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Neuer Abschnitt:Modellierung des

Raumes

Bisher: Modellierung von

Objekten

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Räume (I)

• Nach I. Kant ist der Raum eine grundlegende Form unserer Anschauung

• anders ausgedrückt: eine bestimmte Weise, wie wir unsere Wahrnehmung organisieren

• die Vorstellung von Raum geht somit der Erfahrung (Messung) voraus

• eine Messung ist die Bestimmung einer Invariante• ohne das Konzept einer Invariante wäre die strafrechtliche

Verfolgung von Geschwindigkeitsübertretungen nicht zu vertreten• Geschwindigkeit Invariante gegenüber

• Tachometer• Radarmessung der Polizei

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Räume (II)• Interessanterweise gibt es nicht einen, sondern mehrere

Räume• abhängig von der Fragestellung• 4 große Bereiche

• Betrachungen auf der Erdoberfläche• Geometrie auf dem Ellipsoid (geodätisches Rechnen)

• Abbildung der Erdoberfläche auf die Ebene (Karte)• Netzentwürfe, Kartographie

• Abbildungen im Raum und in der Ebene• euklidische Geometrie, lineare Algebra

• Projektion auf das Bild• Verzerrende Abbildungen, Topologie

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Projektivität

Affinität

Ähnlichkeit

Translation Rotation

Bewegung

Invarianten

Geradentreue

Parallelentreue

Winkeltreue

Abstandstreue

Koordinaten-differenzen

Richtungswinkel-differenzen

Operationen

Rotation r (um 0)Verschiebung t

Zoom + r + t

r + t

... + Parallelenkonvergenz

... + Scherung

Abbildungen

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Topologische Räume

• In der Praxis sinnvolle Transformationen, die • alle „geometrischen“ Invarianten verletzen können• trotzdem „strukturelle“ räumliche Eigenschaften erhalten

• Paradigma: elastische Verformung• Metapher: Gummihauttransformation• anderes Beispiel: Tätowierung

• (kartographisches) Beispiel:• Übersichtskarte Hamburg (aus einem Tourenplaner)• Liniennetzplan des Hamburger Verkehrsverbundes

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Übersichtskarte Hamburg und Umgebung

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Schnellbahnen Hamburg undUmgebung

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ElastischeVerformung

Ausgangs-punkt

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Topologische Invarianten (Beispiele)• Ein Knoten ist Endpunkt einer

Kante• Zwei Kanten kreuzen sich /

sind kreuzungsfrei• Ein Punkt liegt im Inneren einer

Fläche• Ein Punkt liegt auf dem Rand

einer Fläche• Eine Fläche hat ein Loch• Eine Fläche ist

zusammenängend / nicht zusammenhängend

• Zwei Flächen sind benachbart

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Nicht-topologische Eigenschaften

• Abstand• Fläche• Winkel• Umfang• Durchmesser

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Mathematik

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Punktmengentopologie

• Ausgangspunkt: Eine Menge S und die Menge aller Teilmengen von S (die Potenzmenge P(S) )

• Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge S und einer Menge von Teilmengen von S (nicht notwendig aller), den Nachbarschaften. Dabei gilt:T1: Jeder Punkt x S liegt in einer Nachbarschaft von S.T2: Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eine Punktes

x S enthält eine Nachbarschaft von x.

Nachbarschaft Punkt

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Beispiele

• Die offene Kreisscheibe in der euklidischen Ebene• Menge aller Punkte, die durch

einen Kreis begrenzt werden, aber nichtauf demselben liegen

• punktierte Linie: offen• durchgezogene Linie: geschlossen

• Beachte: T2 ist erfüllt• Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften

eines x S enthält eine Nachbarschaft von x.

OffeneKreisscheibe

Punkt

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Weitere ( teilweise „pathologische“) Beispiele

• Die diskrete Topologie von S:• S und die Menge aller Teilmengen von S• die kleinste Nachbarschaft von x ist {x}

(„Einzimmerappartment“, daher der Name „diskret“)• Die indiskrete Topologie

• S selbst ist die einzige Nachbarschaft von S

• die offenen Intervalle (a,b) in der Menge S der reellen Zahlen als Nachbarschaften (S = R)

• die offenen Kugeln in S = R3

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Die „Fahrtzeittopologie“

• Gegeben sei ein Gebiet, das durch ein Verkehrsnetz erschlossen ist. S sei die Menge aller Punkte des Gebiets.

• Sei (x,y) die Fahrtzeit auf der kürzesten Verbindung zwischen x und y.

• Annahme Für alle x, y S gilt: (x,y) = (y,x) • Symmetrie, keine Einbahnstraßen

• t-Zone: die Menge aller Punkte, die in weniger als t Minuten erreichbar ist.

• S mit der Menge aller t-Zonen ist eine Topologie.

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Die 1-Stunden-Zone um Liége

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Jetzt kommen einige auf den ersten Blick

recht abstrakte Definitionen

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Zielbegriff:Der Rand oder die Grenze

Teilziel:Offene und

geschlossene Flächen

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Nähe, Offen + Geschlossen

Im folgenden stets: S sei ein topologischer Raum, X S, x Sx ist nahe an X, falls jede Nachbarschaft von x einen Punkt von X enthält. X ist offen, wenn jeder Punkt y X eine Nachbarschaft hat, die ganz in X ist.X ist geschlossen, wenn X alle nahen Punkte enthält.

C = {(x,y) | x2 + y2 < 1} sei die offene Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius 1.

nahe

Nicht nahe

offen

geschlossen

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Der Rand oder die Grenze

Der Abschluß einer Teilmenge X S ist die Vereinigung von X mit allen nahen Punkten.Notation: X¯Komplement: X‘Das Innere von X ist die Menge aller Punkte von X, die nicht zugleich nahe Punkte von X‘ sind. Notation: X°

Die Grenze (oder der Rand) von X ist die Menge aller Punkte, die nahe zu X und zugleich zu X‘ sind.Notation: X

Es gilt: X = X¯ \ X° (mengentheor. Diff.)

Der „Rand“ einer offenen Kreisscheibe ist der Kreis (wie zu erwarten)

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Beispiele

Die Menge S Das Innere von S

Abschluß von S Rand von S

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Zusammenhang

Ein Punktmenge X heißt zusammenhängend, wenn für jede Partition (disjunkte Zerlegung) in nichtleere Teilmengen A und B gilt: Entweder enthält A einen Punkt nahe an B oder umgekehrt.

nicht zusammenängend

zusammenhängend

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Diskret und indiskret

Übung 1: Zeigen Sie: In der diskreten Topologie ist jede nichtleere Menge gleichzeitig offen und geschlossen.

Übung 2:Zeigen Sie:In der indiskreten Topologie ist jede nichtleere Menge weder offen noch geschlossen.

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Topologische Eigenschaften

Eine topologische Transfor-mation (Homeomorphismus) oder eine elastische Verformung bildet Nachbar-schaften auf Nachbarschaften ab.

Ferner ist jede Nachbarschaft Bild eine Nachbarschaft.

Topologische Eigenschaften sind die Invarianten topologischer Abbildungen.

Euklidische Topologie äquivalent

nicht äquivalent