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Tópicos de Lógica Proposicional

Cláusulas de Horn

Resolução

Referência: Language, Proof and LogicJon Barwise e John Etchemendy, 1999

Capítulo: 17

Tópicos de Lógica Proposicional-2

Frases de Horn

Forma Normal Conjuntiva- para frases sem quantificadores– conjunção de frases– cada elemento da conjunção é disjunção de literais– literal: frase atómica ou a sua negação

Frase Horn– frase na Forma Normal Conjuntiva– cada disjunção tem no máximo 1 literal positivo


ExemplosNão são Horn

NaSala(Ana) (NaSala(Rui) Feliz(Luis))

(NaSala(Ana) NaSala(Rui) Feliz(Ana)) Feliz(Luis)

NaSala(Ana) NaSala(Rui) NaSala(Luis)

São Horn

NaSala(Ana) (NaSala(Rui) Feliz(Luis))



NaSala(Ana) NaSala(Rui) (NaSala(Rui) NaSala(Rui))


Satisfação de frases de Horn Para averiguar satisfação de frases de Horn

– Tabela de verdade: mecânico mas caro: 2n linhas para n átomos– Nas frases Horn basta construir 1 linha.

Algoritmo: Átomos que aparecem como elementos da conjunção: V na coluna de referência Usar colunas de referência para preencher colunas da frase e vice-versa Acabar quando não se pode concluir sobre o valor de mais nenhuma coluna

Que concluir do algoritmo de satisfação de frases de Horn?– Um dos elementos da conjunção toma o valor F

a frase é não satisfazível

– Processo termina sem atribuir F a nenhum elemento da conjunção a frase é satisfazível podem preencher-se as restantes colunas de referência com F


Algoritmo de satisfação de frases Horn

Exemplo: NaSala(Ana) NaSala(Rui) (NaSala(Rui) NaSala(Ana))

Átomo A é elemento da conjunção, a coluna de

referência terá V

A R A R (R A)

V

Se A é F, R terá de ser V

F

A R A R (R A)

V FV F

R tem valor F, e é elemento da conjunção: frase não

satisfazível

A R A R (R A)

V FV


Exemplo

Exemplo: (A B) (B C) B

A B C (A B) (B C) BFV F

B é elemento da conjunção, tem de ter valor V

A B C (A B) (B C) BFV FV

C tem de ter valor V, e não há mais atribuições

A fórmula é satisfazível– se atribuir F a A, a linha resultante da tabela atribui V à fórmula


Formalizar satisfação

Tabelas de verdade– explicitam circunstâncias em que uma fórmula é verdadeira– são informais– não são manipuláveis matematicamente

Noção formal: atribuição de verdade– função h

do conjunto de fórmulas atómicas de uma linguagem de 1ª ordem para o conjunto dos valores de verdade {V, F}

– para cada fórmula atómica A, h(A) é V ou é F– cada atribuição de verdade corresponde a uma linha das colunas de

referência de uma tabela de verdade


Atribuição de verdade

h: atribuição de verdade– fórmula arbitrária: o que significa h torná-la verdadeira ou falsa?

h’ : definida no conjunto de todas as fórmulas, estende h– toma valores no conjunto dos valores de verdade {V, F}– na “tabela de verdade da linguagem”

h preenche uma só linha, e só as colunas de referência h’ preenche as restantes colunas para todas as fórmulas da linguagem

Definição de h’ : de acordo com significado das conectivas– h’(Q) = V se e só se h’(Q) = F– h’(QR) = V se e só se h’(Q) = V e h’(R) = V – h’(QR) = V se e só se h’(Q) = V ou h’(R) = V, ou ambos...


Satisfação de fórmulas

Fórmula S é satisfazível– existe atribuição de verdade h tal que h’(S) = V

Fórmula S é logicamente verdadeira– para toda a atribuição de verdade h, h’(S) = V

Noção central: consequência lógica– Fórmula S é consequência lógica de um conjunto de fórmulas T sse

toda a atribuição de verdade que torna todas a fórmulas de T verdadeiras também torna S verdadeira

– T {S} elementos são todas as fórmulas em T e mais S

Proposição:– S é consequência lógica de um conjunto de fórmulas T se e só se o

conjunto T {S} não é satisfazível



Teorema 2: O algoritmo classifica como satisfazíveis exactamente as fórmulas de Horn satisfazíveis

– Refraseando: uma fórmula Horn é satisfazível se e só se é classificada como satisfazível pelo algoritmo

– Fórmula S é satisfazível algoritmo classifica S como satisfazível Se S é classificada como não satisfazível:

não existe atribuição de valores de verdade que a satisfaça

S é não satisfazível sendo S satisfazível

S é classificada como satisfazível

(SÓ SE)



Teorema 2 (cont.)– Fórmula S é classificada como satisfazível: fórmula é satisfazível

S é conjunção de disjunção de literais cada disjunção tem no máximo 1 literal positivo S verdadeira na atribuição h’:

– cada elemento da conjunção verdadeiro em h’ – um literal em cada disjunção tem valor V

Em cada disjunção– se tem só um literal positivo: foi posto a V pelo algoritmo– se tem alguns literais negativos e 1 positivo:

• se todos os literais negativos foram postos a F: o literal positivo foi posto a V• se o processo termina: as frases atómicas restantes são postas a F fazendo algum dos

literais negativos ficar com V

– se tem só literais negativos: • nem todos foram postos a F, senão S resultaria não satisfazível• algum se torna V quando as frases atómicas restantes são postas a F

