1. Найти значение выражения

1

Задание 2

Главы III и IV по учебнику «Алгебра и начала математического анализаанализа» 10-11 авт. Алимов, Колягин.

1. Определение и свойства степени с рациональным показателем.

2. Определение и свойств корня n-ой степени.

3. Определение и свойства логарифмов.

4. Десятичные и натуральные логарифмы.

5. Свойства показательной и логарифмической функции.

6.Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

К пункту 1, 5, 6.

Свойства степени

1. Найти значение выражения: 1 31

0 5 82)2 25 2 243 256 ,a

13

1 34)81 3 4 125 ,б

3

1 25)32 0,01 5 ,в 6

2123 2 327) 128 0,1 5 2 .г

2. Упростить выражение: 3 3 3 1

7 14 4 2

11 1 111

7 4 214

) ,a b a b

а

a ba b

41521 51 5

284 22) .б a b a b

3. Сократить дроби:

5 144 7

9 911 11

14 4

9 11

) ,x y x y

а

x y

13 56 1 14 6 5

10 45 5 9 5 9

6 11 3

5 52 2

) .

x y x y x y

б

x y x y

1. Найти значение выражения: 11 1

0 52 4)3 9 5 32 625 ,a

13

1 54)16 5 2 243 ,б 3

25 15

13 4) 7 0,1 81 ,в

156

7 2121215 32) 8 0,1 3 2 .г

2. Упростить выражение: 3 23 1

5 314 2

7 111 1

5 314 2

) ,a b a b

а

a b a b

4147 32 7

384 23) .б a b a b

3. Сократить дроби:

5 2 17 7

6 3 6 3

5 4

6 3

) ,x y x y

а

x y

3 7 1 11 6 5

10 6 5 6 5 6

7 11 3

6 62 2

) .

x y x y x y

б

x y x y

Показательные уравнения

Решите уравнения: 2 1 1

2

3

1 2

7

1)128 8 32 ,

2)81 9 1,

13) 125 625,

25

4)2 2 3 2 30,

5)10 0,0001 0.

x x

x

x

x

x x x

x

Решите уравнения: 1 1

2 2

1

2

1 2

7

1)64 4 128 ,

2)243 9 1,

13) 25 25,

625

4)3 3 2 3 58,

5)100 0,01 0.

x x

x

x

x

x x x

x

Показательные неравенства

Решите неравенства: Решите неравенства:

2

2 1 1

2

2

2

1

7

2 3

1)32 8 64 ,

12) 9 1,

243

13) 5 25,

125

1 24) 2 2 4 ,

3 3

5)0,0001. 10 100,

16) 7 343.

49

x x

x

x

x

x x

x

x

1 1

2 2

1

2

1 2

3

1 2

11) 4 128 ,

16

2)27 9 1,

13) 2 2,

32

14)3 3 12,

9

5)0,01 100 1000,

16) 2 32.

8

x x

x

x

x

x x

x

x

К пункту 2

1.Вынесите общий множитель:

1) 17 17 ; 2) 14 7 ;

3) 13 10 26 5 4) 2 6 4 2 ; 5) 40 15 .

2.Выполните действия:

1) 2

2 3 2 ; 2) 3

3 7 ; 3) 3

5 3 .

3.Упростите выражение:

1) 2

2 7 2 14 ; 2) 2

2 11 2 22 ;

3) 3 7 3 7 ; 4) 2 5 2 2 5 2 ;

5) 23

2 3 14 3 .

4.Вычислите:

1) 22 2

1111 11

; 2)

33 311

11 11

;

3) 11 11

333 3

; 4) 55 11

55 5

; 5) 28 63

75

.

1.Вынесите общий множитель:

1) 17 17 ; 2) 14 7 ;

3) 13 10 26 5 ; 4) 2 6 4 2 ; 5) 40 15 .

2.Выполните действия:

1) 2

2 3 2 ; 2) 3

3 7 ; 3) 3

5 3 .

