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REGRESIÓN LINEAL SIMPLEEs cuando una variable independiente ejerce infuencia sobre otra variable

FORMA GENERAL DE LA ECUACION DEREGRESIÒN SIMPLE

 Y’=a+bx

Donde:• Y’ se lee Y prima, es el valor pronosticado

de la variable Y para un valor seleccionadorde X.• «a» es la ordenada de la interseccin con eleje Y, es decir, el valor estimado de Y cuandoX=!, es decir, donde la recta de re"resincru#a el eje Y.• «b» es la pendiente de la recta, o el cambiopromedio en Y’ por unidad de cambio en lavariable independiente X.

• X es cual$uier valor seleccionado de lavariable independiente.

X es cual$uier valor seleccvariable independiente. Envalores de a % b en la re"resin se denominan de re"resin estimados, coe&cientes de re"resin.

• Variable dependiente: la variable $ue se pronostica o estima.• Variable independiente: la variable $ue proporciona la base para la estimac

variable predictora.

b( )endiente de la l*nea de re"reonde(X es el valor de la variable indep

 Y es el valor de la variable depen es el numero de elementos en

EGRESION CORRELACION LINEALSIMPLE

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• El coe&ciente de correlacin r - es una

medida de la intensidad de la relacin entredos variables.

• e$uiere datos con escala de intervalo o dera#n variables-.

• )uede tomar valores entre /0.!! % 0.!!.• 1alores de /0.!! o 0.!! indican correlacin

2uerte % per2ecta.

• 1alores cercanos a !.! indican correlacind'bil.

• 1alores ne"ativos indican una relacininversa % valores positivos indican unarelacin directa.

NU!E DE PUN"OS O DIAGRAMA DE DISPERSIÓN#

3obre la nube de puntos puede tra#arse una recta $ue se ajuste a elloposible, llamada recta de re"resin.

•COEFICIEN"E DECORRELACIÓN$ R

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Regla para la interpretacion del valor del coeficiente de correlacion "r":r=0 la correlación es nula.r < 0 a 0.20>ϵ la correlación es positiva pero casi nula

r < -0.20 a 0 >ϵ la correlación es negativa (inversa) pero casi nula

r < 0.20 a 0.40>ϵ la correlación es positiva y baja

r < -0.20 a -0.40 >ϵ la correlación es negativa (inversa) y baja

r < 0.40 a 0.70>ϵ la correlación es positiva y buena o significativar < -0.40 a -0.70 >ϵ la correlación es negativa (inversa) y buena o signific

r < 0.70 a 1 >ϵ la correlación es positiva y muy buena o muy signific

r < -0.70 a -1 >ϵ la correlación es negativa (inversa) y muy buena o m

r =1 la correlación es perfecta positiva

r = -1 la correlación es perfecta y negativa(inversa)

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5a recta correspondiente a la nubedel puntos de la distribucin es una

recta creciente.

En este cvariables s

nube de puredondead

5a recta correspondiente a la de ladistribucin es una rectadecreciente.

Correla%i&n dire%ta Correla%i&n in'er(a Cor

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6orrelacin ne"ativa per2ecta6orrelacin

6orrelacin no lineal

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"AM!I*N SE PUEDE CALCULA EL COEFICIEN"E DE

CORRELACIÓN +R, U"ILI-ANDO LAS MEDIASARI"M*"ICAS DE LAS VARIA!LESn = es el n7mero de pares de observaciones.8X = es la suma de los valores de la variable X.8Y = es la suma de los valores de la variable Y.8X9- = es la suma de los cuadrados de los valores de lavariable X.

8X-9 = es el cuadrado de la suma de los valores de lavariable X.

:;E5;3

 5 E6?> %= a+bx

6>56@5> E5 6;EAB6BE?E E 6;E5>6BC D 3B@?B5BF> :EB>3 >B?:G?B6>3 E 5>3 1>B>H5E3

FORMULAS .UE NOS PERMI"EN /ALLAR EL COEFDE CORRELACIÓN +R, DE PEARSON

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:ide la dispersin de los valores observados alrededor de la recta de re"resin.

• Armulas usadas para calcular el error estIndar(

El error de estIndapara mostrar la seen concepto % calcdesviacin estIndade estimacin.

ERROR ES"0NDAR DE LA ES"IMA

5a desviacin estIndar se basa es los cuadrados de las desviaciones respectmientras $ue el error estIndar de estimacin se basa en los en los cuaddesviaciones respecto a la l*nea de re"resin. 3i la suma de los cuadrados de las dpe$ueJa esto si"ni&ca $ue la l*nea de re"resin es representativa de los datos. 3i son "randes, entonces la recta de re"resin puede no representar a los datos.

n( numero de la muestraX( total de x% ( total %a ( ordenada de la % en la muestrab( pendiente de la muestra

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e"resin lineal m7ltipl

• Este tipo se presenta cuando dos omIs variables independientesinfu%en sobre una variabledependiente. E1e2plo: 3 456$7$ 8-.

