jednig poziva za vreme trajanja od 30 minuta.
Rešenje:
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
36
61.0!0
5.0
!)0(
5.060
1,0,30
5.00
30 =⋅=⋅=
=
===
−− eem
p
pmn
mλλ
λ
6.18. Verovatnoća da je jedan proizvod defektan je 0.01. Iz velikog skladišta uzima se 100 proizvoda. Naći verovatnoću da meñu njima bude tačno 5 defektnih.
Rešenje:
003.0!5
1
!)5(
1
01.0,5,100
15
100 ≈⋅=⋅=
====
−− eem
p
pmn
mλλ
λ
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
37
7. SLUČAJNE PROMENLJIVE Definicija - Realizacija svakog slučajnog dogañaja može se okarakterisati brojem.
Promenljiva veličina, koja te brojne vrednosti uzima sa odreñenim verovatnoćama, naziva se slučajnom promenljivom. Slučajna promenljiva se često definiše i kao funkcija, koja svakom elementarnom dogañaju pridružuje neki broj.
Diskretna slučajna promenljiva - kada slučajna promenljiva uzima sa pozitivnim verovatnoćama konačan broj ili prebrojivo mnogo vrednosti.
Neprekidna slučajna promenljiva - kada slučajna promenljiva sa pozitivnim verovatnoćama može da uzme proizvoljnu brojevnu vrednost na odreñenom intervalu.
7.1.Diskretna slučajna promenljiva
Diskretnu slučajnu promenljivu definišu, potpuno odreñuju:
- Zakon raspodele verovatnoća slučajne promenljive je pravilo po kome svakoj vrednosti slučajne promenljive pridružujemo odgovarajuću verovatnoću.
,...
...:
2
2
1
1
n
n
p
x
p
x
p
xX ∑
=
=n
iip
1
1
- nxxx ,...,, 21 vrednosti koje može da ima slučajna promenljiva X .
- nppp ,...,, 21 verovatnoće sa kojima X uzima vrednosti nxxx ,...,, 21 .
Grafička ilustracija raspodele verovatnoća je poligon raspedele verovatnoća.
- Verovatnoća dogañaja X<x, koja zavisi od x, tj. funkcija je od x, naziva se funkcijom raspodele verovatnoća ili kumulativnim zakonom raspodele verovatnoća, a označava se sa F(x), tj.
∑<
=<=xx
i
i
pxXpxF )()(
Kod diskretne slučajne promenljive funkcija raspodele je:
+++
+=
1
,...
...,
,
,
,0
)(
21
21
1
nppp
pp
p
XF za
>≤<
≤<≤<
≤
−
n
nn
xx
xxx
xxx
xxx
xx
1
32
21
1
...
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
38
7.2. Neprekidna slučajna promenljiva
f(x) - gustina raspodele verovatnoća - nema univerzalni karakter, postoji samo za neprekidne slučajne promenljive F(x) - funkcija raspodele verovatnoća
∫
∫
∞−
=
−==≤≤
=
x
b
a
dttfxF
aFbFxfbXap
xFxf
)()(
)()()()(
)(')(
Osobine gustine raspodele:
∫∞
∞−
=
≥
1)(
0)(
dxxf
xf
Zadaci: 7.1. Sastaviti zakon i funkciju raspodele verovatnoća broja pojavljivanja dogañaja A u 3
nezavisna opita ako je verovatnoća ostvarivanja dogañaja A u svakom opitu 0.6.
Rešenje:
=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
===−==
216.0
3
432.0
2
288.0
1
064.0
0:
216.04.06.03
3)3(
432.04.06.02
3)2(
288.04.06.01
3)1(
064.04.06.00
3)0(
3,2,1,0,3,4.01,6.0
033
23
213
303
X
p
p
p
p
mnpqp
=
,1
,784.0
,352.0
,064.0
,0
)(XF
>≤<≤<≤<
≤
3
32
21
10
0
x
x
x
x
x
7.2. Neki novčić se baca 2 puta. Napisati zakon i funkciju raspodele slučajne promenljive X - broj pojave grba.
Rešenje:
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
39
=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
===−==
25.0
2
5.0
1
25.0
0:
25.05.05.02
3)2(
5.05.05.01
3)1(
25.05.05.00
3)0(
2,1,0,2,5.01,5.0
222
2
202
X
p
p
p
mnpqp
=
,1
,75.0
,25.0
,0
)(XF
>≤<≤<
≤
2
21
10
0
x
x
x
x
7.3. Neki novčić se baca 5 puta. Napisati zakon i funkciju raspodele slučajne promenljive X - broj pojave pisama.
Rešenje:
=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
===−==
32
15
32
54
32
103
32
102
32
51
32
10
:
32
15.05.0
5
5)5(
32
55.05.0
4
5)4(
32
105.05.0
3
5)3(
32
105.05.0
2
5)2(
32
55.05.0
1
5)1(
32
15.05.0
0
5)0(
5,4,3,2,1,0,5,5.01,5.0
055
45
235
325
45
505
X
p
p
p
p
p
p
mnpqp
7.4. Slučajna veličina ima za gustinu:
a) 21
)(x
axf
+= na intervalu [-1,1]. Odrediti a i F(x).
b)
=,0
,cos)(
xaxf
inace3
xπ≤
. Odrediti a, F(x) i )6
0(π<< Xp .
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
40
c) +
=,0
),1()(
xaxf
inace
x 20 ≤≤. Odrediti a, F(x) i )21( << Xp .
Rešenje: a)
2
12))1((
22
1)(
2
14
2
1))1(1(
11
12
1
12
+=−−=+
=
=
=⋅
=−−
=+
∫
∫
−
−
arctgxarctgarctgxt
dtXF
a
a
arctgarctga
x
dxa
x
πππ
π
π
b)
6
3
2
1
2
1
6
3
2
10sin
3
3
2
1
6sin
3
3)0(
660
2
1
3
sin3
2
3sin
3
3cos
3
3)(
3
3
13
12
3
2
3
1))3
sin(3
(sin
1cos
3
3
3
=−+=
=
+−+=−
=
<<
+=
+==
=
=
=
+
=−−
=
∫
∫
−
−
πππ
ππ
π
π
π
FFXp
xxtdtXF
a
a
a
a
xdxa
x
c)
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
41
[ ]
( ) [ ]
8
5
2
5
4
112
2
12
4
1
24
1)1(sin
4
121
)1(4
1)(
4
1
1)22(
12
1
1)1(
21
2
1
22
1
2
0
20
2
0
2
2
0
2
0
2
0
=⋅=
−+−⋅=
=
+
=+=<<
+=
=
=+
=
+
=
+
=+
∫
∫
∫ ∫
∫
xx
dxxXp
dxxxf
a
a
xx
a
dxxdxa
dxxa
7.5. Neprekidna slučajna promenljiva X zadana je gustinom ( )
−∉
−∈=
4,
4,0
4,
4,2cos
ππ
ππ
x
xxa
xf .
Odrediti konstantu a, naći funkciju raspodele F(X), kao i verovatnoću
⟨⟨8
0π
Xp .
