§1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑΣΤΟΝΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟΧΩΡΟ...
TRANSCRIPT
1
ΠροσανατολισμένοΠροσανατολισμένο ΕυθύγραμμοΕυθύγραμμο ΤμήμαΤμήμα ((ππ..εε..ττ..) ) είναιείναι τοτο ευθύγραμμοευθύγραμμο τμήματμήμα PQ PQ στοστο οποίοοποίο ορίζουμεορίζουμετοτο άκροάκρο ΡΡ αυτούαυτού νανα είναιείναι ηη αρχήαρχή τουτου ππ..εε..ττ. . καικαι τοτο άκροάκρο Q Q αυτούαυτού νανα είναιείναι τοτο πέραςπέρας τουτου ππ..εε..ττ..
ΦορέαςΦορέας τουτου ππ..εε..ττ. . καλείταικαλείται ηη ευθείαευθεία πουπου ορίζεταιορίζεται απόαπό τατα σημείασημεία ΡΡ καικαι QQ
ΤοΤο ππ..εε..ττ. . ορίζειορίζει επίεπί τουτου φορέαφορέα τουτου μίαμία φοράφορά ""απόαπό τοτο σημείοσημείο ΡΡ προςπρος τοτοσημείοσημείο QQ" "
ΤαΤα ππ..εε..ττ. . καικαι έχουνέχουν τοντον ίδιοίδιο φορέαφορέα αλλάαλλά αντίθετηαντίθετη φοράφορά
ΜήκοςΜήκος τουτου ππ..εε..ττ.. καλείταικαλείται τοτο μήκοςμήκος τουτου ευθυγράμμουευθυγράμμου τμήματοςτμήματος PQPQ
→
PQ
→
PQ
→
PQ→
QP→
PQ
→
PQ
P
Q§1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ
2
ΔύοΔύο ππ..εε..ττ. . καικαικαλούνταικαλούνται συγγραμμικάσυγγραμμικά ότανόταν έχουνέχουν τοντον ίδιοίδιο φορέαφορέαήή παράλληλαπαράλληλα ότανόταν έχουνέχουν παράλληλουςπαράλληλους φορείςφορείς. .
→
PQ→
ST
ΤαΤα ππ..εε..ττ. . καικαιέχουνέχουν τηντην ίδιαίδια φοράφορά
→
PQ→
ST ΤαΤα ππ..εε..ττ. . καικαιέχουνέχουν αντίθετεςαντίθετες φορέςφορές
→
PQ→
ST
3
ΟρισμόςΟρισμός::ΔύοΔύο ππ..εε..ττ. . καικαικαλούνταικαλούνται ίσαίσα ππ..εε..ττ.. ότανότανείναιείναι συγγραμμικάσυγγραμμικά ήή παράλληλαπαράλληλα,,έχουνέχουν τηντην ίδιαίδια φοράφορά καικαιέχουνέχουν τοτο ίδιοίδιο μήκοςμήκος,,
→
PQ→
ST→
PQ→
STοπότεοπότε γράφουμεγράφουμε ==
ΟρισμόςΟρισμός::To To διάνυσμαδιάνυσμα ΑΑ πουπου αντιστοιχείαντιστοιχεί στοστο ππ..εε..ττ. . είναιείναι τοτο σύνολοσύνολο όλωνόλωντωντων ππ..εε..ττ. . τουτου χώρουχώρου πουπου είναιείναι ίσαίσα μεμε τοτο , , δηλαδήδηλαδή
ΚάθεΚάθε ππ..εε..ττ. . πουπου ανήκειανήκει στοστο διάνυσμαδιάνυσμα ΑΑ καλείταικαλείται αντιπρόσωποςαντιπρόσωπος τουτουδιανύσματοςδιανύσματος ΑΑ..
→
PQ→
ST
→
PQ
→
ST⎩⎨⎧
⎭⎬⎫==
→→→
PQSTSTA :
4
ΟρισμόςΟρισμός::ΔιεύθυνσηΔιεύθυνση τουτου διανύσματοςδιανύσματος AA= = είναιείναι ηη δέσμηδέσμη όλωνόλων τωντων ευθειώνευθειών πουπουείναιείναι παράλληλεςπαράλληλες προςπρος τηντην ευθείαευθεία PQPQ. .
ΦοράΦορά τουτου διανύσματοςδιανύσματος AA = = καλείταικαλείται ηη κοινήκοινή φοράφορά όλωνόλων τωντωναντιπροσώπωναντιπροσώπων τουτου ΑΑ. .
ΜέτροΜέτρο ((ήή μήκοςμήκος) ) τουτου διανύσματοςδιανύσματος AA= = καλείταικαλείται τοτο κοινόκοινό μήκοςμήκος όλωνόλωντωντων αντιπροσώπωναντιπροσώπων τουτου ΑΑ καικαι συμβολίζεταισυμβολίζεται μεμε ||ΑΑ| , | , δηλαδήδηλαδή ||AA|=| | >0.|=| | >0.
→
PQ
→
PQ
→
PQ →
PQ
5
ΟρισμόςΟρισμός::ΓωνίαΓωνία τωντων διανυσμάτωνδιανυσμάτων AA= = καικαι BB= = καλείταικαλείται τοτο μέτρομέτρο τηςτης γωνίαςγωνίας
, , συμβολίζεταισυμβολίζεται μεμε ήή απλάαπλά μεμε έναένα μικρόμικρό γράμμαγράμμα , , ππ..χχ. . θθ , ,
καικαι ισχύειισχύει::
→
PR→
PQ∧
QPR∧
),( BA
π≤≤∧
),( BA0
AA καικαι BB συγγραμμικάσυγγραμμικά ((ήή παράλληλαπαράλληλα), ), δηλαδήδηλαδή ΑΑ////ΒΒότανόταν έχουνέχουν τηντην ίδιαίδια διεύθυνσηδιεύθυνσηκαικαι τότετότε είναιείναι:: πή0BA =
∧
),(
0BA =∧
),(
π=∧
),( BA
AA καικαι BB έχουνέχουν τηντην ίδιαίδια φοράφορά: :
AA καικαι BB έχουνέχουν αντίθετεςαντίθετες φορέςφορές: :
2BA π
=∧
),(AA καικαι BB ορθογώνιαορθογώνια ήή κάθετακάθετα, : , : BA ⊥
P
QRθ
)
6
ΟρισμόςΟρισμός::ΈναΈνα διάνυσμαδιάνυσμα ΑΑ00 πουπου έχειέχει μέτρομέτρο ||ΑΑ00| = 1 | = 1 καλείταικαλείται μοναδιαίομοναδιαίο διάνυσμαδιάνυσμα ((ήήκατεύθυνσηκατεύθυνση).).
