Formador: Díaz Arce

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Cuando asistía a una reunión, me presentaron a los señores Barbón, Lampio,

Cano y Rubio. Entre ellos hay un fotógrafo, un médico, un taxista y un contador.

De ellos recuerdo los siguientes datos:

1. El señor Barbón y el taxista son viejos amigos.

2. El médico y el contador conocieron en esta reunión al señor Rubio.

3. El señor Lampio ni el señor Cano saben conducir.

4. El médico y el señor Cano son compadres.

¿Quién es médico?

UNIDAD I: CONOCEMOS LAS ÁREAS DE LA LÓGICA, COMO LA

APLICACIÓN DE LOS DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y USO DE

ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS.

TEMA GENERADOR:

Fotógrafo Médico Taxista Contador

Barbón

Lampio

Cano

Rubio

En efecto, la lógica nos permitirá resolver todos los problemas de la matemática de la

manera más ordenada, secuencial y justificada.

Es que la matemática está construida a base de la lógica, utiliza un lenguaje lógico, de

modo que para dominar la matemática solo hay que hacer las cosas de un modo lógico. ¿Cuánto perdió el heladero?

TABLAS DE VERDAD: ¿para que utilizamos las tablas de verdad?

SESIÓN 01

PROPOSICIONES COMPUESTAS, CUANTIFICADORES; RELACIÓN ENTRE LA LÓGICA Y LOS CONJUNTOS.

APRENDIZAJES ESPERADOS:

Analiza ejemplos sobre propiedades de la lógica proposicional en situaciones diversas.

LA LÓGICA

Es la disciplina que ayuda a determinar si

los razonamientos son validos o no. Parte

de un conjunto de informaciones para

deducir otra. La información inicial recibe el

nombre de premisa y para el análisis se

considera verdadera, la que se deduce

recibe el nombre de conclusión.

Interesante La lógica es una poderosa

herramienta que nos permitirá

realizar razonamientos

correctos, arribar a

conclusiones validas,

demostrar los teoremas; en

fin, construir dentro de

nuestra mente, un conjunto de

conocimientos conforme a las

leyes que rigen a la materia,

de modo que estos

conocimientos sean el fiel

reflejo de la realidad.

¿Cuánto pierde?: Una señora compra helados por un valor de S/. 3 y paga con un billete de S/. 10. El heladero

que no tenía cambio, va a la botica, cambia el billete en dos monedas de S/. 5. Cruza

nuevamente la calle y cambia en la panadería una de las monedas de S/.5 en 5 monedas de

S/.1 con lo cual consigue dar vuelto. Luego de algunos minutos el boticario le devuelve el

billete de S/. 10 soles, pues ¡era falso! Y el heladero cabizbajo le entrega un billete de S/. 10

verdadero, ¿Cuánto perdió el heladero?.........................

¿Qué estrategia utilizarías para saber quién es quién? ¿Cómo iniciarías a resolver, por el cuadro de doble entrada? ¿Es una solución gráfica, o matemática?

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p q p p q p q pq

V V F V

V

V

V F F

F

F

F V V V

F F V F V

Negación Conjunción Disyunción Condicional

ACTIVIDAD 01 1. Los huevos de gallina y de pato. Las cestas contienen huevos de gallina, en otras de pato. Su número

está indicado en cada cesta: “Sí vendo esta cesta - meditaba el vendedor – me quedará el doble de huevos de gallina que de pato”. ¿Cuántos huevos son de gallina, cuántos de pato y a cuál de las cestas se refiere el vendedor?

2. Los valores de verdad de las proposiciones compuestas:

)(),( prqp y ( p )s son: V, F y V, respectivamente. Determina el valor de verdad de

cada proposición compuesta. a. .......)( rqp b. ......)()( sqrp

3. Si p es falsa, entonces p q es: a) Verdadera. b) Falsa.

c) Su valor depende de q. d) No se puede determinar.