• El modelo de re"resin linealm7ltiple es id'ntico al modelo dere"resin lineal simple, con la7nica di2erencia de $ue apare%en

29( 'ariable( e6pli%ati'a(#

6 6 ;3 6 3 ;3

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6>56@5;3 E6E3>B;3 )>> E?E:B>E6@>6BC E EKE3B; 5BE>5 3B:)5

:BB:;3 6@>>;3

En la empresa 6;)BE 3>5E3 ;A >:GB6>, la"erente de ventas recopilo in2ormacinrespecto al numero de llamadas tele2nicasLecLas % la cantidad de copiadoras vendidas,para una muestra de 0! representantes de

ventas. > la seJorita :adeleine, "erente de esaIrea, le "ustar*a o2recer in2ormacin especi&care2erente a la relacin entre el numero dellamadas % la cantidad de productos vendidos.@tilice el m'todo de m*nimos cuadrados paradeterminar la ecuacin lineal.

EME:)5;

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Repre(entante( de'enta(

Lla2ada(de 'enta(

5;

Copiadora('endida(

5;< <

6B?NB> 9! O! P!! Q!!

6>;5B> P! R! 0R!! OR!!

 M;3E 5@B3 9! P! P!! 0R!!

6>5;3 O! R! Q!! OR!!

:B5>K;3 0! O! 0!! Q!!

:>5E> 0! P! 0!! 0R!!

HY> 9! P! P!! 0R!!

>KE5 9! T! P!! 9T!!

HE>?BF 9! O! P!! Q!!

>?;B; O! U! Q!! PQ!!

"O"AL ==> ?@> @>> ==B>>

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b=

b=

b=

b=

b3 B#B?=

 

En%ontrando b: L)eo a:

a=

a=

a=

a3 B#?H

 

)or tantre"resi

  ’ 3 a

  ’ 3 B

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 Y’=0S.QPUR+0.0SP9X-

 Y’=0S.QPUR+0.0SP99!-

 Y’=P9.RO0R

valor

b3B#B?=  , si"ni&ca $ue para cada llamada adicional $ue reali#an los repre

ventas pueden esperar aumentar en casi 0.9 el numero de copiadoras vendida

El valor

a3B#?H es el punto donde la ecuacin cru#a el eje Y. @na traduccin literase Lacen llamadas, esto es, X=!, se venderIn 0S.QPUR copiadoras. ;bs'rveseencuentra 2uera del intervalo de valores incluidos en la muestra, las llamad2ueron de 0! a P!, as* $ue los cIlculos deben Lacerse dentro de esa "ama de v

DE MODO .UE SI UN VENDEDOR /ACE => LLAM"ELEFÓNICAS$ PUEDE ESPERARSE .UE VEND

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>V5B3B3 E 6;E5>6BC

3irve para medir la adecuacin del modelo Lalladobondad del ajuste de la recta de re"resin alconjunto de observaciones-, en el caso de teneruna variable dependiente % varias independientes.

icLa medida nos la da el %oeJ%iente dedeter2ina%i&n R= , $ue veri&ca > K R= K B.

6uanto mIs cercano a uno sea su valor, ma%or es

el "rado de asociacin lineal $ue existe entre lavariable dependiente % las independientes opredictoras.

os mide la proporcin de la variacin total de lasobservaciones $ue se explican mediante laecuacin recta- de re"resin

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E1e2plo•  Muan Escobedo, presidente de la Hiblioteca @)>;, se ocupa de estudiar el cos

de texto para los estudiantes de >r$uitectura. Gl cree $ue La% una relacin ede pI"inas en el texto % el precio de venta del libro. )ara proporciona

selecciona una muestra de ocLo libros de texto actualmente existentes ibujar un dia"rama de dispersin. 6omprobar el coe&ciente de correlacin.

Libro P9ina( Pre%

Bntr. a la Nistoria de la ar$uitectura T!! SP

>nIlisis estructural U!! UT

>rte de pro%ectar S!! QQ>r$uitectura. Aorma, espacio % orden R!! U9

>r$uitectura sostenible P!! RQ

>r$uitectura e Bnteriores En :adera T!! S0

5a cuidad moderna R!! RO

6olor, espacio % estilo S!! QO

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OT! P!! PT! T!! TT! R!! RT! U!! UT! S!! ST!

R!

U!

S!

Q!

0!!

