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Edital Pibid n°11 /2012 CAPES
PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA - PIBID
Plano de Atividades (PIBID/UNESPAR)
Tipo do produto: Plano de aula
1 – IDENTIFICAÇÃO
SUBPROJETO MATEMÁTICA/FECEA: Uma iniciativa concreta ao processo de formação do
Professor de Matemática
COORDENADOR(A):
Prof. supervisor: Alessandra Grizelini
Nome da Escola: Colégio Estadual Padre José Canale – Ensino Fundamental e Médio.
Licenciandos Bolsitas
Nome E-mail Curso de licenciatura
Josias Correia Passos [email protected] Matemática
Julio Cezar Rodrigues de Oliveira [email protected] Matemática
Oseas Pereira dos Santos [email protected] Matemática
DATAS: 19/06/2013 – 26/06/2013 – 14/08/2013 – 21/08/2013
DURAÇÃO: 1 a 2 aulas.
PARTICIPANTES: 6º e 7º anos1
1. TEMA
O pensamento algébrico é um assunto que pode suscitar variadas atividades de
recreação matemática. Desde sequências lacunadas muito simples a deduções de leis
gerais que definem o comportamento matemático de um fenômeno de natureza
geométrica ou numérica, muitas são a explorações a fazer.
1 O presente Plano de Aula foi adaptado a cada uma das turmas (6° e 7° anos) de acordo com os
conteúdos que os alunos já haviam estudado. Alguns conteúdos conseguimos avançar com os alunos, pois
eles estavam estimulados e conseguiram compreendê-los.
2. OBJETIVOS GERAIS
Facilitar o entendimento de vários temas da matemática envolvendo a
expressão de fatos genéricos e explorar as diversas estruturas algébricas fazendo com
que o aluno generalize seu pensamento e simplifique questões.
.
2.1 Objetivos específicos
Utilizar a investigação matemática para:
Identificar regularidades inferidas com base em padrões.
Indicar uma lei de formação para a sequência algébrica.
3. CONTEÚDOS
Números e Álgebra
4. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
No desenvolvimento da aula utilizaremos investigação matemática para o
encaminhamento metodológico, buscando uma participação ativa dos alunos, para que
eles possam construir seu próprio conhecimento.
Esta tendência para o ensino da matemática pode ser trabalhada sem grandes
dificuldades e demanda de tempo. Na investigação matemática o sujeito pode se
programar em como irá começar, porém jamais saberá como irá acabar.
Pelo senso comum Investigar é procurar conhecer o que não se sabe. Nesta
tendência as questões são mais abertas que em exercícios e problemas, as questões não
estão bem definidas, cabendo a quem investiga um papel fundamental na sua definição,
porém ela está muito mais ligada à postura do professor do que nos enunciados
propriamente ditos. O sujeito é chamado a pensar matematicamente, tanto na elaboração
de conjecturas e realização de provas, como também durante a discussão e formalização
das ideias.
Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver uma pré-álgebra, é
especialmente nas séries finais do ensino fundamental que os trabalhos algébricos serão
ampliados; trabalhando com situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes
funções da álgebra (como modelizar, resolver problemas aritmeticamente insolúveis,
demonstrar), representando problemas por meio de equações (identificando parâmetros,
variáveis e relações e tomando contato com fórmulas, equações, variáveis e incógnitas)
e conhecendo a “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação (BRASIL, 1997).
Para Ponte, Brocardo e Oliveira 2006:
O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-
aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade
matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora
educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na
formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações,
mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação
com os seus colegas e o professor (p.23).
Através das cópias que entregaremos aos alunos sobre generalizações, e com
perguntas que faremos a eles, temos como objetivo que eles consigam construir suas
ideias para chegarem de sua maneira aos resultados esperados.
Esperamos que os alunos consigam generalizar as diferentes sequências que
serão apresentadas, e com isso vamos propor exercícios diferentes, mas que tenham o
mesmo objetivo. Conforme aparecerem as dificuldades dos alunos, iremos ajudá-los no
que for necessário, mas deixando que eles apresentem os resultados encontrados.
5. RESULTADOS ESPERADOS
O pensamento algébrico é um assunto que pode suscitar variadas atividades de
recreação matemática. Desde sequências muito simples a deduções de leis gerais que
definem o comportamento matemático de um fenômeno de natureza geométrica ou
numérica, muitas são a explorações a fazer.