4. Si p es verdadera, entonces, pq es:

a) Verdadera. b) Falsa.

c) Su valor depende de q. d) No se puede determinar

CUANTIFICADOR

FUNCIÓN PROPOSICIONAL. Es aquel enunciado que contiene una variable y que tiene la propiedad de convertirse en V ó F para cierto valor de la variable. Ejemplos: P(x): x – 2 > 18; Q(x): x2 +4 = 16; R(x): “x es un número primo”

Sea la función proposicional: P(x): x + 2 = 4, si x lo reemplazamos por 3, el enunciado se transforma en una proposición falsa.

Existe otro método para obtener proposiciones a partir de una función proposicional, en la cual ya no reemplazamos la variable por una constante sino que decimos: Cuántos elementos satisfacen el enunciado. Este nuevo método se llama cuantificación.

Si tenemos una función proposicional: P(x): x + 5 > 2 …….(no es proposición lógica); ahora le agregamos el cuantificador universal "∀". ∀𝑥: 𝑃(𝑥)

∀x: x + 5 > 2 ……(proposición lógica)

Completa los siguientes enunciados con cuantificadores: a) ………….….. peruano es valiente. b) ……………… múltiplos de 2 son múltiplos de 4. c) ………….….. un número primo impar. d) ………….….. los chanchos vuelan. e) ………….….. nacido en el departamento de la Libertad es poeta.

Es una palabra que indica cantidad y modifica a un sustantivo que representa un conjunto referencial o universal. Esta palabra

puede ser: todo(s), existe(n), alguno(s), ningún(os), etc.

La negación del cuantificador

universal "∀" es el

cuantificador existencial "∃"

y viceversa.

SEA LA PROPOSICIÓN:

“Juan trabaja y estudia”

La tabla de verdad lo podemos interpretar en la

siguiente forma:

¿Trabaja? ¿Estudia? Juan trabaja y estudia

SI SI VERDAD (V)

SI NO FALSA (F)

NO SI FALSA (F)

NO NO FALSA (F)

6 5 29 23 14 12

Como puede verse, dependiendo del valor

de la variable podemos obtener resultados

diferentes.

Si a una función proposicional le

anteponemos la expresión “para todo x”,

estaremos indicando el sentido universal de

dicha función proposicional obteniendo ahora

una proposición lógica.

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Los cuantificadores son de dos clases: (∀): es un cuantificador universal y es verdadero cuando se cumple para todo valor de una proposición

abierta.. (∃): es un cuantificador existencial y es verdadero cuando se cumple por lo menos para un valor de una

proposición abierta.

Observemos:

Escribe cuatro proposiciones cuantificadas verdaderas, a partir de la figura de la derecha.

1. Ejemplo:

Sea 𝐴 = 1, 3; 5; 7 y la proposición abierta 𝑝 𝑥 : 𝑥2 + 2 > 𝑥

Que se puede dar la forma de proposición cerrada así: ∀𝑥 ∈ 𝐴/𝑥2 + 2 > 𝑥

Que se lee: ………………………………………………………………………...

Luego podemos concluir que la proposición es??? ………………………….. 2. Otro ejemplo:

Sea 𝐴 = 2; 4; 6 y la proposición abierta 𝑝 𝑥 : 𝑥2 − 1 = 3

Que se puede dar la forma de proposición cerrada: ………………………….

Que se lee: …………………………………………………………………………

Luego podemos concluir que la proposición es:…………………………….… 3. Otro ejemplo:

Sea la proposición abierta: 𝑥 : 𝑥 + 1 ≤ 0 y la cerrada: ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑥 + 1 ≤ 0

Podemos concluir que:……………………………………………………………

4. Ejemplo:

Sea 𝐴 = 1, 2; 3; 4 y la proposición abierta 𝑝 𝑥 : 𝑥 + 3 ≥ 7 Que se puede transformar en proposición cerrada así: ∃𝑥 ∈ 𝐴/𝑥 + 3 ≥ 7

Que se lee: ………………………………………………………………………...

Luego podemos concluir que la proposición es??? …………………………..

5. Ejemplo: ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎

Luego podemos concluir que la proposición es??? …………………………..