3.Упростите выражение:

1) 2

2 7 2 14 ; 2) 2

2 7 2 14 ;

3) 3 7 3 7 ; 4) 2 5 2 2 5 2 ;

5) 23

2 3 14 3 .

4.Вычислите:

1) 22 2

1111 11

; 2)

33 311

11 11

;

3) 11 11

333 3

; 4) 55 11

55 5

; 5)

28 637

5

.

1. Вычислите:

а) 3 27 125 8 ; б) 4 425

5032

; в) 4

4 4

16

4 64;

г) 3 354 32 ; д) 6 67 5 53 4 3 4 ; е) 4

33 54 : 2 ;

ж) 73 310 2 2 123 3 13 13 .

2. Вынесите из-под корня:

а) 13 164 32a b ; б) 6 113 250x y ; в) 7 13 95 128x y z .

3. Внесите под корень:

а) 5 23a a x ; б)

7 52b b x ; в) 73 6 22bc x b x .

4. Найдите значение выражения:

а) 317 125 18 ; б) 3 0,008 27 ;

в) 065 64 0,7 ; г) 46 625 .

5. Упростите выражение и найдите его значение

при 9; 4a b :


а) 3433 416 5 4 5 ; б) 3

18 3 24 27 ; в) 4 81 125 80 ;

г) 33 4250 81 4 ; д) 8 85 12 113 2 3 16 ; е) 4

4 4

16

5 125;

ж) 4 5

5 25 3 4 .

2. Вынесите из-под корня:

а) 15 204 32a b ; б) 9 133 500x y ; в) 8 12 195 256x y z .

3. Внесите под корень:

а) 53 2 53a x a x ; б) 7 73 3x bx ; в) 72 4 5 32b c x b x .


а) 3 417 27 18 16 ; б) 3 0,027 8 ; в)

054 32 0,6 ; г) 0 46 2 625 .

5. Упростите выражение и найдите его значение

при 4; 9a b :

3

а) 2

a b

a b ab

; б) 5 16 124 432 : 2a b ab .

а) 2

a b

a b ab

; б)

5

5 11

192

6

a

a.

К пункту 3,4,5,6.


2

2) lg200 lg0,5

16) lg8 2lg 0,2

3

50,2lg1012)7 3log 221)9

7

7 7

2log 64)

log 12 log 3

2 413)log log 16

2. Вычислить:

5 3log 7 log 16)8

923)lg9 log 100

2log 7 13)2

1

21 3

1 16) log

log 3 7


3 31)log 54 log 2

18 1

18

16)2log 3 log 8

3

73log 215)7

6 6

6 6

log 3 log 54)

log 30 log 2

27 427)log log 64


3 5log 7 log 16)7

27 3

1log 12

2log 2 log 223)25 7 3

16

2

log 256)

log 5


1 25

5

19) log log 9

75

3321)log 18 log 4

5 7log 12 2log 224)5 7

7 7

7

log 12 log 314)

log 8

4 58)log log 25


1

3

30) lg9 log 0,1

4 4 47) log 32 log 14 log 7

26

6) lg300 lg15 lg20


3 4 615)log 81 log 16 log 36

49 78)log 84 log 12

5 9log 3 2log 1324)5 3

3

3 3

log 6414)

log 48 log 3

25 28)log log 32


lg7 lg16)5

5log 75) 25

3 221) log 4 log 9

5

81

log 25

log 4

29)

9

Контрольная работа №2 «Корни, степени и логарифмы»

Вариант 1

Контрольная работа №2 «Корни, степени и логарифмы»

Вариант 2

1. Вычислите: 53log 2

12 12

3 3 3 2

13341 34

5

)(log 72 log 2) 5 ,

)(log 162 log 2 log 9) log 8,

16 125) , )81 3 4 125 .

32

а

б

в г

2. Найдите область определения функции:


172log 5

5 5

6 6 3

11 1340 52 2

6

1) log 1250 log 17 ,

2

)(log 324 2log 3) log 125,

625 8) , )3 9 5 32 25 .

