1 La stringa bosonica

L’azione che descrive a livello classico la dinamica della stringa bosonica el’azione di Polyakov :

S =1

4πα′

∫

Σ

√−ggαβ∂αXµ∂βXνηµνd2σ (1)

dove gαβ e’ la metrica sulla superficie di universo Σ spazzata dalla stringa,g = det gαβ e gαβ = (g−1)αβ; i campi scalari Xµ = 1, . . . , d sono mappe dallasuperficie di universo allo spazio di Minkowski d dimensionale e α′ e unacostante che ha le dimensioni di una lunghezza al quadrato (la lunghezzacaratteristica di stringa α′ = l2s ).L’azione (1) e invariante rispetto a riparametrizzazioni bidimensionali σα →σα + ξα(σ) e rispetto a riscalamenti locali della metrica, cioe le trasfor-mazioni di Weyl gαβ → Ω2(σ)gαβ. Per quantizzare la teoria bisogna calcolarel’integrale funzionale

Z =∫DgαβDXµeiS(g,X) (2)

che e altamente divergente, poiche ,a causa delle simmetrie della teoria, sti-amo integrando anche su metriche equivalenti. Per eliminanre questa ridon-danza bisogna scegliere la gauge, cioe la forma della metrica :

gαβ = e2φδαβ (gauge conforme) (3)

e dividere la misura in (206) per il volume del gruppo di simmetria :

Z =∫ DgαβDXµ

Weyl ×DiffeiS(g,X) (4)

Nella gauge conforme, l’azione assume la forme :

Sgauge conforme =1

4πα′

∫

Σ∂αXµ∂αXνηµνd

2σ (5)

dove non compare il campo φ. Tuttavia a livello quantistico, a causa dell’anomaliadella misura di integrazione funzionale DXµ, il campo φ si disaccoppia solose la dimensione dello spazio tempo ambiente e pari a 26.Inoltre, anche dopo aver fissato la gauge, rimane una simmetria residua che

1

preserva la condizione (3): si tratta delle trasformazioni conformi che in duedimensioni coincidono con quelle analitiche (e antianalitiche)

w → z(w)

w → z(w) (6)

dove w e w sono le coordinate complesse w = σ0 + iσ1 e w = σ0− iσ1. Sottole (6), la trasformazione di un campo conforme(primario) e:

φ(w, w) → ∂z

∂w

h ∂z

∂w

h

φ(z, z) (7)

dove h e h sono le dimensioni conformi del campo.In una teoria conforme, il tensore energia impulso, che nella stringa bosonicae T (w) = −(1/α′)∂wX · ∂wX, oltre ad essere simmetrico e conservato, e atraccia nulla ed in coordinate complesse abbiamo :

Tww = 0 ∂Tww = 0 ∂Tww = 0 (8)

.Attraverso la trasformazione conforme z = eσ0+iσ1

, possiamo mappare il cilin-dro descritto da una stringa chiusa nell’intero piano complesso ( e analoga-mente per una stringa aperta si mappa la striscia da essa descritta nel semip-iano superiore). L’ordinamento temporale diventa cosı un ordinamento ra-diale e le superfici a tempo costante diventano cerchi concentrici attornoall’origine del piano z.Inoltre,la trasformazione infinitesima z → z + f(z) e generata dal tensoreenergia impulso :

Qf =∮

C0

f(z)Tzz (9)

δfφ = [Qf , φ(w)] =

[∮

C0w

dz

2πi−

∮

C0

dz

2πi

]f(z)〈T (z)φ(w)〉 (10)

=∮

Cw

f(z)〈T (z)φ(w)〉 (11)

Il contorno C0w circonda entrambi i punti 0 e w, mentre C0 circonda l’originema non w e l’ordinamento radiale produce il commutatore; l’ultima uguaglianza

2

si ha deformando il contorno C0w − C0 ed ottenendo cosı la curva Cw at-torno a w. Dato che quest’ultimo contorno e asintoticamente vicino a w,l’infomazione sulla trasformazione conforme e contenuta nel prodotto di op-eratori (OPE):

T (z)φ(w, w) ≈ h

(z − w)2φ(w, w) +

1

(z − w)∂wφ(w, w) (12)

+ parte finita per z → w (13)

che si ricava da (7) Nel calcolo della ampiezze svolgera un ruolo essenzialeproprio il prodotto di operatori insieme al fatto che la stringa bosonica (evedremo anche la superstringa) e una teoria di campi liberi, percio si puoapplicare il teorema di Wick; si trattera, quindi, di considerare tutte le pos-sibili contrazioni utilizzando i propagatori dei campi, che dipenderanno dallatopologia della superficie .Nel caso della stringa bosonica ,al livello ad al-bero,dove la topologia e quella della sfera, il propagatore e

〈Xµ(z, z)Xµ(w, w)〉 = −α′

2ηµν ln | z − w |2 (14)

Ricordiamo infine l’algebra delle trasformazioni conformi:

[Ln, Lm] = (m− n)Lm+n +1

12c(m3 −m)δm+n,0

Ln =∮ dz

2πizn+1T (z) (15)

dove gli Ln rappresentano i modi di Fourier del tensore energia-impulso. La(15) si ricava dall’OPE:

T (z)T (w) ≈ c

2(z − w)4+

2

(z − w)2T (w) +

1

(z − w)∂wT (w) (16)

In (15) e (16), il termine proporzionale a c, detta carica centrale, e dovutoad un’anomalia, cioe ad una violazione quantistica della simmetria conforme,ed e assente nell’algebra a livello classico. Vedremo che per ripristinare lasimmetria conforme anche a livello quantistico, la carica centrale totale dellateoria, a cui contribuiscono sia i campi presenti nell’azione classica sia quellidi ghost che sono un risultato della quantizzazione, deve essere nulla: questarichiesta seleziona una particolare dimensione dello spazio tempo, che e 26

3

per la stringa bosonica e 10 per la superstringa (ricordiamo che c = D per icampi Xµ,dove D e la dimensione dello spazio tempo, mentre, come vedremo,c = 1

2per un fermione libero).

La sottoalgebra chiusa massimale del gruppo conforme, priva del termine dianomalia, e SL(2, R), che e generata da L0, L±1; ad essi sono associate letrasformazioni infinitesime δz = α + βz + γz2, mentre la loro forma finita e:

z → f(z) =az + b

cz + d, a, b, c, d ∈ R, ad− bc = 1. (17)

Tali trasformazioni rappresentano le sole funzioni analatiche globalmente def-inite ed invertibili sul piano complesso .Se consideriamo anche il settore an-tiolomorfo allora abbiamo il gruppo SL(2, C).

2 La superstringa

2.1 L’azione della superstringa

L’azione della superstringa si ottiene a partire da quella bosonica richiendoanche la supersimmetria locale: ai campi Xµ si aggiungono i superpartnersfermionici ψµ ed alla metrica gαβ si aggiunge il gravitino χα che , propriocome il gravitone, svolge il ruolo di moltiplicatore di Lagrange:

S =1

2πα′

∫d2σ

√−g[1

2gαβ∂αXµ∂βXµ +

1

2iψµγα∇αψµ

+1

2i(χαγβγαχµ)(∂βXµ − 1

4iχβψµ)

](18)

Oltre alle simmetrie presenti nelle teoria bosonica, l’azione (18) e invarianteanche sotto le trasformazioni di supersimmetria locale:

δgαβ = 2iεγ(αχβ) (19)

δχα = 2∇αε (20)

δXµ = iεψµ (21)

δψµ = γα(∂αXµ − 1

2iχαψµ)ε (22)

4

Come per la stringa bosonica, queste simmetrie permettono di scegliere lagauge:

gαβ = e2φδαβ, χα = γαρ, (gauge superconforme) (23)

I campi φ e ρ si disaccoppiano se la dimensione dello spazio tempo e 10.In questa gauge, l’azione assume la forma:

Sgauge superconforme =1

4πα′

∫d2σ

[∂X · ∂X + i(ψ+ · ∂ψ+ + ψ− · ∂ψ−)

](24)

dove ψ+ e ψ− sono spinori di Majorana-Weyl; infatti in due dimensioni epossibile imporre entrambe le condizioni ed abbiamo ψµ = (ψµ

+, ψµ−).

Per quanto riguarda le equazioni del moto, si ha:

∂∂Xµ = 0 (25)

∂ψ− = 0 ∂ψ+ = 0 (26)

cioe i campi non conformi X sono funzioni armoniche , mentre i campi ψ±sono funzioni (anti)olomorfe di dimensione conforme pari a h(h) = 1

2e con

un propagatore sul piano complesso:

〈ψ(z)ψ(w)〉 =1

z − w. (27)

L’azione deve essere invariante per w → w +2πi a causa della periodicita delcilindro e, assumendo che i campi X siano a singolo valore (per il momentoescludiamo il caso dell’orbifold), questo permette ai fermioni, che compaionobilinearmente, due possibili condizioni :

Ramond(R) : ψµ+(w + 2πi) = +ψµ

+(w) (28)

Neveu− Schwarz(NS) : ψµ+(w + 2πi) = −ψµ

+(w) (29)

e analogamente per ψµ−. Quindi per la stringa chiusa abbiamo quattro settori:

NS-NS, NS-R, R-NS e R-R. Per la stringa aperta abbiamo, invece, solo duesettori ( R e NS), perche i modi destri e sinistri non sono piu indipendentidal momento che il termine di bordo nell’equazione del moto deve annullarsi:cio avviene se imponiamo condizioni di Neumann o di Dirichlet.

5

Inoltre passando dal cilindro al piano le condizioni di NS e R si invertono,poiche, a causa delle trasformazioni (7),

ψ(w) → (∂z

∂w)

12 ψ(z) = e

w2 ψ(z). (30)

Quindi quando w → w + 2πi, si ha il fattore eiπ = −1 che rende il settore diRamond antiperiodico.

2.2 Teoria di campo superconforme

Oltre al tensore bosonico di energia impulso, che per la superstringa ha laforma

T =1

α′(−∂X · ∂X + ψ · ∂ψ) (31)

ora abbiamo anche una supercorrente conservata, cioe il tensore fermionico

G = − 1

α′∂ψ · ∂X (32)

che rappresenta il generatore delle trasformazioni locali di supersimmetria ede il partner supersimmetrico di T .Poiche T e il generatore delle trasformazioni conformi e G e un tensore con-forme di dimensione 3

2, abbiamo:

T (z)T (w) ≈c2

(z − w)4+

2

(z − w)2T (w) +

1

(z − w)∂wT (w)

T (z)G(w) ≈32

(z − w)2G(w) +

1

(z − w)∂wG(w) . (33)

Infine l’OPE GG e:

G(z)G(w) ≈c6

(z − w)3+

1

2

1

(z − w)T (w) (34)

I modi di Fourier Ln di T sono definiti come per la stringa bosonica,mentrequelli di G sono:

Gr = 2∮ dz

2πiG(z)zr+ 1

2 (35)

6

dove r e intero nel settore di R e semintero in quello di NS.L’algebra,detta superconforme, degli Gr e degli Ln puo essere calcolata apartire da (35)e da (15) ed e:

[Ln, Lm] = (m− n)Lm+n +1

12c(m3 −m)δm+n,0

Gr, Gs = 2Lr+s +1

3c(r2 − 1

4)δr+s,0 (36)

[Lm, Gr] = (1

2m− r)Gm+r (37)

2.3 Ghosts e Superghosts

Le fluttuazioni attorno alla gauge (23), in cui gzz = 0 e χz = 0, sono generatedai diffeomorfismi e dalle supersimmetrie locali infinitesime:

δgzz = ∇zξz

δχz = ∇zεz

. (38)

Nell’integrale funzionale il volume del gruppo dei diffeomorfismi e delle su-persimmetrie locali si fattorizza passando dalle variabili di integrazione gzz eχz alle variabili ξz e εz:

DgzzDχz = det∇z(1) det∇z

( 12)DεzDξz (39)

dove l’apice sugli operatori differenziali indica l’opposto della dimensioneconforme, -1 e −1

2, dei parametri, ξz e εz, su cui agiscono. I determinanti

di queste trasformazioni possono essere rappresentati da integrali funzionalisecondo il metodo di Faddeev-Popov:

det∇z(1) =

∫DbDc e−Sghost

Sghost =1

π

∫d2z

[b∂c + c.c.

]

∂c = ∂b = 0, (40)

7

dove il campo c(z) ,che ha la stessa dimensione conforme -1 di ξz, e b(z) sonocampi fermionici anticommutanti di spin intero e analogamente

det∇z( 12) =

∫DβDχ e−Ssuperghost

Ssuperghost =1

π

∫d2z

[β∂γ + c.c

]

∂γ = ∂β = 0, (41)

dove il campo γ(z), che ha la stessa dimensione conforme −1/2 di εz, ed ilcampo β costituiscono campi commutanti di spin semintero (e non anticom-mutanti perche εz e un parametro spinoriale)I campi di ghost e superghost possono essere trattati in parallelo considerandol’azione:

S =1

π

∫d2z

[b∂c

], (42)

dove b e c sono campi di dimensione λ e 1− λ.L’OPE bc e:

c(z)b(w) ≈ 1

z − w

b(z)c(w) ≈ ε

z − w(43)

in cui ε = 1 per la statistica di Fermi e ε = −1 per la statistica di Bose.Il tensore energia impulso della teoria e

Tg = −λb∂c + (1− λ)(∂b)c (44)

come si puo verificare dall’OPE Tgb e Tgc.Inoltre l’OPE TgTg e:

T (z)T (w) ≈ −ε(6λ2 − 6λ + 1)

(z − w)4+ . . . (45)

e quindi la carica centrale e :

c = −2ε(6λ2 − 6λ + 1) = ε(1− 3Q2) (46)

8

con Q = ε(1 − 2λ). Quindi per l’algebra dei ghost abbiamo : ε = 1, λ = 2,Q = −3 e c = −26; per quella dei superghost,invece, : ε = −1, λ = 3/2,Q = 2 e c = 11.L’azione ha una simmetria U(1) chirale a cuie associata la corrente di Noether:

j(z) = −bc =∑n

z−n−1jn. (47)

L’OPE di b e c con j e:

j(z)b(w) =−1

z − wb(w)

j(z)c(w) =1

z − wc(w)

e riflette il fatto che hanno carica -1 e 1 .L’OPE Tj invece e anomalo:

T (z)j(w) ≈ Q

(z − w)3j(w) +

j(w)

(z − w)2+

1

(z − w)∂j(w) (48)

(49)

e quindi solo per Q = 0 (λ = 1/2), j e un campo conforme di dimensioneh = 1: Q assume il ruolo di una carica di background. Se consideriamoun operatore Op che ha carica U(1) pari a p, cioe [jo, Op] = pOP (con j0

operatore di carica) e uno stato |q〉 con carica U(1) pari a q, abbiamo chep〈q′|Op|q〉 = 〈q′|[j0, Op]|p〉 = −(q′+q+Q)〈q′|Op|q〉 : percio dobbiamo inserireun operatore con carica p = −(q+q′+Q) per ottenere un risultato non nullo.Inoltre si trova che :

∂j(z) =1

4Q√

gR, (50)

dove g e il determinante della metrica bidimensionale e R e il corrispondentescalare di curvatura. L’anomalia della corrente U(1) e legata all’esistenzadegli zero modi per i campi b e c; infatti integrando (50) si ha il teorema diRiemann-Roch:

Nc −Nb = εQ(g − 1) = (1− 2λ)(g − 1), (51)

9

in cui g e il genere della superficie e Nc, Nb gli zero modi. Gli zero modi di ccostituiscono i vettori di Killing conformi (CKV), cioe i generatori di trasfor-mazioni conformi globalmente definite, mentre quelli di b sono i moduli, checorrispondono alle deformazioni della metrica che cambiano la sua strutturaconforme. A causa dell’anticommutativita dei ghost b e c, l’integrazione suiloro zero modi da un risultato nullo, se non li assorbiamo con un’opportunainserzione nell’integrando. Infatti un campo fermionico ψ puo essere decom-posto in una parte di zero modi ψ0 e nella parte rimanente ψ

′:

ψ(z, z) = ψ0(z) + ψ′(z, z) =

N∑

i=1

ψi0φ

i(z) + ψ′(z, z) (52)

dove le funzioni d’onda φi degli zero modi soddisfano ∂φi = 0. Gli ψi0 sono

variabili di Grassmann tali che∫

dψi0ψ

i0 = 1,

∫dψi

0 = 0 (53)

. Poiche l’azione per ψ non dipende da ψi0 ,

∫ D(ψψ)eiS si annulla , a menoche non inseriamo

∏Ni=1 ψ(zi) , assorbendo cosı gli zero modi.

Al livello ad albero, ci sono tre zero modi complessi di c, dato che i campivettoriali zn+1∂/∂z(e analogamente per la parte antiolomorfa) sono privi disingolarita nell’origine e nel punto all’infinito solo per n = 0, ±1: questi CKVgenerano il gruppo SL(2, C) (vedi anche (17)) . Dal teorema di Riemann-Roch si ricava allora che Nb = 0, quindi non ci sono moduli, cioe tutte lemetriche sulla sfera sono conformemente equivalenti .Per quanto riguarda il sistema (β, γ), al livello ad albero γ ha due zero modi,dato che i campi vettoriali zn+1(∂/∂z)1/2 (l’esponente deriva dalla dimensione−1/2 di γ) sono privi di singolarita nell’origine e nel punto all’infinito soloper n = 0, −1: quindi ancora per il teorema di Riemann Roch non ci sonosupermoduli. Percio , al livello ad albero la carica di background e dovutasolo al campo c per i ghost ed al campo γ per i superghost.Dato che i superghost sono campi commutanti, per assorbire i loro zero modibisogna introdurre delle funzioni delta (δ(β) e δ(γ)), altrimenti l’integralefunzionale da un risultato divergente e non piu nullo come nel caso prece-dente.Riassumiamo ora nelle seguente tabella i parametri dei campi conformi esam-inati finora:

10

ε λ Q cb,c 1 2 -3 -26β, γ -1 3

22 11

ψµ± 1 1

20 1

2

∂Xµ -1 0 1

Per la stringa bosonica , in cui sono presenti solo i campi di ghost b e c,se D e la dimensione dello spazio-tempo, la carica centrale totale e

c = D − 26 (54)

e quindi si annulla per D = 26; invece per la superstringa il contributo totaledei campi di materia, dei ghost e dei superghost da:

c = D +1

2D − 26 + 11 (55)

e quindi c si annulla per D = 10.

2.4 Bosonizzazione

Per un campo bosonico libero φ di azione

S =1

2π

∫d2z∂φ∂φ, (56)

il tensore energia impulso e

T (z) = −1

2(∂φ)2 (57)

ed il propagatore della parte analitica e 〈φ(z)φ(w)〉 = − ln(z−w). L’esponenzialeeiqφ di φ e un campo conforme di dimensione q2/2, infatti l’OPE T (z)eiqφ(w)

da:

11

−1

2(∂zφ)2eiqφ(w) ≈ q2/2

(z − w)2eiqφ(w) +

1

(z − w)∂weiqφ(w) (58)

mentre il correlatore tra due esponenziali e:

〈eiqφ(z)e−iqφ(w)〉 = eq2〈φ(z)φ(w)〉 = (z − w)−q2

(59)

Un fermione complesso Ψ(z) = 1√2(ψ1(z) + ψ2(z)), con ψ1 e ψ2 fermioni di

Majorana, ha la stessa carica centrale c = 1 di un campo bosonico libero.Inoltre da (58) con q = 1 si vede che eiqφ(w) ha la stessa dimensione di Ψ,mentre la (59) con q = 1 riproduce il propagatore 〈Ψ(z)Ψ(w)〉. Si ha, dunquela corrispondenza, detta bosonizzazione:

Ψ(z) =1√2(ψ1(z) + ψ2(z)) ↔ eiφ(z)

Ψ(z) =1√2(ψ1(z)− ψ2(z)) ↔ e−iφ(z) (60)

per cui un sistema di due fermioni e fisicamente equivalente ad una teoriabosonica.

2.4.1 Bosonizzazione non abeliana

Piu in generale possiamo considerare un sistema di 2n fermioni reali ψµ(z)che trasformano come un vettore di SO(2n) e con un OPE:

ψµ(z)ψν(w) ≈ δµν

z − w. (61)

I generatori di SO(2n) sono tensori antisimmetrici Mµν che soddisfano l’algebra:

[Mµν ,Mλσ] = Mµσδνλ −Mµλδνσ −M νσδµλ + M νλδµσ (62)

Possiamo rappresentare quest’algebra in termini di fermioni :

Mµν =∮ dz

2πijµν(z), jµν(z) =: ψµψν(z) : (63)

12

Infatti (61) implica che

jµν(z)jλσ(w) ≈ δµσδνλ − δµλδνσ

(z − w)2+

δνλ

z − wjµσ − δνσ

z − wjµλ − (µ ↔ ν) (64)

e da questa relazione, grazie al teorema dei residui, si ricava che la (63) sod-disfa (62) (il polo doppio scompare in seguito all’integrazione) .

L’algebra di operatori soddisfatta dalle correnti fermioniche e un casoparticolare dell’algebra :

ja(z)jb(w) ≈ kδab

(z − w)2+ ifab

c

jc(w)

z − w(65)

dove le ja(z) sono correnti chirali conservate , a e un indice della rappresen-tazione aggiunta di un generico gruppo di Lie e k che, come la carica centraledell’algebra di Virasoro, risulta dalla quantizzazione, e il cosiddetto livellodell’algebra (nel caso delle correnti fermioniche k = 1).Poiche ∂ja(z) = 0, abbiamo un numero infinito di cariche conservate:

jan =

∮ dz

2πiznja(z), (66)

che soddisfano l’algebra di Kac-Moody :

[jamjb

n] = mkδabδm+n + ifabcj

cm+n (67)

Inoltre se gli φi sono campi primari che appartengono ad una genericarappresentazione del gruppo, abbiamo:

ja(z)φi(w) =(ta)j

iφj(w)

z − w(68)

dove (ta)ji sono le matrici della rappresentazione.

