1 lezione 8 esperimento di thomson per la determinazione del rapporto carica/massa dellelettrone:...
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Lezione 8
• Esperimento di Thomson per la determinazione del rapporto carica/massa dell’elettrone: quattro possibili tecniche
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1897 - Esperimento di Thomson per la misura del rapporto q/m dell’elettrone (1° metodo)
Gli elettroni emessi dal catodo vengono accelerati verso un anodo forato, lo attraversano e poi vengono deviati in un campo magnetico disposto ortogonalmente alla direzione degli elettroni. In campo elettrico, l’elettrone sente la forza elettrica accelerante:
E q F
e la loro energia cinetica finale (trascurando quella iniziale) sarà:
(1) V m
q 2 v V q vm
2
1 22
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Nel campo magnetico gli elettroni sentono la forza di Lorentz:
B v q F
diretta ortogonalmente alla direzione di volo degli elettroni e a quella del campo magnetico.
B
F
v
e con modulo pari a:
(2) r B
v
m
q B vq
r
v m
r
v m a m F
B vq F22
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Dalla (1) possiamo ricavare v:
(3) V m
q 2 v
2
22
r B
1 V 2
m
q
r B
1 V
m
q 2
m
q
r B
1 V
m
q 2
r B
v
m
q
e sostituendo la (3) nella (2) possiamo ricavare q/m:
Il valore di q/m trovato è 1.7588 · 1011 C/Kg.
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2° metodo usato da Thomson per determinare il rapporto q/m
Come prima, gli elettroni emessi dal catodo vengono accelerati verso un anodo forato, e lo attraversano. Attraversano poi una regione nella quale possono essere attivati un campo elettrico e un campo magnetico. Nel campo elettrico iniziale, come prima abbiamo:
(1) V
v
2
1
m
q V q vm
2
1 22
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Sfruttiamo la zona contenente il campo elettrico e magnetico come filtro di velocità, cioè troviamo i valori di E e di B per i quali l’ elettrone non subisce deflessione:
ente verticalmdiretta B vq F
ente verticalmdiretta E q F
B
E
Scegliamo E e B in modo tale che FE = - FB e cosi avremo:
(2) B
E v B vq - E q
(3) V
1
B
E
2
1
V
v
2
1
m
q2
22
Sostituendo la (2) nella (1) troviamo il rapporto q/m:
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3° metodo usato da Thomson per determinare il rapporto q/m
Come prima, gli elettroni emessi dal catodo vengono accelerati verso un anodo forato, e lo attraversano. Attraversano poi una regione nella quale possono essere attivati un campo elettrico e un campo magnetico. In presenza del solo campo elettrico diretto lungo l’asse y (verticale), l’elettrone, dotato di una velocità iniziale uniforme v lungo l’asse z, nel tratto L1 si muoverà di moto uniformemente accelerato lungo l’asse y per effetto del campo E e di moto rettilineo uniforme lungo l’asse z con velocità v.
L1
y
L2
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L1 L2
L’elettrone entra nella regione L1 con velocità iniziale parallela all’asse z e posizione iniziale nell’origine degli assi:
) v0, (0,)v,v,(vv 0) 0, (0,)z,y,(xr 0z0,y0,x0,00000
y1
y2
In presenza del solo campo elettrico, l’ elettrone subisce una deflessione lungo la direzione verticale (cioè parallela al campo), la cui accelerazione è legata al rapporto q/m dalla relazione:
(1) E
a
m
q Eq Fema F
dove E è noto mentre a non è conosciuta. Per misurare “a” sfruttiamo la deflessione y subita dall’ elettrone e misurabile sullo schermo fluorescente.
y
z
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Il moto dell’ elettrone nel tratto L1 è quindi rettilineo e uniforme lungo l’asse z e uniformemente accelerato lungo l’asse y:
(3) v
La
2
1ta
2
1 ta
2
1 t v y y: yasse
2
0
121
211y,001
(2) v
Lt t vt v z L z :z asse
0
11101z,0011
Dalla relazione (1) estraiamo l’accelerazione e sostituiamola nella (3):
(4) v
L E
m
q
2
1 y
2
0
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In questa espressione E, L1 sono noti, v0 può essere misurata (v. dopo), y1 può essere misurato e quindi possiamo estrarre il rapporto q/m:
(5) L
v
E
y2
m
q2
1
01
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La velocità con cui gli elettroni arrivano al condensatore può essere determinata come abbiamo già fatto nel secondo metodo e cioè attivando anche il campo magnetico lungo l’asse x (in modo che eserciti una forza anch’ esso lungo y come il campo elettrico) e trovando i due valori di B, che bilancia il campo E in modo che la particella non venga deflessa. In tal caso, come prima:
B
E v 0
(6) LB
E y2
m
q21
21
Pertanto la (5) diventa:
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Se invece di misurare y1, noi siamo in grado di misurare y2 (sullo schermo fluorescente), basti ricordare che all’uscita del condensatore, nel tratto L2, il moto dell’elettrone è rettilineo e uniforme sia lungo l’asse y sia lungo l’asse z.
