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Corso di Fisica I

vettori in FisicaProf. Massimo Masera

Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia FarmaceuticheAnno Accademico 2011-2012

dalle lezioni del prof. Roberto CirioCorso di Laurea in Medicina e Chirurgia

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La lezione di oggi Scalari

Vettori

Operazioni tra vettori

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Scalari

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Scalari Ci sono delle grandezze fisiche che possono essere

rappresentate con un numero, espresso in un’opportuna unità di misura. Si tratta di grandezze scalari.

Uno scalare può avere segno positivo o negativo

Esempi: Il volume di un oggetto.

Volume di un dado: 3.7 cm3

Volume del liquido in una siringa: 10 ml La temperatura in una stanza: T=20 oC La potenza di una lampadina: P=20 W

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Scusi, sa

dov’èla

biblioteca ?

Sì

Sì, a 0.5 km

Sì, a 0.5 km in direzione nord-ovest

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Vettori

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Vettori Un vettore è una grandezza matematica

definita da modulo, direzione e verso

Come lo scalare, rappresenta una grandezza fisica con la sua unità di misura

Esempi di grandezze vettoriali: Velocità Accelerazione

Si indica con v o

Il modulo si indica con v o

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Modulo: 0.5 km

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Direzione:

verticale

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Verso:

Nord

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EsercizioIndicare modulo, direzione e verso del

vettore indicato in figura.

La velocità del vento è pari a

v = 25 km/h

Soluzionemodulo: 25 km/hdirezione: orizzontaleverso: OVEST

N

E

S

W

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Un vettore

Origine

(o punto di

applicazione)

Vertice

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I versori

Modulo: unitario (ad esempio, 1 m)

Direzione: orizzontale

Verso: da sinistra a destra

Modulo: unitario (ad esempio, 1 m)

Direzione: verticale

Verso: dal basso verso l’alto

Versori coordinati

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x

y

zTerna destrorsa

x

y

zTerna sinistrorsa

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Operazioni con i vettori

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Prodotto di un vettore per uno scalare

Vettore × Scalare=

Vettore con: uguale direzione verso: uguale o

opposto (dipende dal segno dello scalare)

modulo pari al prodotto dei moduli

3A = A+A+A = 3 x A

-3A = (-3) x A

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Componenti

rx PROIEZIONE di r sull’asse xry PROIEZIONE di r sull’asse y

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Le componenti di un vettore

x

y

r

r θ tg

2y

2x r r r

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Vettore posizione nello spazioVettore posizione:

kzjyixr ˆˆˆ

Indica la posizione di un oggetto (fermo o in movimento) rispetto all’origine di un sistema di riferimento..

Vedremo che velocità e accelerazione possono essere espresse a partire dal vettore posizione

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Esempio 1Determinare le componenti di un vettore

con modulo 3.5 m e direzione 66°

Dunque il vettore si può esprimere come:

m 1.4 66 cos m) (3.5 θ cosA A ox

m 3.2 66sen m) (3.5 θsen A A oy

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Esempio 2Determinare modulo e direzione di un

vettore con componenti AX=1.4 m e Ay=3.2 m

Il modulo del vettore sarà:

L’angolo q si ottiene da:

m 3.5 m) (3.2 m) 4.1(A A A A 222y

2x

o

x

y 66 2.25atan m 1.4

m 3.2atan

A

Aatan θ

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Uno stormo di anatre si è spostato di 30 km,

come mostrato in figura ( a = 30°).

Determinare lo spostamento verso Nord e verso Est.

Esercizio

O

A

S

Sest

Snor

d N

E

S

Wa

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Soluzione

= spostamento dello stormo = 30 kmO = origine del vettore, da cui partono le due semirette dirette verso nord e verso estSi costruisce il parallelogrammo (rettangolo) avente una diagonaleindividuata dal vettore ed i lati diretti secondo le due semirette.

O

A

S

Sest

Snor

d N

E

S

W

Esercizio

|S| S = Sest + Snord

Snord = S sin a = 26 kmSest = S cos a = 15 kma

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n. 38, pag. M88 WalkerSi immagini di spingere una scatola su una rampa di carico lunga 10.0 m. In cima alla rampa la scatola ha raggiunto l’altezza di 3.00 m. Quanto misura l’angolo formato dalla rampa con il piano ?

