1. problemas de gravitación universal

Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia

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HOJA 1 – GRAVITACIÓN UNIVERSAL

TIPO 1 LIBRO PÁGINAS 76 y 77: ejercicios 10 y 26. 1.1. Un cuerpo de masa m = 2 kg, se encuentra en un punto definido por 𝑟 = 3𝑡𝚤 + 4𝑡!𝚥. Si sabemos que sobre

este objeto está actuando una fuerza con origen en “O”, calcula: a) El momento angular del objeto. b) El momento de la fuerza que le mueve con respecto al punto “O”. c) ¿Es una fuerza central? Sol: a) 𝑳 = 𝟐𝟒𝒕𝟐 𝒌 𝒌𝒈 ·𝒎𝟐/𝒔; b) 𝑴 = 𝟒𝟖𝒕 𝒌 𝑵 ·𝒎

1.2. Existe una fuerza actuando sobre un objeto de masa m = 6 kg. La posición de esta masa en el espacio en función del tiempo viene dada mediante el vector de posición 𝑟 = 3𝑡! − 6𝑡 𝚤 − 4𝑡!𝚥 + 3𝑡 + 2 𝑘 (𝑚). Calcula: a) La fuerza resultante sobre dicha masa. b) El momento de la fuerza respecto al origen. c) El momento lineal y el momento angular del objeto.

d) Las ecuaciones fundamentales de la dinámica de traslación y rotación de una partícula son !!!"= 𝐹 y

!!!"= 𝑀 respectivamente, demuestra que ambas se cumplen es esta situación.

Sol: a) 𝑭 = 𝟑𝟔 ! − 𝟏𝟒𝟒 ! 𝑵; b) 𝑴 = 𝟒𝟑𝟐𝒕𝟐 + 𝟐𝟖𝟖𝒕 ! + −𝟐𝟖𝟖𝒕𝟑 + 𝟖𝟔𝟒𝒕𝟐 𝒌 𝑵 ·𝒎; c) 𝒑 = 𝟑𝟔 · 𝒕 − 𝟏 ! − 𝟕𝟐𝒕𝟐 ! + 𝟏𝟖 𝒌 𝒌𝒈 ·𝒎/𝒔

𝑳 = 𝟏𝟒𝟒 𝒕𝟑 + 𝒕𝟐 ! + 𝟓𝟒𝒕𝟐 + 𝟕𝟐𝒕 − 𝟕𝟐 ! − 𝟕𝟐𝒕𝟒 − 𝟐𝟖𝟖𝒕𝟑 𝒌 𝒌𝒈 ·𝒎𝟐/𝒔

1.3. Tenemos un objeto con un vector de posición 𝑟 = 2𝑡! − 4𝑡 𝚤 − 4𝑡𝚥 + 3𝑡 − 1 𝑘 y cuya masa es m = 6 kg. Calcula: a) El momento angular del objeto. b) Comprueba si se cumple la ecuación fundamental de la dinámica de rotación. Sol: a) 𝑳 = −𝟐𝟒 ! + 𝟑𝟔𝒕𝟐 − 𝟐𝟒𝒕 + 𝟐𝟒 ! + 𝟒𝟖𝒕𝟐 𝒌 𝒌𝒈 ·𝒎𝟐/𝒔

1.4. Un tiovivo de 2 m de radio y momento de inercia 500 kg·∙m2 está girando alrededor de un pivote sin rozamiento a razón de una revolución cada 5 s. Una niña de masa 25 kg, que originalmente se encuentra de pie en el centro del tiovivo, se desplaza hasta el borde. Determina la nueva velocidad angular del tiovivo. Sol: 𝝎𝒇 =

𝝅𝟑 𝒓𝒂𝒅/𝒔

1.5. Calcula el momento angular de la Tierra respecto al centro del Sol considerando la órbita de la Tierra circular.

Sol: 𝑳 = 𝟐!𝟕 · 𝟏𝟎𝟒𝟎 𝒌𝒈 ·𝒎𝟐/𝒔

1.6. Calcula el momento angular con respecto al centro de la Tierra de un satélite artificial de 850 kg de masa que se mueve en una órbita circular de 9500 km de radio a una velocidad de 6480 m s–1. Sol: 𝑳 = 𝟓!𝟐𝟑 · 𝟏𝟎𝟏𝟑 𝒌𝒈 ·𝒎𝟐/𝒔



1.7.

a) Defina momento angular de una partícula. Justifique su teorema de conservación. b) Un satélite de masa m = 200 kg describe una órbita circular geoestacionaria alrededor de la Tierra.

