1 spazio tempo_movimento

Meccanica

1 - Cinematica

1

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Spazio, tempo, movimentoIntroduzione alla Fisica Classica

Movimento Nella visione aristotelica la Terra è al

centro dell’universo e questo ha enormi conseguenze per la nostra comprensione del movimento

Nel cielo i pianeti cambiano direzione perché sono attaccati a delle sfere che per loro natura sono eternamente in rotazione

Questo non capita mai agli oggetti sulla Terra: qualsiasi cosa spingiamo o lanciamo di li a poco si ferma

Questo è lo stato naturale degli oggetti che sono attaccati alle sfere celesti

Quindi nell’universo di Aristotele e Tolomeo vi è una grande distinzione fra movimento e quiete!

Movimento La proposta di Copernico che trasformava la Terra in un pianeta come gli

altri era sconvolgente!

Se la Terra è un pianeta allora è in continuo movimento con gli altri pianeti. Ma com’è possibile??

Infatti se la Terra è in movimento com’è che non ce ne accorgiamo??

Movimento

La soluzione dell’enigma fu la prima grande unificazione della scienza

L’unificazione del movimento con la quiete

Com’è possibile che non vi sia differenza fra movimento e quiete?

Per capirlo occorre rendersi conto che il fatto che un corpo sia in movimento o in quiete deve avere senso solo relativamente ad un osservatore che può essere a sua volta in movimento o in quiete …

Movimento

Alice e Bruno stanno viaggiando nello stesso pulman. Alice vede Bruno fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Bruno.


Carla che vede passare il pulman attribuisce ad Alice e Bruno la stessa velocità del pulman (50 Km/H)

Movimento


Carla che vede passare il pulman attribuisce ad Alice e Bruno la stessa velocità del pulman (50 Km/H)

Si noti che è importante disporre di due sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro, per fare ragionamenti sul fatto che il moto è relazione

Movimento

Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, nè da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma

Movimento

In questo passo Galileo afferma in sostanza che le leggi fisiche risultano le stesse per chi le sperimenta in un laboratorio fisso e per chi le sperimenta in un laboratorio che si muove uniformemente (e non fluttuante in qua e là)

Nel pensiero di Galileo non è ancora perfettamente chiaro che cosa si intende con moto uniforme, sicuramente egli intendeva che la velocità doveva essere costante come valore ma non è del tutto chiaro se aveva compreso che essa doveva essere costante anche in direzione

In alcune pagine del Dialogo, ad esempio, sembra intendere che i moti uniformi sono quelli circolari, dimostrando così di non essersi liberato del tutto dall’influenza di Aristotele

… ma non possiamo certo biasimarlo per questo!

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Vettori Introduzione alla Fisica Classica

Quando il moto avviene non su una retta ma su un piano, lo spostamento complessivo non indica la traiettoria seguita. Bisogna dare anche la direzione e il verso del moto.

Il moto non rettilineo

s

Lo spostamento è caratterizzato da:

• distanza tra punto di partenza e punto di arrivo;

• direzione del movimento (retta su cui avviene lo spostamento);

• verso del moto.

Il simbolo è una freccia

sulla lettera:

Lo spostamento

Lo spostamento risultante è dunque la “somma” dei due spostamenti successivi.

Se tre ragazzi, giocando a calcio, mandano il pallone da A a B e poi da B a C, lo spostamento complessivo della palla è quello da A a C.

Si può quindi scrivere:

Somma di più spostamenti

E' importante notare che scrivere

NON significa c = a + b.

La somma di più spostamenti è nulla quando il punto di partenza e quello di arrivo coincidono.


Per sommare due spostamenti, si riporta la coda del secondo, spostandolo parallelamente a se stesso, fino a coincidere con la punta del primo.

Lo spostamento è un VETTORE


I vettori sono grandezze che:

hanno una direzione, un valore numerico detto intensità o modulo e un verso;

si sommano con il metodo punta-coda (o simili).

Esempi: lo spostamento, la velocità, la forza.

Gli scalari sono invece grandezze descritte solamente da un numero. Esempi: la temperatura, la pressione.

Vettori e scalari

Per i vettori non è importante il punto di applicazione (“coda”): due frecce parallele rappresentano lo stesso vettore.