SP

UT

QQ

U9

RQ

S0

RO

QO

P9Fina( de libro(

Pre%io de libro( 5en L;

DIAGRAMA DE DISPERSION:

(tr)a )n diara2a de di(per(i&n

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l%)le el %oeJ%iente de %orrela%i&n

Libro   Pgina!  Precio #$

  X Y XY X 2  Y 2 

Intr. a la Historia Arq. 500 ! !"#000 "50#000 $#05% &nalisis 'str. $00 $5 5"#500 !0#000 5#%"5

 Arte e *royectar  00 $#"00 %!0#000 #0+

 Arq. ,orma espacio y oren %00 $" !-#"00 -%0#000 5#+!

 Arq. sostenible !00 % "$#%00 +%0#000 !#$%+

 Arq. e interiores en maera 500 + !0#500 "50#000 %#5%+

a cuia moerna %00 %- -$#00 -%0#000 -#%

/olor# espacio y estilo 00 - $!#!00 %!0#000 #%!  otal !#00 %-% -$#"00 -#+50#000 5+#%0%

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S)(tit)endo en la 4or2)la lo( 'alore( en%ontrado( reali8ando lo( %9l%)lo( obtene2o(:

El %oeJ%iente de %orrela%i&n de >#B? indi%a )na rela%i&n2) inten(a entre la %antidad de p9ina( el pre%io delo( libro(#

[ ]   ( )   ( )[ ]

[ ][

614.0

)606,51(8)900,4(000,150,3(8

)636)(900,4()200,397(8

)()(

))(()(

2

2222

=

−−

−=

Σ−ΣΣ−Σ

ΣΣ−Σ=

Y  Y  n X   X  n

Y   X   XY  n R

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• Coefciente de Determinación: Es el cuadrado del valor del code correlación (r).

El coefciente de determinación se simboliza por “R2” tomentre ! ".

9 = r -9 = !.R0P-9 = !.OU

OUW de la variacin en los precios 2ue debido a la variacin en las pIlos libros.

• Coefciente de #o Determinación:0/ 9  = 0/!.OU = !.RO

ROW de la variacin en los precios no 2ue debido a la variacin en lade los libros.

Cal%)le e interprete lo( %oeJ%iente(de deter2ina%i&n no deter2ina%i&n#

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An9li(i( de rere(i&n

5a ecuacin de re"resin es( Y' = a + bX, donde( Y' es el valor pronosticado de la variable Y  para un valor seleccionado de X a es la ordenada de la interseccin con el eje Y cuando X = !. Es el valor es

cuando X=! b es la pendiente de la recta, o el cambio promedio en Y' para cada cambio

en X. el principio de m*nimos cuadrados se utili#a para obtener a % b.

• El principio de m*nimos cuadrados se utili#a para obtener a % b. 5a

ecuaciones para determinar a % b son(

bn XY X Y    

n X X  

aY  

n  b

  X  

n

=−

−

= −

( ) ( )( )

( ) ( )

Σ Σ Σ

Σ Σ

Σ Σ

2 2

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Ejemplo

esarrolle una ecuacin de re"resin para la in2ormacin dada en el ejemplo a

se puede utili#ar para estimar el precio de venta basado en el n7mero de pI"

5a ecuacin de re"resin es(

  Y' = PS.! + .!T0POX

• 5a ecuacin cru#a al eje Y en PS. @n libro sin las pI"inas costar*a PS.

• 5a pendiente de la l*nea es .!T0PO. El costo de cada pI"ina adicional es de c'ntimos.

• El si"no del valor de b % el si"no del valor de r  serIn siempre i"uales.

05143.)900,4()000,150,3(8

)636)(900,4()200,397(82  =

−

−=b

0.488

900,405143.0

8

636=−=a

) d tili l i d i

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)odemos utili#ar la ecuacin de re"resin para

estimar valores de Y. El precio de venta estimado de un libro de 800 páginas es $89.!, encontrado

DIAGRAMA DE DISPERSION:

OT! P!! PT! T!! TT! R!! RT! U!! UT! S!! ST!R!

U!

S!

Q!

0!!

2x- = !.!Tx + PS = !.OS

P9ina( de libro(

Pre%io de libro( 5en ;

14.89)800(05143.00.48

05143.00.48

=+=

+=′   X Y 

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El error e(t9ndar de e(ti2a%i&n

El error estIndar de estimacin midela dispersin de los valoresobservados alrededor de la l*nea dere"resin.

5as 2rmulas $ue se utili#an paracomprobar el error estIndar son(

E" E# EE% (")E**

Encuentre el error estIndar de estproblema $ue implica el n7merolibro % el precio de venta.

2

2

)(

2

2

.

−

Σ−Σ−Σ=

−

′−Σ=

n

 XY bY aY 

n

Y Y  s  x y

408.10

28

0.0)636(48606,51

2

2

.

=

−

−−=

−

Σ−Σ−Σ=

n

 XY  bY  aY   s  x y