(SE)


Frases com dependências

Algoritmo de satisfação de frases Horn:– assume frases atómicas independentes

Se as frases não são independentes– a “linha de tabela” que se constrói pode ser espúria– não se pode concluir sobre a satisfação

Exemplo

Small(b) (Small(b) Cube(b)) Cube((b) Tet(b))

– aplicando o algoritmo: frase é satisfazível! num mundo que a satisfaça: b tem de ser pequeno, cubo e tetraedro

Para resolver: modificar algoritmo– atribuição de F às frases atómicas restantes: testar se produz linha espúria– se linha é espúria, procurar alternativa (não há procedimento sistemático)


Automatizar demonstração

Problema: descobrir se uma frase é consequência lógica de outra Usando intuição

– Se é consequência: demonstra-se usando métodos de prova– Se não é: procura-se um contraexemplo: atribuição que torna as

premissas verdadeiras e a conclusão falsa

Como automatizar?– Usando tabelas de verdade: grande ineficiência– Algoritmo de satisfação para frases Horn: eficiente– Resolução:

aplicável a frases em forma normal conjuntiva eficiente generaliza para frases quantificadas


Cláusulas

Conjuntos de cláusulas– Cláusula: conjunto finito de literais

C1= {Small(a), Cube(a), Backof(b,a)} C2= {Small(a), Cube(b)} Cláusula vazia:

– Cláusula é satisfeita por uma atribuição de verdade h: pelo menos um dos literais da cláusula tem o valor V em h não é satisfeita por qualquer atribuição

– C ⁄ : h satisfaz C sse a disjunção das frases em C tem o valor V em h’

Satisfação de um conjunto S de cláusulas– S é satisfeito por h desde que cada cláusula de S seja satisfeita por h– A fórmula (CNF) obtida pela conjunção das disjunções

correspondentes às fórmulas de S é satisfeita por h’


Resolução

Para mostrar que um conjunto S de cláusulas não é satisfazível:– mostrar que um conjunto maior S’ obtido do primeiro também não o é– válido desde que S e S’ sejam satisfeitos exactamente pelas mesmas

atribuições

Método: provar que a frase S (em CNF) não é satisfazível– transformar S num conjunto de cláusulas

disjunções de literais passam a cláusulas com os mesmos literais conjunção passa a conjunto de cláusulas

– adicionar sistematicamente novas cláusulas - resolventes novas são tais que o conjunto é satisfeito pelas mesmas atribuições

– se chegarmos a um conjunto que contém , a frase inicial não é satisfazível


Resolventes Exemplo1

C1= {Small(a), Cube(a), Backof(b,a)}

C2= {Small(a), Cube(b)}– Para satisfazer {C1, C2} é preciso atribuir V a pelo menos 1 de

Cube(a) Backof(b,a) Cube(b)– C3 = {Cube(a), Cube(b), Backof(b,a)} é um resolvente de C1 e C2– {C1, C2, C3} é satisfeito pelas mesmas atribuições que {C1, C2}

Exemplo2C1= {NaSala(Rui), NaSala(Ana)}

C2= {NaSala(Rui)}

C3= {NaSala(Ana)}– Uma atribuição que satisfaz {C1, C2, C3} satisfaz

C4 = {NaSala(Rui)}– {C1, C2, C3, C4} não é satisfazível


Resolvente

Definição: (resolvente)– R é uma resolvente das cláusulas C1 e C2 se existe uma fórmula

atómica numa delas e a sua negação na outra, sendo R o conjunto de todos os restantes literais de ambas.

Exemplos

{A,D} {A}

{D}

{A, A} {A}

{A}

{B,C} {B, D}

{C, D}

{D} {D}

{}


Correcção da resolução

Teorema: Sendo S um conjunto não satisfazível de cláusulas numa linguagem com frases atómicas independentes, é sempre possível, por resolução sucessiva, chegar a .

ExemploA (B C B) (C D) (A D) (B D)

– Conversão em conjunto de cláusulas A}, {B, C}, {C, D}, {A, D}, {B, D}– Usar resolução para mostrar que o conjunto não é satisfazível

{B,C} {C, D}

{B, D} {B, D}

{D}

{A,D} {A}

{D}


Consequência lógica

Provar consequência lógica usando resolução Para mostrar que

C é consequência lógica de

P1, P2, …, Pn Usar resolução para provar que

P1 P2 … Pn C

não é satisfazível– reduzir a forma normal conjuntiva– converter em conjunto de cláusulas– aplicar resolução


Forma condicionalNaSala(Ana) NaSala(Rui)) Feliz(Luis)

Substituindo o condicional pela sua definição em termos de e

NaSala(Ana) NaSala(Rui) Feliz(Luis)

obtém-se uma disjunção com um só literal positivo

Em geral– frase de Horn é conjunção de frases

cada frase da conjunção é disjunção com 1 literal positivo e vários negativos

A1 A2 … An Bpode ser reescrita como

– (A1 A2 … An) B Casos particulares

– Disjunção sem literal positivo: (A1 A2 … An) False– Disjunção sem literais negativos: True B


Forma condicional de frase de Horn

Uma frase de Horn em lógica proposicional é logicamente equivalente a uma conjunção de afirmações condicionais de uma das três formas seguintes

(A1 A2 … An) B

(A1 A2 … An) False

True B Resolução:

– proposto e desenvolvido por Alan Robinson (1965)– apropriado para a demonstração automática de teoremas– problemas formulados como séries de condicionais e bicondicionais:

a transformação em CNF é imediata

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