Ricordiamo che in un’algebra di Lie A, nella base di Cartan-Weyl, possi-amo scegliere un insieme massimale di generatori commutanti H i(i = 1, ..., n)

[H i, Hj] = 0 (69)

13

dove la dimensione n di questa sottoalgebra (di Cartan) si definisce rango diA. Per quanto riguarda gli altri generatori E~α si ha che :

[H i, E~α] = αiE~α (70)

dove i vettori α n-dimensionali si dicono radici dell’algebra.In una generica rappresentazione dell’algebra, gli H i possono essere diago-nalizzati e la loro azione su uno stato |µ〉 e:

H i|µ〉 = µi|µ〉 (71)

Gli autovalori µi sono detti pesi della rappresentazione e le radici αi sono ipesi della rappresentazione aggiunta.Nella base di Cartan-Weyl, indicando con H i(z), Eα(z) le correnti e i modidi Fourier con:

H in =

∮ dz

2πiznH i(z)

Eαn =

∮ dz

2πiznEα(z), (72)

la (67) diventa:

[H in, H

jm] = mδijδm+n

[H im, Eα

n ] = αiEαm+n

[Eαm, Eβ

n ] =

ε(α, β)Eα+βm+n se α · β = −1

α ·Hm+n + kmδm+n se α · β = −20 se α · β ≥ 0

(73)

dove i generatori H i0, E

α0 formano una sottoalgebra di Lie e le costanti ε(α, β),

antisimmetriche in α e β, possono essere normalizzate a ±1 . L’algebradi Kac-Moody (73) con k = 1 associata ad un gruppo di Lie di rango n,puo essere realizzata a partire da n campi bosonici liberi φi(z) attraversol’identificazione:

H i(z) = i∂φi(z)

Eα(z) =: eiα·φ(z) : (74)

14

come si verifica attraverso le relazioni (72).Tornando alle correnti fermioniche SO(10), in vista della bosonizzazione,passiamo ad una base complessa:

Ψ±i =1√2(ψ2i−1 ± iψ2i), i = 1, ..., n

Le correnti corrispondenti ai generatori della sottoalgebra di Cartan sonoallora date da:

J i,−i(z) =: Ψi(z)Ψ−i(z) : (75)

mentre le altre da:

J±i,±j(z) =: Ψ±i(z)Ψ±j(z) : (i < j) (76)

Da (74), si ha la bosonizzazione :

J i,−i(z) = i∂φi(z)

J±i,±j =: ei(±φi(z)±φj(z)) : (77)

dove i vettori ±ei ± ej nell’esponenziale sono le radici di SO(10). Analoga-mente, poiche i fermioni Ψi(z) trasformano come un vettore di SO(10), ab-biamo la rappresentazione bosonica:

Ψ±i(z) =: e±iφi(z) : (78)

(ora l’esponente λ = ±ei e il peso della rappresentazione vettoriale diSO(10) e si ha cosı anche la corretta dimensione conforme h = λ2/2 = 1/2per i fermioni Ψ±i(z)).Abbiamo visto che nel settore di Ramond sul piano complesso i fermionisoddisfano condizioni di antiperiodicita. Inoltre gli stati in questo settoresi costruiscono a partire dai vuoti |Sα〉 (|Cα〉) che trasformano come spinoridi SO(10) di opposta chiralita e sono complessi e coniugati (Cα = (Sα)†).Questi vuoti spinoriali possono essere costruiti con gli operatori, definiti spinfields, :

Sα =: eiλS · φ(z) :

Cα =: eiλC · φ(z) : (79)

15

dove λS(C) = (±1/2±1/2±1/2±1/2±1/2) con un numero pari (dispari) disegni meno e il peso della rappresentazione spinoriale di SO(10). Attraversola bosonizzazione si ricavano gli OPE :

ψµ(z)Sα(w) ≈ 1√2

(Γµ)αβ

(z − w)1/2Cβ(w)

Sα(z)Sβ(w) ≈ 1√2

(Γµ)αβ

(z − w)3/4ψµ(w)

Sα(z)Cβ(w) ≈ Cαβ

(z − w)5/4+

1

2

(ΓµΓν)αβ

(z − w)1/4ψµψν(w) (80)

dove Cαβ = δα

β e la matrice di coniugazione di carica di SO(10) e le (Γµ)αβ

sono le matrici di Dirac di dimensione dieci. Dalla prima delle (80) si ha che:

jµν(z)Sα(w) ≈ 1

(z − w)(1

4[Γµ, Γν ])α

βSβ(w) (81)

Questo OPE implica che l’azione di Mµν su Sα e esattamente quella di Σµν =(1/4)[Γµ, Γν ], proprio come ci si aspetta per uno spinore. Inoltre la presenza

nell’OPE di (z − w)−12 determina un taglio con punto di diramazione in w:

dopo un giro attorno a w, ψµ prende un segno meno e quindi abbiamo per ilfermione la condizione di Ramond.

2.5 Bosonizzazione dei ghost

Analogamente a quanto fatto finora, possiamo bosonizzare la corrente U(1)chirale j(z) = −bc:

j(z) = ε∂φ(z) (82)

conφ(z)φ(w) ≈ ε ln(z − w) (83)

dove l’azione per φ e:

S = − 1

4π

∫d2z(ε∂φ∂φ +

Q

2Rφ) (84)

16

L’equazione del moto per φ da l’equazione (50) per la corrente anomala,mentre il tensore energia impulso e:

T(j) = ε1

2(j2 −Q∂j) (85)

che da lo stesso OPE T (z)j(z) (48).Il campo conforme eqφ(z) ha carica U(1) pari a q e dimensione conforme paria 1/2εq(q + Q), poiche:

j(z)eqφ(z) ≈ q

z − weqφ(z)

Tj eqφ(w) ≈ 1/2εq(q + Q)

(z − w)2eqφ(w) +

1

(z − w)∂weqφ(w) (86)

Per quanto riguarda la bosonizzazione dei campi fermionici (ε = 1) b e cabbiamo:

b(z) = e−φ(z), c(z) = eφ(z) (87)

φ(z)φ(w) ≈ ln(z − w) (88)

Invece per i campi commutanti (ε = −1) β e γ, il campo φ non da unadescrizione completa del sistema: infatti la carica centrale calcolata dall’OPETj Tj da:

cj = (1− 3εQ2) =

c ε = 1

c + 2 ε = −1(89)

dove c e la carica centrale calcolata in precedenza (46). Questo accade perchel’esponenziale e±φ(w) e un campo fermionico, mentre i superghost soddisfanola statistica di Bose. Poiche c’e bisogno di un sistema fermionico con c = −2,introduciamo due campi fermionici coniugati η, ξ di peso conforme rispetti-vamente 1 e 0 e con ε = 1, ληξ = 1, Qηξ = −1, cηξ = −2. La bosonizzazionedel sistema (β, γ) e:

β(z) = e−φ(z)∂ξ(z), γ(z) = eφ(z)η (90)

φ(z)φ(w) ≈ − ln(z − w) (91)

17

da cui si ricava il corretto OPE β(z)γ(z).Il sistema (η, ξ) presenta una corrente chirale U(1) e puo essere a sua voltabosonizzato:

η(z) = e−χ(z), ξ(z) = eχ(z) (92)

χ(z)χ(w) ≈ ln(z − w), η(z)ξ(z) = ∂χ(z) (93)

Le espressioni precedenti coinvolgono i campi φ, η e ∂ξ e quindi lo zeromodo di ξ non compare nell’algebra: questo fatto ha importanti conseguenzecome vedremo nel prossimo paragrafo.

2.6 La simmetria BRST

Nella quantizzazione nel cono di luce della stringa bosonica i modi di ecci-tazione longitudinale e temporale di Xµ vengono eliminati e rimangono soloquelli trasversi che danno origine a stati fisici. Invece, nella quantizzazionecovariante oltre a mantenere tutte le componenti di Xµ, abbiamo anche icampi di ghost. Lo strumento per identificare ed eliminare dallo spettro diuna teoria di gauge gli stati non fisici e fornito dalla carica di BRST QBRST

che e hermitiana, commuta con l’hamiltoniano ed e nilpotente:

Q2BRST = 0 (94)

Consideriamo una teoria con una simmetria di gauge generata dalle caricheGi che formano un’algebra di Lie:

[Gi, Gj] = f kij Gk, i, j, k = 1, ..., dimG (95)

dove f kij sono le costanti di struttura di G. La carica di BRST ha la forma:

Q = ciGi − 1

2f k

ij cicjbk

= ciGi +1

2ciGghost

i (96)

dove ci e bi sono i campi di ghost che risultano dalla quantizzazione dopoaver scelto la gauge e soddisfano:

ci, bj = δij (97)

18

Il primo termine in (96) ha la forma di una trasformazione di gauge in cuii parametri sono le variabili fermioniche ci, mentre il secondo termine, cheagisce sugli stati con eccitazioni di ghost, serve a rendere nilpotente la carica.Gli autostati dell’hamiltoniano si dicono BRST invarianti se sono annullatida Q:

Q|φ〉 = 0. (98)

A causa della nilpotenza di Q gli stati della forma

|φ〉 = Q|λ〉 (99)

sono ovviamente BRST invarianti, ma hanno modulo nullo poiche : 〈λ|QQ|λ〉 =0 e si disaccoppiano negli elementi della matrice S . Quindi gli stati fisici sonodella forma:

Q|φ〉 = 0, |φ〉 6= Q|λ〉. (100)

Si puo generalizzare questa costruzione al caso della stringa identificandoi Gi con i generatori conformi Ln e gli operatori di ghost con i modi diFourier di b(z) e c(z). Pero in questo caso l’algebra di gauge non ha piudimensione finita ed inoltre puo contenere un termine di carica centrale, cherende anomala la nilpotenza di Q.La generalizzazione di (96) per la stringa bosonica e:

Q =∮ dz

2πi: c(z)[TX(z) +

1

2Tb, c(z)]

=∮ dz

2πijBRST (z) (101)

dove jBRST e la corrente di BRST e Q2 = 0 solo se la carica centrale totaledel sistema X, b e c si annulla.Gli stati |φ〉 della stringa sono creati da operatori di vertice φ: |φ〉 = φ(0)|0〉e le ampiezze di scattering per le stringhe sono funzioni di correlazione dioperatori di vertice. La condizione (100) di BRST invarianza diventa:

[QBRST , φ] = derivata totale, φ 6= [QBRST , O], (102)

dove O e un generico operatore e φ deve commutare con Q a meno di derivatetotali, perche queste danno contributo nullo dopo aver integrato sul punto diinserzione del vertice. Se consideriamo stati senza eccitazioni di ghost,

abbiamo che:

19

∮ dw

2πijBRST (w)φ(z) =

∮ dw

2πic(w)TX(w)φ(z)

=∮ dw

2πic(w)[

hφ

(z − w)2φ(z) +

1

(z − w)∂φ(z)]

= hφ(∂c)φ(z) + c∂φ(z) (103)

che e una derivata totale solo se la dimensione conforme di φ e uguale a uno.Un’altra possibilita e considerare un operatore di vertice del tipo :

ψ(z) = φ(z)c(z) (104)

senza poi integrare sul punto di inserzione. Il commutatore con la carica diBRST da:

[Q,ψ(z)] = (hφ − 1)(∂c)c(z)φ(z) (105)

che si annulla ancora se hφ = 1Consideriamo ad esempio lo stato piu basso nello spettro della stringa boson-ica, cioe il tachione con momento kµ:

|k〉 = limz→0

: eik·X(z) : |0〉. (106)

Per verificare che questo stato trasporta effettivamente un momento kµ,bisogna applicare ad esso l’operatore momento che e il modo zero associatoalla corrente conservata i∂Xµ (∂(∂Xµ) = 0) ed utilizzare l’OPE i∂Xµeik·X(z):

αµ0 |k〉 = i

∮ dz

2πi∂Xµ(z)eik·X(z)|0〉 = kµ|k〉. (107)

Inoltre poiche deve essere h = 1, si ha 2α′k2 = 2 e quindi m2 = −k2 = − 1α′

che e proprio la condizione di mass-shell per il tachione (nel seguito poniamoα′ = 1/2). Il primo stato eccitato e uno stato vettoriale e si ottiene applicandoa |k〉 l’operatore di creazione

αµ−1 =

∮ dz

2πi

i∂Xµ(z)

z= i∂Xµ(0). (108)

Quindi l’operatore di vertice associato a questo stato e:

ξµ∂Xµ(z)eip·X(z) (109)

20

con ξµ vettore di polarizzazione. Il suo OPE con il tensore energia impulsoda:

T (z)ξµ∂Xµ(w)eip·X(w) ≈ ip · ξ(z − w)3

eip·X(w)+p2/2 + 1

(z − w)2ξ·∂Xeip·X(w)+. . . (110)

Percio tale operatore e un campo conforme primario di dimensione uno seξ · p = o e p2 = 0 che sono le condizioni di trasversalita e di mass shell perun bosone vettore di massa nulla.

2.7 Operatori di vertice per la superstringa

Passando alla superstringa, la carica di BRST ha la forma:

Q = Q0 + Q1 + Q2, dove

Q0 =∮ dz

2πi(cTX,ψ,β,γ + bc∂c),

Q1 = −∮ dz

2πiγGX,ψ =

∮ dz

2πieφ−χψµ∂Xµ,

Q2 = −∮ dz

2πi

1

4bγ2 = −1

4

∮ dz

2πibe2φ−2χ (111)

dove i pedici indicano la carica di superghost.Ricordiamo che una trasformazione BRST, pur essendo globale e non lineare,somiglia ad una trasformazione di simmetria locale in cui il (super)parametroe’ sostituito dal (super)ghost corrispondente.Se consideriamo i campi β e γ come campi extra di materia, allora Q0 e lacarica BRST della stringa bosonica; Q1 agisce come una trasformazioni disupersimmetria con parametro γ ed infine Q2, in cui compaiono solo campidi ghost, permette di realizzare la condizione di nilpotenza Q2 = 0, peraltrovalida, come nel caso della stringa bosonica, solo se la carica centrale totalesi annulla.Per quanto riguarda i vertici della superstringa, allo stato |λ〉 ψ ⊗ |q〉βγ siassocia l’operatore in forma bosonizzata :

Vλ, q(z) = eiλ· φ(z)eqφ(z) (112)

dove λ e il peso di una rappresentazione dell’algebra SO(10) e q e la caricadi superghost.

21

La dimensione conforme h di (112) e:

h =1

2λ2 − 1

2q2 − q, (113)

mentre l’OPE tra due vertici di questo tipo e:

Vλ, q(z)Vλ′, q′(w) = (z − w)λ·λ′−qq′Vλ+λ′, q+q′(w) (114)

Per costruire il vertice del bosone vettore del settore di Neveu-Schwarz, dobbi-amo prendere il peso λ = (0, ...,±1, 0, ..., 0) della rappresentazione vettorialee, quindi, per avere h = 1 deve essere q = −1. Tenendo conto di (78), ilvertice vettoriale e:

V−1 = ξµψµ(z)e−φ(z)eip·X(z), (115)

con p2 = 0.Per verificare l’invarianza BRST dobbiamo considerare il commutatore [QBRST , V−1];dato che il vertice ha h = 1 , da (103) si ha che:

[Q0, V−1] = ∂(cV−1) (116)

ed essendo una derivata totale non da contributo se il vertice e integrato.Inoltre anche

[Q2, V−1] = 0 (117)

poiche l’OPE:

e2φ(z)−2χ(z)b(z)V−1(w) ≈ (z − w)2eφ−2χbξµψµeip·X(w) (118)

non da singolarita. Infine visto che

eφ−χψ · ∂X(z)V−1(w) ≈ (z − w)e−χ

(δνµ

(z − w)+ : ψνψµ :

)×

ξµ

( −ipν

(z − w)eip·X+ : ∂Xνe

ip·X :

)(119)

per avere [Q1, V−1] = 0 deve essere verificata la condizione di trasversalitap · ξ = 0.Invece nel settore di Ramond gli spinori si ottengono a partire dagli spinfields, cioe prendendo i pesi della rappresentazione spinoriale λ = (±1/2 ±

22

1/2± 1/2± 1/2± 1/2) con un numero pari o dispari di segni meno a secondadella chiralita. Dato che la dimensione di uno spin field e hS = 5/8, la caricadi superghost deve essere q = −1/2 e, quindi, il vertice spinoriale e:

V− 12(z) = uαSα(z)e−

12φ(z)eip·X(z) (120)

dove uα e uno spinore di polarizzazione e per l’invarianza BRST p2 = 0 epµΓµ

αβuα = 0Inoltre se Vq(z) e l’operatore di vertice associato ad uno stato fisico dellasuperstringa con carica di superghost q allora anche l’operatore

Vq+1(z) = [Q, ξVq] (121)

con carica q + 1 rappresenta lo stesso stato. Infatti Vq+1(z) e ovviamenteBRST invariante, ma non e equivalente all’operatore di vertice nullo, percheabbiamo visto che l’algebra di β e γ contiene solo ∂ξ ma non ξ e quindi ξVq

non e BRST invariante. Per esempio, il vertice V0 che rappresenta lo stessostato fisico di V−1 e dato da:

V0(z) = [QBRST , ξV−1(z)]

= [Q1, ξV−1(z)]

= −∮ dw

2πieφ(w)−χ(w)G(w)eχ(z)V−1(z)

= limw→z

eφψµ∂Xµ(w)V−1(z)

= ξµ (∂Xµ + iψµ(p · ψ)) eip·X(z) (122)

dove nel secondo passaggio si e sfruttato il fatto che Q0 e Q2 non danno con-tributo, nel quarto l’OPE e−χ(w)eχ(z) e nell’ultimo la condizione di trasver-salita p · χ = 0.

3 Ampiezze ad albero

Analogamente a quanto accade in una teoria di campo, le ampiezze di proba-bilita dei processi di interazione per le stringhe sono date dalla somma di tuttele possibili configurazioni topologicamente inequivalenti che puo assumere la

23

superficie di universo della stringa. Queste differenti topologie vengono pe-sate dal fattore g−χ

s = e−λχ dove gs e la costante di accoppiamento per lastringa chiusa (per la stringa aperta e g1/2

s ), λ = 〈φ〉 e il valore di aspettazionedel dilatone φ che e un campo scalare che compare nello spettro e

χ = 2(1− g)− b− c (123)

e la caratteristica di Eulero dell superficie (g , detto genere della superficie,rappresenta il numero di ”manici”, b il numero di bordi e c il numero di cross-caps che si ottengono facendo un buco sulla superficie ed identificando i puntidiametralmente opposti). Nei prossimi paragrafi vedremo qualche esempiodi ampiezza di stringa iniziando da quelle sul disco che sono l’analogo, per lastringa aperta, dei diagrammi ad albero in teoria dei campi.

3.1 Ampiezza di Veneziano

L’ampiezza con quattro tachioni di stringa aperta sul disco, detta ampiezzadi Veneziano, e:

Att→tt(p1, p2, p3, p4) = gs

∫dz3〈cVT (z1, p1)cVT (z2, p2)VT (z3; p3)cVT (z4; p4)〉

Gli operatori di vertice del tachione VT (z, pi) = eipi·X(z) sono inseriti sulbordo del disco che e conformemente equivalente al semipiano superiore,percio zi = xi ∈ R. Le inserzioni dei ghost servono ad assorbire i tre modizero di c sul disco associati all’invarianza SL(2, R) che permette di fissare ipunti x1, x2 e x4 arbitrariamenete sul bordo. L’esponente uno del prefattoregs deriva dal fatto che il disco e pesato da g−1

s ( la caratteristica di Euleroin questo caso vale χ = 1) e ci sono quattro inserzioni di stringa aperta concostante di accoppiamento g1/2

s . Inoltre dato che il semipiano superiore C+

si ottiene dall’intero piano complesso C identificando i punti z e z con:

z = z, (124)

il propagatore GC+ del campo X su C+ con condizioni al bordo di Neumannsi ottiene con il metodo delle cariche immagini :

GC+(z − w) =1

2[GC(z − w) + GC(z − w) + GC(z − w) + GC(z − w)] . (125)

24

Per inserzioni di stringa aperta, in cui z = z = z, abbiamo:

GC+(z − w) = 2GC(z − w) = −2α′ ln(z − w) (126)

I ghost che possiamo bosonizzare come in (87) e i campi X non correlanotra loro , percio da (59) e da (126) abbiamo:

〈c(x1)c(x2)c(x4)〉 = 〈eσ(x1)eσ(x2)eσ(x4)〉 = x12x14x24

〈∏i<j

eipi·X(xi〉 =∏

i<j

x2α′pi·pj

ij (127)

Fissando x1 → ∞, x2 = 1 e x4 = 0 (l’ordinamento dei vertici sul bordo ex4 < x3 < x2 < x1) abbiamo che:

Att→tt = (2π)26δ(∑

pi) limx1→∞

limx2→1

limx4→0

∫ 1

0dx3 x12x14x24 ×

(x12)2α′p1·p2(x13)

2α′p1·p3(x14)2α′p1·p4(x23)

2α′p2·p3(x24)2α′p2·p4(x34)

2α′p3·p4 (128)

in cui il prefattore con la delta di Dirac deriva dall’integrazione sugli zeromodi di X . Inoltre dalla condizione di mass-shell e di conservazione dell’impulsosi ha:

∑pi = 0, p2

i = −m2i =

1

α′,

p1 · (p2 + p3 + p4) = −p21 = − 1

α′(129)

e considerando le variabili di Mandelstam:

s = −(p1 + p2)2 = − 2

α′− 2p1 · p2 = − 2

α′− 2p3 · p4,

t = −(p1 + p4)2 = − 2

α′− 2p1 · p4 = − 2

α′− 2p2 · p3,

u = −(p1 + p3)2 = − 2

α′− 2p1 · p3 = − 2

α′− 2p2 · p4

s + t + u = Σim2i = − 4

α′(130)

l’ampiezza diventa (poniamo x3 = x):

25

Att→tt(s, t) = (2π)26δ(∑

pi)∫ 1

0dx(1− x)−2−α′tx−2−α′s. (131)

Ricordando le definizioni delle funzioni Γ e B di Eulero:

Γ(z) =∫ ∞

0dttz−1e−t,

B(a, b) =Γ(a)Γ(b)

Γ(a + b)=

∫ 1

0dtta−1(1− t)b−1 (132)

abbiamo infine:

Att→tt(s, t) = (2π)26δ(∑

pi)B(−1− α′s,−1− α′t)

=Γ(−1− α′s)Γ(−1− α′t)

Γ(−2− α′t− α′s)(133)

A causa della simmetria SL(2, R), l’ampiezza di Veneziano e invariante rispettoa permutazioni cicliche dei vertici: infatti Att→tt(s, t) = Att→tt(t, s) e una per-mutazione ciclica, ad esempio 1234 → 2341, corrisponde allo scambio s ↔ t.L’invarianza sotto SL(2, R) non permette pero di cambiare l’ordinamentociclico dei vertici (una rotazione puo per esempio portare i vertici 1234 in2341, ma nessuna riparametrizzazione puo far passare da 1234 a 2134), quindibisogna considerare le permutazioni ciclicamente inequivalenti: 1234, 1423,1243, 1324, 1432 e 1342.Inoltre alle estremita di una stringa aperta si possono assegnare gradi diliberta aggiuntivi, cioe cariche che trasformano nella rappresentazione (anti)fondamentale (N)N del gruppo U(N) ed ai vertici si associano i fattori diChan-Paton λ i

a j, generatori di U(N), che derivano dalle funzioni d’onda diquesti stati.Percio la (127) conterra il fattore aggiuntivo :

tr(λ1λ2λ3λ4) (134)

e l’ampiezza totale e:

Att→tt(pi) = gs(2π)26δ(∑

i

pi)×

[tr(λ1λ2λ3λ4) + tr(λ1λ4λ3λ2)]B(−1− α′s,−1− α′t) +

[tr(λ1λ3λ4λ2) + tr(λ1λ2λ4λ3)]B(−1− α′t,−1− α′u) +

[tr(λ1λ4λ2λ3) + tr(λ1λ3λ2λ4)]B(−1− α′u,−1− α′s). (135)

26

In una teoria di campo i singoli diagrammi di Feynman hanno poli solo inuna particolare variabile cinematica; l’ampiezza di Veneziano, che e simmet-rica per scambio di s con t, ha invece un numero infinito di poli sia nel canales che nel canale t in corrispondenza delle masse degli stati appartenenti allospettro della stringa, cioe quando :

α′s = n− 1 n = 0, 1, 2, ....

ed analogamente per t. Quest’ampiezza puo essere anche riscritta comeuna somma sulle risonanze in un particolare canale e cio e consistente conl’esistenza di poli nell’altro canale perche c’e un insieme infinito di risonanze.Inoltre nel sistema del centro di massa, in cui per alte energie si ha che:

|~pi| = E, s = −4E2, t = −2E2 + 2E2 cos θ, 2t = −s(1− cos θ) (136)

con θ angolo di scattering, possiamo considerare il cosiddetto limite di Regge,che corrisponde ad uno scattering a grandi energie e piccoli angoli, cioe pers →∞ e t fissato: in tale limite, utilizzando la formula di Stirling Γ(z +1) =(2π/z)1/2zze−z l’andamento di (133) e :

Att→tt ≈ sα(t) (137)

dove α(t) = α′t + 1. Invece nello stesso limite l’ampiezza calcolata in unateoria di campo per scambio di una particella di spin J e : A ≈ sJ . Quindil’ampiezza di Veneziano nel limite di Regge descrive lo scambio di una par-ticella di momento angolare effettivo J = α(t) dipendente da t; in corrispon-denza delle risonanze si ha quindi la stessa relazione di proporzionalita tralo spin J e la massa al quadrato m2 che venne osservata negli anni ’60 per lerisonanze adroniche.Sempre nel sistema del centro di massa, possiamo considerare il limite di alteenergie ed angolo di scattering fissato, cioe per s →∞ e t/s fissato ; in questaregione cinematica, utilizzando ancora la formula di Stirling, l’ampiezza diVeneziano diventa:

Att→tt ≈ e−α′sf(θ) (138)

dove f(θ) e una funzione positiva dell’angolo θ. Percio ad angolo fissato edalte energie si ha una decrescita esponenziale, mentre l’ampiezza di una teoriadi campo nello stesso limite andrebbe a zero come una potenza di s: dato

27

che le ampiezze ad un loop si ottengono ”attaccando” ampiezze ad albero,ci si aspetta che anche il comportamento ultravioletto dei diagrammi ad unloop per le stringhe sia molto piu soffice di quello in teoria dei campi .