Για κάθε διάνυσμα Α υπάρχει ακριβώς ένα μοναδιαίο διάνυσμα Α0 που έχειτη διεύθυνση και τη φορά του Α
Δεχόμαστε ότι υπάρχει ένα μοναδικό διάνυσμα με μέτρο 0που δεν έχει διεύθυνση και φορά, το οποίο καλούμε μηδενικό διάνυσμακαι θα το συμβολίζουμε με Ο
7
ΟρισμόςΟρισμός::
ΑνΑν AA= = καικαι BB== τότετότε άθροισμαάθροισμα ΑΑ++ΒΒ είναιείναι τοτο διάνυσμαδιάνυσμα→
=+ PRBA→
QR→
PQ
8
ΟρισμόςΟρισμός::
ΤοΤο βαθμωτόβαθμωτό γινόμενογινόμενο λλ ΑΑ τουτου αριθμούαριθμού λλ∈ℜ∈ℜ επίεπί τοτο διάνυσμαδιάνυσμα ΑΑκαλείταικαλείται τοτο διάνυσμαδιάνυσμα πουπου έχειέχει
-- μέτρομέτρο ||λλΑΑ|=||=|λλ| || |ΑΑ||
-- διεύθυνσηδιεύθυνση αυτήαυτή τουτου ΑΑ ((ότανόταν λλ≠≠0 0 καικαι ΑΑ ≠≠ 00))
-- φοράφορά τηντην ίδιαίδια μεμε τοτο ΑΑ αναν λλ>0 >0 καικαι αντίθετηαντίθετη τουτου ΑΑ αναν λλ<0<0
9
ΔεξιόστροφοΔεξιόστροφο ορθογώνιοορθογώνιο σύστημασύστημα συντεταγμένωνσυντεταγμένων x,y,zx,y,zπληρούταιπληρούται οο κανόναςκανόνας τωντων τριώντριών δάκτυλωνδάκτυλων τουτου αριστερούαριστερού χεριούχεριού::" " ΌτανΌταν οο αντίχειραςαντίχειρας τοντον αριστερούαριστερού χεριούχεριού δείχνειδείχνει τοτο θετικόθετικό ημιάξοναημιάξονα ΟΧΟΧ καικαι οομεσαίοςμεσαίος δάκτυλοςδάκτυλος δείχνειδείχνει τοτο θετικόθετικό ημιάξοναημιάξονα ΟΥΟΥ, , τότετότε οο δείκτηςδείκτης τοντον αριστερούαριστερούχεριούχεριού δείχνειδείχνει τοτο θετικόθετικό ημιάξοναημιάξονα ΟΖΟΖ ."."
§2 ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ x,y,z
10
P=(AP=(A11,A,A22,A,A33) ) τυχόντυχόν σημείοσημείο τουτου χώρουχώρου
ΑΑ= = καλείταικαλείται διάνυσμαδιάνυσμα θέσεωςθέσεως ((ήή διανυσματικήδιανυσματική ακτίναακτίνα) ) τουτου σημείουσημείου PP
A=AA=A11i+Ai+A22j+Aj+A33kk
ΟιΟι συντεταγμένεςσυντεταγμένες AA11,, AA22,, AA33 τουτου PP καλούνταικαλούνται συντεταγμένεςσυντεταγμένες τουτου διανδιαν. . ΑΑ
ΆραΆρα A=AA=A11i+Ai+A22j+Aj+A33kk ήή A=(AA=(A11,A,A22,A,A33) )
ΤαΤα διανύσματαδιανύσματα AA11ii, , AA22jj, , AA33kk καλούνταικαλούνται συνιστώσεςσυνιστώσες τουτου διανδιαν. . ΑΑ
ΜέτροΜέτρο
→
OP
23
22
21 AAAA ++=
11
12
§3 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ, ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ, ΜΙΚΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝ.
ΓιαΓια τατα διανύσματαδιανύσματα ΑΑ καικαι ΒΒ ισχύειισχύει ΑΑ··ΒΒ = 0 = 0
αναν καικαι μόνονμόνον αναν
A A ⊥⊥ BB ήή ΑΑ==0 0 ήή ΒΒ==0 0
13
A
B
14
15
ΓιαΓια τατα διανύσματαδιανύσματα ΑΑ καικαι ΒΒ ισχύειισχύει ΑΑxxΒΒ = 0 = 0
αναν καικαι μόνονμόνον αναν
A //A // BB ήή ΑΑ==0 0 ήή ΒΒ==0 0
16
17
Ορισμός:Μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων Α, Β, C (με αυτήν τη σειρά) καλείταιο αριθμός
[ ] )CB(ACBA ×⋅=
Θεώρημα: Για τα διανύσματα Α , Β , C ισχύει [Α Β C] = 0 αν και μόνον αντα διανύσματα Α , Β , C είναι συνεπίπεδα(συμπεριλαμβάνοντας και τις ειδικές περιπτώσεις: (i) ένα από τα διανύσματα αυτά να είναι το Ο, και(ii) δύο τουλάχιστον από τα διανύσματα αυτά να είναι συγγραμμικά).
18
19
§4 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
20
21
22
Θεώρημα:
ΑνΑν οιοι διανυσματικέςδιανυσματικές συναρτήσειςσυναρτήσεις ΑΑ καικαι ΒΒ είναιείναι συνεχείςσυνεχείς στοστο ανοικτόανοικτό διάστημαδιάστημα ΔΔτότετότε καικαι οιοι ΑΑ⋅⋅ΒΒ καικαι ΑΑxBxB είναιείναι επίσηςεπίσης συνεχείςσυνεχείς στοστο ΔΔ
Θεώρημα:
ΗΗ διανυσματικήδιανυσματική συνάρτησησυνάρτηση ΑΑ((t)=At)=A11(t)i+ A(t)i+ A22(t)j+ A(t)j+ A33(t)k(t)k είναιείναι συνεχήςσυνεχής στοστο ανοικτόανοικτόδιάστημαδιάστημα ΔΔαναν καικαι μόνομόνο ανανοιοι AA11(t), A(t), A22(t), A(t), A33(t)(t) είναιείναι επίσηςεπίσης συνεχείςσυνεχείς στοστο ΔΔ
23
§5 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
24
Θεώρημα:
ΗΗ σταθερήσταθερή διανυσματικήδιανυσματική συνάρτησησυνάρτηση ΑΑ((t)=A t)=A ∀∀ t,t, είναιείναι παραγωγίσιμηπαραγωγίσιμη καικαι OA =•
Θεώρημα:
ΑνΑν οιοι διανδιαν. . συναρτσυναρτ. . AA, , ΒΒ καικαι ηη αριθμητικήαριθμητική συνάρτησησυνάρτηση φφ
είναιείναι παραγωγίσιμεςπαραγωγίσιμες στοστο ανοικτόανοικτό διάστημαδιάστημα ΔΔ τότετότε•••
+=+ BA)BA(•••
⋅+⋅=⋅ BABA)BA(•••Α+Α=Α ϕϕϕ )(
•••×+×=× BABA)BA(
••Α=Α λλ )(
λ σταθερός αριθμόςC σταθερό διάνυσμα
C)C(••
= ϕϕ
kAjAiAA 321
••••
++=
25
Θεώρημα (Συνθήκη σταθερού μέτρου):
ΓιαΓια τηντην παραγωγίσιμηπαραγωγίσιμη διανυσματικήδιανυσματική συνάρτησησυνάρτηση ΑΑ((t)t)≠≠00 ∀∀ tt∈∈ΔΔ ισχύειισχύει
Δ∈∀⇔=⋅⇔=••
t,άA,A0AA.)t(A θετακσταθ
Θεώρημα (Συνθήκη σταθερής κατεύθυνσης):
ΓιαΓια τηντην παραγωγίσιμηπαραγωγίσιμη διανυσματικήδιανυσματική συνάρτησησυνάρτηση ΑΑ((t)t)≠≠00 ∀∀ tt∈∈ΔΔ ισχύειισχύει
Δ∈∀⇔=×⇔=••
t.,A,A0AA.Ao συγγραμσταθ
26
Θεώρημα (παράγωγος σύνθετης συνάρτησης):
Θεώρημα (παράγωγος v τάξεως):
dtdu
dudA
dtdA
= )t(uu)u(AA ==
kAjAiAA )()()()( νννν321 ++=
27
§6 ΔΙΑΦΟΡΙΣΗ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΤοΤο διαφορικόδιαφορικό ddAA είναιείναι διανυσματικήδιανυσματική συνάρτησησυνάρτησηδύοδύο ανεξάρτητωνανεξάρτητων αριθμητικώναριθμητικών μεταβλητώνμεταβλητών, , τωντων t t καικαι dtdt
ΑΑ=A=A11i+ Ai+ A22j+ Aj+ A33kk
dAdA = dA= dA11i+ dAi+ dA22j+ dAj+ dA33kk
ΔιαφόρισηΔιαφόριση τηςτης ΑΑ καλείταικαλείται ηη εύρεσηεύρεση τουτου διαφορικούδιαφορικού ddAA τηςτης συνάρτησηςσυνάρτησης ΑΑ
dtAdA•
=
28
ΗΗ παράγωγοςπαράγωγος διανδιαν. . συνσυν. . είναιείναι πηλίκοπηλίκο δύοδύο διαφορικώνδιαφορικών ((τωντων ddAA καικαι dtdt))::
29
ΟρισμόςΟρισμός::
ΑνΑν ηη διανδιαν. . συνσυν. . ΑΑ είναιείναι συνεχήςσυνεχής στοστο ανοικτόανοικτό διάστημαδιάστημα ΔΔ καικαι αα,,ββ∈∈ΔΔ, , τότετότε ορίζεταιορίζεται τοτο ορισμένοορισμένο ολοκλήρωμαολοκλήρωμα τηςτης ΑΑ απόαπό τοτο αα μέχριμέχρι τοτο ββ, , καικαι
30
ΘεώρημαΘεώρημα::
ΑνΑν ηη διανδιαν. . συνσυν. . ΑΑ είναιείναι συνεχήςσυνεχής στοστο ανοικτόανοικτό διάστημαδιάστημα ΔΔ καικαι αα∈∈ΔΔ, , τότετότεηη συνάρτησησυνάρτηση
είναιείναι παραγωγίσιμηπαραγωγίσιμη στοστο ΔΔ καικαι
ΟρισμόςΟρισμός::
ΑνΑν ηη διανδιαν. . συνσυν. . ΑΑ είναιείναι συνεχήςσυνεχής στοστο ανοικτόανοικτό διάστημαδιάστημα ΔΔ καικαι αα σταθερόσταθερόσημείοσημείο τουτου ΔΔ, , τότετότε ηη συνάρτησησυνάρτηση
καλείταικαλείται αόριστοαόριστο ολοκλήρωμαολοκλήρωμα τουτου διαφορικούδιαφορικού ΑΑ((t)dtt)dt καικαι συμβολίζεταισυμβολίζεταιωςως
31
ΌμωςΌμως, , επειδήεπειδή κάθεκάθε συνάρτησησυνάρτηση BB(t)+(t)+CC, , όπουόπου CC σταθερόσταθερό διάνυσμαδιάνυσμα, , έχειέχει παράγωγοπαράγωγο καικαι πάλιπάλι τηντην AA(t(t)) έχουμεέχουμε
ΟλοκλήρωσηΟλοκλήρωση τηςτης ΑΑ καλείταικαλείται ηη εύρεσηεύρεση τουτου αορίστουαορίστου ολοκληρώματοςολοκληρώματος τουτουδιαφορικούδιαφορικού ΑΑ((t)dtt)dt
Η διαφόριση και η ολοκλήρωση διανυσματικών συναρτήσεωνείναι αντίστροφες πράξεις και αλληλοαναιρούνται
32
33
§7 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣΚΑΜΠΥΛΩΝ
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟΚΑΜΠΥΛΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΥΤΗΣ
ΗΗ εξίσωσηεξίσωση r=r=A(tA(t)), t, t∈∈ΔΔ, , είναιείναι ηη διανυσματικήδιανυσματική εξίσωσηεξίσωση τηςτης καμπύληςκαμπύλης cc
r=r=A(tA(t)=)=AA11(t)(t)i+i+AA22(t)(t)j+j+AA33(t)(t)kk
ΟιΟι εξισώσειςεξισώσεις xx==AA11(t), y=A(t), y=A22(t), z=A(t), z=A33(t) (t) είναιείναι οιοι παραμετρικέςπαραμετρικές εξισώσειςεξισώσειςτηςτης καμπύληςκαμπύλης cc
PP11=P(t=P(t11))
PP22=P(t=P(t22))A(tA(t11))
A(tA(t22))
34
ΗΗ καμπύληκαμπύλη cc καλείταικαλείται απλήαπλή ότανόταν δενδεν αυτοτέμνεταιαυτοτέμνεται, , δηλαδήδηλαδή γιαγια tt11≠≠tt22, , ισχύειισχύει P(tP(t11))≠≠P(tP(t22) ) καικαι ΑΑ((tt11))≠≠A(tA(t22))
ΗΗ εφαπτομένηεφαπτομένη τηςτης καμπύληςκαμπύλης cc στοστο σημείοσημείο PP00=P(t=P(t00) ) αυτήςαυτής,,
έχειέχει τητη διεύθυνσηδιεύθυνση τηςτης παραγώγουπαραγώγου
καικαι ορίζεταιορίζεται μόνομόνο σεσε ομαλάομαλά σημείασημεία
