Sciences et Technologies de l’Industrie et du Développement Durable 1ère

STI2D Cinématique graphique - Centre Instantané de Rotation (CIR)-

Equiprojectivité-composition des vitesses

CI5 - Comportement des mécanismes Cours ES-ITEC

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1. Le champ des vecteurs vitesses :

1.1. Enoncé

Lorsqu’un solide S1 est en rotation autour d’un point A fixe dans R0 :

00/1

RSAV

La connaissance d’un vecteur vitesse permet de connaître tous les autres par la construction ci-dessous.

On peut appliquer la formule wRV RSM 0/1

avec : 0/1 RSMV

=norme du

vecteur vitesse en M

R : rayon (ou longueur AM)

ω : vitesse de rotation de

S1 par rapport à R0 (en rad/s)

1.2. Application

Déterminer le vecteur vitesse au point B du bout de la pale par rapport au bâti de l’hélicoptère.

0X

0Y

M

0/1 RSMV

A

0X

0Y

M

0/1 RSMV

A

B

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2. Equiprojectivité des vecteurs vitesses

2.1. Enoncé

Soient deux points A et B appartenant à un même solide S et

V(AS/R) et

V(BS/R) les vecteurs vitesses des points A et B, appartenant à S, par rapport à un même référentiel R.

La projection orthogonale de

V(AS/R) sur

AB est

égale à la projection orthogonale de

V(BS/R) sur

AB

V(AS/R).AB V(BS/R).AB

Concrètement :

AH BK

A

H B

K

V(AS/R)

V(BS/R)

S

O

x

y

z

Repère R

2.2. Exploitation du théorème de l’équiprojectivité des vecteurs vitesses

Pour pouvoir appliquer ce théorème et réaliser les différentes constructions, nous devons connaître une

vitesse intégralement , et connaître, au minimum, le support du vecteur vitesse

que nous souhaitons déterminer.

2.3. Détermination d’une vitesse par double équiprojectivité

Soient :

V(AS/R) et

V(BS/R) deux vitesses connues ;

V(CS/R) une vitesse de direction, de sens et d’intensité inconnue.

La détermination de

V(CS/R) est possible par double équiprojectivité à partir des deux vitesses

V(AS/R) et

V(BS/R) intégralement connues (direction + sens + intensité).

A

B

C

V(AS/R)

V(BS/R)

V(CS/R) ?

O

x

y

z

Repère R

S

A

B

M

N

S

T

C

V(BS/R)

V(CS/R)

V(AS/R)

S

AM CN

BS CT

Remarque : si C était aligné avec A et B, il aurait fallu déterminer la vitesse

V(DS/R) d’un point D non aligné avec A et B.

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2.4. Application de l’ équiprojectivité

Question : Déterminer le vecteur vitesse au point B appartenant au piston par rapport au bâti.

A

B

0/RbielleAV

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3. Centre instantané de rotation

3.1. Définition

Pour tout solide S en mouvement plan par rapport à un repère R, il

existe un point I et un seul, ayant une vitesse nuà l’instant t

considéré et appelé centre instantané de rotation ou CIR.

Le CIR possède les propriétés d’un centre de rotation à l’instant (t) considéré. A l’instant suivant (t’=t+t), il y a de fortes chances pour que le CIR ait changé de position.

3.2. Détermination et construction du CIR

En tant que centre de rotation, le CIR est situé à l’intersection des

perpendiculaires aux supports des vecteurs vitesses du solide.

A

B

C

V(AS/R)I

V(BS/R)

V(IS/R) 0

I : Centre instantané de rotation

V(CS/R)

S

O

x

y

z

Repère R

3.3. Détermination des vecteurs vitesses grâce au CIR

Puisque I est le Centre Instantané de Rotation, nous pouvons en déduire que:

V(AS/R) IAS /R

V(BS/R) IBS /R

En divisant membre à membre, chaque terme des équations, nous obtenons :

V(AS/R)

V(BS/R)IAS /R

IBS /R

IA

IB Soit Finalement :

V(AS/R) IA

IB V(BS/R)

Grâce à cette relation, nous sommes capable de déterminer la norme d’une des vitesses inconnues.

3.4. Le CIR et les Mouvements Particuliers

Lorsqu’une pièce subit un mouvement de translation, le CIR est rejeté à « l’infini ». De

toute façon, il n’y pas de quoi s’affoler, car dans une mouvement de translation tous les points ont la même vitesse.

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Lorsqu’une pièce subit un mouvement de rotation, le CIR se confond avec le Centre de Rotation .

C’est une évidence, mais cette remarque dépanne souvent…

3.5. Application du CIR

Question : Déterminer le vecteur vitesse au point B appartenant au piston par rapport au bâti.

A

B

0/RbielleAV

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4. Composition des vecteurs vitesse

4.1. Vitesses linéaires

Prenons l’exemple d’un voyageur se déplaçant dans un train.

On suppose que les mouvements sont des translations rectilignes uniformes :

la vitesse du train par rapport à la terre est de 120 km/h,

la vitesse du voyageur par rapport au train est de 3 km/h. Quelle est la vitesse du voyageur par rapport à la terre ?

Vitesse du train / terre - vitesse du voyageur / train = 120 - 3 =

117 km/h vers la gauche.

Le mouvement du voyageur par rapport à la terre résulte de la composition du mouvement du voyageur par rapport au train et du train par rapport à la terre.

5. Loi de composition des vitesses :

Théorème : soit un point B appartenant à un solide 2, en mouvement par rapport à un solide 3. Le solide 3 est également en mouvement par rapport à un solide de référence 0. Considérons le point B appartenant au solide 2. En B, nous pouvons écrire :

Remarques :

est appelée vitesse absolue ,

vitesse relative et vitesse

d’entraînement.

On peut écrire cette relation avec autant de solides que l’on veut. Pour 4 solides (repérés 0, 1, 2, 3) :

Déplacement du train par rapport à la terre

Déplacement du voyageur par rapport au train

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Exemple : passager marchant dans un train, au point G on peut écrire :

6. Propriété du centre d’une articulation :

Le point B est le centre d’une articulation L2/3. Les points B2 (point B appartenant à 2) et B3 (point B appartenant à 3) sont coïncidents à chaque instant. Ils ont donc les mêmes caractéristiques cinématiques à savoir :

la même trajectoire :

le même vecteur vitesse par rapport à un autre solide commun :

Démonstration :

D’après la loi de composition des vitesses :

Or B est le centre de l’articulation entre 2 et 3 donc

Donc :

si B est de centre de l’articulation entre 2 et 3

Remarque : une articulation peut être dans le plan une liaison pivot, une liaison rotule, une liaison pivot glissant pour laquelle la translation n’est pas permise

7. Vitesse de glissement :

A est le point de contact entre les solides 1 et 2 en glissement relatif.

est un vecteur unitaire du plan tangent au

contact en A.

est la normale au contact en A.

On appelle vitesse de glissement en A du solide 1 par rapport

au solide 2 la vitesse relative

Remarque :

et

sont toujours contenus dans le plan tangent commun au contact entre 1 et 2 (porté par t ).

7.1. Vitesses angulaires

La relation précédente peut être étendue aux vecteurs vitesses angulaires : 2/0 = 2/1 + 1/0

2

1

A

t

n