3.2 Ampiezza a 4 bosoni

Passando alla superstringa, consideriamo l’ampiezza a quattro bosoni:

Avv→vv(1, 2, 3, 4) = gs

∫dz3〈cV0(z1, p1, a1)cV−1(z2, p2, a2)V0(z3; p3, a3)cV−1(z4; p4, a4)〉,

(139)dove

V0(zi, pi, ai) = aµi (∂Xµ + iψµ(p · ψ)) eipi·X(z)

V−1(zi, pi, ai) = aµi ψµ(z)e−φ(z)eipi·X(z). (140)

Come prima, l’ inserzione dei ghost serve ad assorbire i tre modi zero dic, mentre la carica totale di superghost dei vertici, uguale a -2, annulla lacarica Q = 2 di background del sistema (β, γ).Il contributo dei ghost e dei superghost e :

〈c(x1)c(x2)c(x4)〉 = 〈eσ(x1)eσ(x2)eσ(x4)〉 = x12x14x24

〈e−φ(x2)e−φ(x4)〉 = x−124 (141)

(l’ordinamento dei vertici e la notazione zi = xi ∈ R sono gli stessi dell’ampiezzadei tachioni).Invece per quanto riguarda i campi di materia X e ψ, che non correlano traloro, abbiamo tre tipi di contributi che simbolicamente possiamo scrivere:

〈(∂X)2(ψ)2〉+ ”2”〈(∂X)(ψψ)(ψ)2〉+ 〈(ψψ)2(ψ)2〉 (142)

dove il prefattore tra virgolette e gli apici indicano il numero di termini dellotipo (abbiamo omesso la produttoria degli esponenziali).

Per calcolare i correlatori dei campi bosonici si possono utilizzare le iden-tita di Ward che sono delle identita tra funzioni di correlazione dovute allasimmetria della teoria.

28

Da (12) si ricava che l’ identita di Ward per l’inserzione del tensore energiaimpulso in una funzione di correlazione con campi conformi primari e :

〈T (z)φ1(z1) . . . φn(zn)〉 =∑

i

(hi

(z − zi)2+

1

(z − zi)∂zi

)〈φ1(z1) . . . φi(zi) . . . φn(zn)〉,

(143)

Da (65) si ha che l’ identita di Ward per l’inserzione di una corrente conser-vata Ja, i cui modi soddisfano l’algebra di Kac-Moody, in una funzione dicorrelazione e :

〈Ja(z)φ1(z1) . . . φn(zn)〉 =∑

i

tari

z − zi

〈φ1(z1) . . . φri(zi) . . . φn(zn)〉

(144)

dove tarie la matrice della rappresentazione ri a cui appartiene il campo

conforme primario φri. L’identita di Ward per l’inserzione di due correnti e

invece:

〈Ja(z)J b(w)φ1(z1) . . . φn(zn)〉 =k

2

δab

(z − w)2〈φ1(z1) . . . φn(zn)〉

+i

z − w

∑

i

fabc tcri

w − zi

〈φ1(z1) . . . φri(zi) . . . φn(zn)〉

+∑

i

tari

z − zi

∑

j

tbrj

w − zj

〈φ1(z1) . . . φri(zi) . . . φrj

(zj) . . . φn(zn)〉 (145)

Abbiamo visto che le i∂Xµ sono correnti abeliane conservate la cui caricae costituita dall’impulso pµ e, considerando la funzione a due punti per ilcampo X, si vede che soddisfano l’algebra di operatori di Kac-Moody:

i∂Xµ(z)i∂Xν(w) ≈ 2α′δµν

(z − w)2. (146)

Percio da (144) abbiamo che il correlatore 〈(∂X)〉 a meno di permutazioni(due in tutto) ha la forma:

29

〈a1 · ∂Xeip1·Xeip2·Xeip3·Xeip4·X ·〉 = i∑

i6=1

a1 · pi∂1GC+(x1i)Π(pi, xi)

= −i2α′∑

i 6=1

a1 · pi

x1 − xi

Π(pi, xi), (147)

dove GC+ e il propagatore bosonico sul semipiano superiore (126) e Π(pi, xi)e dato da:

Π(pi, xi) = 〈∏i<j

exp[ipi ·X(xi]〉 =∏

i<j

exp[−pi · pjGC+(xij)] =∏

i<j

x2α′pi·pj

ij

(148)

Inoltre in (147) nel primo passaggio abbiamo introdotto GC+ perche in questaforma l’espressione per il correlatore vale anche se stiamo considerando unasuperficie Σ diversa dal semipiano complesso superiore : basta sostituire GC+

con il propagatore GΣ su Σ.L’altro correlatore dello stesso tipo si ottiene scambiando 1 con 3 nella (147).Da (145) il correlatore 〈(∂X)2〉 ha l’espressione :

〈a1 · ∂Xeip1·X(x1)eip2·X(x2)a3 · ∂Xeip3·X(x3)e

ip4·X(x4)〉= [a1 · a3∂1∂3GC+(x13)−

∑

i 6=1

a1 · pi∂1GC+(x1i)∑

j 6=3

a3 · pj∂3GC+(x3j)]Π(pi, zi)

= −2α′a1 · a3

1

x213

+∑

i6=1

a1 · pi1

x1i

∑

j 6=3

a3 · pj1

x3j

Π(pi, xi) (149)

Passando ai fermioni, consideriamo a meno di permutazioni (due) il cor-relatore 〈(ψψ)(ψ)2〉 e definiamo i tensori di campo linearizzati:

fµνi = pµ

i aνi − pν

i aµi = −f νµ. (150)

Poiche la coppia ψµψν(xi) antisimmetrizza il prefattore pµi a

νi abbiamo che:

〈ip1 · ψa1 · ψ(x1)a2 · ψ(x2)a4 · ψ(x4)〉 = i2

2fµν

1 aρ2a

σ4

δνρ

x12

δµσ

x14

= ia4f1a2

x12x14

(151)

30

dove il fattore due a denominatore nel primo passaggio deriva dall’antisimmetrizzazionedi pν

1aµ1 , mentre il due a numeratore e un fattore combinatorio che deriva dal

fatto che possiamo contrarre la coppia fermionica in x1 in due modi diversicon i singoli fermioni in x2 e x4 ed infine a4f1a2 = a4 µf

µν1 a2 ν .

Rimane da calcolare l’ultimo correlatore fermionico 〈(ψψ)2(ψ)2〉 che pre-senta due strutture: una connessa in cui un fermione di ognuna delle duecoppie si contrae con un fermione singolo ed una disconnessa in cui le coppiesi contraggono tra di loro. Vediamo prima il termine disconnesso:

〈ip1 · ψa1 · ψ(x1)ip3 · ψa3 · ψ(x3)a2 · ψ(x2)a4 · ψ(x4)〉disc =

= − 2

22fµν

1 fρσ3 aλ

2ak4

δνρδµσδλk

x213x24

= −1

2

a2 · a4f1f3

x213x24

(152)

dove nel secondo passaggio il fattore 22 a denominatore deriva dall’antisimmetrizzazione,il 2 a numeratore e il fattore combinatorio associato alle contrazioni delle duecoppie tra loro e f1f3 = fµν

1 f3 νµ.Infine il termine connesso e dato da:

〈(ψψ)2(ψ)2〉conn = −22

22

(a2f1f3a4

x13x32x14

+a4f1f3a2

x13x34x12

). (153)

in cui i due termini a secondo membro corrispondono a due contrazioniinequivalenti (quella in cui il fermione in x2 si contrae con un fermione dellacoppia in x1 e quella in cui si contrae con un fermione della coppia in x3) edil fattore 22 al numeratore e associato ai diversi modi di scegliere un fermionenella coppia.Le condizioni di mass-shell e di conservazione dell’impulso in questo casodanno:

∑pi = 0, p2

i = −m2 = 0, p1 · (p2 + p3 + p4) = 0, (154)

mentre le variabili di Mandelstam valgono:

s = −(p1 + p2)2 = −2p1 · p2 = −2p3 · p4,

t = −(p1 + p4)2 = −2p1 · p4 = −2p2 · p3,

u = −(p1 + p3)2 = −2p1 · p3 = −2p2 · p4

s + t + u = Σim2i = 0 (155)

31

Infine, considerando tutti i contributi, fissando come prima x1 →∞, x2 = 1,x4 = 0, e tenendo conto anche delle permutazioni ciclicamente inequivalentie dei fattori di Chan-Paton, otteniamo:

Avv→vv(1, 2, 3, 4) = gs(2π)10δ(∑

i

pi)Kvv→vv(pi, ai)×

[tr(T1T2T3T4) + tr(T1T4T3T2)]B(s, t) +

[tr(T1T3T4T2) + tr(T1T2T4T3)]B(t, u) +

[tr(T1T4T2T3) + tr(T1T3T2T4)]B(u, s) , (156)

dove

B(s, t) =∫ 1

0dxx2α′p1·p2−1(1− x)2α′p1·p3−1 =

Γ(−α′s)Γ(−α′t)Γ(α′u)

(157)

e Kvv→vv(pi, ai) e un fattore cinematico totalmente simmetrico (non solociclicamente simmetrico) e vale

Kvv→vv(pi, ai) = −1

4(sta1 · a3a2 · a4 + usa1 · a4a2 · a3 + tua1 · a2a3 · a4) (158)

+s

2(a1 · p4a3 · p2a2 · a4 + a2 · p3a4 · p1a1 · a3 + a1 · p3a4 · p2a2 · a3 + a2 · p4a3 · p1a1 · a4)

+t

2(a2 · p1a4 · p3a3 · a1 + a3 · p4a1 · p2a2 · a4 + a2 · p4a1 · p3a3 · a4 + a3 · p1a4 · p2a2 · a1)

+u

2(a1 · p2a4 · p3a3 · a2 + a3 · p4a2 · p1a1 · a4 + a1 · p4a2 · p3a3 · a4 + a3 · p2a4 · p1a2 · a1)

In termini dei tensori di campo linearizzati fµνi , Kvv→vv(pi, ai) assume

una forma manifestamente invariante di gauge:

Kvv→vv(ai, pi) =1

2[(f1f2f3f4) + (f1f3f4f2) + (f1f4f2f3)]

−1

4[(f1f2)(f3f4) + (f1f3)(f4f2) + (f1f4)(f2f3)] (159)

dove(fifjfkfl) = fµ

i νfνj ρf

ρk σf

σl µ (160)

e(fifj) = fµ

i νfνj µ (161)

32

4 Ampiezze ad un loop

All’ordine successivo in teoria delle perturbazioni abbiamo i diagrammi adun loop; la superficie bidimensionale associata alle ampiezze ad un loop perle stringhe chiuse ed orientate ha la topologia del toro. Il toro, che ammetteglobalmente una metrica piatta ds2 = dzdz, puo essere ottenuto specificandodue vettori linearmente indipendenti λ1 e λ2 di un reticolo sul piano complessoed identificando punti che differiscono per una combinazione a coefficientiinteri di questi vettori :

z ≈ z + nλ1 + mλ2, n, m ∈ Z, λ1, λ2 ∈ C (162)

Attraverso la trasformazione conforme z′ = αz, possiamo riscalare e ruotareλ1 e λ2 , quindi solo il loro rapporto τ = λ2/λ1 puo essere un invarianteconforme e possiamo fissare λ1 = 1 e Imτ = τ2 > 0; la relazione di equivalenzadiventa:

z ≈ z + n + mτ, n,m ∈ Z, (163)

cioe abbiamo un reticolo in cui la cella primitiva e un parallelogramma di latiτ ed 1. Il numero complesso τ , detto parametro di Teichmuller o modulo,parametrizza cosı tori che non sono conformemente equivalenti.Il fatto che il toro abbia un modulo complesso si puo ricavare anche dalteorema di Riemann-Roch: infatti la metrica e la periodicita del toro sonolasciate invariate dalle traslazioni rigide:

σα → σα + vα, (164)

dove vα e un vettore bidimensionale costante; questo significa che il toro am-mette un vettore di Killing conforme complesso ed avendo genere g = 1 dalteorema di Riemann-Roch segue che ammette anche un modulo complesso.A differenza della sfera in cui il gruppo di Killing conforme CKG era SL(2, C),i vettori di Killing conformi erano ∂z, z∂z e z2∂z ed il volume del gruppo,cioe il volume dello spazio dei parametri associati al gruppo, era infinito, oraCKG per il toro e U(1) × U(1), cioe le traslazioni lungo σ0 e σ1, e a causadella periodicita (163), il volume di CKG e l’area del parallelogramma paria τ2.

33

4.1 Invarianza modulare

I punti di uno stesso reticolo possono essere descritti da vettori di basi dif-ferenti: se λ1 e λ2 sono una base del reticolo, allora lo sono anche λ′1 e λ′2definiti da:

(λ′1λ′2

)=

(a bc d

) (λ1

λ2

),

a, b, c, d ∈ Zad− bc = 1

(165)

Infatti λ′1 e λ′2 sono ancora vettori del reticolo essendo espressi come combi-nazioni intere di λ1 e λ2 e definiscono una cella con la stessa area di quellaprimitiva dato che il determinante della matrice e pari ad uno: abbiamodunque ottenuto il gruppo delle matrici invertibili a determinante unitariocon coefficienti interi, cioe il gruppo SL(2, Z). Sotto le trasformazioni (165),il modulo τ diventa:

τ → τ ′ =aτ + b

cτ + dad− bc = 1 (166)

Poiche cambiando simultaneamente il segno di a, b, c e d, τ rimane inalter-ato, il gruppo da considerare, detto gruppo modulare del toro, e in realtaSL(2, Z)/Z2 = PSL(2, Z).Le trasformazioni associate a PSL(2, Z), che corrispondono ai diffeomor-fismi non connessi con l’identita, lasciano il toro invariato, ma cambiano ilparametro di Teichmuller τ : punti τ e τ ′ distinti ma legati dalla relazione(166) descrivono lo stesso toro.Ad esempio, la matrice di SL(2, Z):

DT =

(1 01 1

)(167)

che corrisponde alla trasformazione su λ1 e λ2:

λ1 → λ1, λ2 → λ1 + λ2 (168)

e su τ :

T : τ → τ + 1, (169)

34

e associata al diffeomorfismo globale che consiste nel tagliare il toro lungoun ciclo, ruotare un’estremita di 2π rispetto all’altra ed infine incollarle dinuovo. Analogamente la matrice:

DU =

(0 11 1

)(170)

corrisponde alle trasformazioni

λ2 → λ2, λ1 → λ1 + λ2

U : τ → τ

τ + 1(171)

e comporta un’operazione simile alla precedente sul ciclo non omologo alprimo. Queste due operazioni sul toro sono dette Dehn twists.Invece dei due Dehn twists, come generatori del gruppo modulare si pren-dono:

T : τ → τ + 1

S : τ → −1

τ(172)

che soddisfano :(ST )3 = S2 = 1. (173)

Ogni elemento di PSL(2, Z) si ottiene mediante successive applicazioni di Se di T , ad esempio U = TST .Inoltre, ogni punto del semipiano superiore, a cui appartiene τ , attraversouna trasformazione di PSL(2, Z) e mappato in un punto della cosiddettaregione fondamentale F del gruppo modulare data da

F =Imτ > 0, −1

2≤ Reτ ≤ 0, |τ | ≥ 1

⋃Imτ > 0, 0 < Reτ <

1

2, |τ | > 1

(174)In F punti distinti descrivono tori conformemente inequivalenti e nessunacoppia di punti e legata da una trasformazione modulare: F viene detto lospazio dei moduli del toro.In generale se definiamo Mg lo spazio di tutte le metriche su una superficieΣg, Diff(Σg) il gruppo dei diffeomorfismi di Σg, Weyl(Σg) il gruppo delle

35

trasformazioni di Weyl e Diff0(Σg) il sottogruppo dei diffeomorfismi connessicon l’identita, lo spazio di Teichmuller Teich(Σg) e il quoziente:

Teich(Σg) =Mg

Weyl(Σg) ∗Diff(Σg)(175)

dove ∗ indica il prodotto semidiretto. Invece il gruppo modulare MG e datoda:

MG =Diff(Σg)

Diff0(Σg)(176)

ed infine lo spazio dei moduli Mod(Σg) e il quoziente:

Mod(Σg) =Teich(Σg)

MG. (177)

Per il toro abbiamo percio che Teich(Toro) = C+, MG(Toro) = PSL(2, Z) eMod(Toro) = F .

4.2 Funzione di partizione per la stringa bosonica

Per quanto riguarda il calcolo delle ampiezze ad un loop, iniziamo dal casodella stringa bosonica chiusa orientata e dell’ampiezza a zero punti, cioe lafunzione di partizione, che rinormalizza l’energia del vuoto, cioe la costantecosmologica.Per una superficie topologica con moduli, nell’integrale funzionale gli ulte-riori gradi di liberta della metrica gαβ dovuti all’esistenza dei moduli e chenon corrispondono a trasformazioni di gauge della teoria, cioe diffeomorfismie trasformazioni di Weyl, non sono eliminati dalla procedura di Fadde’ev-Popov, ma rimangono nel risulatato finale, percio:

1

Vdiff × VWeyl

∫Dgαβ =

∫DbDc e−

∫b∂c+b∂c

∫ ∏

k

d2τ k det(J [τ k]), (178)

dove i τ k sono i moduli e det J e un appropriato jacobiano associato allavariazione di gαβ rispetto ai τ k. Per il toro, come abbiamo appena visto, c’eun solo modulo complesso τ e lo jacobiano vale:

det J =1

τ 22

(179)

36

Il risultato (179) deriva dal fatto che l’integrando di (178) deve dipendere solodalla geometria intrinseca delle superficie di universo e quindi lo jacobianodeve convertire d2τ in una misura invariante modulare; la misura d2τ/τ 2

2 einfatti invariante sotto le trasformazioni modulari (166) dato che:

d2τ → |cτ + d|−4d2τ,

τ2 → |cτ + d|−2τ2 (180)

Tenendo conto del contributo dei campi X e dei ghost b e c, la funzionedi partizione per la stringa sul toro e dunque:

Z =∫

Fd2τ

τ 22

(ZX)26(τ)Zbc(τ) (181)

dove ZX(τ) e Zbc(τ), che devono essere invarianti modulari, sono le funzionidi partizione per un singolo bosone X e per i campi di ghost a fissato τ el’esponente di ZX deriva dalla dimensione critica dello spazio-tempo D = 26.Prima di calcolare ZX(τ) vediamo la funzione di partizione per una genericateoria di campo conforme sul toro. Ricordiamo che a causa del termine con lacarica centrale nell’OPE TT , sotto la trasformazione conforme w → z = ew

che mappa il cilindro nel piano complesso, il tensore energia impulso diventa:

Tcil(w) = z2T (z)− c

24(182)

e sostituendo in (182) l’espansione nei modi di Fourier T (z) =∑

Lnz−n−2,

troviamo:

Tcil(w) =∑

n∈Z

Lnz−n − c

24=

∑

n∈Z

(Ln − c

24δn0)e

−nw. (183)

Percio il generatore delle dilatazioni sul cilindro (L0)cil e quello sul pianoL0 sono legati dalla relazione:

(L0)cil = L0 − c

24(184)

La funzione di partizione si puo esprimere in termini di L0 e L0. Infattipossiamo considerare il toro di parametro modulare τ = τ1 + iτ2 come un

37

cilindro di lunghezza τ2 le cui estremita, prima di essere identificate, vengonoruotate l’una rispetto all’altra di un angolo pari a τ1.Se assumiamo come direzioni temporale e spaziale rispettivamente l’asseimmaginario e reale del piano complesso z a cui appartiene il modulo τ ,l’operatore che genera una traslazione spazio-temporale e:

eiRezPe−ImzH (185)

doveH = (L0)cil + (L0)cil, P = (L0)cil − (L0)cil. (186)

Percio la funzione di partizione si ottiene prendendo la traccia di (185) conparametri di traslazione nello spazio(tempo) 2πτ1(2πτ2):

Z(τ) =∫

e−S = tr ei2πτ1P e−2πτ2H

= tr q(L0)cil q(L0)cil

= q−c24 q−

c24 tr qL0 qL0 (187)

dove q = e2πiτ ed il fattore 2π e solo un fattore di riscalamento.Sostituendo nell’espressione del tensore energia impulso l’espansione di i∂Xin modi di Fourier sul piano:

i∂X(z) =∑

n∈Z

anz−n−1 (188)

si ottiene che L0 vale:

L0 =1

2

∑

n∈Z

: a−nan :=1

4p2 +

∑

n > 0

a−nan + costante (189)

In (189) p = 2a0 = 2a0 e il momento del centro di massa di X e la presenzadi una eventuale costante additiva e dovuta al fatto che gli operatori an ea−n non commutano:

[an, am] = n δn+m, 0 (190)

Tuttavia dato che 〈T (z)〉 = 0, si ha che l’energia del vuoto e nulla e 〈0|L0|0〉 =0: la costante deve essere quindi pari a zero.