Determine la velocidad orbital del satélite y el módulo de su momento angular respecto del centro de la Tierra.

a) El momento angular de una partícula se define como el producto vectorial del vector posición de dicho partícula por su cantidad de movimiento 𝑝 . Para que se conserve una magnitud física en el tiempo se tiene que cumplir que la derivada primera de dicha cantidad respecto del tiempo sea nula. En nuestro caso:

𝑑𝐿𝑑𝑡

= 0 ⇔ 𝐿 = 𝑐!"

𝑑𝐿𝑑𝑡

=𝑑 𝑟×𝑚 · 𝑣

𝑑𝑡=𝑑𝑟𝑑𝑡×𝑚 · 𝑣 + 𝑟×

𝑑(𝑚 · 𝑣)𝑑𝑡

i. !!!"×𝑚 · 𝑣 = 𝑚 · 𝑣×𝑣 = 0 ya que 𝑣×𝑣 = 0.

ii. 𝑟× !(!·!)!"

= 𝑟× !"!"· 𝑣 +𝑚 · !!

!"= 𝑟×𝑚 · 𝑎 = 𝑟×𝐹 = 𝑀

𝑑𝐿𝑑𝑡

= 𝑟×𝐹

El momento angular se conservará en diferentes situaciones: F = 0 r = 0 r y F misma dirección

En el caso de objetos describiendo órbitas bajo el dominio de un campo gravitatorio, el momento angular se conserva debido a la tercera situación, ya que 𝑟 ∥ 𝐹.

b) Para poder calcular la velocidad orbital suponemos que la órbita es circular. La fuerza de atracción que

ejerce la Tierra sobre el satélite causa la aceleración centrípeta necesaria para que el satélite orbite

alrededor de ella. Todo cuerpo que gira se ve sometido a una fuerza centrípeta 𝐹! =!!!

!. En nuestro caso,

esta fuerza centrípeta es exactamente la fuerza gravitatoria 𝐹! = 𝐺 !·!!!

, ya que el planeta se mantiene en

su órbita:

𝐹! = 𝐹! → 𝑚𝑣!

𝑅= 𝐺

𝑀 ·𝑚𝑅!

→ 𝑅 · 𝑣! = 𝐺 ·𝑀 → 𝑣 =𝐺𝑀𝑅

Con esta relación podemos calcular la velocidad del satélite en la órbita, sin embargo, antes debemos averiguar el valor de R.

Para ello retomamos una expresión del desarrollo anterior:

𝑅 · 𝑣! = 𝐺 ·𝑀



Y teniendo en cuenta que 𝑣 = 𝜔 · 𝑅 y que 𝜔 = !!!:

𝑅 ·4𝜋! · 𝑅!

𝑇!= 𝐺 ·𝑀 →

𝑇!

𝑅!=

4𝜋!

𝐺 ·𝑀→ 𝑅 =

𝐺𝑀𝑇!

4𝜋!!

Ahora sólo nos queda sustituir los datos, teniendo en cuenta que, ya que el satélite es geoestacionario, su periodo será el mismo que el de la Tierra:

𝑇!"#$%&'(ó! !"#é!"#$ = 𝑇!"#$%&ó! !"#$$% = 24 ℎ = 86400 𝑠

𝑅 =𝐺𝑀!𝑇!

4𝜋!!

=6’67 · 10!!! 𝑁 𝑚!

𝑘𝑔! · 5’98 · 10!" 𝑘𝑔 · 86400 𝑠 !

4𝜋!

!

≈ 4!23 · 10! 𝑚

Y, por tanto, la velocidad orbital será:

𝒗 =𝐺𝑀!

𝑅=

6’67 · 10!!! 𝑁 𝑚!

