1

MATHESIS

Società Italiana di Scienze Matematiche e Fisiche

Sezione di Lanciano-Ortona

24 febbraio 2010

Ferdinando Casolaro - Università del Sannio

fcasolar@unisannio.it

“I risultati di Eulero per le applicazioni della didattica di oggi”

2

Strutture differenziali

Un insieme D in cui siano definite due operazioni binarie (+ e ) costituisce una struttura D(+, ), che è detta struttura differenziale, se in D è definita un’operazione unaria tale che:

1)

2)

3)

,dxd

Ddxdf

Df

;DgDfdx

dg

dx

dfgf

dx

d ,,)(

DgDfdx

dfg

dx

dgfgf

dx

d ,,)(

3

Strutture differenziali

,

L’insieme costituito da tutti gli

elementi tali che

viene chiamato Campo delle costanti di D.

L’insieme D delle funzioni razionali è una struttura struttura differenziale.differenziale.

Dc

DK

0dx

dc

4

Strutture differenziali

L’insieme:))((lg' xRDD

con R(x) funzione razionale, è una struttura differenziale, in quanto risulta:

')(

)(')(lg D

xR

xRxR

dx

d

L’insieme )('' )(xseDD

con S(x) funzione razionale è un campo differenziale in quanto risulta:

'')(')()( Dxseedxd xsxs

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Teorema di LiouvilleF. Casolaro “Decisione per integrali indefiniti” – Atti del Convegno

nazionale Mathesis – Cattolica 1991 (pag. 68-86)F. Casolaro – “Il problema dell’integrazione indefinita” – Ratio

Mathematica n. 4 – 1992 (pag. 29-38)

)lg,,( xexf x

xex x lg,, )(xg

fdx

dg

)lg,,(0 xexh x )lg,,(1 xexh x )lg,,( xexh xi

,...,...,, 21 cicc

Sia una funzione razionale degli elementi

; se esiste una funzione tale che:

, allora esistono degli elementi:

, ,…

e delle costanti complesse tali che:

,…,

)(ln)lg,,(0 iii

x hcxexhg

0h xex x lg,, ihcon funzione razionale di , funzioni irriducibili

sul campo complesso.

6

Applicazioni del Teorema di Liouville alle funzioni razionali

La derivata di una funzione razionale è ancora una funzione razionale:

)()( RDxR

)()(

)()(')()(')('

)(

)()(

2RD

xq

xpxqxqxpxR

xq

xpxR

Non vale il viceversa.

7

2° TEOREMA DI LIOUVILLE

Sia )(

)()(

xq

xpxR

una funzione razionale e sia p il grado di q(x). Se si conoscono le p radici (reali o complesse) di q(x),

l’integrale:

dxxR )(

è esprimibile mediante funzioni elementari e si ha:

i

ii hcxhdxxR ln)()( 0

0h ih

Cci

con funzione razionale; polinomio irriducibile su C;

8

Esempi di funzioni non integrabili per via elementare

dxxn1 con n>2

dxxex

dxex2

dxxxex

lg

dxx

ex 2)1

1( dxtgxx

dxxlg1

dxesenx dxxxe dxxex 22

dxxtgx

dxxsenx

dxx31 dxearctgx

dxsenx

9

L’integrale non è esprimibile mediante

funzioni elementari.

Dim. Se l’integrale si potesse esprimere mediante funzioni elementari, dovrebbe esistere una funzione g(x),

tale che:

Per il 2° Teorema di Liouville, g(x) dovrebbe essere del tipo:

xcexhdxxe xx

ln),( (1)

in cui compare un solo addendo logaritmico in quanto il denominatore presenta l’unico fattore irriducibile x.

dxx

ex

x

e

dx

dgexRDxg

xx :),()(

10

Algoritmo parallelo di Risch:

Derivando ambo i membri della (1), si ha:

xc

dxdh

xex cioè:

dxdh

xcex

La funzione ),( xexh , di cui ipotizziamo l’esistenza,

per cui si può

deve essere una combinazione lineare finita di x ed

esprimere nel seguente modo:

...),( 25

243210 xxxx eaxaxeaeaxaaexh

xe

11

da cui, derivando:

...2 43321 xaxeaeaeaadxdh xxx

...),( 25

243210 xxxx eaxaxeaeaxaaexh

Si sostituisce tale sviluppo nell’equazione differenziale (2):

...2 24

23321 xaexaxeaxeaxace xxxx

dxdh

xcex (2)

Tale identità non può mai essere verificata perché il termine della sola compare al primo membro con coefficiente 1, ma non nel secondo. Contraddizione che dimostra la non

esistenza della funzione verificante la (1).

xe

),( xexh

12

L’integrale non è esprimibile mediante funzioni elementari.

dxex2

Dim. Se l’integrale si potesse esprimere mediante funzioni elementari dovrebbe esistere una funzione g(x) tale che:

2xedxdg

Per il teorema di Liouville, g(x) dovrebbe essere tale che:

cexhdxe xx ),(22

(1)

13

Algoritmo parallelo di Risch:

...),( 243210

222 xaxeaeaxaaexh xxx

...222),(' 42

33212222

xaexaeaxeaaexh xxxx

),('22 xx exhe

2.

1.

3. Derivando la (1): si ha:

(2)

4. Si sostituisce ),('2xexh nella (2):

...222 42

33212222

xaexaeaxeaae xxxx

13322

aeae xx

002 32

32

aexa x

cexhdxe xx ),(22

14

Le funzioni goniometriche attraverso Eulero

iee

senzizìz

2

2

zz eesenhz

2cos

iziz eez

2cosh

zz eez

)( iziz

iziz

eei

eetgz

zz

zz

ee

eetghz

)1ln(1 2 ixxi

arcsenx )1ln( 2xxsettsenhx

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Le funzioni goniometriche attraverso Eulero

)1ln(1

arccos 2 xxi

x

)1ln(1 2 ixxi

arcsenx )1ln( 2 xxsettsenhx

)1ln(2

)1ln(21

1ln2

ixi

ixi

ixixi

arctgx

)1ln(21

)1ln(21

11

ln21

xxxx

setttghx

)1ln(cosh 2 xxxsett

16

L’integrale non è esprimibile

mediante funzioni elementari dxxsenx

Dim. Dalle relazione di Eulero:

iee

senxixix

2

si ha:

xdx

idx

ixe

dxix

edx

iee

xdx

xsenx ixixixix

21

221

)2

(1 22

Ponendo:

2ix=t, dti

dx2

1 , risulta: x

idtte

idxxsenx t

ln21

2

dove dttet

non è esprimibile mediante funzioni elementari.

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L’integrale non è esprimibile mediante funzioni elementari

i

eex

ixix

2cos

dxedxedxee

dxx ixixixix 2222

2

1

2

1

2cos 2

Dim. Dalle relazione di Eulero:

si ha:

dxx2cos

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A

BS

D

C

T

A

B

S

T

s

Q

P

A

BS

T

D

C

Q

P

Proiezione della finestra sul pavimento la mattina

Proiezione della finestra sul pavimento alcune ore dopo

Sovrapposizione delle proiezioni: la trasformazione sul piano del pavimento, che

muta ABCD in ABPQ, è

l’omologia

Omologia

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Analogie tra funzioni definite su figure omologicheConsideriamo la circonferenza , e l’iperbole

equilatera di equazione

[F. Casolaro – F. Eugeni – Ratio Mathematica II (1996) pag. 23-33]; [F. Casolaro – L- Cirillo – Atti congresso naz. Mathesis – Verona 1996: pag. 309-318]

122 yx

122 yx

P

122 yx

20

2cos

22

ii ee

x

Indicato con φ la misura dell’arco AP, il punto P ha coordinate:

x = cos φ y = sen φ

L’area del settore circolare OAP è data da:

σ = ½ φ∙r = ½ φ,

cioè: φ = 2 σ ∙

1a) Le coordinate di un punto P della circonferenza sono definite come funzioni del doppio dell’area del settore

circolare OAP individuato dal punto O origine degli assi, dal punto P considerato sulla circonferenza, e dal punto A

origine degli archi.