Se si scrive la lettera del vettore senza la freccia soprastante, si indica la sola intensità del vettore:

ad esempio v = 5 m/s indica il valore numerico del vettore velocità.

Vettori e scalari

Somma di due vettori: con il metodo “punta-coda” o con il metodo del parallelogramma.

Operazioni con i vettori

Scomposizione di un vettore lungo due rette: è l'operazione inversa della somma. Date due direzioni, si cercano i due vettori la cui somma dia quello di partenza.


Moltiplicazione di un vettore per un numero

• è un vettore con la stessa direzione, verso

• uguale od opposto a seconda del segno del numero, intensità moltiplicata per il numero stesso.


Differenza di due vettori

si esegue sommando al primo vettore l'opposto del secondo.


Le componenti

è possibile proiettare un vettore lungo la direzione di un altro.


Segno delle componenti


Le componenti lungo vettori perpendicolari:

ax e a

y sono le componenti del vettore lungo gli assi cartesiani x e y:


ax e ay sono le componenti cartesiane del vettore:

i e j sono i versori (vettori di modulo unitario) degli assi x e y

Rappresentazione cartesiana di un vettore

ji

yxyx aaaaa

Rappresentazione cartesiana di un vettore

x

y

x

y

yx

y

x

a

aarctgtg

a

a

aaaa

aa

aa

cos

sin

sin

cos

22

z

x

y

vxî

vy ĵ

vzk̂

kvjvivv zyxˆˆˆ

2z

2y

2x vvvv

θ

φ

x

y

z

v

varctan

v

varccosθ

Rappresentazione cartesiana di un vettore Vettore nello spazio

E' un'operazione che, dati due vettori, associa quel numero che si ottiene moltiplicando il modulo del primo vettore per la componente del secondo lungo il primo:

Il prodotto scalare

Il valore del prodotto scalare dipende dalla posizione reciproca dei due vettori:

Il prodotto scalare

Il prodotto scalare è uguale al prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell'angolo tra essi compreso:

Il prodotto scalare gode della

proprietà commutativa:

ovvero

Il prodotto scalare

Tenendo conto del fatto che i versori degli assi cartesiani sono a due a due perpendicolari fra loro, si ha che:

1kk0jk0ik

0kj1jj0ij

0ki0ji1ii

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

Di conseguenza, esprimendo i vettori in termini delle loro componenti cartesiane, si ha:

kbjbibb

kajaiaa

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

zzyyxx babababa

22z

2y

2x aaaaaa

Il prodotto scalare

33

Moti nel pianoIntroduzione alla Fisica Classica

Per descrivere il moto di un punto materiale sul piano, servono:

• un riferimento cartesiano;

• un metro per misurare le coordinate xp e y

p del punto;

• un cronometro per misurare i tempi.

Posizione e spostamento

Misurare lo spazio e il tempo

L’intervallo di tempo Per misurare la durata di un fenomeno (intervallo di tempo tra l’inizio e

la fine) si conta quante volte la durata di un fenomeno periodico è contenuta nella durata da misurare.

Il secondoMisurare lo spazio e il tempo

L’unità di misura dell’intervallo di tempo è il secondo (s), definito come l’intervallo di tempo impiegato da una particolare onda elettromagnetica, emessa da atomi di cesio, per compiere 9 192 631 770 oscillazioni.

Misurare lo spazio e il temp

L’unità di misura della lunghezza è il metro (m), definito come la distanza percorsa dalla luce, nel vuoto, in un intervallo di tempo pari a 1/299 792 458 di secondo.

Vettore posizione: individua il punto P della traiettoria in cui si trova il punto materiale ad un dato istante.

Vettore spostamento: è la variazione del vettore posizione in un intervallo di tempo.

Vettore posizione e vettore spostamento

Il vettore spostamento si determina sottraendo i due vettori posizione corrispondenti a due diversi istanti di tempo, t1 e t

2.

Il vettore definisce direzione, verso e lunghezza dello spostamento.

s

s

Il vettore spostamento

Lo spostamento di un punto materiale durante un intervallo di tempo sempre più piccolo diventa un vettore tangente alla traiettoria.

