1 limites,limites laterais, limites de função racional - para alunos
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Slide 1
Prof. Nilson Costa
So Luis 2011
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CLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I
Prof. Nilson Costa
So Luis 2013
APLICAES DE CLCULO
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A sociedade, de um modo geral, est sempre preocupada em maximizar lucro e minimizar despesas. Em uma determinada construo de um edifcio de uma renomada construtora de So Lus, foram encontradas as seguintes situaes para serem resolvidas:
1.Achar as dimenses do lote com menor rea onde um edifcio 2000 m2 de base possa ser construdo, sendo exigido, recuos de 5 m na frente e nos fundos e de 4 m nas laterais.
APLICAES DE CLCULO EC
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APLICAES DE CLCULO EC
3
3
APLICAES DE CLCULO EC
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2.Uma viga de comprimento L embutida em paredes de concreto. Se uma carga constante W for distribuda uniformemente ao longo de seu comprimento, como ficaria a deformao dessa viga.
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APLICAES DE CLCULO EC
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3.Encontrar as dimenses de uma caixa dgua para que esta tenha a maior capacidade de armazenamento possvel sendo que a caixa dgua desse edifcio vai ser um cilindro circular reto inscrito em um cone circular que a ponta do edifcio.
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APLICAES DE CLCULO EC
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4.Dados dois locais estratgicos do canteiro de obras, em que ponto do encanamento deve ser instalado um reservatrio de modo que a metragem de cano a ser utilizada seja mnima?
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APLICAES DE CLCULO EP
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1. Determinar o melhor preo de venda para um novo aparelho. A companhia estima que o custo inicial de planejamento do produto e montagem das fabricas.
O custo adicional de fabricao de cada produto pode ser modelado por uma funo onde o nmero de aparelhos produzidos e o custo de fabricao em milhes de dlares. A companhia estima que se cobre um preo em milhes de dlares para cada aparelho.
a) Encontre as funes custo, demanda e rendimento.
b) Encontre o nvel de produo e o preo de venda associado do produto que maximiza o lucro.
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APLICAES DE CLCULO EP
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3. Produzir x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produo dado por uma funo a ser modelada, e o valor obtido na venda dado por dado por outra funo, determinar o numero timo de unidades mensais que maximiza o lucro.
4. Comprar caixas de embalagens, retangulares, exige que o comprimento de cada caixa seja x m e o volume y m. Para gastar a menor quantidade de material possvel na fabricao de caixas, quais devem ser suas dimenses.
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APLICAES DE CLCULO EP
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5. Pretende-se estender um cabo de uma usina de fora margem de um rio de x m de largura at uma fbrica situada do outro lado do rio, y m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio de R$ 5,00 o metro, enquanto que para estend-lo por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual o percurso mais econmico para o cabo?
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APLICAES DE CLCULO EP
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Essas questes sero respondidas no estudo de derivadas antes trabalharemos com questes como a seguinte :
Em uma indstria de So Luis acontece a seguinte situao. A Salmora contendo 30 g de sal por litros de gua bombeada para dentro do tanque (contendo 5000 litros de gua pura) a uma taxa 25 litros/mim. O que acontece com a concentrao quando t aumenta infinitamente (t)?
Situaes como essa necessitam do estudo de limites que daremos inicio agora.
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MENU
Noo Intuitiva de Limites
Definies e Exemplos de Limites
Vizinhana Numrica
Definio
Teorema. [Unicidade do Limite]
Limites Laterais
Limite de uma Funo Racional
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Noo Intuitiva de Limites.
Exemplo 1. Seja f uma funo definida por:
Nosso objetivo estudar o comportamento de f (x) quando x se aproxima de um dado valor 1, diremos que x tende a 1 e vamos usar a notao x 1.
Claramente, existem duas possibilidades para x se aproximar de 1:
f : - {1}
R
R
x
x2 - 1
x - 1
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Noo Intuitiva de Limites.