38

Quindi, dato che per il campo X la carica centrale vale c = 1 e qL0

fattorizza in un prodotto infinito di operatori, uno per ogni modo bosonico,abbiamo:

ZX(τ) = q−124 q−

124

(∫dX0

) (∫ ∞

0dp e−

π4τ2p2

) (tr

∏

n>0

qα−nαn

) (tr

∏

n>0

qα−nαn

)

= q−124 q−

124

VX√τ2

(∏

n>0

tr qα−nαn

) (∏

n>0

tr qα−nαn

)

= q−124 q−

124

VX√τ2

(∏

n>0

1

1− qn

) (∏

n>0

1

1− qn

)

=VX√τ2

1

|η(τ)|2 (191)

dove nel secondo passaggio abbiamo utilizzato il fatto che la tracciaTr(AB) di un prodotto di due operatori che agiscono su diversi fattori diun prodotto tensoriale e semplicemente il prodotto (TrA)(TrB) in cui letracce sono prese sugli spazi ristretti su cui agiscono A e B; inoltre abbiamointrodotto la funzione eta di Dedekind η(τ):

η(τ) = q124

∏

n>0

(1− qn), (192)

VX e il volume dello spaziotempo e tr qα−nαn = 1 + q + q2 + q3 + ....La funzione di partizione bosonica (191) e invariante modulare come si vededalle proprieta di trasformazione sotto il gruppo modulare di τ2 (180) e dellafunzione eta:

η(τ + 1) = eiπ/12η(τ)

η(−1

τ) =

√−iτη(τ) (193)

L’effetto dei ghosts e quello di cancellare il contributo dei gradi liberta asso-ciati a due coordinate che corrispondono alle eccitazioni non fisiche longitu-dinali e temporali della stringa, cioe:

Zbc(τ) = ZX(τ)−2 = τ2|η(τ)|4. (194)

39

Una derivazione euristica del risultato (194) si puo avere osservando cheZX(τ) e uguale ad un determinante funzionale:

ZX(τ) =∫DX e−

12

∫d2zX(−∂∂)X = det(∂∂)−1/2, (195)

mentre, essendo b e c variabili complesse e fermioniche:

Zbc(τ) =∫DbDc e−

∫b∂c+b∂c = det(∂)det(∂) (196)

Dunque, la funzione di partizione totale per la stringa bosonica e:

Z =∫

Fd2τ

τ2

(1

τ2

)13 1

|η(τ)|48(197)

Il termine 1/τ2, che deriva dalla semplificazione del fattore 1/τ 22 presente

nella misura invariante con il fattore τ2 presente in Zbc e l’inverso del volumedi CKG del toro; il termine (1/τ2)

13 viene, come VX , dagli zero modi delcampo, poiche si ottiene dall’integrale sulla quantita di moto del centro dimassa e l’esponente e pari a D/2, dove D e la dimensione critica; infine iltermine con la funzione eta e il contributo degli oscillatori trasversi in cui sidecompone X.τ2 rappresenta il tempo proprio impiegato dalla stringa chiusa per spazzareil toro e di conseguenza nel punto τ2 = 0 la teoria avrebbe una potenzialedivergenza ultravioletta. Tuttavia l’integrazione nella regione fondamentaleF , in cui e assente il punto τ2 = 0 , introduce un naturale cut-off ultravioletto:percio grazie all’invarianza modulare la teoria non ha divergenze ultraviolette.Tuttavia, la presenza del tachione nello spettro introduce una divergenzainfrarossa (τ2 → ∞). Cio si vede espandendo ZX(τ) in potenze di q = e2πiτ

ed ottenendo cosı una serie della forma∑

dklqkql, dove dkl rappresenta la

molteplicita degli stati con massa al quadrato pari a m2 = k + l in unita diα′/2. L’espansione di ZX , a meno di potenze di τ2, da:

ZX(τ) ≈ |η(τ)|−48 =1

|q|2 + 24q−1 + 24q−1 + (24)2 + ... (198)

Il primo termine corrisponde al tachione con m2 = −2 e produce la diver-genza infrarossa nel limite τ2 →∞; il termine costante e associato agli stati amassa nulla, cioe il gravitone Gµν , il tensore antisimmetrico Bµν e il dilatone

40

φ. Inoltre la (198) contiene anche termini lineari in q e q che corrispondonoa stati non fisici poiche non soddisfano la condizione di raccordo dei livelliper la stringa chiusa L0 = L0 e che nell’integrale danno un contributo nonnullo nella regione di integrazione di F dove τ2 < 1.

4.3 Funzione di partizione per la superstringa

Ricordiamo che sul cilindro i fermioni soddisfano condizioni al bordo pe-riodiche nel settore di Ramond R e condizioni antiperiodiche in quello diNeveu-Schwarz NS, mentre sul piano accade il contrario.Analogamente a quanto fatto nel caso bosonico, sostituiamo nell’espressionedel tensore energia impulso l’espansione di ψ in modi di Fourier sul piano:

ψ(z) =∑n

bnz−n−1/2 (199)

con n ∈ Z nel settore R e n ∈ Z + 1/2 nel settore NS ed i bn soddisfanole relazioni di anticommutazione:

bn, bm = δn+m, 0. (200)

Otteniamo cosı che L0 vale:

L0 =1

2

∑n

n : b−nbn :

=∑

n>0

nb−nbn +

0 n ∈ Z + 1/2 settore NS

+ 116

n ∈ Z settore R(201)

Nel settore di NS 〈T (z)〉 = 0, quindi la costante additiva in (201) valezero; invece il vuoto nel settore di Ramond si ottiene da quello di Neveu-Schwarz applicando uno spin field S(z): |0〉R = S(0)|0〉NS e la funzione adue punti nel settore R assume il valore:

〈ψ(z)ψ(w)〉A = 〈0|S(∞)ψ(z)ψ(w)S(0)| 0〉 =

⟨ ∞∑

n=0

bnz−n−1/2

0∑

m=−∞bmw−m−1/2

⟩

A

41

=∞∑

n=1

z−n−1/2w−n−1/2 +1

2

1√zw

=1√zw

(w

z − w+

1

2

)

=1

2

√z/w +

√w/z

z − w(202)

dove A sta per condizioni al bordo antiperiodiche ed abbiamo utilizzato(200) e il fatto che bn|0〉 = 0 per n > 0.Di conseguenza da (202) abbiamo che 〈T (z)〉A vale:

〈T (z)〉A =1

2limω→z

(−〈ψ(z)∂wψ(w)〉A +

1

(z − w)2

)= −1

4limω→z

∂w

√z/w +

√w/z

z − w

+1

2(z − w)2=

1

16z2(203)

e quindi nel settore di Ramond in L0 bisogna aggiungere l’energia del vuotopari a 1 / 16.Prima di passare al calcolo dell’ampiezza di vuoto per la superstringa, dob-biamo introdurre la nozione di struttura di spin.In generale ad ognuno dei g manici di una superficie di Riemann Σg digenere g sono associati due cicli non contraibili; quando abbiamo degli spinoridefiniti su Σg possiamo assegnare ad essi condizioni al bordo periodiche o an-tiperiodiche attorno ad ognuno dei 2g cicli. Una struttura di spin su Σg eognuna di queste 22g possibili scelte. Inoltre una struttura di spin si dice parise ad essa e associato un numero pari di zero modi dell’operatore di Dirac,altrimenti si definisce dispari.Nel caso del toro, dato che abbiamo una metrica piatta, l’operatore di Dirac esemplicimente ∂z e l’unico zero modo globalmente definito e quindi lo spinorecostante, che e permesso solo per condizioni periodiche P su entrambi i cicli(P, P ) : in questa notazione il primo ciclo e di tipo spazio e quindi P cor-risponde al settore di Ramond (come nel caso del cilindro perche un toro eun cilindro con le facce identificate), mentre il secondo ciclo e di tipo tempo.Il toro ha quindi quattro strutture di spin, di cui tre pari ed una sola dispari:(A,A), (A,P ), (P, A) e (P, P ).Le trasformazioni modulari cambiano le condizioni al contorno per i fermioni.Ad esempio la trasformazione S : τ → −1/τ scambia i due cicli sul toro equindi:

42

S : (P, P ) → (P, P ),(A,A) → (A, A)(P,A) → (A,P )(A,P ) → (P,A)

(204)

Invece la trasformazione T : τ → τ + 1 mappa (X, Y ) in (X, XY ), dove Xe Y stanno per A o P e dalle regole di moltiplicazione: AA = P , AP = A ePP = P , si ha:

T : (P, P ) → (P, P ),(A, A) → (A,P )(P,A) → (P, A)(A, P ) → (A,A)

(205)

Dunque, le due classi di struttura di spin trasformano separatamente sottotrasformazioni modulari e nel calcolo della funzione di partizione o di unaqualunque funzione di correlazione per ottenere delle espressioni invariantimodulari bisogna sommare su tutte le strutture di spin con delle opportunefasi relative tra i diversi contributi.Inoltre, per una variabile anticommutante la traccia automaticamente im-plica condizioni antiperiodiche nella direzione tempo: questo fatto ha lastessa origine del segno meno dei loop fermionici in teoria dei campi. Peravere condizioni periodiche bisogna inserire nella traccia (−1)F ( F =

∑Fn =∑

b−nbn e l’operatore numero fermionico) che anticommuta con il campofermionico ψ(z) ed introduce un segno meno extra per ogni fermione pre-sente nel loop.Ricordiamo anche che l’algebra di supersimmetria fa sı che i fermioni ψµ ed ilgravitino χα e di conseguenza i ghost superconformi β e γ, abbiano la stessastruttura di spin.In analogia con la funzione di partizione bosonica, quella per la superstringasara ( i superghost β e γ, come i ghost b e c cancellano nella funzione dipartizione il contributo di due campi fermionici):

Z =∫

Fd2τ

τ 22

Z10(X)Z(bc)

∑

αα

cαα Z(ψ)10αα

Z(βγ)αα=

∫

Fd2τ

τ 22

Z8(X)

∑

αα

cαα Z(ψ)8αα

=∫

Fd2τ

τ2

(1

τ2

)5 1

|η(τ)|16

∑

αα

cαα Z(ψ)8αα

(206)

43

dove la somma su (α)α e la somma sulle strutture di spin nel settore (anti)olomorfo e le cαα sono delle fasi opportune che vanno determinate sulla basedella richiesta di invarianza modulare ( cαα = cαcα, Z(ψ)αα

= Zψα Zψαe in

seguito ometteremo il pedice ψ).Consideriamo ora il settore olomorfo dove dobbiamo calcolare :

ZAA = TrNS qL0−c/24 = TrNS q∑

nnb−nbn−1/48

ZAP = TrNS (−1)F qL0−c/24 = TrNS (−1)F q∑

nnb−nbn−1/48

ZPA = TrR qL0−c/24 = TrR q∑

nnb−nbn+1/24

ZPP = TrR (−1)F qL0−c/24 = TrR (−1)F q∑

nnb−nbn+1/24 (207)

(208)

con n ∈ Z nel settore R e n ∈ Z + 1/2 nel settore NS ed abbiamoutilizzato il fatto che c = 1/2 e che nel settore di Ramond l’energia del vuotovale 1 / 16. Calcoliamo ad esempio ZAP :

ZAP = q−1/48Tr∏

n>0

(−1)Fnqnb−nbn

= q−1/48∏

n>0

(Tr(−1)Fnqnb−nbn

)(209)

Per ogni modo fermionico ci sono solo due stati e quindi:

Tr(−1)Fnqnb−nbn = 1− qn (210)

Trqnb−nbn = 1 + qn. (211)

Otteniamo cosı dei prodotti infiniti che possiamo espimere in termini dellefunzioni theta ed eta:

ZAP = q−1/48∞∏

n=1/2

(1− qn) =

(θ4(0|τ)

η(τ)

)1/2

(212)

e analogamente:

44

ZAA =

(θ3(0|τ)

η(τ)

)1/2

ZPA =

(θ2(0|τ)

η(τ)

)1/2

ZPP =

(θ1(0|τ)

η(τ)

)1/2

= 0 (213)

(214)

L’annullarsi di ZPP si verifica perche l’operatore di Dirac nella struttura dispin dispari ha uno zero modo e di conseguenza:

ZPP =∫Dψe−ψ∂ψ = 0. (215)

In generale le funzioni θ di Jacobi sono definite come somme gaussiane:

θ[αβ

](z|τ) =

∑n

q12(n+α)2e2πi(z−β)(n−α) , (216)

dove α β ∈ R.In modo equivalente per i valori α, β = 0, 1/2 sono date anche in termini diprodotti infiniti:

θ[

1212

](z|τ) = θ1(z|τ) = 2q

18 sin(πz)

∞∏

m=1

(1− qm)(1− e2πizqm)(1− e−2πizqm)

θ[

120

](z|τ) = θ2(z|τ) = 2q

18 cos(πz)

∞∏

m=1

(1− qm)(1 + e2πizqm)(1 + e−2πizqm)

θ[00

](z|τ) = θ3(z|τ) =

∞∏

m=1

(1− qm)(1 + e2πizqm− 12 )(1 + e−2πizqm− 1

2 )

θ[012

](z|τ) = θ4(z|τ) =

∞∏

m=1

(1− qm)(1− e2πizqm− 12 )(1− e−2πizqm− 1

2 ) .(217)

Inoltre per z → z + 1 e z → z + τ otteniamo

θ[αβ

](z + 1|τ) = e2πiαθ

[αβ

](z|τ) (218)

θ[αβ

](z + τ |τ) = e−2πi(z+β)−iπτθ

[αβ

](z|τ) . (219)

45

Le funzioni θ sono dunque funzioni analitiche e ”quasi” biperiodiche sultoro (ricordiamo che le uniche funzioni analitiche e biperiodiche sul toro sonole funzioni costanti). Inoltre gli zeri delle funzioni θ sono in:

θ1(0|τ) = 0, θ2(1

2|τ) = 0

θ3(1

2+

τ

2|τ) = 0, θ4(

τ

2|τ) = 0 (220)

Sotto trasformazioni modulari le funzioni θ diventano:

θ′1(0|τ + 1) = eiπ/4θ

′1(0|τ) θ

′1(0| − 1/τ) = (−iτ)3/2θ

′1(0|τ)

θ2(0|τ + 1) = eiπ/4θ2(0|τ) θ2(0| − 1/τ) = (−iτ)1/2θ4(0|τ)θ3(0|τ + 1) = θ4(0|τ) θ3(0| − 1/τ) = (−iτ)1/2θ3(0|τ)θ4(0|τ + 1) = θ3(0|τ) θ4(0| − 1/τ) = (−iτ)1/2θ2(0|τ)

(221)

ed e evidente il legame con (204) e (205). Riportiamo infine tre identita checoinvolgono le funzioni θ:

θ42(0|τ)− θ4

3(0|τ) + θ44(0|τ) = 0 identita′ astrusa di Jacobi (222)

θ2(0|τ)θ3(0|τ)θ4(0|τ) = 2η3(τ) (223)

θ′1(0|τ) = 2πη3(τ). (224)

Dalle proprieta modulari delle θ si vede che la funzione di partizione totaleZ(ψ) = ZψZψ con la scelta seguente per i cα:

Zψ = TrNS

(1− (−1)F

)

2qL0−c/24 − TrR

(1± (−1)F

)

2qL0−c/24

=1

η4(τ)θ4

3(0|τ)− θ44(0|τ)− θ4

2(0|τ)± θ12(0|τ) (225)

ed analogamente per Zψ, e invariante modulare (abbiamo introdotto ilfattore 1/2 perche c’e un’ulteriore simmetria discreta σi → −σi che non efissata e quindi bisogna evitare un doppio conteggio). Il segno relativo tra i

46

due settori riflette il fatto che gli stati nel settore NS sono bosoni, mentre nelsettore R sono fermioni. L’operatore (1 − (−1)F )/2 e proprio l’operatore diproiezione GSO del settore NS che elimina tutti gli stati, tra cui il tachione,ottenuti a partire dal vuoto con un numero pari di operatori fermionici; invecenel settore di Ramond c’e un’ambiguita di segno, perche l’operatore GSO chee:

1− Γ11(−1)F

2(226)

con Γ11 operatore di chiralita in 10 dimensioni, assegna a ciascuno statouna chiralita definita. Se i due vuoti di Ramond sinitro e destro vengonoproiettati con la stessa chiralia (quindi se si sceglie lo stesso segno davantia θ1 in (225)), si ottiene la superstringa di tipo IIB che e chirale e nonanomala; se invece hanno chiralita opposta si ha la superstringa di tipo IIAche e non chirale.La (225) non solo e invariante modulare, ma grazie all’identita di jacobi (222)ed all’annullarsi di θ1(0|τ) e pari a zero: il numero di stati bosonici e ugualea quello degli stati fermionici ad ogni livello di massa e lo spettro e cosısupersimmetrico.Infine notiamo che si puo ottenere un’altra funzione di partizione invariantemodulare se si scelgono i cα e i cα tali che:

Z(ψ) =|θ2(0|τ)|8 + |θ3(0|τ)|8 + |θ4(0|τ)|8 ± |θ1(0|τ)|8

|η(τ)|8 (227)

e a seconda della scelta del segno otteniamo due teorie, la 0A e la 0B chesono non chirali, non supersimmetriche, contengono il tachione ed hanno solobosoni nello spettro.

4.4 I tadpoles

La teoria di superstringa di tipo I e una teoria supersimmetrica di stringheaperte e chiuse non orientate e si costruisce a partire da quella di tipo IIB identificando i settori destrogiri e levogiri attraverso l’operatore Ω che el’operatore di parita sulla superficie di universo.In questa teoria siamo dunque portati a studiare i diagrammi ad un loopche coinvolgono stringhe aperte e non orientate, cioe il cilindro o anello, labottiglia di Klein e la striscia di Mobius che hanno tutti genere g = 1

47

L’anello, che e una superficie a due bordi, puo essere descritto in due modiequivalenti: prima di tutto si puo ottenere dal piano complesso con l’identificazione

z ≈ z + it (228)

e con regione fondamentale

0 ≤ σ1 ≤ 1, 0 ≤ σ2 ≤ t (229)

dove z = σ1 + iσ2 e t rappresenta il tempo di propagazione della stringaaperta nel loop (canale diretto). Il cilindro, che ha un vettore di Killingconforme associato alle traslazioni lungo σ2, si puo interpretare anche comeun diagramma a livello ad albero per una stringa chiusa(canale trasverso):possiamo infatti riscalare i lati di (229) per 1/t ed ottenere ancora un cilindrodi lato verticale normalizzato a 1 e lunghezza pari a 1/t che rappresenta iltempo di propagazione della stringa chiusa tra i due bordi.L’altro modo di descrivere un cilindro e quello di partire dal toro ricoprentedi modulo immaginario τA = it/2 ed identificare i punti z e z′ con

z′ = −z. (230)

La regione fondamentale F in questo caso diventa

FA = [0, 1/2]× i[0, t/2] (231)

La bottiglia di Klein, che non ha bordi, puo essere ottenuta dal piano com-plesso con le identificazioni:

z ≈ z + 1, z ≈ −z + it (232)

e con una delle due regioni fondamentali di uguale area:

0 ≤ σ1 ≤ 1, 0 ≤ σ2 ≤ t, (233)

0 ≤ σ1 ≤ 1/2, 0 ≤ σ2 ≤ 2t, (234)

La seconda regione, in cui i due lati verticali sono due crosscaps, corrispondeal canale trasverso: possiamo anche qui riscalare di 1/2t in modo che i lativerticali sono normalizzati ad uno ed il diagramma rappresenta una stringachiusa che si propaga tra due crosscaps in un tempo pari a 1/2t.

48

La descrizione alternativa e con il toro ricoprente di modulo τK = 2it edidentificando i punti z e z′ con

z′ = −z + it. (235)

La regione fondamentale F in questo caso e

FK = [0, 1/2]× i[0, 2t] (236)

Infine la striscia di Moebius, che ha un solo bordo, si ottiene dal piano com-plesso con l’identificazione:

z ≈ −z + it (237)

e con le stesse due regioni fondamentali della bottiglia di Klein (in questola regione corrispondente al canale trasverso ha per lati verticali un bordo eun crosscaps). Nella descrizione con il toro ricoprente il modulo del toro eτM = it/2 + 1/2, l’identificazione e tra z e z′ con

z′ = −z (238)

e la regione fondamentale e

FM = [1/2, 3/4]× i[0, t]. (239)

Passiamo ora al calcolo della funzione di partizione su queste superfici eper semplicita consideriamo solo il caso bosonico, utilizzando come regionefondamentale del canale diretto [0, 1]× i[0, t] e quindi il modulo associato allasuperficie sara sempre τ = it.Analogamente a quanto accade per il toro, la funzione di partizione per unsingolo bosone X sull’anello (consideriamo sempre condizioni NN) e data da:

ZA(t) = Tr[e2πiτL0cil

]= Tr

[e−2πt(L0− 1

24)]

(240)

dove L0 = p2 +∑∞

n=1 a−na−n, la traccia e sugli stati di stringa aperta .Quindi utilizzando il calcolo gia fatto per il toro, abbiamo:

ZA(t) = Tr[e−2πt(L0− 1

24)]

49

= V Tr11Tr21∫ ∞

−∞dp

e−2πp2t

η(it)

= V N2 1√2tη(it)

(241)

(242)

dove N1 = N2 = N sono le molteplicita degli indici di Chan-Paton suidue bordi.Passiamo alla striscia di Mobius che, come abbiamo visto, si ottiene incol-lando i bordi di una striscia dopo una trasformazione di parita Ω. Di con-seguenza:

ZM(t) = Tr[Ωe−2πp2tL0cil ] (243)

dove la traccia e fatta sugli stati di stringa aperta. Poiche l’azionedell’operatore Ω sugli oscillatori e:

ΩanΩ−1 = (−1)nan, (244)

la funzione di partizione diventa:

ZM(t) = V TrCP

∫ ∞

−∞dp

e−2πp2t

∏∞n=1(1− (−1)ne−2πnt)

= V TrCP1√2t

1∏∞n=1(1− e−2π2nt)(1 + e−2π(2n−1)t)

= V TrCP1√

2t√

θ3(2it)η(2it)(245)

dove TrCP e un’opportuna traccia di Chan-Paton (Ω scambia le estremitadella stringa e agisce anche sugli indici di Chan-Paton con una matrice uni-taria γΩ ):

∑

ij

〈i, j|Ω|i, j〉 =∑

ij

〈i, j|j′, i′〉(γΩ)ii′(γ−1Ω )j′j = Tr[γT

Ωγ−1Ω ] (246)

Poiche si puo vedere che γΩ e simmetrica o antisimmetrica, si ha che:

TrCP = εN (247)

50

con ε± 1.Dato che l’azione di Ω sugli oscillatori di stringa chiusa e:

ΩanΩ−1 = an, (248)

la funzione di partizione per la bottiglia di Klein e:

ZK(t) = Tr[Ω e−2πt(L0+L0−1/12)

]= V

∫ ∞

−∞dp

e−πtp2

η(2it)=

V√t η(2it)

(249)

dove la traccia e sugli stati di stringa chiusa.Tenendo conto che i ghost cancellano il contributo di due coordinate, cheabbiamo un modulo reale t che va da zero all’infinito e che il volume di CKGe ora pari a t, da (241) si ricava che l’ampiezza di vuoto per il cilindro e:

ZA = V N2∫ ∞

0

dt

4t

1

(2t)13η24(it)(250)

dove il fattore quattro a denominatore e dovuto alla simmetria σi → −σi

che come in (225) da un fattore 1/2 e l’ulteriore 1/2 deriva dall’operatore diproiezione (1 + Ω)/2 che proietta sugli stati non orientati .

Il comportamento dell’integrando per t → ∞, cioe nella regione in-frarossa, e dominato dai modi di stringa aperta piu leggeri e a causa dellapresenza del tachione, che e invece assente nelle teorie di stringa supersim-metriche, si ha una divergenza.C’e poi una divergenza nella regione ultravioletta (t → 0) che grazie all’invarianzamodulare e invece assente nel caso delle stringhe chiuse. Anche se dal puntodi vista delle stringhe aperte la divergenza e nell’ultravioletto, dal punto divista delle stringhe chiuse la divergenza e nell’infrarosso; infatti, come ab-biamo gia detto, il cilindro si puo interpretare come un diagramma ad unloop per una stringa aperta ma anche come un diagramma a livello ad alberoper una stringa chiusa e se facciamo la trasformazione t → l = 1/t, otteni-amo ancora un cilindro la cui lunghezza, pari ad l, nel limite t → 0 diventagrande: la stringa chiusa viene creta dal vuoto si propaga per un tempo 1/te poi scompare di nuovo nel vuoto.Sfruttando le proprieta modulari della funzione η, otteniamo che:

51

η(it) =1√tη (il) (251)

e quindi facendo il cambio di variabile t → l, abbiamo:

ZA =V N2

4 213

∫ ∞

0dl η−24(il). (252)

L’espansione della funzione η nel limite l →∞:

η−24 (il) = e2lπ + 24 +O(e−2lπ). (253)

Oltre alla divergenza IR data dal tachione, c’e anche quella dei modi amassa nulla. Nel limite l →∞ il cilindro si fattorizza infatti in due funzioniad un punto sul disco e nel propagatore intermedio di stringa chiusa. Glistati di stringa chiusa a massa nulla ( e per la conservazione del momentoanche pµ = 0) hanno funzioni ad un punto sul disco non nulle: sono questidiagrammi, detti tadpoles, che producono la divergenza nel limite l →∞ incui il propagatore intermedio 1/p2 va on shell. Il non annullarsi dei tadpolesimplica che il vuoto attorno a cui stiamo facendo lo sviluppo perturbativo einstabile, non risolve cioe le equazioni del moto.