Il vettore spostamento

Nel moto di un punto materiale sul piano, le informazioni che riguardano la velocità sono:

• la direzione (nella figura, la retta Bologna-Faenza);

• il verso (da Faenza a Bologna);

• il valore, o modulo, della velocità (30 km/h).

Il vettore velocità

Quindi la velocità è un vettore (il cui punto di applicazione non è rilevante) definito come:

t finito: velocità media t piccolissimo: velocità istantanea


Il vettore velocità è ottenuto moltiplicando il vettore spostamento per il numero 1/ t:

Perciò ha sempre il verso e la direzione dello spostamento e la velocità istantanea è tangente alla traiettoria.


Le dimensioni della velocità sono [l][t]-1

Utilizzando le unità di misura del SI si misura pertanto in m/sec

Moto rettilineo uniforme

Se la velocità è costante questo significa che nel tempo rimangono inalterati sia la sua intensità, sia la direzione che il verso;

Quindi non potendo cambiare direzione il moto risultante è rettilineo ed essendo l’intensità della velocità costante il moto risulta anche uniforme;

In questo caso dalla definizione di velocità segue subito la legge oraria seguita dal corpo

kvts

svtvtsttvsstvs

0000

Consideriamo una persona che si sposta su una nave in movimento:

Composizione di spostamenti e velocità

Se un corpo è soggetto a due spostamenti simultanei, lo spostamento complessivo è dato dalla somma vettoriale dei due spostamenti:

Per le velocità vale la stessa legge: dividendo la formula per t :

la velocità totale è la somma vettoriale delle velocità.


Una ragazza che nuota in direzione perpendicolare alla spiaggia (fig.A), in presenza di corrente (fig.B) si muoverà seguendo una direzione obliqua (fig.C).


Velocità media e velocità istantanea Se un punto si muove di moto rettilineo uniforme la sua velocità è costante

al passare del tempo e dunque coincide con la velocità media. Che cosa accade invece se la velocità di un punto materiale non è

costante? In questo caso è utile introdurre il concetto di velocità istantanea. E’ il

valore della velocità calcolata in un preciso istante di tempo t

Ha senso parlare di velocità media? Si. Essa è quella velocità che il punto

dovrebbe mantenere costantemente per percorrere nello stesso intervallo di tempo Δt la stessa distanza Δs

Supponiamo di essere in automobile. La velocità istantanea è quella indicata

istante per istante dal tachimetro

Velocità media e velocità istantanea Raramente i movimenti che si osservano in natura avvengono

con velocità costante. Quasi sempre la velocità di un corpo varia continuamente nel

tempo. La variazione di velocità nell’unità di tempo si chiama

accelerazione.

Definiamo il vettore accelerazione come:

t finito: accelerazione media

t piccolissimo: accelerazione istantanea

Il vettore accelerazione

Nel moto rettilineo si ha accelerazione se cambia il valore scalare della velocità.

Nel moto in un piano si ha un vettore accelerazione non nullo se:

cambia il valore del vettore velocità cambia la direzione o/e il verso del vettore velocità.

Il vettore accelerazione rappresenta la rapidità con cui varia il vettore velocità.

Direzione e verso del vettore accelerazione

Moto rettilineo uniformemente accelerato Partiamo dalla formula dell’accelerazione

Se ora poniamo il tempo iniziale t1 = 0 e per semplicità indichiamo con v0 la velocità iniziale al tempo iniziale t1 e con v2 la velocità finale v2 al tempo t2 allora la formula diventa

Da cui si ricava facilmente

12

12

tt

vv

Δt

Δv

ma

t

vv

tt

vv 0

12

12

ma

tvv(t) 0 ma

Moto rettilineo uniformemente accelerato Poiché l’accelerazione è costante, la velocità media del corpo

all’istante t è data da

e la distanza s coperta nel tempo t è 20 vv

v

200

20

000

2

1)(

2

1

22

attvsts

attvtatvv

stvv

tvs

Moto rettilineo uniformemente accelerato La legge oraria del moto nel

grafico t vs. x ha la rappresentazione grafica di una funzione di secondo grado

la velocità ha la rappresentazione grafica di una retta passante per l'origine

mentre l'accelerazione è una retta parallela all'asse temporale in quanto è costante.

