1 licence dinformatique algorithmique des graphes problèmes dordonnancement. utilisation de ce...

1

Licence d’informatiqueLicence d’informatiqueAlgorithmique des graphesAlgorithmique des graphes

Problèmes d’ordonnancement.

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2

Problèmes d’ordonnancementProblèmes d’ordonnancement

Données : Un projet composé de n tâches

n

n

ddd

AAA

,,,: durées

,,,

21

21

Chaque tâche peut être soumise à un ensemble de contraintes

Deux « tâches » fictives : début, fin (durées nulles)

3

ContraintesContraintes

• Relations entre des événements liés à l’exécution des tâches

• Exprimées par des relations sur les dates de début d’exécution des tâches

finn

n

tttt

finAAAdeb

21

21

0(inconnu)début

tâche

4

La tâche Aj commence au plus tôt à la fin de Ai Aj commence

ExemplesExemplesSéquentialité :

fin de Ai

tj

au plus tôt ti + di

Séquentialité avec délai :

La tâche Aj commence au plus tôt unités de temps après la fin de Ai

Aj commence

tj

au plus tôt

fin de Ai

ti + di

unités detemps après

+

5

La tâche Aj commence au plus tard à la fin de Ai Aj commence

ExemplesExemplesDate butoir :

fin de Ai

tj

au plus tard

ti + di

Synchronisation :

La tâche Aj commence exactement à la fin de Ai Aj commence

tj

exactement

=

fin de Ai

ti + di

soit : iji dtt

iji

iij

dtt

dtt

6

L’événement « les 3/4 de l’exécution de Aj » coïncide avec « la moitié de l’exécution de Ai »

ExemplesExemplesSynchronisation plus complexe :

tj + 0.75 dj = ti + 0.5 di

ijji

ijij

ddtt

ddtt

5.075.0

5.075.0

les 3/4 de l ’exécution de Aj

coïncide avec la moitié de l ’exécution de Ai

7

Contraintes non-déterministesContraintes non-déterministes

Contrainte qui peut être satisfaite par un choix(non-déterministe)

Exemple : Paire de disjonction (exclusion mutuelle)

Les tâches Aj et Ai ne peuvent être simultanément en exécution

tj ti + di OU ti tj + dj

8

Contraintes non-déterministes

Contraintes déterministes :

Système conjonctif d’inéquations de la formeréel) (nombre connue quantité uneest où ijijij aatt

Système disjonctif d’inéquations de la forme

)( OU OU )(

ET

ET )( OU OU )(

rsrspqpq

klklijij

attatt

attatt

9

Les problèmes à contrainte déterministes sont plus « faciles »

à traiter

10

Ordonnancements : Ordonnancements : Formulation des problèmesFormulation des problèmes

Ordonnancement :

projetdu exécution d'fin de date

tâchela de exécution d'début de date:1

0) (projet du exécution d'début de date

:où ),,,,,(Vecteur 21

fin

ii

deb

finndeb

t

Atni

t

tttttT compatible :

solution du système de contraintes (conjonctif ou non)

11

Ordonnancements : Ordonnancements : Deux problèmes « centraux »Deux problèmes « centraux »

Déterminer un ordonnancement compatible se terminant le plus tôt possible(c.-à-d. de durée d’exécution minimale)

Problème 1 :

Problème 2 :

Déterminer un ordonnancement compatible se terminant avant une date finale donnée(c.-à-d. de durée d’exécution majorée par une durée donnée)

12

Ordonnancements à contraintes Ordonnancements à contraintes déterministes: déterministes:

Modélisation par graphe « potentiel-tâche »Modélisation par graphe « potentiel-tâche »

Sommets tâches

Arcs (valués) inéquations

ijij att i jija

13

Contraintes implicites :Contraintes implicites :

00: debi tti

relatives au début :

aucune tâche ne commence avant le début!

deb i0

Inutile (redondante) si le sommet i reçoit déjà un arc de valeur positive ou nulle :

0)()0( ijijij tattt

deb i0

j 0jia0

14

Contraintes implicites :Contraintes implicites :

iifin dtti :

relatives à la fin : le projet ne peut être terminé avant que toutes les tâches soient terminées