2cos

22

ii ee

x

i

eeseny

ii

2

22

21

L’area del settore iperbolico OAQ è data da:

σ = ½ α,

cioè: α = 2 σ ∙

1b) Le coordinate di un punto Q dell’iperbole equilatera sono definite come funzioni del doppio dell’area del settore iperbolico

OAQ individuato dal punto O origine degli assi, dal punto Q considerato sull’iperbole e dal punto A intersezione dell’iperbole

con l’asse delle ascisse.

Indicato con φ la misura del settore iperbolico OAQ, il punto Q ha coordinate:

x = cosh φ y = senh φ

2cos

22

ee

x2

22

eeseny

22

Trasformazioni che conservano la normaIl modulo | z | di un vettore , ovvero la norma, è:

Chiamiamo prodotto circolare (o interno) di due numeri complessi z1 e z2 di componenti rispettivamente (a1, b1) e (a2, b2) il

numero:

z1×z2 = a1b1 + a2, b2

In tale modo l’angolo di due vettori ovvero di due numeri complessi z1 e z2 ha un coseno dato da:

z

222222 babiaibaibaz 2222bazz

21

21coszz

zz

23

Trasformazioni che conservano la normaI numeri complessi di norma unitaria sono costituiti dal cosiddetto

“esponenziale complesso” o “circolare” definito ponendo

Le due Trasformazioni:

rappresentano, rispettivamente, i movimenti diretti e i movimenti inversi del piano. Infatti:

cioè:

cioè:

seniei cos

ZeZ i' ZeZ i'

yixseniZeyixZ i )(cos'''

cos)cos(' ysenxìsenyxZ

cos)cos(' ysenxìsenyxZ

yixseniZeyixZ i )(cos'''

cos'

cos'

ysenxy

ysenxx

cos'

cos'

ysenxy

ysenxx

24

Pertanto, le due trasformazioni conservano la norma, in quanto, da:

risulta:

Immediatamente si vede che, in tali trasformazioni, si conserva l’angolo tra i due vettori. Infatti, indicati rispettivamente con gli angoli formati

dai due vettori e dai loro complessi coniugati, da:

risulta:

ZZ '

21

21coszz

zz

cos)cos(' ysenxìsenyxZ

cos)cos(' ysenxìsenyxZ

212121212121 ))(( ZZyyxxyyxxZZ

ZZ

21

21'coszz

zz

'coscos

' e

21

21coszz

zz

25

L’esponenziale iperbolico

Posto , tutte le relazioni ottenute sulle funzioni circolari, le ritroviamo sulle funzioni iperboliche. Infatti, la norma del numero

iperbolico w = a+ib (con ) è data da:

che, con , rappresenta la norma del vettore unitario, in quanto verifica la relazione fondamentale delle funzioni

iperboliche:

I numeri iperbolici (o bireali) di norma unitaria sono costituiti dal cosiddetto “esponenziale bireale” o “iperbolico” definito ponendo

12 i

senhba ;cosh

12 i2222baww 2222

baww

1cos 22 seni

senhiE i cosh

26

Trasformazioni (iperboliche) che conservano la norma

Come per il caso circolare, le due trasformazioni

conservano la norma e conservano i settori iperbolici. Infatti, con passaggi analoghi a quelli fatti sulle funzioni circolari,

si ha:

da cui, si evince che:

WEW i'WEW i'

yixsenhiZEyixW i )(cosh'''

cosh'

cosh'

ysenhxy

ysenhxx

yixsenhiWEyixW i )(cosh'''

cosh)cosh(' ysenhxìsenhyxW

cosh)cosh(' ysenhxìsenhyxW

cosh'

cosh'

ysenhxy

ysenhxx

WW '

27

Prodotto interno e coseno iperbolico

In analogia al caso circolare, definiamo prodotto interno (iperbolico) di due numeri iperbolici W e W’,la grandezza:

Da: risulta:

cioè:

da cui si evince che W e W’ individuano due semirette caratterizzanti il settore iperbolico ϑ di coseno iperbolico:

Allora, la trasformazione conserva la norma iperbolica e il prodotto iperbolico.

''''',',' 2 yyxxyyixxyxyxWW

cosh'

cosh'

ysenhxy

ysenhxx

coshcoshcosh''' 2222 yxysenhxysenhxyxyyxxWW

cosh'' 22 yxyyxx

222

21

21 ',',''cosh

W

yyxx

yx

yyxx

WW

WW

WEW i'