Moto rettilineo uniformemente accelerato ESEMPIO

Un’automobile accelera da ferma con un’accelerazione costante di 2.5 ms-2 su una strada dove il traffico si muove a velocità costante di 24 ms-1. Calcolare (a) quanto tempo impiega l’automobile a raggiungere tale velocità e (b) quanta strada viene percorsa in tale tempo.

SOLUZIONE Poiché l’auto parte da ferma, abbiamo v0 = 0 e quindi possiamo scrivere

t = v / a = 24 ms-1 / 2.5 ms-2 = 9.6 s. Dall’equazione oraria del moto uniformemente accelerato con x0 = 0 e v0 = 0 possiamo scrivere

msmsatx 2.115)6.9)(5.2(2

1

2

1 212

In un moto su una curva, il vettore accelerazione è diretto sempre verso l'interno della curva.

Direzione e verso del vettore accelerazione

Moto di un oggetto nel campo gravitazionale Il moto di un oggetto nel

campo gravitazionale è un tipo di moto bidimensionale esprimibile attraverso la combinazione di due moti rettilinei simultanei ed indipendenti: moto rettilineo uniforme moto uniformemente

accelerato.

Moto di un oggetto nel campo gravitazionale La più significativa realizzazione di tale moto è fornita dal moto

del proiettile in cui si utilizzano le seguenti esemplificazioni (approssimazioni della fisica e della geometria del problema): tutta la massa e la geometria del corpo sono concentrate in un unico

punto; l'accelerazione del moto è verticale; il suo modulo è pari

all'accelerazione di gravità sulla crosta terrestre: g = 9.81 m/s2. Dunque, il corpo si trova in un campo di gravità uniforme ed indipendente dal tempo;

le eventuali forme di attriti legate alla resistenza dell'aria sono trascurabili.

Moto di un oggetto nel campo gravitazionale

Il moto lungo l’asse x non è accelerato, quindi trascurando la resistenza dell’aria si tratta di un moto rettilineo uniforme con velocità

000 cosvvx


Il moto lungo l’asse y è uniformemente accelerato con accelerazione e velocità iniziale pari a

000 sin, vvga y

Moto di un oggetto nel campo gravitazionale Abbiamo quindi due equazioni

orarie, una per il moto lungo l’ascissa e una per il moto lungo l’ordinata

Eliminando la variabile tempo otteniamo l’equazione della traiettoria

200

00

2

1)(

)(

gttvyty

tvxtx

y

x


2

0

00

0

00

200

0

000

)(

2

1)()(

2

1)(

)()(

xx

yy

xx

v

xtxgxtx

v

vytygttvyty

v

xtxttvxtx

Assumendo per semplicità y0 = 0 e x0 = 0 otteniamo infine

Si tratta dell’equazione di una parabola con concavità rivolta verso il basso.

)(cos2

)()(2

1)()( 2

022

00

2200

0 txv

gtxtgtx

v

gtx

v

vty

xx

y

Moto di un oggetto nel campo gravitazionale Gittata

La gittata è la distanza orizzontale del punto di lancio del corpo dal punto in cui il corpo tocca il suolo. Se consideriamo la traiettoria espressa in un piano cartesiano Oxy, per calcolare la gittata possiamo utilizzare l'equazione della traiettoria vista sopra. In relazione alla curva che forma la traiettoria del corpo (e quindi una parabola) per poter calcolare la gittata occorrono i punti di intersezione della curva con l'asse delle ascisse y=0, che nel caso in cui il punto di lancio del corpo sia l'origine degli assi sono:

La soluzione non banale (diversa dall’origine) è

0)(cos2

)(0

220

0

tx

v

gtgtx

g

vtg

g

v

vg

tgxG

020

002

20

022

0

0 2sincos2

cos2

Moto di un oggetto nel campo gravitazionale Altezza massima

Per determinare l’altezza massima sfruttiamo il fatto che il punto di altezza massima è un punto di massimo della curva della traiettoria e quindi il punto di massimo della parabola.

