415

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ Π1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ Διαφορική μορφή-1 ή απλώς διαφορικό ή μορφή-1 (differential 1-form ή απλώς differential ή 1-form) ή διαφορική μορφή πρώτου βαθμού, σε χώρο διάστασης είναι η έκφραση της μορφής

, (12.1)

Υποτίθεται ισχύουν κατάλληλα κριτήρια παραγωγισιμότητας και συνέχειας για τα . Διαφορική μορφή-0 είναι απλώς η έκφραση (συνάρτηση) (12.2) Διαφορική μορφή-2 είναι η έκφραση

. (12.3)

Το πλήθος των όρων του αθροίσματος στην Εξ. (12.3) είναι οι συνδυασμοί (δεν ενδιαφέρει η σειρά στη

διάταξη) διαφορετικών αντικειμένων ανά διαφορετικά αντικείμενα δηλαδή .

Το σύμβολο Λ παριστάνει το γινόμενο-Λ (wedge-product) που βοηθά στη γενίκευση των συνήθων γινομένων του διανυσματικού λογισμού. Η μεθοδολογία αυτή ξεκίνησε για την εύκολη μετατροπή ολοκληρωμάτων από ένα σύστημα μεταβλητών σε άλλο. Διαφορική μορφή- (το είναι ο βαθμός της διαφορικής μορφής) είναι η σχέση

. (12.4)

Για το γινόμενο-Λ μεταξύ διαφορικών μορφών-1 ισχύουν οι ιδιότητες

(12.5)

Για να προστεθούν δυο διαφορικές μορφές πρέπει να έχουν τον ίδιο βαθμό και ισχύει . (12.6) Το γινόμενο-Λ έχει πολλές από τις ιδιότητες του «συνήθους» γινομένου της αριθμητικής. Δηλαδή αν διαφορικές μορφές-1 τότε

. (12.7)

Το γινόμενο δυο διαφορικών μορφών βαθμού και αντιστοίχως οδηγεί σε διαφορική μορφή βαθμού . Η (εξωτερική) διαφόριση της διαφορικής μορφής της Εξ. (12.4) ορίζεται ως εξής

n

1 21 1

( )d d ( ), ( , ,..., )n n

i i i i ni i

A u u u A u u u u u

( )iA u

( )f u

11

( )d dn n

ij i ji j ji

B u u u

n k !!( )!

nk n k

k k

1 2 1 21 2

......

1

( )d d ... dn k

k

n

i i i i i ii i i

i

B u u u u

, 0(και προφανώς) d d d d , d d 0

i j j i i i

i j j i i i

a a a a a aa a a a a a

a b b a

, ,a b c

( )( ) ( )

a b c a b a ca b c a b c a b c

k l( )k l

416

. (12.8)

Τα είναι συνήθεις συναρτήσεις (άρα διαφορικές μορφές-0) και το διαφορικό τους είναι το σύνηθες

ολικό διαφορικό συναρτήσεων. Το διαφορικό είναι βαθμού , δηλαδή διαφορική μορφή-( ). Κάθε διαφόριση αυξάνει το βαθμό της διαφορικής μορφής κατά ένα. Σημειώνομε ότι πολλαπλασιασμός επί ( )f u σημαίνει συνήθης πολλαπλασιασμός, οπότε .

( )d d ( )f u u uf u Για παράδειγμα, έστω η διαφορική μορφή πρώτου βαθμού Η εξωτερική διαφόρισή της οδηγεί στη διαφορική μορφή 2ου βαθμού

Τελικώς

Μπορεί κανείς να δει εύκολα ότι μια διαφορική μορφή βαθμού μεγαλύτερου από τη διάσταση του χώρου είναι ίση με μηδέν διότι θα υπάρχουν δυο τουλάχιστο ίδια σε κάθε όρο της, βλέπε Εξ. (12.5). Π2. ΔΙΑΦΟΡΑ ΕΙΔΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ ΔΥΝΑΜΗΣ Αν έχομε μια δυνατή μεταβολή, , της γενικευμένης συντεταγμένης, , ενώ όλες οι άλλες γενικευμένες συντεταγμένες μένουν αμετάβλητες, τότε το σημείο του πλήρους καρτεσιανού θεσικού χώρου θα υποστεί μια αντίστοιχη δυνατή μεταβολή, . Η κατεύθυνση αυτής της

μετατόπισης στον καρτεσιανό χώρο, λέγεται κατεύθυνση . Έστω η δύναμη, , του καρτεσιανού χώρου (καρτεσιανή δύναμη). Η ορθή προβολή της στην κατεύθυνση λέγεται φυσική

συνιστώσα της στην κατεύθυνση και παριστάνεται συνήθως ως . Για να βρούμε τη σχέση μεταξύ γενικευμένων συνιστωσών δυνάμεων και φυσικών συνιστωσών σκεφτόμαστε ως εξής. Η συνιστώσα μιας δυνατής μετατόπισης στην κατεύθυνση, στην κατεύθυνση της καρτεσιανής συνιστώσας δίνεται από τη σχέση

. (13.1)

1 2 1 21 2

...... 1

d d ( ) d d ... dn k

k

n

i i i i i ii i i

B u u u u

1 2 ... ( )ni i iB u

d 1k 1k

1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3( , , )d ( , , )d ( , , )dA u u u u B u u u u C u u u u

1 2 3 1 1 2 3 21 2 3 1 2 3

1 2 3 3 2 1 3 11 2 3 2 3

1 2 3 2 1 3 2 31 3 1 2

d d d d d d d d d

d d d d d d d d

d d d d d d d d

A A A B B Bu u u u u u u uu u u u u u

C C C A Au u u u u u u uu u u u u

B B C Cu u u u u u u uu u u u

1 2 1 3 2 31 2 1 3 2 3

d d d d d d dB A C A C Bu u u u u uu u u u u u

d lu

δ iq iq

1 2( , ,..., )Nr r r r

1 2δ (δ ,δ ,...,δ )Nr r r r

iq 1 2 3( , ,..., )NF X X X

iqF

iqiqF

iq jx

δ δ , 1, 2,...,3jj i

i

xx q j N

q

417

Επομένως η συνιστώσα στην κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος στην

κατεύθυνση , είναι

. (13.2)

Το εσωτερικό γινόμενο επί τη δύναμη , δίνει τη φυσική συνιστώσα της δύναμης αυτής στην κατεύθυνση , δηλαδή

. (13.3)

Έχομε την παρακάτω σχέση για τις γενικευμένες συνιστώσες δύναμης,

.

Προφανώς στο συμβολισμό με τις καρτεσιανές συνιστώσες μπορεί να γραφτεί ως

. (13.4)

Από την Εξ. (13.3) και την Εξ. (13.4) βρίσκομε τη ζητούμενη σχέση για την φυσική συνιστώσα της καρτεσιανής δύναμης,

. (13.5)

Υπάρχουν και άλλες ανάλογες ποσότητες για τις δυνάμεις, οι πιο διαδεδομένες είναι οι λεγόμενες συνήθεις (ordinary) συνιστώσες δύναμης, . Οι συνήθεις συνιστώσες δύναμης στις κατευθύνσεις

, ορίζονται ως το σύνολο των πολυδιάστατων διανυσμάτων στις κατευθύνσεις τα οποία όταν αθροιστούν διανυσματικά δίνουν το πολυδιάστατο διάνυσμα της δύναμης στον καρτεσιανό χώρο των 3Ν διαστάσεων. Χωρίς να το αποδείξομε απλώς αναφέρομε ότι η συνήθης συνιστώσα δύναμης στην κατεύθυνση δίνεται από

(13.6)

όπου η γενικευμένη συνιστώσα δύναμης, είναι μήτρα με στοιχεία

και είναι τα στοιχεία της αντίστροφης μήτρας.

jx 1 2 3( ) ( , ,..., )i Nn q n n n

iq

1/2

2

1

/( ) , 1, 2,...,3

/

j ij i

N

j ij

x qn q j N

x q

1 2 3( , ,..., )NF X X X

iq

3 3

1/21 1 2

1

/( )

/i

N Nj j i

q j j iNj j

j ij

X x qF X n q

x q

1

Ni

ii

rQ Fq

3

1

Nj

i jj i

xQ X

q

iq

1/2

2

1/

i

jq

N

j ij

QF

x q

o iqX, 1, 2,...,iq i n iq

iq

1/ 2o

1( )

i

n

q ii ij jj

X g g Q

jQ iq ijg

3

1/ ( / )

N

ij k i k jk

g x q x q

ijg

418

Πολλές φορές οι όροι δε χρησιμοποιούνται προσεκτικά και μπερδεύονται, καλό είναι να το έχομε υπόψη. Το Σχ. (Π3.1) δείχνει τις διαφορές τους στις δυο διαστάσεις. ΟΒ είναι η φυσική συνιστώσα της δύναμης

στην κατεύθυνση της γενικευμένης συνιστώσας. ΟΑ είναι η συνήθης συνιστώσα της δύναμης στην ίδια κατεύθυνση. Το σύστημα των γενικευμένων συντεταγμένων είναι πλαγιογώνιο καρτεσιανό.

Σχήμα Π2.1 Φυσική (OB) και συνήθης (ΟΑ) συνιστώσες δύναμης. Π3. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ας ξεκινήσομε από σύστημα αναφοράς στο οποίο η περιγραφή γίνεται με καρτεσιανές, σταθερές ως προς το σύστημα αναφοράς, συντεταγμένες. Για μηχανικό σύστημα με Ν σωμάτια έχομε για την κινητική ενέργεια ως προς αυτό το σύστημα αναφοράς:

. (14.1)

Έχομε τις σχέσεις σημειακού μετασχηματισμού συντεταγμένων Εξ. (14.2), όπου έχουν ληφθεί υπόψη οι ολόνομοι δεσμοί και έτσι έχουν οριστεί n γενικευμένες συντεταγμένες θέσης (14.2) Κατά το μετασχηματισμό το σύστημα αναφοράς παραμένει το ίδιο, οπότε ισχύουν για τις ταχύτητες σε αυτό το σύστημα αναφοράς:

. (14.3)

Άρα (14.4)

f

1q f

1 2,q q

2

1

12

N

i ii

T m

1 2( , ,..., , ), 1, 2,..., .i i nr r q q q t i N

1

dd

ni i i

i ir r rr qt q t

2

1 1

0 1 2

12

( , ) ( , , ) ( , , ).

N ni i

i ji j j

r rT m qq t

T q t T q q t T q q t

419

Όπου

(14.5)

Το πρώτο άθροισμα, προσθετέος, , δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες, το δεύτερο,

, εξαρτάται γραμμικά από τις ταχύτητες. Οι όροι αυτού του αθροίσματος λέγονται γυροσκοπικοί όροι. Σε αυτούς οφείλεται η «περίεργη» κίνηση του γυροσκοπίου. Το τρίτο άθροισμα

είναι δευτέρου βαθμού ως προς τις ταχύτητες. Οι τρεις προσθετέοι είναι ομογενείς ως προς

τις ταχύτητες βαθμών 0, 1, 2 αντιστοίχως. Δηλαδή ισχύει η γνωστή σχέση του Euler, όπου

είναι ο βαθμός ομογένειας για τις μεταβλητές. Αν οι εξισώσεις μετασχηματισμού από τις καρτεσιανές στις άλλες γενικευμένες συντεταγμένες δεν περιέχουν άμεσα το χρόνο, τότε και μένει μόνο ο όρος

, ο οποίος έχει ομογενή τετραγωνική μορφή ως προς τις γενικευμένες ταχύτητες και δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο. Είναι δυνατόν οι εξισώσεις μετασχηματισμού να εξαρτώνται από το χρόνο ενώ η κινητική ενέργεια να μην εξαρτάται από το χρόνο. Μπορεί να το δείτε εύκολα θεωρώντας ότι οι μετασχηματισμοί έχουν γραμμική εξάρτηση από το χρόνο. Αυτό δεν σημαίνει ότι σε αυτή την περίπτωση

2T T= . Σημειώνομε ότι, η κινητική ενέργεια με τις νέες συντεταγμένες είναι η κινητική ενέργεια ως προς το ίδιο σύστημα αναφοράς. Απλώς εκφράζεται συναρτήσει άλλων συντεταγμένων. Η μορφή της έχει αλλάξει αλλά οι τιμές της στα αντίστοιχα σημεία είναι ίδιες. Με αυτό το μετασχηματισμό σημείου, κάμαμε απλή αντικατάσταση των συντεταγμένων θέσης στην έκφραση για την αρχική κινητική ενέργεια. Η κινητική ενέργεια για κινούμενο σύστημα αναφοράς ως προς το πρώτο υπολογίζεται διαφορετικά και οι τιμές της

στα αντίστοιχα σημεία είναι διαφορετικές. Συγκεκριμένα ισχύει 2

1

12

N

i rii

T m

, όπου r είναι η (σχετική)

ταχύτητα ως προς το κινούμενο σύστημα αναφοράς. Π4. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΔΙΚΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας ο χωρόχρονος του Minkowski έχει τις τέσσερις συντεταγμένες που σε κάποιο σύστημα Lorentz είναι . (15.1) Δηλαδή η συντεταγμένη με δείκτη 0 αντιστοιχεί στο χρόνο και οι υπόλοιπες τρεις είναι οι συνήθεις καρτεσιανές συντεταγμένες. Οι τέσσερεις αυτές συντεταγμένες αντιστοιχούν σε ένα (κοσμικό) γεγονός σε ορισμένη χωρική θέση που συμβαίνει ορισμένη χρονική στιγμή . Η τετράδα αυτή αποτελεί ένα τετραδιάνυσμα. Χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο συμβολισμό για τετραδιανύσματα, με ελληνικούς δείκτες, που παίρνουν τιμές (0,1,2,3)

2

0 0 01

11 1

21 1

1( , ) ( , ), ( , )2

( , , ) ( , ) , ( , )

1( , , ) ( , ) , ( , ) ( , )2

Ni

ii

n Ni i

j j j ij i j

n Ni i

jk j k jk kj ij k i j k

rT q t M q t M q t mt

r rT q q t M q t q M q t mt q

r rT q q t M q t q q M q t M q t mq q

1.

n

0 0 ( , )T T q t

1 1( , , )T T q q t

2 2 ( , , )T T q q t

1

n

ii i

fx kfx

k

n0 1 0T T

2 2, ( , )T T T q q

0 1 2 3 0 1 2 3, , , , , ,x x x x x ct x x x y x z

1 2 3( , , )x x x t

420

τετραδιάνυσμα . (15.2) Ας υποθέσομε ότι υπάρχει μετασχηματισμός που μας οδηγεί από ένα σύστημα συντεταγμένων σε άλλο σύστημα συντεταγμένων. Έστω ότι οι συντεταγμένες των δυο συστημάτων συνδέονται με μετασχηματισμούς της μορφής

(15.3)

Οι τανυστές τάξης που ορίζονται στο χωροχρονικό σημείο χαρακτηρίζονται από τις ιδιότητες μετασχηματισμού τους υπό το μετασχηματισμό συντεταγμένων . Συγκεκριμένα ένα βαθμωτό (μέγεθος) είναι ένας τανυστής τάξης μηδέν, δηλαδή είναι μια μοναδική ποσότητα που η τιμή της δε μεταβάλλεται από το μετασχηματισμό. Οι τανυστές τάξης 1 είναι διανύσματα και μπορεί να είναι δυο τύπων. Τα λεγόμενα ανταλλοίωτα διανύσματα με τέσσερις συνιστώσες , που δηλώνονται με άνω δείκτες και μετασχηματίζονται σύμφωνα με τον κανόνα

. (15.4)

Δηλαδή όπως ένα διαφορικό. Εδώ εννοείται ότι έχομε άθροιση στους επαναλαμβανόμενους δείκτες, δηλαδή

. (15.5)

Οι άνω δείκτες λέγονται ανταλλοίωτοι δείκτες. Τα λεγόμενα συναλλοίωτα διανύσματα , δηλώνονται με κάτω δείκτες και χαρακτηρίζονται από τον ακόλουθο μετασχηματισμό

. (15.6)

Δηλαδή μετασχηματίζονται όπως η βαθμίδα μιας συνάρτησης. Αναλυτικά έχομε

. (15.7)

Οι κάτω δείκτες λέγονται συναλλοίωτοι δείκτες. Ένας ανταλλοίωτος τανυστής τάξης δύο αποτελείται από 16 ποσότητες (συνιστώσες) που μετασχηματίζονται ως εξής

. (15.8)

Ένας συναλλοίωτος τανυστής τάξης δύο , μετασχηματίζεται όπως φαίνεται παρακάτω

. (15.9)

Ένας μεικτός τανυστής δεύτερης τάξης μετασχηματίζεται ως εξής

. (15.10)

Το πλήθος των δεικτών χαρακτηρίζει την τάξη του τανυστή. Εύκολα μπορεί να γενικεύσει κάποιος τα ανωτέρω και σε τανυστές μεγαλύτερης τάξης. Το εσωτερικό ή βαθμωτό γινόμενο δυο διανυσμάτων ορίζεται ως γινόμενο των αντίστοιχων συνιστωσών ενός συναλλοίωτου και ενός ανταλλοίωτου διανύσματος, δηλαδή . (15.11)

, 0,1,2,3x

0 1 2 3

0 1 2 3

( , , , )( , , , ), 0,1,2,3

x x x x x xx x x x x x

k x

x x

A 0 1 2 3, , ,A A A A

xA Ax

0 1 2 30 1 2 3

x x x xA A A A Ax x x x

B

xB Bx

0 1 2 3

0 1 2 3x x x xB B B B Bx x x x

F

x xF Fx x

x xG Gx x

H

x xH Hx x

B A B A

421

Εύκολα προκύπτει ότι αυτό είναι πράγματι βαθμωτό με την έννοια ότι οι ανωτέρω μετασχηματισμοί συντεταγμένων το αφήνουν αμετάβλητο . (15.12) Με τον όρο εσωτερικό γινόμενο ή συναλοιφή ή συστολή (contraction) σε σχέση με δυο δείκτες που ανήκουν στον ίδιο τανυστή ή σε διαφορετικούς, ορίζεται ως η άθροιση ως προς αυτούς τους δείκτες με ανάλογο τρόπο όπως στην Εξ. (15.11). Πρέπει ο ένας δείκτης να είναι ανταλλοίωτος και ο άλλος συναλλοίωτος. Παρόλο που αναφερθήκαμε σε τανυστές που ορίζονται σε τετραδιάστατο χώρο, αυτό δεν είναι απαραίτητο, ο χώρος μπορεί να έχει οσεσδήποτε διαστάσεις. Αν ο χώρος έχει διαστάσεις και η τάξη του τανυστή είναι , τότε ο τανυστής έχει συνιστώσες. Όπως αναφέραμε στην αρχή, στην περίπτωση της ειδικής σχετικότητας ο χώρος είναι ο τετραδιάστατος χώρος του Minkowski. Οι μετασχηματισμοί είναι οι μετασχηματισμοί του Lorentz. Η γεωμετρία του χωρόχρονου της ειδικής σχετικότητας χαρακτηρίζεται από το (αναλλοίωτο) μήκος

ως προς μετασχηματισμούς Lorentz, για το οποίο ισχύει . Για το στοιχειώδες μήκος έχομε . (15.13) Το στοιχειώδες μήκος είναι επίσης αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς του Lorentz, δηλαδή είναι ένα βαθμωτό (μέγεθος). Γενικώς το στοιχειώδες μήκος καθορίζεται από τη μετρική του χώρου που εκφράζεται από το μετρικό τανυστή , ως εξής

. (15.14) Ο μετρικός τανυστής είναι ο ακόλουθος συμμετρικός, διαγώνιος τανυστής

. (15.15)

Ισχύουν οι σχέσεις

για και (15.16)

. Προφανώς έχομε τη σχέση . (15.17) Όπου είναι το δέλτα του Kronecker. Ο μετρικός τανυστής είναι αυτός που χρησιμοποιείται ώστε να μετατρέψομε ένα δείκτη τανυστή από συναλλοίωτο σε ανταλλοίωτο και αντίστροφα, αυτό ουσιαστικά έγινε στην Εξ. (15.14). Έχομε

. (15.18)

B A B A

n knk

s 2 0 2 1 2 2 2 3 2( ) ( ) ( ) ( )s x x x x

2 0 2 1 2 2 2 3 2(d ) =(d ) -(d ) -(d ) -(d )s x x x x

g2(d ) d d d ds x x g x x

1 0 0 00 -1 0 00 0 -1 00 0 0 -1

g

g g g

0, g g

00 11 22 331, 1, 1, 1g g g g

, 0 , 1 =0,1,2,3g g

.. .. .... ... ..... .. ... . ....

,

,

x g x x g x

F g F G g G

422

Στην περίπτωση της σχετικότητας όταν ανεβαίνει ή κατεβαίνει ένας δείκτης τανυστή, αν ο δείκτης έχει την τιμή 0 (δηλαδή αναφέρεται στη χρονική συνιστώσα) τότε η συνιστώσα του τανυστή μένει αμετάβλητη, αν ο δείκτης είναι 1,2 ή 3 (χωρικές συνιστώσες) τότε το μέτρο της συνιστώσας μένει το ίδιο αλλά αλλάζει το πρόσημό της. Για παράδειγμα, έστω το ανταλλοίωτο τετραδιάνυσμα στο χώρο του Minkowski, θα έχομε . (15.19) Το εσωτερικό γινόμενο δυο τετραδιανυσμάτων είναι , Ο τελεστής της παραγώγισης ως προς μιαν ανταλλοίωτη συνιστώσα του τετραδιανύσματος το τετραχώρου της σχετικότητας, είναι συναλλοίωτος διανυσματικός τελεστής. Ο τελεστής παραγώγισης ως προς τις αντίστοιχες συναλλοίωτες συνιστώσες είναι ανταλλοίωτος διανυσματικός τελεστής. Πρέπει να πούμε ότι τέτοιες παραγωγίσεις δεν οδηγούν στη γενική περίπτωση του τανυστικού λογισμού σε τανυστές αλλά μόνο αν ο μετασχηματισμός συντεταγμένων είναι γραμμικός. Έχομε τους συμβολισμούς

(15.20)

Η τετραπόκλιση ενός τετραδιανύσματος είναι ένα βαθμωτό (αναλλοίωτο) μέγεθος,

. (15.21)

Ο τετραδιάστατος τελεστής του Laplace (λαπλασιανή) στο χώρο της ειδικής σχετικότητας είναι

. (15.22)

Θα αναφερθούμε με λίγα λόγια στον Τανυστικό Λογισμό ως ερευνητική μέθοδο. Στα προηγούμενα αναφερθήκαμε σε μερικές σχέσεις του Τανυστικού Λογισμού που είναι χρήσιμες στην Ειδική Σχετικότητα. Η χρησιμότητά του όμως, είναι ίσως πιο σημαντική στη Γενική Σχετικότητα. Δεν θα επεκταθούμε σε αυτό αλλά θα μιλήσομε για βασικές έννοιες χρήσιμες στη Φυσική όπου χρησιμοποιείται ο Τανυστικός Λογισμός. Ισχύει το εξής: Αν οι συνιστώσες τανυστή είναι ταυτοτικά μηδέν σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων, θα είναι ταυτοτικά μηδέν και σε κάθε άλλο σύστημα συντεταγμένων. Στο παραπάνω στηρίζεται το εξής: Ας υποθέσομε ότι είναι γνωστή μια σχέση ως προς το σύστημα ηρεμίας ενός φυσικού συστήματος. Αν μπορέσομε να εκφράσομε αυτό το νόμο στη μορφή εξίσωσης μεταξύ τανυστών η οποία ανάγεται στη σωστή (παραπάνω) εξίσωση στο σύστημα ηρεμίας, τότε αυτή η εξίσωση τανυστών είναι η σωστή συναλλοίωτη εξίσωση για το εξεταζόμενο φαινόμενο. Αυτή η μορφή είναι ανεξάρτητη από το σύστημα συντεταγμένων.

A

( , ), ( , )A a a A a a

0 0B A B A B A B A

0

0B B

1 ,

1 , .

x c t

x c t

01 AA A Ac t

22 2

1c t

423

Π5. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LEGENDRE Ο μετασχηματισμός του Legendre, γενικώς, σχετίζεται με διαφορικές εξισώσεις. Στη φυσική, πολλές φορές κάποιες ποσότητες δίνονται ως συναρτήσεις ανεξάρτητων μεταβλητών που δεν είναι βολικές για την περιγραφή του φυσικού συστήματος ενώ είναι πιο βολικές, ως ανεξάρτητες, μεταβλητές που είναι οι παράγωγοι της παραπάνω (αρχικής) συνάρτησης ως προς τις αρχικές μεταβλητές. Αφού διαλέξομε αυτές τις νέες ανεξάρτητες μεταβλητές, πρέπει να βρούμε την κατάλληλη νέα ποσότητα-συνάρτηση ως προς αυτές. Τίθεται τότε το ερώτημα αν η νέα συνάρτηση διατηρεί το φυσικό και μαθηματικό περιεχόμενο της αρχικής ή αλλιώς, αν έχει την ίδια πληροφορία με την αρχική. Παρακάτω θα εξετάσομε μια απλή περίπτωση για να γίνει σαφές αυτό που λέμε. Για ευκολία αναφερόμαστε στην περίπτωση μιας υπό μετασχηματισμό μεταβλητής , διότι για αυτή την περίπτωση υπάρχει απλή γραφική παράσταση που κάνει τα πράγματα εύκολα κατανοητά. Οι συναρτήσεις που εξετάζομε είναι μονότιμες στο διάστημα που τις ορίζομε (στο πεδίο ορισμού τους). Δηλαδή για κάθε μια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής, υπάρχει μια μόνο τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. Αν αυτό δεν ισχύει τότε μπορούμε να ορίσομε διαφορετικές συναρτήσεις στο πεδίο ορισμού, έτσι που να είναι μονότιμες. Οι συναρτήσεις πρέπει να έχουν παραγώγους μέχρι και δεύτερης τάξης, στο πεδίο ορισμού τους. Αν αυτό δεν ισχύει τότε μπορεί να χωρίσομε το πεδίο ορισμού σε επιμέρους πεδία έτσι που στο καθένα να ισχύουν τα περί παραγώγων. Η τελευταία απαίτηση είναι ότι στο διάστημα ορισμού η παράγωγος της συνάρτησης (αυτή θα είναι η νέα μεταβλητή) δεν πρέπει να έχει την ίδια τιμή για περισσότερες από μια τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Το τελευταίο σημαίνει ότι α) η καμπύλη που παριστάνει η συνάρτηση πρέπει ή να στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω (κυρτή καμπύλη), αυτό θα πει ότι η δεύτερη παράγωγος της αρχικής συνάρτησης ως προς την αρχική ανεξάρτητη μεταβλητή πρέπει να είναι θετική ή β) να στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω (κοίλη καμπύλη), δηλαδή η δεύτερη παράγωγος πρέπει να είναι αρνητική. Με άλλα λόγια, στο διάστημα ορισμού δεν πρέπει να μεταβάλλεται η καμπύλωση. Αν αυτό δεν ισχύει μπορεί να χωριστεί το πεδίο ορισμού έτσι που σε κάθε υποδιάστημά του να έχομε ίδια καμπύλωση. Μια ιδιάζουσα περίπτωση είναι όταν υπάρχει γραμμική εξάρτηση της αρχικής συνάρτησης από την αρχική ανεξάρτητη μεταβλητή. Τότε οι πρώτες παράγωγοι είναι σταθερές και η δεύτερες μηδέν. Αυτό είναι ιδιάζουσα περίπτωση, ένα είδος εκφυλισμού, που θα σχολιάσομε αργότερα. Έστω η απλή περίπτωση συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής, . (16.1) Η παράγωγός της είναι

. (16.2)

Έστω ότι αυτή η σχέση μπορεί να αντιστραφεί, δηλαδή να λυθεί ως προς οπότε . (16.3)

Η αντιστροφή μπορεί να γίνει αν . Από την Εξ. (16.3) και την Εξ. (16.1) βρίσκομε

. (16.4) Το πρόβλημα φαίνεται εκ πρώτης όψεως λυμένο αφού η ανεξάρτητη μεταβλητή αντικαταστάθηκε από την ανεξάρτητη μεταβλητή . Αυτό όμως δεν είναι αλήθεια, θα δούμε ότι η Εξ. (16.1) και η Εξ. (16.4) δεν είναι εντελώς ισοδύναμες, επομένως αυτή η προφανής διαδικασία δεν οδηγεί στο ζητούμενο αποτέλεσμα. Πράγματι, ενώ η Εξ. (16.4) προέκυψε μονοσήμαντα από την Εξ. (16.1), η Εξ. (16.1) δεν προκύπτει μονοσήμαντα από την Εξ. (16.4). Αυτό είναι ευνόητο διότι για να πάμε από την Εξ. (16.4) πίσω στην Εξ. (16.1), πρέπει να λύσομε τη διαφορική εξίσωση που προκύπτει από την Εξ. (16.4), δηλαδή την

. (16.5)

( )f f x

d ( )( )df xp x

x

x

( )x x p2

2d 0d

fx

a( ) ( )f f x p f p x

p

ad ( )( )

dg xg x f

x

424

Η λύση της είναι της μορφής . (16.6) Αυτή είναι μια παραμετρική οικογένεια (πολλών) καμπύλων (συναρτήσεων) που όλες είναι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης. Η αρχική συνάρτηση της Εξ. (16.1) είναι μια λύση, και συμπεριλαμβάνεται στην Εξ. (16.6) για κάποια τιμή της σταθεράς. Αυτά σημαίνουν ότι η συνάρτηση δεν είναι ακριβώς ισοδύναμη με την αρχική , διότι οδηγεί και σε άλλες (λύσεις) συναρτήσεις του , δηλαδή έχει περισσότερη πληροφορία από την αρχική. Επομένως υπάρχει η ανάγκη λύσης του προβλήματος με άλλο τρόπο. Συγκεκριμένα, το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση κατάλληλου μετασχηματισμού που να μας οδηγεί από την αρχική συνάρτηση σε μια νέα συνάρτηση και η αντίστροφη διαδικασία να οδηγεί μόνο στην αρχική συνάρτηση. Για να κατανοήσομε τον μετασχηματισμό που λύνει το πρόβλημά μας θα χρησιμοποιήσομε τις γεωμετρικές εικόνες των Σχ.(Π6.1α, β,γ). Η καμπύλη με την οποία ξεκινούμε είναι κυρτή αλλά ανάλογα γίνονται και για κοίλη καμπύλη.

Σχήμα Π5.1 α) Καμπύλη (κυρτή) συνάρτησης, ως γεωμετρικός τόπων σημείων. β) Καμπύλη συνάρτησης ως περιβάλλουσα οικογένειας εφαπτόμενων. γ) Γεωμετρική κατασκευή για την εύρεση της εξίσωσης της οικογένειας εφαπτόμενων του (β).

( , )g g x c

a ( )f p( )f f x x

( )f f x( )F F p

425

Μια καμπύλη μπορεί να παρασταθεί είτε ως ο γεωμετρικός τόπος σημείων των οποίων οι συντεταγμένες πληρούν δεδομένη σχέση, όπως εδώ την Εξ. (16.1), είτε ως η περιβάλλουσα μιας οικογένειας εφαπτόμενων ευθειών των οποίων η κλίση υπακούει σε δεδομένη σχέση. Στα Σχ.(Π6.1α,β) παριστάνεται η ίδια καμπύλη με τους δυο τρόπους. Το πρόβλημα ανάγεται στο να βρούμε την εξίσωση που ισχύει για την οικογένεια των εφαπτόμενων ευθειών. Στο Σχ.(Π6.1γ) έχομε την καμπύλη του Σχ.(Π6.1α) όπου φαίνεται η εφαπτόμενη ευθεία σε ένα σημείο της η οποία τέμνει τον άξονα των στο σημείο (0,- . Το F είναι η τιμή του μετασχηματισμού Legandre για το εν λόγω σημείο. Προφανώς από αυτό το σχήμα έχομε για την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας

. (16.7)

Αυτή είναι η ζητούμενη συνάρτηση με την οποία μπορεί να κατασκευαστεί η οικογένεια εφαπτόμενων ευθειών, άρα και η περιβάλλουσα καμπύλη τους. Η νέα συνάρτηση F , εκφρασμένη ως προς p , είναι ο μετασχηματισμός Legendre της αρχικής f . Η απαλοιφή των και από τη δεύτερη των Εξ. (16.7) με χρήση των Εξ. (16.1) και (16.2) οδηγεί στη ζητούμενη σχέση . (16.8) Αντιστρόφως από την Εξ. (16.8) μπορούμε να βρούμε, επίσης μονοσήμαντα την Εξ. (16.1). Δηλαδή η f είναι ο μετασχηματισμός Legendre της F . Πράγματι, το διαφορικό της δεύτερης από τις Εξ. (16.7) γράφεται . (16.9) Όμως από την Εξ. (16.2) έχομε . (16.10) Άρα η Εξ. (16.9) γράφεται

. (16.11)

Στη δεύτερη των Εξ. (16.7) απαλείφομε, με χρήση των Εξ. (16.8) και (16.11), τα και έτσι παίρνομε την αρχική σχέση Εξ. (16.1). Σημειώνομε ότι η αρχική και η τελική συνάρτηση έχουν την ίδια κυρτότητα. Ο μετασχηματισμός είναι δυϊκός. Δηλαδή, η νέα μεταβλητή είναι η παράγωγος της παλιάς συνάρτησης και η παλιά μεταβλητή είναι η παράγωγος της νέας συνάρτησης. Η ίδια διαδικασία που οδηγεί από το παλιό σύστημα στο νέο, οδηγεί και από το νέο στο παλιό. Υποθέσαμε ότι υπάρχει εξάρτηση μόνο από την αρχική μεταβλητή x και την τελική μεταβλητή p . Στην πραγματικότητα μπορεί να υπάρχει εξάρτηση και από άλλη μεταβλητή, y , που δεν παίρνει μέρος στο μετασχηματισμό. Οι πρώτες λέγονται ενεργητικές μεταβλητές και η δεύτερη παθητική μεταβλητή. Σε αυτή την περίπτωση κάνομε χρήση μερικών παραγώγων. Το παρακάτω σχήμα δηλώνει τη δυϊκότητα. Παλιό σύστημα Νέο σύστημα Μεταβλητή: x p Μετασχηματισμός

( , )f x yp

x

( , )F p yx

p

F px f f px F ( , )F F p y ( , )f f x y .

Επίσης ισχύει f Fy y

f )F

( ) , f Fp F px fx

x f

( )F F p

d d d dF p x x p f

d df p x

dd d , ( )dFF x p x x pp

,F p

426

Αυτά μπορούν να γενικευθούν για πολλές μεταβλητές όπως φαίνεται στα επόμενα. Ας θεωρήσομε μια συνάρτηση , με μεταβλητές που τις θεωρούμε ανεξάρτητες. Υποθέτομε ότι στην περιοχή ενδιαφέροντος για τα η χεσιανή (hessian) ορίζουσα

είναι μη μηδενική, . Έστω ότι είναι πιο βολικό αντί των μεταβλητών να

έχομε τις μεταβλητές . Τώρα οι μεταβλητές και x X , λέγονται ενεργητικές μεταβλητές και οι y λέγονται παθητικές μεταβλητές. Αυτές που μετασχηματίζονται είναι μόνο οι ενεργητικές μεταβλητές. Θα δείξομε ένα θεώρημα που έχει δυο μέρη τα εξής: 1. Θα βρούμε μια νέα συνάρτηση με τις νέες ενεργητικές μεταβλητές. 2. Οι δυο συναρτήσεις, η παλιά (αρχική) και η νέα, θα είναι ισοδύναμες. Δηλαδή και οι δυο συναρτήσεις θα περιέχουν την ίδια πληροφορία. Αυτά θα τα πετύχομε με τον πιο γενικό, δηλαδή για πολλές μεταβλητές, μετασχηματισμό Legendre. (1) Ορίζομε τις νέες μεταβλητές και τη νέα συνάρτηση ως εξής,

(16.12)

τότε θα έχομε

. (16.13)

Η λέγεται ότι είναι ο μετασχηματισμός Legendre της ως προς τις μεταβλητές . Από τη δεύτερη των Εξ. (16.12) βρίσκομε

(16.14)

Αντικαθιστώντας την πρώτη από τις σχέσεις της Εξ. (16.12) στην Εξ. (16.14) βρίσκομε την πρώτη από τις σχέσεις της Εξ. (16.13). Έτσι δείξαμε το πρώτο μέρος, (1), του θεωρήματος αφού και από τη δεύτερη των Εξ. (16.12) προκύπτει η δεύτερη των Εξ.(16.13). Για το δεύτερο μέρος, (2), σκεφτόμαστε όπως παρακάτω. Αν μας έχει δοθεί η συνάρτηση , μπορούμε από την πρώτη από τις Εξ. (16.12) να βρούμε το και επομένως και το . Αντικαθιστούμε το τελευταίο αποτέλεσμα στη δεύτερη από τις Εξ. (16.12) και βρίσκομε την . Επομένως από την βρήκαμε με την ανωτέρω διαδικασία την . Με ανάλογη συλλογιστική μπορούμε από την να βρούμε την . Άρα και οι δυο περιέχουν την ίδια πληροφορία αφού προκύπτουν με ακριβώς ίδιες διαδικασίες. Έτσι δείχτηκε και το δεύτερο μέρος του θεωρήματος. Ο μετασχηματισμός λέγεται ότι είναι δυϊκός αφού μπορεί κάποιος να κινηθεί αντίστροφα και από την να οδηγηθεί στην η οποία είναι ο μετασχηματισμός Legendre της ως προς τις μεταβλητές

. Αυτό που χρειάζεται είναι να μπορούν να γίνουν οι αντιστροφές των συναρτήσεων. Ο περιορισμός που υπάρχει για να αντιστρέφεται η πρώτη από τις Εξ. (16.12), είναι ότι

1 2 1 2( , ) ( , ,..., , , ,..., )r sf x y f x x x y y y r s

ix2 ( , ) / 0i jf x y x x 1 2, ,..., rx x x

( , ) / , 1, 2,...,i iX f x y x i r

( , )F X y

1

( , ) , r

i i iii

f x yX F x X fx

1

( , ) , r

i i iii

F X yx f X x FX

( , )F X y ( , )f x y x

1 1

( , ) ( , )( , ) ( , )r ri i

i ji ij j i j

x X y x X yF X y f x yX xX X x X

( , )f x y( , )X X x y ( , )x x X y

( , )F X y( , )f x y ( , )F X y( , )F X y ( , )f x y

( , )F X y( , )f x y ( , )F X y

X

2( , ) / ( , ) / 0i j i jX x y x f x y x x

427

όπου στο πρώτο μέλος έχομε μια ιακωβιανή (ορίζουσα) και στο δεύτερο μια χεσιανή (ορίζουσα). Για να μπορεί να αντιστραφεί και η πρώτη από τις Εξ. (16.13) πρέπει να ισχύει .

Μπορεί να δειχθεί ότι το είναι το αντίστροφο του . Επομένως αν το

, τότε και . Ένα άλλο αποτέλεσμα

είναι ότι, αν είναι ο μετασχηματισμός Legendre της ως προς τις μεταβλητές , τότε

. (16.15)

Πράγματι έχομε τη σχέση

. (16.16)

Άρα

. (16.17)

Αντικαθιστώντας την πρώτη από τις Εξ. (16.12) στην Εξ. (16.17) βρίσκομε την Εξ. (16.15). Οι σχέσεις του μετασχηματισμού Legendre που είναι δυϊκός μετασχηματισμός, συνοψίζονται ως εξής,

1 1

( , ) ( , ) (α) (β)

(γ) (δ)

( , ) ( , ) .

i ii i

r r

i i i ii i

j j

f x y F X yX xx X

F x X f f X x F

F X y f x yy y

(16.18)

Οι συναρτήσεις είναι ισοδύναμες, ή λέμε ότι περιέχουν την ίδια πληροφορία. Στο τέλος θα σχολιάσομε για την περίπτωση μιας μεταβλητής, την ιδιάζουσα περίπτωση όπου η δεύτερη παράγωγος

είναι μηδέν, 2

2 0fx

. Πρόκειται για ένα είδος εκφυλισμού. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν η συνάρτηση είναι

γραμμική ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή. Σε αυτή την περίπτωση η πρώτη παράγωγος που ορίζει την νέα ανεξάρτητη μεταβλητή δεν εξαρτάται από την παλιά ανεξάρτητη μεταβλητή. Είναι σταθερά ως προς αυτή. Δηλαδή, ( , )f x y ax b . Τα ,a b , γενικώς, εξαρτώνται από το y αλλά αυτό δεν μας ενδιαφέρει. Το σημείο τομής με τον κατακόρυφο άξονα βρίσκεται θέτοντας 0x και αυτό δίνει την F b . Έχομε

1 σταθερόfp a px

. Αυτή δε μπορεί να δώσει το ( )x x p . Έχομε 1( , )f x y p x F . Το

συμπέρασμα είναι πως έχομε τη νέα συνάρτηση F η οποία όμως ορίζεται μόνο σε ένα σημείο, στο 1p p a και έχει μια μόνο τιμή, την τιμή 1( , )F F p y b . Αυτό ενώ είναι μαθηματικά σωστό, δεν

είναι χρήσιμο στη φυσική όπου χρειάζεται να βρεθεί νέα συνάρτηση που να ορίζεται σε ένα ολόκληρο διάστημα της νέας μεταβλητής p . Από πλευράς Φυσικής, μπορούμε να λέμε ότι στην περίπτωση της γραμμικότητας, δεν υπάρχει αποδεκτός μετασχηματισμός Legendre.

2( , ) / ( , ) / 0i j i jx X y X F X y X X

( , ) /i jx X y X ( , ) /i jX x y x

( , ) / 0i jX x y x ( , ) / 0i jx X y X

( , )F X y ( , )f x y ix

( , ) ( , )j j

F X y f x yy y

1

r

i ii

F x X f

1 1

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )r ri i

ii ij j i j j

x X y x X yF X y f x y f x yXy y x y y

( , ), ( , )F X y f x y

428

Π6. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ JACOBI Θα δείξομε την ταυτότητα του Jacobi, δηλαδή ότι για οποιεσδήποτε τρεις δυναμικές συναρτήσεις ισχύει (17.1) Εξετάζομε τους δυο πρώτους όρους της Εξ. (17.1) εναλλάσσοντας μεταξύ τους, στο δεύτερο όρο, τα . Έχομε . (17.2) Θα δείξομε ότι αυτοί οι όροι μαζί δεν περιέχουν δεύτερες παραγώγους του . Για τη συνάρτηση εισάγομε το γραμμικό διαφορικό τελεστή

(28.3)

Ο τελεστής αυτός μπορεί να γραφτεί στη μορφή

. (17.4)

Τα είναι παράγωγοι του ως προς τα με κατάλληλα πρόσημα. Ανάλογα μπορούμε να εισαγάγομε το γραμμικό τελεστή

. (17.5)

Η Εξ. (17.2) μπορεί να γραφτεί στη μορφή

. (17.6)

Οι μόνοι όροι στην Εξ. (17.6) που περιέχουν δεύτερες παραγώγους του είναι αυτοί του αθροίσματος της Εξ. (17.7), το άθροισμα όμως είναι μηδέν, δηλαδή

. (17.7)

Επομένως η Εξ. (17.2) έχει μόνο πρώτες παραγώγους του και θα έχει τη μορφή

. (17.8)

, ,u w

, , , , , , 0.u w w u w u

,u w

, , , ,u w u w

w

1.

n

i i i i i

Dq p p q

2

1

n

ii i

D

i ,q p

2

1

n

u jj j

D

2 2

, 1 , 1

n n

u u i j j ii j i ji j j i

w wD D w D D w

w

2 22

, 10

n

i j j ii j i j j i

w w

w

1

, , , ,n

i ii i i

w wu w u w A Bp q

429

Τα είναι συναρτήσεις των , που πρέπει να προσδιοριστούν, αλλά δεν είναι συναρτήσεις του . Ο προσδιορισμός τους γίνεται ως εξής. Θεωρούμε την ειδική περίπτωση όπου (αυτό δεν μεταβάλλει τα

γιατί δεν εξαρτώνται από το ), τότε η Εξ. (17.8) γίνεται . (17.9) Όμως ισχύει η σχέση (8) από το Εδάφιο 7.3, δηλαδή

. (17.10)

Επομένως η Εξ. (17.9) δίνει

. (17.11)

Ομοίως, θέτοντας και χρησιμοποιώντας τη σχέση (7) από το Εδάφιο 7.3, δηλαδή την

. (17.12)

Βρίσκομε

. (17.13)

Η Εξ. (17.8), με χρήση των Εξ. (17.11) και (17.13), γίνεται

(17.14)

Αυτή είναι η ταυτότητα του Jacobi, δηλαδή η Εξ. (17.1). Π7. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΓΙΑ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Για την περιοχή αυτή των μαθηματικών, χρησιμοποιούνται οι όροι, θεωρία μεταβολών ή παραλλαγών ή παραλλακτικές μέθοδοι (variational methods). Τα θεωρήματα στα οποία θα αναφερθούμε είναι στην ουσία μαθηματικά θεωρήματα. Αυτά τα θεωρήματα έχουν εφαρμογή στη Φυσική και γι’ αυτό τα εξετάζομε στη μορφή που είναι χρήσιμα στη Φυσική. Συγκεκριμένα, βρίσκουν εφαρμογή στην Κλασική Φυσική και με αυτό εννοούμε, στην περιοχή που λαμβάνονται υπόψη η καθαρά Νευτώνεια Φυσική ή η Ειδική ή η Γενική σχετικότητα, ακόμη και η Κβαντική Φυσική με τα πεδία να είναι κλασικά πεδία. Οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι οι συντεταγμένες του πολυδιάστατου χώρου. Οι εξαρτημένες μεταβλητές εξαρτώνται από τις συντεταγμένες και στη Φυσική είναι αυτές που ονομάζομε πεδία. Στα παρακάτω υποθέτομε ότι ο χώρος έχει πολλές διαστάσεις και είναι επίπεδος (flat) . Για τις συντεταγμένες

1 2( , ,..., )mx x x x , το στοιχείο όγκου όταν ο χώρος είναι επίπεδος , μη καμπύλος, μπορεί να πάρει τη μορφή 1 2d d d d ...dm mx x x x , όπου m η διάσταση του χώρου. Τέτοιος τετραδιάστατος χώρος στη Φυσική, στη μη σχετικιστική μηχανική , είναι ο συνήθης τρισδιάστατος (ευκλείδειος) χώρος για τον οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθούν καρτεσιανές συντεταγμένες μαζί με τον ανεξάρτητο χρόνο, 1 2 3( , , , )x t x x x . Στην Ειδική Σχετικότητα είναι ο τετραδιάστατος χώρος Minkowski, όπου μπορούν να χρησιμοποιηθούν

,i iA B ,u w

iw p,k kA B w

, , , , iu w u w A

, kk

ff pq

,ii

A uq

iw q

, kk

ff qp

,ii

B up

1

, , , , , , , , .n

i i i i i

w wu w w u u u w up q q p

430

καρτεσιανές συντεταγμένες μαζί με το χρόνο, δηλαδή 0 1 2 3 0( , , , ), x x x x x x ct , d

, (ψευδοευκλείδειος). Μερικές φορές χρησιμοποιούμε το σύμβολο 0x ct στη θέση της συντεταγμένης του χρόνου ακόμη και για τη μη σχετικιστική περίπτωση. Αυτό δε σημαίνει ότι σε αυτή την περίπτωση έχομε τετραδιανύσματα, πράγμα που ισχύει για τη Σχετικότητα. Ο συμβολισμός μας διευκολύνει γιατί δεν κάνομε αλλαγή όταν αναφερόμαστε στη Σχετικότητα και επίσης είναι βολικό το ότι οι τέσσερεις συνιστώσες του τετραδιάστατου χώρου με καρτεσιανές συντεταγμένες έχουν ίδιες διαστάσεις. Είναι γνωστό ότι εκτός Σχετικότητας και σε καρτεσιανές συντεταγμένες δεν έχει νόημα ο διαχωρισμός σε ανταλλοίωτους και συναλλοίωτους δείκτες. Αν χρησιμοποιηθούν καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, το στοιχείο όγκου τροποποιείται. Η πλέον ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι της Γενικής Σχετικότητας όπου, γενικώς, ο χώρος είναι καμπύλος (non flat) ανεξάρτητα από το είδος των συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται. Γενικώς για καμπύλο χώρο, ή για γενικευμένες (καμπυλόγραμμες) συντεταγμένες το στοιχείο όγκου γίνεται 1 2d d d d ...dm mx g x x x , όπου είναι η ορίζουσα του μετρικού τανυστή

στο σημείο . Θα δούμε ότι η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση γίνεται . Σε αυτή την περίπτωση τροποποιείται με ανάλογο τρόπο και το θεώρημα της απόκλισης που συνδέει το ολοκλήρωμα όγκου με το ολοκλήρωμα στην περικλείουσα τον όγκο επιφάνεια. Από πλευράς Φυσικής, η πλέον ενδιαφέρουσα περίπτωση καμπύλου χώρου είναι στη Γενική Σχετικότητα (χώρος Riemann) . Σε αυτή την περίπτωση στα πεδία συμπεριλαμβάνονται και τα στοιχεία του μετρικού τανυστή. Σε χώρους που ενώ είναι επίπεδοι γίνεται χρήση καμπυλόγραμμων συντεταγμένων οπότε χρησιμοποιείται ο μετρικός τανυστής, τα στοιχεία αυτού του τανυστή δεν αποτελούν πεδία, γι’ αυτό η περίπτωση είναι απλούστερη και με αυτήν θα ασχοληθούμε, κατά κύριο λόγο. Όταν ένας χώρος είναι επίπεδος, τότε είναι δυνατόν με κατάλληλο μετασχηματισμό συντεταγμένων να ισχύει για την απόσταση μεταξύ οποιονδήποτε σημείων του, το πυθαγόρειο θεώρημα. Για παράδειγμα για το επίπεδο μπορούμε να χρησιμοποιήσομε πολικές συντεταγμένες ( , ) . Σε αυτές τις συντεταγμένες η (στοιχειώδης) απόσταση είναι: 2 2 2 2d d ds και το στοιχείο «όγκου», εδώ επιφάνειας, είναι d d d . Όμως με μετασχηματισμό σε καρτεσιανές συντεταγμένες, για όλο το επίπεδο, δηλαδή

cos , sinx y , βρίσκομε για απειροστές αποστάσεις 2 2 2d d ds x y και για πεπερασμένες 2 2 2s x y για όλο το χώρο, επίσης d d dx y .

Τώρα ας υποθέσομε ότι «είμαστε» πάνω σε μια σφαίρα ακτίνας R . Οι συντεταγμένες είναι οι δυο σφαιρικές συντεταγμένες ( , ) . Η απόσταση μεταξύ σημείων ορίζεται ως το μήκος πάνω σε μέγιστο κύκλο που ενώνει τα δυο σημεία. Η στοιχειώδης απόσταση είναι

2 2 2 2 2 2d sin d ds R R και 2d sin d dR . Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει μετασχηματισμός που να ισχύει για όλη τη σφαιρική επιφάνεια, ο οποίος να οδηγεί σε συντεταγμένες για τις οποίες να ισχύει για την απόσταση, το πυθαγόρειο θεώρημα. Αυτό μπορεί να γίνει μόνο τοπικά, δηλαδή στην περιοχή του κάθε σημείου. Ένα άλλο σημείο που αξίζει να τονίσομε είναι οι λεγόμενες καμπυλότητες ενός χώρου. Θα περιοριστούμε σε παραδείγματα δυο διαστάσεων. Γενικώς οι δισδιάστατες επιφάνειες έχουν σε κάθε σημείο τους δυο καμπυλότητες ή το αντίστροφό τους, δυο ακτίνες καμπυλότητας. Η κάθε ακτίνα καμπυλότητας αναφέρεται σε ένα επίπεδο που περιέχει την κάθετο στην επιφάνεια σε ένα σημείο της και επομένως είναι κάθετο στο εφαπτόμενο στην επιφάνεια επίπεδο. Η ακτίνα καμπυλότητας σε ένα σημείο είναι οι ακτίνα καμπυλότητας του εγγύτατου κύκλου στην καμπύλη που είναι η τομή του επιπέδου που περιέχει την κάθετο με την επιφάνεια. Σε κάθε τέτοιο κάθετο επίπεδο αντιστοιχεί μια ακτίνα και (επομένως ) μια καμπυλότητα. Σε κάθε σημείο υπάρχει μια μέγιστη και μια ελάχιστη καμπυλότητα που λέγονται κύριες καμπυλότητες (principal curvatures). Τα επίπεδά τους λέγονται κύρια επίπεδα και είναι κάθετα μεταξύ τους. Η καμπυλότητα μπορεί να είναι θετική, αρνητική ή μηδέν. Είναι θετική αν η καμπύλη καμπυλώνεται κατά την κατεύθυνση που έχει οριστεί ως κατεύθυνση της καθέτου, στην αντίθετη περίπτωση είναι αρνητική. Ας υποθέσομε, στη συνέχεια, ότι έχομε μια κυλινδρική επιφάνεια μια κωνική επιφάνεια και μια σφαιρική επιφάνεια. Στην περίπτωση της κυλινδρικής επιφάνειας οι ακτίνες σε κάθε σημείο στα κύρια επίπεδα (κύριες ακτίνες καμπυλότητας) είναι 1 2,R R R και οι (κύριες) καμπυλότητες είναι

4 0 1 2 3d d d d dx x x x x

( )g x

( )g x x g

431

1 21 2

1 1 1, 0R R R

. R είναι η συνήθης ακτίνα (της κάθετης τομής) του κυλίνδρου. Για την κωνική

επιφάνεια ισχύουν , 1 2,R R και οι κύριες καμπυλότητες είναι 1 21 2

1 1, 0R R

.

Για την περίπτωση της σφαιρικής επιφάνειας έχομε προφανώς, 1 2 1 21, R R RR

. Εκ πρώτης

όψεως όλες οι επιφάνειες «φαίνονται» καμπύλες. Όμως υπάρχει ουσιώδης διαφορά μεταξύ τους. Οι δυο πρώτες μπορεί να «ξετυλιχτούν» αφού κοπούν κατάλληλα και να γίνουν επίπεδες επιφάνειες. Αυτό σημαίνει ότι ολόκληρες αυτές οι επιφάνειες μπορούν να χαρακτηριστούν με καρτεσιανές συντεταγμένες, άρα είναι επίπεδες επιφάνειες. Αυτό δε μπορεί να γίνει για τη σφαιρική επιφάνεια. Μόνο σε απειροστές περιοχές της μπορεί να έχομε καρτεσιανές συντεταγμένες κατά προσέγγιση. Αυτά εκφράζονται με τη λεγόμενη γκαουσιανή καμπυλότητα K (gaussian curvature). Αυτή είναι μια εσωτερική ιδιότητα του χώρου που δεν εξαρτάται από τις συντεταγμένες. Ισχύει να την 1 2K . Αν αυτή είναι μηδέν τότε η επιφάνεια είναι επίπεδη αν όχι είναι καμπύλη. Στις περιπτώσεις που εξετάσαμε η κυλινδρική και η κωνική επιφάνειες είναι επίπεδες ενώ η σφαιρική είναι καμπύλη και μάλιστα έχει θετική καμπυλότητα. Το θετικό ή το αρνητικό χαρακτηρίζεται από το πρόσημο του K . Αυτά γενικεύονται κατάλληλα σε πολυδιάστατους χώρους. Π7.1 Εξισώσεις των Euler-Lagrange από θεωρία μεταβολών για συνεχή συστήματα Έστω η συνάρτηση η οποία εξαρτάται, τελικώς, από τις ανεξάρτητες μεταβλητές (γενικευμένες συντεταγμένες) , επίπεδου χώρου όπου το στοιχείο όγκου έχει τη γενική

μορφή 1 2d d d d ...dmmx g x x x . Στη Μηχανική για διακριτά συστήματα έχομε και

ανεξάρτητη μεταβλητή είναι, συνήθως, ο χρόνος, ή ο ιδιόχρονος ή κάποια άλλη κατάλληλη παράμετρος. Στη Φυσική, στην περίπτωση πεδίων έχομε . Ανεξάρτητες μεταβλητές είναι οι τρεις συντεταγμένες του συνήθους τρισδιάστατου χώρου και ο χρόνος, ενώ είναι η λαγκρανζιανή πυκνότητα ή απλώς λαγκρανζιανή. Εδώ υποθέτομε ότι η εξαρτάται και από συναρτήσεις των , τις , που είναι οι εξαρτημένες μεταβλητές και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. Αυτές αντιστοιχούν στα πεδία της Φυσικής. Θα

υποθέσομε ακόμη ότι η εξαρτάται επίσης, (μόνο) από τις πρώτες παραγώγους .

Μπορεί κανείς να ασχοληθεί με πιο γενικές μορφές όπου υπάρχει εξάρτηση και από παραγώγους ανώτερης τάξης. Τότε, όπως έχομε δει , οι εξισώσεις Euler-Lagrange είναι ανώτερης τάξης. Τέτοιες γενικεύσεις και επεκτάσεις έχουν προταθεί ή βρίσκουν εφαρμογή στα πλαίσια Υπερσυμμετρικών Θεωριών Στοιχειωδών Σωματιδίων (θεωρίες SUSY, supersymmetry). Όμως στα πλαίσια της Φυσικής που μας ενδιαφέρει εδώ, είναι αρκετή η εξάρτηση μόνο από τις πρώτες παραγώγους. Όπως είπαμε όσα ακολουθούν αναφέρονται σε προβλήματα που σχετίζονται με ανεξάρτητες μεταβλητές σε χώρο m διαστάσεων (υπερόγκος). Στο σύνορο του χώρου (υπερεπιφάνεια m-1 διαστάσεων ) οι τιμές των εξαρτημένων μεταβλητών είναι καθορισμένες και δεν μεταβάλλονται κατά τις παραλλαγές. Θα χρησιμοποιούμε τον παρακάτω συμβολισμό

F mix

1m

4m F

F n ix ( )jy x

F ,j

j ii

yy

x

432

(18.1)

Σχηματίζομε το συναρτησοειδές της συνάρτησης ( ) ( , , )dxZ Z y x F x y y

. (18.2)

Το ολοκλήρωμα εκτείνεται σε ένα πεπερασμένο ή απέραντο χωρίο («όγκο») του χώρου των , διαστάσεως . Τα παριστάνουν μια «τροχιά» στον ανωτέρω πολυδιάστατο χώρο. Θέλομε να βρούμε τις σχέσεις

που πρέπει να πληρούν τα (πραγματική τροχιά) ώστε το συναρτησοειδές να έχει στάσιμη τιμή για αυτή την τροχιά Η σύγκριση γίνεται, κατά τα γνωστά με γειτονικές τροχιές που διαφέρουν κατά απειροστά πρώτης τάξης από την πραγματική. Οι απειροστές μεταβολές των είναι αυθαίρετες συναρτήσεις των και γίνονται με τα σταθερά. Για κάθε θέση πηγαίνομε από το σημείο της πραγματικής τροχιάς στο σημείο της γειτονικής τροχιάς . Σε αυτό το Εδάφιο, αυτές οι μεταβολές θα συμβολίζονται με το γνωστό σύμβολο . Αφού τα είναι καθορισμένα, δηλαδή δεν μεταβάλλονται κατά τις παραλλαγές στο σύνορο, οι αυθαίρετες μεταβολές των , δηλαδή τα , μηδενίζονται στο σύνορο S του χωρίου . Όπως είπαμε, το σύνορο είναι ένα είδος υπερεπιφάνειας διαστάσεως μέσα στο χώρο των ανεξάρτητων μεταβλητών διαστάσεως . Το χωρίο δεν μεταβάλλεται κατά την παραλλαγή (μεταβολή). Στάσιμη τιμή σημαίνει ότι, η απειροστή παραλλαγή του συναρτησοειδούς (δηλαδή του ολοκληρώματος) της Εξ (18.2) κατά τη μεταβολή από την πραγματική τροχιά στη γειτονική παραλλαγμένη τροχιά, είναι μηδέν. Συγκεκριμένα, έχομε

(18.3)

Στο Σχ.(Π7.1) φαίνεται η απλή περίπτωση για και .

Σχήμα Π7.1 Πραγματική και γειτονική τροχιά για την πιο απλή περίπτωση.

1 2

1 2

,

,

( , ,..., )( ) ( ), ( ),..., ( )

= 1, 2,..., 1, 2,...,

( , , ) , , , , 1, 2,..., 1, 2,..., .

m

n

jx j i

i

jx i j i j j i

i

x x x xy y x y x y x y x

yy y y j n i mx x

yF x y y F x y F x y y j n i m

x

F

xm ( )y x

( )y x

( )y x ix

ix x ( )y x( )y x

δ ( )y x( )y x δ ( )y x Ω

S 1mm Ω

δ = , , d , , d

= , , , , d

=δ , , d δ , , d 0.

m mi x x

Ω Ω

mx x

Ω

m mx x

Ω Ω

Z F x y y x F x y y x

F x y y F x y y x

F x y y x F x y y x

1m 1n

433

Αυτή είναι η αρχή παραλλαγών (ή μεταβολών) σε πολλές διαστάσεις. Με βάση αυτή την αρχή θα δείξομε ότι για την πραγματική τροχιά ισχύουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange. Η ισχύς των εξισώσεων των Euler-Lagrange είναι αναγκαία συνθήκη για το στάσιμο του συναρτησοειδούς αλλά όχι πάντοτε και ικανή συνθήκη. Δεν θα ασχοληθούμε με αυτό το δεύτερο μαθηματικό θέμα εδώ. Υποθέτομε ότι υπάρχουν τα και έχουν παραγώγους μέχρι δεύτερης τάξης ως προς τα . Θα ορίσομε μεταβολές των μεταβλητών που να είναι σε συμφωνία με όσα είπαμε παραπάνω. Μπορεί κανείς να ορίσει γενικότερες μεταβολές με πιο πολύπλοκες εξαρτήσεις. Ορίζομε τις μεταβολές ως εξής

(18.4)

Για μια συνάρτηση με άμεση και έμμεση εξάρτηση από τα έχομε

(18.5)

Ισχύει η σχέση

. (18.6)

Με την έννοια της ολικής παραγώγου μερικές φορές θα θεωρούμε ότι ισχύουν,

. (18.7)

Αυτό δεν είναι σύμφωνο με το συνήθη συμβολισμό για τις παραγώγους. Εδώ δεν σημαίνει ότι το jy

εξαρτάται μόνο από μια μεταβλητή, την kx , αλλά σημαίνει ότι υπάρχει μόνο άμεση εξάρτηση από το kx , δεν υπάρχει και έμμεση εξάρτηση. Είναι εύκολο να δούμε ότι ισχύουν οι αντίστοιχες των τελευταίων από τις Εξ. (18.5) για την ολική παράγωγο. Για μια συνάρτηση με άμεση και έμμεση εξάρτηση από τα έχομε

(18.8)

Θα ολοκληρώσομε παραγοντικά το δεύτερο ολοκλήρωμα του αθροίσματος της Εξ. (18.6).

( )y x x

δ 0 1, 2,...,δ ( )= 1, 2,...,

δ ( ) =0.

i i i

j j j

j S

x x x i my x y y j n

y x

f ix

,

δδ

δδ =δ

δδ .

i i i i i

ii i

kk

k ki i

f f ff f fx x x x x

ff fx x

ffx x

,1 1 ,

δ δ d δ δ d 0n m

j j ij ij j iΩ Ω

F FZ F Ω y y Ωy y

( ) d ( )d

j j

k k

y x y xx x

ix

d d d d(δ )δd d d dd d (δ )δ .d d

i i i ik k

k ki i

f f f fx x x x

f fx x

434

Ισχύει η σχέση

, , ,

, , , ,

,, ,

d(δ )d dδ δd d d

dd dδ δ δ δd d d

dδ δd

jj j

i j i i j i j i i

j jj j

i j i j i i i j i j i i

j j ii j i j i

yF F Fy yx y x y y x

y yF F F Fy yx y y x x y y x

F Fy yx y y

æ ö æ ö¶ ¶ ¶÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= +÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷¶ ¶ ¶ç çè ø è øæ ö æ ö ¶¶ ¶ ¶ ¶÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= + = +÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ç çè ø è øæ ö¶ ¶÷ç ÷ç= +÷ç ÷÷¶ ¶çè ø

(18.9)

Επομένως, με παραγοντική ολοκλήρωση, το δεύτερο ολοκλήρωμα της Εξ. (18.6) γίνεται

. (18.10)

Η έκφραση στο πρώτο ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της

Εξ. (18.10), είναι η απόκλιση (divergence) με διάσταση , της συνάρτησης που αντιπροσωπεύει η παρένθεση. Ισχύει το σχετικό θεώρημα της απόκλισης, οπότε το ολοκλήρωμα όγκου μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα στην επιφάνεια που περικλείει τον όγκο (σύνορο του χωρίου, σύνορο του όγκου) . Σε κάθε σημείο της επιφάνειας θεωρείται θετική η κατεύθυνση από μέσα προς τα έξω. Έχομε

. (18.11)

Τα είναι οι «προβολές» του στοιχείου του συνόρου στο υπερεπίπεδο που καθορίζεται από = σταθερό. Έτσι το ολοκλήρωμα της Εξ. (18.10) γίνεται

(18.12)

Όμως οι δεύτερες σχέσεις της Εξ. (18.4) λένε ότι στην επιφάνεια τα , άρα το ολοκλήρωμα της Εξ. (18.12) είναι μηδέν, οπότε η Εξ. (18.6) με χρήση της Εξ. (18.10) και της Εξ. (18.12) δίνει

. (18.13)

Βλέπομε ότι η δυνατή μεταβολή του ολοκληρώματος της απόκλισης είναι μηδέν. Αυτό μπορεί να δει κάποιος πως σχετίζεται με το ότι το ολοκλήρωμα όγκου της απόκλισης ισούται με ολοκλήρωμα στο σύνορο το οποίο είναι μια σταθερά. Στη συνέχεια κάνομε τον συνήθη συλλογισμό: Αφού τα είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα θα είναι μεταξύ

τους ανεξάρτητα και τα , επομένως μπορούμε να διαλέγομε διαδοχικά ένα από αυτά μη μηδενικό στο

άθροισμα των ολοκληρωμάτων πάνω στα και όλα τα άλλα μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι κάθε ένα από αυτά τα ολοκληρώματα του αθροίσματος θα είναι μηδέν, δηλαδή

,1 1 1 1 1 1, , ,

d dδ d δ d - δ dd d

n m n m n m

j i j jj i j i j ij i i j i i j iΩ Ω Ω

F F Fy Ω y Ω y Ωy x y x y

1 ,

d δd

m

ji i j i

F yx y

m

1 1

d d dd

m mi

i ii iiΩ S

f Ω f Sx

d iS S ix

1 1 1 1, ,

d δ d δ d .d

n m n m

j j ij i j ii j i j iS

F Fy y Sx y y

S δ 0jy

1 1 ,

dδ δ - d 0d

n m

jj ij i j iΩ

F FZ y Ωy x y

jyδ jy

1, 2,...,j n

435

. (18.14)

Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε το γνωστό θεμελιώδες λήμμα της Θεωρίας Μεταβολών. Αυτό λέει ότι αφού οι μεταβολές είναι αυθαίρετες συναρτήσεις των , τότε για να είναι το ολοκλήρωμα της σχέσης (18.14) ίσο με μηδέν, πρέπει η αγκύλη να είναι μηδέν. Επομένως τελικώς η Εξ. (18.14) μας οδηγεί στο ότι, για την πραγματική τροχιά, δηλαδή για τα , που την καθορίζουν, ισχύουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange για τη συνάρτηση , δηλαδή

(18.15)

Σε αυτό το σημείο πρέπει να αναφερθούμε στο γεγονός που παρόμοιό του έχομε δει στην περίπτωση των διακριτών συστημάτων. Έστω οι αυθαίρετες παραγωγίσιμες συναρτήσεις που μπορούμε να τις θεωρήσομε ως τις συνιστώσες ενός διανύσματος στο χώρο των m διαστάσεων. Σχηματίζομε

την απόκλιση, δηλαδή την παράσταση . Ολοκληρώνομε την απόκλιση στο χώρο .

Έχομε 1

d ( , )dd

mi

i i

x yx

. Προσθέτομε αυτό το ολοκλήρωμα και τροποποιούμε το συναρτησιακό της

Εξ.(18.2) , οπότε βρίσκομε

1 1

1

d ( , ) d ( , )( , , )d d dd d

d ( , )( , , ) d .d

m mi i

xi ii i

mi

xi i

x y x yZ F x y y Zx x

x yF x y yx

(18.16)

Σχηματίζομε τη δυνατή μεταβολή δZ . Προφανώς έχομε,

1 1

d ( , ) d ( , )δ δ ( , , ) d =δ δ dd d

m mi i

xi ii i

x y x yZ F x y y Zx x

. (18.17)

Το τελευταίο ολοκλήρωμα είναι ολοκλήρωμα απόκλισης οπότε, μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα στο σύνορο. Είδαμε λίγο πριν ότι η δυνατή μεταβολή ενός ολοκληρώματος απόκλισης είναι μηδέν. Αυτό σχετίζεται με το γεγονός ότι, όπως είπαμε, το ολοκλήρωμα είναι μια σταθερά. Επομένως

1

d ( , )δ δ ( , , ) d =δd

mi

xi i

x yZ F x y y Zx

. (18.18)

Αυτό σημαίνει ότι θέτοντας δ δ 0Z Z , καταλήγομε στις ίδιες εξισώσεις Λαγκράνζ , από την Z και την Z . Παίρνομε τις ίδιες λύσεις και από τα δυο αυτά συναρτησιακά. Τελικώς, καταλήγομε στο ότι η συνάρτηση μπορεί να τροποποιηθεί σύμφωνα με τη σχέση,

1

d ( , )( , , ) ( , , )d

mi

x xi i

x yF x y y F x y yx

(18.19)

1 ,

dδ - d 0d

m

jij i j iΩ

F Fy Ωy x y

δ jy ix

( ) 1, 2,...,jy x j n

F

1 ,

1

d 0d

d 0 1, 2,..., .d /

m

ij i j i

m

ij i j i

F Fy x y

F F j ny x y x

( , ) 1, 2,...,iΛ x y i m

1

d ( , )d

mi

i i

Λ x yx

436

ενώ οι εξισώσεις Λαγκράνζ μένουν οι ίδιες. Θυμηθείτε ότι έχομε το αντίστοιχο για διακριτά συστήματα στη Μηχανική όπου αντί για απόκλιση έχομε ολική παράγωγο ως προς το χρόνο και αυτό το ξέρομε και από το λαγκρανζιανό φορμαλισμό, χωρίς θεωρία μεταβολών. Εφόσον η περιέχει μόνο πρώτες παραγώγους των

, γράψαμε τα ως συναρτήσεις μόνο των . Αυτά μπορεί να γενικευτούν κατάλληλα σε γενικότερες περιπτώσεις όπου υπάρχουν στην ανώτερες παράγωγοι. Η πιο γενική μορφή συνάρτησης είναι να ορίζεται σε πολυδιάστατο χώρο ανεξάρτητων μεταβλητών και να εξαρτάται από πολλές εξαρτημένες μεταβλητές και παραγώγους τους ανώτερης τάξης

συμπεριλαμβανομένων μεικτών παραγώγων της μορφής .

Παρακάτω αναφερόμαστε στη περίπτωση όπου στην έχομε μιαν ανεξάρτητη μεταβλητή μια εξαρτημένη μεταβλητή και παραγώγους μέχρι τάξεως . Αυτή η περίπτωση μπορεί, σχετικά εύκολα, να γενικευθεί για πολλές ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές με παραγώγους ανώτερης τάξης, χωρίς μεικτές παραγώγους. Θα χρησιμοποιήσομε για ευκολία το συμβολισμό

(18.20)

Τώρα η Εξ. (18.6) γίνεται

. (18.21)

Σε αυτή την περίπτωση με παραγώγους μέχρι τάξης ισχύει ο περιορισμός στα άκρα του διαστήματος ολοκλήρωσης (δηλαδή στο σύνορο) . (18.22)

Σύμφωνα με τις Εξ. (18.5) ή (18.8) μετατίθενται τα οπότε έχομε

. (18.23)

Είναι γνωστό ότι ισχύει η ταυτότητα της Εξ. (18.24), όπου όταν θεωρούμε ότι ο δεύτερος όρος στο δεύτερο μέλος είναι μηδέν,

. (18.24)

Επομένως η Εξ. (18.23) γίνεται

(18.25)

Το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι ολοκλήρωμα ολικού διαφορικού. Κάνοντας την μετάθεση των και δ,

αυτό γίνεται

Fy iΛ ,x y

FF

1 2 3....

l

x x x

FN

( )

(0) (1) (2) ( )

d , 0,1,...,d

, ( , , , ,..., )

ll

l

N

yy l Nx

y y F F x y y y y

2 2

1 1

( )( )

0δ δ d δ d 0

x x Ni

iix x

FZ F x y xy

N

1 2

( ),

δ 0, 0,1,...,ix x

y i N δd , 0,1,..., 1i y i N

d , δd

i

ix2

1

( )0

d δδ d 0d

x iN

i iix

F yZ xy x

0,i

( ) ( ) 1 ( 1) ( )

1

d( 1) ( 1)d

ii i i l l i l

lfg gf f g

x

2

1

2

1

( )0

11

1 ( )0 1

dδ δ ( 1) dd

d d d δ( 1) d 0.d d d

x iNi

i iix

x l i lN il

l i i li lx

FZ y xx y

F y xx x y x

dd

i l

i lx

437

(18.26)

Αυτό το ολοκλήρωμα οδηγεί σε όρο ο οποίος έχει τιμές στο σύνορο, δηλαδή στα σημεία (όρος συνόρου). Αυτός είναι μηδέν αφού υποθέσαμε ότι ισχύουν οι συνθήκες μηδενισμού των μεταβολών των παραγώγων και της στο σύνορο, , Εξ. (18.22) και για την περίπτωση

είπαμε ότι η αγκύλη είναι μηδέν. Επομένως εφόσον το είναι αυθαίρετη συνάρτηση του , εφαρμόζομε το θεμελιώδες λήμμα της θεωρίας μεταβολών και από την Εξ. (18.25) καταλήγομε στην παρακάτω εξίσωση των Euler-Lagrange με ανώτερες παραγώγους

. (18.27)

Η γενική μορφή των εξισώσεων των Euler-Lagrange με όλων των μορφών παραγώγους στην , με πολλές ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές είναι πολύπλοκη και μπορεί να βρεθεί στη βιβλιογραφία. Τονίζομε εδώ ότι, η συνάρτηση μπορεί να εξαρτάται και από άλλες συναρτήσεις των των οποίων η εξέλιξη δεν προκύπτει από θεωρία μεταβολών του ανωτέρω συναρτησοειδούς, αυτές για τη θεωρία μεταβολών που οδηγεί στις εξισώσεις των Euler-Lagrange είναι δεδομένες και προσδιορίζονται με άλλους τρόπους. Όταν κάνομε τις ανωτέρω μεταβολές αυτές οι συναρτήσεις δεν μεταβάλλονται αλλά λαμβάνονται ως σταθερές. Οι συναρτήσεις (μεταβλητές) που μπορούν να προσδιοριστούν από θεωρία μεταβολών στη φυσική λέγονται δυναμικές μεταβλητές και οι άλλες απόλυτες μεταβλητές. Οι δυναμικές μεταβλητές εξαρτώνται από τις απόλυτες ενώ οι απόλυτες δεν εξαρτώνται από τις δυναμικές. Α) Συναρτησιακή Παράγωγος. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι εισαγωγής της έννοιας της συναρτησιακής παραγώγου ή παραλλακτικής παραγώγου (functional ή variational derivative). Εδώ δίνομε έναν σχετικά απλό ορισμό της συναρτησιακής παραγώγου. Το πρόβλημα που τίθεται είναι το εξής: Τι θα συμβεί στην τιμή του συναρτησιακού αν μεταβληθεί κατά πολύ λίγο (απειροστό) μια από τις συναρτήσεις ( )iy x . Έχομε γενικώς, ( ) ( , )dZ Z y x F x y

.

Αν μεταβληθεί ένα ( )iy x κατά δ ( )iy x για κάθε ένα σημείο x του πολυδιάστατου χώρου, τότε το

συναρτησιακό θα μεταβληθεί κατά δ ( )Z x , δ ( ) δ ( )( ) i

i

ZZ y x y xy x

. Η μεταβολή θα είναι, γενικώς,

διαφορετική από σημείου εις σημείο, x . Διαιρούμε και τα δύο μέλη αυτής της έκφρασης δια του πολύ

2

1

2

1

2

1

11

1 ( )0 1

11 ( )

1 ( )0 1

11 ( )

1 ( )0 1

d d d δ( 1) dd d d

d d( 1) δ dd d

d( 1) δd

x l i lN il

l i i li lx

x lN il i l

l ii lx

xlN i

l i ll i

i l x

F y xx x y x

F y xx x y

F yx y

1 2,x x

y1 2

( ),

δ 0, 0,1,..., 1rx x

y r N

0i δy x

1

d( 1) =0.ddd

iNi

iii

i

F Fyx x

x

F

F ix

438

μικρού «όγκου» , στην περιοχή του σημείου x . Έχομε την έκφραση δ ( ) 1 δ ( )

( ) ii

Z y x Z y xy x

.

Αυτή η έκφραση δίνει τη μεταβολή ανά μονάδα «όγκου» και μονάδα iy , του συναρτησιακού σε κάθε σημείο

του χώρου. Η συναρτησιακή παράγωγος δδ i

Zy

, ορίζεται από την έκφραση

δ 1δ i i

Z Zy y

για κάθε ένα iy και για κάθε ένα σημείο του χώρου. Πρόκειται για συμβολισμό που μπορεί

να οδηγήσει σε παρεξήγηση, γι’ αυτό επαναλαμβάνομε ότι στην πραγματικότητα το δδ i

Zy

δηλώνει μεταβολή

του Z ανά μονάδα του iy και ανά μονάδα «όγκου», σε ένα σημείο του χώρου x . Η συνολική μεταβολή του συναρτησιακού σε όλο το διάστημα ολοκλήρωσης θα είναι:

δ ( )δ ( ) δ ( )dδ ( )

ii i

i

Z yZ y y xy x

.

Στην περίπτωση διακριτών συστημάτων ο χώρος είναι μονοδιάστατος, συγκεκριμένα είναι ο χρόνος και το στοιχείο «όγκου» είναι ο στοιχειώδης χρόνος. Στη συνέχεια ας υποθέσομε ότι για τη συνάρτηση έχομε ( , , )xF F x y y , στον πολυδιάστατο χώρο. Ξεκινούμε από την (18.2). Κάνομε δυνατή μεταβολή στο συναρτησιακό, εφαρμόζομε παραγοντική ολοκλήρωση οπότε καταλήγομε σε ένα ολοκλήρωμα όγκου και σε ολοκλήρωμα στο σύνορο. Θεωρούμε ότι στο σύνορο έχομε τις γνωστές συνοριακές σχέσεις, οπότε το ολοκλήρωμα στο σύνορο είναι μηδέν. Έτσι καταλήγομε στη σχέση

1 1 ,

dδ δ dd

n m

jj ij i j i

F FZ yy x y

.

Αυτή είναι η σχέση (18.14) χωρίς να θέσομε τη δυνατή μεταβολή του συναρτησιακού ίση με μηδέν. Στη συνέχεια κάνομε το γνωστό συλλογισμό, αφού τα δy είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα και επίσης είναι αυθαίρετες συναρτήσεις των x , μπορούμε να θεωρήσομε ένα κάθε φορά μη μηδενικό, οπότε φεύγει το άθροισμα. Σύγκριση με την παραπάνω σχέση για τη συνολική μεταβολή του συναρτησιακού μας οδηγεί στο ότι ισχύει:

1 ,

δ dδ ( ) d

m

ik j i j i

Z F Fy x y x y

. (18.28)

Σημειώνομε ότι η συναρτησιακή παράγωγος ορίζεται χωρίς να ισχύουν κατ’ ανάγκη οι εξισώσεις Euler-Lagrange. Με χρήση της συναρτησιακής παραγώγου, οι εξισώσεις Euler-Lagrange μπορούν να γραφτούν στη μορφή,

δ 0δ ( )k

Zy x

.

Αν στη λαγκρανζιανή υπάρχουν παράγωγοι μέχρι τάξη n τότε, γενικώς, η διαφορική εξίσωση που προκύπτει έχει τάξη μέχρι 2n . Αν η εξάρτηση της λαγκρανζιανής από την παράγωγο τάξης n είναι γραμμική τότε η αντίστοιχη συμβολή στην τελική διαφορική εξίσωση οδηγεί σε παραγώγους με μέγιστη τάξη n . Παράδειγμα γραμμικής εξάρτησης από παραγώγους δεύτερης τάξης έχομε στη Βαρύτητα στα πλαίσια της Γενικής Σχετικότητας. Για αυτό το λόγο, σε αυτή την περίπτωση, οι διαφορικές εξισώσεις είναι τάξης 2 και όχι 4.

439

Β) Συναρτησιακή Παράγωγος της λαγκρανζιανής και της χαμιλτονιανής. Τώρα θα αναφερθούμε στον ορισμό της συναρτησιακής παραγώγου της λαγκρανζιανής και της χαμιλτονιανής, τις οποίες θεωρούμε συναρτησιακά. Αυτό είναι χρήσιμο στη θεωρία πεδίων, στον χαμιλτονιανό φορμαλισμό, όπου η παράγωγος ως προς το χρόνο παίζει ξεχωριστό ρόλο από τις παραγώγους ως προς τη θέση στον συνήθη χώρο. Η λαγκρανζιανή και η λαγκρανζιανή πυκνότητα συνδέονται με τη σχέση: 0 0 3

,( , ), ( , ), , di i iiL x x x t x x x

.

Έχομε ξεχωρίσει τη συντεταγμένη 0x του χρόνου από τις άλλες τρεις χωρικές συντεταγμένες, 1 2 3, ,x x x . Όπως συνήθως, μπορεί να θεωρήσομε ότι 0x t ή 0x ct . Το στοιχείο του όγκου 3d x αναφέρεται στον συνήθη τρισδιάστατο χώρο των 1 2 3, ,x x x που παριστάνομε με . Σημειώνομε ότι το είναι γενικώς όλος ο απέραντος συνήθης χώρος. Σχηματίζομε τη δυνατή μεταβολή (παραλλαγή) της λαγκρανζιανής, έχομε:

0 0 3,

3,

,

δ δ ( , ), ( , ), , d

δ δ δ d .

i i ii

ii

L x x x t x x x

x

Θυμίζομε ότι 1, 2,3i , δηλαδή ο δείκτης αναφέρεται στις τρεις συνήθεις χωρικές συνιστώσες, επίσης ισχύουν:

, ,0 0, 1, 2,3 i i ix x

.

Έχομε τη σχέση, ,

(δ )δ i ix

. Κάνομε παραγοντική ολοκλήρωση στο ολοκλήρωμα του δεύτερου

όρου του δL και αφού μετατρέψομε το ολοκλήρωμα της απόκλισης που προκύπτει σε ολοκλήρωμα πάνω στο σύνορο, S , δηλαδή στην περικλείουσα επιφάνεια του τρισδιάστατου χώρου, βρίσκομε για αυτό το ολοκλήρωμα,

3 3,

, ,

δ d (ολοκλήρωμα στο σύνορο) di ii i

x xx

.

Υποθέτομε ότι τα πεδία είναι εντοπισμένα στον τρισδιάστατο χώρο οπότε αυτό σημαίνει ότι στην,

γενικώς απέραντη, επιφάνεια S είναι μηδέν ή τείνουν στο μηδέν με την απόσταση, κατά τρόπο που το ολοκλήρωμα στο σύνορο να μηδενίζεται. Τελικώς έχομε,

0 0 3,

3

,

δ δ ( , ), ( , ), , d

δ δ d .

i i ii

ii

L x x x t x x x

xx

440

Θεωρούμε ότι τα δ ,δ είναι ανεξάρτητα και αυθαίρετα, οπότε τώρα έχομε την αντίστοιχη σχέση, με αυτή που δώσαμε στα προηγούμενα, για την συνολική μεταβολή του συναρτησιακού:

3δ δδ δ δ dδ ( ) δ ( )

L LL xx x

.

Η σύγκριση με την τελευταία προηγούμενη σχέση οδηγεί στις δυο ακόλουθες συναρτησιακές παραγώγους της λαγκρανζιανής:

,

δδ

δ .δ

ii

Lx

L

Μερικές φορές χρησιμοποιούμε το συμβολισμό δδ

αντί του δ

δL

. Δεν υπάρχει πρόβλημα αρκεί να

ξέρομε τι σημαίνουν όλα αυτά. Ας δούμε τώρα τι συμβαίνει με τη χαμιλτονιανή για πεδία. Ορίσαμε τη χαμιλτονιανή για διακριτά συστήματα με χρήση της λαγκρανζιανής και με το μετασχηματισμό Legendre. Θα γενικεύσομε αυτή τη διαδικασία για πεδία. Γράφομε

d

3( ) ( )H x x d x L

όπου ( )x

είναι η πυκνότητα, στο συνήθη τρισδιάστατο χώρο, της

συζυγούς ορμής για το πεδίο . Στη συνέχεια γράφομε

d

3( ) ( ) dH x x x

. Αυτό σημαίνει ότι η χαμιλτονιανή είναι συναρτησιακό με εξαρτημένες

μεταβλητές τα , . Η χαμιλτονιανή πυκνότητα είναι ( ) ( )x x

. Παρατηρούμε ότι στο χαμιλτονιανό φορμαλισμό ο χρόνος και ο συνήθης χώρος ξεχωρίζουν δεν εισέρχονται ισοδύναμα, συμμετρικά. Στο λαγκρανζιανό φορμαλισμό εισέρχονται συμμετρικά. Επειδή η χαμιλτονιανή εξαρτάται από τα δυο είδη εξαρτημένων μεταβλητών θα έχομε την ανάλογη σχέση με αυτή για τη λαγκρανζιανή:

3δ δδ δ δ dδ δ

H x

.

Με τον τρόπο που ορίσαμε τη χαμιλτονιανή, δεν υπάρχει εξάρτηση από τα ,i

, όμως μπορούμε, κατά τα γνωστά, να προσθέσομε στη χαμιλτονιανή πυκνότητα μια απόκλιση και οι εξισώσεις κίνησης θα μείνουν ίδιες. Σε αυτή την περίπτωση η χαμιλτονιανή, γενικώς, θα εξαρτάται και από τα ,i

. Με αυτό το σκεπτικό γράφομε τη δυνατή μεταβολή για τη χαμιλτονιανή:

3, ,

, ,

δ δ δ δ δ di ii i

H x

.

441

Με τη γνωστή διαδικασία ο δεύτερος και τέταρτος όρος μπορεί να μετατραπούν με χρήση παραγοντικής ολοκλήρωσης, ώστε να είναι άθροισμα ολοκληρώματος στον τρισδιάστατο χώρο συν ολοκλήρωμα στο σύνορο του χώρου αυτού, δηλαδή στην περικλείουσα επιφάνεια του χώρου. Ο χώρος είναι ο απέραντος συνήθης τρισδιάστατος χώρος. Υποθέτομε ότι η χαμιλτονιανή πυκνότητα και οι παράγωγοί της μηδενίζονται στο άπειρο με τέτοιο τρόπο που το ανωτέρω επιφανειακό ολοκλήρωμα να μηδενίζεται. Αυτό οδηγεί στις σχέσεις:

3 3,

, ,

3 3,

, ,

δ d δ d

δ d δ d .

i ii i

i ii i

x xx

x xx

Οπότε καταλήγομε στη σχέση:

3

, ,

δ δ di ii i

H xx x

.

Έτσι τελικώς βρίσκομε,

,

,

δδ

δ .δ

ii

ii

x

x

Π7.2 Συμμετρίες Noether. Θεωρήματα Noether Τα θεωρήματα της Noether ασχολούνται με τις συνέπειες τις οποίες έχει η ύπαρξη ομάδας απειροστών μετασχηματισμών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών, υπό τους οποίους το συναρτησοειδές παραμένει αναλλοίωτο (invariant) ή ημιαναλλοίωτο (quasi-invariant). Θα δούμε τη σημασία αυτών των όρων παρακάτω. Το ολοκλήρωμα λαμβάνεται πάνω σε αυθαίρετο χωρίο το οποίο μετασχηματίζεται επίσης. Δεν τίθενται συνοριακές συνθήκες κατά τους μετασχηματισμούς. Αυτό συνήθως λέγεται παραλλακτική συμμετρία ή συμμετρία θεωρίας παραλλαγών (variational symmetry). Οι συμμετρίες τις οποίες διαπραγματεύεται αυτό το θεώρημα περιγράφονται με συνεχείς απειροστούς μετασχηματισμούς που αποτελούν ομάδα και εξαρτώνται από κάποιες αυθαίρετες ανεξάρτητες, απειροστές (σταθερές) παραμέτρους ή από κάποιες αυθαίρετες ανεξάρτητες, απειροστές συναρτήσεις. Αυτές οι ομάδες είναι ομάδες του Lie. Τα θεωρήματα της Noether μπορεί να χρησιμοποιηθούν στη Φυσική όταν (όπως συμβαίνει στις πιο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις) ορίζεται ένα συναρτησοειδές που είναι το ολοκλήρωμα δράσης και από αυτό το ολοκλήρωμα δράσης προκύπτουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange με χρήση της αρχής του Hamilton, στη μορφή θεωρίας μεταβολών. Υπάρχουν και τα αντίστροφα των θεωρημάτων αυτών που δεν θα μας απασχολήσουν. Υπάρχουν συμμετρίες που δεν περιγράφονται με συνεχείς μετασχηματισμούς, μια τέτοια σχετίζεται με την αλλαγή συντεταγμένων από σε , μάλιστα η ύπαρξη τέτοιας συμμετρίας οδηγεί στη διατήρηση της ομοτιμίας (parity). Αυτές οι περιπτώσεις δεν περιγράφονται από τα θεωρήματα της Noether. Υπάρχουν δυο θεωρήματα, το πρώτο και το δεύτερο θεώρημα της Noether. Στο πρώτο θεώρημα οι

Ω

r r

442

μετασχηματισμοί περιέχουν αυθαίρετες, ανεξάρτητες σταθερές και αποτελούν ομάδα τύπου πεπερασμένων συνεχών ομάδων (finite continuous group). Βρίσκει εφαρμογή στη Φυσική, όταν έχομε θεωρίες με καθολική (παγκόσμια) αναλλοιώτητα (global invariance) ή ημιαναλλοιώτητα (global semi-invariance). Στο δεύτερο θεώρημα οι μετασχηματισμοί περιέχουν αυθαίρετες, ανεξάρτητες παραγωγίσιμες συναρτήσεις των ανεξάρτητων μεταβλητών και αποτελούν ομάδα τύπου απείρων συνεχών ομάδων (infinite continuous group). Το δεύτερο θεώρημα της Noether βρίσκει εφαρμογή σε θεωρίες της Φυσικής που έχουν τοπικές συμμετρίες (local invariance ή gauge invariance, αναλλοίωτο βαθμίδας). Τέτοια θεωρία είναι η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας αλλά και η Κβαντική Χρωμοδυναμική και άλλες κβαντικές θεωρίες στοιχειωδών σωματιδίων. Η έννοια του αναλλοίωτου βαθμίδας έχει μεγάλη σημασία στη Φυσική των Στοιχειωδών Σωματιδίων όπου η απαίτηση αυτής της συμμετρίας οδηγεί στη μορφή των διαφόρων αλληλεπιδράσεων και στην ύπαρξη των σχετικών πεδίων και σωματιδίων φορέων των αλληλεπιδράσεων. Οι θεωρίες αυτές χαρακτηρίζονται με τον όρο θεωρίες βαθμίδας (gauge theories) . Αυτό δεν θα μας απασχολήσει σε αυτό το βιβλίο. Η ομάδα μετασχηματισμών του πρώτου τύπου είναι υποομάδα των μετασχηματισμών του δεύτερου τύπου, όπου οι αυθαίρετες συναρτήσεις γίνονται αυθαίρετες σταθερές. Αν οι γενικότεροι μετασχηματισμοί παραλλακτικής συμμετρίας που επιδέχεται ένα φυσικό σύστημα είναι τύπου ομάδας ολικού χαρακτήρα τότε μπορεί να προκύψουν σταθερές ποσότητες κίνησης που είναι αναλλοίωτες στη μορφή υπό τους εν λόγω μετασχηματισμούς. Αν όμως οι γενικότεροι μετασχηματισμοί είναι τοπικού τύπου, παρόλο που ως υποομάδα αυτών ισχύουν και ολικοί μετασχηματισμοί, δεν μπορούν να οριστούν σταθερές ποσότητες κίνησης που να είναι αναλλοίωτες στη μορφή υπό τους γενικότερους μετασχηματισμούς του συστήματος. Θα ασχοληθούμε με απειροστούς συνεχείς μετασχηματισμούς των ανεξάρτητων και των εξαρτημένων μεταβλητών από τις οποίες εξαρτάται η συνάρτηση του συναρτησιακού . Υποθέτομε ότι η συνάρτηση εξαρτάται από τις ανεξάρτητες μεταβλητές x , τις εξαρτημένες ( )y x και τις πρώτες παραγώγους xy , ( , , )xF F x y y . Όπως είπαμε με τους μετασχηματισμούς μεταβάλλεται και το χωρίο ολοκλήρωσης. Οι απειροστοί μετασχηματισμοί των ανεξάρτητων μεταβλητών είναι της μορφής . (18.29) Όπου οι μεταβολές είναι, γενικώς, αυθαίρετες συναρτήσεις των ανεξάρτητων μεταβλητών , των εξαρτημένων μεταβλητών y και των παραγώγων xy . Οι ανεξάρτητες μεταβλητές και οι παράγωγοί τους μετασχηματίζονται όπως φαίνεται

στις Εξ. (18.30) . Η μεταβολή και η ολική παραγώγιση ή η μερική παραγώγιση , γενικώς, δεν

μετατίθενται διότι κατά το μετασχηματισμό δεν αναφερόμαστε στο ίδιο σημείο αλλά πάμε από το σημείο στο σημείο όπου γενικώς x x ,

(18.30)

Σε αυτό το Εδάφιο, η μεταβολή οφείλεται σε δυο είδη μεταβολών, σε μεταβολή ένεκα μεταβολής

των ανεξάρτητων μεταβλητών (θέση), και σε μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής ενώ οι ανεξάρτητες μεταβλητές (θέση) μένουν σταθερές. Η μεταβολή του δευτέρου είδους, εδώ θα παριστάνεται με . Έχομε,

. Επομένως ισχύει ότι . Η μεταβολή και η

F Z

Ω

δ ( )i i ix x x x δ ( )ix x ix

δ dd ix ix

xx

, , ,

( ) ( ) δ( ) ( ) δ

d dδ δ,δ δ.d d

j j j

j i j i j i

i i i i

y x y x yy x y x y

x x x x

δ ( )j iy x 1, 2,...,i ix x i m

δ jy

δ δ ( ) ( ) ( )j j j jy y x y x y x 1

δ δ δm

jj j i

i i

yy y x

x

δ

443

παραγώγιση ή η μετατίθενται όπως ήδη ξέρομε, διότι δεν έχομε κατά τη μεταβολή αλλαγή στα

. Συνοψίζομε τα παραπάνω με τις παρακάτω σχέσεις

(18.31)

Πριν προχωρήσομε θα αναφερθούμε σε δυο είδη μετασχηματισμών, στους παθητικούς και στους ενεργητικούς. Ένα απλό παράδειγμα είναι το εξής: Έστω ότι έχομε ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται με καρτεσιανές συντεταγμένες. Ένας παθητικός μετασχηματισμός, μπορεί να είναι μια περιστροφή, κατά γωνία κατά τη φορά του ρολογιού, των καρτεσιανών αξόνων περί τον άξονα z . Ένας ενεργητικός μετασχηματισμός, ισοδύναμος του προηγούμενου, είναι περιστροφή του φυσικού συστήματος κατά γωνία (αντίθετα προς το ρολόι), ενώ οι άξονες μένουν σταθεροί. Σε περιπτώσεις όπως εδώ είναι καλύτερη η

θεώρηση ενεργητικών μετασχηματισμών. Θα εφαρμόσομε τον ανωτέρω απειροστό μετασχηματισμό και θα υπολογίσομε τη μεταβολή του συναρτησιακού ( , , )dxF x y y

. Υποθέτομε ότι με το μετασχηματισμό η μετασχηματισμένη F έχει ως

προς τις νέες συντεταγμένες την ίδια μορφή που έχει η συνάρτηση F ως προς τις παλιές. Συγκεκριμένα ισχύουν οι σχέσεις, ( , , ) ( , , ) ( , , )x x xF x y y F x y y F x y y . Μπορεί κάποιος να δει ότι ένα τέτοιο

(απλό) παράδειγμα ισχύει για τη συνάρτηση 2 212

F x y , όπου τα ,x y είναι οι καρτεσιανές

συντεταγμένες ενός σημείου στο επίπεδο. Ας εφαρμόσομε το μετασχηματισμό περιστροφής των αξόνων ως προς την αρχή των καρτεσιανών συντεταγμένων. Έχομε 1 1 1 1cos sin , sin cosx x y y x y ,

οπότε βρίσκομε εύκολα ότι 2 2 2 21 1 1 1 1 1

1 1( , ) ( , ) ( , )2 2

F x y x y F x y x y F x y . Δηλαδή,

πράγματι δεν αλλάζει η μορφή της συνάρτησης. Το συναρτησιακό πριν και μετά το μετασχηματισμό είναι αντιστοίχως:

( , , )d

( , , )d

x

x

F x y y

F x y y

(18.32)

Αυτό που εννοούμε με το μετασχηματισμό είναι ότι: Ξεκινούμε από κάποιες συναρτήσεις ( )i iy y x , και από τις παραγώγους τους οι οποίες υπολογίζονται από αυτές. Για κάθε x υπολογίζομε τη συνάρτηση ( , , )xF x y y και στη συνέχεια το ολοκλήρωμα (το συναρτησιακό) στο χώρο . Ουσιαστικά τα ( ), 1, 2,...,i iy y x i m καθορίζουν μια τροχιά στον πολυδιάστατο χώρο, που δεν είναι η πραγματική τροχιά. Κάνομε το μετασχηματισμό, που τον εννοούμε ως ενεργητικό, οι συναρτήσεις και οι παράγωγοί τους μετασχηματίζονται, το χωρίο ολοκλήρωσης μετασχηματίζεται, η «τροχιά» μετασχηματίζεται σε διαφορετική τροχιά και υπολογίζεται το νέο συναρτησιακό με τα νέα δεδομένα. Το νέο όπως και το παλιό συναρτησιακό με την αρχή Χάμιλτον πρέπει να οδηγούν στις εξισώσεις Euler-Lagrange. Πρόκειται για το ίδιο σύστημα που περιγράφεται

dd ix ix

δ

ix

1

, , ,

δ δ ( ) ( ) ( )

δ ( ) ( ) δ δ

δ ( ) ( ) ( )d dδ δ,δ δ.

d d

j j j j

mj

j j j j ii i

j i j i j i

i i i i

y y x y x y xy

y y x y x y xx

y x y x y x

x x x x

444

με διαφορετικές συντεταγμένες. Όπως είπαμε, θα δούμε παρακάτω τι πρέπει να ισχύει για να συμβαίνει αυτό. Αναφερόμαστε σε απειροστούς μετασχηματισμούς οπότε η μεταβολή του συναρτησιακού, δZ , είναι επίσης απειροστή. Έχομε, δ ( , , )d ( , , )dx xZ F x y y F x y y

(18.33)

Όπως σε παρόμοιες περιπτώσεις, υποθέτομε ότι οι διαφορές είναι απειροστά μέχρι πρώτης τάξης. Είναι κατανοητό ότι τα ,x x είναι «τρέχουσες» ή βωβές μεταβλητές (dummies), όπως είναι και τα d d ως συναρτήσεις των ,x x , στις οποίες ολοκληρώνομε, οπότε δε χρειάζεται να διαφοροποιούνται με τονούμενα. Τα δυο χωρία ολοκλήρωσης διαφέρουν «απειροστά» οπότε μπορούμε να αναγάγομε τα δυο ολοκληρώματα στο ίδιο χωρίο ολοκλήρωσης. Για αυτό το σκοπό θα ακολουθήσομε την παρακάτω διαδικασία. Ο τρόπος γίνεται κατανοητός με το Σχήμα Π7.2, που δείχνει μια αναπαράσταση των για χώρο ανεξάρτητων μεταβλητών δυο διαστάσεων. Η μεταβολή του χωρίου ολοκλήρωσης, που σχετίζεται με τις (απειροστές) μεταβολές είναι απειροστή. Γράφομε το πρώτο ολοκλήρωμα της Εξ. (18.33) ως άθροισμα δυο ολοκληρωμάτων, οπότε θα καταλήξομε στις ακόλουθες σχέσεις,

(18.34

Σχήμα Π7.2 Τα χωρία ολοκλήρωσης σε χώρο ανεξάρτητων μεταβλητών δυο διαστάσεων. Εφόσον το χωρίο μεταξύ των είναι απειροστό, η τιμή της συνάρτησης είναι περίπου η

ίδια κατά το μετασχηματισμό από το σημείο της επιφάνειας στο αντίστοιχο της επιφάνειας . Μπορούμε επομένως να φανταστούμε ένα στοιχειώδη «όγκο» σε κάθε σημείο της επιφάνειας που φτάνει μέχρι το αντίστοιχο μετασχηματισμένο σημείο της επιφάνειας . Αν είναι το στοιχείο της επιφάνειας, στο χώρο που αναφερόμαστε, ο παραπάνω στοιχειώδης όγκος θα είναι το «εσωτερικό» γινόμενο

, επομένως το τελευταίο ολοκλήρωμα της Εξ. (18.34), πάνω στο στοιχειώδη όγκο γίνεται

ολοκλήρωμα στην επιφάνεια , δηλαδή

. (18.35)

,Ω Ω Ω Ω δ ix

, , d , , d

, , d , , d , , d

, , , , d , , d .

x xΩ Ω

x x xΩ Ω Ω Ω

x x xΩ Ω Ω

F x y y Ω F x y y Ω

F x y y Ω F x y y Ω F x y y Ω

F x y y F x y y Ω F x y y Ω

,Ω Ω , , xF x y yx S x S

x Sx S d iS

=1δ d

m

i ii

x S Ω Ω

S

=1

, , δ dm

x k kkS

F x y y x S

445

Όμως αυτό το ολοκλήρωμα μετασχηματίζεται σε ολοκλήρωμα όγκου με χρήση του θεωρήματος της απόκλισης, Εξ. (18.12), οπότε έχομε .

1 1

d ( , , ) d ( , , ) δ dd

m m

x k x k kk kk S

F x y y x F x y y x Sx

. (18.36)

Από τις Εξ. (18.33), (18.34), (18.35) και (18.36) καταλήγομε στη σχέση .

1

dδ ( , , ) ( , , ) ( , , )δ dd

m

x x x kk k

Z F x y y F x y y F x y y xx

. (18.37)

Λαβαίνοντας υπόψη την (18.27) βρίσκομε για τη διαφορά που είναι μέσα στην αγκύλη στην Εξ. (18.37)

. (18.38)

Σύμφωνα με την (18.27) τα και οι παράγωγοι μετατίθενται άρα έχομε . Eδώ η μερική

παράγωγος και η ολική συμπίπτουν, διότι σύμφωνα με τους ορισμούς που έχομε δώσει στα προηγούμενα, τα εξαρτώνται μόνο από τα . Επομένως η Εξ. (18.38) γίνεται

(18.39)

Η υπό ολοκλήρωση ποσότητα, δηλαδή ο μύστακας της Εξ. (18.37) γίνεται

1

1 1 1 1,

dδ δd

dδ dδ δ .d d

m

kk k

n n m mr

r kr r l kr r l l k

F F xx

yF Fy F xy y x x

(18.40)

Όμως ισχύει

. (18.41)

Από τις Εξ. (18.37), (18.40) και (18.41) καταλήγομε στη σχέση,

1

1 1 1 1, ,

dδ δ δ dd

d dδ δ δ d .d d

m

kk k

n m m n

r r kr k k rr k r k k r k

Z F F xx

F F Fy y F xy x y x y

(18.42)

,1 1 1 ,

( , , ) ( , , )δ , , , , δ δn n m

x xx x r r l

r r lr r l

F x y y F x y yF F x y y F x y y y yy y

δ, ,dδδd

rr l

l

yyx

ry lx

1 1 1 ,

( , , ) ( , , ) dδδ , , , , δ .d

n n mx x r

x x rr r lr r l l

F x y y F x y y yF F x y y F x y y yy y x

1 1 1, , ,

( δ ) dδd dδd d d

m m mr r

rl l ll r l l r l r l l

F y yF Fyx y x y y x

446

Οι εκφράσεις μέσα στις πρώτες παρενθέσεις στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης, είναι οι εκφράσεις του Euler, λέγονται και λαγκρανζιανές εκφράσεις. Σε αυτό το σημείο αναφέρομε ότι αρχικά η Noether διατύπωσε τα θεωρήματα βασιζόμενη μόνο σε όσα είπαμε μέχρι τώρα. Είχε όμως καταλάβει και η ίδια ότι μπορούσε να γενικεύσει την ανάλυση, διότι έχομε δει ότι η προσθήκη ενός ολοκληρώματος απόκλισης στο συναρτησιακό οδηγεί στις ίδιες εξισώσεις Euler-Lagrange. Αυτή η ιδιότητα έπρεπε, όπως και έγινε, να ληφθεί υπόψη για μια γενικότερη διατύπωση. Αυτό είναι γνωστό ότι ισοδυναμεί με την προσθήκη στη συνάρτηση μιας απόκλισης. Αυτό που γίνεται είναι να

προστεθεί στο πρώτο ολοκλήρωμα της σχέσης (18.33) το ολοκλήρωμα 1

dδ ( , )dd

mk

k k

G x yx

. Σημειώνομε

ότι οι συναρτήσεις της απόκλισης, δ ( , )kG x y , είναι απειροστές ποσότητες διότι ο μετασχηματισμός είναι απειροστός. Αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε ολοκλήρωμα πάνω στο χωρίο και με μεταβλητές τις αρχικές (όχι τις μετασχηματισμένες). Για το μετασχηματισμό χρησιμοποιούμε την ιακωβιανή ορίζουσα του μετασχηματισμού (18.30). Έχομε κρατώντας απειροστά μέχρι πρώτης τάξης,

1 1

(δ ) (δ )1 , d d 1 dm m

k i k i

i ii i i i

x x x xx x x x

.

Παραλείποντας διαφορικά ανώτερης (δεύτερης) τάξης, βρίσκομε d d . Τελικώς

1 1

dδ ( , ) dδ ( , )d dd d

m mk k

k kk k

G x y G x yx x

Είναι ευνόητο ότι θα προστεθεί αυτό το ολοκλήρωμα απόκλισης στην έκφραση (18.42). Τελικώς αυτό που ζητούμε είναι, η διαφορά των δυο συναρτησιακών συν το ολοκλήρωμα απόκλισης να είναι μηδέν. Αυτό εκφράζεται με την παρακάτω σχέση όπου για το δZ χρησιμοποιείται η Εξ.(18.42):

1

dδ ( , )δ d 0d

mk

k k

G x yZx

.

Η Noether αρχικά θεώρησε τη συμμετρία ως αυτήν που οδηγεί σε δ 0Z , εδώ η συμμετρία είναι στην πιο γενική της μορφή. Σύμφωνα με όσα είπαμε, όταν υπάρχει τέτοια συμμετρία τότε το μετασχηματισμένο συναρτησιακό οδηγεί στις ίδιες εξισώσεις Euler-Lagrange. Η τελευταία σχέση μπορεί να γραφτεί και ως εξής

1

dδ ( , )δ dd

mk

k k

G x yZx

. (18.43)

Τα θεωρήματα της Noether εφαρμόζονται στην περίπτωση που ισχύει αυτή η σχέση η οποία εκφράζει αυτό που λέμε νεδεριανή συμμετρία. Ουσιαστικά στη γενική της έκφραση, η νεδεριανή συμμετρία σημαίνει ότι, ο μετασχηματισμός αφήνει ημιαναλλοίωτη τη δράση (και τη συνάρτηση), αυτό λέγεται ημιαναλοιώτητα. Αν δεν υπάρχει ο όρος της απόκλισης, δ 0G , τότε έχομε αναλλοίωτη δράση, αναλλοιώτητα. Σύμφωνα με τη σχέση (18.43), μπορούμε να πούμε ότι, γενικώς, μια νεδεριανή συμμετρία οδηγεί στο ότι η μεταβολή του συναρτησιακού ισούται με το ολοκλήρωμα μιας απόκλισης. Θα εισαγάγουμε στη συνέχεια τις εκφράσεις του Euler, ,

τότε βρίσκομε

rE

1 ,

dd

m

rkr k r k

F FEy x y

447

1

1 1 1 ,

dδ δ δ dd

dδ δ δ δ d 0.d

m

k kk k

n m n

r r r k kr k rk r k

F F x Gx

Fy E y F x Gx y

(18.44)

Η ύπαρξη του όρου δG είναι χρήσιμη στη Φυσική, για παράδειγμα, όταν εξετάζομε μετασχηματισμούς από ένα αδρανειακό σύστημα σε άλλο που κινείται ως προς το πρώτο με σταθερή διανυσματική ταχύτητα (συστήματα του Γαλιλαίου ή συστήματα του Lorentz). Δυστυχώς ο συμβολισμός και εδώ δεν είναι ο καλύτερος, εδώ το δηλώνει απειροστό μέγεθος, όχι δυνατή μεταβολή. Επειδή το ολοκλήρωμα είναι μηδέν για κάθε χωρίο , εύκολα καταλήγομε στο ότι οι υπό ολοκλήρωση ποσότητες στην Εξ. (18.44) είναι μηδέν. Αν λάβομε υπόψη ότι ισχύουν και οι Εξ.(18.31) και (18.39) καταλήγομε στις δυο παρακάτω ισοδύναμες ομάδες σχέσεων

1

1 1 1 ,

1 1 1 1,

1 1 ,

dδ δ δd

dδ δ δ δd

ήdδ dδ δ δd d

dδ δ δ δd

m

k kk k

n m n

r r r k kr k rk r k

n n m mr

r k kr r l kr r l l k

n mr r

r r rr k r k

F F x Gx

Fy E y F x Gx y

yF Fy F x Gy y x x

y yFy x E y xx x y x

1 1 1

δ δm n m

k kk r

F x G

(18.45)

Το κριτήριο ημιαναλλοιώτητας ή αναλλοιώτητας εκφράζουν οι παραπάνω σχέσεις με λίγο διαφορετικές μορφές. Οι Εξ. (18.45) συνδέουν μια παράσταση στο πρώτο μέλος, που περιέχει τις κατάλληλες για κάθε περίπτωση εκφράσεις του Euler, με το δεύτερο μέλος που είναι απόκλιση (divergence). Αυτές αποτελούν το κριτήριο του αν ένας μετασχηματισμός αποτελεί νεδεριανή συμμετρία ή αλλιώς, αν το σύστημα είναι νεδεριανό υπό τον εν λόγω μετασχηματισμό. Η ομάδα μετασχηματισμών που είναι νεδεριανοί, λέγεται νεδεριανή ομάδα Σημειώστε ότι τα παραπάνω είναι ανεξάρτητα από το αν ισχύουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange, αφού πουθενά δεν υποθέσαμε κάτι τέτοιο. Π7.2.1 Πρώτο θεώρημα της Noether Διατυπώνομε το πρώτο θεώρημα της Noether. «Αν μια συνεχής ομάδα (του Lie) απειροστών μετασχηματισμών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών, η οποία εξαρτάται από αυθαίρετες απειροστές σταθερές παραμέτρους , (πρόκειται για καθολικό, παγκόσμιο μετασχηματισμό,

global transformation) είναι νεδεριανή ομάδα ως προς τη συνάρτηση ( , , )xF x y y , τότε ικανοποιούνται οι ακόλουθες σχέσεις, μια για την κάθε παράμετρο »:

δ kG

Ω

R 1, 2,..., R

R

448

3

,1 0

,1 1 1 1, ,

δ

d δ 0d

1,2,..., .

n

m m n n

r k rk r rk r k r k

Y y x E

F Fy F X Y Zx y y

R

(18.46)

Με άλλα λόγια, έχομε ότι ανεξάρτητοι γραμμικοί συνδυασμοί των εκφράσεων του Euler είναι αποκλίσεις (divergences). Πρέπει να τονίσομε ότι η εξάρτηση των μεταβολών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών είναι γραμμική ως προς τις απειροστές παραμέτρους . Η Εξ. (18.46) προκύπτει από την Εξ.(18.44) και την Εξ. (18.45), αφού ληφθούν υπόψη οι παρακάτω σχέσεις των απειροστών μετασχηματισμών. Οι μετασχηματισμοί για τις απειροστές μεταβολές , της Εξ. (18.29), περιέχουν τις συναρτήσεις

. Ισχύουν οι σχέσεις

1

δ ( , , )R

k k xx X x y y

. (18.47)

Για τις απειροστές μεταβολές , Εξ. (18.30) και (18.31), ισχύουν οι σχέσεις,

1

1

1 1

1

1

δ ( , , )

δ δ δ

δ δ

μπορούμε να γράψομε δ ( , , )

όπου δ .

R

x

m

R m

R

x

m

y Y x y y

yy y x

xy

y Y xx

y x y y

yY x

x

(18.48)

Υποθέτομε ότι και για τα ισχύουν ανάλογα, δηλαδή έχομε τις σχέσεις

1

δ δ ( , ) ( , )R

k k kG G x y Z x y

(18.49)

Θυμίζομε ότι τα δεν είναι μεταβολές, απλώς συμβολίζονται έτσι διότι είναι απειροστά. Προφανώς τα θα εξαρτώνται μόνο από τα όπως ισχύει κατά τα γνωστά και για τα . Τελικώς, από την Εξ. (18.45) με χρήση και των Εξ.(18.48), (18.49) βρίσκομε τις παρακάτω εξισώσεις

R

δ kx( , , )k xX x y y

δ ry

δ ( , )kG x y

δ ( , )kG x y

kZ ( , )x y δ kG

449

,1 1 1

,1 1 1 1 1, ,

δ

d δ 0.d

R n m

r r rr

R m m n n

r k rk r rk r k r k

Y y x E

F Fy F X Y Zx y y

(18.50)

Εφόσον τα είναι αυθαίρετα (είναι και μεταξύ τους ανεξάρτητα), προκύπτουν ανεξάρτητες σχέσεις μια για κάθε , δηλαδή οι Εξ. (18.46). Π7.2.2 Δεύτερο θεώρημα της Noether Το κύριο συμπέρασμα που συνδέεται με το δεύτερο θεώρημα της Noether έχει την παρακάτω διατύπωση. «Αν μια συνεχής ομάδα (του Lie) απειροστών μετασχηματισμών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών, η οποία εξαρτάται από αυθαίρετες απειροστές συναρτήσεις και

παραγώγους τους , είναι νεδεριανή ομάδα ως προς τη συνάρτηση ,

τότε ικανοποιούνται οι ακόλουθες σχέσεις, μια για την κάθε αυθαίρετη συνάρτηση από τις οποίες εξαρτάται η ομάδα»:

(18.51)

Ανάλογα με τη σύμβαση που υιοθετεί κάποιος μπορεί αντί για να χρησιμοποιεί το συμβολισμό .

Ένας τέτοιος μετασχηματισμός είναι τοπικός μετασχηματισμός ή μετασχηματισμός βαθμίδας, local transformation ή gauge transformation. Αυτοί οι απειροστοί μετασχηματισμοί έχουν τη μορφή,

(18.52)

Γενικώς τα εξαρτώνται από τα , , xx y y . Με χρήση των δεύτερων από τις σχέσεις (18.52) βρίσκομε ότι

R

R ( ) 1, 2,...,p x R

d ( ), 1, 2,...,

d

l

l

p xl

x ,, ,i j j iF x y y

R

01 1 1

( )( 1) 0 1, 2,..., .

rn mj r jr

j j rj i r i

d b Eb E R

dx

dd

r

rx

r

rx

01 1 1

01 1 1

1

01 1 1

dδ

d

dδ

d

δ δ

dδ .

d

lR m

k k kl li l i

lR m

j j jl li l i

R

k k

lR m

k k kl li l i

px a p a

x

py b p b

x

G G

pG c p c

x

, ,a b c

450

. (18.53)

Ισχύει η γνωστή ταυτότητα

. (18.54)

Όπου υποτίθεται ότι όταν . Ο δεύτερος όρος του δεύτερου μέλους της Εξ. (18.54)

οδηγεί, όταν αθροίσομε στα , σε απόκλιση (divergence) των συναρτήσεων

. (18.55)

Έτσι έχομε αντί της (18.54) την εξίσωση

. (18.56)

Θέτομε όπου τα στην Εξ. (18.56) και αντικαθιστώντας στην Εξ. (18.53) βρίσκομε

(18.57)

Παρατηρούμε ότι ο τελευταίος όρος είναι απόκλιση. Συνδυάζοντας την Εξ. (18.57) με τη δεύτερη από τις σχέσεις στην Εξ. (18.44) καταλήγομε στην

(18.58)

Δηλαδή και το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι απόκλιση και για τα iB έχομε ,

1 ,

δ δ δn

i r i ir r i

FB y F x Gy

. Τα iB με χρήση των (18.52) φαίνεται ότι είναι

συναρτήσεις των , , ,xx y y p και παραγώγων των p . Παίρνομε το ολοκλήρωμα και των δυο μελών πάνω σε οποιοδήποτε χωρίο οπότε βρίσκομε

01 1 1 1 1

dδ .

d

ln n R m

j j j j jl lj j i l i

pE y E b p b

x

11

11

d dd d( 1) ( 1)

d d d d

r kr r krj jr k

j r r k r kki i i i i

p pp

x x x x x

0

0d d0 d d

r

ri i

rx x

1, 2,...,i m

11

11

d d( 1)

d d

k r krjk

ji k r kk i i

pC

x x

d dd( 1)

d d d

rrj jir

j r ri i i

Cpp

x x x

j j jlE b

1

01 1 1 1 1 1

d ( ) dδ .d d

n

i jij

ln R n m mjl j i

j j j j lj j i l ii i

C C

b E CE y p b Ex x

01 1 1 1 1

d ( ) d( ) .d d

lR n m mjl j i i

j j lj i l ii i

b E B Cp b Ex x

Ω

451

(18.59)

Το ολοκλήρωμα του δευτέρου μέλους που περιέχει την απόκλιση, σύμφωνα με το θεώρημα της απόκλισης, ισούται με το επιφανειακό ολοκλήρωμα στην κλειστή υπερεπιφάνεια που είναι το σύνορο του χωρίου . Έτσι έχομε

. (18.60)

Σύμφωνα με τα παραπάνω τα εξαρτώνται από τα , , xx y y , επίσης από τις αυθαίρετες συναρτήσεις

και τις παραγώγους τους, έτσι που αν στο σύνορο ληφθούν οι συναρτήσεις και οι υπάρχουσες

παράγωγοί τους μηδέν, τότε τα είναι μηδέν στο σύνορο. Αυτό μπορούμε να το κάνομε διότι οι συναρτήσεις είναι αυθαίρετες. Τελικώς καταλήγομε στο ότι το ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της (18.59) είναι μηδέν άρα είναι μηδέν και το ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους. Εφόσον το χωρίο είναι αυθαίρετο, η υπό ολοκλήρωση ποσότητα είναι επίσης μηδέν. Άρα

(18.61)

Εφόσον οι συναρτήσεις είναι αυθαίρετες (και ανεξάρτητες μεταξύ τους) ο κάθε όρος του αθροίσματος

πάνω στα , ο οποίος είναι μέσα στον μύστακα, θα είναι μηδέν άρα καταλήγομε στις παρακάτω σχέσεις (εξαρτήσεις) μεταξύ των λαγκρανζιανών εκφράσεων που ισχύουν ανεξάρτητα από το αν ισχύουν ή όχι οι εξισώσεις των Euler-Lagrange,

(18.62)

Αυτές οι εξαρτήσεις, ταυτότητες, είναι του τύπου των ταυτοτήτων του Bianchi, που απαντούν στη Γενική Σχετικότητα, και σημαίνουν ότι στην περίπτωση φυσικών συστημάτων που υπακούν σε τοπικές συμμετρίες, δηλαδή σε συμμετρίες βαθμίδας, οι εκφράσεις του Euler που υπολογίζονται από τη λαγκρανζιανή και οι παράγωγές τους συνδέονται με τις ανωτέρω εξισώσεις . Αυτό έχει συνέπειες στη λύση τέτοιων προβλημάτων και σημαίνει ότι όταν ισχύουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange δεν είναι όλες ανεξάρτητες μεταξύ τους.

01 1 1 1 1

d ( ) d( )d d .d d

lR n m mjl j i i

j j lj i l ii i

b E B Cp b Ex x

S Ω

1 1

d( )d d ( )d

m mi i

k k ki kiΩ S

B CΩ S B Cx

,k kB C( )p x S

,k kB C( )p x

Ω

01 1 1 1

d ( )0.

d

lR n mjl j

j j lj i l i

b Ep b E

x

( )p x

1, 2,..., R

01 1 1

d ( )0 1, 2,..., .

d

ln mjl j

j j lj i l i

b Eb E R

x

452

Βιβλιογραφία

1. Classical Mechanics, by Charles Poole- John Safko- Herbert Goldstein, Addison-Wesley, 2001 2. Στοιχεία Θεωρητικής Μηχανικής, συγγρ. Πέτρος Ιωάννου- Θεοχάρης Αποστολάτος, Leader

Books, 2004 3. Mechanics, by L. Landau- E. Lifshitz, Pergamon Press, 1976 4. Μαθήματα Αναλυτικής Μηχανικής, συγγρ. Γ. Κατσιάρης, Συμμετρία 5. Εισαγωγή στη Μηχανική Hamilton, Συγγρ. Σ. Ι. Ιχτιάρογλου, Αριστοτέλειο

Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 6. Classical Mechanics, Vol. 1, 2, by E. A. Desloge, John Wiley, 1982 7. Αναλυτική Μηχανική, συγγρ. Αναστ. Μαυραγάνης, ΕΜΠ, 1998 8. Methods of Classical Mechanics, by V. I. Arnold, Springer-Verlag, 1978 9. Classical Dynamics, by J. V. Jose- Eu. J. Saletan, Cambridge Univ. Press, 1998 10. A Treatise in the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, by E. Whittaker, Cambridge

Univ. Press, 1965 11. The Variational Principles of Mechanics, by C. Lanczos, Univ. of Toronto Press, 1970 12. Analytical Dynamics of Discrete Systems, by Reinhardt M. Rosenberg, Plenum Press, 1977 13. The Classical Theory of Fields, by L. Landau- E. Lifshitz, Addison-Wesley, 1987 14. Principles of Relativity Physics, by J. L. Anderson, Academic Press, 1967 15. Gravitation and Cosmology, by Steven Weinberg, John Wiley and Sons, 1972 16. The Enigma of Nonholonomic Constraints, M. R. Flannery, Am. J. Phys. 73, 265 (2005) 17. A Variational Principle for Nonholonomic Systems, E. J. Saletan and A. H. Cromer, Am. J. Phys.

38, 892 (1970) 18. Invariant Variation Problems, Emmy Noether, Transport Theory and Statistical

Physics 1, 183 (1971). Translated from the German by M. A. Tavel. The Original publication in German is, Invariante Variationsprobleme, Nachr. d. Koenig. Gesellsch. d. Wiss. zu Goettingen, Math-Phys. Klasse, 235 (1918)

19. Symmetries and Conservation Laws in Theories with Higher Derivatives, I. Damian, Int. J. Theor. Phys. 39, 2141 (2000)

20. Noether’s Theorem in Generalized Mechanics, Dan Anderson, J. Phys. A: Math., Nucl.Gen., 6, 299 (1973)

21. Noether’s Theorem in Classical Field Theories and Gravitation, H. Fleming, Revista Brasileira de Fisica, 17, 236 (1987)

22. Hamilton’s Principle and the Conservation Theorems of Mathematical Physics, E. L. Hill, Rev. Modern Phys., 23, 253 (1951)

23. Principle of Action with Higher Derivatives, M. Borneas, Phys. Rev., 186, 1299 (1969)

24. Noether’s Theorem in Discrete Classical Mechanics, Nilo Bobillo-Ares, Am. J. Phys. 56, 174 (1988)

25. Mathematical Methods for Physicists, by George Arfken, second edition, Academic Press, 1970 26. Methods of Mathematical Physics Vol. I, II, by Courant & Hilbert, John Wiley & Sons, 1989 27. Regular and Stochastic Motion, by A. J. Lichtenberg-M. A. Lieberman, Springer-Verlag, 1983 28. Chaotic Dynamics, by G. L. Baker-J. P. Gollub, Cambridge Univ. Press, 1990 29. Pars’s Acceleration Paradox, Y. H. Chen, J. Franklin Inst. Vol. 335B, No. 5., pp. 871- 875, 1998 30. A treatise on Analytical Dynamics, by Pars, L. A., Heinemann,1968. 31. Calculus of Variations and Partial Differential Equations of the First Order, Part I: Partial

Differential Equations of the First Order, by Caratheodory, C., English Translation by Robert B. Dean and Julius J. Brandstatter, Holden-Day, 1965

32. When action is not least, C. G. Gray, Edwin F. Taylor, Am. J. Phys. 75 (5), May 2007, p. 434 33. “Theorem of Caratheodory”, C. Caratheodory, Math. Annalen 67, 355 (1909) 34. On the Unrestricted Theorem of Caratheodory and its Application in the Treatment of the Second

Law of Thermodynamics, H. A. Buchdahl, American Journal of Physics,17 ,212 (1949)

453

35. The Mathematics of Physics and Chemistry, by Margenau, H. and Murphy G. M., D. Van Nostrand

Co. Inc., 1962 36. Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, by Flandres H.,

Dover Publications, N.Y., 1989 37. Differential Forms: A Complement to Vector Calculus, by Weitraub S.H., Academic Press,1996 38. Sulla integrazione di Hamilton-Jacobi per separazione di variabili, Levi-Civita, T., Math. Ann., 59,

(1904), 383-397 39. Alternative proof of Bertrand’s theorem using phase space approach,

Jose Luis Castro Quilantan, Jose Luis del Rio-Correa, Marcco Antonio Rosales Medina, Revista Mexicana de Fisica 42, 5 (1996) 867-877

40. Nonlinear Dynamics and Chaos, by Steven H. Strogatz, Persus Books, 1994. 41. ΤΑΞΗ ΚΑΙ ΧΑΟΣ σε Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Πρακτικά του 2ου Θερινού

Σχολείου μη γραμμικής Φυσικής και Μαθηματικών, Σάμος, 3-10 Ιουλίου 1988, Επιστημονικοί εκδότες Τάσος Μπουντής και Στέφανος Πνευματικός

42. A Third Integral of Integral of Motion in a Galaxy, G. Contopoulos, Z. Astrophys. 49 (1960) 273

43. On the Existence of the Third Integral of Motion, G.Contopoulos, Astron. J. 68 (1963) 1 44. Nonlinear Mechanics, A supplement to Theoretical Mechanics of Particles and Continua, by

Alexander L. Fetter and John Dirk Walecka, Dover Publications, Inc., 2006 45. Lectures on General Relativity, by A. Papapetrou, D. Reidel Publishing Company, 1974 46. Introduction to the Theory of Relativity, by Peter G. Bergmann, Dover Publications, Inc., 1976 47. General Relativity. A first course for physicists, by J. L. Martin, Pearson Education Limited, 1996 48. On the Relative Motion of Stars, Contopoulos, G., Stockholms Obs. Ann. 19, No. 10 (1957) 49. The Applicability of the Third Integral Of Motion: Some Numerical

Experiments, Michel Henon and Carl Heiles, The Astronomical Journal, Volume 69, Number 1, (1964) 73 50. Determining Lyapunov Exponents from a Time Series, Alan Wolf, Jack B. Swift, Harry L. Swinney and John A. Vastano, Physics 16D (1985) 285 51. Construction of Lagrangians and Hamiltonians from the equation of motion, C.C. Yan, Am. J. Phys. 46, 671 (1978) 52. Lagrangians for simple systems with variable mass, C. Leubnert and P. Krumm, Eur. J. Phys. 11,

31 (1990) 53. Nonuniqueness of the Lagrangian Funcion, Ari Mizel, report Univ. of Cal. Berkeley, May 20, 1995 54. Foundations of Theoretical Mechanics I: The Inverse Problem in Newtonian Mechanics, by R. G.

Santilli, Springer-Verlag, 1978 55. Particles of half-integral or integral helicity by quantization of a nonrelativistic free particle, and

relevant topics, by A. P. Balachandran, T. R. Govindarajan and B. Vijayalakshmi, Phys. Rev. D, 18(1978)1950

56. Equivalent Lagrangians: Multidimensional Case, S. Hojman and H. Harleston, J. Math. Phys. 22(1981)1414

57. A Note on Non-Noether Constants of Motion, M. Crampin, Phys. Lett. 95A(1983)209 58. Necessary and Sufficient Conditions for a Canonical Transformation, James Hurley, Am. J. Phys.

40(1972)533 59. Theoretical Mechanics, by Eugene J. Saletan, Alan H. Cromer, John Willey, 1971 60. The Theory of Relativity, by C. Moeller, Oxford Univ. Press, 1952 61. Ambiguities in the Lagrangian and Hamiltonian Formalism: Transformation Properties, G. Marmo,

E.J. Saletan, Nuovo Cimento, 40B(1977)67 62. Geometry from Dynamics, Classical and Quantum, by Jose F. Carinena, Alberto Ibort, Giuseppe

Marmo, Giuseppe Morandi, Springer, 1015 63. General Relativity and Cosmology (Notes), by Nick. E. Mavromatos, King’s College, Univ. of

London, May 2008 64. Uber die Physikalische Bedeutung des Princips der Kleinsten Wirkung, H. Helmholtz, Z. Reine

Angew. Math. 100 (1887) 137

454

65. Lecons sur la theorie generale des surfaces et des applications geometriques du calcul infinitesimal,

IIIeme partie, by G. Darboux, Paris : Gauthiers-Villars, 1894 66. Detection and Generation of Gravitational Waves, J. Weber, Phys. Rev. D, 117, 306-313 (1960) 67. On the Detection of Low-Frequency Gravitational Waves, M. E. Gerstsenshtein, V. I. Pustovoit, Soviet Physics-JETP, 16, 433-435 (1963) 68. On the Physical Significance of the Riemann Tensor, Felix A. E. Pirani, Republication, Gen. Relativ. 41, 1215-1232 (2009) 69. If light waves are stretchet by gravitational waves, how can we use light as a ruler to detect gravitational wavew? P. R. Saulson, Am. J. Phys. 65(6) (1997) 70. Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger, B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo collaboration), Phys. Rev. Lett. 116(6) (2016) 71. An Introduction to General Relativity, Gravitational Waves and Detection Principles, Notes by Prof. Martin Hendry, Univ. of Glasgow, Dept of Phys. and Astronomy October 2012 72. General Relativity. An Introduction for Physicists, M. P. Hobson, G. Efstathiou and A. N. Lasenby, Cambridge Univ. Press (2006) 73. THE CONSTRUCTION, OPERATION, AND SUPPORTING RESEARCH AND DEVELOPMENT OF A LASER INTERFEROMETER GRAVITATIONAL – WAVE OBSERVATION (LIGO) Submitted by the CALIFORNIA INSTITUTE OF TECHNOLOGY, Copyright 1979, by Rochus E. Vogt et al. 74. GENERALIZED HAMILTONIAN DYNAMICS, Notes by P. A. M. Dirac 75. Lectures on Quantum Mechanics, P. A. M. Dirac, Belfer Graduate School of Science, Yeshiva University, New York, 1964 76. Dirac Bracket for Pedestrians, Notes, M. K. Fung, Chinese Journal of Physics, Vol. 52, No 6, Dec. 2014 77. Dirac Brackets, Notes by Steven Avery, based on Dirac’s Lectures on Quantum Mechanics, Published by Belfer Graduate School of Science, Yeshiva University, New York, 1964 78. Esoteric Elementary Particle Phenomena in undergraduate Physics- Spontaneous Symmetry breaking and Scale invariance, Daniel M. Greenberger, American Journal of Physics 46, 394 (1978) 79. Introduction to the STANDARD MODEL of Electro-Weak Interactions, by Jean Iliopoulos, Lectures given at the 2012 CERN Summer School, June 2012Angers, france, Hal Id: hal-00827554 80. The Standard Model Higgs Boson, Part of Lecture Particle Physics II, UvA Particle Physics Master, 2013-2014, Lecturer: Ivo van Vulpen, Assistant: Ivan Angelozzi 81. ΣΩΜΑΤΙΔΙΑΚΗ ΦΥΣΙΚΗ, Σημειώσεις, Κωνσταντίνος Ε. Βαγιωνάκης, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, 2008 82. QUARKS AND LEPTONS, Francis Halzen, Alan D. Martin, JOHN WILEY and SONS, New York, 1984 83. A Treatise On Differential Equations, by A. R. Forsyth, sixth Ed., 1948 84. Ordinary Differential Equations , by E. L. Ince, Dover , 1953 85. COSMOLOGY WITH MATALAB, by DanGreen, World Scientific, 1916 86. One Hundred Physics Visualizations Using MATLAB, by Dan Green, 2013 87. More Physics with MATLAB, by Dan Green, 2015 88. Stars and Space with Matlab Apps, by Dan Green, to be published 89. Quantum Mechanics and Path Integrals, By R.P. Feynman and A.R. Hibbs, McGraw-Hill Book Company, 1965 90. Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική, Συγγρ. Κυριάκος Ταμβάκης, Leader Books, 2003

455

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

Α

Αγκύλη Dirac

Αγκύλη Lagrange

Αγκύλη Poisson

Αγνοήσιμη συντεταγμένη

Αδιαβατικά αναλλοίωτα

Αδρανιακή δύναμη

Αδρανιακό σύστημα, ορισμός

Αερίου, καταστατική εξίσωση

Αζιμούθιο

Αναλυτική μηχανική

Αδιαβατική μεταβλητή

Αιτιότητα

Αλυσοειδής

Αναλλοίωτο

αδιαβατικό

Αναλλοιώτητα

Lorentz

αγκύλη Poisson

βαθμίδας

σε περιστροφή

σε μεταφορά

Ανταλλοίωτο

Αντίστροφη ενεργός δύναμη

Αντίστροφο πρόβλημα της μηχανικής

Άξονας

στερεό σώμα

ημιμέγιστος

456

ημιελάχιστος

συμμετρία

Απεικόνιση

Απεικόνιση Poincare

Απειροστός κανονικός μετασχηματισμός

Απειροστή περιστροφή

Απόκλιση

τετραπόκλιση

σχετικιστική

θεώρημα σε τέσσερις διαστάσεις

Απόσβεση

εκθετική

εξίσωση van der Pol

Απροσδιόριστοι συντελεστές του Λαγκράνζ

Απώλειες

εκθετική μείωση

δυνάμεις

συνάρτηση

Rayleigh

Απωστικός φυγοκεντρικός φραγμός

Αρμονικός ταλαντωτής

μεταβλητές δράσης-γωνίας

αδιαβατικά αναλλοίωτα

κανονικός μετασχηματισμός

σταθερές της κίνησης

διάγραμμα συντεταγμένης θέσης

με απόσβεση

με διέγερση

έλλειψη

Hamilton-Jacobi

457

ισοτροπικός

τρισδιάστατος

διαταραχή

διάγραμμα φάσης

αγκύλες του Poisson

σχετικιστικός

δισδιάστατος

ανισοτροπικός

Αρχή της αντιστοιχίας

αγκύλη Poisson

Αρχή των δυνατών έργων

Αρχή ισοδυναμίας

Αρχή d’ Alembert

Αρχή Hamilton (Χάμιλτον)

Αρχή της ελάχιστης δράσης

Αστάθεια

Αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας

Αυτόνομο σύστημα

Αυτό-ομοιότητα

φράκταλ

λογιστική εξίσωση

Atwood, μηχανή

Β

Βαθμίδας μετασχηματισμος

Βαθμοί ελευθερίας

χαμιλτονιανή

πολλοί

μοριακές ταλαντώσεις

ταλαντωτής

στερεό σώμα

458

ταλάντωση

θεσικοί

κινητικοί

Βαθμωτή

καμπυλότητα

Βαθμωτό

γινόμενο, χώρος Minkowski

πεδίο

δυναμικό

Βαρυτικό

φορτίο

πεδίο

τετραπολική ροπή

Βραχυστόχρονο

Βρόχος

Bertrand, θεώρημα

Boost

βλέπε και κύριος μετασχηματισμός Lorentz

Γ

Γαλιλαίου

σύστημα

μετασχηματισμός

Γεγονός

Γενική Σχετικότητα

Γεννήτρια συνάρτηση

κανονικός μετασχηματισμός

χάος

απειροστός

κανονικός μετασχηματισμός

περιστροφή

459

αγκύλη Poisson

συμπλεκτικός

Γενικευμένη δύναμη

Γενικευμένη ορμή

Γενικευμένες συντεταγμένες

Γενικευμένη ταχύτητα

Γενικευμένη δυναμική συνάρτηση

Γεωδαισιακή

απόκλιση

Γενικευμένο δυναμικό

Γραμμική ορμή

σωμάτιο

σύστημα σωματίων

ολική

Γυρομαγνητικό πηλίκο

Γωνία ως μεταβλητή

ανάπτυγμα Fourier

λίκνιση

πολλαπλά περιοδική

ημι-περιοδική

περιστροφή

χρονοεξάρτηση

Γωνιακή (κυκλική) συχνότητα

Γωνίες και δράσεις ως κανονικές μεταβλητές

Δ

Δέλτα

συνάρτηση - δ

δ - μεταβλητή

Kronecker (δij)

δ -συνάρτηση

460

δ- μεταβλητή

δij δέλτα του kronecher

Δ- μεταβλητή

Δεσμός

διαφορικός

εξίσωση

ολόνομος

μη ολόνομος

μη ολοκληρώσιμος

ρεόνομος

στερεό σώμα

κύλιση

σκληρόνομος

ημιολόνομος

δυνατό έργο

ασθενικός

Διαφορική μορφή

Δύναμη

γενικευμένη συνιστώσα δύναμης

κεντρική

φυγόκεντρος

διεγείρουσα

ενεργός

ηλεκτρομαγνητική

εξωτερική

γενικευμένη

κλίση του δυναμικού

βαρυτική

αδρανειακή

εσωτερική

461

αντιστρόφου τετραγώνου

επαναφοράς, γραμμική

μεγάλης ακτίνας δράσης, βεληνεκούς

σχετικιστική

ενεργός αντίστροφη

ισχυρή

ασθενής

Lorentz

Minkowski

Δύναμη δεσμού

Δυναμική ενέργεια

ισορροπία

ολική

Δυναμικό

ισοδύναμο μιας διάστασης

κεντρικής δύναμης

γενικευμένο

κλίση του

Henon-Heiles

οπή

ολοκληρώσιμο

γραμμική δύναμη επαναφοράς

εκθετικός νόμος

βαθμωτό

με εξάρτηση από την ταχύτητα

Διακλάδωση

διάγραμμα

Διαδρομή

Διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz

Διάσταση

462

σύνολο Cantor

φράκταλ

Διπολική ροπή

βαρυτική

μαγνητική

Διαστολή του χρόνου

Διαταραχή

μεταβλητές δράσης-γωνίας

αδιαβατικά αναλλοίωτα

εκφυλισμός

εξίσωση Hamilton-Jacobi

χαμιλτονιανή

αρμονικός ταλαντωτής

πρόβλημα Kepler

εκκρεμές

μετάπτωση

Ερμής

αργά μεταβαλλόμενη μεταβλητή

ηλιακό σύστημα

θεωρία

κβαντική

χρονοεξαρτώμενη

ανεξάρτητη του χρόνου

Διατήρηση

διαφορικό θεώρημα

ενεργειακή συνάρτηση

ορμή

Διατήρησης θεωρήματα

στροφορμή

ολική

463

κανονική ορμή\

ενέργεια

γραμμική ορμή

σύστημα σωματίων

θεώρημα της Noether

αγκύλη Poisson

σχέση με ιδιότητες συμμετρίας

Διατήρηση της ενέργειας

Διαφορική εξίσωση

μη ομογενής

Διάχυση

Διαχωρίσιμο σύστημα

Δράση

συνοπτική

αντίδραση

ισχυρή διατύπωση

ασθενής διατύπωση

ολοκλήρωμα

μεταβλητή

ολοκλήρωμα κατά μήκος τροχιάς

Δράση-γωνία μεταβλητές

χάος

τελείως διαχωρίσιμες

εκφυλισμός

αρμονικός ταλαντωτής

ένας βαθμός ελευθερίας

περιοδική κίνηση

διαταραχή

Δυϊκός χώροςε

Δύναμη τριβής

464

Δυναμική μόνιμη κατάσταση

Δυναμική ενέργεια

Δυναμική συνάρτηση

Δυναμοσειρά

Δυνατή μετατόπιση

Δυνατό έργο

Διατηρούμενο ρεύμα

D’ Alembert

χαρακτηριστική

αρχή

Dirac συνάρτηση - δ

Doppler φαινόμενο

Ε

Ειδική Σχετικότητα

Εκθέτες Liapunov

Εκκρεμές

με απόσβεση και διέγερση

διπλό

διαταραγμένο

γωνία φάσης

επίπεδο

σφαιρικό

Εκκρεμούς, εξίσωση

Εκφυλισμός

συνθήκες

ακριβής

πρόβλημα του Kepler

κύριος

τρόποι ταλάντωσης και συχνότητες

465

Ελάχιστης δράσης, αρχή

Δ- μεταβολή

περιορισμοί

Ελκυστής

κανονικός

παράξενος

παράξενος, Henon-Heiles

Έλλειψη

αρμονικός ταλαντωτής

εξίσωση τροχιάς

διάγραμμα χώρου των φάσεων

μεγάλος ημιάξονας

Ελληνικών κάτω δεικτών, σύμβαση

Ενέργεια

κέντρο

διατήρηση

κεντρική δύναμη

συνάρτηση

διατηρούμενη

δυναμική

Ενεργειακή συνάρτηση

Εξίσωση

κίνησης

καταστατική, αέριο

Εξισώσεις Euler-Lagrange

Εξισώσεις Lagrange

Εξίσωση (μέθοδος, θεωρία) Hamilton-Jacobi

Εργαστηρίου

σύστημα αναφοράς

μετασχηματισμός συστήματος

466

χρόνος

Ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες

Ευκλείδειος

διάσταση

χώρος

Einstein Αϊνστάιν

εξισώσεις πεδίου

σύμβαση αθροίσματος

τανυστής

Euler

εξισώσεις

παραγωγή από τις

εξισώσεις Λαγκρανζ

μη ομογενής συνάρτηση

παράμετροι

θεώρημα

ομογενείς συναρτήσεις

Euler-Lagrange

μιγαδικό βαθμωτό πεδίο

ηλεκτρομαγνητικό πεδίο

εξίσωση

σχετικιστική εξίσωση

Ζ

Jacobi

Ορίζουσα του

Ταυτότητα

Ολοκλήρωμα

Αγκύλες Lagrange

Αγκύλη Poisson

Μήτρα κανονικού μετασχηματισμού

467

Josephson, διεπαφή

J , μήτρα

αγκύλη του Poisson

Η

Ηλεκτρικό κύκλωμα

εξίσωση

λαγκρανζιανή

Ηλεκτρικό δικτύωμα

Ηλεκτρομαγνητικό

πεδίο

λαγκρανζιανή

λαγκρανζιανή, συναλλοίωτος

δυναμικό

θεωρία

Θ

Θεσικός χώρος

μετασχηματισμός σημείου

σημειακός μετασχηματισμός

μεταβολή παραλλαγή

Θεώρημα Bertrand

Θεώρημα του Euler

Θεώρημα Kolmogorov-Arnold-Moser (ΚΑΜ)

Θεώρημα Καραθεοδωρή

Θεώρημα Liouville

Θεωρήματα Noether

Θεωρήμα Noether πρώτο

Θεωρήμα Noether δεύτερο

Θεώρημα Liouville-Poincare

Θεώρημα Poisson

468

Θεώρημα virial

Θεωρία μεταβολών (παραλλαγών)

Θεωρία διαταραχών

Θεώρημα Ostrogradsky

Ι

Ιακωβιανή

ορίζουσα

Ιδιόχρονος

Ισοδυναμική καπύλη

βαρύτητα

Henon-Heiles

Ισοπεριμετρικό πρόβλημα

Ισορροπία

γενικευμένες δυνάμεις

ουδέτερη

αδιάφορη

ευσταθής

ασταθής

Ισχυρή διατύπωση του νόμου ράσης-αντίδρασης

Κ

Καμιλτονιανή

Καμπυλότητα βαθμωτή

Κανονικός

εξισώσεις του Χάμιλτον (Hamilton)

εκτεταμένος μετασχηματισμός

αναλλοίωτο

ορμή

σχετικιστική

θεωρία διαταραχών

βλέπε Θεωρία διαταραχών

469

περιορισμένος μετασχηματισμός

μεταβλητές

Κανονικός μετασχηματισμός

ενεργητικός παθητικός

Κανονικές συντεταγμένες

Κανονικοί τρόποι ταλάντωσης

Κατάστασης, εξίσωση

Καταστατική εξίσωση

Κβάντωση

Κλίση

Κυκλική

συντεταγμένη

πρόβλημα του Kepler

κυκλική χαμιλτονιανή

εκφυλισμός

εξισώσεις

με άμεση εξάρτηση από το χρόνο

γεννήτρια συνάρτηση Χάμιλτον

γεννήτρια συνάρτηση

ομάδα

αρμονικός ταλαντωτής

απειροστός

αναλλοίωτος

όγκος στο φασικό χώρο

αγκύλη Poisson

μήτρα Jacobi

παραμετρικός

περιορισμένος

συμπλεκτικός

Κύκλοτρον

470

συχνότητα

συντονισμός

Κανονικές συντεταγμένες (μεταβλητές)

Κανόνας αλυσίδας

Κανονικοί τρόποι ταλάντωσης

Καραθεοδωρή (Caratheodory) θεωρία

Καρτεσιανές συντεταγμένες

Κεντρική δύναμη

βλέπε επίσης πρόβλημα Kepler

Κέντρο

ενέργειας

δύναμης

βαρύτητας

μάζας

ορμής

συστήματος

Κέντρο ορμών

Κεντρομόλος επιτάχυνση

Κινηματική

Κίνηση

περιορισμένη

εντοπισμένη

χαοτική

περιοδική

πολλαπλή περιοδική

Κίνησης, εξίσωση

Κινητική ενέργεια

Κινητική θεωρία

Κλασική μηχανική

Κλειστή τροχιά

471

Κοριόλις Coriolis

επιτάχυνση

απόκλιση

φαινόμενο

μετεωρολογικό φαινόμενο

δύναμη

εκκρεμές του Foucault

ημισφαίριο

βαθμίδα πίεσης

Κοσμολογία

Κοσμολογική σταθερά

Κουλόμπ Coulomb

πεδίο

νόμος

Κύρια συνάρτηση Hamilton (Χάμιλτον)

Κύριος μετασχηματισμός Lorentz

Κύριος χρόνος

ΚΑΜ (Kolmorogov-Arnold-Moser), θεώρημα

Cantor σύνολο

Cartan

Kepler

εξίσωση του

δεύτερος νόμος

τρίτος νόμος

Kepler, πρόβλημα του, δυναμικό του νόμου του αντιστρόφου τετραγώνου

μεταβλητές δράσης

μεταβλητές δράσης-γωνίας

κλειστές τροχιές, συνθήκες για

κυκλικές συντεταγμένες

εξισώσεις κίνησης

472

ισοδύναμο πρόβλημα ενός σώματος

ισοδύναμο μονοδιάστατο πρόβλημα

νόμος αντιστρόφου τετραγώνου

εξέλιξη (κίνηση) στο χρόνο

εξίσωση τροχιάς

διαταραχή

απεικόνιση Poincare\

σφαιρικές πολικές συντεταγμένες

ομάδα συμμετρίας

θεώρημα virial

Klein-Gordon

εξίσωση

πεδίο

σωματίδιο

Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM), θεώρημα

Korteweg-de-Vries, εξίσωση

Kronecker δέλτα (δij)

Κώνος φωτός

Λ

Λ

γινόμενο

Λαγκρανζιανή

εφαρμογές

κεντρική δύναμη

συντηρητικές ποσότητες

συναλλοίωτος

ορισμός

πυκνότητα

συνεχή συστήματα

διακριτά συστήματα

473

ηλεκτρομαγνητικό πεδίο

από την αρχή του Χάμιλτον

σχετικιστική

Λαγκρανζιανή στην ηλεκτροτεχνία

Λαγκρανζιανός φορμαλισμός

Λαγκρανζιανός φορμαλισμός με δεσμούς

Λάμδα

γινόμενο

Λίκνιση

Λογιστική απεικόνιση

Λογιστική εξίσωση

παράμετρος ελέγχου

διαδοχές

εκθέτης Liapunov

αυτό-ομοιότητα

Λούνα-παρκ, τροχός του

LC , κύκλωμα

Lagrange

αγκύλη του

θεμελιώδης

θεωρία μεταβολών

εξισώσεις

παραγωγή από την αρχή του Χάμιλτον

παραγωγή της εξίσωσης του Euler

μορφή Nielsen

διαταραχή

πολλαπλασιαστές

σημείο (του)

απροσδιόριστος πολλαπλασιαστής

Laplace, μετασχηματισμός

474

Laplace-Runge-Lenz, διάνυσμα

Larmor

συχνότητα

μετάπτωση

θεώρημα

Legendre, μετασχηματισμός

Leibniz

Liapunov, εκθέτης

εκκρεμές με απόσβεση

διάγραμμα

διάσταση

λογιστική εξίσωση

αρνητικός

τάπητας Σιερπίνσκι

ηλιακό σύστημα

Lie

ορισμός

ομάδα

Liouville, θεώρημα

Lissajous, καμπύλες

Lorentz

κύριος μετασχηματισμός του

boost βλέπε κύριος μετασχηματισμός Lorentz

συνθήκη

δύναμη

σύστημα αναφοράς του

ομάδα

αναλλοίωτο κατά

μετασχηματισμός

τύπου boost βλέπε κύριος μετασχηματισμός Lorentz

475

ομογενής

μη ομογενής

αναλλοιώτητα σε

εξίσωση του

Μ

Μαγνητική ροπή

Μαγνητικό

πεδίο

κίνηση φορτισμένου σωματιδίου μέσα σε

ομογενές

Μάζα

ανηγμένη

Μάζας

κέντρο

Μέγιστο

διαδρομή

πρόβλημα

εμβαδόν επιφάνειας

Μέλλον

Μεσόνιο

βαθμωτό

Μεταβολών

θεωρία

θεμελιώδες λήμμα

Μεταθέτης

κβαντική μηχανική

σχέσεις

Μετάπτωση

μαγνητικό πεδίο

Larmor

476

Μετασχηματισμός σημείου (σημειακός)

Μετασχηματισμός Legendre

Μετατόπιση δυνατή

Μετατόπιση πραγματική

Μη γραμμική Δυναμική ( σύστημα)

Μη ευκλείδειος χώρος

Μη ολόνομο σύστημα

Μη αδρανειακό σύστημα

Μήτρα

ανάστροφη

αντίστοφη

αντισυμμετρική

ερμιτιανή

μοναδιαία

ορθογώνια

συμπλεκτικής δομής

-J

-Μ

Μήτρες του Pauli

Μετρική

του χώρου του Minkowski

μήτρα

Μετρικός τανυστής

Μήτρας

απειροστό στοιχείο

ορίζουσα

Μηχανική βλέπε Κλασική Μηχανική

Μηχανική ομοιότητα

Μονογενής

Μονόπολο, μαγνητικό

477

Μόριο, ταλαντούμενο

Μορφής-1

Maxwell

εξισώσεις του

Minkowski

δύναμη

χώρος

Ν

Νεύτωνα

δεύτερος νόμος του

τρίτος νόμος του

Νευτώνειο

Νησίδες

στο χάος

Noether

θεώρημα της

θεωρήματα της

συνθήκες

διατηρούμενο ρεύμα

θεώρημα της, για διακριτά συστήματα

διατύπωση

ιδιότητες συμμετρίας

Ο

Ολοκλήρωμα Jacobi

Ολοκλήρωμα κίνησης

Ολοκλήρωμα τροχιάς

Ολοκληρώματα, αναλλοίωτα του Poincare

Ολοκληρώσιμο σύστημα

Ολοκληρωσιμότητα κατά Liouville

Ολοκληρωτικός παράγοντας

478

Ολόνομο σύστημα

Ολόνομος

δεσμός

Ομάδα

κανονικός μετασχηματισμός

κυκλικός

ορισμός

γεννήτρια

ιδιότητες

περιστροφή

συμμετρία

για σύστημα

συμπλεκτική

θεωρία

Ομογενής

συνάρτηση

Ομοτιμία

Οριακός κύκλος

εξίσωση van der Pol

Ορμή

κανονική

συζυγής

ηλεκτρομαγνητική

γενικευμένη

γραμμική

Ορμής

κέντρο

διατήρηση της

Ουράνια μηχανική

Π

479

Παραβολή

Παράγωγος συναρτησιακή

Παραλλαγή

Παραμετρικός συντονισμός

Παράμετρος ελέγχου

λογιστική εξίσωση

Παράξενος ελκυστής

διάσταση

διάσταση φράκταλ

Henon-Heiles

Παρελθόν

Πάριτυ

Πεδίο

κανονικές εξισώσεις

κλασική θεωρία

μιγαδικό

βαθμωτό

ορισμός

ελαστικό

ηλεκτρομαγνητικό

στοιχειώδη σωματίδια

εξίσωση, Euler-Lagrange

εξίσωση, Lagrange-Euler

βαρυτικό

σχετικιστικό

μεσόνιο

θεωρία

χαμιλτονιανός φορμαλισμός

θεώρημα της Noether

Περίαψη

480

Περίαστρο

Περικύνθιο

Περίγειο

Περιήλιο

Ερμής

Περιοδική κίνηση

Περιστροφή

με την ενεργητική έννοια

κατά την κίνηση του ρολογιού

αντίθετα από το ρολόι

πεπερασμένη

γεννήτρια

ομάδα

απειροστή

στιγμιαίος άξονας

κινητική ενέργεια

μήτρα

παθητική

φορά

διάνυσμα

Πολυατομικά μόρια

γραμμικά

Περιστροφή και ταλάντωση

Πολική συντεταγμένη

λαγκρανζιανή κεντρικής δύναμης

επίπεδες

σφαιρικές

Πολλαπλότητα

Πυκνότητα ροής

Pauli

481

μήτρες του

Planck, σταθερά του

Poincare

αναλλοίωτο ολοκλήρωμα

απεικόνιση

τμήμα

Henon-Heiles

πρόβλημα Kepler

μετασχηματισμός

Poisson

εξίσωση

θεώρημα

Poisson, αγκύλη

στροφορμή

θεώρημα διατήρησης

αρχή της αντιστοιχίας

εξίσωση κίνησης

θεμελιώδης

γεννήτρια συνάρτηση

απειροστός κανονικός μετασχηματισμός

αναλλοίωτα ολοκληρώματα του Poincare

αναλλοίωτο

ταυτότητα του Jacobi

ιακωβιανή ορίζουσα

αγκύλη του Lagrange

θεωρία διαταραχών

ομάδες συμμετρίας

συμπλεκτική

θεώρημα

Ρ

482

Ρεόνομος

Ρεύμα

διατηρούμενο

πυκνότητα

ελαστική ράβδος

Ροπή

δύναμης, ορισμός

αδράνειας

Rayleigh, συνάρτηση του

συνάρτηση

Ricci, τανυστής του

Riemann, τανυστής του

Routh

πρόβλημα του Kepler

διαδικασία του

ρουθιανή

Rutherford

Σ

Σημείο

χώρος των θέσεων

χώρος των φάσεων

θεσικός χώρος

Lagrange

καμπής

Σημείου

μετασχηματισμός

Σημείο ισορροπίας

Σκληρόνομος

Σταθερό σημείο

Στερεό σώμα

483

στροφορμή

ορισμός

βαθμοί ελευθερίας

Στροφορμή

τετραδιάνυσμα

κανονική

πρόβλημα κεντρικής δύναμης

διατήρηση

ολική

ορισμός

πυκνότητα, ολική

ιδιοτιμή

ηλεκτρομαγνητική

μηχανική

αγκύλη Poisson

σχετικιστική

σφαιρική συμμετρία

σπιν

ολική

Συζυγής ορμή

Σύμβαση δεικτών άθροισης

Συμμετρία

ομάδες

μηχανικά συστήματα

ιδιότητες

σφαιρική

Συμπλεκτική

διαδικασία

κανονικός μετασχηματισμός

γεννήτρια συνάρτηση

484

ομάδα

εξισώσεις του Χάμιλτον

μήτρα

αγκύλη του Poisson

Συμπλεκτική συνθήκη

Συμπλεκτικές μήτρες

Συμπλεκτικός

Συναλλοίωτο

ορισμός

εξίσωση

χαμιλτονιανή

λαγκρανζιανή

αρχή

σχετικιστική

διάνυσμα

Συνημίτονα κατεύθυνσης

ορθογωνιότητα

μετασχηματισμός

Συνοριακές συνθήκες (σχέσεις)

Συντηρητικό (διατηρητικό) σύστημα

Συντονισμός

παραμετρικός

ταλαντευόμενο σύστημα

Σύστημα

συνεχές

διακριτό

Σύστημα Henon-Heiles

Σταθερά της κίνησης

αλγεβρική

κεντρική δύναμη

485

ταυτότητα του Jacobi

αγκύλη του Poisson

Στάσιμη

τιμή

τροχιά

δυναμική κατάσταση

Στοιχειώδες σωματίδιο

Συλλογή

Συναρτησιακή

παράγωγος

Συνέχεια

συνθήκες

εξίσωση

Συνεχή συστήματα

χαμιλτονιανός φορμαλισμός

λαγκρανζιανή πυκνότητα

τανυστής τάσης ενέργειας

μετάβαση από διακριτό σε συνεχές

Συντεταγμένη

βάση

καρτεσιανή

συστολή συναλοιφή

κυκλική

γενικευμένη

εσωτερική

κανονική

πολική

περιστρεφόμενη

ψευδοκαρτεσιανή

Συστολή συναλοιφή

486

τανυστή

Συχνότητα

χαρακτηριστική

κρίσιμη

κυκλότρου, κυκλοτρονική

διεγείρουσα

φανταστική

συντονισμού

Larmor

Σχάση

Σχετικότητα

τετραδιάνυσμα

στροφορμή

ηλεκτρομαγνητισμός

δύναμη

γενική

λαγκρανζιανή

μετρικός τανυστής

χωρόχρονος

ειδική

Σωμάτιο

Schroedinger

κβαντική θεωρία

χωρόχρονος

διάνυσμα

ταχύτητα

κυματοσυνάρτηση

Schwarzschild

λύση των εξισώσεων του Αϊνστάιν

Sine-Gordon

487

εξίσωση

πεδίο

Τ

Ταλαντώσεις

Ταλάντωση

πρόβλημα ιδιοτιμών

με διέγερση

συχνότητα ελεύθερης ταλάντωσης

διεπαφή Josephson

κανονική συντεταγμένη

εκκρεμές με απόσβεση και με διέγερση

ανάπτυγμα του δυναμικού

Ταλαντωτής

μη αρμονικός

διπλός

παραμετρικός

Τανυστής μετρικός

Τανυστής τάσης- ενέργειας

διατήρηση

ιδιότητες

συμμετρικός

Ταυτοτικός μετασχηματισμός

Ταυτότητα Jacobi

Ταχυόνιο

Ταχύτητα διαφυγής

Τετραδιάνυσμα

τετραορμή

τετραταχύτητα

Τετραπολική ροπή

βαρυτική

488

Τόρος

Τριβή

ατμόσφαιρα

οπισθέλκουσα

ηλεκτρική

ταλαντευόμενο σύστημα

κύλισης

Τροποποιημένη αρχή Hamilton

Τροχιά

πιθανή

δυνατή

πραγματική

περιορισμένη

εντοπισμένη

χαοτική

κυκλική

κλειστή

συνθήκες για

ελλειπτική

εκφυλισμένη

ανοιχτή

παραβολική

στο χώρο των φάσεων

ημιπεριοδική

ευσταθής

μη εντοπισμένη

ασταθής

Υ

Υλικό σημείο

489

Υπερεπιφάνεια

Φ

Φασική καμπύλη

Φασική τροχιά

Φραγμένη (περιορισμένη) κίνηση

Φορτίο

πυκνότητα

Φορτισμένο σωματίδιο μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο

Φράκταλ

επιφάνεια

διάσταση

τάπητας Sierpinski

γεωμετρία

αυτό-ομοιότητα

Φυγόκεντρος

φραγμός

φαινόμενο

Φωτόνιο

Φωτοειδές

Fermat αρχή

Foucault εκκρεμές

Fourier

σειρά

σύγκλιση

πολλαπλή

μετασχηματισμός

Frobenius ολοκληρωσιμότητα

Χ

Χάμιλτον του, αρχή

εξισώσεις του Lagrange

490

απόδειξη

τροποποιημένη

μη ολόνομα συστήματα

Χαμιλτονιανή

ως ολική ενέργεια

συναλλοίωτος

βαθμοί ελευθερίας

μήτρα

πυκνότητα

φορμαλισμός

συνεχή συστήματα

σχετικιστική μηχανική

ως γεννήτρια κανονικού μετασχηματισμού

ως γεννήτρια της κίνησης του συστήματος

Henon-Heiles

διαταραχή

κβαντομηχανική

συμπλεκτική

Χαμιλτονιανός φορμαλισμός

πλεονεκτήματα

χαρακτηριστική συνάρτηση

σύγκριση χαρακτηριστικής και κύριας συνάρτησης

θεωρήματα διατήρησης

κυκλικές συντεταγμένες

εξισώσεις κίνησης Χάμιλτον

παραγωγή από θεωρία μεταβολών

αρχή ελάχιστης δράσης

παραγωγή από μετασχηματισμό Legendre

κύρια συνάρτηση

491

σύγκριση με χαρακτηριστική συνάρτηση

σχετικιστικός φορμαλισμός

διαδικασία του Routh

συμπλεκτική διαδικασία

παραγωγή από θεωρία μεταβολών

Χάος

ελκυστής

διακλάδωση

αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση

διαστατικότητα

φράκταλ

Henon-Heiles

νησίδα

θεώρημα ΚΑΜ

λογιστική εξίσωση

κίνηση

έναρξη

παραμετρικός

ταλαντωτής

συντονισμός

θεωρία διαταραχών

ιδιότητες

τροχιά

Χαρακτηριστική

εξίσωση

τιμή

Χαρακτηριστική συνάρτηση Hamilton

Χρονομορφικός

Χωρητικότητα

Χώρος των φάσεων

492

έλλειψη

αρμονικός ταλαντωτής

με απόσβεση και διέγερση

Χώρος των θέσεων

Χωρομορφικός

Χωροχρονικό διάστημα

Hamilton-Jacobi θεωρία και εξίσωση

Κεντρική δύναμη

Χάος

Τελείως διαχωρίσιμη

κυκλικές συντεταγμένες

αρμονικός ταλαντωτής

μέθοδος

νέες σταθερές συντεταγμένες

πρόβλημα του Kepler

σφαιρικές συντεταγμένες

χωρισμός μεταβλητών

Heisenberg

Henon-Heiles

χάος

ισοδυναμικές

γαλαξιακό μοντέλο

εξισώσεις Χάμιλτον

χαμιλτονιανή

νησίδες χάους

απεικόνιση Poincare

δυναμικό

Hooke του, νόμος

493

494