Rešenje:
4
2
80
)12(sin2
1)(
,1
=
⟨⟨
+=
=
πXp
xXF
a
7.6. Slučajna promenljiva ima normalnu raspodelu ).1,0(N Naći: a) )42.10( << Xp b) )073.0( <<− Xp c) )01.273.1( <<− Xp
d) )5.0( <Xp
e) )13.1( >Xp
Rešenje: a) 4222.0)42.1()42.10( =Φ=<< Xp b) 2673.0)73.0()073.0( =Φ=<<− Xp
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
42
c)93696.0
41466.047778.0)73.1()01.2()01.273.1(
==+=Φ+Φ=<<− Xp
d) 38292.0)5.0(2)5.0( =Φ=<Xp
e) 12924.0)13.1(5.0)13.1( =Φ−=>Xp Napomena: Vidi DODATAK XC
7.7. Prečnik matrica koje fabrika proizvodi je slučajna promenljiva X: ).04.0,5.1(N Naći verovatnoću škarta pod uslovom da je propisana tolerancija prečnika 07.0± . Kolika tolerancija prečnika može da se garantuje sa verovatnoćom 0.97?
Rešenje:
( ) 91988.075.1204.0
07.02)07.007.0( =Φ=
Φ=><− Xp
08012.091988.01 =−=p
09.00868.017.204.0
485.004.0
97.004.0
2
≈=⇒=
=
Φ
=
Φ
aa
a
a
Tolerancija [1.41,1.59]
7.8. Pri velikom broju merenja uočeno je da 75% grešaka ne premašuje 1.25. Zamenjujući frekvencije pojavljivanja grešaka njihovim verovatnoćama, odrediti verovatno odstupanje grešaka, smatrajući da su greške merenja realizacije slučajne promenljive X: ).,0( σN
Rešenje:
86.167.025.1
25.025.1
75.025.1
5.0
75.0)25.1(
=⇒=
=
Φ
=
Φ+
=<
σσ
σ
σ
Xp
7.9. Data je slučajna promenljiva X: N(m,σ). Odrediti nepoznate parametre iz uslova: ( ) 119.020 =⟨Xp i ( ) 025.028 =⟩Xp .
Rešenje:
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
43
( )( )
55.2,009.23
96.128
475.028
18.120
381.020
025.028
5.0
119.020
5.0
025.028
119.020
==
=−⇒=
−Φ
=−⇒=
−Φ
=
−Φ−
=
−Φ+
=⟩
=⟨
σσσ
σσ
σ
σ
m
mm
mm
m
m
Xp
Xp
7.10. U proizvodnji nekih proizvoda propisana tolerancija za jednu dimenziju je u granicama od 5 do 15 mm. Procenat škarta ispod donje granice je 4%, a iznad gornje je 8 %. Uz predpostavku da je posmatrana dimenzija slučajna promenljiva X:N(m,σ),odrediti m i σ.
Rešenje: 54.10=m i 16.3=σ
7.11. Predpostavimo da telesne težine 800 studenata imaju normalnu raspodelu sa srednjom težinom 66kg i standardnim odstupanjem 5kg. Naći broj studenata čija je težina izmeñu 65 i 75kg.
Rešenje:
( ) ( ) %33.5407926.046407.02.08.1
5
6665
5
6675)7565(
)5,66(:
800
=+=Φ+Φ=
=
−Φ−
−Φ=<<
=
Xp
NX
n
7.12. Mašina proizvodi metalne šipke dužine 24cm, s tolerancijom 0.5cm. Na osnovu dužeg posmatranja zna se da je σ = 0.03. Pod pretpostavkom da dužine X metalnih šipki imaju normalnu raspodelu, izračunati procenat metalnih šipki koje će se naći u intervalu tolerancije.
Rešenje:
( ) %9067.1203.0
05.02)05.0(
)03.0,24(:
=Φ=
Φ=<Xp
NX
7.13. Pokazati da je ( ) 997.03 =⟨− σmXP .
Rešenje:
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
44
( )997.049865.02
997.032
997.03
2
997.0)3(
≈⋅=Φ
=
Φ
=<−
σσ
σmXp
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
45
8. DVODIMENZIONALNA SLU ČAJNA PROMENLJIVA
8.1. Diskretna dvodimenzionalna slučajna promenljiva
Vrednosti dvodimenzionalne slučajne promenljive se mogu predstaviti tačkama u ravni xOy; ona je slučajna tačka (x,y) u ravni.
Zakon raspodele verovatnoća je pravilo po kome svakom paru vrednosti (xi, yi) slučajne promenljive (x,y) pridružujemo odgovarajuću verovatnoću pij. Znači, imamo:
pij – verovatnoću da slučajna promenljiva X uzme vrednost xi, a slučajna promenljiva Y vrednost yij tj.
( ) ,, ijpyYxXP === ,,...,1 ni = ,,...,1 mj = ∑∑= =
=n
i
m
jijp
1 1
1
Takoñe, imamo marginalne verovatnoće po vrstama pi i po kolonama pj, gde su:
.21 ... iimii pppp =+++ ,,...,1 ni = ( )i
m
jiji xXPpp ===∑
=1.
jnjjj pppp .21 ... =+++ ,,...,1 mj = ( )j
n
iijj yYPpp ===∑
=1.
11 1
.. ==∑ ∑= =
n
i
m
jji pp
Funkcija raspodele F(x,y) predstavlja verovatnoću istovremene realizacije dogañaja X<x, Y<y, tj:
F(x,y)=P(X<x, Y<y)
Grafička interpretacija funkcije raspodele je:
F(x,y) je verovatnoća da slučajna tačka (x,y) padne u beskonačni kvadrat sa temenom u tački (x,y).
( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )caFdaFcbFdbF
dYcbXaPSYXP
,,,,
,,
+−−==⟨⟨⟨⟨=∈
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
46
Osobine funkcije raspodele
1. F(x,y) je neopadajuća funkcija svojih argumenata
( ) ( )( ) ( ) 1212
1212
,,,
,,,
yyyxFyxF
xxyxFyxF
⟩≥⟩≥
2. ( ) ( ) ( ) 0,,, =−∞∞−=∞−=−∞ FyFxF
3. ( ) ( ) ( )xFYxXPxF 1,, =⟨∞−∞⟨⟨=+∞
( ) ( ) ( )yFyYXPyF 2,, =⟨⟨∞∞⟨−=∞+
( ) ( )yFxF 21 , - odgovarajuće funkcije raspodele promenljivih X i Y:
4. ( ) 1, =+∞∞+F
Marginalne verovatnoće:
( )i
m
jiji xXPpp ===∑
=1. ,,...,1 ni =
( )j
n
iijj yYPpp ===∑
=1. ,,...,1 mj =
Uslovne verovatnoće:
( )
( ).
/
./
/
/
i
ijijij
j
ijjiji
p
pxXyYPp
p
pyYxXPp
====
====
Definicija nezavisnosti dveju slučajnih promenljivih: Slučajne promenljive X i Y su nezavisne ako je ispunjena relacija:
jiij ppp ..= , za proizvoljan par brojeva i, j u diskretnom slučaju ili relacije:
( ) ( ) ( )yFxFyxF
pp
pp
jij
iji
21
./
./
, =
=
=
8.2. Neprekidna dvodimenzionalna slučajna promenljiva
Gustina raspodele i funkcija raspodele
( ) ( ) ( )yxFyx
yxFyxf xy ,
,,
2
′′==δδ
δ
( )[ ] ( )( )
dxdyyxfDYXPD∫∫=∈ ,, - verovatnoća da tačka (x,y) padne u oblast D.