Trovarlo quindi consiste nel porre la derivata prima dell'equazione della traiettoria uguale a zero e ricavare dall'equazione ottenuta l'ascissa del punto cercato x, sostituendo nell'equazione della traiettoria si ottiene anche l'ordinata yM

g

vy

g

vv

g

tgx

xv

gtg

dx

dyx

v

gxtgxy

MM 2

sinsincoscos

0coscos2

)(

022

00020

022

00

022

00

2

022

00

E' un moto in cui: la traiettoria è una circonferenza; il modulo (valore) della velocità non cambia; il punto materiale percorre archi di circonferenza che

sono direttamente proporzionali ai tempi impiegati.

P .

Moto circolare uniforme

Scegliamo un sistema di riferimento con origine nel centro della traiettoria.


Periodo (T): tempo impiegato a percorrere un giro completo di circonferenza (es. la lancetta dei secondi di un orologio ha un periodo di 60 s).

Frequenza (f): numero di giri compiuti in un secondo (es. la lancetta dei secondi ha una frequenza di 1/60 Hz).

Periodo e frequenza

Poiché nel moto circolare uniforme il modulo della velocità è costante, il suo valore è dato dal rapporto s/t , dove:

s = la lunghezza della circonferenza = 2r e

t = il tempo impiegato a percorrerla = T

Il valore della velocità tangenziale

Consideriamo un satellite in moto circolare intorno alla Terra.

La velocità angolare

L'angolo si misura in radianti.

Definiamo velocità angolare il rapporto tra l'angolo al centro, , ed il tempo necessario a spazzarlo, t.


Ricordiamo che la misura di un angolo, espressa in radianti, è il rapporto tra la lunghezza l dell'arco AB corrispondente ad e quella del raggio r della circonferenza:


Nel moto circolare uniforme gli angoli al centro spazzati dal raggio vettore sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo impiegati.

Per calcolare prendiamo = 2 e t = T:

Quindi v si può scrivere:


Nel moto circolare uniforme, il vettore velocità cambia continuamente in direzione e verso: quindi c'è un'accelerazione.

Essa è detta accelerazione centripeta perché è un vettore rivolto sempre verso il centro della circonferenza.

Si indica con il simbolo

L’accelerazione centripeta

Costruzione del vettore


, da cui

Si dimostra che il modulo dell'accelerazione centripeta è:

poiché v = r,


Il vettore velocità compie un giro completo ogni volta che il raggio vettore percorre un giro, quindi ha lo stesso periodo T.


Il vettore “velocità della velocità” rappresenta l'accelerazione centripeta.

La relazione tra a e v è la stessa che c'è tra v e r:


E' il moto di un punto che oscilla avanti e indietro lungo lo stesso tragitto. Esempi: l'altalena; una molla appesa al soffitto.

Moto armonico

E' il movimento che si ottiene proiettando su un diametro il moto circolare uniforme di un punto.

Moto armonico

Foglio fermo Foglio in moto a v costante

Per ottenerlo, si può attaccare una penna al pesetto appeso alla molla e farla tracciare su un foglio che si srotola a velocità costante:

Moto armonico

Si ottiene un grafico periodico caratterizzato da:

ampiezza: distanza del massimo spostamento dall'origine.

periodo (T): durata di un'oscillazione completa.

frequenza (f) : numero di oscillazioni in un secondo.

Moto armonico

Il grafico periodico è quello della funzione cosinusoide:

• s: distanza del punto dall'origine.

• r: raggio della circonferenza.

• : velocità angolare del moto circolare o pulsazione del moto armonico.

Moto armonico

posizione velocità accelerazione

I vettori posizione, velocità e accelerazione del moto armonico sono le proiezioni dei rispettivi vettori nel moto circolare uniforme:

Moto armonico

La velocità è massima al centro e diminuisce verso gli estremi (dove si annulla).

Il moto armonico è rettilineo non uniforme:

La velocità nel moto armonico

Il vettore accelerazione è proporzionale al vettore posizione ed ha sempre verso opposto.

L’accelerazione nel moto armonico

Il segno meno nella formula vettoriale indica che i due vettori hanno sempre verso opposto.

I triangoli OPQ e LMP sono simili, perciò si può scrivere la proporzione:

L’accelerazione nel moto armonico

1 spazio tempo_movimento

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