Il tadpole per il cilindro e di conseguenza:

TA =24 V N2

4 213

∫ ∞

0dl (254)

Invece da (249) si ottiene che l’ampiezza di vuoto sulla bottiglia di Klein e:

ZK = V∫ ∞

0

dt

4t

1

t13η24(2it)(255)

dove il fattore quattro a denominatore ha la stessa origine del caso precedente.Passando dalla variabile t (canale diretto) alla variabile l (canale trasverso)che per la bottiglia di Klein, come discusso in precedenza, vale l = 1/2tabbiamo:

ZK =213V

4

∫ ∞

0dlη−24 (il) (256)

ed il tadpole vale:

52

TK =24 213V

4

∫ ∞

0dl (257)

Infine per la striscia di Moebius si ha:

ZM = εN V∫ ∞

0

dt

4t

1

(2t)13θ3(2it)12η(2it)12 (258)

e poiche la lunghezza del cilindro nel canale trasverso e l = 1/2t si ottiene :

ZM =εN 213V

2134

∫ ∞

0dl

1

θ3(2il)12η(2il)12 (259)

Da (253) e dal fatto che per l →∞ θ3(2il) → 1, si ricava che il tadpole vale

TM =48 εN 213V

2134

∫ ∞

0dl. (260)

Il tadpole totale e quindi:

T = TA + TK + TM =24 V (213 + εN)2

213 4

∫ ∞

0dl. (261)

e si annulla per N = 213 e ε = −1 (cioe il gruppo di gauge e SO(213))Con un calcolo simile nel caso della superstringa di tipo I si puo vedere che itadpoles nel settore di Ramond si cancellano se il gruppo di gauge e SO(32)o Sp(32), mentre i tadpoles del settore di NS solo se il gruppo e SO(32).

4.5 L’ampiezza a 4 bosoni ad un loop

La funzione di partizione per la superstringa di tipo I sull’anello, per la cuidescrizione ora utilizziamo il toro ricoprente di modulo τA = it/2, si calcolain modo analogo al caso basonico e si ottiene da quella della superstringa ditipo II prendendo solo la parte olomorfa e con τ = it/2

ZA = V10N2

∫ ∞

0

dt

4t

∑α cαθ4

α( it2)

t5η12( it2)

(262)

53

dove il fattore 1/4 viene dal fattore 1 /2 della proiezione GSO e dal fattore1 /2 della proiezione Ω e i cα sono i coefficienti della proiezione GSO.

Ricordiamo che ZA si annulla grazie all’identita di Jacobi

∑α

cαθ4α = 0 (263)

e quindi lo spettro e supersimmetrico. Inoltre la funzione a due punti boson-ica vale

〈X(z)X(w)〉 = ZX(t)GA(z − w), 〈1〉 = ZX(t) (264)

dove GA e il propagatore sul’anello e le contrazioni vengono pesate dallafunzione di partizione, che e l’ampiezza a zero punti.Il propagatore sul cilindro GA con condizioni di Neumann si ottiene da quellosul toro ricoprente GT di modulo τA = it/2 con il metodo della carica im-magine. Infatti:

GA(z − w) =1

2[GT (z − w) + GT (z − w) + GT (z − w) + GT (z − w)] , (265)

dove z = −z = z e w = −w = w per inserzioni di stringa aperta sul bordo diA. Il propagatore bosonico libero (biperiodico con andamento logaritmico az = 0) sul toro ricoprente GT (z, w) e :

GT (z − w) = −α′

2

log

∣∣∣∣∣θ1(z)

θ′1(0)

∣∣∣∣∣2

− 2π

ImτIm(z − w)2

, (266)

con τ = it/2.Per quanto riguarda invece la funzione a due punti per i fermioni, in una

struttura di spin pari abbiamo:

〈ψ(z)ψ(w)〉α = Sα(z − w)Zψα, 〈1〉α = Zψα (267)

dove Sα(z − w) e il propagatore fermionico:

Sα(z − w) =θα(z − w)

θ1(z − w)

θ′1(0)

θα(0), (268)

54

che ha un polo semplice per z → w con residuo pari a 1 ( a piccole distanzedobbiamo riottenere il propagatore sul piano).Nella struttura di spin dispari, il propagatore fermionico (biperiodico con unpolo semplice ma non analitico) vale:

S1(z − w) = −∂zG(z − w) . (269)

dove G(z − w) e il propagatore bosonico.Ora vediamo l’ampiezza di quattro bosoni vettori ad un loop sul cilindro

con le stringhe inserite su un bordo del cilindro (l’ampiezza e detta planareperche il diagramma si puo mappare su un piano). Come abbiamo visto glizero modi dei campi fermionici e di superghost sono presenti solo nella strut-tura di spin dispari, ma per riassorbire i dieci zero modi dei fermioni (stiamoin D=10) bisognerebbe inserire almeno cinque coppie fermioniche, mentre inquesto caso ne abbiamo al massimo solo quattro. Dunque la struttura di spindispari non da contributo e in quelle di spin pari possiamo percio utilizzarevertici nella picture 0:

V0(z) = aµ(∂Xµ + ip · ψψµ) eip·X(z) (270)

L’ampiezza e quindi:

A1−loopvv→vv(pi, ai) = g2

s

∫ ∞

0

dt

t

∫

R

∏

i

dzi

∑α

cα〈V0(z1; p1, a1)V0(z2; p2, a2)V0(z3; p3, a3)V0(z4; p4, a4)〉α . (271)

dove il fattore t e il volume di CKG e cancella l’integrazione sulla coor-dinata del centro di massa da cui il correlatore e indipendente ( si puo cioefissare la posizione di un vertice) e la regione di integrazione Rplan

A e:

RplanA = zi = iyi : 0 < y1 < y2 < y3 < y4 < ImτA = t/2 . (272)

Ci sono cinque tipi differenti di contributi da calcolare:

〈(∂X)4〉α+“4”〈(∂X)3(ψψ)〉α+“6”〈(∂X)2(ψψ)2〉α+“4”〈(∂X)(ψψ)3〉α+〈(ψψ)4〉α .(273)

55

Tuttavia i primi due tipi di termini non danno contributo (quello senza coppiefermioniche per l’identia di jacobi e quindi per la supersimmetria e quellocon una sola coppia perche il valor medio di un prodotto normale-ordinato enullo).

Anche i termini con due e tre coppie fermioniche danno un contributonullo dopo aver sommato sulle strutture di spin pari grazie all’identita:

∑α

cαθα(z1)θα(z2)θα(z3)θα(z4) =

θ1(z′1)θ1(z

′2)θ1(z

′3)θ1(z

′4)− θ1(z

′′1 )θ1(z

′′2 )θ1(z

′′3 )θ1(z

′′4 ) , (274)

dove z′i e z′′i sono legati a zi attraverso:

z′1 =1

2(z1 + z2 + z3 + z4) z′2 =

1

2(z1 + z2 − z3 − z4)

z′3 =1

2(z1 − z2 + z3 − z4) z′4 =

1

2(z1 − z2 − z3 + z4) (275)

e

z′′1 =1

2(−z1 + z2 + z3 + z4) z′′2 =

1

2(z1 − z2 + z3 + z4)

z′′3 =1

2(z1 + z2 − z3 + z4) z′′4 =

1

2(z1 + z2 + z3 − z4) . (276)

Infatti se ad esempio consideriamo un termine a due coppie otteniamo:

〈ip3 · ψa3 · ψ(z3)ip4 · ψa4 · ψ(z4)〉α = k S2α(z34)Zα (277)

dove k e una costante che dipende dagli impulsi e dalle polarizzazioni.Sommando sulle strutture di spin pari (nella funzione di partizione riportiamosolo il contributo delle θα ) e sostituendo in (274) z1 → z34, z2 → z34, z3 → 0,z4 → 0, si ha:

∑α

cα

[θα(z34)

θ1(z34)

θ′1(0)

θα(0)

]2

θ4α(0) =

(θ′1(0)

θ1(z34)

)2 [θ21(z34)θ

21(0)− θ2

1(0)θ21(z34)

]= 0.

(278)Rimane da calcolare solo il termine che contiene quattro coppie fermioniche

e che presenta due strutture: quella connessa che lega tra loro tutte le coppie

56

e quella disconnessa in cui le coppie si contraggono a gruppi di due.Il termine connesso a sua volta ha tre contributi corrispondenti alle con-trazioni cicliche (1234), (1243), (1324). Vediamo solo il primo contributo:

〈(ψψ)4〉connα =

24

24(f1f2f3f4)Sα(z12)Sα(z23)Sα(z34)Sα(z14)Zα (279)

dove(f1f2f3f4) = fµ

1 νfν2 ρf

ρ3 λf

λ4 µ (280)

si ricava come nel caso al livello ad albero ed il fattore 24 a numeratore e unfattore combinatorio che deriva dal fatto che possiamo scegliere il fermionein ogni coppia in due modi diversi.

La somma su α da:

∑α

cαSα(z12)Sα(z23)Sα(z34)Sα(z14)θ4

α

η12=

∑α

cαθα(z12)θα(z23)θα(z34)θα(z14)

θ1(z12)θ1(z23)θ1(z34)θ1(z14)(2π)4

= (2π)4 (281)

dove abbiamo utilizzato l’identita (274) e θ′1(0) = 2πη3.

Anche il termine disconnesso ha tre strutture: (12)(34), (12)(43) e (13)(24).La prima da:

〈(ψψ)4〉discα =

22

24(f1f2)(f3f4)S2

α(z12)S2α(z34)Zα (282)

La somma su α da:

∑α

cα S2α(z12)S2

α(z34)θ4

α

η12=

∑α

cαθ2

α(z12)θ2α(z34)

θ21(z12)θ2

1(z34)(2π)4

= −(2π)4 (283)

Il contributo dei bosoni invece e semplimente:

Π(pi, xi) = 〈∏i<j

exp[ipi ·X(xi]〉 =∏

i<j

exp[−pi · pjGA(xij)]

57

Sommando su tutti i contributi e ,a meno di permutazioni e di fattori diChan-Paton, l’ampiezza totale e:

Aab(1, 2, 3, 4)(pi, ai) = g2s

(2π)10

4δ(

∑

i

pi)Kalberovv→vv(pi; ai)×

∫ ∞

0

dt

t6

∫

RplanA

4∏

k=1

dzk

∏

i<j

e−pi·pjGA(zij) ,

= g2s

(2π)10

4δ(

∑

i

pi)Kalberovv→vv(pi; ai)×

∫ ∞

0

dt

t5

∫

RplanA

3∏

k=1

dzk

∏

i<j

e−pi·pjGA(zij)

(284)

dove Kalberovv→vv(pi; ai) e lo stesso fattore cinematico totalmente simmetrico

che risulta dal calcolo a livello ad albero e nell’ultimo passaggio abbiamofissato la posizione del vertice in z4 e cancellato cosı il volume di CKG t.

58

5 Predizioni per i fututi acceleratori dalle ampiezze

di scattering ad un loop in mondi con D-

brane

In questa sezione calcoleremo la sezione d’urto totale σtot(s) per il decadi-mento in stringhe chiuse che si propagano nelle dimensioni extra di duebosoni vettori a massa nulla di stringa aperta in configurazioni di vuotoche preservano almeno N = 1 supersimmetria. Il teorema ottico lega σtot(s)alla parte immaginaria dell’ampiezza di scattering in avanti A(s). Lavor-eremo all’ordine piu basso in gs, cioe |disk|2 ≈ Im(anello). Il contributoprincipale al processo corrisponde ad un’ampiezza con bosoni vettori congli stessi fattori di Chan-Paton che si annichilano in stati di stringa chiusache sono singoletti di gauge. Processi in cui lo stato iniziale e costituitoda gaugini, che appartengono alla rappresentazione aggiunta del gruppo diChan-Paton o scalari di materia in multipletti chirali non sono rilevanti perla fisica degli acceleratori. Oltre ai processi studiati ed avviati da bosonivettori, che trasformano nell’aggiunta del gruppo di Chan-Paton e che ap-partengono al settore untwisted dell’orbifold con modi interi o che connettonobrane parallele o ugualmente magnetizzate, si dovrebbero considerare ancheprocessi iniziati da fermioni di materia che possono appartenere sia al settoreuntwisted che twisted e che connettono brane intersecantisi ad angolo o condifferenti flussi magneticiLa nostra analisi utilizzera proprieta delle funzioni ellittiche e i propagatoridi campi liberi su superfici di genere uno con o senza bordi e crosscap percalcolare e semplificare i correlatori sulla superficie di universo. Dopo averderivato espressioni per ampiezze ad un loop non planari le specializzeremoal caso di scattering in avanti. Dopo aver estratto la loro parte immaginaria,determineremo la sezione d’urto totale per il decadimento in stringhe chiusein funzione della variabile di Mandelstam s = −(p1 + p2)

2 = −2p1 · p2. Essamostra i picchi attesi e la struttura di soglia che rivelano le proprieta dellospazio interno.

Nel prossimo paragrafo 5.1 riportiamo le formule per gli opertatori divertice e per le ampiezze a livello ad albero. Nel paragrafo 5.2 calcoliamoi correlatori ad un loop per le strutture di spin pari e che corrispondono aprocessi pari sotto CP . Il paragrafo 5.3 contiene un riassunto dei risultati

59

ottenuti. I termini corrispondenti alla struttura di spin dispari ( e che sonodispari sotto CP) ricevono un contributo solo dai settori N = 1 e sarannodiscussi nel paragrafo 5.4. Il caso di scattering in avanti sia per CP pari e CPdispari verra studiato in 5.5, mentre le sezioni d’urto totali per il decadimentoin stringhe chiuse nel bulk sono discusse in 5.6. Presentiamo i commenti finalinel paragrafo 5.7.

Alcune proprieta delle funzioni ellittiche sono riportate nelle appendiciche dovrebbero essere consultate per la notazione e le convenzioni.

5.1 Ampiezze a livello ad albero con compattificazione

Per completezza riportiamo i risultati per l’ampiezza di quattro bosoni distringa aperta al livello ad albero (disco) che abbiamo visto in precedenza indimensione D=10 . Il risultato e indipendente dal numero di supersimmetriedella configurazione di vuoto poiche gli operatori di vertice nel formalismoNSR 1

V aa0 (z) = aµ(∂Xµ + ip · ψψµ) eip·X(z)T aa

CP ,

V aa−1(z) = aµψµe

−ϕ eip·X(z)T aaCP , (285)

con p2 = 0, a · p = 0 per l’invarianza BRS e a = Ωa, non dipendono daidettagli della compattificazione racchiusi nella CFT interna che verrannospecificati in seguito. In altre parole i vertici coinvolgono solo l’operatoreidentita che ha correlatori banali. Le matrici T aa

CP appartengono all’aggiuntadel gruppo di Chan-Paton , cioe a NN per U(N) o a N(N± 1)/2 per Sp(N)o SO(N).

Come abbiamo visto nel calcolo a dieci dimensioni, gli operatori di verticesono inseriti sul bordo del disco che e conformemente equivalente al semipianosuperiore percio zi = xi ∈ R. Devono esserci tre inserzioni c di ghost perfissare l’invarianza SL(2, R) . L’ampiezza di scattering di quattro bosoni allivello ad albero e allora data da

Atreevv→vv(pi, ai) = (286)

gstr(T1T2T3T4)∫

dz3〈cV0(z1; p1, a1)cV−1(z2; p2, a2)V0(z3; p3, a3)cV−1(z4; p4, a4)〉 ,

a meno di permutazioni delle gambe esterne.

1dove non viene detto altrimenti , poniamo α′ = 1/2 da ora in avanti

60

Dopo aver fatto le contrazioni dei campi liberi ed includendo le permu-tazioni non cicliche, si trova 2

Atreevv→vv(pi, ai) = gs(2π)4δ(

∑

i

pi)Ktreevv→vv(pi, ai)×

[tr(T1T2T3T4) + tr(T1T4T3T2)]B(s, t) +

[tr(T1T3T4T2) + tr(T1T2T4T3)]B(t, u) +

[tr(T1T4T2T3) + tr(T1T3T2T4)]B(u, s) , (287)

dove

B(s, t) =∫ 1

0dxx2α′p1·p2−1(1− x)2α′p1·p3−1 =

Γ(−α′s)Γ(−α′t)Γ(α′u)

(288)

e la funzione Beta di Eulero che appare nell’ampiezza di Veneziano, s =−(p1+p2)

2 = −2p1 ·p2, t = −(p1+p4)2 = −2p1 ·p4, u = −(p1+p3)

2 = −2p1 ·p3

e cosı s + t + u = 0.Il fattore bosonico cinematico Ktree

vv→vv(pi, ai) che e totalmente simmetricoe non solo ciclicamente simmetrico vale [73, 74]

Ktreevv→vv(pi, ai) = −1

4(sta1 · a3a2 · a4 + usa1 · a4a2 · a3 + tua1 · a2a3 · a4) (289)

+s

2(a1 · p4a3 · p2a2 · a4 + a2 · p3a4 · p1a1 · a3 + a1 · p3a4 · p2a2 · a3 + a2 · p4a3 · p1a1 · a4)

+t

2(a2 · p1a4 · p3a3 · a1 + a3 · p4a1 · p2a2 · a4 + a2 · p4a1 · p3a3 · a4 + a3 · p1a4 · p2a2 · a1)

+u

2(a1 · p2a4 · p3a3 · a2 + a3 · p4a2 · p1a1 · a4 + a1 · p4a2 · p3a3 · a4 + a3 · p2a4 · p1a2 · a1)

in dimensione D = 10 come pure in dimensione piu bassa. Come visto inprecedenza esso si puo riscrivere in modo piu compatto in termini del tensoredi campo linearizzato

fµνi = pµ

i aνi − pν

i aµi = −f νµ

i (290)

ottenendo cosı un’espressione invariante di gauge

Ktreevv→vv(ai, pi) =

1

2[(f1f2f3f4) + (f1f3f4f2) + (f1f4f2f3)]

−1

4[(f1f2)(f3f4) + (f1f3)(f4f2) + (f1f4)(f2f3)] (291)

2Per la metrica di Lorentz utilizziamo la segnatura ηµν = (−, +, +,+).

61

dove(fifjfkfl) = fµ

i νfνj ρf

ρk σf

σl µ (292)

e(fifj) = fµ

i νfνj µ . (293)

Per lo scattering in avanti p4 = −p1 e p3 = −p2, quindi t = 0 e u = −s,a3 = a2 e a4 = a1 ed il fattore cinematico si semplifica drasticamente:

KFS,treevv→vv = (α′s)2a2

1a22 . (294)

5.2 Ampiezze CP pari ad un loop

In questo paragrafo calcoliamo i correlatori sulla superficie di universo checompaiono nelle ampiezze di scattering ad un loop (planare, non planaree non orientabile) di quattro bosoni vettori di stringa aperta per modellisupersimmetrici con brane intersecantisi e magnetizzate su orbifolds3. Peril momento focalizziamo l’attenzione sulle ampiezze CP pari che ricevonocontributo dalle strutture di spin pari nel formalismo NSR. Le ampiezze CPdispari dalla struttura di spin dispari sono descritte nel paragrafo successivo.

A meno di fattori di Chan-Paton, l’ampiezza di quattro bosoni vettori adun loop nel canale diretto (descrizione di stringa aperta) e:

A1−loopvv→vv(pi, ai) = g2

s

∫ ∞

0

dt

t

∫

R

∏

i

dzi

∑α

cα〈V0(z1; p1, a1)V0(z2; p2, a2)V0(z3; p3, a3)V0(z4; p4, a4)〉α . (295)

La potenza del parametro modulare t nel denominatore rende conto delvolume del gruppo di Killing conforme e cancella l’integrale sulla coordinatadel ’centro di massa’ da cui il correlatore deve essere indipendente. Potenzenegative aggiuntive di t compariranno come risultato dell’integrale sul mo-mento nel loop. La somma sulle strutture di spin α (α = 2, 3, 4 pari, α = 1dispari) con coefficienti appropriati cα rappresenta la proiezione GSO . Inoltreva considerata anche la somma sui vari tipi di brane magnetizzate ed inter-secantisi, etichettate da qui in avanti con a = 1, ..., Na dove Na = Tra(1),

3Alcune proprieta delle funzioni ellittiche e dei propagtori sono riportate in Appendiceche dovrebbe essere consulatata per la notazione e per le convenzioni

62

e sui vari settori dell’orbifold, etichettati con k = 0, ..., n − 1 per il caso diΓ = Zn,

Nel caso planare, i quattro bosoni vettori dovrebbero appartenere allostesso fattore nel gruppo di Chan-Paton e l’ampiezza sull’anello A e dataschematicamente da:

Aplanvv→vv = tra(T1T2T3T4Wk)trb(Wk)Aab(1, 2, 3, 4) , (296)

dove le linee discrete di Wilson W rappresentano l’immersione proiettiva delgruppo di orbifold Γ nel gruppo di Chan-Paton . I vertici di stringa apertasono inseriti sullo stesso bordo della superficie di universo, z = −z, e laregione di integrazione e data da

RplanA = zi = iyi : 0 < y1 < y2 < y3 < y4 < ImτA = t/2 . (297)

Le ampiezze non planari ricevono un contributo anche quando i bosonivettori appartengono a fattori diversi del gruppo di Chan-Paton, cioe termi-nano su differenti insiemi di D-brane. A meno di permutazioni, che dipendonodalla scelta delle matrici di Chan-Paton per le gambe esterne, la corrispon-dente ampiezza sull’anello vale:

Anonplvv→vv = tra(T1T2Wk)trb(T3T4Wk)Aab(1, 2; 3, 4) . (298)

La regione di integrazione e data da

RnonplA = z1,2 = iy1,2, z3,4 =

1

2+ iy3,4 : 0 < yi < ImτA = t/2 (299)

ma altrimenti non ristretta, cioe non compare la disuguaglianza tra gli yi

presente in (297): questo avra un ruolo cruciale piu avanti nella sezione 5.6.Per stringhe non orientate, le sole dove la cancellazione dei tadpole puo

essere realizzata grazie al contributo dei piani di orientifold Ω, bisogna pren-dere in considerazione anche il contributo della striscia di Mobius M. Ameno di permutationi, essa vale

Aunorvv→vv = tra(T1T2T3T4W

Ω2k)Maa(1, 2, 3, 4) , (300)

dove WΩ2k rappresenta l’azione sul gruppo di Chan-Paton della parita sulla su-

perficie di universo . La scelta degli N ’s e dei W ’s come pure dei flussi e degliangoli di intersezione e strettamente legata a condizioni di consistenza come

63

la cancellazione dei tadpoles [77, 78, 79, 80, 81]. Nel seguito assumeremo chetale scelta e stata fatta.

