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加法原理與乘法原理 重點一
10-1 排列
1. 加法原理:
完成某件事,有 k 種不同的方式,又方式 1 有 m1 種方法,方式 2 有 m2 種方法,…,
方式 k 有 mk 種方法,且這 k 類中任兩類不同時發生,則完成此事有(m1 + m2 + … +
mk)種方法。
2. 乘法原理:
完成某件事,有 k 種不同的步驟,又步驟 1 有 m1 種方法,步驟 2 有 m2 種方法,…,
步驟 k 有 mk 種方法,則完成此事有(m1 × m2 × … × mk)種方法。
3. 樹狀圖:用來列舉事件所有可能發生的情形。
4. 塗色問題:
(1) 鄰居最多者優先塗色,次多者第二塗色,依此類推。若有兩個區域的鄰居一樣
多,則任選其中一個先塗,再塗另一個。 (2)
這一類的題目,因無法確定 A、C 兩區是同色或異色,故需分別討論。
員生社架上的飲料有果汁類 4 種,茶類 5 種,
汽水類 3 種, (1)若只買一瓶,有幾種選法? (2)若三類飲料各買一瓶,有幾種選法?
(1) 4 + 5 + 3 = 12,共 12 種選法
(2) 4 × 5 × 3 = 60,共 60 種選法
鞋架上有 5 款 NIKE,3 款 Adidas 及 2 款
Reebok 球鞋, (1)若只買一雙,有幾種選法? (2)若三種品牌各買一雙,有幾種選法?
(1) 5 + 3 + 2 = 10,共 10 種選法
(2) 5 × 3 × 2 = 30,共 30 種選法
1 1加法原理、乘法原理 100
排列與組合
176
數學 B 總複習 EZ GO
小鋒從宜蘭到台北,搭客運有 3 種選擇,搭
火車有 5 種選擇;從台北到澎湖則有 4 種航
空公司可以選擇,試問:小鋒搭大眾交通工
具由宜蘭經過台北,再到澎湖,有幾種搭乘
方法?
(3 + 5) × 4 = 32(種)
仁愛醫院有牙醫師 3 人,內科醫生 8 人,外
科醫生 4 人。若牙科派 1 人,內、外科加總
只需派 1 人到山區義診,則有幾種安排方
法?
3 × (8 + 4) = 36(種)
試求(a + b)(x + y + z)展開式共有多少不同的
項?
樹狀圖:
共有 2 × 3 = 6 項
試求(2a + b + 3c)(x + 5)(y + 1)展開式共有多
少不同的項?
共有 3 × 2 × 2 = 12 項
(1) 252 的正因數有多少個?
(2)承(1),其中 14 的倍數有幾個?
252 = 22 × 32 × 71
(1)∵252 的正因數可寫成 2a × 3b × 7c
其中 a = 0、1、2
b = 0、1、2
c = 0、1
故 252 的正因數有 3 × 3 × 2 = 18(個)
(2)設 2a × 3b × 7c 為 252 的正因數,
又所求為 14 = 2 × 7 的倍數,則
a = 1、2;b = 0、1、2;c = 1
故共有 2 × 3 × 1 = 6(個)
(1) 360 的正因數有多少個?
(2)承(1),其中 15 的倍數有幾個?
360 = 23 × 32 × 51
(1)∵360 的正因數可寫成 2a × 3b × 5c
其中 a = 0、1、2、3
b = 0、1、2
c = 0、1
故 360 的正因數有 4 × 3 × 2 = 24(個)
(2)設 2a × 3b × 5c 為 360 的正因數,
又所求為 15 = 3 × 5 的倍數,則
a = 0、1、2、3;b = 1、2;c = 1
故共有 4 × 2 × 1 = 8(個)
4 4因數個數 乘法原理 103
3 3項數 乘法原理
2 2加法原理搭配乘法原理 105
10
Chapter 10 排列與組合 177
直線排列 重點二
以 5 種不同顏色塗下圖 4 個區域,顏色可重
複,但相鄰區域不得同色,則塗法有多少種?
A 與 C 的鄰居最多,任選一個先塗
A→C→B→D
5 × 4 × 3 × 3 = 180(種)
以 4 種不同顏色塗下圖 5 個區域,顏色可重
複,但相鄰區域不得同色,則塗法有多少種?
A 的鄰居最多,故由 A 區先塗
A→C→D→E→B
4 × 3 × 2 × 2 × 2 = 96(種)
1. 階乘:
(1) 若 n 為正整數,規定 n! = n × (n − 1) × (n – 2) × … × 1,稱為 n 階乘。
(2) 規定 0! = 1
2. 相異物的排列:
(1) 從 n 個相異物中,任取 m 個(m ≤ n)排成一列的方法數,以符號 nmP 表示。
! ( 1) ( 2) ( 1)( )!
nm
m
nP n n n n mn m
= = × − × − × × − +−
共 個
例如:(1) 52
5! 5!(5 2)! 3!
P = =−
= 5 × 4 (2) 83
8! 8!(8 3)! 5!
P = =−
= 8 × 7 × 6
(2) nnP = n!(全取排列)
(3) 1nP = n; 0
nP = 1
3. 限制位置的排列原則:
(1) 有限制位置者,優先排列。
(2) 相鄰 必綁
說明:先將必相鄰物綁在一起,視為一體與其他物排列,最後再考慮相鄰物之
間的排列。
(3) 不相鄰 插空法
說明:先忽略「不相鄰」物,排其他物,再將「不相鄰」物插空排列。
(4) 倒扣法:若直接計算較複雜時,可用此法。例如:不排尾 = 全部 − 排尾
5 5相鄰同色 乘法原理
178
數學 B 總複習 EZ GO
設 2nP = 72,則 n =?