)t(A 0
•
35
ΔιανυσματικήΔιανυσματική εξίσωσηεξίσωση τηςτης εφαπτομένηςεφαπτομένης τηςτης c c στοστο σημείοσημείο PP00=P(t=P(t00))
ΠαραμετρικέςΠαραμετρικές εξισώσειςεξισώσεις τηςτης εφαπτομένηςεφαπτομένης τηςτης c c στοστο σημείοσημείο PP00=P(t=P(t00))
ΣυνήθειςΣυνήθεις εξισώσειςεξισώσεις τηςτης εφαπτομένηςεφαπτομένης χωρίςχωρίς παράμετροπαράμετρο ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =≠
•
3,2,1i,0)t(A 0i
36
((ΟρίζεταιΟρίζεται σεσε ομαλόομαλό σημείοσημείο))
37
0
0)t(A)t(A
)t(A0)t(A
zZyYxX
0102
0103
000
=
−
−
−−−
••
••
ΑνΑν ηη εφαπτομένηεφαπτομένη τηςτης καμπύληςκαμπύλης cc στοστο σημείοσημείο PP00=(x=(x00,y,y00,z,z00)) έχειέχει διεύθυνσηδιεύθυνση
τότετότε ηη συνήθηςσυνήθης εξίσωσηεξίσωση τουτου κάθετουκάθετου επιπέδουεπιπέδου τηςτης καμπύληςκαμπύλης c c στοστοσημείοσημείο PP00=(x=(x00,y,y00,z,z00) ) είναιείναι::
0
)t(A)t(A0
)t(A0)t(A
zZyYxX
0203
0103
000
=
−
−
−−−
••
••0
)t(A)t(A0
0)t(A)t(A
zZyYxX
0203
0102
000
=
−
−
−−−
••
••
0)t(AA 01 ≠ν•
0)t(AA 02 ≠ν•
0)t(AA 03 ≠ν•
38
ΚατεύθυνσηΚατεύθυνση τηςτης εφαπτομένηςεφαπτομένης ((ήή μοναδιαίομοναδιαίο εφαπτόμενοεφαπτόμενο διάνυσμαδιάνυσμα)), , εε00, , τηςτης καμπύληςκαμπύλης cc, , μεμε διανυσματικήδιανυσματική εξίσωσηεξίσωση ΑΑ((t), t), στοστο σημείοσημείο PP00=P(t=P(t00))
)t(A
)t(A
0
00 •
•
=ε
ΤοΤο αλγεβρικόαλγεβρικό μήκοςμήκος s s τουτου τόξουτόξου τηςτης cc είναιείναι μιαμια αριθμητικήαριθμητική συνάρτησησυνάρτησητουτου tt καικαι καλείταικαλείται φυσικήφυσική παράμετροςπαράμετρος τηςτης καμπύληςκαμπύλης cc
∩
PP*
39
§10 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΉΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΑνΑν οιοι αριθμητικέςαριθμητικές συναρτήσειςσυναρτήσεις
ΑΑ11==ΑΑ11((u,vu,v,,……,w), ,w), ΑΑ22==ΑΑ22((u,vu,v,,……,w), ,w), ΑΑ33==ΑΑ33((u,vu,v,,……,w) ,w)
τωντων nn ανεξαρτήτωνανεξαρτήτων μεταβλητώνμεταβλητών u,vu,v,,……,w,w ορίζονταιορίζονται στονστον ίδιοίδιο τόποτόπο D D τουτου ℜℜnn
τότετότε τοτο διάνυσμαδιάνυσμα A=A=AA11i+i+AA22j+j+AA33kk
είναιείναι μιαμια διανυσματικήδιανυσματική συνάρτησησυνάρτηση τωντων n n μεταβλητώνμεταβλητών u,v,..,wu,v,..,w
ΔηλαδήΔηλαδή
A=A=ΑΑ((u,vu,v,,……,w)=A,w)=A11(u,v,(u,v,……,w),w)ii+A+A22(u,v,(u,v,……,w),w)jj+A+A33(u,v,(u,v,……,,w)w)kk
40
§11 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΟΛΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
ΗΗ διανυσματικήδιανυσματική συνάρτησησυνάρτηση A=A=ΑΑ((u,vu,v,,……,w),w) ορίζεταιορίζεται σεσε έναένα τόποτόπο DD τουτου ℜℜnn
ΈστωΈστω PP00=(u=(u00,v,v00,,……,w,w00) ) έναένα σημείοσημείο τουτου DD
ΘεωρούμεΘεωρούμε τητη διανυσματικήδιανυσματική συνάρτησησυνάρτηση μίαςμίας μεταβλητήςμεταβλητής: :
AAuu(t(t)=)=ΑΑ((t,vt,v00,,……,w,w00), t), t∈∈ΔΔuu όπουόπου ΔΔuu==tt∈ℜ∈ℜ / / ((t,vt,v00,,……,w,w00) ) ∈∈ DD
ΑνΑν υπάρχειυπάρχει ηη παράγωγοςπαράγωγος
τότετότε καλείταικαλείται μερικήμερική παράγωγοςπαράγωγος τηςτης συνάρτησηςσυνάρτησης ΑΑ ωςως προςπρος τητη μεταβλητήμεταβλητή u u στοστο σημείοσημείο PP00 καικαι συμβολίζεταισυμβολίζεται
0ut
u
dtdA
=
0PPuA
=∂∂
41
ΑνΑν ΑΑ, , ΒΒ, , CC διανυσματικέςδιανυσματικές συναρτήσειςσυναρτήσεις καικαι φφ αριθμητικήαριθμητική συνάρτησησυνάρτησητωντων μεταβλητώνμεταβλητών u,vu,v,,……,w ,w ισχύουνισχύουν οιοι ιδιότητεςιδιότητες::
ΟιΟι μερικέςμερικές παράγωγοιπαράγωγοι
είναιείναι διανυσματικέςδιανυσματικές συναρτήσειςσυναρτήσεις τωντων μεταβλητώνμεταβλητών u,vu,v,,……,w,wwA...,,
vA,
uA
∂∂
∂∂
∂∂
42
ΜερικέςΜερικές παράγωγοιπαράγωγοι δεύτερηςδεύτερης τάξεωςτάξεως::
43
Ολικό διαφορικό της διανυσματικής συνάρτησης Α
είναι μία διανυσματική συνάρτηση 2n ανεξάρτητων μεταβλητών(των u,v,…,w και du,dv,…dw)
Ιδιότητα:
ΟΟ τύποςτύπος τουτου ολικούολικού διαφορικούδιαφορικού πρώτηςπρώτης τάξεωςτάξεως, , dAdA,, δενδεν εξαρτάταιεξαρτάταιαπόαπό τοτο αναν οιοι μεταβλητέςμεταβλητές u,vu,v,,……,w ,w είναιείναι ανεξάρτητεςανεξάρτητες ήή συναρτήσειςσυναρτήσειςάλλωνάλλων ανεξάρτητωνανεξάρτητων μεταβλητώνμεταβλητών [[ππ..χχ. . u=u=u(s,tu(s,t), v=), v=v(s,tv(s,t), ), ……, w=, w=w(s,tw(s,t)])]
44
§12 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ
ΜίαΜία αριθμητικήαριθμητική συνάρτησησυνάρτηση f(x,y,zf(x,y,z) ) τριώντριών ανεξάρτητωνανεξάρτητων μεταβλητώνμεταβλητών x,y,zx,y,zπουπου ορίζεταιορίζεται σεσε έναένα τόποτόπο DD τουτου ℜℜ33, , καλείταικαλείται αριθμητικόαριθμητικό πεδίοπεδίο
ΜίαΜία διανυσματικήδιανυσματική συνάρτησησυνάρτηση ΑΑ((x,y,zx,y,z) ) τριώντριών ανεξάρτητωνανεξάρτητων μεταβλητώνμεταβλητώνx,y,zx,y,z πουπου ορίζεταιορίζεται σεσε έναένα τόποτόπο DD τουτου ℜℜ33, , καλείταικαλείται διανυσματικόδιανυσματικό πεδίοπεδίο
ΟρίζεταιΟρίζεται οο τελεστήςτελεστής ∇∇ πουπου καλείταικαλείται nablanabla ήή ανάδελταανάδελτα καικαι γράφεταιγράφεταισχηματικάσχηματικά::
zk
yj
xi
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
45
ΜεΜε τητη βοήθειαβοήθεια τουτου τελεστήτελεστή ανάδελταανάδελτα ορίζονταιορίζονται τατα ακόλουθαακόλουθα πεδίαπεδία::
46
ΑΑ ασυμπίεστοασυμπίεστο διανυσματικόδιανυσματικό πεδίοπεδίο ⇔⇔ ∇⋅∇⋅ΑΑ=0=0
ΑΑ αστρόβιλοαστρόβιλο διανυσματικόδιανυσματικό πεδίοπεδίο ⇔⇔ ∇×∇×ΑΑ==00
47
ΓιαΓια τοντον τελεστήτελεστή ανάδελταανάδελτα ισχύουνισχύουν οιοι ιδιότητεςιδιότητες::
48
ΓιαΓια τατα αριθμητικάαριθμητικά πεδίαπεδία ορίζεταιορίζεται τοτο σύμβολοσύμβολο τουτου LaplaceLaplace
γιαγια τοτο οποίοοποίο χρησιμοποιείταιχρησιμοποιείται καικαι τοτο σύμβολοσύμβολο ΔΔ, , δηλαδήδηλαδή ΔΔ==∇∇22
2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇⋅∇=∇
ΜεΜε τοτο σύμβολοσύμβολο τουτου Laplace Laplace ορίζεταιορίζεται ηη λαπλασιανήλαπλασιανή ενόςενόςαριθμητικούαριθμητικού πεδίουπεδίου
ηη οποίαοποία είναιείναι επίσηςεπίσης έναένα αριθμητικόαριθμητικό πεδίοπεδίο
ΙδιότηταΙδιότητα::
2
2
2
2
2
22
zf
yf
xfff
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇=Δ
49
§13 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣΚΑΙ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ
ΣτοΣτο χώροχώρο ℜℜ33 θεωρούμεθεωρούμε μιαμια καμπύληκαμπύλη cc μεμε διανυσματικήδιανυσματική εξίσωσηεξίσωση r=r=r(tr(t))
ΕπίσηςΕπίσης, , θεωρούμεθεωρούμε καικαι έναένα αριθμητικόαριθμητικό πεδίοπεδίο f=f=f(x,y,zf(x,y,z) ) πουπου ορίζεταιορίζεται σεσε έναένατόποτόπο τουτου ℜℜ33 εντόςεντός τουτου οποίουοποίου κείταικείται ηη καμπύληκαμπύλη cc
ΕπίΕπί τωντων σημείωνσημείων τηςτης cc ορίζεταιορίζεται μίαμία αριθμητικήαριθμητική συνάρτησησυνάρτηση
πουπου καλείταικαλείται παράγωγοςπαράγωγος συνάρτησησυνάρτηση ((ήή απλάαπλά παράγωγοςπαράγωγος) ) τουτου πεδίουπεδίου ffκατάκατά μήκοςμήκος τηςτης καμπύληςκαμπύλης cc
ΗΗ ««κατευθυνόμενηκατευθυνόμενη παράγωγοςπαράγωγος»» εκφράζειεκφράζει τηντην ταχύτηταταχύτητα μεταβολήςμεταβολήςτηςτης τιμήςτιμής f(Pf(P)) τουτου πεδίουπεδίου f,f, ότανόταν τοτο σημείοσημείο PP κινείταικινείται επίεπί τηςτης καμπύληςκαμπύλης c, c, σεσε σχέσησχέση μεμε τοτο μήκοςμήκος μετατόπισηςμετατόπισης τουτου σημείουσημείου PP
fc∇
50
)t(r
)t(rfff 0c •
•
⋅∇=ε⋅∇=∇
είναιείναι ηη κλίσηκλίση τουτου αριθμητικούαριθμητικού πεδίουπεδίου ff επίεπί τωντων σημείωνσημείων τηςτης cc
είναιείναι τοτο μοναδιαίομοναδιαίο εφαπτόμενοεφαπτόμενο διάνυσμαδιάνυσμα τηςτης καμπύληςκαμπύλης c: r=c: r=r(tr(t))
f∇0ε
51
θ∇=α⋅∇=∇α cosfff
θθ είναιείναι ηη γωνίαγωνία μεταξύμεταξύ τωντων διανυσμάτωνδιανυσμάτων καικαι αα
ότανόταν αα είναιείναι ηη κατεύθυνσηκατεύθυνση τουτου διανύσματοςδιανύσματος ∇∇ff
ότανόταν --αα είναιείναι ηη κατεύθυνσηκατεύθυνση τουτου διανύσματοςδιανύσματος ∇∇ff
ότανόταν αα ⊥⊥ ∇∇ff
f∇
ΑνΑν ηη καμπύληκαμπύλη cc είναιείναι ευθείαευθεία παράλληληπαράλληλη προςπρος τηντην κατεύθυνσηκατεύθυνση αα