𝑘𝑔! · 5’98 · 10!" 𝑘𝑔

4!23 · 10! 𝑚= 𝟑𝟎𝟕𝟎!𝟕𝟒 𝒎/𝒔

Por otro lado, nos piden calcular el módulo del momento angular del satélite respecto del centro de la Tierra:

𝐿 = 𝑚 · 𝑅 · 𝑣 = 200 𝑘𝑔 · 4!23 · 10! 𝑚 · 3070!74 𝑚/𝑠

𝑳 = 𝟐!𝟔 · 𝟏𝟎𝟏𝟑 𝒌𝒈 ·𝒎𝟐

𝒔

TIPO 2 LIBRO PÁGINAS 76, 77 y 78: ejercicios 3, 4, 5, 9, 12, 16, 28, 32, 33, 38, 39 y 40. 1.8. Todos sabemos que la Tierra tarda 365 días en dar una vuelta completa al Sol, menos conocido es que la

distancia Tierra – Sol es de 1’49·∙108 km. Sabiendo que la distancia de Júpiter al Sol es de 8’16·∙108 km, ¿cuántos días durará un año en Júpiter? Sol: 𝑻𝑱 ≈ 𝟒𝟔𝟕𝟖 𝒅í𝒂𝒔

1.9. Un planeta gira alrededor del Sol según una órbita elíptica. Cuando se encuentra más cerca del Sol, a una

distancia de 2·∙105 km su velocidad es de 3·∙104 m/s. ¿Cuál será la velocidad del planeta cuando se encuentre en la posición más alejada del Sol, a una distancia de 4·∙105 km? Sol: 𝒗𝒂 = 𝟏!𝟓 · 𝟏𝟎𝟒 𝒎/𝒔

1.10. La Tierra, en su perihelio, está a una distancia de 147 millones de kilómetros del Sol y lleva una velocidad de 30!3 𝑘𝑚/𝑠. ¿Cuál es la velocidad de la Tierra en su afelio, si dista 152 millones de kilómetros del Sol? Sol: 𝒗𝒂 = 𝟐𝟗!𝟑 𝒌𝒎/𝒔



1.11. Neptuno y la Tierra describen órbitas en torno al Sol, siendo el radio medio de la primera órbita treinta veces mayor que el de la segunda. ¿Cuántos años terrestres tarda Neptuno en recorrer su órbita? Sol: 164’32 años terrestres.

1.12. Dos planetas de masa iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor que ellos. El planeta 1 describe una órbita circular de radio r1 = 108 km con un periodo de rotación T1 = 2 años. El otro planeta describe una órbita elíptica cuya distancia más próxima es rP = 108 km y la más alejada rA = 1’8·∙108 km. a) Calcula el periodo de rotación del planeta 2. b) Calcula la relación de las velocidades en el aphelio y perihelio del planeta 2. Sol: a) 𝑻𝟐 ≈ 𝟑!𝟑𝟏𝒂ñ𝒐𝒔; b) 1’8

1.13. Dos planetas de masa iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor que ellos. El planeta

1 describe una órbita circular de radio r1 = 108 km con un periodo de rotación T1 = 2 años. El otro planeta describe una órbita elíptica cuya distancia más próxima es rP = 108 km y la más alejada rA = 1’8·∙108 km. Define todas las leyes que utilices en la resolución del problema. a) Calcula el periodo de rotación del planeta 2. b) Calcula la relación de las velocidades en el aphelio y perihelio del planeta 2.

a) Primero tendremos que calcular la distancia media del planeta 2 a la estrella; para ello aplicamos la Primera Ley de Kepler, que dice que “los planetas girando alrededor del Sol describen órbitas elípticas planas, estando el Sol en uno de sus focos”:

𝑟! =𝑟! + 𝑟!2

=10!! 𝑚 + 1!8 · 10!! 𝑚

2= 1!4 · 10!! 𝑚

Ahora aplicamos la Tercera Ley de Kepler, que dice que “el cociente entre el cuadrado del periodo y el cubo del radio es constante para todos los planetas que giran alrededor de una estrella”:

𝑇!!

𝑟!!=𝑇!!

𝑟!! → 𝑇! = 𝑇! ·

𝑟!!

𝑟!!= 2𝑎ñ𝑜𝑠 ·

1!4 · 10!! 𝑚 !

10!! 𝑚 !

𝑻𝟐 ≈ 𝟑!𝟑𝟏𝒂ñ𝒐𝒔

b) Aplicamos la Segunda Ley de Kepler, que dice que “los vectores de posición que proporcionan la posición

del planeta barren áreas iguales en tiempos iguales”:

𝑟! · 𝑣! = 𝑟! · 𝑣!

𝑣!𝑣!

=𝑟!𝑟!=1!8 · 10!! 𝑚10!! 𝑚

= 1′8

𝒗𝑷 = 𝟏!𝟖 𝒗𝑨



TIPO 3 LIBRO PÁGINAS 76, 77 y 78: ejercicios 6, 7, 8, 13, 18, 20, 22, 23, 34, 36 y 42. 1.14. Calcula la masa del Sol sabiendo que la Tierra describe una órbita circular de 150 millones de kilómetros de

radio. Sol: 𝑴⨀ = 𝟐!𝟎𝟏 · 𝟏𝟎𝟑𝟎 𝒌𝒈

1.15. Expresa en función del radio de la Tierra, a qué distancia de la misma un objeto de 1 kg de masa pesa 1 N. Sol: 𝒓 = 𝟑!𝟏𝟑 · 𝑹⨁

1.16. Los cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria que es proporcional a su masa. En ausencia de rozamiento, caen más rápido los cuerpos: a) De mayor masa. b) De menor masa. c) Todos igual de rápido.

1.17. ¿Cuántas veces es mayor el peso de un cuerpo que la fuerza centrípeta a la que está sometido en la superficie

de la Tierra? Sol: 𝟐𝟖𝟗

TIPO 4 LIBRO PÁGINAS 76 y 78: ejercicios 2 y 41.

1.18. ¿Dónde tendrá más masa una pelota de tenis, en la Tierra o en la Luna? ¿Dónde pesará más?

1.19. Un astronauta lleva a la Luna una manzana que compró en el supermercado de su calle de masa 250 gr.

¿Cuánto pesará en la Luna si la mide con una balanza de resorte? ¿Y si se mide con una balanza de platos?

1.20. La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y si radio 1/4 del terrestre. Calcula lo que pesará en la Luna una persona de 70 kg de masa. Sol: 𝑷 = 𝟏𝟑𝟓!𝟓 𝑵

1.21. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Si se le traslada a otro planeta con una masa 10 veces inferior a la de la Tierra, pero con igual tamaño, ¿cuál será su peso? Sol: 𝐏 = 𝟗′𝟖 𝐍

1.22. La masa de Júpiter es aproximadamente 318 veces la de la Tierra y su diámetro 11 veces mayor. ¿Cuál es el peso en la superficie de este planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es de 750 N? Sol: 𝐏 = 𝟏𝟗𝟕𝟏 𝐍



1.23. La masa del Sol es 324 440 veces mayor que la de la Tierra y su radio 108 veces el terrestre. ¿Cuántas veces es mayor el peso de un cuerpo en la superficie del Sol que en la de la Tierra?

La expresión de la fuerza gravitatoria es 𝐹 = 𝐺 !·!𝑟!

. Comparamos esta fuerza en la superficie del Sol y de la Tierra:

𝐹!"#𝐹!"#$$%

=𝐺𝑀!"# ·𝑚

𝑟!"#!

𝐺𝑀!"#$$% ·𝑚𝑟!"#$$%!

=𝑀!"#

𝑀!"#$$%·𝑟!"#$$%𝑟!"#

!

𝐹!"#𝐹!"#$$%

=324440 ·𝑀!"#$$%

𝑀!"#$$%·

𝑟!"#$$%108 · 𝑟!"#$$%

!= 324440 ·

1108

!

𝐹!"#𝐹!"#$$%

≈ 27!82 ⟹ 𝑭𝑺𝒐𝒍 = 𝟐𝟕!𝟖𝟐 · 𝑭𝑻𝒊𝒆𝒓𝒓𝒂

TIPO 5 LIBRO PÁGINA 76: ejercicios 15 y 17.

1.24. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y la Luna es de 3!84 · 10! 𝑚. ¿En qué punto debería situarse un

satélite de 10 toneladas para que sea igualmente atraído por ambas? ¿Y si el cuerpo tuviera 20 toneladas? Sol: 𝟑!𝟒𝟔 · 𝟏𝟎𝟖 𝒎

1.25. Tenemos cuatro masas m1, m2, m3 y m4, todas de 1 kg, situadas cada una en un vértice de un cuadrado perfecto de lado l = 1 m. ¿Qué fuerza ejercerán sobre otra masa de 1 kg situada en el centro del cuadrado? Haz el desarrollo matemático completo. Sol: 𝑭 = 𝟎

1.26. Dado el siguiente sistema de la figura en el que la masa m3 se encuentra sometida exclusivamente a la acción de las otras dos. Calcula la fuerza que actúa sobre m3.

Sol: 𝑭𝑻 = − 𝟒!𝟐𝟕 · 𝟏𝟎!𝟏𝟑 ! + 𝟐!𝟑𝟕 · 𝟏𝟎!𝟏𝟐 ! 𝑵 1.27. Un cuerpo de masa m1 está separado una distancia d de otro cuerpo de masa m2 y entre ellos existe una

fuerza de atracción 𝐹. Calcula el valor de la fuerza si: a) m1 duplica su masa. b) m1 reduce su masa a la mitad. c) Los cuerpos se aproximan hasta que la distancia entre ellos se reduce a la mitad. d) Los cuerpos se alejan hasta que la distancia entre ellos se duplica. Sol: a) 𝑭! = 𝟐 · 𝑭; b) 𝑭! = 𝑭/𝟐; c) 𝑭! = 𝟒 · 𝑭; d) 𝑭! = 𝑭/𝟒

1.28. Calcula la fuerza que actúa sobre una partícula de 2 kg en los puntos (3, 2, 5) y (2, –5, 3) en el campo

gravitatorio creado por una esfera de 5000 kg que ocupa el origen de coordenadas.

1.29. En los vértices A, B y C de un cuadrado de 10 m de lado, existen masas de 10, 20 y 30 kg, respectivamente. Calcula la fuerza que actuaría sobre una masa de 0’1 kg en el centro del cuadrado y en el vértice D.



1.30. Los tres vértices de un triángulo equilátero de 5 m de lado están ocupados por masas de 100 kg. Calcula la fuerza sobre las tres masas.

1.31. En los vértices inferiores de un rectángulo de 5 m de

lado se han colocado dos masas de 1 kg y 0’5 kg, respectivamente. Determina la fuerza que ejercen sobre otra masa de 2 kg que está en el tercer vértice (sobre la masa de medio kilogramo) si la altura del rectángulo es de 3 m. Llamamos A al cuerpo de 0’5 kg y B al cuerpo de 1 kg, respectivamente. 𝐹!" será la fuerza ejercida sobre el cuerpo C de 2 kg por el cuerpo A; y 𝐹!" la ejercida por el cuerpo B.

Calculamos 𝐹!"; primero su módulo:

𝐹!" = 𝐺𝑚! ·𝑚!

𝑑!"!= 6!67 · 10!!!

𝑁 ·𝑚!

𝑘𝑔!·0!5 𝑘𝑔 · 2 𝑘𝑔

3 𝑚 ! = 7!41 · 10!!" 𝑁

En forma vectorial:

𝑭𝑨𝑪 = −𝟕!𝟒𝟏 · 𝟏𝟎!𝟏𝟐 ! 𝑵

Calculamos ahora 𝐹!"; primero necesitamos saber la distancia entre ambos cuerpos y las relaciones trigonométricas para el ángulo 𝛼:

𝑑!"! = 5 𝑚 ! + 3 𝑚 ! = 34 𝑚! → 𝑑!" = 5!83 𝑚

sin 𝛼 =3 𝑚

5!83 𝑚 𝑦 cos𝛼 =

5 𝑚5!83 𝑚

Calculamos su módulo:

𝐹!! = 𝐺𝑚! ·𝑚!

𝑑!!!= 6!67 · 10!!!

𝑁 ·𝑚!

𝑘𝑔!·1 𝑘𝑔 · 2 𝑘𝑔34 𝑚! = 3!92 · 10!!" 𝑁

En forma vectorial:

𝐹!! = −𝐹!" · cos𝛼 𝚤 − 𝐹!" · sin 𝛼 𝚥 = −3!92 · 10!!" 𝑁 ·5

5!83 𝚤 − 3!92 · 10!!" 𝑁 ·

35!83

𝚥

𝑭𝑩𝑪 = − 𝟑!𝟑𝟔 · 𝟏𝟎!𝟏𝟐 ! + 𝟐!𝟎𝟐 · 𝟏𝟎!𝟏𝟐 ! 𝑵 Aplicamos el principio de superposición para calcular el vector fuerza resultante:

𝐹! = 𝐹! = 𝐹!! + 𝐹!" = −7!41 · 10!!" 𝚥 𝑁 − 3!36 · 10!!" 𝚤 + 2!02 · 10!!" 𝚥 𝑁

𝑭𝑻 = − 𝟑!𝟑𝟔 · 𝟏𝟎!𝟏𝟐 !+ 𝟗!𝟒𝟑 · 𝟏𝟎!𝟏𝟐 ! 𝑵

1. problemas de gravitación universal

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