2nP = n × (n − 1) = 72
n = 9
設 3 28n nP P= × ,則 n =?
n × (n – 1) × (n − 2) = 8 × n × (n − 1)
n – 2 = 8
n = 10
將甲、乙、丙、丁四人排成一列,試求下列
的排列數:
(1)四人任意排列
(2)甲排首位
(3)乙不排末位
(1) 44P = 4! = 24(種)
(2)甲□□□
先排甲,再排其他三人 1 × 3! = 6(種)
(3)乙不排末位 = 全部排列 − 乙排末
= 4! – 1 × 3! = 18(種)
將甲、乙、…等六人排成一列,試求下列的
排列數:
(1)甲排首位且乙排末位
(2)甲排首位且乙不排末位
(1)甲□□□□乙
先排甲、乙,再排其他四人
1 × 1 × 4! = 24(種)
(2)甲排首且乙不排末
= 甲排首 − 甲排首且乙排末
= 5! − 4! = 96(種)
三男兩女排成一列:
(1)若男生之間不排女生,共有多少種排法?
(2)男生互不相鄰,排法有幾種?
(1)
三個男生視為一體與兩個女生排列:3!
三個男生可互換位置:3!
∴排法有 3! × 3! = 36(種)
(2) □ 女 □ 女 □
先排兩個女生 2! 三個男生再插入間隔 3
3P
∴排法有 2! × 33P = 12(種)
甲、乙、丙、…等六人排成一列
(1)若甲、乙兩人必相鄰,則排法有幾種?
(2)若甲、乙不相鄰,則排法有幾種?
(1)
甲、乙視為一體與其他四人排列:5!
甲、乙互換位置 2!
∴5! × 2! = 240(種)
(2) □ 丙 □ 丁 □ 戊 □ 己 □
先排甲、乙以外的四人 4! 甲、乙兩人再插入間隔 5
2P
∴4! × 52P = 480(種)
8 8相鄰 必綁;不相鄰 插空法
7 7有限制 先排
6 6( ) ( )1 1= × − × × − +nmP n n n m
10
Chapter 10 排列與組合 179
自 1、2、3、4、5 中任選三個數字,排成三
位數,數字不可重複,則:
(1)可得幾個不同的數字?
(2)可得幾個不同的奇數?
(1) 53P = 5 × 4 × 3 = 60(個)
(2)個位數必為奇數
3 × 4
2P = 36(個)
自 3、4、5、6、7、8 中任選四個數字,排成
四位數,數字不可重複,則:
(1)可得幾個不同的數字?
(2)可得幾個不同的偶數?
(1) 64P = 6 × 5 × 4 × 3 = 360(個)
(2)個位數必為偶數
3 × 53P = 180(個)
自 0、1、2、3、4、5 中任選三個數字,排
成三位數,數字不可重複,則:
(1)可得幾個不同的三位數?
(2)可得幾個不同的奇數?
(3)可得幾個不同的偶數?
(1) 0 不可排首 5 × 5 × 4 = 100(個)
(2)個位數必為奇數,且首位不為 0
(3)【解法一】個位數必為偶數或 0 個位數為 0
□□0 5 × 4 × 1 = 20 個位數為 2 或 4
□□□ 4 × 4 × 2 = 32 ∴有 20 + 32 = 52(個)
【解法二】 全部 − 奇數 = 偶數 100 – 48 = 52(個)
自 0、1、2、3、4、5、6 中任選四個數字,
排成四位數,數字不可重覆,則:
(1)可得幾個不同的四位數?
(2)可得幾個不同的偶數?
(1) 0 不可排首 6 × 6 × 5 × 4 = 720(個)
(2)個位數必為偶數或 0
個位數為 0
□□□0 6 × 5 × 4 × 1 = 120
個位數為 2 或 4 或 6
□□□□ 5 × 5 × 4 × 3 = 300
∴有 120 + 300 = 420(個)
10 10數字題型:含 0,0 不可排首
9 9數字題型:不含 0 105
180
數學 B 總複習 EZ GO
不盡相異物的排列 重點三
設 n 個物品,可分為 k 類。第 1 類有 m1 個相同物,第 2 類有 m2 個相同物,…,第
k 類有 mk 個相同物,且 m1 + m2 + … + mk = n,則此 n 個物品全取的排列數為
1 2
!! ! !× × × k
nm m m
。
將"mhchcm"這些英文字母任意排列,問共有
幾種不同的排列方法?
(A)90 (B)60 (C)45 (D)30。【101 統測 B】
6!2!2!2!
= 90(種)
由 2、2、3、3、4、4、4 這七個數字排成一
列,則共可排成多少個不同的七位數?
(A)140 (B)210 (C)350 (D)420。
【106 統測 A】
7! 2102!2!3!
個
將「yamaha」六個字,作直線排列,試求下
列排列數:
(1)三個「a」必相鄰 (2)三個「a」全不相鄰
(1)
將三個「a」視為一體與 y、m、h 排列,
排法有 4! = 24(種)
(2) □ y □ m □ h □
將排「y、m、h」:3!
再將三個「a」插入間隔:4
3
3!P
∴共有 3! ×4
3
3!P
= 24(種)
將「來童玩玩童玩」六個字,作直線排列,
試求下列排列數:
(1)兩個「童」字必相鄰 (2)兩個「童」字必
分開
(1)
將兩個「童」視為一體再與其他字排,其
中有三個相同的字「玩」,故排法有 5!3!
= 20(種)
(2) □來□玩□玩□玩□
先排「來、玩、玩、玩」:4!3!
再將兩個「童」插入間隔:5
2
2!P
∴共有5
24!3! 2!
P× = 40(種)
12 12有限制的不盡相異物排列
11 11不盡相異物的排列 101、107
10
Chapter 10 排列與組合 181
可重複的直線排列 重點四
如圖所示,試求下列的方法數:
(1)由 A 點走捷徑到 B 點
(2)由 A 點走捷徑到 B 點,且必經過 C 點
(1)每一種走法,對應到一種
→ → →↑↑↑↑的排列,
故走法有:(3 4)!