Ovde imamo pojam elementarne verovatnoće ( )dxdyyxf , , a to je verovatnoća da slučajna tačka (x,y) padne u pravougaonik sa stranama dx i dy i jednim temenom u tački (x,y). Sabirajući elementarne verovatnoće po oblasti D dobijamo verovatnoću da tačka (x,y) padne u oblast D.
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
47
( ) ( ) ( )∫ ∫∞− ∞−
=⟨−∞⟨⟨∞⟨−=x y
dxdyyxfyYxXPyxF ,,,
Osobine gustine raspodele ( ) 0, ≥yxf
( ) 1, =∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
dxdyyxf
Marginalne funkcije raspodele
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫
∫ ∫∞
∞− ∞−
∞−
∞
∞−
=⟨−∞⟨⟨∞∞⟨−=∞+=
=⟨∞−∞⟨⟨∞⟨−=+∞=
y
x
dxdyyxfyYXPyFyF
dxdyyxfYxXPxFxF
,,,
,,,
2
1
Marginalne gustine raspodele
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∫
∫∞
∞−
∞
∞−
=′=
=′=
dxyxfyFyf
dyyxfxFxf
,
,
22
11
Marginalne gustine raspodele se mogu dobiti pomoću gustine raspodele dvodimezionalne slučajne promenljive, meñutim, obrnuto ne važi. Odnosno, da bi potpuno okarakterisali dvodimenzionalnu slučajnu promenljivu, potrebno je pored marginalnih raspodela znati i zavisnost izmeñu njih. Odnosno, uslovni zakon raspodele verovatnoća.
( ) ( )( )
( ) ( )( )xf
yxfxyf
yf
yxfyxf
1
2
,/
,/
=
=
Tumačenje: verovatnoća da slučajna tačka (X,Y) padne u pravougaonik S je jednaka verovatnoći da ona padne ( )dxxXxS +⟨⟨1 u pojas pod uslovom da je pala u pojas ( )dyyYyS +⟨⟨2 .
Definicija nezavisnosti dveju slučajnih promenljivih: Slučajne promenljive X i Y su nezavisne ako je ispunjena relacija:
( ) ( ) ( )yfxfyxf 21, =
ili relacije:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )dYcPbXaPdYcbXaPdYcbXa
yFxFyxfF
yFxFyxF
yfxyf
xfyxf
yfxfyxf
xy
⟨≤⋅⟨≤=⟨≤⟨≤⇒⟨≤⟨≤∀
′′==′′====
,,
,
,
/
/
,
21
21
2
1
21
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
48
Zadaci: 8.1. Neka u eksperimentu bacanja dve kocke X označava broj tačaka na gornjoj strani prve
kocke, a Y broj tačaka na gornjoj strani druge kocke. Naći verovatnoće:
a) )6( =+ YXp
b) )2( =− YXp
c) )20( 22 ≤+ YXp
d) )9( >+ YXp
e) )10( <XYp
Rešenje:
a) 36
5)6( ==+ YXp
b) 36
4)2( ==− YXp
c) 36
13)20( 22 =≤+ YXp
d) 36
6)9( =>+ YXp
e) 36
17)10( =<XYp
8.2. Eksperiment se sastoji u izvlačenju 3 karte sa vraćanjem, iz špila od 52 karte. Ako sa X označimo broj izvučenih kečeva, a sa Y označimo broj izvučenih dama i kraljeva, odrediti zakon raspodele slučajnih promenljivih X i Y, kao i marginalne verovatnoće.
Rešenje: X\Y 0 1 2 3 pi.
0 2197
1000
2197
600
2197
120
2197
8
2197
1728
1 2197
300
2197
60
2197
12 0
2197
372
2 2197
30
2197
6 0 0
2197
36
3 2197
1 0 0 0
2197
1
p.j 2197
1331
2197
666
2197
132
2197
8 1
2197
1000
52
40)0,0(
3
3
==== YXp 2197
120
52
40
52
8
52
83)2,0( =
⋅⋅=== YXp
2197
600
52
40
52
40
52
83)1,0( =
⋅⋅=== YXp 2197
8
52
8)3,0(
3
3
==== YXp ...
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
49
8.3. Data je raspodela verovatnoća dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y). Naći marginalne raspodele slučajnih promenljivih X i Y, kao i njihove zakone i funkcije raspodele.
X\Y -2 -1 0 1 2 3 0 0.05 0.05 0.1 0 0.05 0.05 1 0.1 0.05 0.05 0.1 0 0.05 2 0.03 0.12 0.07 0.06 0.03 0.04
Rešenje: X\Y -2 -1 0 1 2 3 p.i
0 0.05 0.05 0.1 0 0.05 0.05 0.3 1 0.1 0.05 0.05 0.1 0 0.05 0.35 2 0.03 0.12 0.07 0.06 0.03 0.04 0.35 p.j 0.18 0.22 0.22 0.16 0.08 0.14 1
35.035.03.0
210:X
−−14.008.016.022.022.018.0
321012:Y
=
,1
,65.0
,3.0
,0
)(XF
>≤<≤<
≤
2
21
10
0
x
x
x
x
=
,1
86.0
,78.0
,62.0
,4.0
,18.0
,0
)(YF
>≤<≤<≤<
≤<−−≤<−
−≤
3
32
21
10
01
12
2
y
y
y
y
y
y
y
8.4. Data je raspodela verovatnoća dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y). Naći marginalne raspodele slučajnih promenljivih X i Y, kao i njihove zakone raspodele.
X\Y 1 2 3 1 3 7 0 2 1 4 2 3 5 1 8 4 2 1 6
Rešenje: X\Y 1 2 3 pi.
1 3/40 7/40 0/40 10/40 2 1/40 4/40 2/40 7/40 3 5/40 1/40 8/40 14/40 4 2/40 1/40 6/40 9/40 p.j 11/40 13/40 16/40 1
8.5. Data je raspodela verovatnoća dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y). Naći marginalne raspodele slučajnih promenljivih X i Y, kao i njihove zakone raspodele i verovatnoće ),,( 23 yYxXp =< )/( 12 yYxXp >≤ .
Y/X x1 x2 x3 y1 0.12 0.18 0.1 y2 0.1 0.11 0.39
Rešenje:
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
50
X/Y y1 y2 pi. x1 0.12 0.1 0.22 x2 0.18 0.11 0.29 x3 0.1 0.39 0.49 p.j 0.4 0.6 1
21.011.01.0),( 23 =+==< yYxXp 35.06.0
21.0
)(
),()/(
1
1212 ==
>>≤
=>≤yYp
yYxXpyYxXp
8.6. Naći marginalne verovatnoće, zakone i funkcije raspodela koordinata dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y) date tabelom:
Odrediti verovatnoće p(X>Y) i p(X=Y+2), kao i uslovne raspodele koordinata X i Y.
