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Sistemas Nebolosos(Fuzzy)

Prof. Alexandre Monteiro

Recife

Contatos

Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo

Apelido: Alexandre Cordel

E-mail/gtalk: alexandrecordel@gmail.com

greinaldo@fbv.edu.br

Site: http://www.alexandrecordel.com.br/fbv

Celular: (81) 9801-1878

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Lógicas Não-Clássicas

As lógicas não-clássicas podem ser classificadas em dois grupos distintos:

• Extensões da lógica clássica: adicionam um vocabulário novo, portanto novos teoremas e inferências válidas, mas mantêm todos os teoremas originais

- Lógica Modal- Lógica Temporal- Lógicas Não-Monotônicas

• Desvios da lógica clássica: em geral mantêm o vocabulário original da lógica clássica, no entanto difere com respeito a teoremas e inferências válidas

- Lógica Multi-Valorada- Lógica Fuzzy

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Variações da Lógica Clássica: Lógica Fuzzy

Grande parte da compreensão humana sobre os acontecimentos dos fatos é imprecisa

Em muitos casos, a precisão pode ser um tanto inútil, enquanto instruções vagas podem ser melhor interpretadas e realizadas

• Exemplo de compreensão humana- Formal:

“Comece a freiar 10 metros antes do sinal PARE”- Vulgar:

“Comece a freiar perto do sinal PARE”• Outro exemplo:

- Ao utilizar-se a lógica clássica, definem-se regras como: “Pessoas jovens são aquelas cujas idades estão entre 0 e 20”

- Nesta lógica, uma pessoa com 20 anos e 1 dia não é considerada uma pessoa jovem

- Porém, sabemos que isso não é verdade no mundo real - Daí a necessidade de se utilizar mecanismos para descrever o grau de

pertinência de uma pessoa ao conjunto de “jovens”

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Características: Lógica Fuzzy (1/2) A lógica fuzzy resulta de dois estágios de fuzificação

• A passagem da lógica bivalente para a lógica não-enumerável multi-valorada como um resultado de se permitir graus de pertinência a conjuntos denotados por predicados da linguagem objeto

- Introdução de predicados "vagos" na linguagem• A passagem para muitos valores de verdade

contavelmente difusos como resultado de se tratar como vago o próprio predicado meta-lingüístico "verdadeiro", sendo este passo mais controverso e radical

- Verdadeiro, muito verdadeiro, não muito verdadeiro,...

A Lógica Difusa foi desenvolvida por Lofti A. Zadeh da Universidade da Califórnia em Berkeley na década de 60

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Características: Lógica Fuzzy (2/2) Trabalha com uma grande variedade de informações

vagas e incertas, as quais podem ser traduzidas por expressões do tipo: a maioria, mais ou menos, talvez, etc.

Antes do surgimento da lógica fuzzy essas informações não tinham como ser processadas

A lógica fuzzy contém como casos especiais não só os sistemas lógicos binários, como também os multi-valorados

A lógica fuzzy vem sendo aplicada nas seguintes áreas• Análise de dados• Construção de sistemas especialistas• Controle e otimização• Reconhecimento de padrões, etc.

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Conjuntos Fuzzy (1/3)

Conjuntos com limites imprecisos

Altura(m)

1.75

1.0

Conjunto Clássico1.0

Função depertinência

Altura(m)

1.60 1.75

.5

.9

Conjunto Fuzzy

A = Conjunto de pessoas altas

.8

1.70

8

Conjuntos Fuzzy (2/3)

Um conjunto fuzzy A definido no universo de discurso X é caracterizado por uma função de pertinência A, a qual mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1].

A:X[0,1]

Desta forma, a função de pertinência associa a cada elemento x pertencente a X um número real A(X) no intervalo [0,1], que representa o grau de pertinência do elemento x ao conjunto A, isto é, o quanto é possível para o elemento x pertencer ao conjunto A.