Per la striscia di Mobius M, la regione di integrazione e data da

RM = zi = iyi +1

2δ : 0 < y1 < y2 < y3 < y4 < ImτM = t/2; δ = 1, 2 .

(301)Come abbiamo visto nel caso in dieci dimensioni ci sono in principio

cinque tipi differenti di contributi per i colleratori sulla superficie di universo:

〈(∂X)4〉α+“4”〈(∂X)3(ψψ)〉α+“6”〈(∂X)2(ψψ)2〉α+“4”〈(∂X)(ψψ)3〉α+〈(ψψ)4〉α .(302)

I primi due termini non danno contributo per una qualunque configurazionedi vuoto supersimmetrico dopo aver sommato sulle strutture di spin pari oper mancanza di zero modi fermionici nella struttura di spin dispari. Questavolta pero danno un contributo non nullo anche i termini a due e tre coppiefermioniche.

Contrazioni delle coordinate bosoniche dello spaziotempo, che soddisfanocondizioni al contorno di Neumann, sono eseguite attraverso:

GΣ(z − w) =1

2[GT (z − w) + GT (z − w) + GT (z − w) + GT (z − w)] , (303)

dove z = −z = z e w = −w = w per inserzioni di stringa aperta sul bordodi Σ = A,M, e GT (z, w) e il propagatore bosonico sul toro ricoprente

GT (z − w) = −α′

2

log

∣∣∣∣∣θ1(z)

θ′1(0)

∣∣∣∣∣2

− 2π

ImτIm(z − w)2

, (304)

con τ = τΣ.Per completezza riportiamo anche il propagatore fermionico in una strut-

tura di spin pari:

Sα(z − w) =θα(z − w)

θ1(z − w)

θ′1(0)

θα(0). , (305)

In una struttura di spin dispari, il propagatore fermionico e

S1(z − w) = −∂zG(z − w) . (306)

Le contrazioni sono pesate dalla funzione di partizione

ZNα = 〈1〉a,b

α,k , (307)

la cui forma esplicita dipende dal settore in considerazione, cioe dalla sceltadi k e a, b che determinano il numero di supersimmetrie preservate N .

64

5.2.1 settori N = 4: solo ampiezze CP pari come in D = 10

In realta per i settori N = 4 solo l’ultimo termine in (302) contribuisce , cioesopravvive dopo aver sommato sulle strutture di spin pari.I settori N = 4 di stringa aperta sono caratterizzati da k = 0 e colleganobrane parallele e ugualmente magnetizzate (stringhe ’neutre’ e ’dipolari’)[2, 66]). La funzione di partizione e data da

ZN=4α = XN=4

ab

θ4α(0)

η12, (308)

dove

XN=4ab =

∫d4x0Λab

2GSO2Ωnorb(α′t)2(309)

tiene conto dei fattori numerici e dei modi zero bosonici. In particulare,∫d4x0 = VX e il volume regolato dello spaziotempo,

∫d4p0 exp(−πα′p2

0) =1/(α′t)2, e Λab denota la somma 6-domensionale sui momenti di Kaluza Kleingeneralizzati. I fattori numerici risultano dalle varie proiezioni ZGSO

2 , ZΩ2 e

Zorbifoldn .

A meno di permutazioni, l’ampiezza di anello non planare vale:

Aab(1, 2, 3, 4)(pi, ai) = g2s

(2π)4

4nδ(

∑

i

pi)Ktreevv→vv(pi; ai)×

∫ ∞

0

dt

t3Λab(τA)

∫

R(non)planA

∏

k

dzk

∏

i<j

e−pi·pjGA(zij) , (310)

dove GA e il propagatore bosonico libero sul bordo dell’anello A (303). Leregioni di integrazione Rplan

A e Rnon−planA sono state discusse in precedenza.

Come gia visto in precedenza, il fattore cinematico Ktreevv→vv e esattamente lo

stesso del livello ad albero.L’ampiezza di Mobius non orientata e

Maa(1, 2, 3, 4) = g2s

(2π)4

4nδ(

∑

i

pi)Ktreevv→vv(pi; ai)×

∫ ∞

0

dt

t3Λaa(τA)

∫

RM

∏

k

dzk

∏

i<j

e−pi·pjGM(zij) , (311)

dove GM e il propagatore bosonico libero sul bordo della striscia di Mobius(303).

65

5.2.2 settori N = 1, 2 : ampiezze CP pari

Consideriamo ora i settori N = 1 and N = 2 supersimmetrici che possonoessere analizzati in parallelo nelle strutture di spin pari. La struttura di spindispari richiede un’analisi separata. La differenza principale tra i due casirisiede nel contributo interno. La nostra analisi si applica a scelte arbitrarie(‘parallele’ [2] o ‘oblique’ [66]) di flussi magnetici abeliani costanti4 o di angolidi intersezione in compattificazioni supersimmetriche su orbifold.

Nel caso N = 1 si ha

〈1〉a,bα,k,ε = ZN=1

α (uIab) = XN=1

ab

θα(0)

η3

∏

I

θα(uIab)

θ1(uIab)

, (312)

dove

XN=1ab =

Iab

∫d4x0

2GSO2Ωnorb(α′t)2(313)

Iab e una molteplicita discreta , cioe la degenerazione dei livelli di Landau,il numero dei punti fissi o delle intersezioni,

uIab = εI

abτA + kvIab , (314)

con εIab che denota gli angoli di intersezione o gli shift magnetici e kvI

ab rap-presenta una certa proiezione di orbifold Zn con k = 0, 1, ...n − 1. N = 1supersimmetria richiede uI

ab 6= 0, con∑

I uIab = 0 (mod 1) (perche la matrice

di rotazione deve appartenere a SU(3) e quindi deve avere determinanteunitario).

Nel caso N = 2 uno degli uIab si annulla. Se poniamo ad esempio u3

ab = 0,allora u1

ab = −u2ab = uab (mod 1) e si ottiene

〈1〉a,bα,k,ε = ZN=2

α (uab) = XN=2ab

θα(0)2θα(uab)θα(−uab)

η6θ1(uab)θ1(−uab), (315)

dove

XN=2ab =

∫d4x0I⊥abΛ

‖ab(τA)

2GSO2Ωnorb(α′t)2. (316)

4Una descrizione sulla superficie di universo dei flussi non abeliani discussa in [86] none ancora disponibile.

66

In aggiunta alla molteplicita discreta I⊥ab nelle direzioni twisted o magnetiz-

zate, e presente anche una somma sui momenti di KK Λ‖ab(τA) nelle direzioni

untwisted o non magnetizzate.In entrambi i casi i fattori di Chan-Paton risultano modificati in tra(T

1...W k)a causa dell’effetto delle linee (discrete) di Wilson W che corrispondonoall’immersione del gruppo di orbifold Γ nel gruppo di gauge. Inoltre bisognanotare che il gruppo di gauge non rotto Gu

a per le brane di tipo a corrispondeai generatori T u

a tali che [T ua ,W k

a ] = 0.Consideriamo ora una alla volta le contrazioni di Wick:

5.2.3 Due bilineari fermionici (6 termini)

A meno di permutazioni (sei in tutto) il correlatore tipico 〈(∂X)2(ψψ)2〉α e

〈a1·∂Xeip1·X(z1)a2·∂Xeip2·X(z2)eip3·X(z3)e

ip4·X(z4)〉〈ip3 · ψa3·ψ(z3)ip4 · ψa4·ψ(z4)〉α .(317)

Il correlatore bosonico da

〈a1 · ∂Xeip1·X(z1)a2 · ∂Xeip2·X(z2)eip3·X(z3)e

ip4·X(z4)〉 =

[a1 · a2∂1∂2G(z12)−∑

i 6=1

a1 · pi∂1G(z1i)∑

j 6=2

a1 · pj∂2G(z2j)]Π(pi, zi) ,(318)

dove G e il propagatore bosonico libero definito in (303) e

Π(pi, zi) =∏

i<j

exp[−pi · pjG(zij)] . (319)

Il correlatore fermionico da

〈ip3 · ψa3 · ψ(z3)ip4 · ψa4 · ψ(z4)〉α = −21

22(f3f4)S2

α(z34)Zα , (320)

dove Sα e il propagatore fermionico ( kernel di Szego) per le strutture di spinpari definito in (305). Usando

S2α(z − w) = P(z − w)− eα−1 , (321)

dove P(z) e la funzione di Weierstrass P

P(z) = −∂2z log θ1(z)− 2η1 , (322)

67

con

η1 = −2πi∂τ log η = −1

6

θ′′′1 (0)

θ′1(0), (323)

poiche θ′1(0) = 2πη3, e

eα−1 = −4πid

dτlog

θα(0|τ)

η(τ), (324)

si vede che solo il termine ∂τ log θα in eα−1 sopravvive alla somma sulle strut-ture di spin pari.

Per i settori N = 1, si trova

EN=1(uIab) = XN=1

ab

∑α

θ′′α(0)

η3

∏

I

θα(uIab)

θ1(uIab)

= 2πXN=1ab

∑

I

θ′1(uIab)

θ1(uIab)

= 2πXN=1ab

H′(0)

H(0),

(325)dove

H(z) =∏

I

θ1(z + uIab) (326)

e il fattore degli zero-modi XN=1ab e definito in (313).

Per i settori N = 2 si trova

EN=2(uab) = XN=2ab

∑α

θ′′α(0)θα(0)θα(uab)θα(−uab)

η3θ1(uab)θ1(−uab)= 4π2XN=2

ab , (327)

dove il fattore degli zero modi XN=2ab e definito in (316).

Cosı, il correlatore fermionico

〈ip3 · ψa3 · ψ(z3)ip4 · ψa4 · ψ(z4)〉even = −1

2(f3f4)EN=1,2(u

Iab) (328)

risulta essere independente dai punti di inserzione nei settori N = 1, 2. Comegia detto, esso riceve un contributo nullo dai settori N = 4.

5.2.4 Tre bilineari fermionici (4 termini)

A meno di permutazioni (quattro in tutto) il correlatore 〈(ψψ)3(∂X)〉α puoessere calcolato osservando che l’ordinamento normale dei bilineari fermionici: ψψ : permette solo una contrazione ciclica di Lorentz che da

〈ip1 · ψa1·ψip2 · ψa2·ψip3 · ψa3·ψ〉α = −i23

23(f1f2f3)Sα(z12)Sα(z23)Sα(z13)ZN

α ,

(329)

68

dove zij = zi − zj e(f1f2f3) = fµ

1 νfν2 ρf

ρ3 µ . (330)

Usando l’identita

Sα(z13)Sα(z23) = Sα(z12)ω(z1, z2, z3) + S ′α(z12) , (331)

dove

ω(z1, z2, z3) = ∂1 log θ1(z12) + ∂2 log θ1(z23) + ∂3 log θ1(z31) , (332)

ricombinando i due Sα(z12), usando (321) e

Sα(z)S ′α(z) =1

2∂z(P(z)− eα−1) =

1

2P ′(z) , (333)

e sommando sulle strutture di spin pari abbiamo

〈ip1 · ψa1 · ψip2 · ψa2 · ψip3 · ψa3 · ψ〉even = −i(f1f2f3)ω(z1, z2, z3)EN (uIab) ,(334)

che e manifestamente simmetrico sotto una qualunque permutazione dei trepunti di inserzione. Come gia detto, questo correlatore non riceve contributidai settori N = 4 .

Il correlatore bosonico da semplicemente

〈eip1·Xeip2·Xeip3·Xa4 · ∂Xeip4·X〉 = i∑

i 6=4

a4 · pi∂4G(zi4)Π(pi, zi) , (335)

dove G e il propagatore bosonico (303) e Π(pi, zi) e il fattore dei momenti(319).

5.2.5 Quattro bilineari fermionici (1 termine, 2 strutture)

Consideriamo infine il termine 〈(ψψ)4〉α. Le coordinate bosoniche danno ilfattore dei momenti Π(zi; pi) definito in (319). Tenendo conto dell’ordinamentonormale di : ψψ : si possono avere solo due tipi di contrazioni.

Ci sono tre contrazioni connesse degli indici di Lorentz che danno

〈(ψψ)4〉connα =

24

24(f1f2f3f4)Sα(z12)Sα(z23)Sα(z34)Sα(z14)Zα , (336)

69

dove(f1f2f3f4) = fµ

1 νfν2 ρf

ρ3 λf

λ4 µ . (337)

Usando (331), il prodotto dei propagatori fermionici puo essere semplificatoin

[Sα(z13)ω(z1, z2, z3) + S ′α(z13)][Sα(z13)ω(z1, z4, z3) + S ′α(z13)]

= ω(z1, z2, z3)ω(z1, z4, z3)[P(z13)− eα−1] (338)

+1

2[ω(z1, z2, z3) + ω(z1, z4, z3)]P ′(z13) + S ′α(z13)

2 .

Sommando sulle strutture di spin solo il primo e l’ultimo termine soprav-vivono. Denotiamoli con UN (zi) e VN (zi). Il primo vale

UN (zi) = −ω(z1, z2, z3)ω(z1, z4, z3)EN (uIab) . (339)

Il secondo e piu laborioso. Osservando che

S ′α(z)2 = ∂z[Sα(z)S ′α(z)]− Sα(z)S ′′α(z) , (340)

che, usando (321), a sua volta da

S ′α(z)2 =1

2P ′′(z)− Sα(z)S ′′α(z) (341)

e chiaro che solo il secondo termine contribuisce dopo aver sommato sullestrutture di spin, quindi

VN (zi) = limz0→z1

∂2z0

∑α

cαSα(z03)Sα(z13)ZNα . (342)

Inoltre usando (331) nella forma seguente

Sα(z03)Sα(z13) = Sα(z01)

[ωz0−z1(z3) +

θ′α(z01)

θα(z01)

], (343)

dove

ωx−y(z) = ∂z logθ1(z − x)

θ1(z − y)(344)

e un differenziale del terzo tipo con due poli semplici con residui opposti (±1)in z = x e z = y, otteniamo

VN (zi) = − limz0→z1

∂2z0

∑α

cα

[θα(z01)

θ1(z01)ωz0−z1(z3) +

θα(z01)

θ1(z01)

]ZN

α . (345)

70

Entrambi i termini possono essere calcolati attraverso l’identita di Rie-mann per le strutture di spin pari gia vista in precedenza

∑α

cαθα(z1)θα(z2)θα(z3)θα(z4) =

θ1(z′1)θ1(z

′2)θ1(z

′3)θ1(z

′4)− θ1(z

′′1 )θ1(z

′′2 )θ1(z

′′3 )θ1(z

′′4 ) , (346)

dove z′i e z′′i sono legati a zi attraverso

z′1 =1

2(z1 + z2 + z3 + z4) z′2 =

1

2(z1 + z2 − z3 − z4)

z′3 =1

2(z1 − z2 + z3 − z4) z′4 =

1

2(z1 − z2 − z3 + z4) (347)

e

z′′1 =1

2(−z1 + z2 + z3 + z4) z′′2 =

1

2(z1 − z2 + z3 + z4)

z′′3 =1

2(z1 + z2 − z3 + z4) z′′4 =

1

2(z1 + z2 + z3 − z4) . (348)

Per i settori N = 1

VN=1(zi) = −2πXN=1ab × (349)

limz0→z1

∂2z0

[(ωz0−z1(z3) + ∂z0)θ1(z01/2)[H(z01/2)−H(−z01/2)]

θ1(z01)H(0)

],

dove H(z) e definita in (326), e alla fine abbiamo

VN=1(zi) = −2πXN=1ab

H′(0)

H(0)

[∂3

θ′1(z31)

θ1(z31)+

1

6

θ′′′1 (0)

θ′1(0)− 1

6

H′′′(0)

H′(0)

]

= EN=1P(z13) + JN=1 , (350)

dove

JN=1 = 2πXN=1ab

H′(0)

H(0)

[3η1 +

1

6

H′′′(0)

H′(0)

]. (351)

Includendo la contrazione bosonica che produce il fattore dei momenti (319)e aggiungendo il termine (339), troviamo

〈(ψψ)4〉N=1conn =

1

2(f1f2f3f4)Π(pi, zi)2JN=1 + (352)

+EN=1[P(z13)− ω(z1, z2, z3)ω(z1, z4, z3) + P(z24)− ω(z2, z1, z4)ω(z2, z3, z4)] ,

71

dove EN=1 e stato definito prima (325). La simmetria sotto lo scambio diz1, z3 con z2, z4 e stata resa esplicita sebbene cio non sia necessario, poicheci aspettiamo che

P(z31)− ω(z1, z2, z3)ω(z1, z4, z3) = P(z24)− ω(z2, z1, z4)ω(z2, z3, z4) (353)

da considerazioni sulla periodicita e sulla singolarita.Per i settori N = 2, troviamo

VN=2(zi) = −4π2XN=2ab lim

z0→z1∂2

z0

∑α

cαθα(z03)

θ1(z03)

θα(z13)

θ1(z13)

θα(uab)

θ1(uab)

θα(−uab)

θ1(−uab).

(354)Il limite da

∂2z0

[θ1

(z03 + z13

2

)θ1

(z03 + z13

2

)θ1

(z03 − z13

2− uab

)θ1

(z03 − z13

2+ uab

)+

θ1

(z03 − z13

2

)θ1

(z03 − z13

2

)θ1

(z03 + z13

2− uab

)θ1

(z03 + z13

2+ uab

)]

z0=z1

= [P(z31)− P(uab)]θ1(z13)2θ1(−uab)

2 . (355)

Percio, includendo il fattore dei momenti (319), si ottiene

〈(ψψ)4〉N=2conn =

1

2(f1f2f3f4)Π(pi, zi)2JN=2 − (356)

+EN=2[P(z13)− ω(z1, z2, z3)ω(z1, z4, z3) + P(z24)− ω(z2, z1, z4)ω(z2, z3, z4)] ,

doveJN=2 = −EN=2P(uab) = −4π2XN=2

ab P(uab) . (357)

L’altro tipo di contrazioni disconnesse e associato a tre termini non equiv-alenti della forma

〈(ψψ)4〉discα =

22

24(f1f2)(f3f4)S2

α(z12)S2α(z34)ZN

α . (358)

Non considerando il fattore cinematico, la somma sulle strutture di spin da

[P(z12) + P(z34)]EN + JN , (359)

doveJN =

∑α

cαe2α−1ZN

α (360)

72

risulta essere lo stesso JN definito in precedenza (351) e (357). Infatti, (360)puo essere semplificata usando (331) e [76]

e2α−1 = iπ∂τeα−1 + 2η1eα−1 +

1

6g2 (361)

in

JN = 2η1EN − 1

4

∑α

cα

θ(4)

α (0)

θα(0)−

(θ′′α(0)

θα(0)

)2ZN

α . (362)

Nei settori N = 1 troviamo

∑α

cαθ(4)

α (0)

η3

∏

I

θα(uI)

θ1(uI)=

1

2EN=1

[H′′′

H′ − 6η1

](363)

e

∑α

cαθ′′α(0)2

η3θα(0)

∏

I

θα(uI)

θ1(uI)=

1

6

∑α

cα∂4

z [θα(z)2]z=0 − 2θα(0)θ(4)α (0)

η3θα(0)

∏

I

θα(uI)

θ1(uI).

(364)Il secondo termine e dato (363), mentre il primo puo essere calcolato at-traverso l’identita

θα(z)2

θα(0)=Sα(z)2θ1(z)2θα(0)

θ′1(0)2=

[P(z)− eα−1]θ1(z)2θα(0)

θ′1(0)2, (365)

che dopo aver derivato e sommato sulle strutture di spin diventa

1

62πXN=1

ab

∑α

cα∂4

z [θα(z)2]z=0

η3θα(0)

∏

I

θα(uIab)

θ1(uIab)

= −8η1EN=1 (366)

cosı alla fine si ottiene

JN=1 = EN=1

[1

6

H′′′(0)

H′(0)+ 3η1

]. (367)

come prima (351). Includendo il fattore dei momenti (319) abbiamo

〈(ψψ)4〉N=1disc =

1

4(f1f2)(f3f4)EN=1[P(z12)+P(z34)]+JN=1Π(pi, zi) . (368)

73

Nei settori N = 2 si ha

JN=2 = −XN=2

η6

∑α

cα[θ′′α(0)− 2η1θα(0)]2θα(uab)

2

θ1(uab)2

= 4η1EN=2 − XN=2ab

η6

∑α

cαθ′′α(0)2 θα(uab)2

θ1(uab)2. (369)

L’ultima somma porta a

−∂2z∂

2w

[θ1

(z + w

2

)θ1

(z + w

2

)θ1

(z − w

2− uab

)θ1

(z − w

2+ uab

)+

θ1

(z − w

2

)θ1

(z − w

2

)θ1

(z + w

2− uab

)θ1

(z + w

2+ uab

)]

z=w=0

= −θ′1(0)2[∂2u log θ1(uab)− 2η1] = θ′1(0)2P(uab) . (370)

Includendo il fattore dei momenti otteniamo

〈(ψψ)4〉N=2disc =

1

4(f1f2)(f3f4)EN=2[P(z12)+P(z34)]−JN=2Π(pi, zi) , (371)

doveJN=2 = −EN=2P(uab) (372)

come prima (357) e EN=2 e definito in (327).

5.3 Riassunto dei risultati per le ampiezze CP pari

Riassumiamo i risultati nel formalismo NSR, a seconda del numero di su-persimmetrie preservate, per le ampiezze CP pari che ricevono un contributodalle somme sulle strutture di spin pari.

5.3.1 Nessun bilineare fermionico

〈a1 · ∂Xeip1·X(z1)a2 · ∂Xeip2·X(z2)a3 · ∂Xeip3·X(z3)a4 · ∂Xeip4·X(z4)〉pari = 0(373)

in qualunque settore supersimmetrico dopo aver sommato sulle strutture dispin pari.

74

5.3.2 Un bilineare fermionico

〈f 1µνψ

µψνeip1·X(z1)a2 · ∂Xeip2·X(z2)a3 · ∂Xeip3·X(z3)a4 · ∂Xeip4·X(z4)〉pari = 0(374)

perche il valore di vuoto di un prodotto normale ordinato (: ψψ :) e nullo.

5.3.3 Due bilineari fermionici

〈 i2f 1

µ1ν1ψµ1ψν1eip1·X(z1)

i

2f 2

µ2ν2ψµ2ψν2eip2·X(z2)a3 · ∂Xeip3·X(z3)a4 · ∂Xeip4·X(z4)〉pari

= −1

2(f1f2)ENΠ(zi; pi)

a3 · a4∂3∂4G34 −

∑

i 6=3

a3 · pi∂3G3i

∑

j 6=4

a4 · pj∂4G4j

piu permutazioni (6 in tutto), dove

Π(pi) =∏

i<j

exp(−pi · pjGij) (375)

e, a seconda del numero di supersimmetrie N ,

EN=4 = 0 , EN=2 = (2π)2XN=2ab , EN=1 = 2πXN=1

ab

H′(0)

H(0), (376)

con H(z) =∏

I θ1(z + uIab) e, a meno di δ(

∑i pi),

XN=4ab =

(2π)4Λab

4n(α′t)2, XN=2

ab =(2π)4I⊥abΛ

‖ab

4n(α′t)2, XN=1

ab =(2π)4Iab

4n(α′t)2.