Inutile (redondante) si un arc de valeur di est déjà issu du sommet i :

iifiniijijijjjfin dttdaattdtt )()()(

i finid

fini

jiij da

id

jd

15

Tâche Durée ContraintesA 6 début au plus tôt 3 jours après le début du projet

début au plus tard 2 jours après le début de BB 9 début au plus tôt 5 jours après le début du projet

début au plus tôt 4 jours après le début de CC 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A

début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B

L’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F

F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D

début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E

début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G

Exemple de modélisation

16

Tâche A 6 début au plus tôt 3 jours après le début du projet

début au plus tard 2 jours après le début de BB 9 début au plus tôt 5 jours après le début du projet



L’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F




deb

F

B

C

A D

E

G

H fin

17

A 6 début au plus tôt 3 jours après le début du projetdébut au plus tard 2 jours après le début de B

B 9 début au plus tôt 5 jours après le début du projetdébut au plus tôt 4 jours après le début de C

C 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A


L ’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F




deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

3 debA tt

Arc (deb, A, 3)

18

A début au plus tard 2 jours après le début de BB 9 début au plus tôt 5 jours après le début du projet







-2

22 ABBA tttt

Arc (A, B, -2)

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

19

B 9 début au plus tôt 5 jours après le début du projetdébut au plus tôt 4 jours après le début de C







-2

5 debB tt

Arc (deb, B, 5)

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

20

B début au plus tôt 4 jours après le début de CC 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A






-2

4 CB tt

Arc (C, B, 4)

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

21







-2

4 debC tt

Arc (deb, C, 4)

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

22

D 9 début au plus tôt à la fin de A début au plus tôt 3 jours après la fin de B

E 16 début au plus tôt à la fin de B L ’événement « 8 jours après le début de E »

intervient au plus tôt 2 jours après le début de FF 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D



-2

6 AD tt

Arc (A, D, 6)

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

durée de A : 6

6

23

D début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B





-2

1239 BBD ttt

Arc (B, D, 12)

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

durée de B : 9

6

12

24

E 16 début au plus tôt à la fin de B L ’événement « 8 jours après le début de E »

intervient au plus tôt 2 jours après le début de FF 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D



-2

9 BE tt

Arc (B, E, 9)

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

durée de B : 9

6

12

9

25

E L’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F




-2

628 FEFE tttt

Arc (F, E, -6)

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

6

12

9

-6

26




-2

10 CF tt

Arc (C, F, 10)

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

6

12

9

-6

durée de C : 10

10

27

G 13 début au plus tôt à la fin de Ddébut au plus tôt 8 jours après le début de F

H 4 début au plus tôt à la fin de Edébut au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G

-2

9 DG tt

Arc (D, G, 9)

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

6

12

9

-6

durée de D : 9

10

9

28

G début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E


-2

8 FG tt

Arc (F, G, 8)

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

29

H 4 début au plus tôt à la fin de Edébut au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G

-2

16 EH tt

Arc (E, H, 16)

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

durée de E : 16

16

30

H début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G

-2

8 FH tt

Arc (F, H, 8)

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

31

H début au plus tôt 3 jours après le début de G

-2

3 GH tt

Arc (G, H, 3)

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

32

-2

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

Contraintes implicites : début

Déjà toutes prises en compte

33

-2

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

12

-6

8

6

9

10

9

16

8

3

Contraintes implicites : fin

Tâches A, B, C, D, E : durées déjà prises en compte

durées :

6

9

10

9

16

6, 9, 10, 9, 16

34

-2

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

12

-6

8

6

9

10

9

16

8

3


Tâche F :

durée : 15 15 Ffin tt Arc (F, fin, 15)

15

35

-2

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

12

-6

8

6

9

10

9

16

8

3


Tâche G :

durée : 13 13 Gfin tt Arc (G, fin, 13)

15

13

36

-2

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3

5

4

4

12

-6

8

6

9

10

9

16

8

3


Tâche H :

durée : 4 4 Hfin tt Arc (H, fin, 4)

15

13

4

37

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4

le graphe « Potentiel-Tâche »

38

Résolution des problèmesRésolution des problèmes

possède les propriétés suivantes :1. Il est compatible2. Si T est un ordonnancement compatible, alors

ii ti : En particulier,fin est minimum

Problème 1

),,,,( 1 finndeb avec ii : valeur maximale des chemins

de deb à i

Ordonnancement « au plus tôt »

39

),,,,( 1 finndeb

ii : valeur maximale des chemins de deb à i

est compatibleEn effet :

Dans le problème (MAX,+), les valeurs optimales i

constituent la SOLUTION minimale du système d’équations

),(max:1

01

ijvi jj

i

40

),,,,( 1 finndeb

ii : valeur maximale des chemins de deb à i

est compatible

),(max:1

01

ijvi jj

i

jiji aij :),(:Donc

41

),,,,( 1 finndeb 2. Si T est un ordonnancement compatible, alors

ii ti :