6. Ejemplo: ∃𝑥 ∈ ℕ 𝑥 = 2

Luego podemos concluir que la proposición es??? ………………………….. RELACIÓN ENTRE LA LÓGICA Y LOS CONJUNTOS. LOS ARGUMENTOS Y SUS ESTRUCTURAS.

LÓGICA DE CLASES. Hemos visto anteriormente las diferentes formas de relacionar proposiciones mediante los conectivos lógicos. Ahora veremos o analizaremos la estructura interna de cada proposición, es decir, la relación existente entre el sujeto y el predicado. Proposición Categórica. Es un enunciado o proposición que afirma o niega una relación de inclusión o exclusión, total o parcial entre conjuntos o clases (sujeto y predicado) Representación gráfica mediante diagramas de Venn.

a) Todos los estudiantes son honestos. E H

Cuantificador Existencial

Cuantificador universal

∀𝑥 ∈ ℤ: 𝑥3 < 0

Traducimos al lenguaje verbal

“para todo número entero, el cubo

de un número es menor que cero”

Simbolizamos y escribimos el valor de

verdad de la proposición: “existe al menos

un número real cuyo cuadrado es igual a -4”

∃𝑥 ∈ ℝ: 𝑥2 = −4… (F)

Las proposiciones

categóricas típicas deben

tener:

CUANTIFICADOR (Todos,

ninguno, alguno).

SUJETO(s)

CÓPULA (Verbo)

PREDICADO.

∀𝑥/𝑝(𝑥)

En forma general

NOTA

Basta que un valor de A no

satisfaga 𝑥2 + 2 > 𝑥 para

que la proposición sea falsa

∀

∃

La negación de una

proposición donde interviene

la relación: < será: ≥ ; como

de > será: ≤; y de = será:

≠

H E El conjunto “E” está incluido

totalmente en el conjunto “H”

C P

ℚ

ℕ

ℤ

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T

b) Ningún carnívoro es pez. C P

c) Algunos estudiantes son trabajadores E T

d) Algunas personas no son amables.

P A

Interpreta la representación grafica y enuncia una proposición para x

Sea 𝐴 = 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 ; 𝑃 = 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑎𝑛𝑜𝑠 y 𝑆 = 𝑠𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 ;

Resolvamos algunos problemas: 1. Si afirmamos: “todas las aves vuelan”, entonces:

a. Algunas aves no vuelan. b. No hay aves que vuelan. c. Todos los que vuelan son aves. d. Ningún ave no vuela. e. Ningún ave vuela.

2. Si afirmamos:

- NIngun vietnamita es americano - Muchos valientes son vietnamitas.

Entonces: a. Todo valiente es no americano. b. Ningun americano es valiente. c. Muchos valientes mueren. d. Todo americano no es valeinte. e. Muchos valientes no son americanos.

1. Cinthya va a una fiesta y su hermana Solange le presenta 4 amigos: Carlos, Bruno, Marcos y Renato, los que tienen como ocupación: fotógrafo, comerciante, banquero y cantante. Pero no le dice quien es quien y pide a Cinthya que diga la ocupación que le corresponde a cada uno. Para ayudarla, agrega estas pistas:

a) Bruno converso con el banquero sobre una hipoteca.

b) El fotógrafo hizo las fotos del matrimonio de Carlos.

c) El cantante y Bruno son amigos pero nunca tuvieron trato de negocios.

d) Marcos y el cantante conocieron a Renato en la fiesta.

Analizando las pistas, ayuda a Cinthya a descubrir la ocupación de cada uno:

Marcos Carlos Renato Bruno

Banquero

Comerciante

Fotógrafo

Cantante

1. Si p es verdadera, entonces p q es: a) Verdadera. b) Falsa.

c) Su valor depende de q. d) No se puede determinar.

2. Si p es falsa, entonces, qp es:

a) Verdadera. b) Falsa.

c) Su valor depende de q. d) No se puede determinar

S P

TRABAJANDO EN EQUIPO

El conjunto “C” está excluido

totalmente del conjunto “P” Los conjuntos “E” y “T” tienen

una inclusión parcial.