Nossa intenção é que no final das atividades os alunos sejam capazes de
estabelecer conexões entre alguns padrões e a Álgebra, possibilitando investigar uma lei
de formação para continuar determinada sequência e chegar à generalização de todos os
termos pertencentes a ela.
6. BIBLIOGRAFIAS CONSULTADAS
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais :
matemática / Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília MEC/SEF, 1997.
PONTE, João Pedro; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações
Matemáticas na Sala de Aula. 1ª edição; Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
SAAB, Maria Aparecida Cirino; NISHI, Simone Perpétuo; SOUZA, Angela Giseli.
Matemática: Livro do professor, 7º ano. Curitiba: Positivo, 2007.
VALE, I.; PIMENTEL, T. Padrões: um tema transversal no currículo. Revista
Educação e Matemática, Portugal, v. 85, p. 14-20, nov/dez, 2005.
7. CONTRIBUIÇÃO PARA A FORMAÇÃO DOCENTE
O desenvolvimento dessas atividades nos possibilitou observar como os alunos
ficaram motivados em realizar uma atividade de uma forma diferente.
A maioria dos alunos conseguiu realizar as atividades com o auxilio dos
bolsistas e os que tinham maior facilidade ajudavam aqueles que estavam com
dificuldade, com isso foi possível mostrar que o trabalho em grupo facilitaria a
resolução.
O PIBID valoriza a formação docente, inserindo acadêmicos de licenciatura,
que é o nosso caso, na realidade escolar, por meio da reflexão conjunta com professores,
supervisores, bem como a observação e participação do ambiente escolar.
8. ANEXOS (FOTOS, VÍDEOS, ETC).
8.1 Tarefas propostas
Tarefa 1
Observe a sequência de figuras abaixo:
Depois de entregar as cópias, pediremos que os alunos observem as figuras da sequência
e respondam os três itens a seguir.
a) Desenhe a 4ª figura;
b) Diga quantos quadradinhos escuros têm a 10ª figura, sem construí-la;
c) Complete a tabela referente a sequência dada.
N° DE ORDEM DA
FIGURA
N° DE
QUADRADINHOS
PRETOS
Nº DE
QUADRADINHOS
BRANCOS
TOTAL DE
QUADRADINHOS
1
2
3
4
5
N
1° 2° 3°
Tarefa 2
Observe as sequências de figuras a seguir e preencha as tabelas:
Sequência 1
1°
2°
3°
N° DE ORDEM DA
FIGURA
N° DE
QUADRADINHOS
PRETOS
Nº DE
QUADRADINHOS
BRANCOS
TOTAL DE
QUADRADINHOS
1
2
3
4
5
N
Sequência 2
1°
2°
3°
N° DE ORDEM DA
FIGURA
N° DE
QUADRADINHOS
PRETOS
Nº DE
QUADRADINHOS
BRANCOS
TOTAL DE
QUADRADINHOS
1
2
3
4
5
N
Sequência 3
1° 2° 3° 4°
N° DE ORDEM DA
FIGURA
N° DE
QUADRADINHOS
PRETOS
Nº DE
QUADRADINHOS
BRANCOS
TOTAL DE
QUADRADINHOS
1
2
3
4
5
N
Tarefa 3
Lucas ficou sem parceiro para jogar bolita (bolinhas de gude); então pegou sua coleção
de bolinhas e formou uma sequência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura:
1° 2° 3°
Supondo que Lucas conseguiu formar 10 “T” seguindo o mesmo padrão. Considere esse
padrão para completar a tabela a seguir e responda as questões na sequência:
Posição do “T” 1ª 2ª 3ª 4ª n-ésima
Número de
Bolinhas de gude
a) Quantas bolinhas foram necessárias para formar o décimo “T”?
b) Qual é a expressão algébrica que possibilita determinar o número de bolinhas
necessárias para formar o n-ésimo “T”?
Tarefa 4
Observe a sequência, complete a tabela e, em seguida, responda às questões:
Complete a tabela que relaciona o número de latinhas com a posição ocupada na
sequência:
Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
Quantidade
de Latinhas
a) Quantas latinhas haverá na 6ª posição ?
b) É possível encontrar uma fórmula para calcular o número de latinhas em uma
pilha de ordem n? Se sim, qual é essa fórmula.