En effet :

Le vecteur T est solution du système d’équations

),(max:1

01

ijvtti

t

jj

i

42

),,,,( 1 finndeb

2. Si T est un ordonnancement compatible, alors

ii ti :

De plus :Dans le problème (MAX,+), les valeurs optimales i

constituent la solution MINIMALE du système d’équations

),(max:1

01

ijvtti

t

jj

i

43

),,,,( 1 finndeb


ii ti :

Donc :

),(max:1

01

ijvtti

t

jj

i


constituent la solution MINIMALE du système d’équations

44

Résolution des problèmesRésolution des problèmes

L’ordonnancement défini par

)',',,','( 1 finndeb avec

ii

findeb

Ffindebi

F

':,

,',0' i = valeur maximale des chemins de i à fin

possède les propriétés suivantes :

1. Il est compatible

Problème 2 Soit F une date finale donnée, Ffin

2. Si T est un ordonnancement compatible avec

ii ti ':Ft fin

Ordonnancement « au plus tard » relatif à la date finale F

45

),,,,( 1 finndeb

ii : valeur maximale des chemins de i à fin dans le graphe G


constituent LA solution MINIMALE du système d’équations

),(max:1

01

jivi jj

i

valeur maximale des chemins de fin à i dans le graphe transposé Gt

46

)',',,','( :où D' 1 finndeb

est compatible

),(max:1

01

jivi jj

i

ijji aji :),(:Donc

ijji aFFji '':),(:d-à-c

ijij aji '':),(:d-à-c

47

)',',,','(' 1 finndeb


ii ti ':

Démonstration analogue à celle du problème 1(détails dans le polycopié)

48

Ce n’est JAMAIS le cas! (sauf, peut-être, si toutes les tâches avaient des durées nulles)

Algorithmes de résolutionAlgorithmes de résolution

• BELLMANN-KALABA : toujours possible

• DIJKSTRA ?

Condition pour (MAX,+) :

Tous les arcs ont des valeurs 0

jamais possible

49

Algorithmes de résolutionAlgorithmes de résolution

• BELLMANN-KALABA : toujours possible

• DIJKSTRA ? jamais possible

• L’algorithme ORDINAL-RACINE ?

Conditions : graphe sans circuit sommet de départ racine du graphe

50

Un graphe potentiel-tâche est-il sans circuit?

Pas nécessairement!

Mais :

Il ne doit pas avoir de circuit de valeur > 0

51


ab

cd

x

y

z

t

0)( tzyxv

)(0

vtzyx

ttt

ztt

ytt

xtt

da

cd

bc

ab

Contradiction!

52


Si tous les arcs sont de valeur > 0(sauf peut-être ceux issus de deb ou aboutissant à fin)alors le graphe potentiel-tâche est sans circuit

ou

il n’y a pas d’ordonnancement compatible

53

Méthode préconisée :Méthode préconisée :

si on soupçonne des circuits, deux phases:

1. « supprimer » les arcs de valeur 0 (non issus de

deb) Appliquer l’algorithme ordinal-racine.

2. « réintroduire» les arcs de valeur 0

Pour chaque arc, procéder aux ajustements des valeurs des extrémités.

54

Principe de l’algorithme ordinalPrincipe de l’algorithme ordinal(rappel)(rappel)

C’est du Marimont à partir des points d’entrée, avec prise en compte des valeurs des arcs

• deb « marqué » 0• Soit x un sommet non marqué, dont tous les prédécesseurs sont marqués.

Marquer x avec la valeur (définitive)

)(max deur prédécesse

yxyxy

x a

55

Exemple : le problème modélisé précédemment

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4

deb

On ne soupçonne pas de circuit (malgré des arcs de valeur <0)

56

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4

Algorithme ordinal

(0)

(4)

(3)

(8)

(14)

(20)

(29)

(17)

(33) (42)

Ordonnancement au plus tôt

Deb A B C D E F G H fin

0 3 8 4 20 17 14 29 33 42

57

findeb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4

Algorithme ordinal à partir de la fin

Ordonnancement au plus tôt

Deb A B C D E F G H fin

0 3 8 4 20 17 14 29 33 42

(0)(4)

(13)

(20)

(22)

(21)

(34)

(32)

(38)

(42)

Valeurs max vers fin 42 32 34 38 22 20 21 13 4 0

Ordonnancement au plus tard 0 10 8 4 20 22 21 29 38 42

58

On rajoute une contrainte supplémentaire

H ne se termine pas plus tard que 4 u.t. après la fin de F

deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4

11198 HFFH tttt

Arc (H, F, -11)

-11

Durée de F = 15, durée de H = 8

59


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)

(4)

(3)

(8)

(14)

(20)

(29)

(17)

(33) (42)-11

Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt

?