τότετότε ηη κατευθυνόμενηκατευθυνόμενη παράγωγοςπαράγωγος καλείταικαλείται
παράγωγοςπαράγωγος τουτου πεδίουπεδίου ff κατάκατά τηντην κατεύθυνσηκατεύθυνση αα
καικαι συμβολίζεταισυμβολίζεται fα∇
f)fmax( ∇=∇α
f)fmin( ∇−=∇α
0f =∇α
52
§15 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
ΗΗ διανυσματικήδιανυσματική συνάρτησησυνάρτηση FF(x,y,z(x,y,z)=F)=F11(x,y,z)(x,y,z)ii+F+F22(x,y,z)(x,y,z)jj+F+F33(x,y,z)(x,y,z)kk
ορίζεταιορίζεται καικαι είναιείναι συνεχήςσυνεχής σεσε έναένα τόποτόπο DD τουτου ℜℜ33
ΟΟ τόποςτόπος D D περιέχειπεριέχει στοστο εσωτερικόεσωτερικό τουτου τηντην απλήαπλή καμπύληκαμπύλη
cc:: r(tr(t)=)=x(t)x(t)ii+y(t)+y(t)jj+z(t)+z(t)kk, t, t∈∈[[αα,,ββ]]
ΑΑ == PP((t=t=αα)) = (x(= (x(αα),),y(y(αα)),z(,z(αα))))
ΒΒ == PP((t=t=ββ) = ) = (x((x(ββ),),y(y(ββ)),z(,z(ββ))))
ΕπικαμπύλιοΕπικαμπύλιο ολοκλήρωμαολοκλήρωμα τηςτης παράστασηςπαράστασης FF11dx+Fdx+F22dy+Fdy+F33dz dz επίεπί τηςτης καμπύληςκαμπύλης cc είναιείναι τοτο
53
ΕκφράζειΕκφράζει τοτο έργοέργοπουπου παράγεταιπαράγεται απόαπό τητη μετακίνησημετακίνηση υλικούυλικού σημείουσημείουκατάκατά μήκοςμήκος τηςτης καμπύληςκαμπύλης ccαπόαπό τοτο σημείοσημείο ΑΑ μέχριμέχρι τοτο σημείοσημείο ΒΒυπόυπό τηντην επίδρασηεπίδραση τουτου πεδίουπεδίου δυνάμεωνδυνάμεων FF
54
ΙδιότητεςΙδιότητες::
ΙΙΙΙ. . ΑνΑν ηη καμπύληκαμπύλη cc αποτελείταιαποτελείται απόαπό πεπερασμένοπεπερασμένο πλήθοςπλήθοςδιαδοχικώνδιαδοχικών τόξωντόξων, , δηλαδήδηλαδή
c=cc=c11+c+c22++……+c+cmm μεμε
τότετότε
55
ΙΙΙΙΙΙ. . ΑνΑν ΑΑ≡≡ΒΒ, , δηλαδήδηλαδή ηη καμπύληκαμπύλη cc είναιείναι κλειστήκλειστή καμπύληκαμπύλη,,
τότετότε τοτο επικαμπύλιοεπικαμπύλιο ολοκλήρωμαολοκλήρωμα επίεπί τηςτης κλειστήςκλειστής καμπύληςκαμπύλης cc
δενδεν εξαρτάταιεξαρτάται απόαπό τοτο σημείοσημείο ΑΑ≡≡ΒΒ πουπου λαμβάνεταιλαμβάνεται ωςως αρχήαρχή τηςτης cc
αλλάαλλά μόνομόνο απόαπό τητη φοράφορά διαγραφήςδιαγραφής τηςτης cc
56
ΑνΑν c c είναιείναι μιαμια απλήαπλή κλειστήκλειστή καμπύληκαμπύλη τουτου επιπέδουεπιπέδου OxyOxy
ορίζουμεορίζουμε ωςως
««θετικήθετική φοράφορά διαγραφήςδιαγραφής τηςτης cc αυτήαυτή πουπου είναιείναι αντίθετηαντίθετηαπόαπό τητη φοράφορά κίνησηςκίνησης τωντων δεικτώνδεικτών τουτου ρολογιούρολογιού»»
ΤότεΤότε, , τοτο επικαμπύλιοεπικαμπύλιο ολοκλήρωμαολοκλήρωμα
συμβολίζεταισυμβολίζεται μεμε::
57
IV. IV. ΑνΑν ηη παράστασηπαράσταση FF11dx+Fdx+F22dy+Fdy+F33dz dz είναιείναι τοτο ολικόολικό διαφορικόδιαφορικό
μίαςμίας αριθμητικήςαριθμητικής συνάρτησηςσυνάρτησης f(x,y,zf(x,y,z)), , δηλαδήδηλαδή
τότετότε τοτο επικαμπύλιοεπικαμπύλιο ολοκλήρωμαολοκλήρωμα
είναιείναι ανεξάρτητοανεξάρτητο απόαπό τηντην καμπύληκαμπύλη cc, , πουπου ακολουθούμεακολουθούμε γιαγια ναναφθάσουμεφθάσουμε απόαπό τοτο σημείοσημείο ΑΑ((xx11,y,y11,z,z11)) στοστο ΒΒ((xx22,y,y22,z,z22)),,
καικαι ισχύειισχύει::
[ [ ήή ∇∇ff == FF ]]
58
V. V. ΑνΑν ηη παράστασηπαράσταση FF11dx+Fdx+F22dy+Fdy+F33dz dz είναιείναι τοτο ολικόολικό διαφορικόδιαφορικό
τηςτης αριθμητικήςαριθμητικής συνάρτησηςσυνάρτησης f(x,y,zf(x,y,z)), ,
τότετότε τοτο επικαμπύλιοεπικαμπύλιο ολοκλήρωμαολοκλήρωμα αυτήςαυτής
σεσε κάθεκάθε απλήαπλή κλειστήκλειστή καμπύληκαμπύλη c c είναιείναι μηδένμηδέν (0)(0)
ΔηλαδήΔηλαδή::
59
ΙκανήΙκανή καικαι αναγκαίααναγκαία συνθήκησυνθήκη γιαγια νανα είναιείναι ηη FF11dx+Fdx+F22dy+Fdy+F33dz dz ολικόολικό διαφορικόδιαφορικό μίαςμίας αριθμητικήςαριθμητικής συνάρτησηςσυνάρτησης
ΘεωρούμεΘεωρούμε ότιότι οιοι FF11, F, F22, F, F3 3 έχουνέχουν μερικέςμερικές παραγώγουςπαραγώγους ωςως προςπροςxx, , y, z y, z συνεχείςσυνεχείς στονστον ανοικτόανοικτό τόποτόπο D D τουτου ℜℜ33
ΌτανΌταν ηη παράστασηπαράσταση FF11dx+Fdx+F22dy+Fdy+F33dz dz είναιείναι τοτο ολικόολικό διαφορικόδιαφορικό
μίαςμίας αριθμητικήςαριθμητικής συνάρτησηςσυνάρτησης f(x,y,zf(x,y,z)) τότετότε
60