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Conjuntos Fuzzy (3/3)

Definição formal• Um conjunto fuzzy A em X é expresso como um

conjunto de pares ordenados:

}|))(,{( XxxxA A

Universo ouUniverso de discurso

Conjuntofuzzy

Função depertinência

(MF)

Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado por sua função de pertinência (MF)

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Função de Pertinência

Reflete o conhecimento que se tem em relação a intensidade com que o objeto pertence ao conjunto fuzzy

• Características das funções de pertinência:- Medidas subjetivas- Funções não probabilísticas monotonicamente crescentes,

decrescentes ou subdividida em parte crescente e parte decrescente.

MFs

Altura (m)

“alto” no Brasil

1.75

.5

.8

.1

“alto” nos EUA

“alto” na Itália

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Formulação da MF

Função Triangular

Função Trapezoidal

Função Gaussiana

Função Sino Generalizada

trimf x a b cx ab a

c xc b

( ; , , ) max min , ,

0

trapmf x a b c dx ab a

d xd c

( ; , , , ) max min , , ,

1 0

gbellmf x a b cx c

b

b( ; , , )

1

12

2

2

1

),,;(

cx

ecbaxgaussmf

12

Formulação da MF

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gra

u d

e P

ert

inê

nc

ia

(a) Triangular

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gra

u d

e P

ert

inê

nc

ia

(b) Trapezoidal

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gra

u d

e P

ert

inê

nc

ia

(c) Gaussiana

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gra

u d

e P

ert

inê

nc

ia(d) Sino Gerneralizada

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Universo Discreto

X = {SF, Boston, LA} (discreto e não ordenado)

• C = “Cidade desejável para se viver”

• C = {(SF, 0.9), (Boston, 0.8), (LA, 0.6)}

X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (discreto) • A = “Número de filhos”• A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7), (3, 1),

(4, .6), (5, .2), (6, .1)}0 2 4 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X = Número de filhos

Gra

u d

e P

ert

inê

nc

ia

(a) Universo Discreto

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Universo Contínuo

X = (Conjunto de números reais positivos) (contínuo)

• B = “Pessoas com idade em torno de 50 anos”

• B = {(x, B(x) )| x em X}

B xx

( )

1

15010

2

0 50 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X = Idade

Gra

u d

e P

ert

inê

nc

ia

(b) Universo Contínuo

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Notação Alternativa

Um conjunto fuzzy A, pode alternativamente ser denotado por:

• x (discreto)

• x (contínuo)

• Obs.: Os símbolos e representam o conjunto dos

pares ordenados (x, A(x)).

iiXx

A xxAi

|)(

xxAX

A |)(

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Partição Fuzzy

Partição fuzzy do universo de X representando “idade”, formada pelos conjuntos fuzzy “jovem”, “maduro” e “idoso”.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X = Idade

Gra

u d

e P

ert

inên

cia

Jovem Maduro Idoso

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Variáveis Lingüísticas

Uma variável lingüística possui valores que não são números, mas sim palavras ou frases na linguagem natural.

• Idade = idoso

Um valor lingüístico é um conjunto fuzzy.

Todos os valores lingüísticos formam um conjunto de termos:• T(idade) = {Jovem, velho, muito jovem,...

Maduro, não maduro,...

Velho, não velho, muito velho, mais ou menos velho,...

Não muito jovem e não muito velho,...}

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A B, se B(x) A(x) para cada x X A = B, se A(x) = B(x) para cada x X A = X - A A(x) = 1 - A(x)

E(x) = Max [0, A(x) - B(x)]

C = A B c(x) = max(A(x), B(x)) C = A(x) B(x)

C = A B c(x) = min(A(x), B(x)) C = A(x) B(x)

Operações Básicas

Subconjunto Igualdade Complemento Complemento Relativo

União

Interseção

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Representação

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

A está contido em B

Gra

u d

e P

erti

nên

cia

B

A

(a) Conjuntos Fuzzy A e B (b) Conjunto Fuzzy não “A”