3!4!+ = 35(種)
(2)經過 C 點的走法 (1 2)! (2 2)!
2! 2!2!+ +× = 18(種)
如圖所示,試求下列的方法數:
(1)由 A 點走捷徑到 B 點
(2)由 A 點走捷徑到 B 點,但不經過 C 點
(1)每一種走法,對應到一種
→ → → → →↑↑↑的排列,
故走法有:(5 3)!
5!3!+ = 56(種)
(2)經過 C 點的走法 (2 2)! (3 1)!
2!2! 3!1!+ +× = 24(種)
不經過 C = 全部 − 經過 C
= 56 − 24 = 32 (種)
1. 定義:從 n 類不同物中(每類至少含 m 個),任取 m 個排成一列,且每類物件可重
複選取,稱為由 n 中取 m 的重複排列,其排列數為 nm。
2. 解法:
nm = (可重複者)不可重複者 = (重)不重
將 6 件不同玩具,任意分給甲、乙、丙三人,
試求下列方法數:
(1)任意分(玩具要分完)
(2)甲至少得一件
(1)每件玩具任意分給甲、乙、丙三人,
分法有 3 種,故 6 件玩具的分法有
3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729(種)
(2)甲至少得一件
= (任意分) – (甲都沒分到)
= 36 – 26 = 665(種)
將 5 封信不同的分別投入 A、B 兩個郵筒,
試求下列方法數:
(1)任意投
(2)A 郵筒至少得一封信
(1)每封信任意投入 A、B 兩郵筒,
投法有 2 種,故 5 封信的投法有
2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 = 32(種)
(2)A 郵筒至少得一封信
= 任意投 − A 郵筒沒得信
= 25 − 15 = 32 – 1 = 31(種)
14 14重複排列(1) 104
13 13走捷徑 不盡相異物的排列
182
數學 B 總複習 EZ GO
環狀排列與項圈排列 重點五
有渡船兩艘,每艘最多可載 5 人,試依下列
條件求出安全搭船的方法數:
(1)5 人同時搭船 (2)6 人同時搭船
(1) 25 = 32(種)
(2)安全搭船
= (任意搭船) − (6 人同船)
= 26 − 2
= 62(種)
有湯屋 3 間,每間最多可容納 4 人。今有 5
人要泡溫泉,試問有幾種安排方式?
每間人數不超過 4 人的安排法
= (任意安排) − (五人同在一間)
= 35 – 3
= 240(種)
1. 環狀排列:不同物品沿一圓周排列,只考慮相對位置,不考慮實際位置,稱為「環
狀排列」。
2. 環狀排列解法:
(1) n 個不同物品,全取作環狀排列,方法數為!=
nnP nn n
= (n − 1)!。
(2) 從 n 個不同物品,任取 m 個作環狀排列,方法數為n
mPm
。
環狀排列數=直線排列數
參與環排的個數
(3) 環狀排列中,先入座者為環排,其餘的視為直線排列排入。
3. 項圈排列:
將一環狀排列翻轉,可得另一方向的環狀排列,此兩種環排即是同一種項圈排列。
4. 項圈排列解法:
項圈排列數=2
環狀排列數
15 15重複排列(2)
10
Chapter 10 排列與組合 183
自 6 人中選 4 人圍圓桌而坐,方法有幾種?
6
4 6 5 4 34 4
P = 90(種)
自 5 人中選 3 人圍成一圈玩遊戲,方法有幾
種?
5
3 5 4 33 3
P = 20(種)
三男三女圍一圓桌而坐,試求:
(1)任意圍坐有幾種坐法?
(2)同性必相鄰有幾種坐法?
(3)同性不相鄰有幾種坐法?
(1) 6!6
= 120(種)
(2)三男視為一體,三女視為一體,
視為二個單位的環排:2!2
又三男與三女均可互換
座位:3! × 3!
∴共有2!2
× 3! × 3! = 36(種)
(3)三女先作環排,男生再排入間隔
33
3!3
P× = 12(種)
主人夫婦與三對客人夫婦圍一圓桌而坐,試求:
(1)每對夫婦均相鄰有幾種坐法?
(2)主人夫婦相對而坐有幾種坐法?
設 A、B、C、D 為四位先生,
a、b、c、d 分別為其太太
(1)夫婦相鄰而坐
44! 24
×夫婦互換位置
= 96(種)
(2)主人夫婦 A、a 先入坐兩端,
其他六人再入坐
66
2!2
P× = 720(種)
將七顆不同顏色的珠子,任選五顆串成項
鍊,有幾種串法?
項圈排列=環狀排列× 12
=7
5 15 2
P× = 252(種)
將六顆不同顏色的珍珠串成項鍊,有幾種串
法?