Tarefa 5
Observe esta sequência de números em forma de retângulo.
► ► ► ►
► ► ► ► ► ► ►
► ► ► ► ► ► ► ► ►
R1 = 2 R2 = 6 R3 = 12
a) Escreva os próximos dois números da sequência.
b) Qual o valor de R20?
c) Descubra a fórmula que dá o valor de Rn.
Tarefa 6
Uma sequência de mosaicos quadrados é construída com azulejos quadrados pretos e
brancos, todos do mesmo tamanho, sendo o primeiro formado por um azulejo branco
cercado por azulejos pretos, o segundo por quatro azulejos brancos cercados por
azulejos pretos e assim, sucessivamente, como indica a figura. Se numa sequência de
mosaicos formada de acordo com esta regra forem usados 80 azulejos pretos, quantos
serão os azulejos brancos utilizados?
1°
2°
3°
Tarefa 7
As figuras mostram duas mesas da Pizzaria Sole Mio, uma com 8 pessoas e 3 pizzas e
outra com 10 pessoas e 4 pizzas.
a) Sabendo que numa das mesas foram colocadas 10 pizzas, quantas pessoas
estariam sentadas?
b) E se fossem 31 pizzas, quantas pessoas estariam sentadas ao redor da mesa?
c) João decidiu comemorar o seu aniversário neste restaurante e convidou 57
pessoas. Quantas pizzas terá de encomendar para a sua mesa?
8.2 Resolução das Tarefas Propostas
Tarefa 1
Observe a sequência de figuras abaixo:
Depois de entregar as cópias, pediremos que os alunos observem as figuras da sequência
e respondam os três itens a seguir.
a) Desenhe a 4ª figura;
b) Diga quantos quadradinhos escuros têm a 10ª figura, sem construí-la;
A décima figura terá N quadradinhos escuros, sendo N o número de ordem da figura, e
como N=10, a figura apresentará 10 quadradinhos escuros.
c) Complete a tabela referente a sequência dada.
N° DE ORDEM DA
FIGURA
N° DE
QUADRADINHOS
PRETOS
Nº DE
QUADRADINHOS
BRANCOS
TOTAL DE
QUADRADINHOS
1 1 8 9
2 2 10 12
3 3 12 15
4 4 14 18
5 5 16 21
N N 2.N + 6 3.(N + 2) = 3.N + 6
1° 2° 3°
Tarefa 2
Observe as sequências de figuras a seguir e preencha as tabelas:
Sequência 1
1°
2°
3°
N° DE ORDEM DA
FIGURA
N° DE
QUADRADINHOS
PRETOS
Nº DE
QUADRADINHOS
BRANCOS
TOTAL DE
QUADRADINHOS
1 1 8 9
2 4 12 16
3 9 16 25
4 16 20 36
5 25 24 49
N N2
(N + 2)2 – N
2
N2 + 4.N + 4 – N
2
4.N + 4
4.(N + 1)
(N + 2)2
N2 + 4.N + 4
Sequência 2
1°
2°
3°
N° DE ORDEM DA
FIGURA
N° DE
QUADRADINHOS
PRETOS
Nº DE QUADRADINHOS
BRANCOS
TOTAL DE
QUADRADINHOS
1 5 4 9
2 8 8 16
3 13 12 25
4 20 16 36
5 29 20 49
N N2 + 4
(N + 2)2 – N
2 – 4
N2 + 4.N + 4 – N
2 – 4
4.N
(N + 2)2
N2 + 4.N + 4
Sequência 3
1° 2° 3° 4°
N° DE ORDEM DA
FIGURA
N° DE
QUADRADINHOS
PRETOS
Nº DE
QUADRADINHOS
BRANCOS
TOTAL DE
QUADRADINHOS
1 1 2 3
2 2 3 5
3 3 4 7
4 4 5 9
5 5 6 11
N N N + 1 2.N + 1
Tarefa 3
Lucas ficou sem parceiro para jogar bolita (bolinhas de gude); então pegou sua coleção
de bolinhas e formou uma sequência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura:
1° 2° 3°
Supondo que Lucas conseguiu formar 10 “T” seguindo o mesmo padrão. Considere esse
padrão para completar a tabela a seguir e responda as questões na sequência:
Posição do “T” 1ª 2ª 3ª 4ª n-ésima
Número de
Bolinhas de gude 5 9 13 17 4.N + 1
a) Qual é a expressão algébrica que possibilita determinar o número de bolinhas
necessárias para formar o n-ésimo “T”?