0

0.2

0.4

0.60.8

1A B

0

0.2

0.4

0.60.8

1

0

0.2

0.40.6

0.8

1

(c) Conjunto Fuzzy "A ou B"

0

0.2

0.40.6

0.8

1

(d) Conjunto Fuzzy "A e B"

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Exemplo (União|Interseção)

X = {a, b, c, d, e}• A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e}• B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}

• União- C = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e}

• Interseção- D = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}

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Propriedades

Comutatividade• A B = B A A B = B A

Idempotência• A A = A A A = A

Associatividade• A (B C) = (A B) C = A B C A (B C) = (A B) C = A B

C

Distributividade• A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

Propriedades padrões: Comutatividade, Idempotência Associatividade, Distributividade etc. são válidas para os conjuntos fuzzy. Exceção:

A A A A X

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Grau de Crença x Grau de Verdade Grau de Crença x Teoria das Probabilidades

• 80% dos pacientes com dor de dentes têm cáries- Uma probabilidade de 0.8 não significa “80% verdade”

mas sim um grau de crença de 80% na regraGrau de verdade x Lógica Fuzzy

• Mário é alto- A proposição é verdadeira para uma altura de Mario 1.65m

? - ...mais ou menos....

- Observar que não há incerteza, estamos seguros da altura de Mario

• O termo linguístico “alto” é vago, como interpretá-lo?• Por exemplo, a teoria de conjuntos Fuzzy (semântica para

lógica fuzzy) permite especificar quão bem um objeto satisfaz uma descrição vaga (predicado vago)

- O grau de pertinência de um objeto a um conjunto fuzzy é representado por algum número em [0,1]

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Sistemas Fuzzy

Fuzificação das variáveis

Atribuir Graus de pertinência

Definir Funções de Pertinência

Saída Crisp

Defuzificação das variáveis

Aplicação das regras

Entradas Crisp ClassificaçãoEstimar uma medida com maior precisão

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Fuzzificação

Etapa na qual os valores numéricos são transformados em graus de pertinência para um valor lingüístico

Cada valor de entrada terá um grau de pertinência em cada um dos conjuntos fuzzy. O tipo e a quantidade de funções de pertinência usados em um sistema dependem de alguns fatores tais como: precisão, estabilidade, facilidade de implementação...

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Determinação das regras

Descrição das situações nas quais há reações através de regras de produção (If - then). Cada regra na saída especifica uma ou várias conclusões.

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Regras If - then

alta pequeno

médiaresistência = 5*velocidade

• Estilo MamdaniSe a pressão é alta, então o volume é pequeno

• Estilo Sugeno Se a velocidade é média, então a resistência = 5 * velocidade

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Sistema de inferência

Se velocidade é baixa então resistência = 2Se velocidade é média então resistência = 4 * velocidadeSe velocidade é alta então resistência = 8 * velocidade

Regra 1: w1 = .3; r1 = 2Regra 2: w2 = .8; r2 = 4*2Regra 3: w3 = .1; r3 = 8*2

Resistência = S(wi*ri) / Swi = 7.12

Velocidade2

.3

.8

.1

baixa média altaMFs

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Avaliação das regras

Cada antecedente (lado if) tem um grau de pertinência. A ação da regra (lado then) representa a saída fuzzy da regra. Durante a avaliação das regras, a intensidade da saída é calculada com base nos valores dos antecedentes e então indicadas pelas saídas difusas da regra.

• Alguns métodos de avaliação:- MinMax, MaxMin, MaxProduto, MinMin, MaxMedia, MaxMax

e Soma dos produtos.

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Agregação das Regras

São as técnicas utilizadas na obtenção de um conjunto fuzzy de saída “x” a partir da inferência nas regras.

Determinam quanto a condição de cada regra será satisfeita.

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Defuzzificação

Processo utilizado para converter o conjunto difuso de saída em um valor crisp correspondente.