項圈排列=環狀排列× 12
=6
6 16 2
P× = 60(種)
18 18項圈排列
17 17有限制的環狀排列
16 16環狀排列
184
數學 B 總複習 EZ GO
1. DVD 架上有恐怖類、愛情類、科幻類,搞笑類四類影片,其中恐怖類有 5 片,愛
情類有 3 片、科幻類有 2 片,搞笑類有 4 片。
(1)只選一部影片,有 14 種選法。
(2)從四類影片中各選一部,有 120 種選法。
2. 阿信有襯衫 3 件、POLO 衫 4 件,褲子 5 條,若穿法為襯衫搭配褲子或 POLO 衫搭
配褲子則有 35 種搭配方式。
3. 25 × 32 × 71 的正因數有 36 個。
4. 若 10 × 2 3n nP P= ,則 n = 12 。
5. 甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成一列,試根據以下條件計算排法:
(1)甲、乙、丙完全相鄰,有 36 種排法。
(2)甲、乙、丙不完全相鄰,有 84 種排法。
(3)甲、乙、丙完全不相鄰,有 12 種排法。
(4)乙最高,一定要當排頭,有 24 種排法。
(5)甲最內向,所以不排排頭,有 96 種排法。
6. 由 0,1,2,5 四個數字中,數字不可重複,任選三個數字,排成三位數,則:
(1)共有 18 個不同的數字。
(2)共有 8 個不同的奇數。
7. 若手機 PIN 卡的號碼有 4 碼,為 0,1,2,…,9 的任意數,則有 104 組不
同的號碼。
8. 將 3 枝相同的藍筆,4 枝相同的紅筆,全部分給 7 個學生,每人至多得 1 樣,有
35 種分法。
9. 盒內有大小相同的積木 5 個,其中紅色占 3 個,白色與藍色各占 1 個,現在將 5 個
積木堆疊起來,試依下列方式,計算堆疊的方法數:
(1)任意堆疊,有 20 種方式。
(2)三個紅色積木完全相鄰,有 6 種方式。
(3)三個紅色積木完全不相鄰,有 2 種方式。
(4)三個紅色積木不完全相鄰,有 14 種方式。
10
Chapter 10 排列與組合 185
10. 有一街道圖如圖,試求下列的方法數:
(1)由 A 走捷徑至 B,走法有 35 種。
(2)由 A 走捷徑至 B,不經 C,走法有 23 種。
11. A、B、C、D、E、F、G 共 7 人圍一圓桌而坐,試問下列方法數:
(1)任意坐有 720 種。
(2)A、B、C、D 要相鄰有 144 種。
(3)A、B、C 三人要分開坐有 144 種。
(4)G 不要坐在 A 的旁邊,有 480 種。
12. 有八顆不同顏色的寶石,若取出六顆串成項鍊,有 1680 種串法。
( A )1. 某人想在自家後院牆邊的長條空地種植一列菜苗,共有高麗菜 5 株,萵苣 4 株,
菠菜 4 株。若他決定在每兩株高麗菜之間任意種植萵苣或菠菜共兩株,則種植的
排列方法有幾種? (A) 8!4!4!
(B) 82 (C) 13!4!4!5!
(D) 5!4!4!。 【107 統測 B】
( B )2. 將繞口令「四十個十四 十四個四十」中的文字全取排成一列,且其中四個「十」
須相鄰排在一起,其排法有幾種? (A)70 (B)105 (C)135 (D)210。
【106 統測 C】
( D )3. 有一樂團計畫至甲、乙兩國巡迴表演。甲國有三個城市要去表演,乙國有四個城
市要去表演。若先完成甲國的演出之後,再到乙國完成演出,則巡迴路線的規劃
有多少種可能? (A)7 (B)12 (C)36 (D)144。 【105 統測 B】
( B )4. 從 1,3,5,7,9 中選出三個相異數字以形成一個三位數,則所有可能形成的三位數的
個數為何? (A)20 (B)60 (C)90 (D)120。 【105 統測 B】
( D )5. 甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一列。若甲、乙、丙三人相鄰,且丙介於甲、
乙之間,則此六人共有多少種排法? (A)42 (B)44 (C)46 (D)48。
【104 統測 A】
( D )6. 甲、乙、丙三人至速食店用餐。若該速食店僅提供三種套餐,且甲、乙、丙每人
皆點一套餐,則此三人會有多少種點餐方式? (A)6 (B)9 (C)18 (D)27。
【104 統測 B】
( C )7. 若數字不可重複,則以 1、2、3、4 所組成的 4 位數中大於 2000 者共有幾個?
(A)6 (B)12 (C)18 (D)24。 【103 統測 A】
186
數學 B 總複習 EZ GO
不可重複的組合 重點一
( B )8. 求正整數 a = 25.37.511 的所有正因數中,8 的倍數有幾個? (A)576 (B)288
(C)144 (D)96。 【103 統測 B】
( B )9. 設 nmP 表示從 n 個不同的事物中,任選 m 個排成一列的排列方法,若 2
3nP = 20 × 2
nP ,
求自然數 n =? (A)2 (B)3 (C)4 (D)5。 【102 統測 A】
( B )10. 求 102 到 2013 之間,個位數字為 7 的正整數共有幾個? (A)190 (B)191 (C)192
(D)193。 【102 統測 C】
( A )11. 從 0、1、3、7、8、9 六個數字中取三個數字(數字不可重複)排成三位數的奇數,
則方法有幾種? (A)64 (B)80 (C)100 (D)120。 【101 統測 A】
( C )12. 將 0、0、2、2、9、9、9、9 八個數字全取,排成一列,可得幾個不同的八位數?
(A)155 (B)210 (C)315 (D)420。 【101 統測 C】
( C )13. 設書架上分別有不同的中文書 2 本、日文書 1 本、英文書 1 本,現將 4 本書排成
一列,但 2 本中文書必須相鄰,共有多少種不同排法? (A)4 (B)8 (C)12
(D)24。 【100 統測 A】
( C )14. 甲、乙兩人到速食店購買漢堡。若有四種漢堡可供選擇,且兩人各購買一種,則
兩人購買不同漢堡的可能情形有多少種? (A)4 (B)8 (C)12 (D)16。
【100 統測 B】
10-2 組合
1. 自 n 件相異物中,每次取 m 件(不重複),其方法數記作 nmC ,稱為 n 中取 m 的組合
數,其中 0 ≤ m ≤ n。
2. !! ( )! !