A expressão que calcula o número de bolinhas do n-ésimo T é: 4.N + 1.
b) Quantas bolinhas foram necessárias para formar o décimo “T”?
Sendo N = 10, temos:
4.10 + 1 = 41 bolinhas.
Tarefa 4
Observe a sequência, complete a tabela e, em seguida, responda às questões:
Complete a tabela que relaciona o número de latinhas com a posição ocupada na
sequência:
Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
Quantidade
de Latinhas 1 3 6 10 15
a) Quantas latinhas haverá na 6ª posição?
Na sexta posição adicionaremos 6 latinhas para formar a base da figura, então
teremos 15 + 6 = 21 latinhas.
b) É possível encontrar uma fórmula para calcular o número de latinhas em uma
pilha de ordem n? Se sim, qual é essa fórmula.
Para encontrar o número de latinhas da n-ésima ordem, temos que analisar como
a sequência foi construída:
Posição Quantidade de Latinhas
1 1
2 1 + 2
3 1 + 2 + 3
4 1 + 2 + 3 + 4
5 1 + 2 + 3 + 4 + 5
N 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + N
Uma possível solução para encontrar a fórmula que representa
n
i
i1 , ou seja, o
somatório de 1 até n, seria utilizar a mesma ideia de Carl Friedrich Gauss,
generalizando-a:
1 + 2 + ... + N-1 + N
Sabemos que essa soma admite um valor S, que igualamos a expressão acima,
obtendo:
1 + 2 + ... + N-1 + N = S
Somamos a mesma sequência, mudando apenas a ordem das parcelas,
começando por N e terminando em 1, veja:
1 + 2 + ... + N-1 + N = S
N + N-1 + ... + 2 + 1 = S
Somando as duas igualdades, obteremos:
(1 + N) + (2 + N – 1) + ... + (N – 1 + 2) + (N + 1) = 2.S
(N + 1) + (N + 1) + ... + (N+ 1) + (N + 1) = 2.S
A parcela N + 1 se repete N vezes, logo podemos reescrevê-la como N.(N + 1).
N.(N + 1) = 2.S
Lembrando que o nosso objetivo é encontrar o valor de S, podemos então
dividir ambos os lados da equação por 2, obtendo:
2
.2
2
)1.( SNN
→ S
NN
2
)1.(
Tarefa 5
Observe esta sequência de números em forma de retângulo.
► ► ► ►
► ► ► ► ► ► ►
► ► ► ► ► ► ► ► ►
R1 = 2 R2 = 6 R3 = 12
a) Escreva os próximos dois números da sequência.
Vamos construir uma tabela para tentar descobrir a regra dessa sequência:
Número de Ordem da Figura Quantidade de Triângulos
1 1.(1+1) = 1.2 = 2
2 2.(2+1) =2.3 = 6
3 3.(3+1) = 3.4 = 12
4 4.(4+1) = 4.5 = 20
5 5.(5+1) = 5.6 = 30
b) Qual o valor de R20?
Para R20, o número de triângulos será: 20.(20+1) = 20.21 = 420 triângulos
que compõem a figura em formato de retângulo.
c) Descubra a fórmula que dá o valor de Rn.
Se tivéssemos uma figura de ordem n, a fórmula que descreveria a quantidade
de triângulos necessária para compor o retângulo será:
Rn = n.(n+1) = n2 + n
Tarefa 6
Uma sequência de mosaicos quadrados é construída com azulejos quadrados pretos e
brancos, todos do mesmo tamanho, sendo o primeiro formado por um azulejo branco
cercado por azulejos pretos, o segundo por quatro azulejos brancos cercados por
azulejos pretos e assim, sucessivamente, como indica a figura. Se em um dos quadrados
formado nessa sequência de mosaicos de acordo com esta regra forem usados 80
azulejos pretos, quantos serão os azulejos brancos utilizados?