?11 HF tt NON! 2211 HF tt

22

60


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)

(4)

(3)

(8)

(14)

(20)

(29)

(17)

(33) (42)-11


?

?8 FG tt NON! 308 FG tt

22 30

61


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)

(4)

(3)

(8)

(14)

(20)

(29)

(17)

(33) (42)-11


?

?3 GH tt OUI!

22 30

62


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)

(4)

(3)

(8)

(14)

(20)

(29)

(17)

(33) (42)-11


?

?13 Gfin tt NON!

22 30

4313 Gfin tt

43

63


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)

(4)

(3)

(8)

(14)

(20)

(29)

(17)

(33) (42)-11


?

6 FE tt OUI!

22 30

43

64


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)

(4)

(3)

(8)

(14)

(20)

(29)

(17)

(33) (42)-11


?

?15 Ffin tt OUI!

22 30

43

65


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)

(4)

(3)

(8)

(14)

(20)

(29)

(17)

(33) (42)-11

Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt Mise à jour terminée.

22 30

43

Nouvelle date finale « au plus tôt » : 43

66

Mise à jour de l’ordonnancement au plus tard/date finale 43


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)(4)

(20)

(22)

(21)

(34)

(32)

(38)

(42)

(13)

Mise à jour des valeurs

-11

?11 FH NON! 1011 FH

10

?

67


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)(4)

(20)

(22)

(21)

(34)

(32)

(38)

(42)

(13)


-11

?3 HG OUI!

10

?

68


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)(4)

(20)

(22)

(21)

(34)

(32)

(38)

(42)

(13)


-11

?8 HF OUI!

10

?

69


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)(4)

(20)

(22)

(21)

(34)

(32)

(38)

(42)

(13)


-11

?16 HE NON!

10

?

2616 HE

26

70


deb

F

B

C

A D

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H fin3 -2

5

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12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)(4)

(20)

(22)

(21)

(34)

(32)

(38)

(42)

(13)


-11

?6 EF OUI!

10

?

26

71


deb

F

B

C

A D

E

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H fin3 -2

5

4

4

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9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)(4)

(20)

(22)

(21)

(34)

(32)

(38)

(42)

(13)


-11

?9 EB NON!

10

?

26

359 EB

35

72


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

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6

12

9

-6

10

9

8

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8

3

15

13

4(0)(4)

(20)

(22)

(21)

(34)

(32)

(38)

(42)

(13)


-11

?4 BC NON!

10

?

26

394 BC

35

39

73


deb

F

B

C

A D

E

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H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)(4)

(20)

(22)

(21)

(34)

(32)

(38)

(42)

(13)


-11

?4 Cdeb NON!

10

?26

434 Cdeb

35

39

43

74


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)(4)

(20)

(22)

(21)

(34)

(32)

(38)

(42)

(13)


-11

?5 Bdeb OUI!

10

?26

35

39

43

75


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

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8

3

15

13

4(0)(4)

(20)

(22)

(21)

(34)

(32)

(38)

(42)

(13)


-11

?2 BA NON!

10?

2635

39

43

332 BA

33

76


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

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12

9

-6

10

9

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16

8

3

15

13

4(0)(4)

(20)

(22)

(21)

(34)

(32)

(38)

(42)

(13)


-11

?3 Adeb OUI!

10

?

2635

39

43

33

77


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)(4)

(20)

(22)

(21)

(34)

(32)

(38)

(42)

(13)


-11

10

2635

39

43

33

Terminée

78


deb

F

B

C

A D

E

G

H fin3 -2

5

4

4

6

12

9

-6

10

9

8

16

8

3

15

13

4(0)(4)

(20)

(22)

(21)

(34)

(32)

(38)

(42)

(13)

-11

10

2635

39

43

33

Nouvel ordonnancement « au plus tard »/date finale 43 :Deb A B C D E F G H fin

Ancien 0 10 8 4 20 22 21 29 38 42 Nouveau 0 10 8 4 21 17 22 30 33 43

1 licence dinformatique algorithmique des graphes problèmes dordonnancement. utilisation de ce...

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