= =−
nn mm
P nCm n m m
(0 ≤ m ≤ n)
3. 性質:
(1) −=n nm n mC C (例: 6 6
2 4C C= , 10 107 3C C= )
(2) nnC = 1 (全取視為一種組合)
(3) 0nC = 1 (不取亦視為一種組合)
10
Chapter 10 排列與組合 187
試求下列各式之值: (1) 9
2C (2) 130C (3) 50
49C
(1) 92
9 82 1
C
= 36
(2) 130C = 1
(3) 50 5049 1C C = 50
試求下列各試之值: (1) 12
3C (2) 1010C (3) 20
18C
(1) 123
12 11 103 2 1
C
= 220
(2) 1010C = 1
(3) 20 2018 2
20 192 1
C C
= 190
若 n 為自然數,且 19 191 2n nC C+ = ,試求 n 之值。
n + 1 = 2n 或(n + 1) + 2n = 19
n = 1 或 n = 6
若 n 為正整數,且 4 412 8
n nC C= ,試求 1nnC + 之值。
∵ 4 412 8
n nC C 12 + 8 = 4n n = 5
∴ 1 6 65 1
nnC C C = 6
設 nmP 及 n
mC 分別表示從 n 個相異物任取 m 個
的排列數與組合數,若 2 25 4120n nP C+ += ,則
n =? 【94 統測】
2 25 4120n nP C
(n + 2)(n + 1)(n)(n – 1)(n – 2)
= 120 × ( 2)( 1)( )( 1)4 3 2 1
n n n n
n – 2 = 5 n = 7
若 13 230n nP C+ = ,則 n =?
原式 (n + 1)(n)(n – 1) = 30 × ( 1)2 1
n n
n = 14
3 3
2 2
1 1 nmC 的計算
−=n nm n mC C
nmP 與 n
mC 的計算
188
數學 B 總複習 EZ GO
試求下列的方法數: 【94 統測】
(1)某排球隊共有 10 位選手,任選 6 人上場
比賽,共有幾種不同選法?
(2)設從甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人中選 3
人當委員,若規定甲必須入選,則有多少
種不同的選法?
(1) 10 106 4
10 9 8 74 3 2 1
C C
= 210(種)
(2)甲入選,故從剩下 5 人選 2 人 5
2C = 10(種)
某測驗有選擇題 10 題,填充題 2 題,任選 4
題作答,試問下列各有多少種選法:
(1)任意選取
(2)規定填充題必須全答
(1)共 12 題,任選 4 題 124C = 495(種)
(2)填充題必答,故從選擇題再任選 2 題 10
2C = 45(種)
某自助餐店提供 80 元的便當,便當中除了
白米飯之外,還包含一種主菜以及三種不同
的配菜。若今日提供的主菜有雞腿、排骨、
魚排 3 種,另有 8 種不同的配菜,則共可搭
配出多少種不同組合的 80 元便當?
(A)59 (B)112 (C)168 (D)210。
【106 統測 B】
共有 3 81 3
8 7 63 1683 2 1
C C
(種)
有一籃球隊共有 12 位選手,其前鋒、中鋒、
後衛的人數分別為 4 人、3 人、5 人,現在要
選 5 位選手上場比賽,一般籃球比賽中,每
隊的前鋒、中鋒、後衛人數分別為 2 人、1 人、
2 人,問共有幾種不同選法? 【99 統測 C】
3 542 1 2
4 3 5 432 1 2 1
C C C =180(種)
某大賣場一天共有早班、中班、晚班三個
值班時段,而每一值班時段皆需二人值
班。若某天要安排六名員工值班且每人恰值
班一次,則共有多少種排班方式? (A)45
(B)60 (C)75 (D)90。 【104 統測 B】
共 6 4 22 2 2 15 6 1 90C C C (種)
將 6 本不同的書分別放在 3 個不同架子上,
若每個架子放 2 本,則共有幾種放法?
【97 統測】
6 4 22 2 2
6 5 4 32 1 2 1
C C C × 1 = 90(種)
6 6
5 5
4 4只選不排 組合 107
nmC 搭配乘法原理 106
平均分配 104、106
10
Chapter 10 排列與組合 189
幾何圖形的個數 重點二
由 5 對夫妻中選出 4 人,試求下列的方法數:
(1)恰含一對夫妻
(2)至少含一男性
(1)先選一對夫妻 51C = 5
再從剩餘四對中,任選兩對,各取 1 人 4 2 2
2 1 1C C C = 24
共 5 × 24 = 120(種)
(2)至少含 1 男性 = (任意選) − (不含男性) = 10 5
4 4C C = 205(種)
從 6 男 7 女中,選出 5 人組成一個委員會,
試求下列方法數:
(1)恰 3 男 2 女
(2)為了性別平等,各性別至少 2 人
(1) 6 73 2C C = 420(種)
(2)各性別至少 2 人,則可能是 3 男 2 女或 2
男 3 女 6 7 6 7
3 2 2 3C C C C = 945(種)
1. 點構成的圖形:
(1) 若有 n 個相異點,其中任三點不共線,則可決定 2nC 條直線, 3
nC 個三角形。
(2) 若有 n 個相異點,其中有 m 個點共線(m ≥ 3),其餘任三點均不共線,則可決定
2 2 1n mC C− + 條直線, 3 3−n mC C 個三角形。
2. 線構成的圖形:
(1) 兩組平行線,其中一組有 n 條,另一組有 m 條,則可構成 2 2n mC C× 個平行四邊形。
(2) 兩組互相垂直的直線,其中一組有 n 條,另一組有 m 條,則可構成 2 2n mC C× 個
矩形。
3. 凸 n 邊形的對角線:
凸 n 邊形可決定( 2nC n− )條對角線。
試計算圖中有多少個平行四邊形?
5 32 2C C = 30(個)
試計算圖中有多少個矩形?
5 72 2C C = 210(個)
8 8幾何圖形的個數(1)
7 7恰 直接取;至少 反扣法
190
數學 B 總複習 EZ GO
重複組合 重點三
試依下列條件,求平面上相異十點可決定的
直線與三角形個數:
(1)其中任三點均不共線,可決定幾條直線?
幾個三角形?
(2)其中有四點共線,其餘任三點均不共線,
可決定幾條直線?幾個三角形?