(7) v
Lv
v
L E
m
q
2
1 t v y y : yasse
2
0
2y,1
0
12y,112
(6) v
Lt t vt v LL L z :z asse
0
22202
v
z,11122
0
dove vy,1 è la velocità alla fine del condensatore, che si può ottenere da:
(8) v
LE
m
q ta v v yy
0
1101
Pertanto la (7) diventa:
2120
12
0
2
0
1
2
0
1
0
2y,1
2
0
12
L L2
1 E
v
L
m
q y
v
L
v
LE
m
q
v
L E
m
q
2
1
v
Lv
v
L E
m
q
2
1 y : yasse
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4° metodo usato da Thomson per determinare il rapporto q/m
Gli elettroni entrano dal piccolo bulbo al grande bulbo dove vengono sottoposti a un campo magnetico che li fa deviare. Il campo magnetico viene regolato in modo da fare entrare gli elettroni nella fenditura dove un elettrometro misura la quantità di carica da essi depositata che è pari a n volte la carica elementare, dove n è il numero di elettroni entranti.
(1) qn Q
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Al tempo stesso possiamo misurare la quantità di calore rilasciata dagli elettroni che trasformano la loro energia cinetica in riscaldamento del materiale assorbente, di cui sono noti la massa e il calore specifico:
Kg / C 10 7588028 1. m
q 11
Dividendo la (1) per la (2) otteniamo il rapporto q/m:
(2) vm 2
1 n E 2
Il valore attualmente accettato di q/m è:
2v
1
E
Q 2
m
q
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ESPERIMENTO DI MILLIKAN PER LA DETERMINAZIONE DELLA CARICA q DELL’ ELETTRONE (1911)
Tra le armature di un condensatore piano vengono spruzzate goccioline di olio, che per effetto dello strofinio con lo spruzzatore si caricano elettricamente.
La gocciolina di olio, se soggetta alla sola forza di gravità, si muove di moto uniformemente accelerato, ma subisce la resistenza dovuta alla viscosità dell’ aria, la quale fa si che la goccia cada con moto uniforme, cioè con velocità costante (vedi dopo).
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Se applichiamo un potenziale elettrico tra le armature del condensatore tale da bilanciare la forza peso, la velocità della goccia sarà nulla (quindi la forza di viscosità si annulla) e le due forze in gioco rimangono:
elettrico campo del forza E q F
peso forza g m F
E
P
Se esse si bilanciano avremo:
(0) V
d g m
V/d
g m
E
g m q E q g m
In questa espressione l’ unica incognita è la massa della goccia. Questa può essere calcolata annullando il campo elettrico ed esaminando il moto della goccia in presenza solo della forza peso e della forza di resistenza dell’ aria.
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Le forze in gioco adesso sono:
aria dell' resistenteforza R v ηπ 6 F
pesoforza g m F
R
P
dove: m = massa della goccia
R = raggio della goccia
v = velocità della goccia
= viscosità dell’ aria
Il moto della goccia è descritto dall’ equazione seguente:
R vη π6 - g m a m F - F a m RP
R td
xd η π6 - g m
dt
xd m
2
2
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Dopo un tempo sufficientemente elevato, la goccia si muove di moto rettilineo uniforme. Possiamo calcolare la velocità di regime della goccia, prendendo l’equazione del moto e sostituendovi a = d2x/ dt2 = 0:
(5) R ηπ 6
g m
k
g m v
R ηπ 6 k con (5) td
x dk - g m 0
regime
Nella formula precedente, la velocità della goccia può essere misurata dal tempo che essa impiega a transitare attraverso due tacche poste a distanza fissa; i valori di R ed m sono incogniti ma possono essere messi in relazione tra loro esprimendo m in funzione del volume e quindi del raggio R della goccia.
(6) R πρ 3
4 m
R π3
4m
V
m ρ 3
3
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Pertanto la (5) diventa:
η
R g ρ
9
2
R η π6
gR πρ 3
4
R η π6
g m v
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(7) g ρ
η v
2
9 R
Ora la massa della goccia può essere calcolata, sostituendo la (7) nella (6). Se torniamo quindi alla formula (0):
V
d g m q
adesso tutte le grandezze sono note e possiamo quindi calcolare q. Il valore determinato da Millikan è:
C 10 .602101 q -19
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Dall’ esperimento di Thomson era noto il valore del rapporto q/m dell’ elettrone:
Kg / C 10 7588028 1. m
q 11
C 10 .602101 q -19
Dall’ esperimento di Millikan otteniamo il valore della carica dell’ elettrone:
Pertanto il valore della massa dell’ elettrone sarà:
Kg 10 9.109 Kg / C 10 7588028 1.
C 10 .602101 m 31-
11
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