ΓιαΓια νανα αποτελούναποτελούν οιοι παραπάνωπαραπάνω σχέσειςσχέσεις καικαι ικανήικανή συνθήκησυνθήκη γιαγια ναναείναιείναι ηη παράστασηπαράσταση FF11dx+Fdx+F22dy+Fdy+F33dz dz ολικόολικό διαφορικόδιαφορικό μίαςμίαςαριθμητικήςαριθμητικής συνάρτησηςσυνάρτησης f(x,y,zf(x,y,z)) σεσε έναένα τόποτόπο DD, , υποθέτουμευποθέτουμεεπιπλέονεπιπλέον ότιότι::
««οο τόποςτόπος DD περιέχειπεριέχει τουλάχιστοντουλάχιστον έναένα σημείοσημείο PP00=(=(αα,,ββ,,γγ)) τέτοιοτέτοιο ώστεώστε∀∀ P=(P=(x,y,zx,y,z)) τουτου DD ηη τεθλασμένητεθλασμένη γραμμήγραμμή PP00PP11PP22P, P, όπουόπου PP11=(=(αα,,ββ,,zz) ) καικαι PP22=(=(αα,,y,zy,z), ), νανα κείταικείται στοστο εσωτερικόεσωτερικό τουτου τόπουτόπου DD»»
61
ΜεΜε τηντην πρόσθετηπρόσθετη υπόθεσηυπόθεση τηςτης προηγούμενηςπροηγούμενης διαφάνειαςδιαφάνειας, , οιοισχέσειςσχέσεις
είναιείναι ικανήικανή συνθήκησυνθήκη γιαγια νανα είναιείναι ηη παράστασηπαράσταση FF11dx+Fdx+F22dy+Fdy+F33dz dz ολικόολικό διαφορικόδιαφορικό στονστον τόποτόπο DD τηςτης αριθμητικήςαριθμητικής συνάρτησηςσυνάρτησης f(x,y,zf(x,y,z))
62
ΣτοΣτο επίπεδοεπίπεδο OxyOxy, , ηη σχέσησχέση
είναιείναι ικανήικανή καικαι αναγκαίααναγκαία συνθήκησυνθήκη γιαγια νανα είναιείναι ηη παράστασηπαράσταση FF11dx+Fdx+F22dy dy ολικόολικό διαφορικόδιαφορικό τηςτης αριθμητικήςαριθμητικής συνάρτησηςσυνάρτησης f(x,yf(x,y))
αναν ισχύειισχύει ότιότι::
««οο τόποςτόπος DD τουτου ℜℜ22 περιέχειπεριέχει τουλάχιστοντουλάχιστον έναένα σημείοσημείο PP00=(=(αα,,ββ)) τέτοιοτέτοιο ώστεώστε∀∀ P=(P=(x,yx,y)) τουτου DD ηη τεθλασμένητεθλασμένη γραμμήγραμμή PP00PP11P, P, όπουόπου PP11=(=(αα,,yy)), , νανα κείταικείται στοστοεσωτερικόεσωτερικό τουτου τόπουτόπου DD»»
x
y
PP00=(=(αα,,ββ))
PP11=(=(αα,,yy)) ∀∀ PP=(=(xx,,yy))
63
ΣυντηρητικάΣυντηρητικά πεδίαπεδία καικαι συνάρτησησυνάρτηση δυναμικούδυναμικού
ΌτανΌταν ισχύειισχύει μίαμία απόαπό τιςτις παραπάνωπαραπάνω ισοδύναμεςισοδύναμες σχέσειςσχέσεις,,
τότετότε τοτο πεδίοπεδίο FF καλείταικαλείται συντηρητικόσυντηρητικό
καικαι ηη συνάρτησησυνάρτηση ff καλείταικαλείται συνάρτησησυνάρτηση δυναμικούδυναμικού τουτου πεδίουπεδίου FF
ΣεΣε αυτήαυτή τηντην περίπτωσηπερίπτωση, , τοτο έργοέργο πουπου παράγεταιπαράγεται κατάκατά τητη μετατόπισημετατόπιση ενόςενός σωματιδίουσωματιδίου απόαπό τοτοσημείοσημείο PP11= (x= (x11,y,y11,z,z11) ) στοστο PP22= (x= (x22,y,y22,z,z22) ) υπόυπό τηντην επίδρασηεπίδραση τουτου πεδίουπεδίου FFείναιείναι ανεξάρτητοανεξάρτητο τηςτης τροχιάςτροχιάςκαικαι ισούταιισούται μεμε τητη διαφοράδιαφορά δυναμικούδυναμικού
ΔΔf = f(xf = f(x22,y,y22,z,z22) ) -- f(xf(x11,y,y11,z,z11) )
64
ΑνΑν FF είναιείναι συντηρητικόσυντηρητικό πεδίοπεδίο καικαι f f είναιείναι ηη συνάρτησησυνάρτηση δυναμικούδυναμικού αυτούαυτού
SS11 καικαι SS22 ισοβαρείςισοβαρείς επιφάνειεςεπιφάνειες τηςτης ff
SS11: : f(xf(x11,y,y11,z,z11) = c) = c1 1 όπουόπου (x(x11,y,y11,z,z11) ) τυχόντυχόν σημείοσημείο τηςτης SS1 1
SS22: : f(xf(x22,y,y22,z,z22) = c) = c22 όπουόπου (x(x22,y,y22,z,z22) ) τυχόντυχόν σημείοσημείο τηςτης SS22
ΔΔf = f(xf = f(x22,y,y22,z,z22) ) -- f(xf(x11,y,y11,z,z11))
fdzFdyFdxFdzFdyFdxF2121 QQ
321
PP
321 Δ=++=++ ∫∫∩∩
65
ΤύποςΤύπος τουτου GreenGreen
ΔίνειΔίνει μίαμία σχέσησχέση μεταξύμεταξύ::
-- τουτου επικαμπύλιουεπικαμπύλιου ολοκληρώματοςολοκληρώματος επίεπί μίαςμίας απλήςαπλής κλειστήςκλειστής καμπύληςκαμπύλης ccτουτου επιπέδουεπιπέδου OxyOxy καικαι
-- τουτου διπλούδιπλού ολοκληρώματοςολοκληρώματος στονστον κλειστόκλειστό χώροχώρο ΤΤ πουπου ορίζεταιορίζεται απόαπό τηντηνκαμπύληκαμπύλη c.c.
HH κλειστήκλειστή καμπύληκαμπύλη cc πρέπειπρέπει νανα μηνμην έχειέχειδιπλόδιπλό σημείοσημείο ((νανα μηνμην αυτοτέμνεταιαυτοτέμνεται). ).
ΤοΤο χωρίοχωρίο ΤΤ πρέπειπρέπει νανα περιέχειπεριέχει όλαόλα τατα σημείασημείαπουπου βρίσκονταιβρίσκονται στοστο εσωτερικόεσωτερικό καικαι επίεπί τηςτηςκαμπύληςκαμπύλης cc..