相異兩點決定一條直線,
相異三點可作成一個三角形
(1) 102
10 92 1
C
= 45(條)
103
10 9 83 2 1
C
= 120(個)
(2) 10 42 2C C + 1 = 40(條)
10 43 3C C = 116(個)
平面上相異十二點,若其中有五點共線,其
餘任三點均不共線,則此十二點可決定幾條
直線?幾個三角形?
12 52 2C C + 1 = 57(條) 12 53 3C C = 210(個)
凸十二邊形的對角線有幾條?
122C − 12 = 54(條)
已知一凸 n 邊形有 27 條對角線,試求 n 值。
2nC − n = 27 2
nC = 27 + n
( 1)2 1
n n
= 27 + n
n2 – 3n – 54 = 0
n = 9 或 n = −6(不合)
∴n = 9
1. 定義:從 n 類不同物中(每類至少含 m 個),任取 m 個,且每類物件可重複選取,
稱為由 n 中取 m 的重複組合,其組合數為 1+ −=n n mm mH C 。
2. nmH 的使用時機:
(1) 方程式 x1 + x2 + … + xn = m 的非負整數解,見老師講解 11。
(2) n 個人分 m 個相同物品的分法,見老師講解 12。
(3) n 類不同的事物,任取 m 個的方法,見老師講解 13。
10 10凸多邊形的對角線 102
9 9幾何圖形的個數(2)
10
Chapter 10 排列與組合 191
方程式 a + b + c = 15,試求: (1)非負整數解有幾組? (2)正整數解有幾組?
要訣:(1)非負整數解可以為 0
(2)正整數解每個先給 1
(1) 3 17 1715 15 2H C C = 136(組)
(2) 因 a,b,c 須為正整數
令 a' = a – 1,b' = b – 1,c' = c −1
則(a – 1) + (b – 1) + (c – 1)
= 15 – 1 – 1 − 1
a' + b' + c' = 12
其中 a',b',c'為非負整數,
即為求非負整數解之題型 3 14 14
12 12 2H C C = 91(組)
方程式 w + x + y + z = 12,試求: (1)非負整數解有幾組?
(2)滿足 w ≥ 0,x ≥ 1,y ≥ 2,z ≥ 3 的整數解
有幾組?
(1) 4 15 1512 12 3H C C = 455(組)
(2) w ≥ 0,x ≥ 1,y ≥ 2,z ≥ 3
令 w' = w,x' = x − 1,y' = y – 2,
z' = z − 3
則 w + (x – 1) + (y – 2) + (z − 3)
= 12 – 1 – 2 – 3
w' + x' + y' + z' = 6
其中 w',x',y',z'為非負整數,
即為求非負整數解之題型 4 9 9
6 6 3H C C = 84(組)
把相同的優待券 8 張,全部分給甲、乙、丙
三人,試求下列方法數:
(1)任意分
(2)每人至少分得 2 張
x + y + z = 8 (1) 共有 3 10 10
8 8 2 45H C C (種)
(2) 每人先給 2 張,剩餘 2 張再任意分給 3 人3 3 48 6 2 2 6H H C (種)
將 10 枚相同硬幣分給 4 個小朋友,試求下列
方法數:
(1)任意分
(2)每人至少分得 1 枚
x + y + z + w = 10 (1) 共有 4 13 13
10 10 3H C C = 286(種)
(2) 每人先給一枚,剩餘 6 枚再任意分給 4 人4 4 9 910 4 6 6 3H H C C 84(種)
12 12重複組合題型(2) 102
11 11重複組合題型(1)
192
數學 B 總複習 EZ GO
重要定理 重點四
有香草、巧克力、藍莓三桶全滿的冰淇淋,
今自這三桶冰淇淋中任挖 5 球,則選法有
幾種?
即計算自 3 類相異物中,
任取 5 個的重複組合數
x1 + x2 + x3 = 5 3 7 7
5 5 2H C C = 21(種)
將 5 種不同的果汁,倒入 3 個相同的杯子中,
每杯限倒 1 種,且每種果汁不限倒 1 個杯子,
共有幾種不同倒法? 【97 統測】
即計算自 5 類相異物中,
任取 3 個的重複組合數
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 3 5 7
3 3H C = 35(種)
1. 二項式定理:
設 n ∈ N,則
(x + y)n = 1 2 20 1 2
− − −+ + + + + +n n n n n n n n k k n nk nC x C x y C x y C x y C y =
0
−
=
nn n k kk
kC x y
例如:(x + y)4 = 4 4 4 3 1 4 2 2 4 1 3 4 40 1 2 3 4C x C x y C x y C x y C y+ + + + = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
【補充】
(1) (x + y)n 展開後共有 n + 1 項 (2) −n n k k
kC x y 稱為(x + y)n 展開式的一般項,且為第 k + 1 項
(3) (1 + x)n = 20 1 2n n n n k n n
k nC C x C x C x C x+ + + + + + ……
(i)將 x = 1 代入式 0 1 2 3+ + + + +n n n n nnC C C C C = 2n…
(ii)將 x = −1 代入式 0 1 2 3 ( 1)n n n n n nnC C C C C− + − + + − = 0…
(iii)將( + )÷2 0 2 4+ +n n nC C C + … = 2n − 1
(iv)將( − )÷2 1 3 5+ +n n nC C C + … = 2n − 1
2. 巴斯卡定理: (1) −=n n
k n kC C
例: 5 52 3C C=
(2) 1 11
− −−= +n n n
k k kC C C (巴斯卡定理)【口訣:上加 1,下取大】
例:從 A、B、C、D、E 五本書中取三本,則
任意選的方法 53C = 10
必含 A 的選法 42C = 6
不含 A 的選法 43C = 4
由上列結果知 5 4 43 2 3C C C= +
13 13重複組合題型(3)
10
Chapter 10 排列與組合 193
求(2x + y)6 的展開式中,x2y4 項之係數為何?
【99 統測 B】
展開式中 x2y4 項為:6 2 44 (2 )C x y = 60x2y4
∴x2y4 項之係數為 60
求(x − 3)5 的展開式中,x4 項的係數為何?