(377)

5.3.4 Tre bilineari fermionici

〈 i2f 1

µ1ν1ψµ1ψν1eip1·X(z1)..

i

2f 3

µ3ν3ψµ3ψν3eip3·X(z3)a4 · ∂Xeip4·X(z4)〉pari

= (f1f2f3)ENω(z1, z2, z3)∑

j 6=4

a4 · pj∂4G4jΠ(zi; pi)

piu permutazioni (4 in tutto) dove

ω(z1, z2, z3) = ∂1 log θ1(z12)+∂2 log θ1(z23)+∂3 log θ1(z31) = ∂1G12+∂2G23+∂3G31 .(378)

75

5.3.5 Quattro bilineari fermionici, connessa

〈 i2f 1

µ1ν1ψµ1ψν1eip1·X(z1)...

i

2f 4

µ4ν4ψµ4ψν4eip4·X(z4)〉conn

pari =1

2(f1f2f3f4)×

Π(zi; pi)[EN [P(z13)− ω(z1, z2, z3)ω(z1, z4, z3)] + JN + (1, 3 ↔ 2, 4)](379)

piu permutazioni (3 in tutto) dove

JN=4 = (2π)4Λ‖ab , JN=2 = −EN=2P(uab) , JN=1 = EN=1

[3η1 +

1

6

H′′′(0)

H′(0)

],

(380)con η1 = −2πi∂τ log η.

5.3.6 Quattro bilineari fermionici, disconnessa

〈 i2f 1

µ1ν1ψµ1ψν1eip1·X(z1)...

i

2f 4

µ4ν4ψµ4ψν4eip4·X(z4)〉disc

pari =

1

4(f1f2)(f3f4)Π(zi; pi)EN [P(z12) + P(z34)]− JN (381)

piu permutazioni (3 in tutto).

5.4 Ampiezze CP dispari nei settori N = 1

Nella struttura di spin dispari, la presenza di un supermodulo richiede l’ in-serzione di δ(β) = e+ϕ per assorbire lo zero modo dell’anti-superghost β =e−ϕ∂ξ. La presenza di uno spinore di Killing conforme richiede l’inserzione diδ(γ) = e−ϕ per assorbire il modo zero del superghost γ = ηe+ϕ. Questo per-mette di fissare la posizione nel superspazio di uno dei vertici che sarebberodella forma V = a·ψ exp(ipX). Le due operazioni combinate sono equivalentiall’inserzione dell’ operatore di picture changing Γ = eϕG+..., dove G e la su-percorrente sulla superficie di universo, in un punto arbitrario z0 e all’utilizzodella picture (-1) per uno dei vertici. L’indipendenza da z0 permette di farcoincidere z0 con la posizione del vertice nella picture (-1) e sostituirlo conl’espressione nella picture (0) dopo aver usato 〈eϕ(z)e−ϕ(w)〉dispari = 1. Inoltre

76

bisogna assobire i modi zero dei fermioni dello spaziotempo presenti nei set-tori N = 1. Nei settori N = 2 and N = 4, le ampiezze CP dispari consolo bosoni vettori si annullano. Non c’e modo di assorbire i due zero modiaggiuntivi (per N = 2) o sei (per N = 4) dei fermioni presenti in questisettori. Ampiezze piu complicate con scalari di materia e fermioni possonorealizzare questo compito.

Concentriamoci ora sui settori N = 1 e iniziamo dal contributo piu sem-plice che non si annulla.

5.4.1 Due bilineari fermionici (6 termini)

I termini della forma 〈∂X∂X : ψψ :: ψψ :〉dispari danno

〈∂X(z1)∂X(z2) : ψψ : (z3) : ψψ : (z4)〉dispari =2

22

(√2

τA2

)4

(f3 · f4)XN=1ab ×

[a1 · a2∂1∂2G(z12)−∑

i6=1

a1 · pi∂1G(z1i)∑

j 6=2

a2 · pj∂2G(z2j)]Π(zi; pi) (382)

dove Π(zi; pi) denota il fattore dei momenti (319) ed il coefficiente davantia tutto tiene conto dei fattori di simmetria e della corretta normalizzazionedegli zero modi fermionici. In aggiunta ci sono cinque ulteriori permutazioni.

5.4.2 Tre bilineari fermionici (12 termini)

Il termine piu semplice e

〈: ψψ : (z1) : ψψ : (z2) : ψψ : (z3)∂X(z4)〉dispari . (383)

I quattro zero modi possono essere assorbiti in tre diverse maniere . Peresempio, assorbendo due di essi in z3, uno in z1 e uno in z2 e contraendo irimanenti due fermioni in z1 ed in z2 abbiamo

〈∂X(ψψ)3〉dispari =23

23

(√2

τA2

)4

(f1·f2·f3)XN=1ab S(z12)Π(pi; zi)

∑

i6=4

ia4·pi∂4G(zi4)

(384)piu due ulteriori permutazioni. Nella struttura di spin dispari il propagatorefermionico si puo prendere della forma [87, 88]

S(z − w) = −∂zG(z − w) = ∂z log θ1(z − w) + 2πiIm(z − w)

Imτ. (385)

77

5.4.3 Quattro bilineari fermionici (21 termini, 3 strutture)

Il termine piu laborioso e

〈: ψψ : (z1) : ψψ : (z2) : ψψ : (z3) : ψψ : (z4)〉dispari . (386)

In questo caso ci sono tre modi possibili di assorbire gli zero modi.Assorbendo due zero modi ad esempio in z1 e due in un altro punto (z2),

per un totale di sei permutazioni, si hanno espressioni della forma

〈(ψψ)4〉(202000)dispari = −22

24

(√2

τA2

)4

(f1f2)(f3 · f4)XN=1ab S2(z34)Π(pi; zi) (387)

piu permutazioni.Un’altra possibilita e assorbire due zero modi in un punto (ad esempio

z1), uno in un altro punto ( z2), e l’ultimo in un terzo punto ( z3) per untotale di 12 permutazioni che forniscono espressioni della forma

〈(ψψ)4〉(2010100)dispari =

24

24

(√2

τA2

)4

(f2 · f1 · f3 · f4)XN=1ab S(z24)S(z34)Π(pi; zi)

(388)piu permutazioni.

Infine assorbendo un modo zero in ogni punto abbiamo

〈(ψψ)4〉(10101010)dispari =

24

24

(√2

τA2

)4

εµ1µ2µ3µ4fµ1ν1 fµ1

2 νfµ3ρ3 fµ4

4 ρXN=1ab S(z12)S(z34)Π(pi; zi) ,

(389)come pure altre due permutazioni che derivano da differenti contrazioni diWick dei modi fermionici non nulli.

5.5 Scattering in avanti

Il calcolo delle ampiezze di stringa richiede l’integrazione sui punti di in-serzione e sui parametri modulari della superficie di Riemann in esame. Ilcompito e in generale molto complicato se non impossibile. Tuttavia perampiezze o regioni cinematiche molto particolari la situazione si semplificadrasticamente. Questo e il caso dello scattering non planare in avanti che,come vedremo, permette di estrarre predizioni per i futuri acceleratori.

78

Per lo scattering in avanti p1 = −p4, p2 = −p3. Percio c’e un soloinvariante cinematico

p1 · p2 = p3 · p4 = −p1 · p3 = p2 · p4 = −s/2 = u/2 p1 · p4 = p2 · p3 = 0 = t/2(390)

quindiΠ(pi, zi) → Π(s, zi) = exp(s/2(G12 − G13 + G34 − G24) . (391)

Inoltre, poiche a1 = a4 e a2 = a3, si trova facilmente

(f1f1) = (f4f4) = −(f1f4) = 0 , (f2f2) = (f3f3) = −(f2f3) = 0 (392)

e

(f1f1) = (f4f4) = −(f1f4) = (f4f1) = 0 (393)

(f2f2) = (f3f3) = −(f2f3) = (f3f2) = 0 , (394)

inoltre tutte le contrazioni cubiche si annullano

(fifjfk) = 0 , (fifj fk) = 0 (395)

dal momento che almeno due degli f sono uguali(o opposti). Dunque lecontrazioni che coinvolgono tre bilineari fermionici danno un contributo nulloper lo scattering in avanti sia nei processi CP pari sia in quelli CP dispari .

Inoltre per le ampiezze non planari le due stacks di brane dovrebberoessere dello stesso tipo a = b percio T1 = T †

4 and T2 = T †3 e tra(T1T2) =

trb(T3T4).L’integrazione sui quattro punti e non ristretta nel caso non planare,

poiche il fattore di Chan-Paton tr(T1T2)tr(T3T4) e invariante sotto il rior-dinamento di z1, z2 e di z3, z4. Cosı anche se a priori 0 < z1 < z2 < 1per un dato fattore di Chan-Paton tr(T1T2)tr(T3T4), l’altro ordinamento0 < z2 < z1 < 1 ha lo stesso fattore di Chan-Paton poiche tr(T1T2) =tr(T2T1). Questo si estende immediatamente ai settori twisted, infatti anchetr(T1T2W

k)tr(T3T4Wk) e invariante poiche [W,Ti] = 0. E cosı possibile in-

tegrare per parti e questo semplifica il calcolo delle ampiezze non planari discattering in avanti.

79

5.5.1 Ampiezze CP pari

Per lo scattering in avanti , eliminando le derivate totali e i fattori di Chan-Paton ma includendo le varie permutazioni, le ampiezze CP pari con duebilineari fermionici valgono:

〈 i2f 1

µ1ν1ψµ1ψν1eip1·X(z1) i

2f 2

µ2ν2ψµ2ψν2eip2·X(z2)a2 · ∂3Xe−ip2·X(z3)a1 · ∂4Xe−ip1·X(z4)〉SA

pari

+perm = −(f1f2)2

2α′sEN [∂1∂2G12 + ∂3∂4G34 + ∂1∂3G13 + ∂2∂4G24]Π(zi; s) ,

dove, per brevita, Gij = G(zij) e

(f1f2) = 2[(a1 · p2)(a2 · p1)− (a1 · a2)(p1 · p2)] . (396)

Le ampiezze CP pari derivanti dalle contrazioni connesse di quattro bi-lineari fermionici possono essere semplificate usando l’ identita [87, 88]

Bα(z1, z2, z3, z4) + Bα(z1, z3, z2, z4) + Bα(z1, z3, z4, z2) =1

2∂4

z log θα(z)|z=0 ,

(397)dove

Bα(z1, z2, z3, z4) = Sα(z12)Sα(z23)Sα(z34)Sα(z14) (398)

e osservando che per lo scattering in avanti

t1 = (f1f2f3f4) = (f1f2f2f1) = (f1f3f2f4) = a21a

22(p1 · p2)

2 (399)

e

t2 = (f1f3f4f2) = (f1f2f1f2) =1

2(f1f2)

2 = 2[(a1·p2)(a2·p1)−(a1·a2)(p1·p2)]2 .

(400)Allora si ottiene

t1[Bα(z1, z2, z3, z4) + Bα(z1, z3, z2, z4)] + t2Ba(z1, z3, z4, z2)Zα

=1

2t1Zα∂4

z log θα(z)|z=0 + (t2 − t1)Ba(z1, z3, z4, z2)Zα . (401)

Sommando sulle strutture di spin pari alla fine otteniamo

〈 i2f 1

µ1ν1ψµ1ψν1eip1·X(z1) i

2f 2

µ2ν2ψµ2ψν2eip2·X(z2)

i

2f 2

µ3ν3ψµ3ψν3e−ip2·X(z3)

i

2f 1

µ4ν4ψµ4ψν4e−ip4·X(z4)〉SA,conn

pari = (402)

Π(zi; s)(t2 − t1)EN [P(z14)− ω(z1, z4, z2)ω(z1, z4, z3)] + (t2 + 2t1)JN .

80

Ci si aspetta la simmetria sotto scambio di (14) ↔ (23) che seguirebbese vale (353).

Per lo scattering in avanti le contrazioni CP pari di quattro bilinearifermionici danno

〈 i2f 1

µ1ν1ψµ1ψν1eip1·X(z1) i

2f 2

µ2ν2ψµ2ψν2eip2·X(z2)

i

2f 2

µ3ν3ψµ3ψν3e−ip2·X(z3) i

2f 1

µ4ν4ψµ4ψν4e−ip4·X(z4)〉SA,disc

pari = (403)

1

2Π(zi; s)t2EN [P(z12) + P(z34) + P(z13) + P(z24)]− 2JN .

5.5.2 ampiezze dispari sotto CP

Per lo scattering in avanti le contrazioni CP dispari di due bilineari fermionici,dopo aver integrato per parti e includendo le quattro permutazioni che nonsi annullano, danno ( α′ = 1/2)

〈∂X ∂X : ψψ :: ψψ :〉SAdispari = −(f1f2)(f1f2)

4α′s

(√2

τA2

)4

XN=1ab ×(404)

Π(zi; s)[∂1∂2G(z12) + ∂3∂4G(z34) + ∂1∂3G(z13) + ∂2∂4G(z24)] .

Per lo scattering in avanti le contrazioni CP dispari di quattro bilinearifermionici possono essere semplificate attraverso le identita

εµ1µ2µ3µ4fµ1ν1 ηνλf

µ1λ2 fµ3ρ

1 ηρσfµ4σ2 = −1

2(f1f2)(f1f2) (405)

e

(f1f2f1f2) =1

2(f1f2)(f1f2) . (406)

Cosı alla fine si ottiene

〈: ψψ : : ψψ : : ψψ : : ψψ :〉SAdispari =

1

4(f1f2)(f1f2)XN=1

ab (S12−S34−S13+S24)2 .

(407)

5.6 Parte immaginaria e sezione d’urto totale

Utilizzando il teorema ottico, la sezione d’urto totale per la produzione distati di stringa chiusa nel bulk si ottiene dalla parte immaginaria dell’ampiezza

81

di scattering non planare

σtot(s) =1

sImAFS(s) . (408)

Risulta conveniente considerare l’ampiezza nel canale trasverso che ecaratterizzato dallo scambio di stringhe chiuse non orientate. Le nostreespressioni finali per le ampiezze trasformano in modo covariante, fornendocosı un controllo della loro validita . Infatti, facendo una trasformazionemodulare S da τ = it/2 a τ = i`) troviamo

FN (τ = −1/τ) = −iτFN (τ) (409)

per tutti i correlatori calcolati in ogni settore della teoria. La potenza diτ si semplifica allora con la misura di integrazione dt/t = d`/`. Inoltre,sotto la trasformazione S le combinazioni uI

ab = kvIab + εI

abτA diventano uIab =

kvIabτA−εI

ab. Quello che era una proiezione nel canale diretto diviene uno shiftdi massa nel canale trasverso e viceversa. I punti di inserzione sul bordo z1

e z2 vengono riposizionati in un segmento unitario lungo l’asse reale, mentrez3 e z4 vengono riposizionati in un segmento unitario parallelo all’asse realee spostato di una quantita pari a τ2/2 = `/2.

Grazie alla simmetria dei fattori di Chan-Paton , l’integrazione e nonristretta e le derivate totale si possono eliminare poiche non ci sono contributidel bordo. Infatti, termini della forma

∂1[G(z12)− G(z13)]∂4[G(z42)− G(z43)]Π(s, zi) = (2/s)2∂1∂4Π(s, zi) (410)

essendo derivate totali si integrano a zero. Termini della forma

∂1[G(z12)− G(z13)]∂2[G(z21)− G(z24)]Π(s, zi) (411)

sono piu complicati. Infatti si ha

∂1[G(z12)− G(z13)]∂2[G(z21)− G(z24)]Π(s, zi) = (2/s)∂1[G(z12)− G(z13)]∂2Π(s, zi)

= (2/s)∂2∂1[G(z12)− G(z13)]Π(s, zi) − (2/s)∂2∂1[G(z12)− G(z13)]Π(s, zi) .(412)

Il primo termine e una derivata totale e si integra a zero. Il secondo terminepuo essere riscritto come

∂2∂1G(z12)Π(s, zi) = −α′

2[P(z12) + 2η1 +

π

2τA2]Π(s, zi) . (413)

82

Lo stesso si applica alle coppie di punti (1, 3), (4, 3) e (2, 4).Eliminando il segno tilde per semplicita, la forma finale degli integrali che

bisogna calcolare nel caso di CP pari e

ASAN (s) =

∫d`XN

∫ ∏

i

dzies2(G12−G13+G34−G24)2t1JN +

t2α′s

EN(4η1 +

π

`

)+

+(t2 − t1)EN [P14 − (∂1G14)2] +

t22

α′s + 1

α′sEN [P12 + P34 + P13 + P24] .(414)

Per i settori N = 4, EN=4 = 0 e solo il primo termine contribuisce e da

ASAN=4 = KN=4(s; a1, a2)

∫ ∞

0d`

Λ6−d(`)

`d/2

∏

i

∫ 1

0dxiΠX(`; zi = xi + iδi) , (415)

dove

KN=4(s; a1, a2) =2a2

1a22(p1 · p2)

2(2π)4V6−d

2GSO2Ω22P4

23Λ6−d

Norb

tr(T1T2)2 , (416)

0 ≤ d ≤ 6 e il numero delle dimensioni interne ‘grandi’ nella descrizione diD3-brane , ossia ‘piccole’ nella descrizione T-duale di D9-brane , e δ1 = δ2 =0 mentre δ3 = δ4 = `/2. La dipendenza dai punti di inserzione viene solo daΠX(`; zi).

Facendo l’espansione in serie di q = e−2π`, troviamo

[4q1/4 sin(πx12) sin(πx34)]α′sΠX(q) = 1− 2α′sq1/2[cos(2πx13) + cos(2πx24)]

+2α′sq1 + cos(2πx12) + cos(2πx34) +

(α′s− 1)[cos2(2πx13) + cos2(2πx24)] + 2α′s cos(2πx13) cos(2πx24)+

4

3α′sq3/2[1 + cos(2πx12) + cos(2πx34) + (α′s− 1) cos(2πx13) cos(2πx24)]×

×3α′s[cos(2πx13) + cos(2πx24)] + (α′s− 1)(α′s− 2)[cos3(2πx13) + cos3(2πx24)]+

1

3α′sq22(α′s− 1)(α′s− 2)(α′s− 3)[cos4(2πx13) + cos4(2πx24)] +

+8α′s cos(2πx13) cos(2πx24)[(α′s− 1)(α′s− 2)(cos2(2πx13) + cos2(2πx24)) +

3α′s(1 + cos(2πx12) + cos(2πx34))] +

+12α′s(α′s− 1)2 cos2(2πx13) cos2(2πx24) +

+12[cos2(2πx13) + cos2(2πx24)](1 + α′s(α′s− 1)[1 + cos(2πx12) + cos(2πx34)]) +

+32(α′s + 1)[cos(2πx12) + cos(2πx34)]2 − 4 cos(2πx12) cos(2πx34) +

83

+2(2α′s + 1)[cos(2πx12) + cos(2πx34)] + 2α′s− 3+ ... .

(417)

Troncandola all’ordine piu basso (cioe q0), facendo gli integrali sui puntidi inserzione per mezzo di 5

∫ 1

0dx(sin πx)a(cos πx)2n =

Γ(

1+a2

)Γ

(12

+ n)

πΓ(1 + n + a

2

) , (418)

e estraendo la parte immaginaria attraverso

Im(∫ ∞

0d``−αe−β`

)=

πβα−1

Γ(α), (419)

si ottiene

σ0(s) = KN=4(s; a1, a2)π

sΓ( d2)

(−πα′s

2

) d2−1 [

Γ(1−α′s2

)

2α′s√

πΓ(1− α′s2

)

]2

(420)

per 0 ≤ α′s < 4, in perfetto accordo con il risultato [71].L’integrazione su x13 (o in modo equivalente su x24) cancella tutte le

potenze semidispari di q nell’espanzione di ΠX . Il contributo successivo neisettoriN = 4 viene cosı da termini di ordine q1. Facendo gli integrali trigono-metrici sui punti di inserzione per mezzo di (418) ed estraendo la parte im-maginaria otteniamo

σ1(s) = KN=4(s; a1, a2)π

sΓ( d2)

(−π(α′s− 4)

2

) d2−1 [

Γ(1−α′s2

)

2α′s√

πΓ(1− α′s2

)

]2

2B1(α′s)

(421)

5Si vede facilmente che∫ 1

0dx(sinπx)a(cosπx)2n+1 = 0 o piu in generale

∫ 1

0

dx(sinπx)a(cos πx)b =1 + eiπb

2π

Γ(

1+a2

)Γ

(1+b2

)

Γ(1 + a+b

2

)

.

84

per 4 ≤ α′s < 8, dove il ’fattore di forma’ e dato da

B1(α′s) = 2(α′s)2 (α′s)2 − 3α′s + 4

(α′s− 2)2= 2(α′s)2

(α′s− 3

2

)2+ 7

4

(α′s− 2)2, (422)

in accordo con i risultati di [71].Per i settori N = 2 l’ultimo termine JN=2 da risultati simili dopo aver

sostituito il fattore cinematico con

KN=2(s; a1, a2) =π2

3

2a21a

22(p1 · p2)

2(2π)2I⊥abV2−d

2GSO2Ω22P4

2Λ‖2−d

Norb

tr(WkT1T2)2 , (423)

dove il primo fattore viene dal termine costante (q0) nell’espansione di−P(u),e tenendo conto che il numero delle dimensioni interne ’grandi’ soddisfa 0 ≤d ≤ 2 in questi settori.

Per i settori N = 1 l’ultimo termine JN=1 da poli piuttosto che untaglio poiche d = 0 in questi settori. I poli a massa nulla corrispondonoalla dipendenza degli accoppiamenti di gauge dal valore di aspettazione delvuoto di scalari di stringa chiusa a massa nulla nei settori twisted. Polimassivi segnalano la possibilita di produrre risonanze (instabili) di stringachiusa con masse non necessariamente intere (in unita di 1/α′ ).

Una polo di massa potenzialmente negativa potrebbe avere origine daP(z12) e termini simili, ma grazie a considerazioni di OPE dovrebbe co-munque essere assente. Infatti troviamo questo tipo di termini con coefficientiproporzionali a 1 + (1/α′s) in modo che

(1 +

1

α′s

) ∫ 1

0(sin πx)−α′−2dx =

Γ(1−α′s2

)

2α′s√

πΓ(1− α′s2

)(424)

non ha un polo ’tachionico’. Il termine successivo nell’espansione in q diP (z12) e una costante (−π2/3) che da integrali della forma (420), cioe ilfattore di forma di stati a massa ’zero’. Il termine di ordine q e proporzionalea sin2(2πx). L’integrazione allora da

∫ 1

0(sin πx)−α′+2dx =

α′s− 1

α′s− 2

Γ(1−α′s2

)

2α′s√

πΓ(1− α′s2

). (425)

La stessa situazione si ha per i termini in P (z34).

85

Alla fine si dovrebbero considerare le combinazioni P(z14)− (∂1G14)2, piu

quelle con (2, 3) al posto di (1, 4). Inoltre

P(z14)− (∂1G14)2 = −4πi

∂

∂τlog

(θ4(x14|τ)

η(τ)

)(426)

che ammette la seguente espansione

P(z14)− (∂1G14)2 = −π2

3− 8π2

∑

n,dn|n

1− (−)n/dn

2qn/2 n

dn

cos(2πdnx14)

= −π2

3− 8π2[q1/2 cos(2πx14) + q cos(4πx14) + ...] , (427)

dove dn|n denota i divisori di n. Combinando con ΠX troviamo che le potenzesemidispari di q danno un risultato nullo dopo aver integrato su dx13 o, inmodo equivalente, su dx24. Comunque nuove potenze intere sono generate dacombinazioni di potenze intere e semidispari di q in ΠX e P(z14)− (∂1G14)

2.Per esempio all’ordine q si trova

−2π2α′s3

1 + cos(2πx12) + cos(2πx34) +

(α′s− 1)[cos2(2πx13) + cos2(2πx24)] + 2α′s cos(2πx13) cos(2πx24)−8π2 cos(4πx14) + 16π2α′s cos(2πx14)[cos(2πx13) + cos(2πx24)] .(428)

Dopo aver integrato su dx13 o, equivalemente, su dx24, l’ultimo termine da8π2α′s[cos(2πx34) + cos(2πx12)], che modifica σ1(s) quando e combinato conil termine di ordine piu basso in6

EN=1 ≈ 3π + 2π∑

I

qkvIab + 4π

∑

I

q1−kvIab + ... . (429)

Nuove soglie con massa frazionaria appaiono a causa delle potenze frazionarienell’espansione di EN .