• Alguns métodos de defuzzificação:- Centróide,- Média dos máximos,- Distância de Hamming,- Método da altura, etc.

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Lógica Fuzzy: considerações finais

Lógica Fuzzy é uma importante ferramenta para auxiliar a concepção de sistemas complexos, de difícil modelagem, e pode ser utilizada em conjunto com outras tecnologias de ponta, como é o caso da combinação entre Lógica Fuzzy e Redes Neurais Artificiais, e Lógica Fuzzy e Algoritmos Genéticos.

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Lógicas para IA: considerações finais Limitações da Lógica Clássica para lidar com argumentos

informais

Lógica Não-Clássicas

• Extensões da Lógica Clássica- Lógica Modal

- Lógica Temporal

- Lógicas Não-Monotônicas

• Desvios da Lógica Clássica- Lógica Multi-Valorada

- Lógica Fuzzy

Exercícios 1

Seja o conjunto fuzzy A definido sobre o universo de discurso X = { 1 2 3 }. Desejamos mapear os elementos deste conjunto fuzzy para outro universo Y, sob a função: y = f(x) = 2x –1.

Os elementos do universo Y obtido pela aplicação da função dada é Y = { 1, 3, 5 }

Onde y = 1= (21- 1); y = 3 = ( 22-1); y = 5 = ( 23-1)

Supondo que o conjunto fuzzy A é dado por : A = { 0.6/1 1/2 0.8/3 }, onde 0.6 é a pertinência de 1 no conjunto A; 1 é a pertinência de 2 no conjunto no conjunto A ; 0.8 é a pertinência de 3 no conjunto no conjunto A;

O conjunto B = f(A) = {A(1)/f(1) A(2)/f(2) A(3)/f(3)}, do princípio de extensão. Deste resulta: B = { 0.6/ 1 1/ 3 0.8/ 5 }, é o conjunto resultado do mapeamento do conjunto A.

Exercício 2 Suponha que temos os inteiros de 1 até 10 como

elementos de dois universo de discurso X1 e X2 , com X1 = X2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, e sejam A e B dois conjuntos fuzzy definidos sobre X1 e X2 respectivamente. O conjunto A = “ aproximadamente 2” e o conjunto B = “aproximadamente 6” dados segundo:

A = { 0.6/1 1/2 0.8/3 } ; B = { 0.8/5 1/6 0.7/7}

Obtenha o conjunto produto cartesiano de A x B correspondente ao número C = “aproximadamente 12”, definido sobre o espaço produto: X1 x X2 = {5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 18, 21}

Solução Exercício 2

Podemos escrever :

2 x 6 = { 0.6/ 1 1/ 2 0.8 /3 }x{ 0.8/ 5 1/ 6 0.7/ 7}

Em se tratando de produto cartesiano podemos escrever: C = { min(0.6, 0.8) / 5 min(0.6, 1.0) / 6 min(0.6, 0.7) / 7

min(1.0, 0.8) / 10 min(1.0, 1.0) / 12 min(1.0, 0.7) / 14 min(0.8, 0.8) / 15 min(0.8, 1.0) / 18 min(0.8, 0.7) / 21}

C = { 0.6/5 0.6/6 0.6/7 0.8/10 1.0/12 0.7/14 0.8/15 0.8/18 0.7/21}, este é o conjunto produto cartesiano AxB.

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Bibliografia

R. Turner. Logics for Artificial Intelligence. John Wiley, 1985.

E. Rich e K. Knight. Inteligência Artificial. Makron Books, 2a. Edição, 1994.

S. Haack. Filosofia das Lógicas. UNESP Editora, 1998.

P. Almeida e A. Evsukoff. Sistemas Fuzzy em Sistemas Inteligentes. Manole, 2003

J. Jang, C. T. Sun e E. Mizutani. Neuro-Fuzzy and Soft Computing. Prentice Hall, 1997.