64

а

б

в г

2. Найдите область определения функции:

4

25 10

) lg ,3

x xа y

x

2

3) log (4 9),б y x

2 2log ( 2) log ( 2 12)) , ) .

8 8

x xв y г y

x x x

3. Представьте в виде степени:

3

1137 5 52 23 5 32) , ) , ) , ) :a a б c c в x г x x

.

4. Укажите значение выражения:

2 22

8) log , log 0,4.

) lg12, lg 2 , lg3 .

a если aa

б если a b

22

5

2 2

9 4) log , ) lg( 2 ),

3

log ( 2) log ( 2)) , ) .

12 2 2 8

xа y б y x x

x

x xв y г y

x x x

3. Представьте в виде степени:

2

1123 5 7 6117 3 52) , ) , ) , ) :a a б c c в x г x x

.

4. Укажите значение выражения:

3 35

9) log , log 0,1.

) lg6, lg 2 , lg3 .

a если aa

б если a b

Решите уравнения:

3

1

2

5 5

1) log 4 7 4;

2) log 2 10 3;

3)2 log 1 log 3;

4)3 lg 4 2lg5;

5) lg 4 7 0.

x

x

x

x

x

Решите уравнения:

5

1

3

2 2

1) log 4 10 2;

2) log 3 10 2;

3)3 log 7 log 3;

4)4 lg 5 3lg5;

5) lg 3 7 0.

x

x

x

x

x

Решите неравенства:

3

1

2

2 2

1) log 3 7 3;

2) log 3 12 2;

3) log 5 3 log 6;

4)5 lg 3 3lg5;

5) lg 5 24 0.

x

x

x

x

x

Решите неравенства:

2

1

3

5 5

1) log 2 4 5;

2) log 2 28 1;

3) log 3 4 log 7;

4)5 lg 5 3lg5;

5) lg 3 9 0.

x

x

x

x

x

Контрольная работа по теме: «Логарифмы»

Вариант 1

Контрольная работа по теме: «Логарифмы»

Вариант 2


53log 2

12 12

3 3 3 2

)(log 72 log 2) 5 ,

)(log 162 log 2 log 9) log 8.

а

б

2. Решить уравнение:

3 3

1) log (3 2) log ,

3а x ) lg(2 ) 3 2lg3,б x

2 2) log ( 7) log 5 2.в x

3. Решить неравенство:

1

3

1) log (2 5) 1,4

а x 1

) lg 25 lg lg7,2

б x


172log 5

5 5

1) log 1250 log 17 ,

2а

6 6 3)(log 324 2log 3) log 125.б

2. Решить уравнение:

7 7

1) log (3 4) log , ) lg(7 ) 2 3lg5,

7а x б x

3 3) log ( 5) log 11 1.в x

3. Решить неравенство:

1

2

1) log (2 7) 1,3

а x 1

) lg9 lg lg3,2

б x

5

2log 4) 0.

3 6

xв

x

4. Найти область определения функции: 25 10

) lg ,3

x xа y

x

2) ln(4 9).б y x

3 9

) 0.lg 2

xв

x

4. Найти область определения функции: 29 4

) ln ,3

xа y

x

2) lg( 2 ).б y x x

Задание 3

1. Производная. Таблица производных. Правила вычисления производных. Глава VIII.

2. Исследование функций с применением производной. Глава IX.

3. Первообразная и интеграл. Глава X.

1. Найдите производную:

11

32

3 6

4 6 3 5

3 4

5

9

7

3

25 27

33 6

3 2

2

) 2 4,

) 6 5 4 3 ,

) 6 1,

2 1) ,

4) 5 5 7,

) 2 2 5,

) 2 ,

) 3 ,

5) 3 8

à y x x x

á y x x x x

â y x x x

ã y x xx x

ä y x xx

å y x x x

æ y x x

ç y x x x

è y x x xx

2.Найдите значение производной: 3 4 5

7 5 4

5

) 2 3 4 9

1; 2;

) 2 3 1;

) 8 1.