Rešenje:
45
22
45
20
45
2)( =+=> YXp
45
2)1( =+= YXp
=
14
9
14
2
14
3
1031:2/YX
=
11
1
11
7
11
3
542:1/ XY
=
20
5
20
8
20
7
1031:4/YX
=
14
4
14
8
14
2
542:3/ XY
=
11
6
11
4
11
1
1031:5/YX
=
20
6
20
5
20
9
542:10/ XY
8.7. Baca se kocka 2 puta. Neka slučajna promenljiva X odgovara rezultatu prvog bacanja kocke, a slučajna promenljiva Y odgovara rezultatu drugog bacanja kocke. Naći raspodelu slučajne promeljive Z=X+Y.
Rešenje:
YX =
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
654321:
X\ Y 2 4 5 1 3 7 1 3 2 8 4 10 9 5 6
X\ Y 2 4 5 pi. 1 3/45 7/45 1/45 11/45 3 2/45 8/45 4/45 14/45 10 9/45 5/45 6/45 20/45 p.j 14/45 20/45 11/45 1
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
51
=
36
1
18
1
12
1
9
1
36
5
6
1
36
5
9
1
12
1
18
1
36
1
12111098765432Z
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
52
9. FUNKCIJE SLUČAJNIH PROMENLJIVIH Ako svakoj mogućoj vrednosti slučajne promenljive X odgovara jedna moguća vrednost slučajne promenljive Y, tada se Y naziva funkcijom slučajne promenljive X u oznaci:
( )XY ϕ=
U slučaju diskretne slučajne promenljive:
( ) ( ) ( ) ( )
====⇒
n
nn
n
n
ppp
xyxyxyXY
p
x
p
x
p
xX
...
...
...
...:
21
2211
2
2
1
1 ϕϕϕϕ
Ako je ( )Xϕ monotona funkcija (npr: 13 += XY ), onda je ( ) ( ) iii pxXPyYP ==== . Ako je
( )Xϕ nemonotona funkcija (npr: 13 2 += XY ), onda su verovatnoće ( )iyYP = jednake zbiru
( )ixXP = onih vrednosti slučajne promenljive X za koje Y ima jednake vrednosti.
U slučaju neprekidne slučajne promenljive:
Neka je X neprekidna slučajna promenljiva definisana gustinom raspodele verovatnoća f(x) za bxa << i neka je funkcija )(XY ϕ= neprekidna i diferecijabilna. Imamo slučajeve:
1. za bxa << , )(XY ϕ= je monotono rastuća Verovatnoća dogañaja da se tačka (X,Y) nalazi na delu krive )(XY ϕ= ispod prave AB:Y=y, tj. verovatnoća dogañaja Y<y jednaka je verovatnoći dogañaja xXa << :
)())(()()()()()( aFyFaFxFxXaPyYPyG −=−=<<=<= ψ
gde su: F(x) funkcija raspodele slučajne promenljive X, a )(yψ inverzna funkcija funkcije )(XY ϕ= . Gustina raspodele funkcije )(XY ϕ= je:
)('))(()( yyfyg ψψ ⋅=
2. za bxa << , )(XY ϕ= je monotono opadajuća
)())(()()()()()( bFyFxFbFbXxPyYPyG +−=−=<<=<= ψ )('))(()( yyfyg ψψ ⋅−=
U slučaju monotonosti funkcije )(XY ϕ= uzima se jedinstvena formula za gustinu raspodele verovatnoća:
)('))(()( yyfyg ψψ ⋅=
3. Kada )(XY ϕ= nije monotona
∑ ∫∑∆
=∆∈=<=)(
)())(()()(yi
i dxxfyXPyYPyG
)(')( yGyg =
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
53
Zadaci:
9.1. Ako slučajna promenljiva X ima raspodelu verovatnoća
6.03.01.0
321:X , naći
raspodelu verovatnoća slučajne promenljive Y=3X+1.
Rešenje:
10133)(
7123)(
4113)(
13)(
33
22
11
=+⋅===+⋅==
=+⋅==+=
xy
xy
xy
XX
ϕϕϕ
ϕ
6.03.01.0
1074:Y
9.2. Ako slučajna promenljiva X ima raspodelu verovatnoća
−−4.03.02.01.0
2112:X ,
naći raspodelu verovatnoća slučajne promenljive Y=3X2+1.
Rešenje:
13123)(
4113)(
41)1(3)(
131)2(3)(
13)(
244
233
222
211
2
=+⋅==
=+⋅==
=+−⋅==
=+−⋅==
+=
xy
xy
xy
xy
XX
ϕϕϕϕ
ϕ
5.05.0
134:Y
9.3. Opisati slučajnu promenljivu Y=X2-1, ako je:
Rešenje:
−
8
3
2
1
8
1
321:X
8
3
2
1
8
1
830:Y
−
2
1
4
1
4
1
211:X
2
1
2
1
30:Y
9.4. Slučajna promenljiva X označava verovatnoću pojavljivanja dogañaja A u 3 nezavisna opita, pri čemu je verovatnoća pojavljivanja dogañaja A u jednom opitu 0.25. Odrediti zakon i funkciju raspodele za slučajne promenljive Y=2X+1 i Z=X2.
Rešenje:
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
54
42.075.025.00
3)0( 30
3 =⋅
=p ...
02.014.042.042.0
3210:X
02.014.042.042.0
7531:Y
02.014.042.042.0
9410:Z
9.5. Ako je
3.02.01.01.02.01.06666
0:
πππππX , naći zakon raspodele za Y=sinX.
Rešenje:
1.03.02.04.0
12
2
2
10
:Y
9.6. Ako je
−−
11
1
11
2
11
4
11
3
11
12
02:
ππππX , naći zakon raspodele za Y=cosX.
Rešenje:
−
11
4
11
5
11
2
101:Y
9.7. Gustina f(x) slučajne promenljive X definisana je na intervalu (-∞, ∞). Naći gustinu raspodele verovatnoća g(y) slučajne promenljive Y, ako je 22XY = .
Rešenje:
22XY =
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
55
−+
=
=ΨΨ+ΨΨ=
Ψ==Ψ
Ψ=±=⇒=
2222
1
)('))(()('))(()(
)('22
1)('
)(22
2211
21
2,12
yf
yf
y
yyfyyfyg
yy
y
yY
XY
X
9.8. Naći gustinu raspodele verovatnoća g(y) slučajne promenljive Y, ako je:
a) XY = na intervalu (-∞, ∞)
b) 3XY = na intervalu (0, ∞).