(1) x se aproxima de 1 por valores inferiores a 1, neste caso, diremos que x tende para 1 pela esquerda e indicaremos x 1 :
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f : - {1}
R
R
x
x2 - 1
x - 1
Y
X
4
3
2
1
1
2
-1
13
Y
X
1
-1
1
2
2
0,3
0,5
0,7
0,999
1,3
1,5
1,7
1,999
x
y
0,3
0,5
0,7
0,9
0,999
1,3
1,5
1,7
1,9
1,999
0,9
1,9
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Noo Intuitiva de Limites.
(1) x se aproxima de 1 por valores inferiores a 1, neste caso, diremos que x tende para 1 pela esquerda e indicaremos x 1 :
(2) x se aproxima de 1 por valores superiores a 1 neste caso, diremos que x tende para 1 pela direita indicaremos x 1 +:
Y
X
4
3
2
1
1
2
-1
X0,30,50,70,90,999Y1,31,51,71,91,999X1,91,71,51,31,001Y2,92,72,52,32,00115
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Em ambos os casos, os valores de f (x) se aproximam de 2 medida que x se aproxima de 1.
Assim, podemos tornar f (x) to prximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente prximo de 1. Da, dizemos que existe o limite de f (x) quando x tende a 1 e seu valor 2. Simbolicamente:
O limite, portanto, estabelece qual o comportamento da funo na vizinhana de um ponto, sem que este pertena necessariamente ao seu domnio.
Noo Intuitiva de Limites.
lim
x2
1
x - 1
= 2.
x 1
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Noo Intuitiva de Limites.
Esta noo de proximidade, simbolicamente, representada pelos e que aparecem na definio de limite que veremos a seguir.
Observe o exemplo 2. lim(3x + 2) = 5.
x 1
Reforo que para tal exemplo, voc deve estar dizendo era muito mais fcil substituir, mas, em certas circunstncias, como no exemplo ANTERIOR, a funo pode nem estar definida no ponto, ento como determinar seu comportamento?
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Definio e Exemplos de Limites.
Com a definio de limite seremos capazes de responder a esta pergunta.
O nosso objetivo a seguir dar uma definio de Limite de uma maneira convencional j que a intuitiva foi vista.
Precisaremos da definio de vizinhana numrica que apresentaremos a seguir.
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Vizinhana numrica.
Seja a um nmero real. Chama-se vizinhana numrica de a, ou simplesmente vizinhana de a, a todo intervalo aberto Va que contm a. Se a o centro da vizinhana, ento diz-se que a vizinhana simtrica.
A distncia a qualquer um dos extremos da vizinhana simtrica chamada de raio da vizinhana. Denotaremos por V(a; ) uma vizinhana simtrica de centro em a e de raio .
(
(
a
a
a +
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Vizinhana numrica.
Exemplo: Determinar o conjunto dos x R que esto prximos de 2, com distncia inferior a 0, 01.
Soluo: |x 2| < 0, 01
0,01 < x 2 < 0, 01
1, 99 < x < 2, 01.
Logo, V(2; 0, 01).
(
(
a
a +
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Limite Definio.
Definio. Sejam uma vizinhana V(a; ) de a e f uma funo real de varivel real definida para todo
x V(a; ) -{a}.
Dizemos que o limite de f (x), quando x tende para a, L
e escrevemos lim f (x) = L,
xa
se, para toda vizinhana V(L; ) de L, existir, em correspondncia, uma vizinhana V(a; ) de a. Em smbolos, temos: lim f (x) = L
xa
( > 0, > 0; 0 0;
0 < |x 1| < |(3x + 2) 5| < .
Notemos que:
|(3x + 2) 5| <
|3x 3| <
3|x 1| <
|x 1| < /3.
Assim, se escolhermos = /3, teremos:
> 0, = /3 ; 0 < |x 1| < |(3x + 2)5| < .
De fato, se 0 < |x 1| < =/3 > 0 |x 1| < /3
3|x 1| < |3x 3| < |(3x + 2) 5| < .
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Definio e Exemplos de Limites.
Exemplo: Usando a definio, mostre que
lim(2x + 1) = 3.
x1
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Teorema. [Unicidade do Limite]
Teorema. [Unicidade do Limite] Seja f uma funo definida num intervalo com valores reais. Se existe o limite de uma funo num ponto, ento ele nico.