а y x x x x

при x x

б y x x x при x

в y x x при x


31

54

5 6

2 4 7 2

5 2

3

3

2

4

23 4

55 10

52 3

3

) 2 3 6,

) 3 4 5 ,

) 5 9,

1 1) ,

5) 2 1,

) 7 3,

) 3 8 ,

) 3 ,

6) 5.

а y x x x

б y x x x x

в y x x x

г y x xx x

д y x xx

е y x x x

ж y x x x

з y x x x

и y x xx

2.Найдите значение производной: 3 4 5

6 7 9

7

) 3 5 2 8

1; 2;

) 2 3 1;

) 14 1.

а y x x x x

при x x

б y x x x при x

в y x x при x

1. Найдите производную и значение производной

функции при x = 1, x=-1;

1. Найдите производную и значение производной

функции при x = -1, х = 2, х = 0:

6

10 9 8

3 2

4 3

4 2

11

32

) 4 4 7 3,

) 7 6 9 1,

1 1) 3 2,

4 6

) 3 5 6 9,

) 2 6 4 5.

а y x x x x

б y x x x

в y x x x

г y x x x

д y x x x

2. Найдите производную функции:

23 4 1) ,

2 3

x xа y

x

3 2

3 2

2

) 4 2 3 1 ,

1) 4.

2

б y x x x

xв y x

x

3. Найти значения х, при которых производная функции

равна нулю:

2) 2 5 6,а y x x 21 1) 4.

3 6б y x x

4. Найти значения х, при которых производная

функции положительна:

2) 5 7 5,а y x x ) 3 5.б y x

6 5 4

3 2

10 2

3 2

11

72

) 5 7 8 4,

) 5 9 5 3,

1 1) 6 2,

5 4

) 8 5 8 6,

) 4 14 5 5.

а y x x x x

б y x x x

в y x x x

г y x x x

д y x x x

2. Найдите производную функции:

24 3 4) ,

5

x xа y

x

2 3

5 2

3

) 6 4 3 5 ,

1) 3.

3

б y x x x

xв y x

x

3. Найти значения х, при которых производная функции

равна нулю:

2) 3 7 9,а y x x 21 1) 6.

6 9б y x x

4. Найти значения х, при которых производная

функции отрицательна:

2) 7 6 5,а y x x ) 9 5.б y x


5

7

2

31) ( ) ;

10 4

3 3ln2) ( ) ;

7

23) ( ) .

1

x

x xf x

xf x

x

ef x

x


3

2

3 2

2 4

1) ( ) ;

2) ( ) ln ;

3) ( ) 3 .

x

x

ef x

x

f x x x

f x e x

3. Найдите значение производной функции: 9 103 4 5 6 1y x x x при x .

4. При каких значениях x значение производной

функции 3125 4

3y x x равно нулю?

5. При каких значениях x производная функции

4 3164 7

3y x x положительна?


6

4

3

31) ( ) ;

3 8

8 3ln2) ( ) ;

4

3) ( ) 3 .x

x xf x

xf x

x

f x e x


3

33 2

2 2

21) ( ) ;

2) ( ) ln 2 ;

3) ( ) 16 4 .

x

x

ef x

x

f x x x

f x e x

3. Найдите значение производной функции: 4 33 15 5 1y x x x при x .

4. При каких значениях x значение производной

функции 313 2

4y x x равно нулю?

5. При каких значениях x производная функции

4 3205 6

3y x x отрицательна?

7

Контрольная работа «Производная»

Вариант 1 Контрольная работа «Производная»

Вариант 2

1. Найти производную функции и еѐ значение: 13 6 4

10 6 12

2

23

) 7 4 15 9 3, 0;

) 4 5 7 13, 1;

1 1) 7 8 4 5 1;

) 14 2 , 49;

) 24 5 2 43, 8.

à ó x x x x ï ðè x

á ó x x x x ï ðè x

â ó x ï ðè xx x

ã ó x x ï ðè x

ä y x x x ï ðè x

2. Дана функция: 3 22 11

21 53 2

y x x x .

Найти промежутки монотонности.

3. Найти точки экстремума функции32 6 7y x x .