(x − 3)5 = [x + (−3)]5 x4 項 5 4 1
1 ( 3)C x − = −15x4
∴x4 項的係數為−15
若展開 2 62
1( )xx
+ 時將同類項合併,則常數項
為何? 【97 統測】
2 62
1( )xx
+ 展開後的第 k + 1 項為
6 2 6 6 12 2 2 6 12 42
1( ) ( )k k k k kk k kC x C x x C x
x− − − −= =
令 12 – 4k = 0 k = 3
∴常數項為 63
6 5 43 2 1
C × ×=× ×
= 20
在 3 101( )xx
− 的展開式中,x2 項的係數為何?
【94 統測】
3 10 3 101 1( ) [ ( )]x xx x
−− = + 展開後的第 k + 1 項
為 10 3 10 10 30 41( ) ( ) ( 1)k k k kk kC x C x
x− −− = −
令 30 – 4k = 2 k = 7 則 x2 項的係數為 10 7 10 7
7 3( 1) ( 1)C C− = − = – 120
試計算下列各式的值: (1) 10 10 10 10
0 1 2 10C C C C+ + + +
(2) 10 10 10 100 2 4 10C C C C+ + + + 【95 統測】
(1)原式 = 210 = 1024
(2)原式 = 210 − 1 = 512
試計算下列各式的值: (1) 7 7 7 7
0 1 2 7C C C C+ + + +
(2) 7 7 7 71 3 5 7C C C C+ + +
(1)原式= 27 = 128
(2)原式 = 27 − 1 = 26 = 64
16 16組合級數
15 15二項式定理(2)
14 14二項式定理(1) 101
194
數學 B 總複習 EZ GO
試計算下列各式的值: (1) 6 6 7 8 9
2 3 4 5 6C C C C C+ + + +
(2) 17 18 19 200 1 2 3C C C C+ + +
(1) 6 6 7 8 92 3 4 5 6C C C C C+ + + +
= 7 7 8 93 4 5 6C C C C+ + +
= 8 8 94 5 6C C C+ + = 9 9
5 6C C+
= 106C = 10
4C = 210
(2)因 17 180 0C C=
原式= 18 18 19 200 1 2 3C C C C+ + +
= 19 19 201 2 3C C C+ +
= 20 202 3C C+ = 21
3C
= 1330
試計算下列各式的值: (1) 7 8 9 10
0 1 2 3C C C C+ + +
(2) 3 4 5 6 73 3 3 3 3C C C C C+ + + +
(1)因 7 80 0C C=
原式= 8 8 9 100 1 2 3C C C C+ + +
= 9 9 101 2 3C C C+ +
= 10 102 3C C+ = 11
3C
= 165 (2)因 3 4
3 4C C=
原式= 4 4 5 6 74 3 3 3 3C C C C C+ + + +
= 5 5 6 74 3 3 3C C C C+ + +
= 6 6 74 3 3C C C+ +
= 7 74 3C C+ = 8
4C
= 70
1. (1) 150C = 1 (2) 15
1C = 15 (3) 1513C = 105 。
2. 13 131 19 2m mC C− −= ,則 m = 5 。
3. n ≥ m,若 nmP = 42,且 n
mC = 21,試求(n, m) = (7,2) 。
4. 數學測驗有選擇題 15 題,填充題 7 題,任選 20 題作答,則
(1)任選 20 題有 231 種選法。
(2)若規定選擇題選 13 題,填充題全寫,有 105 種選法。
5. 一列火車有 10 節車廂,指定其中 4 節車廂設有輪椅放置區,試求下列方法數:
(1)任意指定,有 210 種方法。
(2)規定設有輪椅放置區的車廂兩兩不相鄰,有 35 種方法。
6. 平面上有相異十五點,若其中有六點共線,其餘任三點均不共線,則此十五點可決
定 91 條直線, 435 個三角形。
7. 已知一正 n 邊形有 14 條對角線,則 n = 7 。
8. 方程式 x + y + z = 8,若 x ≥ 2,y ≥ 1,z ≥ 0,則有 21 組整數解。
17 17巴斯卡定理
10
Chapter 10 排列與組合 195
9. 將 5 本相同的筆記本全部分給 A、B、C 三位學生,則
(1)任意分,有 21 種分法。
(2)每人至少分得 1 本,有 6 種分法。
10. 將3張相同的貼紙,4個不同造型的磁鐵全部分給甲、乙兩位小朋友,分法有 64 種。
11. (x − 3y)6 展開式中,x2y4 項的係數為 1215 。
12. 2 41(3 )xx
− 展開式中,x5 項的係數為 −108 。
13. (1) 8 8 80 2 8C C C+ + + = 128 。 (2) 8 8 8
1 3 7C C C+ + + = 128 。
14. 11 10 9 8 7 6 65 5 4 3 2 1 0( )C C C C C C C− + + + + + = 0 。
( B )1. 某青年創業開餐廳,擬設計一份有 5 種菜色的菜單。若在原始構思的 7 種菜色中
有 2 種為必選,則有幾種不同菜單? (A) 6 (B) 10 (C) 21 (D) 35。
【107 統測 B】
( B )2. 某飲料店有 5 位假日工讀生,工作時間有週六的早班與晚班、週日的早班與晚班
等 4 個不同時段。一個時段排兩位工讀生上班,如果規定同一人不可以連續排班,
至少要隔一個時段上班,則共有幾種排班方式? (A)81 (B)270 (C)900
(D)1000。 【106 統測 B】
( C )3. 從 7 位男生,3 位女生中,任選 4 人到醫院實習。若此 4 人中至少有 1 位女生,
則共有多少種選取的方式? (A)95 (B)135 (C)175 (D)215。 【104 統測 A】
( B )4. 將 6 顆相同的紅球分給三個人且全部分完,若每人至少分到一顆紅球,則共有多
少種分法? (A)6 (B)10 (C)20 (D)27。 【104 統測 C】
( A )5. 設 x ≥ −1 且 y ≥ −2,求共有幾組整數解(x, y)滿足方程式 x + y = 2014?