Exemplos: Usando a definio de limites demonstre as seguintes igualdades.
lim (4x 1) = 5.
x 1
(b) lim (mx + n) = ma + n, m 0.
x a
lim f(x) = b1 e lim f(x) = b2 b1 = b2.
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Propriedades de Limite
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Propriedades de Limite
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Propriedades de Limite Corolrio
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Exemplos
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Exemplos
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Exemplos
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Exemplos
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Problemas de Organizao e Erros Frequentes
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Problemas de Organizao e Erros Frequentes
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Problemas de Organizao e Erros Frequentes
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Problemas de Organizao e Erros Frequentes
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Problemas de Organizao e Erros Frequentes
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Problemas de Organizao e Erros Frequentes
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Problemas de Organizao e Erros Frequentes
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Problemas de Organizao e Erros Frequentes
Limites Laterais
Limites Laterais
Definio 1. Seja f(x) uma funo definida num intervalo I com valores em R e a I . Ao tomarmos valores em I maiores que a e que se aproximam de a, obtemos valores para f(x) que se aproximam de um
valor b1. Dizemos ento que
Exemplo:
lim f(x) = b1
x a+
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Definio e exemplos de Limites
No caso em que tomamos valores em I menores que a e que se aproximam de a, obtemos valores para f(x) que se aproximam de um valor b2. Dizemos ento que
Exemplo:
Definio 2. Os limites direita e esquerda mencionados so chamados limites laterais. Segue da definio que, quando os limites laterais coincidem,
lim f(x) = b2
x a-
lim
x 1-
x2 - 1
x - 1
= 2.
lim f(x) = lim f(x),
x a- x a+
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Definio e exemplos de Limites
ento f (x) possuir limite b, quando x a.
Simbolicamente,
ou, equivalentemente,
Exemplo: Seja f uma funo definida por
lim f(x) = b lim f(x) = lim f(x) = b.
x a x a- x a+
lim f(x) lim f(x) lim f(x).
x a- x a + x a
E
f : - {0}
R
R
x x + =
|x|
x
x 1 , se x < 0
x + 1 , se x > 0
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Definio e exemplos de Limites
Observemos o comportamento de f quando:
f : \ {0}
R
R
x x + =
|x|
x
x 1 , se x < 0
x + 1 , se x > 0
x0,9990,80,60,40,1F(x)1,9991,81,61,41,1x-0,999-0,8-0,6-0,4-0,1F(x)-1,999-1,8-1,6-1,4-1,1(1)x0+
(2)x 0-
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lim f(x) lim f(x) lim f(x).
x 0 - x 0 + x 0
E
44
2
2
1
1
X
Y
0,8
0,999
1,999
1,8
1,1
1,6
1,4
0,6
0,4
0,1
- 2
- 1
- 2
- 1
- 0,999
- 0,8
- 0,6
- 0,4
- 0,1
- 1,999
- 1,8
- 1,6
- 1,4
- 1,1
(2) x
0
0+
(1) x
x
y
0,999
0,8
0,6
0,4
0,1
1,999
1,8
1,6
1,4
1,1
x
y
- 0,999
- 0,8
- 0,6
- 0,4
- 0,1
- 1,999
- 1,8
- 1,6
- 1,4
- 1,1
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Definio e exemplos de Limites
OBS: possvel que o nmero a pertena ao domnio da funo f. Logo, existe f(a). Porm, talvez no exista o limite de f(x), quando x tende para a. Por exemplo, a funo f definida por:
temos que f (0) = 0. Mas, no existe
limf(x), pois limf(x) = -1 e limf(x) = 1
f :
R
R
x x + =
|x|
x
x 1 , se x < 0
x + 1 , se x > 0
0 , se x = 0
x 0 -
x 0 +
x 0 +
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46
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Grficos de limites laterais
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Grficos de limites laterais
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Grficos de limites laterais
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Grficos de limites laterais
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Grficos de limites laterais
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Grficos de limites laterais
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Grficos de limites laterais
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Grficos de limites laterais
Exemplos
Exemplo: Seja f uma funo definida por
Sol:
Exemplo:
f :
R
R
x f (x) =
2 , se x = 1
3x - 2 , se x > 1
4x + 1 , se x < 1
Determine lim f(x), lim f(x) e, caso exista lim f(x).