4. Тело движется по прямой, расстояние изменяется по

закону 23 48 340S t t t :

а) найти скорость тела через 5 секунд после начала

движения;

б) через сколько секунд после начала движения тело

остановится?

5. Найти точки графика функции 25 3 7y x x , в

которых угловой коэффициент касательной к нему равен 7.

6. Найти точки графика функции 3 26 15 9y x x x , в

которых касательные к нему параллельны оси абсцисс.

7. Найти наибольшее значение функции 25 10 7y x x

на отрезке 0;4 .

1. Найти производную функции и еѐ значение: 15 8 3

14 8 15

2

23

) 9 5 19 5 8, 0;

) 4 5 7 3, 1;

1 1) 9 11 4 7 1;

) 9 12 , 81;

) 25 43, 125.

à ó x x x x ï ðè x

á ó x x x x ï ðè x

â ó x ï ðè xx x

ã ó x x ï ðè x

ä y x x x ï ðè x

2. Дана функция: 3 22 15

25 83 2

y x x x .

Найти промежутки монотонности.

3. Найти точки экстремума функции 37 21 4y x x .

4. Тело движется по прямой, расстояние изменяется по

закону 25 50 200S t t t :

а) найти скорость тела через 5 секунд после начала

движения;

б) через сколько секунд после начала движения тело

остановится?

5. Найти точки графика функции 27 4 17y x x , в

которых угловой коэффициент касательной к нему равен 10.

6. Найти точки графика функции 3 26 9 5y x x x , в

которых касательные к нему параллельны оси абсцисс.

7. Найти наибольшее значение функции 22 12 7y x x

на отрезке 0;4 .

1. Функция y=f(x) задана своим графиком (см. рис.). Укажите: а) область определения функции;

1. Функция y=f(x) задана своим графиком (см. рис.). Укажите: а) область определения функции;

8

б) при каких значениях 0x f x ;

в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) координаты точек графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс; д) наибольшее и наименьшее значения функции.

б) при каких значениях 0x f x ;

в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции; г) координаты точек графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс; д) наибольшее и наименьшее значения функции.

1. Построить график непрерывной функции,

зная,что: a) область определения функции составляет

промежуток 4;6 ;

b) область значений функции составляет


c) производная функции положительна на

промежутках 4; 1 ; 2;6 и отрицательна на

промежутке 1;2 ;

d) наибольшего значения функция достигает в правом конце области определения;

e) нули функции 0; 4; f) производная функции равна нулю только при

2x .

1. Построить график непрерывной функции, зная, что:

a) область определения функции составляет


b) область значений функции составляет


c) производная функции положительна на

промежутке 2;2 и отрицательна на

промежутках 2;3 ; 3;8 ;

d) наименьшего значения функция достигает в левом конце области определения;

e) нуль функции -1; f) производная функции равна нулю только при

3x .

Самостоятельная работа по теме: «Первообразная» Вариант 1

Самостоятельная работа по теме: «Первообразная» Вариант 2

1.Найти все первообразные функции: 10 9 8

3 2

4 3

4 2

3

) 4 4 7 3,

) 7 6 9 1,

1 1) 3 2,

4 6

) 3 5 6 9,

) 2 6 4 5.

à y x x x x

á y x x x

â y x x x

ã y x x x

ä y x x x

2.Найдите первообразную функции

26 4 2f x x x , значение которой при 2x

равно 10.

1.Найти все первообразные функции:

6 5 4

3 2

10 2

3 2

3

) 5 7 8 4,

9) 5 5 3,

2

1) 9 6 2,

5

) 8 5 8 6,

) 4 14 5 5.

à y x x x x

á y x x x

â y x x x

ã y x x x

ä y x x x

2.Найдите первообразную функции

9

3. Найдите первообразную функции

52 3f x x , значение которой при 1x

положительно.

3 48 1

3f x x x , значение которой при 2x

равно 10. 3.Найдите первообразную функции

29 6 3f x x x , значение которой при 1x

отрицательно.

1. Найти значение выражения

Documents