(A)2018 (B)2019 (C)2020 (D)2021。 【103 統測 B】
( C )6. 求正二十九邊形的對角線共有幾條? (A)337 (B)357 (C)377 (D)397。
【102 統測 B】
( B )7. 新生盃歌唱比賽,決賽有三位,其名次由獲得「明日之星」獎章數多寡決定。而
「明日之星」獎章則由 10 位評審依其評定頒予,每位評審只有一枚獎章,且規定
獎章一定要頒出。請問三位參賽者獲得「明日之星」獎章的數目,有多少種不同
的分配情形? (A)30 (B)66 (C)120 (D)310。 【102 統測 B】
( C )8. (x + 2y)8 的展開式中,x5y3 的係數為何? (A)56 (B)120 (C)448 (D)600。
【101 統測 A】
196
數學 B 總複習 EZ GO
注意:標示有 者,表示為進階題型
( A )1. 有一本書 200 元,若使用 100 元鈔票或 50 元、10 元的硬幣付款,則有幾種付款
方式? (A)9 (B)8 (C)7 (D)6。
( C )2. 4 個男生 2 個女生坐一排,若女生們不想坐最旁邊,也不想坐在一起,坐法有幾
種? (A)120 種 (B)136 種 (C)144 種 (D)150 種。
( C )3. 兩人猜拳,有幾種不同出拳方式? (A)12 (B)10 (C)9 (D)8。
( B )4. 已知 x = 6!,y = 55P ,z = 6
3C ,則 x – 4y – 11z =? (A)25 (B)20 (C)15 (D)10。
( D )5. 有 10 個座位,甲、乙、丙三人選相連的三座位入坐,有幾種坐法?
(A)36 (B)40 (C)45 (D)48。
( A )6. A、B、C、D、E 五本不同的書排列於書架上,其中 A、B 兩本不相鄰的排法有幾
種? (A)72 (B)70 (C)66 (D)60。
( B )7. 從「0,1,2,3,4,5,6」七個數中,任取三數,組成數字相異之三位數,共有
幾個? (A)200 個 (B)180 個 (C)160 個 (D)150 個。
( D )8. 從「1,2,3,4,5,6」六個數中,任取三數,組成三位數(數字可重複),共有
幾個? (A)100 個 (B) 63P 個 (C)36 個 (D)63 個。
( B )9. 用「0,2,2,5,5,5」排成六位數,共有幾個?
(A)40 個 (B)50 個 (C)60 個 (D)70 個。
( C )10. 將「grass」重新排列,規定 s、s 必須分開,則排法有幾種?
(A)18 種 (B)20 種 (C)36 種 (D)40 種。
( A )11. 社團幹部 12 人投票決定暑訓地點,1 人 1 票,採記名且無廢票方式對三地點甲、
乙、丙進行投票,共有幾種投法? (A)312 種 (B) 312H 種 (C)412 種 (D) 4
12H 種。
( C )12. 承上題,但改採無記名且無廢票方式對三地點甲、乙、丙進行投票,共有幾種投
法? (A)80 種 (B)84 種 (C)91 種 (D)100 種。
( D )13. 某一多重選擇題,有 A、B、C、D、E 五個選項,其中至少一個選項是對的,則
有幾種作答方法? (A)36 種 (B)35 種 (C)32 種 (D)31 種。
( A )14. 六人出遊,訂了四人房及雙人房各一間,試問入住時有幾種分配方式?
(A)15 種 (B)16 種 (C)18 種 (D)20 種。
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Chapter 10 排列與組合 197
( D )15. 平面上有相異 10 點,其中 4 點共線,其餘任意三點均不共線,則可決定幾個三角
形? (A)130 個 (B)124 個 (C)120 個 (D)116 個。
( A )16. 20 件產品中,有 3 件不良品。若由產品中隨機抽取 2 件,則抽到不良品的情形有
幾種? (A)54 種 (B)45 種 (C)40 種 (D)36 種。
( A )17. 某玩具店賣五款火車模型,若 Mike 要購買 8 組火車模型,有幾種買法?
(A)495 種 (B)480 種 (C)450 種 (D)400 種。
( B )18. 將 4 枝相同的藍筆與 3 本相同的筆記本,全部分給甲、乙兩人,每人至少得一件
物品,則有幾種分法? (A)20 種 (B)18 種 (C)16 種 (D)15 種。
( C )19. 試問 x + y + z ≤ 8 的非負整數解有幾組? (A)180 種 (B)170 種 (C)165 種
(D)135 種。
( D )20. 試求 15 15 16 17 18 1913 14 15 16 17 18C C C C C C+ + + + + =? (A)220 (B)210 (C)200 (D)190。
( B )21. (x + y)n 展開式中,依 x 的降冪排列,第 4 項與第 13 項的係數相同,則 n =?
(A)14 (B)15 (C)16 (D)17。
( D )22. 77 7
7 71 20 2 77 7 7
CC CC + + + + 的值為? (A) 71( )7
(B) 81( )7
(C) 88( )7
(D) 78( )7
。
( A )23. 求(x − 2)8 展開時,x6 項之係數為何? (A)112 (B)− 448 (C)28 (D)− 16。
( C )24. 班上外掃區可分成 A、B、C 三區域,A、B 兩區域各需 3 人打掃,C 區域需 2 人
打掃,現有同學 8 人,則有幾種分法? (A)450 種 (B)500 種 (C)560 種 (D)600
種。
( D )25. 如圖,一隻甲蟲依照下面圖形的路線走,從 A 點爬行到 E 點,不走回頭路,共有幾
種不同的路線? (A)8 種 (B)6 種 (C)5 種 (D)4 種。