Rešenje:
a) b)
XY = 3XY =
)()()(
1)(')('
)(,)(
21
21
yfyfyg
yy
yyyyYX
−+==Ψ=Ψ
−=Ψ=Ψ⇒±=
3 2
3
3 2
33
3
1)()(
3
1)('
)(
yyfyg
yy
yyYX
=
=Ψ
=Ψ⇒=
9.9. Gustina f(x) slučajne promenljive X definisana je na intervalu (0, ∞). Naći gustinu raspodele verovatnoća g(y) slučajne promenljive Y, ako je:
a) XeY −= ,
b) XY ln= ,
c) 2
1
XY = ,
d) 2XeY −=
Rešenje:
a) b) XeY −= XY ln=
)1
(ln1
)(
1)('
1ln)(
1lnln
yf
yyg
yy
yy
YXXY
=
−=Ψ
=Ψ⇒=⇒−=
YY
Y
YY
eefyg
ey
eyeX
)()(
)('
)(
==Ψ
=Ψ⇒=
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
56
c) d)
2
1
XY =
2XeY −=
)1
(ln2
1)(
2
11
2
1)('
1)(
1
2
yf
yyyg
yyyyy
yy
YX
=
−=
−=Ψ
=Ψ⇒±=
=
=
−
=Ψ
±=⇒−=
−
yf
yy
yg
yy
yyy
YXXY
1ln
1ln2
1)(
1ln2
111ln
2
1)('
1lnln
2
1
2
9.10. Slučajna promenljiva X definisana je gustinom raspodela verovatnoća 2
2
2
1)(
x
exf−
=π
na
intervalu )( ∞<<−∞ X . Naći gustinu raspodele verovatnoća g(y) slučajne promenljive Y=X2.
Rešenje:
2XY =
yeyg
yyy
yyyyYX
y 1
2
1)(
2
1)(')('
)(,)(
2
21
21
−=
=Ψ=Ψ
−=Ψ=Ψ⇒±=
π
9.11.Slučajna promenljiva ima Košijevu raspodelu verovatnoća definisanu gustinom
( )21
1)(
xxf
+=
π na intervalu )( ∞<<−∞ X . Naći gustinu raspodele verovatnoća g(y)
slučajne promenljive Y=X3+2.
Rešenje:
23 += XY
( )
( ) ( )3 43 23 23 2
3
2
1
33
)2()2(3
1
)2(3
1
)2(1
1)(
23
1)('
2)(2
−+−=
−−+=
−=Ψ
−=Ψ⇒−=−
yyyyyg
yy
YyYX
ππ
9.12. Slučajna promenljiva ima uniformnu raspodelu verovatnoća na intervalu )2,0( π . Naći gustinu raspodele verovatnoća g(y) slučajne promenljive Y=cosX.
Rešenje:
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
57
∈=
inace
xxf
,0
)2,0(,2
1)(
ππ
XY cos=
222
221
21
1
1
12
1
12
1)(
1
1)(')('
arccos)(,arccos)(arccos
yyyyg
yyy
YyYyYX
−=
−+
−=
−=Ψ=Ψ
−=Ψ=Ψ⇒=
πππ
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
58
10. NUMERIČKE KARAKTERISTIKE SLU ČAJNIH PROMENLJIVIH
10.1. Matematičko očekivanje, medijan i mod
Matematičko očekivanje E(x) – srednja vrednost slučajne promenljive X:
− u slučaju diskretne slučajne promenljive: ( ) ∑=
=n
iii pxXE
1
− u slučaju neprekidne slučajne promenljive: ( ) ( )∫∞
∞−
= dxxxfXE
Ako je ( )xY ϕ= , funkicja slučajne promenljive X, tada je matematičko očekivanje slučajne promenljive Y jednako:
( ) ( )( )( )
( ) ( )∫
∑∞
∞−
===dxffx
px
XEYE
n
iii
ϕ
ϕϕ 1
Matematičko očekivanje funkcije Xr (r=1,2,...), naziva se običnim momentom reda r:
( )( )∫
∑∞
∞−
===dxffx
px
XEmr
n
ii
ri
rr
1
Definicija: ako je F(x) funkcija raspodele slučajne promenljive X, tada se rešenje jednačine:
( ) pxF p =
naziva kvartilom reda p. Kvartil reda 0.5 naziva se medijanom slučajne promenljive X, tj. medijan Me se dobija kao rešenje jednačine:
( ) ( ) ( ) 5.05.0 =⟨== MexpxFMeF
Pored medijana, koriste se i kvartili X0.25 i X0.75, prvi i treći.
Definicija: ako je X diskretna slučajna promenljiva, tada je mod njena najverovatnija vrednost. Ako je X neprekidna slučajna promenljiva, tada je mod maksimum gustine raspodele.
Osobine matematičkog očekivanja
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )XEXE
YEXEXYE
YEXEYXE
XCECXE
CCE
≥=
+=+=
=
u diskretnom slučaju
u neprekidnom slučaju
u diskretnom slučaju
u neprekidnom slučaju
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
59
10.2. Disperzija i standardno odstupanje
(parametri koji mere rasturanje vrednosti jednodimenzionalne slučajne promenljive oko centra rasturanja)
Definicija: Disperzijom slučajne promenljive X naziva se matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne promenljive X od E(X):
( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )∫
∑∞
∞−
=
−
−=−
=−==
dxffxEx
pxEx
XEXE
XEXEXDn
iii
2
1
2
22
22σ
Pozitivan koren iz disperzije:
( )XD=σ
naziva se standardnim odstupanjem (devijacijom).
Da bi rasturanje različitih raspodela moglo da se uporeñuje, uvedena je relativna mera rasturanja, poznata pod nazivom koeficijent varijacije:
( )XEkv
σ=
Centralni momenat r-tog reda definiše se formulom:
( )( )
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )∫
∑∞
∞−
=
−
−=−
=−=
dxffxEx
pxEx
XEXE
XEXE
r
n
ii
ri
rr
rr
1
µ
Centralni momenti se mogu izraziti i pomoću običnih momenata:
41
2121344
311233
2122
1
364
23
0
mmmmmm
mmmm
mm
−+−=
+−=
−=
=
µµµµ
Ako je ( )xY ϕ= funkcija slučajne promenljive X, onda je centralni momenat r-tog reda slučajne promenljive Y jednak:
( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )∫
∑∞
∞−
=
−
−=−=
dxffxEx
pxEx
XEXEr
n
ii
ri
rr
ϕϕ
ϕϕϕϕµ 1
- u diskretnom slučaju
-u neprekidnom slučaju
u diskretnom slučaju
u neprekidnom slučaju
u diskretnom slučaju
u neprekidnom slučaju
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
60
Disperzija slučajne promenljive Y je: ( ) ( )( ) ( )( )XEXEYD ϕϕ 22 −=
Osobine disperzije
( )( ) ( )XDCCXD
CD2
0
==
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )YDXDYXD
YDXDYXD
+=−+=+
10.3.Koeficijent korelacije
(parametri raspodele dvodimenzionalne slučajne promenljive)
Centar rasturanja vrednosti dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y) okarakterisan je “srednjom tačkom” (M1,M2), gde su M1 i M2 matematička očekivanja slučajnih promenljivih X i Y, koja se u diskretnom i neprekidnom slučaju definišu kao:
( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫∫
∑ ∑ ∑∑∑∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
= = ===
==
==
==dxxxfdyyxfxdxdxdyyxxf
pxpxpx
XEM
n
i
n
i
n
iii
m
jiji
m
jiji
1
1 1 1.
11
1
,,
( )( )∫
∑∞
∞−
===
dyyyf
py
YEM
m
jjj
2
1.