ΤοΤο χωρίοχωρίο ΤΤ πρέπειπρέπει νανα μπορείμπορεί νανα χωρισθείχωρισθεί μεμεπεπερασμένοπεπερασμένο πλήθοςπλήθος παραλλήλωνπαραλλήλων προςπροςτουςτους άξονεςάξονες OxOx καικαι ΟΟyy σεσε χωρίαχωρία TT11, T, T22, , ……καθένακαθένα απόαπό τατα οποίαοποία είναιείναι ««απλόαπλό χωρίοχωρίο καικαιωςως προςπρος x x καικαι ωςως προςπρος yy»»
66
ΧωρίοΧωρίο απλόαπλό ωςως προςπρος y:y:
φφ11(x)<(x)<φφ22(x) (x) ∀∀ αα<<xx<<ββ
ΜόνοΜόνο σταστα άκραάκρα αα, , ββ μπορούμεμπορούμε νανα έχουμεέχουμε φφ11((αα))==φφ22((αα)) ήή φφ11((ββ))==φφ22((ββ) )
ΚάθεΚάθε παράλληλοςπαράλληλος προςπρος τοντον άξοναάξονα OyOy πουπου διέρχεταιδιέρχεται απόαπό τοτο εσωτερικόεσωτερικό τουτου ΤΤέχειέχει ακριβώςακριβώς δύοδύο σημείασημεία κοινάκοινά μεμε τηντην καμπύληκαμπύλη ΑΒΓΔΑΑΒΓΔΑ
67
ΧωρίοΧωρίο απλόαπλό ωςως προςπρος x:x:
φφ11(y)<(y)<φφ22(y) (y) ∀∀ γγ<<yy<<δδ
ΜόνοΜόνο σταστα άκραάκρα γγ, , δδ μπορούμεμπορούμε νανα έχουμεέχουμε φφ11((γγ))==φφ22((γγ)) ήή φφ11((δδ))==φφ22((δδ) )
ΚάθεΚάθε παράλληλοςπαράλληλος προςπρος τοντον άξοναάξονα OxOx πουπου διέρχεταιδιέρχεται απόαπό τοτο εσωτερικόεσωτερικό τουτου ΤΤ’’έχειέχει ακριβώςακριβώς δύοδύο σημείασημεία κοινάκοινά μεμε τηντην καμπύληκαμπύλη ΑΒΓΔΑΑΒΓΔΑ
68
ΧωρίοΧωρίο απλόαπλό ωςως προςπρος xx καικαι ωςως προςπρος y:y:
ΚάθεΚάθε παράλληλοςπαράλληλος προςπρος τοντον άξοναάξονα OyOy μεμε εξίσωσηεξίσωση x=xx=x00, , αα<<xx00<<ββκαικαικάθεκάθε παράλληλοςπαράλληλος προςπρος τοντον άξοναάξονα OxOx μεμε εξίσωσηεξίσωση y=yy=y00, , γγ<<yy00<<δδτέμνουντέμνουν τηντην καμπύληκαμπύλη cc σεσε ακριβώςακριβώς δύοδύο σημείασημεία
69
ΟΟ τύποςτύπος τουτου Green:Green:
ΗΗ απλήαπλή κλειστήκλειστή καμπύληκαμπύλη cc διαγράφεταιδιαγράφεται κατάκατά τητη θετικήθετική φοράφορά..
70
ΓενίκευσηΓενίκευση τουτου τύπουτύπου τουτου Green:Green:
ΟΟ τύποςτύπος τουτου Green Green ισχύειισχύει καικαι ότανόταν μίαμία παράλληλοςπαράλληλος προςπρος ένανέναν απόαπό τουςτουςάξονεςάξονες τέμνειτέμνει τηντην καμπύληκαμπύλη cc σεσε περισσότεραπερισσότερα απόαπό δύοδύο σημείασημεία
ΟΟ τύποςτύπος τουτου GreenGreen ισχύειισχύει σχεδόνσχεδόν γιαγια κάθεκάθε απλήαπλή κλειστήκλειστή καμπύληκαμπύλη τουτουεπιπέδουεπιπέδου ((απαιτείταιαπαιτείται πεπερασμένοπεπερασμένο πλήθοςπλήθος παραλλήλωνπαραλλήλων προςπρος τουςτους δύοδύοάξονεςάξονες γιαγια νανα χωρισθείχωρισθεί τοτο χωρίοχωρίο ΤΤ σεσε απλάαπλά χωρίαχωρία ωςως προςπρος x x καικαι ωςως προςπρος y)y)
71
ΥπολογισμόςΥπολογισμός εμβαδούεμβαδού επιπέδουεπιπέδου χωρίουχωρίου μεμε τοντον τύποτύπο τουτου Green:Green:
ΘεωρούμαιΘεωρούμαι τιςτις συναρτήσειςσυναρτήσεις FF11=0 =0 καικαι FF22=x =x ήή FF11==--y y καικαι FF22=0=0
καικαι τότετότε::
72
ΑςΑς θεωρήσουμεθεωρήσουμε δύοδύο απλέςαπλές κλειστέςκλειστές καμπύλεςκαμπύλες c c καικαι c*c*
H H καμπύληκαμπύλη c* c* βρίσκεταιβρίσκεται εξεξ ολοκλήρουολοκλήρου στοστο εσωτερικόεσωτερικό τουτου χωρίουχωρίου πουπου ορίζειορίζει ηη cc
ΤοΤο χωρίοχωρίο ΤΤ αποτελείταιαποτελείται απόαπό τατα σημείασημεία τωντων c c καικαι c*c* καθώςκαθώς καικαι όλαόλα τατα σημείασημείαπουπου είναιείναι εσωτερικάεσωτερικά τηςτης c c καικαι εξωτερικάεξωτερικά τηςτης c*c*
ΗΗ σχέσησχέση
ΙσχύειΙσχύει ακόμαακόμα καικαι ότανόταν οιοι συναρτήσειςσυναρτήσεις
δενδεν ορίζονταιορίζονται ήή δενδεν είναιείναι συνεχείςσυνεχείς σεσε κάποιοκάποιο απόαπό τατα εσωτερικάεσωτερικά σημείασημεία τηςτηςκαμπύληςκαμπύλης c*c*, , τατα οποίαοποία βέβαιαβέβαια δενδεν ανήκουνανήκουν στοστο ΤΤ
xF,
yF,F,F
∂∂
∂∂ 21
21
73
ΕπικαμπύλιαΕπικαμπύλια ολοκληρώματαολοκληρώματα αριθμητικώναριθμητικών συναρτήσεωνσυναρτήσεων
ΘεωρούμεΘεωρούμε μίαμία αριθμητικήαριθμητική συνάρτησησυνάρτηση f(x,y,zf(x,y,z)) ορισμένηορισμένη καικαι συνεχήσυνεχή σεσε έναένατόποτόπο DD τουτου ℜℜ33 στοστο εσωτερικόεσωτερικό τουτου οποίουοποίου κείταικείται εξεξ ολοκλήρουολοκλήρου ηη καμπύληκαμπύλη cc μεμεπαραμετρικέςπαραμετρικές εξισώσειςεξισώσεις x=x=x(tx(t), y=), y=y(ty(t), z=), z=z(tz(t)) όπουόπου tt ∈∈ [[αα,,ββ]]
ΕπικαμπύλιοΕπικαμπύλιο ολοκλήρωμαολοκλήρωμα τουτου γινομένουγινομένου f(x,y,z)f(x,y,z)⋅⋅dsds επίεπί τηςτης καμπύληςκαμπύλης cc
όπουόπου πάνταπάντα αα≤≤ββ
ΣυμβολίζεταιΣυμβολίζεται: :
74
ΙδιότητεςΙδιότητες::
ΙΙ. . ΑνΑν ηη καμπύληκαμπύλη cc αποτελείταιαποτελείται απόαπό πεπερασμένοπεπερασμένο πλήθοςπλήθοςδιαδοχικώνδιαδοχικών τόξωντόξων, , δηλαδήδηλαδή
c=cc=c11+c+c22++……++ccnn
τότετότε
ΙΙΙΙ. .