x 1- x 1 + x 1
lim f(x) = 5, lim f(x) = 1. lim f(x).
x 1- x 1 + x 1
Determine, caso exista lim f(x), em que
x 0
f (x) =
x2 x; se x 0
- x; se x < 0
lim f(x) = 0
x 0
Sol:
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55
Exemplos
Exemplo:
Soluo: b = -10.
f (x) =
3 , x = -1
3x - 2 , x > -1
5 - bx , x < -1
R
Determine, se possvel, b para que exista lim f(x), sendo:
x - 1
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Limite de uma Funo Racional
J somos capazes de calcular limites de funes definidas por polinmios e, usando a propriedade, podemos determinar alguns limites cujas funes so dadas como quociente de polinmios. Porm, ainda nos restam alguns casos, que tratemos detalhadamente agora.
Sejam e
duas funes polinomiais, com an 0 e bm 0. Uma funo racional qualquer funo do tipo
f(x) = p(x) / q(x).
p (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 e
q (x) = bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0
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Limite de uma Funo Racional
Para calcularmos o limite de f (x) quando x a, temos trs casos considerar:
Exemplo:
Se q (a) 0, ento lim f (x) =
x a
p (a)
q (a)
lim
x -1
x2 + 2x - 3
4x - 3
lim
x -1
(x2 + 2x 3)
lim
x -1
(4x 3)
(-1)2 + 2(-1) -3
4(-1) -3
=
=
=
-4
-7
=
4
7
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Limite de uma Funo Racional
2. Se q(a) = p(a) = 0, ento f(a) uma indeterminao e isto no significa a inexistncia do limite. Geralmente, afasta-se esta indeterminao atravs de uma diviso dos polinmios p(x) e q(x) por x a, visto que a uma raiz de p(x) e q(x), obtendo-se o limite desejado.
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Limite de uma Funo Racional
3. Se p(a) 0 e q(a) = 0, ento f(a) no est definido. Neste caso, limite de p(x) / q(x) quando x a depende dos limites laterais de f (x) (quando x a e quando x a+) e do sinal p(x) / q(x). Como vemos nos exemplos de limites infinitos ou como a seguir.
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Limite de uma Funo Racional
Exerccios Propostos
Calcule os limites usando as propriedades:
1) 5)
2)
3) 6)
4) 7)
soluo: 1)3 2)8 3)6/5 4)2 5)5 6)6 7)-9/4
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Limite de uma Funo Racional
Exerccios Propostos
Calcule os limites usando as propriedades:
1) 5)
2)
3)
4)
Soluo: 1) 3/2 2) 1/3 3) -3/2 4) -4/5 5) -2
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Limite de uma Funo Racional
Exerccios Propostos
Calcule os limites usando as propriedades:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
Soluo: 1) 3/10 2) 1/2 3) 1/12 4) 1/3b2 5) 4/3
6) 1
Referencias Bibliogrficas
71 [1] GUIDORIZZI, H. L. Um curso de clculo. 5.ed. So Paulo: LTC, 2001.
[2] THOMAS, George B. Clculo. v.1. 10.ed. So Paulo: Addison Wesley, 2006. ISBN-13: 9788588639065 / ISBN-10: 8588639068.
[3] STEWART, James. Clculo. v.1. So Paulo: Thomson Learning, 2005. ISBN: 8522104794.
[4] LEITHOLD, Louis. O clculo com geometria analtica. v.1. So Paulo: Harbra, 1994.
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Referncias Bibliogrficas
[5] FLEMMING, Diva Marlia. Clculo A. 5 edio. So Paulo: Makron Books Ltda., 1992
[6] HOFFMANN, Laurense D.; BRANDLEY, Gerald L. Clculo: um curso moderno e suas aplicaes. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. ISBN: 978852166023.
[7] LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce. H. Clculo com aplicaes. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. ISBN: 9788521614333.
[8] ANTON, Howard. Clculo: Um Novo Horizonte - Vol.1. 6 edio. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000.
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