2
Dalje imamo obične momente reda r+s:
( )∫ ∫
∑∑∞
∞−
∞
∞−
= ==
dxdyyxfyx
pyx
msr
n
i
m
jij
sj
ri
rs
,
1 1
odakle su matematička očekivanja M1 i M2 obični momenti prvog reda: 012101 , mMmM ==
Zatim, centralni momenat reda r+s:
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )∫ ∫
∑∑∞
∞−
∞
∞−
= =
−−
−−
=−−=dxdyyxfyEyxEx
pyEyxEx
yEyxExEsr
n
i
m
jij
sj
ri
srrs
,
1 1η
Momenat ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )YEXEXYEYEYXEXE −=−−=11η se zove kovarijansa, a razlomak
( )( ) ( )( ) yxyxxy
MMm
YEYEXEXE σσσσηηρρ 211111
22
11 −==
−−== ; 0≠yxσσ
je koeficijent korelacije za slučajne veličine X i Y.
Ako su dve slučajne promeljive nezavisne onda su i nekorelativne, obrnuto ne mora da važi.
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
61
Zadaci:
10.1. Slučajna veličina X ima sledeći raspored:
−4.03.01.02.0
2101:X . Odrediti E(X) i D(X).
Rešenje:
29.19.01.2)()()(
1.24.023.011.002.0)1()(
9.04.023.011.002.01)(
222
22224
1
22
4
1
=−=−=
=⋅+⋅+⋅+⋅−==
=⋅+⋅+⋅+⋅−==
∑
∑
=
=
XEXEXD
pxXE
pxXE
iii
iii
10.2. Neka je
aX
5.01.02.0
7431: . Odrediti a, E(X) i D(X).
Rešenje:
69.39.39.18)()()(
9.182.075.041.032.01)(
9.32.075.041.032.01)(
2.0)5.01.02.0(1
222
22222
=−=−=
=⋅+⋅+⋅+⋅=
=⋅+⋅+⋅+⋅==++−=
XEXEXD
XE
XE
a
10.3 Slučajna veličina X ima gustinu proporcionalnu sa x2 na intervalu (0,3). Odrediti joj E(X) i σ.
Rešenje:
∉∈
=)3,0(,0
)3,0(,)(
2
x
xkxXf
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
62
80
27)(
80
27
16
81
5
27)(
5
27
59
1
9
1)(
4
9
4
81
9
1
49
1
9
1)(
9
11
3
27
13
1
3
0
53
0
222
3
0
43
0
2
3
0
3
3
0
2
==
=−=
=
==
==
==
=⇒=
=
=
∫
∫
∫
XD
XD
xdxxxXE
xdxxxXE
kk
xk
dxkx
σ
10.4. Diskretna slučajna promenljiva ima dve moguće vrednosti 1y i 2y . Pri tome je 12 yy ⟩ . Ako
je 6.0)( 1 == yYp , 4.1)( =YE i 24.0)( =XD .
Rešenje:
4.06.0: 21 yy
Y
8.11
8.028.0
48.012.1
8.0
024.12544.112.1
064.012.14.0
32.124.016.012.196.1
6.0/2.24.06.0
16.012.196.1
2.24.06.0
6.0
4.04.14.14.06.0
24.04.14.06.0
24.0)()(24.0)(
4.14.06.04.1)(
2111
2212
2,12
22
2
22
222
22
222
22
21
2121
222
21
22
21
====
±=−±=
=+−
=++−
⋅=++−
=+
−=⇒=+
=−+
=−⇔=
=+⇔=
yy
yy
y
yy
yyy
yyy
yy
yyyy
yy
YEYEXD
yyYE
4.06.0
21:Y
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
63
10.5. Date su nezavisne slučajne promenljive
2.015.025.04.0
13972:X i
05.06.035.0
431:Y . Odrediti E(X),D(2X) i D(Y).
Rešenje:
1771.1)(
2.70)(4)2(
5.62.0.13115.0925.074.02)(
===
=⋅+⋅+⋅+⋅=
YD
XDXD
XE
10.6. Dati su zakoni raspodela nezavisnih slučajnih promenljivih.
−26.034.019.021.0
2101:X i
5.02.03.0
420:Y . Naći E(XY) i D(X+2Y).
Rešenje:
3275.1316.121675.1)(4)()2(
56.1)()()(
=+=+=+==
YDXDYXD
YEXEXYE
10.7. Odrediti Me za slučajnu promenljivu X, ako je ona definisana funkcijom raspodele:
>−
≤= − 0,1
0,0)(
xe
xXF
ax.
Rešenje:
aMe
aMe
e
e
MeF
aMe
aMe
2ln2
1ln
ln/5.0
5.01
5.0)(
=
=−
=
=−
=
−
−
10.8. Odrediti matematičko očekivanje, medijanu i modus ako slučajna veličina ima funkciju
raspodele:
>
≤<
≤
=
2,1
20,4
0,0
)(2
x
xx
x
XF .
Rešenje:
≤<==
inace
xx
XFXf,0
20,2)(')(
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
64
3
4
3
8
2
1
32
1
2)(
2
0
32
0
==
== ∫
xdx
xxXE
2
2
5.04
5.0)(
2
2
=
=
=
=
Me
Me
Me
MeF
2
1)(' =Xf nema max f(x), nema modusa
10.9. Izračunati koeficijent varijacije za raspored zadat u tabeli:
razmak f x y fy fy2 5,5-7,5 2 6,5 -5 -10 50 7,5-9,5 3 8,5 -4 -12 48 9,5-11,5 17 10,5 -3 -51 153 11,5-13,5 43 12,5 -2 -86 172 13,5-15,5 62 14,5 -1 -62 62 15,5-17,5 81 16,5 0 0 0 17,5-19,5 70 18,5 1 70 70 19,5-21,5 61 20,5 2 122 244 21,5-23,5 18 22,5 3 54 162 23,5-25,5 3 24,5 4 12 48
Rešenje:
razmak f x y fy fy2 x2 fx fx2
5,5-7,5 2 6,5 -5 -10 50 42,25 13 84,5
7,5-9,5 3 8,5 -4 -12 48 72,25 25,5 216,75
9,5-11,5 17 10,5 -3 -51 153 110,25 178,5 1874,25
11,5-13,5 43 12,5 -2 -86 172 156,25 537,5 6718,75
13,5-15,5 62 14,5 -1 -62 62 210,25 899 13035,5
15,5-17,5 81 16,5 0 0 0 272,25 1336,5 22052,25
17,5-19,5 70 18,5 1 70 70 342,25 1295 23957,5
19,5-21,5 61 20,5 2 122 244 420,25 1250,5 25635,25
21,5-23,5 18 22,5 3 54 162 506,25 405 9112,5
23,5-25,5 3 24,5 4 12 48 600,25 73,5 1800,75
∑ 360 155 -5 37 1009 6014 104488
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
65
%17.201007.16
37.3
37.334.11
34.11)(
23.290360
104488)(
7.16360
6014)(
22
=⋅=
==
=
===
===
∑
∑
V
XDN
fxXE
N
fxXE
i
i
σ
10.10. Odrediti E(XY), E(X), E(Y) ako je zakon raspodele slučajnog vektora (X,Y) dat tablicom. da li su X i Y nezavisne?
X/Y 0 1 2
0 1/9 2/9 0 1 0 1/9 2/9 2 2/9 0 1/9
Rešenje:
X/Y 0 1 2 fx xfx
0 1/9 2/9 0 1/3 0 1 0 1/9 2/9 1/3 1/3 2 2/9 0 1/9 1/3 2/3 fy 1/3 1/3 1/3 1 - yfy 0 1/3 2/3 - -
1)(,1)( == YEXE
X/Y 0 1 2
0 1/9 2/9 0 1 0 1/9 2/9 2 2/9 0 1/9 Si xSi
f0yy 0 2/9 0 2/9 0 f1yy 0 1/9 4/9 5/9 5/9 f2yy 0 0 2/9 2/9 4/9
1)( =XYE X i Y nisu nezavisne jer je: )()()( YEXEXYE ⋅=
10.11. Izračunati koeficijent korelacije za dati dvodimenzionalni raspored. X/Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 3 2 2 1 0 0 0 0 0 4 0 0 1 4 4 3 3 1 0 0 0 5 0 0 0 1 4 6 5 4 1 1 0 6 0 0 0 0 1 2 3 6 4 2 0 7 0 0 0 0 0 0 2 3 5 4 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 2
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
66
Rešenje:
X/Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fx x*fx x2*fx 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 7 14 28 3 1 2 3 2 2 1 0 0 0 0 0 11 33 99 4 0 0 1 4 4 3 3 1 0 0 0 16 64 256 5 0 0 0 1 4 6 5 4 1 1 0 22 110 550 6 0 0 0 0 1 2 3 6 4 2 0 18 108 648 7 0 0 0 0 0 0 2 3 5 4 2 16 112 784 8 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 2 7 56 448 fy 5 5 6 8 11 12 13 14 12 10 4 100 500 2816 y*fy 0 5 12 24 44 60 78 98 96 90 40 547 y2*fy 0 5 24 72 176 300 468 686 768 810 400 3709 Si*xi f1y*y 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 f2y*y 0 2 4 3 0 0 0 0 0 0 0 9 18 f3y*y 0 2 6 6 8 5 0 0 0 0 0 27 81 f4y*y 0 0 2 12 16 15 18 7 0 0 0 70 280 f5y*y 0 0 0 3 16 30 30 28 8 9 0 124 620 f6y*y 0 0 0 0 4 10 18 42 32 18 0 124 744 f7y*y 0 0 0 0 0 0 12 21 40 36 20 129 903 f8y*y 0 0 0 0 0 0 0 0 16 27 20 63 504 Σ 3151
5100
500)( ==XE 16.28
100
2816)( 2 ==XE 16.3516.28)( 2 =−=XD
47.5100
547)( ==YE 09.37
100
3709)( 2 ==YE 1691.747.509.37)( 2 =−=YD
68.2=yσ 78.1=xσ 87.068.2*78.1
47.5*551.31 =−=xyρ
10.12. Izračunati koeficijent korelacije za dati dvodimenzionalni raspored. X/Y 1 2 3 1 3 7 0 2 1 4 2 3 5 1 8 4 2 1 6
Rešenje:
X/Y 1 2 3 fx xfx x2fx
1 3 7 0 10 10 10
2 1 4 2 7 14 28
3 5 1 8 14 42 126
4 2 1 6 9 36 144
fy 11 13 16 40 102 308
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
67
yfy 11 26 48 85
y2fy 11 52 144 207 Si*xi
f1yy 3 14 0 17 17 f2yy 1 8 6 15 30 f3yy 5 2 24 31 93 f4yy 2 2 18 22 88
Σ 228
55.2)( =XE 7.7)( 2 =XE 1975.1)( =XD
125.2)( =YE 175.5)( 2 =YE 659.0)( =YD
81.0=yσ 09.1=xσ 40.0=xyρ
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
68
11. NEJEDNAKOST ČEBIŠEVA Ako slučajna promeljiva ima konačnu disperziju, onda je:
( )( ) ( )2ε
ε XDXEXp ≤≥− , ODNOSNO ( )( ) ( )
21
εε XD
XEXp −><−
gde je ε proizvoljan pozitivan broj.
U vezi sa ovim pominje se i nejednakost Markova:
( ) ( )a
XEaXp <> , odnosno ( ) ( )
a
XEaXp −<> 1
Zadaci:
11.1. Diskretna slučajna promenljiva ima raspodelu verovatnoća:
8.02.0
6.03.0:X . Oceniti
( )2.0)( <− XEXp pomoću nejednakosti Čebiševa.
Rešenje:
0144.0)(
306.08.06.02.03.0)(
54.08.06.02.03.0)(222
==⋅+⋅=
=⋅+⋅=
XD
XE
XE
( ) 64.004.0
0144.012.0)( =−≥<− XEXp
11.2. Slučajna promenljiva ima raspodelu verovatnoća:
1.02.03.025.01.005.0
654321:X . Oceniti ( )2)( <− XEXp pomoću
nejednakosti Čebiševa.
Rešenje:
66.1)(1.16)(8.3)( 2 === XDXEXE
( ) 585.02)8.3 ≥<−Xp
11.3. Iz ( ) 9.0)( ≥<− εXEXp i D(X)=0.09 odrediti ε .
Rešenje:
( )
3.09.0
1.009.0
9.009.0
1)(
2
2
2
=⇒=
=
=−≥<−
εεε
εεXEXp
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
69
11.4. Slučajna promenljiva X ima E(X)=1 i standardno odstupanje 0.2.Pomoću nejednakosti Čebiševa oceniti 0.5<X<1.5.
Rešenje:
( ) 84.016.015.0
2.015.0)1
2
2
=−=−≥<−Xp
11.5. Slučajna promenljiva X ima E(X)=2 i standardno odstupanje 1. Pomoću nejednakosti Čebiševa oceniti p(-3<X<7).
Rešenje:
( ) 96.025
11
5
115)2
2
2
=−=−≥<−Xp
11.6. Matematičko očekivanje E(X) brzine vetra na datoj visini je 25 km/h, dok je standardno odstupanje σ = 4,5 km/h. Kolike se brzine vetra mogu očekivati na toj visini sa verovatnoćom ne manjom od 0,9?
Rešenje:
23.3977.10
23.1425
23.145.2021.0
25.2025.201.0
25.201
)(19.0
9.0)25(
25.20)(5.4
25)(
22
22
≤≤≤−
⇒==⇒−=−
−=−=
≥≤−=⇒=
=
X
X
XD
Xp
XD
XE
εε
εε
εσ
11.7. Slučajna promenljiva ima raspodelu verovatnoća:
05.015.015.025.03.01.0
12108642:X . Oceniti ( )11<Xp pomoću nejednakosti
Markova.
