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Modelos Probabilísticos
Definição do experimento
Definição dos resultados possíveis do
experimento
Definição de uma regra que obtenha a probabilidade de
cada resultado ocorrer.
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Espaço Amostral O conjunto de todos os possíveis
resultados do experimento é chamado de espaço amostral e é denotado pela letra
grega .
Um espaço amostral é dito discreto quando ele for finito ou infinito
enumerável; é dito contínuo quando for infinito, formado por intervalos de
números reais.
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Eventos
Chamamos de evento a qualquer subconjunto do espaço amostral:
A é um evento A
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Operações entre Eventos
A
B
A A
B
(c) complementar: A
(a) União: A B
(b) interseção: A B
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Operações entre EventosOperação Conjunto Evento
a) UniãoA B
reúne os elementos de ambos os conjuntos
ocorre quando ocorrer pelo menos um deles (A, B ou ambos)
b) InterseçãoA B
formado somente pelos elementos que estão em A e B
ocorre quando ocorrer ambos os eventos (A e B)
c)Complementar formado pelos elementos que não estão em A
ocorre quando não ocorrer o evento A (não A)
A
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Eventos Mutuamente Exclusivos
Eventos são ditos mutuamente exclusivos se e só se eles não puderem ocorrer
simultaneamente. A e B são mutuamente exclusivos A
B =
A
B
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Probabilidade de Eventos Espaços amostrais discretos equiprováveis
nn
AP A)(
sendo: n resultados igualmente prováveis, nA destes resultados pertencem a um certo
evento A
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Probabilidade de Eventos Espaços amostrais discretos
Se A = {1, 2, 3, ... }, então:
Ai
ii
PAP
:
)()(
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Propriedades P() = 0
P() = 1
Probabilidade do evento complementar
)(1)( APAP A
A
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Propriedades Regra da soma das probabilidades
)()()()( BAPBPAPBAP
A
BA B
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Probabilidade Condicional. Tipo do leite
Condição do peso B (B) C (C) UHT (U) Total
Dentro das especificações (D)
500 4500 1500 6500
Fora das especificações (F)
30 270 50 350
Total 530 4770 1550 6850
051,06850350)( FP 032,0
155050)|( UFP
Notar que: )()(
68501550
685050
155050)|(
UPUFPUFP
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Probabilidade Condicional
Sejam A e B eventos quaisquer, sendo P(B) > 0. Definimos a probabilidade condicional de A dado B por
)(
)()|(BPBAPBAP
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Probabilidade Condicional. Exemplo Seja o lançamento de 2 dados não viciados e a observação das
faces voltadas para cima. Calcule a probabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se que a soma é menor ou igual a 5.
)6,6()5,6()4,6()3,6()2,6()1,6()6,5()5,5()4,5()3,5()2,5()1,5()6,4()5,4()4,4()3,4()2,4()1,4()6,3()5,3()4,3()3,3()2,3()1,3()6,2()5,2()4,2()3,2()2,2()1,2()6,1()5,1()4,1()3,1()2,1()1,1(
Ω
E1 = faces iguais = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} eE2 = soma das faces é menor ou igual a 5 = = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2),
(4, 1)}.
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Probabilidade Condicional. Exemplo
2,0102
3610
362
)()(
)|(2
2121
EPEEP
EEP
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Regra do Produto
)()()|(
BPBAPBAP
)|()()( BAPBPBAP
)(
)()|(APBAPABP
)|()()( ABPAPBAP
ou
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Eventos Independentes Dois ou mais eventos são independentes
quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros. Nesse caso:
)()|( APBAP
A e B são independentes
)().()( BPAPBAP
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Teorema da Probabilidade Total Ilustração da formação de um lote de
peças provindas de 4 fornecedores Fornecedor:
(1) (2) (3) (4)
Grupo de peças extraídas para a formação do lotePeças não conformes
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Teorema da Probabilidade Total
E2
E1
E3E7
E4 E5 E6
F
F ∩ E5F ∩ E7F ∩ E3
F ∩ E4
)(...)()( 21 kEFEFEFF
)(...)()()](...)()[()(
21
21
k
k
EFPEFPEFPEFEFEFPFP
k
iii EFPEPFP
1
)|()()(