A P

x El conjunto “P” está excluido

parcialmente del conjunto “A”

E

x

Resolución:

Todas las aves vuelan.

Resolución:

x A

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3. Cuantifica las siguientes funciones proposicionales:

a) 𝑃 𝑥 : 𝑥2 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜. ………………………………………….. b) 𝑃 𝑦 : 𝑦 + 2 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙. …………………………………………..

4. Completa las expresiones con: ∀𝑥, ∀𝑦, ∃𝑥 𝑦 ∃𝑦 para obtener proposiciones verdaderas:

a) ∀𝑥 ∈ ℝ…… ∈ ℝ/ 𝑥2 + 1 𝑦 > 0

b) ∃𝑥 ∈ ℝ, …… ∈ ℝ/𝑥𝑦 > 0

c) ∀𝑥 ∈ ℝ, …… ∈ ℝ: 𝑥 + 𝑦 4≥ 0

d) …… . ∈ ℝ, ∃𝑦 ∈ ℝ ∕ 2 = 𝑥2 + 3 𝑦 5. Si afirmamos:

- Ningun filosofo es critico. - Ciertos filososfos son racionalistas.

Entonces: a) Algunos críticos son filososfos. b) Algunos racionalistas son acríticos. c) Algunos críticos son irracionales. d) Algunos racionalistas son críticos. e) Algunos críticos no son racionalistas.

1. Cuatro amigos: Tony, Rudy, Roberto y Martín, practicaban un curso diferente cada uno. Tony quiere

practicar álgebra en lugar de trigonometría, Rudy le pide prestado su libro de aritmética a Martín. Roberto

no sabe geometría. ¿Qué curso practica Rudy?. ¿Quién practica álgebra?

2. Juego lógico: Una profesora de Matemática divide a su sección de alumnos en dos grupos. Los serios,

que siempre responden con la verdad a cualquier pregunta; y los bromistas, que responden siempre con

engaños. La profesora, que conoce esta situación, preguntó al alumno X si era serio o bromista. Al no

escuchar la respuesta dada por X, preguntó a los alumnos Y y Z que se encontraban cerca de X sobre la

respuesta dada por X. Y respondió: “X dijo serio”; mientras que Z respondió: “X dijo ser bromista”.

¿Cómo son X, Y y Z? Discute las siguientes posibilidades con los demás colegas.

3. Escribe 4 proposiciones cuantificadas verdaderas, a partir de las siguientes expresiones: a) Todos los números enteros son

Racionales. b) Existe algún Racional que es negativo

c) Todo Natural está contenido en los Racionales.

d) Existe algún negativo que es Natural.

4. Si : - Ningún hombre es inmortal. - Todo racional es hombre.

Entonces: a) Ningún racional es inmortal. b) Todo racional es inmortal. c) Ningún irracional es inmortal.

d) Todo irracional es mortal. e) Ningún mortal es irracional.

5. Si algunos reptiles son lentos y los cocodrilos son reptiles. Entonces: a) Ningún cocodrilo es lento. b) Todos los cocodrilos no son lentos. c) Ningún cocodrilo no es lento.

d) No todos los cocodrilos son reptiles. e) No se puede afirmar que los cocodrilos no

son lentos.

• GALDOS, Luis. (2001). Consultor Matemático: Aritmética. Editorial Cultural S.A. Tomo I.

• GRUPO SANTILLANA. CLAVES. (2003) Editorial Santillana. Lima-Perú.

• GRUPO SANTILLANA (2007). Razonamiento Matemático. Editorial Santillana. Lima Perú.

• TIMOTEO, S (2007) Razonamiento Matemático S.XXI. Perú: San Marcos.

Como veras hasta

ahora sólo hemos

recurrido al

razonamiento para

hallar la solución a los

problemas. Continúa

desarrollando tu ingenio

y habilidad.

BIBLIOGRAFÍA

AUTOEVALUACIÓN