Rešenje:
2.6)( =XE
( ) 44.011
2.6111 ≈−≥<Xp
11.8. Srednji vek motora je 4 godine. Oceniti verovatnoću da dati motor neće raditi više od 20 godina.
Rešenje:
( ) 8.020
4120 =−≥<Xp
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
70
12. LINEARNE REGRESIJE Ako je poznat zakon raspodele slučajnih veličina (X,Y), odreñujemo uslovne verovatnoće u diskretnom i naprekidnom slučaju:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )xf
yxfyfxyf
ixp
yxpxXyYp
x
i
jiij
1
,/
,...2,1;,
/
==
====
Ako je zavisnost meñu slučajnim veličinama delimična, radi se o uslovnom matematičkom očekivanju:
( ) ( ) ( )xXYExyXR === /
koje u diskretnom slučaju ima oblik:
( ) ( ) ( )∑==j
iij xypyxyXR /
a u neprekidnom:
( ) ( ) ( )∫∞
∞−
== dyxyyfxyXR /
Slučaj linearne regresije – aproksimativna kriva je βα += XY . Linearnu regresiju
možemo odrediti metodom najmanjih kvadrata. Parametre α i β odreñujemo iz uslova da
funkcija ( ) ( )( )2, βαβα +−= XYEG ima minimum. Dobijamo sistem jednačina:
( ) ( ) ( )( ) ( )YEXE
GGXYEXEXE
=+
=′∧=′=+
βαβα βα 002
čijim rešavanjem dolazimo do izraza za linearnu regresiju Y na X.
( )( ) ( )YEXEXyx
yxy +−=
σσ
ρ
Ako je na raspolaganju n tačaka ( )iii yxM , , traži se da funkcija:
( ) ( )( )∑=
+−=n
iiii xypG
1
2, βαβα
ima najmanju vrednost.
Odatle je:
( )
( )∑ ∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑ ∑∑
−
−=
−
−=
22
2
22
ii
iiiii
ii
iiii
xxn
yxxyx
xxn
yxyxn
β
α
čijom se zamenom u βα += XY dobija linearna regresija Y na X.
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
71
Zadaci 12.1. Odrediti srednje kvadratnu regresionu pravu Y na X na osnovu zadate tabele podataka:
x 1 3 4 6 8 9 11 14
y 1 2 4 4 5 7 8 9
Rešenje:
x y xi2 xiyi
1 1 1 1 3 2 9 6 4 4 16 16 6 4 36 24 8 5 64 40 9 7 81 63 11 8 121 88 14 9 196 126
Σ 56 40 524 364
64.0565248
405636482
=−⋅
⋅−⋅=α 55.0565248
36456405242
=−⋅
⋅−⋅=β
55.064.0 += XY
12.2. Za podatke u tabeli ( )iii yxM , odrediti regresiju Y na X.
xi yi 2ix xiyi
1 1.25 1 1.25 1.5 1.4 2.25 2.1 3 1.5 9 4.5
4.5 1.75 20.25 7.875 5 2.25 25 11.25
Rešenje:
202.0=α 024.1=β
024.1202.0 += XY
12.3. Zakon raspodele slučajnog vektora (X,Y) dat je tablicom. Odrediti regresiju Y na X i ρxy. X/Y 0 2 4 6
1 0 3 1 4 2 2 1 0 1 3 4 2 2 0
Rešenje:
X/Y 0 2 4 6 fx xfx x2fx
1 0 3 1 4 8 8 8
2 2 1 0 1 4 8 16
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
72
3 4 2 2 0 8 24 72
fy 6 6 3 5 20 40 96
yfy 0 12 12 30 54
y2fy 0 24 48 180 252 Si*xi
f1yy 0 6 4 24 34 34 f2yy 0 2 0 6 8 16 f3yy 0 4 8 0 12 36
Σ 86
2)( =XE 5
24)( 2 =XE
5
4)( =XD
10
27)( =YE
5
63)( 2 =YE 31.5)( =YD
89.0=xσ 3.2=yσ 54.0−=xyρ
XY
XY
XEXYEY
XXY
Y
39.196.389.0
254.0
3.2
7.2
)()(
−=
−−=−
−=−σ
ρσ
12.4. Zakon raspodele slučajnog vektora (X,Y) dat je tablicom. Odrediti metodom najmanjih kvadrata regresiju Y na X i ρxy.
X/Y 1 2 3 4 5 6 0 1 3 0 0 0 0 1 2 0 4 0 2 0 2 0 0 3 3 0 2
Rešenje:
X/Y 1 2 3 4 5 6 fx xfx x2fx 0 1 3 0 0 0 0 4 0 0 1 2 0 4 0 2 0 8 8 8 2 0 0 3 3 0 2 8 16 32 fy 3 3 7 3 2 2 20 24 40 yfy 3 6 21 12 10 12 64 y2fy 3 12 63 48 50 72 248 Si*xi f1yy 1 6 0 0 0 0 7 0 f2yy 2 0 12 0 10 0 24 24 f3yy 0 0 9 12 0 12 33 66
Σ 90
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
73
78.118.1
18.1962
25.914
2
9
5
6
5
16
5
62
78.15
6
5
16
5
16
5
62
9
5
62
)()(
)()()( 2
+=
=⇒−=
=
−+
=−=⇒=+
=+
=+=+
XY
YEXE
XYEXEXE
αα
αα
αββα
βα
βαβα
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
74
DODATAK A - NEKE VAŽNE DISKRETNE RASPODELE Binomna raspodela ( )pnB , , ( )1,0∈p
( ) inii
x
qpi
niXpp
nR
−
===
= ,...,1,0
ni ,...,1,0=
Puasonova raspodela ( )λ0P , (λ>0)
( ) λλ −===
=
ei
iXpp
Ri
i
x
!
,...2,1,0
,...2,1,0=i
Geometrijska raspodela
( ) ( ) ppiXpp
Ri
i
x
11
,...3,2,1−−===
=
Verovatnoća i statistika – zbirka zadataka
75
DODATAK B - NEKE VAŽNE RASPODELE NEPREKIDNOG TIPA Normalna (Gausova) raspodela N (m,σ)
( )( )
dtexFx mt
∫∞−
−−= 2
2
2
2
1 σ
πσ ( )
( )2
2
2
2
1 σ
πσ
mx
exf−
−=
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
−Φ−=⟨∞⟨
−Φ+=⟨∞⟨−
Φ=⟨⟨−
Φ−Φ=⟨⟨=
−⟨
−⟨
−=⟨⟨
σ
σ
σ
σσσ
mxXxP
mxxXP
aaXaP
tttTtPmbmxma
PbXaP
5.0
5.0
2
1221
Uniformna raspodela ( )baU , , (a<b)
( )
⟩
≤≤−−⟨
=
bx
bxaab
ax
ax
xF
,1
,
,0
( )[ ]
[ ]
∈−
∉=
baxab
baxxf
,,1
,,0
Gama raspodela ( )baG , , (a>0, b>0)
( )( )
≥Γ
⟨
=∫∞−
−− 0,
0,0
1 xdtetb
a
x
xF xatb
b ; ( )( )
≥Γ
⟨
= −− 0,
0,0
1 xexb
a
x
xf axbb ;
( )
( ) ( )Nnnn
dxexb ab
∈∀=+Γ
=Γ ∫∞
−−
!10
1
Eksponencijalna raspodela ( )aEx , (a>0)
( )
⟩−
≤=
− 0,1
0,0
xe
xxF
ax ( )
⟩
≤=
− 0,
0,0
xae
xxf
ax