1°
2°
3°
Uma possível solução
Para responder a essa questão, precisamos analisar qual é a relação entre o número de
azulejos brancos, pretos e a soma deles. Vamos construir uma tabela para facilitar a
visualização:
Número de Ordem
da Sequência
Quantidade de Azulejos
Brancos
Quantidade de Azulejos
Pretos
Quantidade Total de
Azulejos
1 1 (1 + 2)2 – 1
2 = 8 9
2 4 (2 + 2)2 – 2
2 = 12 16
3 9 (3 + 2)2 – 3
2 = 16 25
N N2
(N + 2)2 – N
2
N2 + 4.N + 4 – N
2
4.N + 4
4.(N + 1)
(N + 2)2
Como foram usados 80 azulejos pretos, então podemos igualar a regra que determina a
quantidade de azulejos pretos a 80, com o objetivo de descobrir o número de ordem da
figura.
19
201
80)1.(4
N
N
N
Logo, para encontrar a quantidade de azulejos brancos, basta substituir o valor de N
na regra que determina o número de azulejos brancos:
3611922 N
Assim, temos 361 azulejos brancos na 19ª figura, que contém 80 azulejos pretos.
Tarefa 7
As figuras mostram duas mesas da Pizzaria Sole Mio, uma com 8 pessoas e 3 pizzas e
outra com 10 pessoas e 4 pizzas.
a) Sabendo que numa das mesas foram colocadas 10 pizzas, quantas pessoas
estariam sentadas?
Podemos pensar do seguinte modo: nas laterais das pizzas há duas pessoas
para cada pizza, que nesse caso seriam 2.10 = 20 pessoas, e somamos com as
duas pessoas da das extremidades da mesa, obtendo assim 22 pessoas,
considerando que todas os lugares estariam ocupados.
b) E se fossem 31 pizzas, quantas pessoas estariam sentadas ao redor da mesa?
Pensando do mesmo modo, teríamos duas pessoas para cada lateral das mesas,
ou seja, 2.31 = 62 pessoas, mais as duas pessoas das extremidades das mesas,
obtendo assim 64 pessoas.
c) João decidiu comemorar o seu aniversário neste restaurante e convidou 57
pessoas. Quantas pizzas ele terá de encomendar para a sua mesa?
Ainda sim podemos utilizar o mesmo raciocínio, mas nesse caso primeiro
descontamos as 2 pessoas das extremidades da mesa, obtendo 57-2 = 55, e em
seguida dividimos o total de pessoas por 2, já que para cada duas pessoas nas
laterais há uma pizza. Ao efetuar a divisão de 55 por 2, obtemos 27,5, então
João deve pedir 28 pizzas.
Se contarmos o número de lugares na mesa, teremos: 2.28 + 2 = 58. Logo, a
mesa que João reservar terá um lugar vago, pois ele convidou 57 pessoas.
Tabelas com o Resumo dos Planos
Indicador de atividade Objetivo da atividade
Descrição atividade (como
esta será realizada -
metodologia)
1.
Facilitar o entendimento de vários
temas da matemática envolvendo
a expressão de fatos genéricos e
explorar as diversas estruturas
algébricas fazendo com que o
aluno generalize seu pensamento
e simplifique questões.
A tendência metodológica
que norteia o
direcionamento da aula é a
Investigação Matemática.
Indicador da
atividade
Resultados esperados
1.
Com essa sequência de tarefas esperamos que os alunos
adquiram mais confiança em seu raciocínio, tornando-se mais
criativos, e consigam compreender padrões e construir
expressões algébricas que determinam as regras que esses
padrões seguem, assim como resolver equações e descobrir os
valores de uma sequência para qualquer um de seus termos.
Indicador da atividade Contribuição para a Formação Docente
1.
Essa sequência de tarefas com aos alunos nos possibilitou
observar as dificuldades encontradas durante uma aula e
alguns caminhos que podemos utilizar para superá-las, tanto
por parte dos bolsistas como dos alunos participantes da
oficina. Essa sequência foi gratificante, pois notamos o quanto
os alunos ficavam satisfeitos quando conseguiam resolver as
tarefas propostas, e sentiam-se estimulados a tentar novos
desafios.
Indicador da atividade
PLANO DE ATIVIDADES DO
COORDENADOR
(Reuniões Semanais)
1.
PROFESSOR FÁBIO 2.
3.
4.
5.
6.
7.
Observação: as reuniões semanais da equipe devem contemplar as atividades planejadas pelos
coordenadores .
CRONOGRAMA 2013
Atividade Mês de Início Mês de Término
1.
Agosto Agosto
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Apucarana, ____ de _____________________ de 2013.
Professor Supervisor
Coordenador Subprojeto