SoluzioneS’imposta il sistema:

da cui si ricava

e infine

m 10 s

senθs y

ys

q

Esercizio

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Nota sul piano inclinato…Gli Egizi e le piramidi

Piramide = piano inclinato

Il piano inclinato rende più agevole lo spostamento dei carichi (blocchi di pietra).

Chi spinge il carico sul piano, infatti, deve vincere solo la componente parallela al piano, ottenuta proiettando P lungo la direzione del piano inclinato.

qP

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Convenzioni

1o quadrante

2o quadrante

3o quadrante

4o quadrante

Verso antiorario

partendo dall’asse x

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Convenzioni

Ax>0 , Ay >0

I quadrante

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Convenzioni

Ax<0 , Ay >0

II quadrante

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Convenzioni

Ax<0 , Ay <0

III quadrante

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Convenzioni

Ax>0 , Ay <0

IV quadrante

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Somma di vettori

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Somma di vettori

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Somma di vettori

Un vettore è definito da

MODULO, DIREZIONE, VERSO

indipendentemente dalla sua posizione

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Somma di vettori

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La somma tra vettori è indipendente dall’ordine con il quale i

vettori vengono sommati

A B B A C

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Esempio di somma di vettori

Un aereo vola da Bari a Roma AB = 388 kmquindi l’aereo vola da Roma a Milano BC = 472 kmLo spostamento risultante rispetto all’aeroporto di

Bari èdato dalla posizione iniziale e da quella finale, ossia

dalvettore che congiunge Bari con Milano AC = 740 km MILANO

ROMABARI

C

BA

vettore risultante uguale somma vettori

ma

Modulo vettore risultante diverso somma dei moduli

delle componenti*

(*) AB+BC=(388+472)km=860 km

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EsercizioUna barca viene trainata per mezzo di una fune da due persone

che camminano parallelamente, lungo le rive opposte di un canale.

Sapendo che:

a = 60° e che la forza esercitata da ciascun uomo = 577 N

Determinare la forza necessaria per trainare la barca.

a/2

a/2

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Esempio di somma di vettori:

Soluzione:

a = 60° forza esercitata da ciascun uomo = 577 N = OA = OB

OH = OA cos ( /2) = a OB cos ( /2) = a 500 N

forza per trainare la barca = 2 OH = 1000 N = OO’

O

B

A

H

O’

a/2

a/2

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L’opposto di un vettore è un vettore con uguale modulo e direzione, ma verso opposto

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Differenza di vettori

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Una importante convenzione

Useremo sempre

la convenzione

Primo indice (a): origine del vettore

Secondo indice (b): vertice del vettore

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Prodotto scalare

q

A

BIl risultato è uno scalareAB BA

Vale la proprietà commutativa

Si chiama anche prodotto internoCorollari:

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Prodotto scalare Se, in coordinate cartesiane, due vettori hanno

componenti:

Il prodotto scalare vale:

Quindi:

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Prodotto vettoriale

q

A

B

Il risultato è un vettore con: Modulo = A B senq Direzione perpendicolare al piano identificato da A

e B Verso dato dalla regola della mano destra (vedi

dopo)AB - BA

Vale la proprietà anticommutativa Si chiama anche prodotto esterno

Oppure, con altra notazione

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Regola della mano destra

Prendo la mano destra e metto pollice, indice, medio a 90o l’uno rispetto all’altro L’indice indica il verso del vettore A Il medio indica il verso del vettore B Il pollice indica il verso del vettore C

Nota: devo usare la mano destra (non la sinistra) e non devo scambiare l’ordine dei vettori

Nota: vale anche per tutte le permutazioni cicliche, ovvero vale anche: Il pollice indica il verso del vettore A L’indice indica il verso del vettore B Il medio indica il verso del vettore C

Prodotto vettoriale / 2

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In coordinate cartesiane, il prodotto vettoriale si ottiene valutando il seguente determinante simbolico:

Versori coordinati

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x

y

zTerna destrorsa

x

y

zTerna sinistrorsa

In una terna destrorsa si ha sempre: