1 scuola estiva di fisica tecnica termofisica … · il ritardo del fattore di decremento è...
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SCUOLA ESTIVA DI FISICA TECNICATermofisica dell’involucro edilizio
Benevento 7/11 luglio 2008
Prof. Ing. Aldo OrioliDREAM - Università degli Studi di Palermo
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Comportamento termico dell’elemento di involucro edilizio opaco in regime termico non stazionario:
parametri caratterizzanti, metodi di modellazione numerica, riferimenti normativi nazionali ed internazionali
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Comportamento termico dell’elemento di involucro edilizio opaco in regime termico non stazionario: parametri caratterizzanti, metodi di modellazione numerica, riferimenti normativi nazionali ed internazionali
SCUOLA ESTIVA DI FISICA TECNICA TERMOFISICA DELL’INVOLUCRO EDILIZIO
DREAM - UNIVERSITA’ DI PALERMO Prof. Ing. Aldo Orioli
L’involucro edilizio è l’elemento di separazione tra l’ambiente internoe quello esterno
LA FUNZIONE DELL’INVOLUCRO EDILIZIO OPACO
Il suo compito è far sì che, nonostante la variabilità che caratterizza l’ambiente esterno, le condizioni all’interno siano stabilmente piùconfortevoli
Ciò implica il controllo di tutti gli aspetti del benessere ambientale (illuminotecnico, acustico e termo-igrometrico) ed il corretto uso dell’energia
Se il compito è quello di rendere minimi gli effetti disturbanti provocati dalle condizioni esterne, ben si comprende perché sia soprattutto richiesta all’involucro la capacità di “isolare”
Basterebbe realizzare le pareti delle abitazioni come si fa per i frigoriferi, ossia impiegando, al posto delle pietre o dei laterizi, solo pannelli isolanti di grande spessore
Ciò non solo dovrebbe eliminare la fastidiosa presenza dell’ambiente esterno, ma ridurrebbe al minimo anche i consumi energetici degli impianti di condizionamento
Perchè allora non annullare del tutto gli effetti causati dalla contiguità con l’ambiente esterno ?
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LA FUNZIONE DELL’INVOLUCRO EDILIZIO OPACO
Un camper o un prefabbricato leggero hanno delle pareti con un ottimo isolamento termico, eppure la qualità del comfort al loro interno non ècertamente esaltanteSpecialmente d’estate, magari in una giornata di scirocco, la capacità di “isolare” delle pareti serve talmente poco che è indispensabile tenere costantemente in funzione il condizionatore
Al contrario, nella stessa calda giornata, all’interno di una antica casa in muratura, priva di ogni sorta di materiale isolante, si può godere di una piacevole frescura
D’altro canto, è pur necessario che le pareti del camper pesino poco, visto che si tratta di una abitazione mobile, mentre la vecchia casa non ha ovviamente bisogno di essere leggera
D’inverno, però, quanto tempo ci vuole per riscaldare una casa conspesse pareti in muratura e quanto invece essa risulta più confortevole se le superfici interne sono rivestite in legno !
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Ma allora, questo isolamento termico è in grado o no di garantire un livello accettabile di benessere?
LA FUNZIONE DELL’INVOLUCRO EDILIZIO OPACO
E la massa delle murature è un vantaggio, oppure no?
Tra i numerosi parametri fisici che influenzano la sensazione di benessere termo-igrometrico c’è anche la temperatura media radiante che, in modo forse troppo sintetico, èindicativa della distribuzione della temperatura delle facce interne delle pareti
Nell’equazione del bilancio termico del corpo umano, la temperatura media radiante governa gli scambi termici radiativi tra la persona e le superfici che la circondano
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La moderna tecnica del condizionamento dell’aria è in grado di tenere sotto controllo importanti parametri ambientali quali la temperatura ambiente, l’umidità relativa, la distribuzione, velocità e purezza dell’aria
LA FUNZIONE DELL’INVOLUCRO EDILIZIO OPACO
Eppure, dagli esempi precedenti, è facile riconoscere che l’origine delle sensazioni termiche avvertite dagli occupanti è proprio la temperatura superficiale dell’involucro edilizio
Ben poco però gli impianti riescono a fare per controllare la temperatura media radiante e soprattutto la dissimmetria della distribuzione delle temperature sulle superfici interne delle pareti
Forse è questo il motivo per cui, escludendo le tipologie impiantistiche che impiegano pavimenti e soffitti riscaldanti o raffreddanti, l’importanza della temperatura media radiante è spesso sottovalutata
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La temperatura sulla faccia interna di una parete è il risultato dell’equilibrio tra le forme di calore presenti su di essa, ossia :
L’INERZIA TERMICA DELL’INVOLUCRO EDILIZIO
per convezione con l’aria esternaper irraggiamento con il sole e con le superfici
esterne ( suolo, cielo, edifici, oggetti, etc.)per conduzione verso l’interno della parete stessa
la convezione con l’aria internal’irraggiamento con le altre superfici interne (pareti,
persone, oggetti, sorgenti, etc.)la conduzione all’interno della parete stessa
Il flusso per conduzione è legato alla temperatura sulla faccia esterna della parete
Per la natura dei materiali impiegati nell’edilizia, la velocità di evoluzione dei fenomeni termici ènettamente governata dalla conduzione, tanto da potere considerare, rispetto ad essa, quasi istantanei gli altri scambi per convezione ed irraggiamento
Quest’ultima è il risultato dell’equilibrio tra gli scambi di calore :
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L’INERZIA TERMICA
Se utilmente impiegato, il ritardo con cui l’onda termica proveniente dall’esterno riemerge dalla faccia interna della parete può consentire di avere ambienti con involucri ancora freschi quando all’esterno si ha il massimo dell’irraggiamento solare o della temperatura dell’aria
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L’INERZIA TERMICA
L’inerzia termica legata al fenomeno conduttivo è capace di :mitigare le oscillazioni di temperatura nell’ambienterealizzare migliori condizioni di benessere limitare i costi di installazione e di gestione degli impianti
Infatti, il valore massimo della potenza termica richiesta per la climatizzazione estiva può essere ridotto sfasando in modo adeguato gli istanti in cui il carico termico per ventilazione equello per trasmissione raggiungono i rispettivi picchi giornalieri
E’ possibile così evitare che all’interno accada quanto avviene all’esterno, ossia la presenza, quasi contemporanea della massima insolazione e del valore più alto della temperatura dell’aria
Con un valore del carico massimo di raffreddamento più basso, sarà necessario dimensionare un impianto con taglia e costo sicuramente inferiori e che avrà inoltre un migliore rendimento energetico
L’esperienza infatti insegna che costringere le apparecchiature ad erogare una potenza molto piùbassa del loro valore nominale, anche mediante il migliore degli impianti di regolazione, induce delle perdite tanto più grandi quanto maggiore è la differenza tra la potenza massima erogabile e quella effettivamente da erogare
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RIFERIMENTI NORMATIVI
L’importanza dell’inerzia termica è evidenziata anche dalla recente normativa nazionale sul rendimento energetico nell’edilizia (D.Lgs. 192/05 - 311/06), emanata in attuazione della direttiva 2002/91/CE In particolare il punto 9 dell’Allegato L, riguardante il regime transitorio per la prestazione energetica degli edifici, impone la “Verifica, in tutte le zone climatiche, ad esclusione della F, per le località nelle quali il valore medio mensile dell’irradianza sul piano orizzontale, nel mese di massima insolazione estiva sia maggiore o uguale a 290 W/m2, che il valore della massa superficiale delle pareti opache sia superiore a 230 kg/m2”
“Gli effetti positivi che si ottengono con il rispetto dei valori di massa superficiale delle pareti opache - precedentemente indicati - possano essere raggiunti, in alternativa, con l’utilizzo di tecniche e materiali, anche innovativi, che permettano di contenere le oscillazioni della temperatura degli ambienti in funzione dell’andamento dell’irraggiamento solare”
“In tal caso deve essere prodotta una adeguata documentazione e certificazione delle tecnologie e dei materiali che ne attesti l’equivalenza con le predette disposizioni”
La questione riguarda un gran numero di località, come illustrato nella tabella seguente
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RIFERIMENTI NORMATIVI
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RIFERIMENTI NORMATIVI
Diverse Amministrazioni Comunali hanno già inserito tra le misure di incentivazione al risparmio energetico, contenute nei loro regolamenti edilizi, i valori minimi obbligatori dello sfasamento del-l’onda termica, in genere compresi tra 8 e 10 ore
Nonostante ciò, va almeno riconosciuto al legislatore il merito di avere citato gli effetti positivi del-l’inerzia termica delle pareti, anche se sarebbe stato più corretto parlare di ritardo e di attenuazione dell’onda di temperatura
Una massa di 230 kg/m2 corrisponde a quella di una moderna parete perimetrale di tipo leggero, ad esempio in blocchi intonacati di laterizio forato o di calcestruzzo con inerti porosi
L’esperienza diretta ci fa però riconoscere che nelle moderne abitazioni non si avvertono quasi per nulla quei benefici legati al ritardo dell’onda termica, e che ognuno di noi ha sperimen-tato all’interno di ambienti delimitati da murature piene, ovvia-mente molto più pesanti di 230 kg/m2
Inoltre non basta indicare la massa e la trasmittanza di una parete per definire univocamente il ritardo con cui l’onda termica si presenta sulla faccia interna
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RIFERIMENTI NORMATIVI
Il ritardo del fattore di decremento è calcolato come il rapporto tra l’argomento della trasmittanza termica periodica e la pulsazione della funzione sinusoidale
La norma UNI EN ISO 13786 (maggio 2008)“Prestazione termica dei componenti per ediliziaCaratteristiche termiche dinamiche Metodi di calcolo”
contiene una procedura per il calcolo del fattore di decremento, del suo ritardo e delle capacità termiche riferite alle due facce della parete
Per calcolare le caratteristiche termiche dinamiche è necessario procedere al prodotto di matrici di numeri complessi
La procedura ipotizza che le temperature e i flussi termici abbiano la forma di sinusoidi che, attraversando la parete, subiscono una attenuazione ed uno sfasamento
Il fattore di decremento è definito come il rapporto tra il modulo della trasmittanza termica periodica e la trasmittanza in condizioni stazionarie della pareteLa trasmittanza termica periodica è una quantità complessa definita come il rapporto tra l’ampiezza complessa della densità di flusso termico entrante nella faccia esterna e l’ampiezza complessa della temperatura dell’aria interna
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RIFERIMENTI NORMATIVI
La norma evidenzia che il periodo delle funzioni sinusoidali influenza i risultati, però non indica per esso alcun valore da adottarsi per i calcolo
Vengono solo indicati come periodi di tempo, definiti pratici, quelli di un’ora, un giorno, una settima e un anno
La determinazione dei parametri di trasmissione termica dei componenti opachi è affrontato con identico approccio nell’Appendice A della norma
UNI 10375 “Metodo di calcolo della temperatura interna estiva degli ambienti”
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IL REGIME SINUSOIDALE
Per sapere quale sia il numero adatto di componenti armoniche da usare è necessario conoscere quale ruolo svolge la frequenza nel fenomeno della con-duzione termica
L’approccio adottato nelle norme UNI si basa su una schematizzazione troppo semplice
Infatti, se da un lato si può accettare che i parametri ambientali esterni abbiano un andamento giornaliero quasi periodico, con durata di 24 ore, ben più difficileè sostenere che una semplice sinusoide raffiguri il loro andamento temporale
Come insegna lo sviluppo in serie di Fourier, e possibile rappresentare in modo adeguato con delle sinusoidi un fenomeno periodico, a patto però di fare uso di un suffi-ciente numero di componenti armoniche
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IL REGIME SINUSOIDALE
Nell’ipotesi semplificativa di flusso termico monodimensionale, ossia per una parete piana indefinita di spessore costante, l’equazione di Fourier diviene
Per affrontare lo studio della conduzione in regime dinamico è necessario risolvere la celebre equazione di Fourier
valida per un mezzo omogeneo ed isotropo, con diffusività termica α , in assenza di generazione interna di calore
per la quale proviamo a ricavare, in modo semplice, una soluzione particolare facendoci guidare dall’intuito fisico
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IL REGIME SINUSOIDALE
Supponiamo che sulla faccia di entrata della parete, ossia per x=0, la temperatura vari con la legge
In corrispondenza della profondità x , la temperatura assumerà la seguente espressione
E’ ragionevole pensare che in ogni punto interno alla parete la temperatura oscilli seguendo il ritmo della faccia esterna e che l’ampiezza delle oscillazioni vada decrescendo man mano che si penetri nella parete
in cui è la pulsazione e P è il periodo
in cui l’ampiezza e lo sfasamento dipendono dalla profondità
Sostituendo Tx nell’equazione di Fourier ed imponendo, nella relazione così ricavata, l’annullarsi dei coefficienti dei termini in seno e coseno, che sono comparsi in seguito alle derivazioni, si perviene alle seguenti equazioni
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IL REGIME SINUSOIDALE
da cui si ricava :
L’integrale generale della prima equazione ha la forma
Sostituendo poi l’espressione di B(x) nella seconda delle due equazioni, si ottiene
in cui le quantitàM e N si ricavano ponendo le seguenti condizioni al contorno:
( strato semi-infinito )
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IL REGIME SINUSOIDALE
In conclusione si ha
L’osservazione è giusta ma la profondità a cui accade quanto affermato dipende non solo dalla frequenza ma anche dalla diffusività del mezzo
che bene illustra come le oscillazioni rapide vengano attenuate e ritardate di più di quelle lente
Per la linearità dell’equazione di Fourier, se immaginiamo che l’onda di temperatura in entrata alla parete sia periodica e scomposta in un numero rappresentativo di componenti armoniche, l’andamento dell’onda di temperatura in corrispondenza di una data profondità si potrà ricavare sommando, per le varie armoniche, i termini calcolati con l’equazione precedente
Poichè, man mano che si penetra nella parete, le oscillazioni piùrapide vanno estinguendosi, una volta raggiunta una certa profondità, l’onda di temperatura sarà praticamente sinusoidale, cioè ridotta alla fondamentale di periodo 24 ore
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IL REGIME SINUSOIDALE
In particolare è indicato il ritardo e il rapporto percentuale tra l’ampiezza dell’onda di temperatura sulla faccia interna e l’ampiezza dell’onda di temperatura dell’aria esterna in regime estivo
Nella tabella sono riportati, per alcune pareti aventi uno spessore di 30 cm, costruite con comuni materiali da costruzione e coibentate come previsto dal D.Lgs. 311/06, i calcoli relativi ad onde sinusoidali di periodo pari a 6, 12 e 24 ore
Inoltre gli sfasamenti variano sensibilmente con il periodo e in modo piuttosto imprevedibile
Nonostante l’attenuazione subita, le sinusoidi a 6 e a 12 ore hanno ampiezze ancora confrontabili con quella della fondamentale e quindi trascurare il loro contributo corrisponde a deformare in mo-do sostanziale la forma dell’onda di temperatura sulla faccia interna della parete
U Massa Rapporto d'ampiezza (%) Sfasamento (ore)Muratura intonacata in
W/mq °C kg/mq 6 ore 12 ore 24 ore 120 arm. 6 ore 12 ore 24 ore 120 arm.Blocchi Laterizi forati 0,40 252 0,17 0,79 2,20 1,86 19,2 12,6 8,6 6,8
Blocchi forati CLS con arg. esp. 0,40 252 0,09 0,54 1,75 1,48 20,5 13,6 10,0 8,3
Tavelle tufo 0,41 272 0,34 1,21 2,79 2,43 15,7 11,2 6,6 5,1Tavelle arenaria calcarea 0,41 472 0,09 0,39 1,29 1,07 19,2 12,4 9,4 7,7
Sono anche riportati i calcoli ottenuti usando i dati di temperatura aria-sole tipici di una giornata estiva rappresentata attraverso un’analisi di Fourier a 120 armoniche
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L’INTEGRAZIONE DELL’EQUAZIONE DI FOURIER
Per avere dei risultati attendibili sul comportamento dinamico di una parete e sugli effetti della sua inerzia termica è necessario affrontare in termini più generali l’integrazione dell’equazione di Fourier
spessore semi-infinito della paretetemperatura sinusoidale sulla faccia di entrata
parete piana indefinita spessore costante mezzo isotropo e omogeneodiffusività del materiale costante
E’ facile trovare sui testi di Trasmissione del calore le soluzioni a casi relativi a condizioni al contorno molto particolari e a segnali di ingresso descritti da semplici funzioni analitiche
Molto più complesso è invece affrontare il problema nelle ipotesi più realistiche di una parete, di spessore finito, composta da diversi strati e che abbia scambi radiativi e convettivi per effetto di variazioni di temperatura descritte da una qualsiasi successione di dati numericiCome vedremo, è possibile arrivare a definire l’espressione della soluzione matematica esatta ma il calcolo di essa sarà sempre approssimato, qualunque sia il metodo di integrazione adottato
La soluzione dell’equazione di Fourier che, con facilità, abbiamo trovato è esatta dal punto di vista matematico ma si basa su ipotesi poco realistiche, ossia :
Ne abbiamo fatte, in realtà, anche altre, molto più accettabili :
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METODI PER L’INTEGRAZIONE DELL’EQUAZIONE DI FOURIER
metodo della trasformata di Laplacemetodo della Z-trasformata metodo armonico o in regime periodicometodo agli elementi finitimetodo alle differenze finite
metodi analitici metodi numerici
La distinzione è solo nell’approccio iniziale perchè tutti i metodi in realtà fanno uso sia di procedure analitiche, sia di tecniche numeriche
Le approssimazioni che inevitabilmente affetteranno i risultati sono dovute :alla necessità di interpolare i dati di ingresso, temporalmente discretialla impossibilità pratica di calcolare la soluzione esatta dell’equazione di Fourier
Tralasciando alcuni metodi, abbastanza conosciuti, ma che hanno un campo di applicazione meno generale, concentreremo la nostra attenzione sulle tecniche note come :
Volendo fare una prima classificazione dei metodi per l’integrazione dell’equazione di Fourier, possiamo distinguerli in :
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METODI PER L’INTEGRAZIONE DELL’EQUAZIONE DI FOURIER
I primi tre metodi sono di tipo analitico e prevedono i seguenti passi principali :1) rappresentazione dei dati di ingresso come somma di funzioni elementari2) risoluzione dell’equazione di Fourier mediante operatori matematici3) individuazione, in forma matriciale, delle funzioni di trasferimento dello strato termico
elementare4)determinazione delle proprietà della parete attraverso il prodotto delle matrici contenenti le
proprietà dei singoli strati5)determinazione delle grandezze d’uscita in corrispondenza dei segnali di ingresso elementari6)calcolo degli andamenti delle grandezze d’uscita in corrispondenza dei dati di ingresso discreti
sfruttando la linearità del sistema e quindi la sovrapposizione degli effetti
Gli altri due metodi sono considerati numerici e prevedono:1) la discretizzazione dello spazio interessato al fenomeno propagatorio2) la definizione di legami spazio-temporali che rendano stabile la soluzione numerica3) la risoluzione locale dell’equazione di Fourier senza l’uso di operatori matematici4) la costruzione di un sistema di equazioni il cui numero è correlato al numero di discretizzazioni
spaziali operate5) la risoluzione del sistema di equazioni attraverso i metodi dell’algebra numerica
Tutti i metodi utilizzano procedure che vanno ripetute più volte e che quindi possono essere vantaggiosamente implementate su computer
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METODI PER L’INTEGRAZIONE DELL’EQUAZIONE DI FOURIER
I metodi analitici consentono di:eseguire, una volta per tutte, la parte più laboriosa del metodo, ossia il calcolo dei parametri legati alla natura fisica della struttura termicacalcolare poi, in modo rapido, solo l’andamento delle grandezze di uscita i corrispondenza dei dati di ingresso sceltivalutare le temperature e i flussi in ogni punto all’interno del sistema modellato
Non è invece possibile :assumere la variabilità dei coefficienti di scambio termico e delle proprietà termo-fisiche dei materialidescrivere i comportamenti fisici che seguono leggi non lineariaffrontare i problemi riguardanti la trasmissione del calore in due o tre dimensioni
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METODI PER L’INTEGRAZIONE DELL’EQUAZIONE DI FOURIER
Al contrario, con i metodi numerici è possibile :descrivere i comportamenti fisici che seguono leggi non lineariconsiderare la variabilità dei coefficienti di scambio termico e delle proprietà termo-fisiche dei
mezziaffrontare i problemi riguardanti la trasmissione del calore in due o tre dimensioni
Però è necessario:operare discretizzazioni spaziali costituite da numeri estremamente elevati di intervallirispettare le limitazioni imposte dai criteri di stabilità della soluzione e ciò non sempre consente
di valutare le temperature e i flussi in qualunque punto della struttura termicaeseguire l’intera procedura di calcolo, o gran parte di essa, ogni volta che vengono cambiate le
grandezze di ingresso
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METODO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE
La trasformata di Laplace è un algoritmo di uso comune nella soluzione delle equazioni differenziali
Data una funzione del tempo f(t), definita per 0≤ t <∞ , la sua trasformata di Laplace F(s) vale
Sono molto utili le trasformate di funzioni discontinue che iniziano in un dato istante, essendo state prima nulle
Le più semplici sono :
Gradino unitario
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METODO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE
Accade nella pratica che le funzioni di ingresso siano formate da una successione di valori numerici noti in corrispondenza solo in alcuni istanti, magari perche ottenuti da misurazioni
Rampa lineare
Queste funzioni sono dette campionate e l’intervallo di tempo tra un valore e l’altro, si chiama intervallo di cam-pionamento
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METODO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE
Utilizzando un treno di gradini, di ampiezza adeguata, ritardati dell’intervallo di tempo che passa tra un dato e il successivo, è possibile ottenere una interpolazione costituita da una gradinata che va salendo o scendendo secondo l’andamento dei dati
Per potere usare dei segnali di ingresso campionati, la prima cosa da fare consiste nell’interpolare i dati in modo da “riempire” l’aerea sottesa dal loro diagramma
L’ampiezza di ciascuno dei gradini che formano la gradinata deve essere pari alla differenza tra il dato attuale e quello precedente
Se non si facesse tale operazione il sistema termico di cui vogliamo calcolare la risposta, presume-rebbe che, tra un campionamento ed il successivo, non esiste alcun il segnale e, poichè l’area sottesa dai soli dati campionati è nulla, anche i flussi di energia ad essi associati sarebbero nulli
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METODO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE
La stessa cosa può essere fatta impiegando un treno di rampe lineari, ciascuna opportunamente ritardata nel tempo, ed il risultato sarà l’interpolazione lineare dei dati
Combinando opportunamente i vari tipi di segnali elementari, è possibile creare modi di interpolazione che impiegano impulsirettangolari, triangolari, parabolici e cosìvia
In questo caso l’ampiezza di ciascuna rampa deve essere pari alla differenza tra il coefficiente angolare del tratto corrente e quello del tratto che lo precede
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METODO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE
Usando la trasformata di Laplace, l’equazione di Fourier diviene
Per una funzione come la temperatura T(x,t), avente trasformata θ(x,s), valgono le seguenti proprietà
avendo supposto la temperatura ovunque nulla all’istante iniziale
L’integrale generale dell’equazione ha la forma
in cui
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Comportamento termico dell’elemento di involucro edilizio opaco in regime termico non stazionario: parametri caratterizzanti, metodi di modellazione numerica, riferimenti normativi nazionali ed internazionali
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METODO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE
Il flusso termico è
si ricavano le relazioni
i cui coefficienti hanno le seguenti espressioni
Ovvero, usando l’espressione dell’integrale generale, si ha
Ponendo le condizioni
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Pertanto, chiamando θe e φe le trasformate delle temperature e dei flussi, sulla faccia con x=0, e θi e φi le trasformate delle temperature e dei flussi sulla faccia con x=L , si può scrivere
|M | è la matrice di trasmissione dello strato ed i flussi φi e φe sono positivi se orientati in accordo con l’asse x
Per la simmetria dello strato, i parametri della matrice di trasmissione godono della proprietà
grazie alla quale si può anche scrivere
che vale mantenendo quanto detto sui segni di φi e φe
θe θi
ϕe
0 L x
ϕi
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METODO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE
Se la parete è costituita da più strati, e sono trascurabili le resistenze termiche di contatto tra unostrato e l’altro, è possibile scrivere
in cui il prodotto delle matrici va eseguito partendo sempre dallo strato a cui si riferiscono le quantitàθ e φ indicate nel primo membro dell’equazione (in questo caso: i → e)
avendo indicato con Ri e Re le resistenze termiche di convezione sulle facce della parete
Inoltre, se le temperature Ti e Te sono quelle dei fluidi che circondano la parete si ha
xL0
3 n21
θe θi
ϕe ϕi
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Se invece lo strato generico è stato descritto dalle relazioni
in cui la matrice di trasmissione |Np| si ottiene invertendo nel prodotto l’ordine degli strati rispetto a quello seguito per calcolare la |Mp| (in questo caso: e → i)
si avrà
E’ facile verificare che i parametri della matrice di trasmissione della parete godono della proprietà
Per trovare le soluzioni nel dominio del tempo e opportuno riscrivere nella forma seguente le espressioni delle trasformate di Qi e Qe
Le quantità che mettono in relazione le trasformate dei segnali di uscita con quelle dei segnali di ingresso sono grandezze proprie ed identificative del sistema, dette funzioni di trasferimento
Poichè in genere la parete non è termicamente simmetrica, la matrice |Mp| non è uguale alla |Np|
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METODO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE
Consideriamo il caso generale di un sistema sollecitato da un segnale di ingresso i(t) che produca un segnale di uscita u(t) e siano I(s) e U(s) le rispettive L-trasformate
in cui la funzione di trasferimento G(s) è posta in forma di rapporto
Per la linearità del sistema, se rappresentiamo le grandezze discrete di ingresso per mezzo di un treno di gradini, o di rampe, è possibile costruire la risposta del sistema sommando le risposte relative a ciascuno dei segnali elementari di cui è composto il treno
Sostituendo le trasformate del gradino e della rampa, si ha
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in cui pi é il generico polo della funzione di trasferimento, ossia la radice del denominatore D(s), e ri il corrispondente residuo, mentre C0 e C1 sono i residui dei poli nell’origine, di molteplicitàsingola o doppia, introdotti dal segnale di ingresso
Per la natura delle funzioni trascendenti che compaiono nei coefficienti della matrice di trasmissione, le radici della funzione di trasferimento sono in numero infinito e giacciono tutte sulla parte negativa dell’asse reale
Le risposte a gradini o a rampe, di ampiezza non unitaria, si ottengo semplicemente moltiplicando le relazioni precedenti per la rispettiva ampiezza dei segnali
Conoscendo le radici di D(s), le risposte U(s) possono essere poste sotto la forma
Di conseguenza, applicando le regole per antitrasformare, si ricava
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Per fare ciò è necessario porre nei coefficienti della matrice di trasmissioneottenendo in tal modo che essi diventino funzioni reali della variabile reale δ
I residui si calcolano con le seguenti formule
Le radici del denominatore della funzione di trasferimento possono essere trovate con un metodo iterativo utilizzando il calcolo automatico
I poli pi sono propri della struttura termica studiata e non dipendono dal segnale di ingresso essendo le radici del denominatore della sola funzione di trasferimento
dove
gradino :
rampa :
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e questo comporta, fin dall’stante iniziale, uno scarto costante nella risposta che si propagherà su tutto il treno di risposte elementari
Osservando le risposte temporali ai segnali elementari si vede che, dovendo esse essere nulle all’istante iniziale t=0 , deve valere
mentre, poichè potremo usare solo Ni degli infiniti poli, sarà in generale
Lo scarto, che all’inizio mostra di ridursi rapidamente al crescere del numero dei poli, tende poi ad attenuarsi con estrema lentezza, anche aumentando notevolmente Ni
Ciò rende problematico decidere quanti poli impiegare e in pratica si è costretti ad optare per alcune centinaia, se non addirittura per le migliaia
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METODO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE
Ai vari istanti di calcolo la risposta della parete avrà la seguente forma
Per annullare lo scarto e dare senso fisico alla risposta che, altrimenti, all’istante iniziale partirebbe da un valore non nullo, è opportuno calcolare i residui come
rispettivamente, per il gradino e per la rampa
essendo per il gradino
dove i [mΔ] è il valore del segnale discreto di ingresso all’istante mΔ
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METODO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE
Per questi motivi, il metodo ha avuto scarse applicazioni pratiche ma è servito di base per lo sviluppo del metodo della Z-trasformata
Per la rampa si ha
Come mostrato dalle relazioni precedenti, al crescere del tempo, il calcolo dell’uscita diviene sempre più complesso a causa dell’annidarsi delle sommatorie ognuna delle quali contiene centinaia di termini
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METODO DELLA Z-TRASFORMATA
in cui z è una variabile complessa
Per i segnali discreti, la Z-trasformata svolge lo stesso ruolo che ha la trasformata di Laplace per i segnali non discreti
Data una funzione f(t), definita per t ≥0, di cui sono noti i valori f(nΔ) in corrispondenza ad un campionamento di intervallo temporale Δ , la sua Z-trasformata è
Utilizzeremo le Z-trasformate delle seguenti funzioni
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METODO DELLA Z-TRASFORMATA
La procedura di seguito illustrata è quella indicata da Mitalas, l’ideatore del Transfer Function Method proposto dall’ASHRAE per il calcolo dell’heat gain di una parete
Si tratta di una procedura che sarebbe considerata anomala dai matematici perché non usa il cosiddetto interpolatore, ossia un generatore di impulsi, di varie forme (rettangolari, triangolari, parabolici, etc.), il cui compito è quello di ricostruire la funzione di ingresso campionata
Nel caso di impulsi triangolari, l’interpolatore sarebbe formato da tre rampe sfalsate nel tempo e consentirebbe una interpolazione lineare del segnale di ingressoMitalas impiega una sola rampa, e anche se questo non spiega molto chiaramente il senso fisico dell’operazione, di fatto riduce di due terzi la complessità della procedura
Il confronto tra i risultati ottenuti con la procedura di Mitalas e quella matematicamente rigorosa, non giustifica la maggiore complessità dovuta all’uso dell’interpolatore
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METODO DELLA Z-TRASFORMATA
Nel dominio della L-trasformata, se un sistema con funzione di trasferimento G(s), è sollecitato da una segnale di ingresso I(s), esso produce una uscita pari a
Nel dominio della Z-trasformata questa relazione si scrive
e pertanto la funzione di trasferimento è pari a
A differenza della G(s), che dipende esclusivamente dalle proprietà del sistema, la H(z) risente anche del segnale di ingresso
Nel dominio della Z-trasformata lo stesso sistema può avere una diversa funzione di trasferimento per ognuno dei segnali di ingresso impiegati
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METODO DELLA Z-TRASFORMATA
Abbiamo visto che un sistema sollecitato da una rampa lineare presenta la risposta
che, per mera sostituzione, nel dominio della Z-trasformata si scrive
per cui
ovvero
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METODO DELLA Z-TRASFORMATA
Se scriviamo la funzione di trasferimento in forma di rapporto
si ricava
in cui, ponendo si ha
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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METODO DELLA Z-TRASFORMATA
Poichè si ha
e O(z) può essere determinato usando la risposta temporale O(t) del sistema, già ottenuta mediante l’antitrasformata di Laplace
Avremo pertanto
essendo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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METODO DELLA Z-TRASFORMATA
Sostituendo nell’espressione del numeratore si ha
La funzione di trasferimento assume la nota forma di rapporto di polinomi
che, sviluppando ed ordinando, diviene
A differenza dei residui della risposta calcolata con la trasformata di Laplace, i coefficienti del numeratore e del denominatore tendono ad estinguersi molto rapidamente al crescere del loro ordine tanto che, nella pratica, se ne impiegano meno di una decina
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METODO DELLA Z-TRASFORMATA
In analogia a quanto visto per la L-trasformata, anche in questo caso si può scrivere
in cui le funzioni di trasferimento
si calcolano applicando il procedimento visto alle varie funzioni di trasferimento espresse nel dominio della variabile di Laplace
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METODO DELLA Z-TRASFORMATA
Sostituendo inoltre
e ponendo
il flusso di calore Qi può essere calcolato con la formula ricorsiva riportata nel manuale ASHRAE
noti che siano le temperature, fino all’istante corrente nΔ, e il flusso sulla faccia interna fino all’istante (n-1)Δ
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METODO DELLA Z-TRASFORMATA
Col metodo della Z-trasformata è possibile precalcolare i coefficienti delle funzioni di trasferimento e, in un secondo tempo, costruire il segnale di uscita legato al particolare andamento dei dati in ingresso
L’ampiezza dell’intervallo di campionamento influenza i coefficienti delle funzioni di trasferimento
In particolare aumentando l’ampiezza dell’intervallo di campionamento è possibile ridurre il numero di coefficienti che è necessario impiegare
Molta cura va comunque posta nella scelta del numero dei coefficienti che in genere deve essere tanto più alto quanto più grande è l’inerzia termica della la struttura studiata
Evidentemente ciò è valido solo se nessuno dei parametri termo-fisici che sono coinvolti nel problema studiato si modifica nel tempo
A differenza della soluzione trovata con la L-trasformata, con questo metodo l’uscita è una funzione discreta nota solo in corrispondenza degli istanti di campionamento
Un troncamento troppo anticipato dei coefficienti porta a risultati affetti da errori inaccettabili
D’altro canto un numero eccessivamente grande di coefficienti appesantisce la procedura iterativa per il calcolo della riposta del sistema
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METODO ARMONICO O IN REGIME PERIODICO
Non si tratta in realtà di una grossa limitazione perchè nella tecnica progettuale degli impianti di condizionamento è usuale ricorrere all’uso di un giorno tipo, rappresentativo di un dato mese, e supporre che esso si ripeta, sempre uguale, per tutto ilmese considerato
Quando la funzione è discreta, ed è conosciuta in N istanti in cui è stato suddiviso il periodo, essa può essere approssimata mediante la serie finita di Fourier
Questo metodo richiede la condizione che le grandezze di ingresso siano periodiche
Sappiamo che una funzione periodica, di periodo P, può essere sviluppata in serie di Fourier
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METODO ARMONICO O IN REGIME PERIODICO
essendo
I coefficienti della serie finita di Fourier si calcolano con le formule
La funzione può essere posta anche sotto la forma
e pertanto, per la sovrapposizione degli effetti, lo studio del problema può essere ricondotto a quello del semplice regime sinusoidale
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METODO ARMONICO O IN REGIME PERIODICO
che, durante la propagazione, verrà attenuato e sfasato divenendo
L’equazione di Fourier viene risolta mediante l’operatore e jωt, ovvero impiegando quello che nel-l’analisi delle reti elettriche è noto come metodo simbolico
Si tratta di supporre che, per ogni generica armonica di pulsazione ω, il segnale di ingresso sia la parte immaginaria del più generale segnale
Osservando che è
l’equazione di Fourier diviene
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METODO ARMONICO O IN REGIME PERIODICO
Il flusso termico è
L’integrale generale dell’equazione precedente è
con
Ponendo le condizioni
si ricavano le relazioni
in cui il termine ejωt può elidersi, ricordando però che è sempre parte integrante dei segnali
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METODO ARMONICO O IN REGIME PERIODICO
formalmente simili a quelle trovate con il metodo della trasformata di Laplace
I coefficienti delle relazioni precedenti hanno le espressioni
Pertanto, chiamando Te e Qe le temperature ed i flussi, sulla faccia con x=0, e Ti e Qi le temperature ed i flussi sulla faccia con x=L , si può scrivere
|M | è la matrice di trasmissione dello strato ed i flussi Qi e Qe
sono positivi se orientati in accordo con l’asse x
Sostituendo
i coefficienti assumono la forma con cui compaiono nella norma UNI EN ISO 13786xL0
TiTe
QiQe
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METODO ARMONICO O IN REGIME PERIODICO
I parametri della matrice di trasmissione godono della proprietà
sempre mantenendo quanto detto sui segni di Qi e Qe
in cui il prodotto delle matrici va eseguito partendo sempre dallo strato a cui si riferiscono le quantità T e Q indicate nel primo membro dell’equazione (in questo caso : i → e)
Se la parete è costituita da più strati, e sono trascurabili le resistenze termiche di contatto tra unostrato e l’altro, è possibile scrivere
si può anche scriveregrazie alla quale
1 2 n3Qe Qi
Te Ti
0 L x
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METODO ARMONICO O IN REGIME PERIODICO
Inoltre, se le temperature Ti e Te sono quelle dei fluidi che circondano la parete si ha
indicando con Ri e Re le resistenze di convezione della parete
Se invece lo strato generico è stato descritto dalle relazioni
si avrà
in cui la matrice di trasmissione |Np| si ottiene invertendo l’ordine degli strati rispetto a quello seguito per calcolare la |Mp| (in questo caso: e → i)
Poichè in genere la parete non è termicamente simmetrica, la matrice |Mp| non è uguale alla |Np|
I parametri della matrice di trasmissione della parete godono però della proprietà
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METODO ARMONICO O IN REGIME PERIODICO
Per le ipotesi in cui è valida la soluzione trovata, i segnali di ingresso sinusoidali, corrispondenti alle varie armoniche
devono essere pensati come la parte immaginaria di
in cui
esso va nuovamente moltiplicato per ejωt
e di questo va presa la sola parte immaginaria che costituisce la soluzione per la generica armonica di pulsazione ω
nei calcoli, però, il fattore ejωt può essere omesso, trattando θ come un semplice numero complesso
Una volta ottenuto il segnale di uscita cercato γ, anch’esso nella forma di numero complesso
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METODO ARMONICO O IN REGIME PERIODICO
Sommando fra loro le risposte ottenute per le varie armoniche, ed aggiungendo il termine relativo alla componente di pulsazione nulla (condizioni stazionarie), si ottiene la risposta al segnale di ingresso di cui inizialmente è stata fatta la scomposizione nella serie finita di Fourier
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
Il metodo agli elementi finiti è basato su una tecnica di risoluzione delle equazioni differenziali nota come metodo dei residui pesati
Una equazione differenziale come quella di Fourier
Al contrario, per una soluzione approssimata T≠T* sarà sempre
all’istante t generico, risulta ovviamente verificata, lungo tutto lo strato di spessore L, ponendo per T(x,t) la sua soluzione esatta T*
Essa presenta in tal caso un residuo R(T*,x) che è nullo
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
Cerchiamo allora una funzione W(x), correttiva della soluzione approssimata T, che sia capace di minimizzare il residuo lungo tutto il campo di esistenza della soluzione cercata
la funzione W(x) si chiama peso e l’integrale dovrà annullarsi per qualunque istante t
Scegliamo per la soluzione approssimata la seguente espressione
e suddividiamo lo spessore L in n elementi di estremi xi e xi+1 definiti rispetto ad un sistema di coordinate fisso
Supponendo noti, ad un certo istante t, i valori della temperatura in corrispondenza degli estremi degli elementi, costruiamo per interpolazione la soluzione approssimata T(x,t) all’interno del generico elemento ei
L
x1 x2 x3 xnxn-1 xn+1
e1 e2 e3 en-1 en
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
Sono possibili tutti i tipi di interpolazione, anche se le più semplici sono quelle polinomiali ed in particolare l’interpolazione lineare
in cui, se la variabile x è definita localmente, ossia solo all’interno dell’elemento di lunghezza di , si ha
in cui i coefficienti α1 e α2 variano con l’elemento
All’interno del generico elemento, avente ai suoi estremi le tempe-rature T1 e T2 , l’interpolazione lineare può essere eseguita usando l’espressione
Ovviamente ogni Ti(x,t) è definita, ed è diversa da zero solo, all’in-terno del proprio elemento ei
Assumiamo pertanto per la soluzione approssimata la forma
T1
T2
ei
xi xi+1
x=0 x=di
x=dix=02di
ei
N2(x)N1(x)
1
1
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
Per ottenere l’annullamento dell’integrale del residuo pesato
Poichè integreremo con riferimento al singolo elemento, è utile rappresentare la funzione Ti(x,t) usando un sistema di riferimen-to, chiamato locale naturale, al quale si può passare tramite la relazione
procederemo suddividendo l’integrale nelle parti relative ai vari elementi ei , e quindi imporremo l’annullarsi di ogni integrale elementare
conx=dix=02di
ei
N2(x)N1(x)
1
1
1
N1( ) N2( )
ei
dixi xi+1
=-1 =1
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
Procediamo all’integrazione del residuo pesato
L’ultimo integrale può essere risolto per parti
che è chiamata una espressione “debole” del problema perchè contiene solo le derivate prime
ossia, essendo
si ha
Per comodità riscriviamo l’espressione nel modo seguente
avendo indicato con P1 , P2 , P3 le tre parti che compongono il secondo membro
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
Come già detto calcoleremo gli integrali spezzando l’intervallo (0 , L) in corrispondenza agli nelementi ei ed imporremo l’uguaglianza a zero in tutti i sottointervalli in cui abbiamo suddiviso l’intervallo (0 , L)
Ovvero, per ogni 1 ≤ i ≤ n dovrà essere
poichè è l’unica diversa da zero all’interno dell’elemento generico ei
Poiché integriamo solo all’interno di ogni elemento, è possibile sostituire alla
l’espressione
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
Per l’arbitrarietà nella scelta della funzione W(x), imponiamo che per ogni elemento sia
e
Pertanto, per ogni elemento ei , devono verificarsi entrambe le seguenti relazioni
e ciò genera un numero di equazioni pari a 2n che dovranno annullarsi tutte contemporaneamente
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
E’ facile verificare che il risultato dell’integrazione è
Ovvero la forma matriciale sintetica
Sviluppiamo la prima parte Pi1 dell’integrale del residuo pesato, passando al sistema locale naturale
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
E’ facile verificare che il risultato dell’integrazione è
Ovvero la forma matriciale sintetica
Sviluppiamo la seconda parte Pi2 dell’integrale del residuo pesato, passando al sistema locale naturale
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
bisogna distinguere se si tratta di
Per il terzo termine
- elemento intermedio :
- primo elemento :
- ultimo elemento :
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
che, una volta risolta, fornisce
Per l’elemento intermedio si ha
Ovvero la forma matriciale sintetica
Per il primo elemento, supponendo una condizione al contorno con scambio convettivo
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
si ha
che, una volta risolta, fornisce
ovvero la forma matriciale sintetica
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
Per l’ultimo elemento, supponendo una condizione al contorno con scambio convettivo
si ha
che, una volta risolta, fornisce
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
Ovvero la forma matriciale sintetica
Pertanto, ricomponendo le tre parti dell’integrale
si ricavano tre tipi diversi di equazioni
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
Per il primo elemento
Per il generico elemento intermedio i
Per l’ultimo elemento n
ossia un sistema di 2n equazioni
Con esclusione della T1(t) e della Tn+1(t), tutte le altre Ti(t) compaiono sempre in due equazioni contigue che possono essere tra loro sommate compattando così il sistema in n+1 equazioni, tante cioè quante sono le Ti(t)
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
Riscritto più sinteticamente, il sistema assume una forma matriciale del tipo
e descriviamo la temperatura all’interno dell’intervallo
in cui il parametro θ, variabile tra 0 e 1, è usato per controllare l’accuratezza e la stabilitàdell’algoritmo
Chiamiamo tW e tW+1 due istanti di tempo successivi tali che
, con l’espressione
Poiché si ha , i vettori delle quantità variabili nel tempo possono riscriversi
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
ossia, più sinteticamente
in cui le matrici | A | e | B | contengono dati tutti noti all’istante precedente quello di calcolo
Sostituendo le precedenti relazioni, il sistema di equazioni può riscriversi
La soluzione potrebbe ottenersi per inversione della matrice del sistema di equazioni
cosa che però è difficile da eseguire per le matrici di grandi dimensioni
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METODO AGLI ELEMENTI FINITI
Attraverso l’impiego di metodi iterativi molto efficienti, l’algebra numerica non lineare è in grado di risolvere il sistema senza la necessità dell’inversione della matrice
La convergenza del metodo è normalmente ottenuta calcolando lo scarto tra le iterazioni successive
E’ molto importante osservare che, rispetto alle altre tecniche, il metodo agli elementi finiti impone il numero minore di ipotesi limitative
Si tratta di metodi approssimati che, partendo da un’ipotesi di soluzione, iterano la procedura di calcolo per ottenere stime successive, sempre più precise, della soluzione inizialmente assunta
In particolare nessun vincolo è posto sulle dimensioni degli elementi e quindi possono usarsi delle griglie molto fitte, là dove serve maggior dettaglio di informazione, e invece più diradate nelle zone ritenute meno interessanti
Inoltre le grandezze termo-fisiche significative per il problema, oltre a potere essere differenti per ogni elemento, non hanno l’obbligo di rimanere costanti passando da un l’intervallo temporale di calcolo al successivo
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METODO ALLE DIFFERENZE FINITE
Il metodo alle differenze finite si basa sull’impiego dell’espansione in serie di Taylor
Sommando si può ricavare
in cui ε[(δγ)2] è l’errore dovuto al troncamento della serie al termine relativo alla derivata seconda
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METODO ALLE DIFFERENZE FINITE
Troncando lo sviluppo della prima serie al termine relativo alla derivata prima si ha
Applichiamo le relazioni trovate all’equazione di Fourier
relativamente ad una regione spaziale δx di indice i
Analogamente dalla seconda si ottiene
essendo ε[(δγ)] l’errore dovuto al troncamento della serie al termine relativo alla derivata prima
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METODO ALLE DIFFERENZE FINITE
Se usiamo la prima forma della derivata prima, otteniamo
Osserviamo il coefficiente
Se esso dovesse essere negativo, quanto più calda è la regione spaziale all’stante corrente t, tanto più fredda diverrebbe all’istante successivo
che può riscriversi
nota come formulazione esplicita in quanto la temperatura nella regione spaziale, di indice i,all’istante t+δt è direttamente calcolabile partendo dalla distribuzione della temperatura (campo termico) all’istante precedente
che moltiplica la T(i,t), ossia la temperatura nella
regione spaziale corrente, all’stante t
Ciò darebbe luogo ad una condizione oscillatoria priva di senso fisico e che renderebbe instabile la soluzione
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METODO ALLE DIFFERENZE FINITE
E’ quindi necessario porre la condizione di stabilità
avendo spostato il tempo più avanti di un δt
ed è nota come formulazione implicita e che è incondizionatamente stabile
scelta delle discretizzazioni spaziali e di quelle temporali
Se invece usiamo la seconda forma della derivata prima, otteniamo
In questo caso, il calcolo della temperatura nella regione spaziale (nodo) corrente all’istante futurot+δt richiede anche la conoscenza del campo termico nello stesso istante e ciò comporta la soluzione contemporanea delle equazioni relative a tutte le altre regioni spaziali
che impone un preciso limite nella
L’espressione precedente può essere riscritta
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METODO ALLE DIFFERENZE FINITE
Benchè quello della serie di Taylor sia l’approccio più classico al metodo delle differenze finite, nella pratica esso riesce di uso difficile
Per il nodo posto sul confine tra due strati A e B della parete, costituiti da materiali diversi, vale la relazione
Si preferisce pertanto riscrivere, in termini finiti, l’equazione di bilancio termico da cui è stata ricavata l’equazione di Fourier
essendo
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METODO ALLE DIFFERENZE FINITE
Per i nodi posti sulle facce della parete valgono le relazioni
Ogni equazione scritta in forma esplicita viene quindi sommata alla corrispondente espressa in forma implicita ottenendo così una nuova formulazione che è la media pesata tra lo schema esplicito e quello implicito e coincide con quello di Crank-Nicolson
In forma matriciale il sistema di equazioni assume l’espressione
in cui gli apici si riferiscono a due successivi istanti calcolo tW e tW+1
Per avere le relazioni in forma implicita si deve sostituire t+δt al posto di t nel secondo membro delle equazioni precedenti
Questa formulazione risulta consistente, convergente, stabile e consente anche di usare passi tem-porali variabili
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METODO ALLE DIFFERENZE FINITE
Per risolvere il sistema di equazioni nodali si possono usare sia i metodi diretti, sia quelli iterativi
In questo caso il numero di passi computazionali è legato alle caratteristiche del criterio di conver-genza e al livello di accuratezza che si intende ottenere
I metodi iterativi vengono spesso usati con sistemi di equazioni sparsi o di cui è nota la capacità di convergere rapidamente
Un metodo diretto trova una soluzione in un numero finito di passi computazionali che possono essere determinati fin dall’inizio
Quando le equazioni non sono lineari, perchè ad esempio alcune proprietà fisiche sono variabili con la temperatura, è preferibile usare un metodo iterativo basato su un opportuno criterio di convergenza della soluzione
Poichè il sistema di equazioni che si costruiscono con l’approccio descritto è invariabilmente sparso, l’impiego di un metodo iterativo è generalmente il più appropriato
In ogni caso queste problematiche esulano dalla nostra materia in quanto appartengono ad una disciplina matematica chiamata algebra numerica non lineare
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BIBLIOGRAFIA
H.Carlslaw, J.Jaeger “Conduction of heat in solids” Clarendon Press, Oxford
L.Amerio “Elementi di analisi superiore” Tamburini Editore, Milano
E.Jury “Theory and application of the z-transform method” Wiley & Sons, New York
C.Steinmetz “Theory and calculation of alternating current phenomena” McGraw Hill, New York
J.Clarke “Energy simulation in building design” Butterworth Heinemann, Oxford
D.Pepper, J.Heinrich “The finite element method” Taylor & Francis, New York
K.Atkinson “Elementary numerical analysis” Wiley & Sons, New York
L.Hageman, D.Young “ Applied iterative methods” Academic Press, New York
ASHRAE Handbook – Fundamentals, Atlanta
UNI EN ISO 13786, maggio 2008
D.Lgs. 19.8.05, n.192 e D.Lgs. 29.12.06, n.311
Grazie per l’attenzioneProf.Ing. Aldo [email protected]
DREAMUniversità degli Studi di Palermo
Viale delle Scienze, Edificio 9,90128 Palermo
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