Termini in P(z13) e P(z24) possono essere discussi in modo simile.

6Per semplicia assumiamo che kvIab < 1.

86

5.7 Commenti

In questa forma i nostri risultati non sono direttamente legati ai processiosservabili a LHC. Senza una particella di stringa aperta nello stato finale,e impossibile rivelare il decadimento in stringhe chiuse nel bulk. Tuttavianon dovrebbe essere difficile includere qualche osservabile ’soffice’ seguendole linee di [71]. Per gli acceleratori adronici, come LHC, si ha il problemadi estrarre le sezioni d’urto adroniche dalle sezioni d’urto ’partoniche’ cheabbiamo calcolato. Bisogna fare una convoluzione dei nostri risultati con ledistribuzioni partoniche degli adroni in esame, cioe il protone. Queste nonsono conosciute in forma analitica ma sforzi significativi [89] sono dedicati aquesto importante scopo.

Ad un livello piu formale, i nostri risultati ottenuti per una classe speci-fica ma interessante di modelli supersimmetrici con stringhe aperte e nonorientate, mostrano una struttura notevolmente semplice. Questo e in granparte dovuto al fatto che i bosoni di gauge di stringa aperta appartengonoal settore ’identita’ della teoria conforme interna che descrive la compattifi-caziona da D = 10. Non vediamo cosı un grave ostacolo a estendere questirisultati al caso di teorie superconformi N = 2 SCFT , come i modelli diGepner [90]. Si puo ipotizzare che

E (s) = −∑α

cαeα−1Z(s)α (430)

eJ (s) =

∑α

cαe2α−1Z(s)

α (431)

rimangano valide una volta che le funzioni di partizione Z(s)α , con s che varia

su tutti i settori dello spettro di stringa aperta, sono estratte dai caratterisupersimmetrici

χ(s)SUSY

=∑α

cαZ(s)α =

∑α

cαθα(0)

η3W(s)

α , (432)

doveW(s)α denota il contributo del settore s della teoria superconforme interna

N = 2 SCFT in una data struttura di spin α [91, 92].

87

A Funzioni ellittiche

A.1 Definizioni

Ponendo q = e2πiτ le funzioni theta di Jacobi θ sono definite come sommegaussiane

θ[αβ

](z|τ) =

∑n

q12(n+α)2e2πi(z−β)(n−α) , (433)

dove α β ∈ R.In modo equivalente, per particolari valori delle caratteristiche , cioe α, β =0, 1/2 esse sono date anche in termini di prodotti infiniti come segue

θ[

1212

](z|τ) = θ1(z|τ) = 2q

18 sin(πz)

∞∏

m=1

(1− qm)(1− e2πizqm)(1− e−2πizqm)

θ[

120

](z|τ) = θ2(z|τ) = 2q

18 cos(πz)

∞∏

m=1

(1− qm)(1 + e2πizqm)(1 + e−2πizqm)

θ[00

](z|τ) = θ3(z|τ) =

∞∏

m=1

(1− qm)(1 + e2πizqm− 12 )(1 + e−2πizqm− 1

2 )

θ[012

](z|τ) = θ4(z|τ) =

∞∏

m=1

(1− qm)(1− e2πizqm− 12 )(1− e−2πizqm− 1

2 ) .(434)

La funzione η di Dedekind e definita come

η(τ) = q124

∞∏

n=1

(1− qn) (435)

e soddisfa θ′1(0) = 2πη3.La funzione di Weierstrass P

P(z) = −∂2z log θ1(z)− 2η1 , (436)

dove

η1 = −2πi∂

∂τlog η = −1

6

θ′′′1 (0)

θ′1(0), (437)

ha un polo doppio a z = 0 ed e biperiodica in z.Il propagatore fermionico libero nelle strutture di spin pari (il kernel di

Szego )

Sα(z) =θα(z0)

θ1(z)

θ′1(0)

θ′α(0)(438)

88

ha un polo semplice a z = 0 e soddisfa

Sα(z)2 = P(z)− eα−1 , (439)

dove

eα−1 = 4πi∂

∂τlog

θα(0)

η(440)

sono anche legati a P(z) calcolata nei semiperiodi

e1 = P(

1

2

), e2 = P

(1 + τ

2

), e3 = P

(τ

2

). (441)

Nella struttura di spin dispari

S1(z) = −∂zG(z) (442)

e biperiodica con un polo semplice ma non analitica.Il propagatore bosonico libero (biperiodico con andamento logaritmico a

z = 0) sul toro ricoprente e dato da

G(z) = −α′

2

log

∣∣∣∣∣θ1(z)

θ′1(0)

∣∣∣∣∣2

− 2π

ImτImz2

. (443)

A.2 Pseudoperiodicita e zeri

Sotto traslazioni reticolari del loro primo argomento z, le funzioni thetatrasformano come

θ[αβ

](z + 1|τ) = e2πiαθ

[αβ

](z|τ) (444)

θ[αβ

](z + τ |τ) = e−2πi(z+β)−iπτθ

[αβ

](z|τ) . (445)

La posizione degli zeri e data da

θ[αβ

](z|τ) = 0 ↔ zn,m = (α− 1

2+ n)τ + (β − 1

2+ m) . (446)

89

A.3 Trasformazioni modulari

Sotto trasformazioni modulari dei loro argomenti le funzioni theta ed etatrasformano come

θ[αβ

](z|τ + 1) = e−iπα(α−1) θ

[αβ+α− 1

2

](z|τ)

η(τ + 1) = eiπ12 η(τ)

θ[αβ

](z

τ| − 1

τ) = (−iτ)

12 e2iπαβ+iπz2/τ θ

[β−α

](z|τ)

η(−1

τ) = (−iτ)

12 η(τ) . (447)

La trasformazione P, che connette il canale diretto e trasverso delle ampiezzedella striscia di Mobius, e piu complicata. Essa consiste in una sequenza ditrasformazioni T e S(P = TST 2S) sul parametro modulare τM = 1

2+ it

2

θ[αβ

](z

it|12

+i

2t) = e−iπα(α−1)−2πi(α+β−1/2)2+2πz2/t

√−it θ[α+2β−21/2−α−β

](z|1

2+

it

2)

η(1

2+

i

2t) = eiπ/4

√−it η(1

2+

it

2) . (448)

A.4 Identita utili

L’identita di Riemann per le strutture di spin pari vale∑α

cαθα(z1)θα(z2)θα(z3)θα(z4) =

θ1(z′1)θ1(z

′2)θ1(z

′3)θ1(z

′4)− θ1(z

′′1 )θ1(z

′′2 )θ1(z

′′3 )θ1(z

′′4 ) , (449)

dove z′i e z′′i sono legate a zi attraverso

z′1 =1

2(z1 + z2 + z3 + z4) z′2 =

1

2(z1 + z2 − z3 − z4)

z′3 =1

2(z1 − z2 + z3 − z4) z′4 =

1

2(z1 − z2 − z3 + z4) (450)

e

z′′1 =1

2(−z1 + z2 + z3 + z4) z′′2 =

1

2(z1 − z2 + z3 + z4)

z′′3 =1

2(z1 + z2 − z3 + z4) z′′4 =

1

2(z1 + z2 + z3 − z4) . (451)

90

A.5 Espansioni in serie

L’espansione in serie in potenze di q da

∂z log θ1(z, q) = π cot(πz) + 4π∑n

qn

1− qnsin(2πnz)

= π coth(πz) + 4π∑

n,dn|nqn sin(2πdnz) (452)

e

∂2z log θ1(z, q) = − π2

sin(πz)2+ 8π2

∑n

nqn

1− qncos(2πnz)

= − π2

sin(πz)2+ 8π2

∑

n,dn|nqndn cos(2πdnz) , (453)

dove, usando ∂τq = 2πiq,

η1 ≡ −2πi∂τ log η =π2

6− 4π2

∑n

nqn

1− qn=

π2

6− 4π2

∑

n,dn|nqndn (454)

e di conseguenza

P(z) ≡ −∂2z log θ1(z, q)−2η1 =

π2

sin(πz)2−π2

3+8π2

∑

n,dn|nqndn[1−cos(2πdnz)] .

(455)Inoltre

4πi∂τ log θ1(z, q) = −π2 + 8π2∑

n,dn|nqn n

dn

[1 + 2 cos(2πdnz)] (456)

e

(θ′1(z, q)θ1(z, q)

)2

= ∂2z log θ1(z, q)− θ′′1(z, q)

θ1(z, q)= ∂2

z log θ1(z, q)− 4πi∂τ log θ1(z, q)

= −π2cot(πz)2 − 8π2∑

n,dn|nqn

[(2n

dn

− dn

)cos(2πdnz) +

n

dn

].

(457)

91

Per punti su bordi differenti nel canale trasverso , θ1 risulta sostituito daθ4 per la quale

∂z log θ4(z, q) = 4π∑n

qn/2

1− qnsin(2πnz)

= 4π∑

n,dn|nqn/2 1− (−)n/dn

2sin(2πdnz) (458)

e

∂2z log θ4(z, q) = 8π2

∑n

nqn/2

1− qncos(2πnz)

= 8π2∑

n,dn|nqn/2 1− (−)n/dn

2dn cos(2πdnz) . (459)

Inoltre

4πi∂τ log θ4(z, q) = 8π2∑n

[nq

1− qn+

2qn cos(2πnz)

(1− q2n)2

](460)

= 8π2∑

n,dn|n

[dnqn +

1− (−)n/dn

2

n

dn

qn/2 cos(2πdnz)

]

cosı abbiamo

(θ′4(z, q)θ4(z, q)

)2

= ∂2z log θ4(z, q)− θ′′4(z, q)

θ4(z, q)= ∂2

z log θ4(z, q)− 4πi∂τθ4(z, q)

θ4(z, q)(461)

= −8π2∑

n,dn|n

[dnqn +

1− (−)n/dn

2

(n

dn

− dn

)qn/2 cos(2πdnz)

].

References

[1] E. Dudas, Class. Quant. Grav. 17, R41 (2000) [arXiv:hep-ph/0006190].

[2] C. Angelantonj and A. Sagnotti, Phys. Rept. 371, 1 (2002) [Erratum-ibid. 376, 339 (2003)] [arXiv:hep-th/0204089].

92

[3] A. M. Uranga, “Chiral four-dimensional string compactificationswith intersecting Class. Quant. Grav. 20, S373 (2003) [arXiv:hep-th/0301032].

[4] E. Kiritsis, Fortsch. Phys. 52, 200 (2004) [Phys. Rept. 421, 105 (2005ERRAT,429,121-122.2006)] [arXiv:hep-th/0310001].

[5] C. Kokorelis, arXiv:hep-th/0402087.

[6] R. Blumenhagen, M. Cvetic, P. Langacker and G. Shiu, Ann. Rev.Nucl. Part. Sci. 55, 71 (2005) [arXiv:hep-th/0502005].

[7] A. Sagnotti, arXiv:hep-th/0208020.

[8] M. Bianchi and A. Sagnotti, Phys. Lett. B 211, 407 (1988).

[9] M. Bianchi and A. Sagnotti, Phys. Lett. B 231, 389 (1989).

[10] G. Pradisi and A. Sagnotti, Phys. Lett. B 216, 59 (1989).

[11] M. Bianchi and A. Sagnotti, Phys. Lett. B 247, 517 (1990).

[12] M. Bianchi and A. Sagnotti, Nucl. Phys. B 361, 519 (1991).

[13] M. Bianchi, G. Pradisi and A. Sagnotti, Phys. Lett. B 273, 389 (1991).

[14] M. Bianchi, G. Pradisi and A. Sagnotti, Nucl. Phys. B 376, 365 (1992).

[15] M. Bianchi, Ph. D. Thesis, University of Rome “Tor Vergata”, preprintROM2F-92/13.

[16] M. Bianchi, Nucl. Phys. B 528, 73 (1998) [arXiv:hep-th/9711201].

[17] E. Witten, JHEP 9802, 006 (1998) [arXiv:hep-th/9712028].

[18] J. Polchinski, Phys. Rev. Lett. 75, 4724 (1995) [arXiv:hep-th/9510017].

[19] E. G. Gimon and J. Polchinski, Phys. Rev. D 54, 1667 (1996)[arXiv:hep-th/9601038].

[20] J. Dai, R. G. Leigh and J. Polchinski, Mod. Phys. Lett. A 4, 2073(1989).

93

[21] R. G. Leigh, Mod. Phys. Lett. A 4, 2767 (1989).

[22] M. Berkooz and R. G. Leigh, Nucl. Phys. B 483, 187 (1997) [arXiv:hep-th/9605049].

[23] C. Angelantonj, M. Bianchi, G. Pradisi, A. Sagnotti and Y. S. Stanev,Phys. Lett. B 385, 96 (1996) [arXiv:hep-th/9606169].

[24] Z. Kakushadze and G. Shiu, Phys. Rev. D 56, 3686 (1997) [arXiv:hep-th/9705163].

[25] Z. Kakushadze and G. Shiu, Nucl. Phys. B 520, 75 (1998) [arXiv:hep-th/9706051].

[26] G. Aldazabal, A. Font, L. E. Ibanez and G. Violero, Nucl. Phys. B536, 29 (1998) [arXiv:hep-th/9804026].

[27] M. Bianchi, J. F. Morales and G. Pradisi, “Discrete torsion in non-geometric orbifolds and their open-string Nucl. Phys. B 573, 314 (2000)[arXiv:hep-th/9910228].

[28] M. Berkooz, M. R. Douglas and R. G. Leigh, Nucl. Phys. B 480, 265(1996) [arXiv:hep-th/9606139].

[29] M. Cvetic, G. Shiu and A. M. Uranga, Nucl. Phys. B 615, 3 (2001)[arXiv:hep-th/0107166].

[30] M. Cvetic, I. Papadimitriou and G. Shiu, Nucl. Phys. B 659 (2003)193 [Erratum-ibid. B 696 (2004) 298] [arXiv:hep-th/0212177].

[31] R. Blumenhagen, Fortsch. Phys. 53, 426 (2005) [arXiv:hep-th/0412025].

[32] C. Angelantonj, M. Cardella and N. Irges, Nucl. Phys. B 725, 115(2005) [arXiv:hep-th/0503179].

[33] V. Balasubramanian and R. G. Leigh, Phys. Rev. D 55, 6415 (1997)[arXiv:hep-th/9611165].

[34] M. Larosa and G. Pradisi, Nucl. Phys. B 667, 261 (2003) [arXiv:hep-th/0305224].

94

[35] F. Marchesano and G. Shiu, Phys. Rev. D 71, 011701 (2005)[arXiv:hep-th/0408059].

[36] F. Marchesano and G. Shiu, JHEP 0411, 041 (2004) [arXiv:hep-th/0409132].

[37] E. Dudas and C. Timirgaziu, Nucl. Phys. B 716, 65 (2005) [arXiv:hep-th/0502085].

[38] I. Antoniadis, N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos and G. R. Dvali, Phys.Lett. B 436, 257 (1998) [arXiv:hep-ph/9804398].

[39] N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos and G. R. Dvali, “Phenomenology,astrophysics and cosmology of theories with sub-millimeter Phys. Rev.D 59, 086004 (1999) [arXiv:hep-ph/9807344].

[40] K. R. Dienes, E. Dudas and T. Gherghetta, Nucl. Phys. B 537, 47(1999) [arXiv:hep-ph/9806292].

[41] C. Bachas, arXiv:hep-th/9503030.

[42] M. Bianchi and Y. S. Stanev, Nucl. Phys. B 523, 193 (1998) [arXiv:hep-th/9711069].

[43] I. Antoniadis, E. Dudas and A. Sagnotti, Nucl. Phys. B 544, 469 (1999)[arXiv:hep-th/9807011].

[44] I. Antoniadis, G. D’Appollonio, E. Dudas and A. Sagnotti, Nucl. Phys.B 553, 133 (1999) [arXiv:hep-th/9812118].

[45] C. Angelantonj, AIP Conf. Proc. 751, 3 (2005) [arXiv:hep-th/0411085].

[46] S. B. Giddings, S. Kachru and J. Polchinski, Phys. Rev. D 66, 106006(2002) [arXiv:hep-th/0105097].

[47] S. Kachru, M. B. Schulz and S. Trivedi, JHEP 0310, 007 (2003)[arXiv:hep-th/0201028].

[48] R. Blumenhagen, D. Lust and T. R. Taylor, Nucl. Phys. B 663, 319(2003) [arXiv:hep-th/0303016].

95

[49] J. F. G. Cascales and A. M. Uranga, JHEP 0305, 011 (2003)[arXiv:hep-th/0303024].

[50] I. Antoniadis and T. Maillard, Nucl. Phys. B 716, 3 (2005) [arXiv:hep-th/0412008].

[51] R. Blumenhagen, M. Cvetic, F. Marchesano and G. Shiu, JHEP 0503,050 (2005) [arXiv:hep-th/0502095].

[52] M. Bianchi and E. Trevigne, JHEP 0508, 034 (2005) [arXiv:hep-th/0502147].

[53] J. P. Derendinger, C. Kounnas, P. M. Petropoulos and F. Zwirner,Fortsch. Phys. 53, 926 (2005) [arXiv:hep-th/0503229].

[54] I. Antoniadis, A. Kumar and T. Maillard, arXiv:hep-th/0505260.

[55] P. G. Camara, A. Font and L. E. Ibanez, JHEP 0509, 013 (2005)[arXiv:hep-th/0506066].

[56] I. R. Klebanov and E. Witten, Nucl. Phys. B 664, 3 (2003) [arXiv:hep-th/0304079].

[57] D. Cremades, L. E. Ibanez and F. Marchesano, JHEP 0307, 038 (2003)[arXiv:hep-th/0302105].

[58] M. Cvetic and I. Papadimitriou, Phys. Rev. D 68 (2003) 046001[Erratum-ibid. D 70 (2004) 029903] [arXiv:hep-th/0303083].

[59] D. Cremades, L. E. Ibanez and F. Marchesano, JHEP 0405, 079 (2004)[arXiv:hep-th/0404229].

[60] D. Lust, P. Mayr, R. Richter and S. Stieberger, Nucl. Phys. B 696, 205(2004) [arXiv:hep-th/0404134].

[61] M. Bertolini, M. Billo, A. Lerda, J. F. Morales and R. Russo, Nucl.Phys. B 743, 1 (2006) [arXiv:hep-th/0512067].

[62] C. Bachas and C. Fabre, Nucl. Phys. B 476, 418 (1996) [arXiv:hep-th/9605028].

96

[63] I. Antoniadis, C. Bachas and E. Dudas, Nucl. Phys. B 560, 93 (1999)[arXiv:hep-th/9906039].

[64] D. Lust and S. Stieberger, arXiv:hep-th/0302221.

[65] S. A. Abel and B. W. Schofield, JHEP 0506, 072 (2005) [arXiv:hep-th/0412206].

[66] M. Bianchi and E. Trevigne, JHEP 0601, 092 (2006) [arXiv:hep-th/0506080].

[67] N. Berkovits and C. R. Mafra, “Some Superstring Amplitude Compu-tations with the Non-Minimal Pure Spinor arXiv:hep-th/0607187.

[68] E. Dudas and J. Mourad, Nucl. Phys. B 575, 3 (2000) [arXiv:hep-th/9911019].

[69] S. Cullen, M. Perelstein and M. E. Peskin, Phys. Rev. D 62, 055012(2000) [arXiv:hep-ph/0001166].

[70] E. Accomando, I. Antoniadis and K. Benakli, Nucl. Phys. B 579, 3(2000) [arXiv:hep-ph/9912287].

[71] D. Chialva, R. Iengo and J. G. Russo, “Cross sections for productionof closed superstrings at high energy Phys. Rev. D 71, 106009 (2005)[arXiv:hep-ph/0503125].

[72] D. Friedan, E. J. Martinec and S. H. Shenker, Nucl. Phys. B 271, 93(1986).

[73] M. B. Green and J. H. Schwarz, Nucl. Phys. B 198, 441 (1982).

[74] J. H. Schwarz, Phys. Rept. 89, 223 (1982).

[75] M. Bianchi and A. V. Santini, to appear soon.

[76] T. Eguchi and H. Ooguri, Nucl. Phys. B 282, 308 (1987).

[77] A. Sagnotti, arXiv:hep-th/9302099.

[78] J. F. Morales, C. A. Scrucca and M. Serone, Nucl. Phys. B 552, 291(1999) [arXiv:hep-th/9812071].

97

[79] C. A. Scrucca and M. Serone, Nucl. Phys. B 556, 197 (1999) [arXiv:hep-th/9903145].

[80] G. Aldazabal, D. Badagnani, L. E. Ibanez and A. M. Uranga, “Tadpoleversus anomaly cancellation in D = 4, 6 compact IIB JHEP 9906, 031(1999) [arXiv:hep-th/9904071].

[81] M. Bianchi and J. F. Morales, JHEP 0003, 030 (2000) [arXiv:hep-th/0002149].

[82] L. E. Ibanez, R. Rabadan and A. M. Uranga, Nucl. Phys. B 542, 112(1999) [arXiv:hep-th/9808139].

[83] I. Antoniadis, E. Kiritsis and J. Rizos, Nucl. Phys. B 637, 92 (2002)[arXiv:hep-th/0204153].

[84] P. Anastasopoulos, JHEP 0308, 005 (2003) [arXiv:hep-th/0306042].

[85] P. Anastasopoulos, M. Bianchi, E. Dudas and E. Kiritsis, arXiv:hep-th/0605225.

[86] A. Kumar, S. Mukhopadhyay and K. Ray, arXiv:hep-th/0605083.

[87] S. Stieberger and T. R. Taylor, Nucl. Phys. B 647 (2002) 49 [arXiv:hep-th/0207026];

[88] S. Stieberger and T. R. Taylor, “Non-Abelian Born-Infeld Action AndType I - Heterotic Duality. Ii: Nucl. Phys. B 648 (2003) 3 [arXiv:hep-th/0209064].

[89] LHC Olympics at

[90] C. Angelantonj, M. Bianchi, G. Pradisi, A. Sagnotti and Y. S. Stanev,Phys. Lett. B 387, 743 (1996) [arXiv:hep-th/9607229].

[91] T. P. T. Dijkstra, L. R. Huiszoon and A. N. Schellekens, “Chiral super-symmetric standard model spectra from orientifolds of Gepner Phys.Lett. B 609, 408 (2005) [arXiv:hep-th/0403196].

[92] T. P. T. Dijkstra, L. R. Huiszoon and A. N. Schellekens, Nucl. Phys.B 710, 3 (2005) [arXiv:hep-th/0411129].

98

[93] N. Berkovits and B. C. Vallilo, “One loop N-point superstring ampli-tudes with manifest d = 4 Nucl. Phys. B 624, 45 (2002) [arXiv:hep-th/0110168].

[94] N. Berkovits, arXiv:hep-th/9604123.

[95] C. R. Mafra, JHEP 0601 (2006) 075 [arXiv:hep-th/0512052].

[96] W. D. . Linch and B. C. Vallilo, arXiv:hep-th/0607122.

[97] M. Grana, Phys. Rept. 423, 91 (2006) [arXiv:hep-th/0509003].

99